设 $\Omega $ 是 ${\Bbb R}^n$ 中的有界区域,$X=\{X_1,\cdots,X_m\}(m\leq n)$ 为一族实光滑向量场且满足 Hörmander 条件. 记 $X^*=(X_1^*,\cdots,X_m^*)$,其中 $X_j^*$ 为 $X_j$ 的伴随. 考虑如下非线性次椭圆方程的障碍问题

$X^*A(x,u,Xu)+ B(x,u,Xu)=0,\ \ x\in\Omega ,$

(1.1)

其中 $A=(A_1,\cdots,A_m):{\Bbb R}^n\times{\Bbb R}\times{\Bbb R}^m\rightarrow{\Bbb R}^m$ 和 $B:{\Bbb R}^n\times{\Bbb R}\times{\Bbb R}^m\rightarrow{\Bbb R}$ 均为 Carath\'{e}odory 函数且满足如下结构条件: 对几乎处处 $x\in{\Bbb R}^n$,$u,v\in{\Bbb R}$ 和 $\xi,\zeta\in{\Bbb R}^m$,有

$|A(x,u,\xi)|\leq\alpha (|u|^{p-1}+|\xi|^{p-1}+|\varphi _1|),$

(1.2)

$|B(x,u,\xi)|\leq\alpha (|u|^{p-1}+|\xi|^{p-1}+|\varphi _2|),$

(1.3)

$\langle A(x,u,\xi)-A(x,v,\zeta),\xi-\zeta\rangle\geq\beta|\xi -\zeta|^2(|\xi|+|\zeta|)^{p-2},$

(1.4)

其中 $p\geq2$,$\alpha ,\beta>0$,$\varphi _1,\varphi _2\in L^{\frac{s}{p-1}}(s>p)$.

对于给定的障碍函数 $\psi$ 及边值函数 $u_0$,$u_0(x)\geq\psi(x)$,定义集合

${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}(\Omega )=\left\{v\in W_X^{1,r}(\Omega ):v\geq\psi\ {\rm a.e.}\ \Omega ,v-u_0\in W_{X,0}^{1,r}(\Omega )\right\},$

其中 $p-\frac{1}{2}＜r＜p$. 称 $u\in{\cal K}_{\psi,u_0}^{r}(\Omega )$ 是方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}$ -障碍问题的很弱解,如果对任意满足 $\varphi (x)+u(x)\geq\psi(x)$ a.e. $x\in\Omega $ 的 $\varphi \in C_0^\infty(\Omega )$,有

$\int_\Omega A(x,u,Xu)\cdot X\varphi {\rm d}x+\int_\Omega B(x,u,Xu)\varphi {\rm d}x\geq0.$

(1.5)

显然如果在 (1.5) 式中 $r=p$,上述定义即为方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{p}$ -障碍问题的弱解定义.

障碍问题最早出现于非线性位势理论中^[1],是研究变分不等式和自由边界问题的重要课题. 经典的 Laplace 算子的障碍问题是寻找边界固定且位于给定障碍上方的弹性膜的平衡位置,其与极小曲面的研究及位势理论中集合的容度估计密切相关. 在欧氏空间中有关障碍问题和变分不等式及其应用的研究,见文献[2-4].

对于非线性椭圆方程

$ {\rm div}A(x,\nabla u)+B(x,\nabla u)=0 $

的很弱解或泛函

${\cal F}[u]=\int_\Omega F(x,\nabla u){\rm d}x$

的弱极小元的性质,最早由 Iwaniec 和 Sbordone 在文献[5]中研究,他们通过 Hodge 分解构造合适的试验函数证明了 $p$ -Laplace 型方程的很弱解即是经典意义下的弱解. Lewis^[6] 基于 Hardy-Littlewood 极大函数和 $A_p$ 权理论给出了另一种构造试验函数的方法,得到了椭圆方程很弱解的高阶可积性.

对散度型椭圆方程

${\rm div} A(x,\nabla u)=0$

(1.6)

的障碍问题弱解的局部和全局高阶可积性,最先由 Li 和 Martio 在文献 [7]中利用反向 Hölder 不等式得到. Kilpel\"{a}inen 和 Koskela^[8] 证明了当 $\Omega $ 满足一定假设条件时方程 (\ref{E1}) 弱解的全局高阶可积性. 文献[9]中作者研究了一类椭圆方程双侧障碍问题很弱解的存在唯一性和稳定性.

次椭圆障碍问题起源于机械工程、金融数学、图像重建、 神经生理学等各种应用学科,对这类问题的研究具有重要的理论意义和应用价值. 近年来,对此类问题的研究引起广泛关注,见文献[10-13]及其中的参考文献. Zatorska-Goldstein^[14] 利用 Lewis 在文献[6]中的方法及度量空间上的 Gehring 引理,证明了次椭圆方程 (1.1) 很弱解的局部高阶可积性.

受以上文献的启发,我们首先将文献[14]中关于方程 (1.1) 的局部高阶可积性结果推广到其 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}$ -障碍问题上,进而利用此结论得到了很弱解的紧性结果. 最后,在区域满足一定的假设条件下,我们得到了 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}$ 障碍问题很弱解的全局高阶可积性. 本文的主要结果如下:

定理1.1 假设条件 (1.2)-(1.4) 成立且 $\psi\in W_{X,loc}^{1,s}(\Omega )$,$s>p$,$u$ 为方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}$ -障碍问题的很弱解,则存在 $0＜\delta ＜\frac{1}{2}$ 使得当 $r=p-\delta $ 时有 $u\in W_{X,loc}^{1,p+\tilde{\delta }}(\Omega )$,其中 $\tilde{\delta }>0$.

定理1.2 令 $U$ 为 $\Omega $ 的紧子集,$\delta $ 为定理1.1 中的常数. 假设条件 (1.2)-(1.4) 及下面结构性假设成立

$\langle A(x,u,\xi),\xi\rangle\geq\beta|\xi|^p,$

(1.7)

$|A(x,u,\xi)-A(x,v,\zeta)|\leq\alpha |\xi-\zeta|(|\xi|+|\zeta|)^{p-2}.$

(1.8)

若 $\{u_i\}_{i \in \mathbf{N}^*}(u_i\in W_{X}^{1,r}(\Omega ),p-\delta ＜r＜p)$ 为方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}$ -障碍问题的一族很弱解且在 $W_{X}^{1,r}(\Omega )$ 中有界,则 $\{u_i \}$ 在 $W_{X}^{1,p}(U)$ 中是紧的.

为了建立很弱解的全局高阶可积性,我们对 $\Omega $ 做如下假设:

(H1) 存在常数 $\bar{C}\geq1$ 使得对任意的 $x\in\Omega $,

$ |B_{\rho(x)}|\leq \bar{C}|B_{\rho(x)}\cap\left({\Bbb R}^n\setminus\Omega \right)|,$

其中 $\rho(x)=2{\rm dist}(x,{\Bbb R}^n\setminus\Omega )$;

(H2) $\Omega $ 的补集 ${\Bbb R}^n\setminus\Omega $ 为一致 $(X,p)$ -厚的(见第二节定义 2.2).

定理1.3 假设条件 (1.2)-(1.4)和 {\rm(H1)-(H2)} 成立且 $\psi,u_0\in W_{X}^{1,s}(\Omega )$,$s>p$. 若 $u$ 为方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{r}$ -障碍问题的很弱解,则存在 $0＜\delta ＜\frac{1}{2}$ 使得当 $r=p-\delta $ 时有 $u\in W_{X}^{1,p+\tilde{\delta }}(\Omega )$,$\tilde{\delta }>0$.

本文具体安排如下: 第二节首先给出一些预备知识和相关引理,并证明了一个由容度刻画的 Sobolev 型不等式; 第三节基于 Hardy-Littlewood 极大函数及障碍函数构造合适的试验函数并利用已知结果给出定理 1.1 的证明; 第四节通过建立 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{p}$ -障碍问题弱解的紧性结果进而证明了定理 1.2; 第五节给出定理 1.3 的证明.

设 $X=\{X_1,\cdots,X_m\}$ 为 ${\Bbb R}^n(n\geq3)$ 中的一族实光滑向量场,其中

$X_j=\sum_{k=1}^{n}b_{jk}\frac{\partial }{\partial x_k},\ \ \ \ j=1,2,\cdots,m.$

对于多重指标 $\alpha =(i_1,\cdots,i_k)$,定义 $X_\alpha =[X_{i_1},[X_{i_2},\cdots,[X_{i_{k-1}},X_{i_{k}}]]\cdots]$ 为 $X$ 的长度为 $k=|\alpha |$ 的交换子. 称 $\{X_1,\cdots,X_m\}$ 满足 Hörmander 条件^[16]是指存在 $s>0$ 使得 $\{X_\alpha \}_{|\alpha |\leq s}$ 张成 ${\Bbb R}^n$. 我们把 $X_j$ 视为按如下方式定义的一阶微分算子: 对 $u\in {\rm Lip}({\Bbb R}^n)$,

$ X_j u(x)=\langle X_j (x),\nabla u(x)\rangle,j=1,2,\cdots,m. $

记 $Xu=(X_1u,\cdots,X_mu)$ 为 $u$ 的梯度.

称绝对连续曲线 $\gamma:[a,b]\rightarrow{\Bbb R}^n$ 是关于向量场族 $X$ 的一条可容许曲线,如果存在 $c_i(t),\ a\leq t\leq b$,使得对几乎处处 $t\in[a,b]$,成立

$\sum_{i=1}^{m} c_i(t)^2\leq1,\ \ \gamma'(t)=\sum_{i=1}^{m} c_i(t)X_i(\gamma(t)).$

由向量场诱导的 Carnot-Carath\'{e}odory 距离 $d(x,y)$ 定义如下:

$d(x,y)=\mbox{inf}\left\{T>0: \mbox{存在可容许曲线}~\gamma,\ \mbox{使得}~\gamma(0)=x,\ \gamma(T)=y\right\}.$

由 Chow 定理^[17] 可知,当 $\{X_1,\cdots,X_m\}$ 满足 Hörmander 条件时,$d$ 为 ${\Bbb R}^n$ 上的度量,从而 $({\Bbb R}^n,d)$ 构成一个度量空间,称之为 Carnot-Carathéodory 空间 (简称为C-C 空间). 定义度量球

$B(x_0,R)=\{x\in{\Bbb R}^n:d(x,x_0)＜R\}.$

若 $\sigma>0$,记 $B=B(x_0,R)$,$\sigma B = B({x_0},\sigma R)$,用 ${\rm diam}\Omega $ 表示集合 $\Omega $ 关于 $d$ 的直径.

定理2.1 ^[18] 若 $\Omega \subset\subset{\Bbb R}^n$ 是相对紧的,则存在 $C_1,C_2>0$ 及 $0＜\lambda＜1$,使得

$ C_1|x-y|\leq d(x,y)\leq C_2|x-y|^\lambda $

对任意 $x,y\in\Omega $ 都成立,其中 $|\cdot|$ 表示通常的欧氏度量.

由此可知恒等映射 $i:({\Bbb R}^n,d)\rightarrow ({\Bbb R}^n,|\cdot|)$ 为同胚映射,进而可知由度量 $d$ 诱导的拓扑与欧氏空间中的拓扑等价. 特别地,两种拓扑下的紧集也是一致的. 此外,欧氏空间中的有界集关于 $d$ 也是有界的,反之则不一定成立. 然而,幸运的是,根据文献[19]中的命题 2.11 知当上述向量场的系数为全局的 Lipschitz 连续函数时,欧氏空间中的有界集等价于它在 $({\Bbb R}^n,d)$ 中有界. 下面我们总是假设向量场 $\{X_1,\cdots,X_m\}$ 满足 Hörmander 条件且具有实全局 Lipschitz 连续系数.

定理2.2 ^{[18, 20]} 若 $\Omega $ 为 ${\Bbb R}^n$ 中的有界开集,则对任意 $x\in\Omega $ 及 $0＜R\leq5{\rm diam}\Omega $,存在 $C_d\geq1$ 使得

$|B(x,2R)|\leq C_d|B(x,R)|.$

(2.1)

这里 $|B(x,R)|$ 表示 $B(x,R)$ 的 Lebesgue 测度. 不等式 (2.1) 中的最佳常数 $C_d$ 称为二重性常数,$Q=\log_2C_d$ 称为 $\Omega $ 的齐次维数. 使得 (2.1) 式成立的测度称为二重性测度.

现在介绍关于向量场 $X=\{X_1,\cdots,X_m\}$ 的 Sobolev 空间. 对于 $1\leq p＜\infty$ 及开集 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$,记

$ W_X^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in L^p(\Omega ):X_ju\in L^p(\Omega ),\ j=1,2,\cdots,m\right\}. $

这里 $X_ju$ 理解为 $u\in L_{loc}^1(\Omega )$ 分布意义下的导数:

$\langle X_ju,\varphi \rangle=\int_\Omega u X_j^*\varphi {\rm d}x,\ \ \varphi \in C_0^\infty(\Omega ),$

其中 $X_j^*=-\sum\limits_{k=1}^{n}\frac{\partial }{\partial x_k}(b_{jk}\cdot)$ 为 $X_j$ 的形式伴随. 对于 $u \in W_X^{1,p}(\Omega )$,定义范数

$\|u\|_{W_X^{1,p}(\Omega )}=\|u\|_{L^{p}(\Omega )}+\|Xu\|_{L^{p}(\Omega )}.$

$W_X^{1,p}(\Omega )$ 赋予如上定义的范数后构成一个 Banach 空间且 $C^\infty(\Omega )\cap W_X^{1,p}(\Omega )$ 为其稠密子集^[21]. $C_0^\infty(\Omega )$ 在 $W_X^{1,p}(\Omega )$ 中的闭包,记作 $W_{X,0}^{1,p}(\Omega )$. C-C 空间中光滑截断函数的存在性见文献[19]. 另外,我们还需用到如下的 Sobolev-Poincar\'{e} 不等式,可参见文献[20-22].

定理2.3 设 $Q$ 为 $\Omega $ 的齐次维数,$B=B(x_0,R)\subset\Omega ,\ 0＜R＜{\rm diam}\Omega ,\ 1\leq p＜\infty$. 若 $u\in W^{1,p}_{X}(B)$,则存在常数 $C>0$ 使得

$ \left(ƒ_B {|u-u_B|^{\kappa p}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{\kappa p}}\leq CR\left(ƒ_B {|Xu|^{p}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}},$

其中 $u_B=ƒ_B u{\rm d}x$ 为 $u$ 在 $B$ 上的积分平均,且当 $1\leq p＜Q$ 时 $1\leq\kappa\leq {Q/(Q-p)}$,当 $p\geq Q$ 时 $1\leq \kappa ＜\infty$. 特别地,若 $u\in W^{1,p}_{X,0}(B)$ 则有

$ \left(ƒ_B {|u|^{\kappa p}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{\kappa p}}\leq CR\left(ƒ_B {|Xu|^{p}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}. $

对于 $f\in L_{loc}^1({\Bbb R}^n)$,定义其 Hardy-Littlewood 极大函数为

$ Mf(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)}|f(y)|{\rm d}y. $

若 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$,$R>0$,定义

$ M_\Omega f(x)=\sup\limits_{r>0}\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)\cap\Omega }|f(y)|{\rm d}y,$

$ M_{\Omega ,R} f(x)=\sup\limits_{R\geq r>0}\frac{1}{|B(x,r)|}\int_{B(x,r)\cap\Omega }|f(y)|{\rm d}y. $

定理2.4 设 $\Omega $ 为 ${\Bbb R}^n$ 中的有界开集. 如果 $f\in L^p(\Omega )$,$1＜p＜\infty$,则 $M_\Omega f\in L^p(\Omega )$,且存在常数 $C=C(C_d,p)>0$ 使得

$ \|M_\Omega f\|_{L^p(\Omega )}\leq C\|f\|_{L^p(\Omega )}. $

定理2.5 设 $\Omega $ 为 ${\Bbb R}^n$ 中的有界开集且 $1＜ p ＜\infty$. 若 $u\in W^{1,p}_{X,loc}(\Omega )$,则存在 $C>0$ 使得对几乎处处 $x,y\in\Omega $,

$|u(x)-u(y)|\leq Cd(x,y)\left(M_{\Omega ,2d}|Xu|(x)+M_{\Omega ,2d}|Xu|(y)\right). $

此外,对任意 $B=B(x_0,R)\subset\Omega $,若 $u\in W^{1,p}_{X}(B)$,则

$|u(x)-u_B|\leq CRM_{B}|Xu|(x),~{\rm a.e.}~x\in B.$

(2.2)

定理 2.5 结合定理 2.3,可得: 若 $u\in W^{1,p}_{X,0}(B)$,则

$|u(x)|\leq CRM_{B}|Xu|(x),~{\rm a.e.}~x\in B.$

(2.3)

我们还需要用到具有二重性的度量空间中的 Muckenhoupt 权的某些性质. 设 $\omega(x)\geq0$ 为一局部可积函数,称 $\omega\in A_p(1＜ p ＜\infty)$,如果存在常数 $C>0$ 使得

$ \sup\limits_{B\subset{\Bbb R}^n}\left(ƒ_B \omega {\rm d}x\right)\left(ƒ_B \omega^{\frac{1}{1-p}} {\rm d}x\right)^{p-1}\leq C＜\infty. $

定理2.6 设 $\omega\in L_{loc}^1({\Bbb R}^n)$ 非负,$1＜ p ＜\infty$,则 $\omega\in A_p$ 的充要条件是,存在常数 $C>0$ 使得

$ \int_{{\Bbb R}^n}|Mf|^p\omega {\rm d}x\leq C\int_{{\Bbb R}^n}|f|^p\omega {\rm d}x,\ \forall f\in L^p(\omega(x){\rm d}x),$

即 $f\rightarrow Mf$ 是 $L^p(\omega(x){\rm d}x)$ 上的有界算子.

关于定理 2.4-2.6 的更多细节可参见文献[20,22].

定义2.1 设 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$ 为有界开集,$K$ 为 $\Omega $ 的紧子集. 对 $1＜p＜\infty$,定义 $K$ 的 $(X,p)$- 容度为

$ {\rm cap}_p(K,\Omega )=\inf\left\{\int_\Omega |Xu|^p{\rm d}x:u\in C_0^{\infty}(\Omega ),\ u=1\ \mbox{于}\ K\right\}. $

$\Omega $ 的任意子集 $E$ 的 $(X,p)$ -容度定义为

$ {\rm cap}_p(E,\Omega )=\inf\limits_{{G\subset\Omega \ \mbox{开}\atop E\subset G}} \sup\limits_{{K\subset G\atop {K~\mbox{紧}}}}{\rm cap_p}(K,\Omega ).$

文献[23]中给出了 $(X,p)$ -容度的下列双边估计: 设 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$ 为有界开集,其齐次维数为 $Q$,则对任意 $1＜p＜\infty$,$x\in\Omega $ 及 $0＜R＜{\rm diam}\Omega $,存在仅依赖于 $Q$ 和 $p$ 的正常数 $C_1$,$C_2$ 使得

$C_1\frac{|B(x,R)|}{R^p}\leq{\rm cap}_p(\bar{B}(x,R),B(x,2R))\leq C_2\frac{|B(x,R)|}{R^p}.$

(2.4)

下述定义是欧氏空间中一致 $p$ -厚概念^[24] 的推广.

定义2.2 称 $E\subset{\Bbb R}^n$ 为一致 $(X,p)$ -厚的,如果存在 $C_0,R_0>0$ 使得对任意 $x\in\partial E$ 及 $0＜R＜R_0$ 均成立

$ {\rm cap}_p(E\cap \bar{B}(x,R),B(x,2R))\geq C_0\ {\rm cap}_p(\bar{B}(x,R),B(x,2R)). $

定理2.7 ^[15] 设 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$ 为有界区域. 若 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 是一致 $(X,p)$ -厚的,则存在 $1＜q＜p$ 使得 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 是一致 $(X,q)$ -厚的.

现在我们再证明如下性质也成立.

引理2.1 设 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$ 为有界区域. 若 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 是一致 $(X,q)$ -厚的,则对任意 $p\geq q$,${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 也是一致 $(X,p)$ -厚的.

证 固定 $x_0\in\partial \Omega $ 及 $0＜R＜R_0$,其中 $R_0$ 为定义 2.2 中的常数. 记 $B=B(x_0,R)$. 由 (2.4) 式可得

${\rm cap}_p(\bar{B},2B)\leq C|B|R^{-p}=C|B|R^{q-p}R^{-q}\leq C R^{q-p}{\rm cap}_q(\bar{B},2B).$

(2.5)

取 $\varphi \in C_0^\infty(2B)$ 使得 $\varphi =1$ 于 $({\Bbb R}^n\backslash\Omega )\cap\bar{B}$. 利用 Hölder 不等式及二重性条件,我们有

${\rm cap}_q(({\Bbb R}^n\backslash\Omega )\cap\bar{B},2B) \leq \int_{2B} |X\varphi |^q{\rm d}x \leq|2B|^{1-\frac{q}{p}}\left(\int_{2B} |X\varphi |^p{\rm d}x\right)^{\frac{q}{p}}\\ \leq C|B|^{1-\frac{q}{p}}\left(\int_{2B} |X\varphi |^p{\rm d}x\right)^{\frac{q}{p}}.$

(2.6)

由于 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 为一致 $(X,q)$ -厚的,所以由 (2.5) 和 (2.6)式可得

${\rm cap}_p(\bar{B},2B) \leq C R^{q-p}{\rm cap}_q(\bar{B},2B)\leq CC_0^{-1}R^{q-p}{\rm cap}_q(({\Bbb R}^n\backslash\Omega )\cap\bar{B},2B) \\ \leq CR^{q-p}|B|^{1-\frac{q}{p}}\left(\int_{2B} |X\varphi |^p{\rm d}x\right)^{\frac{q}{p}}.$

利用 Young 不等式和 (2.4)式,有

${\rm cap}_p(\bar{B},2B)\leq \varepsilon |B| R^{-p}+C\int_{2B} |X\varphi |^p{\rm d}x\leq \varepsilon C{\rm cap}_p(\bar{B},2B)+C\int_{2B} |X\varphi |^p{\rm d}x.$

取 $\varepsilon >0$ 充分小并对 $\varphi $ 取下确界即得所需结论.

下面证明一个由容度刻画的 Sobolev 型不等式,它是文献[8]中相应不等式的推广.

引理2.2 设 $\Omega \subset{\Bbb R}^n$ 为有界开集,其齐次维数为 $Q$. 对任意 $x\in\Omega $,$1＜q＜\infty$ 及 $0＜R＜{\rm diam}\Omega $,令 $B=B(x,R)$,$N(\varphi )=\{x\in\bar{B}:\varphi (x)=0\}$. 则存在 $C=C(Q,q)>0$ 使得对任意 $\varphi \in C^\infty(2B)$ 有

$\left(ƒ_{2B} {|\varphi |^{\kappa q}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{\kappa q}}\leq C\left(\frac{1}{{\rm cap}_q(N(\varphi ),2B)}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{q}},$

(2.7)

其中若 $1\leq q＜Q$,则 $1\leq\kappa\leq {Q/(Q-q)}$; 若 $q\geq Q$,则$1\leq \kappa ＜\infty$.

证 首先,我们假设 $\varphi _{2B}\neq 0$; 否则由定理 2.3 即得 (2.7)式. 设 $\eta\in C_0^\infty(2B),\ 0\leq\eta\leq1$ 且满足 $\eta=1$ 于 $\bar{B}$,$|X\eta|\leq\frac{c}{R}$. 记 $v=\eta(\varphi _{2B}-\varphi )/\varphi _{2B}$,从而 $v\in C_0^\infty(2B)$ 且 $v=1$ 于 $N(\varphi )$. 利用定理 2.3 有

${\rm cap}_q(N(\varphi ),2B) \leq \int_{2B}|Xv|^{q}{\rm d}x\\ \leq |\varphi _{2B}|^{-q}\int_{2B}|X\eta|^{q}|\varphi -\varphi _{2B}|^q{\rm d}x+|\varphi _{2B}|^{-q}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x\\ \leq C |\varphi _{2B}|^{-q}R^{-q}\int_{2B}|\varphi -\varphi _{2B}|^q{\rm d}x+|\varphi _{2B}|^{-q}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x\\ \leq C|\varphi _{2B}|^{-q}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x,$

进而

$|\varphi _{2B}|\leq C\left(\frac{1}{{\rm cap}_q(N(\varphi ),2B)}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{q}}.$

(2.8)

由 (2.8)式和定理 2.3 可得

$\left(ƒ_{2B} {|\varphi |^{\kappa q}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{\kappa q}} \leq \left(ƒ_{2B} {|\varphi -\varphi _{2B}|^{\kappa q}}{\rm d}x\right)^{\frac{1} {\kappa q}}+|\varphi _{2B}|\\ \leq CR\left(ƒ_{2B} {|X\varphi |^{q}}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{q}}+C\left(\frac{1}{{\rm cap}_q(N(\varphi ),2B)}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{q}}\\ \leq C\left(\frac{1}{{\rm cap}_q(N(\varphi ),2B)}\int_{2B}|X\varphi |^{q}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{q}}.$

其中最后一个不等式用到了估计

${\rm cap}_q(N(\varphi ),2B)\leq{\rm cap}_q(\bar{B},2B)\leq C|B|R^{-q}.$

引理 2.2 得证.

在本节最后,回忆度量空间 $(Y,d,\mu)$ (其中 $d$ 为度量,$\mu$ 为二重性测度) 上的 Gehring 引理.

定理2.8 ^[14] 设 $q\in[q_0,2Q]$,$q_0>1$. 非负函数 $f,g$ 满足 $g\in L_{loc}^q(Y,\mu)$,$f\in L_{loc}^{r_0}(Y,\mu)$,$r_0>q$. 设存在 $b>1$ 及 $\theta$ 使得对任意球 $B\subset\sigma B\subset Y$ ,都有

$ƒ_{B}g^q{\rm d}\mu\leq b\left[\left(ƒ_{\sigma B}g{\rm d}\mu\right)^{q}+ƒ_{\sigma B}f^q{\rm d}\mu\right]+\thetaƒ_{\sigma B}g^q{\rm d}\mu,$

则存在非负常数 $\theta_0=\theta_0(q_0,Q,C_d,\sigma)$ 和 $\varepsilon _0=\varepsilon _0(b,q_0,Q,C_d,\sigma)$ 使得若 $0＜\theta＜\theta_0$,则对任意的 $p\in[q,q+\varepsilon _0)$ 都有 $g\in L_{loc}^p(Y,\mu)$.

下面我们分四步来证明定理 1.1.

第一步 构造合适的试验函数. 设 $B=B(x_0,R)$,$R\leq1$ 使得 $3B\subset\Omega $,$r=p-\delta $,$0＜\delta ＜\frac{1}{2}$. 令 $\eta$ 为 $2B$ 上的截断函数,即 $\eta\in C_0^\infty(2B)$,满足

$0\leq\eta\leq1,~\eta=1~\mbox{于} B,|X\eta|\leq\frac{c}{R}.$

对方程 (1.1) ${\cal K}_{\psi,u_0}^r$ -障碍问题的很弱解 $u$,定义

$ w=u-u_{2B}-\eta\left(u-u_{2B}-(\psi-\psi_{2B})\right),$

$ v=w-(u-u_{2B})=-\eta\left(u-u_{2B}-\left(\psi-\psi_{2B}\right)\right):=-\tilde{u}. $

由文献[14]中引理 4.1 可知函数 $(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }$ 为一个 $A_p$ 权. 此外有 $w\in{\cal K}_{\psi-u_{2B},u_0-u_{2B}}^{p-\delta }$. 事实上,由于 $u_{2B}\geq\psi_{2B}$,于是

$ w=(1-\eta)(u-u_{2B})+\eta(\psi-\psi_{2B}) \geq (1-\eta)(\psi-u_{2B})+\eta(\psi-u_{2B}) =\psi-u_{2B}\ \ {\rm a.e.}\ \Omega . $

因此 $v(x)\geq\psi(x)-u(x)$ a.e. $x\in\Omega $.

对 $\lambda>0$ 定义

$ E_\lambda=\{x\in{\Bbb R}^n:M|X\tilde{u}|(x)\leq\lambda\}. $

由定理 2.5 可知 $v$ 是 $E_\lambda$ 上的 Lipschitz 连续函数且 Lipschitz 常数为 $c\lambda$. 利用 Kirszbraun 定理^{[14, 25]} 可将 $v$ 延拓为 ${\Bbb R}^n$ 上的Lipschitz连续函数

$ v_\lambda(x) =\inf\limits_{a \in {E_\lambda }}\left\{v(x)+\lambda d(x,a)\right\} $

且满足 $v_\lambda(x)\geq\psi(x)-u(x)$ a.e.,其 Lipschitz 常数仍为 $c\lambda$. 我们还断言存在 $\lambda_0$ 使得对任意 $\lambda\geq\lambda_0$,$v_\lambda$ 有紧支集含于 $3B$. 事实上,对任意 $x\in{\Bbb R}^n\backslash3B$,由 ${\rm supp}\tilde{u}\subset2B$ 及二重性条件可知

$\label{step1-5} M|X\tilde{u}|(x)=\sup\limits_{B'\ni x,B'\cap2B\neq\emptyset}ƒ_{B'}|X\tilde{u}|(y){\rm d}y\leq\frac{1}{|B|}\int_{2B}|X\tilde{u}|(y){\rm d}y\leq C_dƒ_{2B}|X\tilde{u}|(y){\rm d}y,$

其中 $|B'|>|B|$,$C_d$ 为二重性常数. 取 $ \lambda_0:=C_dƒ_{2B}|X\tilde{u}|(y){\rm d}y$,则

$M|X\tilde{u}|(x)\leq\lambda,\ \lambda\geq\lambda_0.$

上式意味着 $v_\lambda(x)=v(x)=0$,$x\in{\Bbb R}^n\backslash3B$,即 ${\rm supp}v_\lambda\subset3B$. 因此我们可取 $v_\lambda$ 作为 (1.5)式中的试验函数.

第二步 令 $\lambda\geq\lambda_0$,在 (1.5) 式中取 $v_\lambda$ 作为试验函数即得

$\int_{3B \cap {E_\lambda }} \,A(x,u,Xu) \cdot X{v_\lambda }{\rm d}x + \int_{3B \cap {E_\lambda }} \,B(x,u,Xu){v_\lambda }{\rm d}x\\ + \int_{3B\backslash {E_\lambda }} \,A(x,u,Xu) \cdot X{v_\lambda }{\rm d}x + \int_{3B\backslash {E_\lambda }} \,B(x,u,Xu){v_\lambda }{\rm d}x \ge 0.$

(3.1)

由于在 $3B\cap E_\lambda$ 上,$v_\lambda=v=-\tilde{u}$ 且 ${\rm supp}\tilde{u}\subset2B$,从而利用函数 $A(x,u,\xi)$,$B(x,u,\xi)$ 的增长条件,并注意到 $|Xv_\lambda|\leq c\lambda$,$|v_\lambda|\leq cR\lambda$ (见文献[14]),可知

$\int_{2B\cap E_\lambda} A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u} {\rm d}x+\int_{2B\cap E_\lambda} B(x,u,Xu)\tilde{u}\\ \leq \int_{3B\backslash E_\lambda} |A(x,u,Xu)||Xv_\lambda| {\rm d}x+\int_{3B\backslash E_\lambda} |B(x,u,Xu)||v_\lambda|{\rm d}x\\ \leq c\lambda\int_{3B\backslash E_\lambda}\left(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|\right){\rm d}x.$

(3.2)

对 (3.2) 式两端乘以 $\lambda^{-(1+\delta )}$ 并在 $(\lambda_0,+\infty)$ 上积分可得

$L:=\int_{\lambda_0}^{\infty}\int_{2B\cap E_\lambda}{\lambda}^{-(1+\delta )}(A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u}+B(x,u,Xu)\tilde{u}){\rm d}x{\rm d}\lambda \\ \leq c\int_{\lambda_0}^{\infty}\int_{3B\backslash E_\lambda}\lambda^{-\delta }\left(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|\right){\rm d}x{\rm d}\lambda:=P.$

(3.3)

首先估计 $P$. 由定理 2.3 可得

$\int_{2B}|X\tilde{u}|^{p-\delta }{\rm d}x \leq \int_{2B}|X(u-\psi)|^{p-\delta }{\rm d}x+\frac{c}{R^{p-\delta }}\int_{2B}|(u-\psi)-(u-\psi)_{2B}|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{2B}|X(u-\psi)|^{p-\delta }{\rm d}x\leq c\int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(3.4)

对上式交换积分次序并利用 Young 不等式及定理 2.4 可得

$P=c\int_{\lambda_0}^{\infty}\int_{3B}\lambda^{-\delta }\left(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|\right)\chi_{\{M|X\tilde{u}|(x)>\lambda\}}{\rm d}x{\rm d}\lambda\\ =c\int_{3B} \int_{{\lambda _0}}^{M|X\tilde u|} {{\lambda ^{ - \delta }}{\rm d}\lambda \,\left( {|u{|^{p - 1}} + |Xu{|^{p - 1}} + |{\varphi _1}| + |{\varphi _2}|} \right){\rm d}x}\\ \leq \frac{c}{1-\delta }\int_{3B\backslash E_{\lambda_0}}(M|X\tilde{u}|)^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|){\rm d}x \\ \leq c\int_{3B}|X\tilde{u}|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{3B}|u|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{3B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{3B}\left(|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1} +|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x\\ \leq c\int_{3B}|u|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{3B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{3B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{3B}\left(|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1} +|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x.$

(3.5)

下面估计 $L$. 同样地,交换积分顺序有

$L =\int_{{\lambda _0}}^\infty \int_{2B}{\lambda ^{ - (1 + \delta )}}(A(x,u,Xu) \cdot X\tilde u + B(x,u,Xu)\tilde u)\chi_{\{M|X\tilde{u}|(x) \leq \lambda\}}{\rm d}x{\rm d}\lambda\\ =\frac{1}{\delta }\int_{2B\backslash {E_{{\lambda _0}}}} \,{(M|X\tilde u|)^{ - \delta }}(A(x,u,Xu) \cdot X\tilde u + B(x,u,Xu)\tilde u){\rm d}x\\ +\frac{1}{\delta }\int_{2B \cap {E_{{\lambda _0}}}} \,\lambda _0^{ - \delta }(A(x,u,Xu) \cdot X\tilde u + B(x,u,Xu)\tilde u){\rm d}x.\\ =\frac{1}{\delta }\int_{2B}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u}{\rm d}x-\frac{1}{\delta }\int_{2B\cap E_{\lambda_0}}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u}{\rm d}x\\ +\frac{1}{\delta }\int_{2B\backslash E_{\lambda_0}} (M|X\tilde{u}|)^{-\delta }B(x,u,Xu)\tilde{u}{\rm d}x\\ +\frac{1}{\delta }\int_{2B\cap E_{\lambda_0}}\lambda_0^{-\delta }(A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u}+B(x,u,Xu)\tilde{u}){\rm d}x.$

由于在 $E_{\lambda_0}$ 上 ${\lambda_0}^{-\delta }\leq(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }$,于是由 $A(x,u,\xi)$ 和 $B(x,u,\xi)$ 的结构性条件知

$L\ge \frac{1}{\delta }\int_{2B}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u}{\rm d}x\\ -\frac{2\alpha }{\delta }\int_{2B\cap E_{\lambda_0}}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\tilde{u}|{\rm d}x\\ -\frac{\alpha }{\delta }\int_{2B}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _2|)|\tilde{u}|{\rm d}x\\ := \frac{1}{\delta }(I_1-2\alpha I_2-\alpha I_3).$

(3.6)

第三步 下面我们逐一估计 (3.6)式右端 $I_1,I_2$ 和 $I_3$.

$I_1$ 的估计. 定义集合

$D_1=\{x\in2B\backslash B:M|X\tilde{u}|\leq\delta (M_{2B}|X{u}-X\psi|)\}$

和

$D_2=\{x\in2B\backslash B:M|X\tilde{u}|>\delta (M_{2B}|X{u}-X\psi|)\}.$

于是

$I_1=\int_{B\cup {D_2}}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }[A(x,u,Xu)-A(x,\psi,X\psi)]\cdot \eta(Xu-X\psi){\rm d}x\\ +\int_{B\cup {D_2}}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }A(x,\psi,X\psi)\cdot \eta(Xu-X\psi){\rm d}x\\ +\int_{D_2}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }A(x,u,Xu)\cdot X\eta((u-\psi)-(u-\psi)_{2B}){\rm d}x\\ +\int_{D_1}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }A(x,u,Xu)\cdot X\tilde{u}{\rm d}x.$

利用 (1.4)式,(1.2)式及 $|X\tilde u|\leq M|X\tilde u|$ a.e.,有

$I_1\ge \beta\int_{B}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }|Xu-X\psi|^p{\rm d}x-\alpha \int_{B}|X\tilde{u}|^{-\delta }(|\psi|^{p-1}+|X\psi|^{p-1}+|\varphi _1|)|Xu-X\psi|{\rm d}x\\ -\alpha \int_{D_2}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }(|\psi|^{p-1}+|X\psi|^{p-1}+|\varphi _1|)|Xu-X\psi|{\rm d}x\\ -\frac{c\alpha }{R}\int_{D_2}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|u-\psi-(u-\psi)_{2B}|{\rm d}x\\ -\alpha \int_{D_1}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\tilde{u}|{\rm d}x\\ := I_{11}-I_{12}-I_{13}-I_{14}-I_{15}.$

(3.7)

下面逐一估计 $I_{11}-I_{15}$.

由于 $\omega=(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }$ 为 $A_p$ 权,于是由定理 2.6 得

$ I_{11}\geq c\beta\int_{B}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }(M_B|Xu-X\psi|)^p{\rm d}x. $

注意到若 $x\in\frac{1}{2}B$,则由二重性条件和定理 2.3 我们有

$M|X\tilde{u}|(x) \leq \sup\limits_{B'\ni x,B'\subset B}ƒ_{B'}|X\tilde{u}|{\rm d}y+\sup\limits_{B'\ni x,B'\cap\partial B\neq\emptyset}ƒ_{B'}|X\tilde{u}|{\rm d}y\\ \leq M_{B}|X(u-\psi)|+cƒ_{2B}|Xu-X\psi|{\rm d}x+\frac{c}{R}ƒ_{2B}|u-\psi-(u-\psi)_{2B}|{\rm d}x\\ \leq M_{B}|X(u-\psi)|+cƒ_{2B}|Xu-X\psi|{\rm d}x.$

(3.8)

记

$G=\left\{x\in\frac{1}{2}B:M_{B}|X(u-\psi)|\geq cƒ_{2B}|Xu-X\psi|{\rm d}x\right\},$

则在 ${\frac{B}{2}\backslash G}$ 上

${\left(M_B|X(u - \psi )|\right)^{p-\delta }＜c\left(ƒ_{2B}|Xu-X\psi|{\rm d}x\right)^{p -\delta }}.$

(3.9)

另一方面,由 (3.8) 式可知,在 $G$ 上 $M|X\tilde{u}|\leq cM_{B}|X(u-\psi)|$. 进而

$I_{11} \ge c\int_{G}(M_B|Xu-X\psi|)^{-\delta }(M_B|Xu-X\psi|)^p{\rm d}x\\ \ge c\int_{\frac{B}{2}}|Xu-X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{\frac{B}{2}\backslash G}{\rm d}x\left(ƒ_{2B}|Xu-X\psi|{\rm d}x\right)^{p-\delta } \\ \ge c\int_{\frac{B}{2}}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{\frac{B}{2}}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x-c|B|\left(ƒ_{2B}|Xu-X\psi|^t {\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}\\ \ge c\int_{\frac{B}{2}}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x-c|B|\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}},$

(3.10)

其中 $\max\left\{1,(p-\delta )_*\right\}＜t＜p-\delta $,$(p-\delta )_*=\frac{(p-\delta )Q}{p-\delta +Q}$. 由于在 $B$ 上 $X\tilde{u}=X(u-\psi)$,于是

$I_{12} \leq c \int_{2B}\left(|\psi|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x +c\varepsilon \int_{2B}|Xu-X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c \int_{2B}|\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{2B}|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}{\rm d}x+c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(3.11)

根据 $D_2$ 的定义并利用带 $\varepsilon $ 的 Young 不等式及定理 2.4,我们有

$I_{13} \leq c\delta ^{-\delta }\int_{2B}(M_{2B}|Xu-X\psi|)^{1-\delta }(|\psi|^{p-1}+|X\psi|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c \int_{2B}\left(|\psi|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x +c\varepsilon \int_{2B}|Xu-X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c \int_{2B}|\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{2B}|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}{\rm d}x+c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(3.12)

利用定理 2.5,定理 2.3 和 Young 不等式可得

$I_{14} \leq \frac{c\delta ^{-\delta }}{R}\int_{2B}(M_{2B}|Xu-X\psi|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|u-\psi-(u-\psi)_{2B}|{\rm d}x\\ \leq c\delta ^{-\delta }\int_{2B}(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)\left|\frac{u-\psi-(u-\psi)_{2B}}{R}\right|^{1 -\delta }{\rm d}x\\ \leq c \int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x +c_\varepsilon \int_{2B} \left|\frac{u-\psi-(u-\psi)_{2B}}{R}\right|^{p -\delta }{\rm d}x\\ \leq c \int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x \\ +c_\varepsilon |2B|\left(ƒ_{2B}|X(u-\psi)|^{(p-\delta )_*} {\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{(p - \delta )_*}}\\ \leq c \int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x \\ +c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x +c_\varepsilon |2B|\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}.$

(3.13)

根据 $D_1$ 的定义和定理 2.4,有

$I_{15} \leq \alpha \int_{D_1}(M|X\tilde{u}|)^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c\delta ^{1-\delta }\int_{2B}(M_{2B}|Xu-X\psi|)^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c\delta ^{1-\delta }\left[\int_{2B}|Xu-X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x +\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|Xu|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x\right]\\ \leq c\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\delta ^{1-\delta }\int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(3.14)

将 (3.10)-(3.14)式代入 (3.7) 式便得

$I_{1} \ge c\int_{\frac{B}{2}}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\psi|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta } +|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x\\ -c(\varepsilon +\delta ^{1-\delta })\int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c|2B|\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}.$

(3.15)

$I_2$ 的估计. 由 (3.4) 式知

${I_2} \leq \int_{2B}(|u|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\tilde{u}|^{1-\delta }{\rm d}x +\int_{2B\cap E_{\lambda_0}}(M|X\tilde{u}|)^{-\delta }|Xu|^{p-1}|X\tilde{u}|{\rm d}x\\ \leq c\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\int_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ +\int_{2B\cap E_{\lambda_0}}|Xu|^{p-1}(M|X\tilde{u}|)^{1-\delta }{\rm d}x.$

(3.16)

下面估计 (3.16)式右端最后一项. 为此,首先选取 $\tau $ 满足 $0＜\tau＜\frac{1}{2}$ 并假设 $x\in2B\cap E_{\lambda_0}$. 若 $|Xu|\geq\tau^{-1}\lambda_0$,则 $M|X\tilde{u}|\leq\lambda_0\leq\tau|Xu|$,进而

$|Xu|^{p-1}(M|X\tilde{u}|)^{1-\delta }\leq|Xu|^{p-1}(\tau |Xu|)^{1-\delta }=\tau^{1-\delta }|Xu|^{p-\delta }.$

(3.17)

另一方面,若 $|Xu|＜\tau^{-1}\lambda_0$,则

$|Xu|^{p-1}(M|X\tilde{u}|)^{1-\delta }\leq(\tau^{-1}{\lambda _0})^{p-1}{\lambda _0}^{1-\delta }=\tau^{1-p}\lambda_0^{p-\delta }.$

(3.18)

综合 (3.17) 和 (3.18) 式可知对任意 $x\in2B\cap E_{\lambda_0}$ 总有

$|Xu|^{p-1}(M|X\tilde{u}|)^{1-\delta }\leq c\left(\tau^{1-\delta }|Xu|^{p-\delta }+\tau^{1-p}\lambda_0^{p-\delta }\right).$

(3.19)

由于 $ \lambda_0=C_dƒ_{2B}|X\tilde{u}|{\rm d}x$ 及

$ |X\tilde{u}|\leq|X(u-\psi)|+\frac{c}{R}|u-\psi-(u-\psi)_{2B}|\leq|X(u-\psi)|+cM_{2B}|X(u-\psi)|,$

进而由定理 2.4 知

$\tau^{1-p}\lambda_0^{p-\delta } \leq c\tau^{1-p}\left(ƒ_{2B}M_{2B}|Xu-X\psi|{\rm d}x\right)^{p-\delta }\\ \leq c\tau^{1-p}\left(ƒ_{2B}\left(M_{2B}|Xu-X\psi|\right)^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}\\ \leq c\tau^{1-p}\left(ƒ_{2B}|Xu-X\psi|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}\\ \leq cƒ_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c\tau^{1-p}\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}.$

(3.20)

于是由 (3.19) 和 (3.20)式,有

$I_2 \leq c\int_{2B}|u|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{2B}|X\psi|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{2B}|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}{\rm d}x\\ +c\left(\varepsilon +\tau^{1-\delta }\right)\int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x +c\tau^{1-p}|2B|\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}.$

(3.21)

最后估计 $I_3$. 利用 $\tilde u\in W_{X,0}^{1,p-\delta }(2B)$ 及 (2.3)式,可知

${(M|X\tilde u|)^{ - \delta }} \le c|\tilde u{|^{ - \delta }},~\mbox{a.e.}~2B.$

故由定理 2.3,

$I_3 \leq c\int_{2B}(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _2|)|\tilde{u}|^{1-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x +c\int_{2B}|u-\psi-(u-\psi)_{2B}|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}+|X\psi|^{p-\delta }\right){\rm d}x \\ +c\varepsilon \int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c|2B|\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}.$

(3.22)

第四步 将 (3.15),(3.21) 和 (3.22)式代入 (3.6)式并利用 (3.3) 和 (3.5)式,可得

$c\int_{\frac{B}{2}}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{2B}\left(|u|^{p-\delta }+|\psi|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta } +|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}+|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x\\ -c\left(\delta ^{1-\delta }+\varepsilon +\tau^{1-\delta }\right)\int_{2B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x -c\tau^{1-p}|2B|\left(ƒ_{2B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}\\ \leq c\delta \left[\int_{3B}\left(|u|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta } +|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}+|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\int_{3B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\right].$

令 $\varepsilon =\tau^{1-\delta }$ 便有

$ƒ_{\frac{B}{2}}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\left(\delta ^{1-\delta }+\delta +\tau^{1-\delta }\right)ƒ_{3B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ +c\tau^{1-p}\left[ƒ_{3B}\left(|u|^{p-\delta }+|\psi|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta } +|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}+|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+\left(ƒ_{3B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}\right].$

记

$g=|Xu|^t,\ \ f=\left(|u|+|\psi|+|X\psi|+|\varphi _1|^\frac{1}{p-1}+|\varphi _2|^\frac{1}{p-1}\right)^t,$

及

$ \theta=c\left(\delta ^{1-\delta }+\delta +\tau^{1-\delta }\right),\ \ b=c\tau^{1-p},\ \ q=\frac{p-\delta }{t}. $

由 $\psi\in W_X^{1,s}$,$\varphi _1,\varphi _2\in L^{\frac{s}{p-1}}(s>p)$ 及定理 2.3 可知 $f\in L^{r_0}(r_0>q)$. 选取 $\delta ,\ \tau$ 充分小,继而由定理 2.8 可知存在 $\varepsilon '>0$ 使得 $|Xu|\in L_{loc}^{p-\delta +\varepsilon '}(\Omega )$.

记 ${r_1} = p - \delta + \varepsilon '$,则 ${r_1} > p - \delta $ 且 $Xu \in L_{loc}^{{r_1}}(\Omega )$. 又由 $u \in W_{X,loc}^{1,p - \delta }(\Omega )$ 可知 $u \in L_{loc}^{{r_2}}(\Omega )$,$r_2> p - \delta $. 取 $\gamma = \min \{ {r_1},{r_2}\}$,于是 $u \in W_{X,loc}^{1,\gamma }(\Omega )$. 若 $\gamma>p$,则 $u \in W_{X,loc}^{1,p + \tilde \delta }(\Omega )$,$\tilde \delta =\gamma-p$; 若 $\gamma\leq p$,重复以上过程即得所需结论. 这样就完成了定理 1.1 的证明.

为得到定理 1.2,首先讨论障碍问题的弱解.

定理4.1 设 $u_1$,$u_2$ 为方程 (1.1) ${\cal K}_{\psi,u_0}^{p}$ -障碍问题的弱解,则对任意 $\phi \in C_0^\infty(\Omega )$,存在正常数 $c = c(p,\alpha ,\beta )>0$ 使得

$\left\| {\phi X({u_1} - {u_2})} \right\|_p^p \leq c\left\| {({u_1} - {u_2})X\phi } \right\|_p^2\left( {\left\| {\phi X{u_1}} \right\|_p^{p - 2} + \left\| {\phi X{u_2}} \right\|_p^{p - 2}} \right)\\ +c\|\phi(u_1-u_2)\|_p\left( \|u_1\|_{1,p}^{p-1}+\|u_2\|_{1,p}^{p-1} + \|\phi\varphi _2^{\frac{1}{p-1}}\|_p^{p-1} \right).$

(4.1)

证 设 ${\eta _1} = - {\phi ^p}({u_1} - {u_2})$,$\phi \in C_0^\infty (\Omega )$. 因为 $u_1$,$u_2$ 为弱解,故

$ u_1+\eta _1 =u_1-\phi ^pu_1+\phi ^pu_2\geq (1-\phi^p)\psi+\phi ^p\psi\geq\psi,$

于是取 $\eta_1=-\phi^p(u_1-u_2)$ 作为 (1.5)式($r=p$) 中的试验函数可得

$\int_\Omega A(x,{u_1},X{u_1}) \cdot X({\phi ^p}({u_1} - {u_2})){\rm d}x + \int_\Omega B(x,{u_1},X{u_1}){\phi ^p}({u_1} - {u_2}){\rm d}x\leq0.$

(4.2)

同理在 (1.5)式($r=p$) 中取试验函数 $\eta _2=\phi ^p(u_1-u_2)$ 可得

$-\int_\Omega A(x,{u_2},X{u_2}) \cdot X({\phi ^p}({u_1}-{u_2})){\rm d}x-\int_\Omega B(x,{u_2},X{u_2}){\phi ^p}({u_1}-{u_2}){\rm d}x\leq0.$

(4.3)

将 (4.2)与 (4.3)式相加,有

$ \int_\Omega {\phi ^p}\,\left\langle {A(x,{u_1},X{u_1}) - A(x,{u_2},X{u_2}),X{u_1} - X{u_2}} \right\rangle {\rm d}x\\ \leq - p\int_\Omega \,{\phi ^{p - 1}}({u_1} - {u_2})\left\langle {A(x,{u_1},X{u_1}) - A(x,{u_2},X{u_2}),X\phi } \right\rangle {\rm d}x\\ - \int_\Omega \left( {B(x,{u_1},X{u_1}) - B(x,{u_2},X{u_2})} \right){\phi ^p}({u_1} - {u_2}){\rm d}x.$

(4.4)

利用条件 (1.2)-(1.4) 和 (1.8) 式可得

$ \beta\int_\Omega |\phi {|^p}|X{u_1} - X{u_2}{|^2}{\left( {|X{u_1}| + |X{u_2}|} \right)^{p - 2}}{\rm d}x\\ \leq p\alpha \int_\Omega \,|\phi {|^{p - 1}}|{u_1} - {u_2}||X\phi ||X{u_1} - X{u_2}|{\left( {|X{u_1}| + |X{u_2}|} \right)^{p - 2}}{\rm d}x\\ +2\alpha \int_\Omega |\phi {|^p}|{u_1} - {u_2}|\left( |{u_1}{|^{p - 1}} + |{u_2}{|^{p - 1}} + |X{u_1}{|^{p - 1}} + |X{u_2}|^{p - 1}+|\varphi _2| \right){\rm d}x \\ := J_1+J_2.$

(4.5)

应用 Young 和 Hölder 不等式

$J_1 \leq p\alpha \varepsilon \int_\Omega |\phi{|^p}|X{u_1} - X{u_2}{|^2}{\left( {|X{u_1}| + |X{u_2}|} \right)^{p - 2}}{\rm d}x\\ + \frac{{p\alpha c}}{\varepsilon }\int_\Omega |\phi {|^{p - 2}}|{u_1} - {u_2}{|^2}|X\phi {|^2}{\left( {|X{u_1}| + |X{u_2}|} \right)^{p - 2}}{\rm d}x\\ \leq p\alpha \varepsilon \int_\Omega |\phi {|^p}|X{u_1} - X{u_2}{|^2}{\left( {|X{u_1}| + |X{u_2}|} \right)^{p - 2}}{\rm d}x\\ + \frac{{p\alpha c}}{\varepsilon }\|(u_1 -u_2)X\phi\|_p^2\left(\|\phi X{u_1}\|_p^{p-2}+\|\phi Xu_2\|_p^{p-2}\right),$

(4.6)

其中可取 $\varepsilon $ 充分小,使得 $\beta-p\alpha \varepsilon >0$.

对于 $J_2$ 我们有

$J_2 \leq c{\left( {\int_\Omega |\phi \left( {{u_1} - {u_2}} \right){|^p}{\rm d}x} \right)^{\frac{1}{p}}}{\left( {\int_\Omega \left( {|\phi {u_1}{|^p} + |\phi {u_2}{|^p} + |\phi X{u_1}{|^p} + |\phi X{u_2}{|^p} + |{\phi ^p}\varphi _2^{\frac{p}{{p - 1}}}|} \right){\rm d}x} \right)^{\frac{{p - 1}}{p}}}\\ \leq c\|\phi(u_1-u_2)\|_p\left(\|u_1\|_{1,p}^{p-1}+\|u_2\|_{1,p}^{p-1}+\|\phi\varphi _2^{\frac{1}{p-1}}\|_p^{p-1} \right).$

(4.7)

联合 (4.5)-(4.7)式可得

$\|\phi X(u_1-u_2)\|_p^p \leq \frac{p\alpha c}{\varepsilon (\beta- p\alpha \varepsilon )}\left\|(u_1-u_2)X\phi\right\|_p^2+\left(\|\phi Xu_1\|_p^{p-2}+\|\phi Xu_2\|_p^{p-2}\right)\\ +\frac{c}{\beta- p\alpha \varepsilon }\|\phi(u_1-u_2)\|_p\left(\|u_1\|_{1,p}^{p-1}+\|u_2\|_{1,p}^{p-1}+\|\phi\varphi _2^{\frac{1}{p-1}}\|_p^{p - 1}\right),$

这样就得到了所需结论.

定理4.2 设 $u$ 为方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{p}$ -障碍问题的弱解,则对任意 $\phi\in C_0^\infty(\Omega )$,$u$ 满足 Caccioppoli 型不等式

${\left\| {\phi Xu} \right\|_p} \leq c{\left\| {\phi u} \right\|_p} + c{\left\| {uX\phi } \right\|_p} + c{\left\| {\phi \psi } \right\|_p} + c{\left\| {\psi X\phi } \right\|_p}\\ + c{\left\| {\phi X\psi } \right\|_p}+c{\| {\phi \varphi _1^{\frac{1}{{p - 1}}}}\|_p} + c{\| {\phi \varphi _2^{\frac{1}{{p - 1}}}}\|_p},$

(4.8)

其中 $c=c(p,\alpha ,\beta)>0$.

证 取 $\eta=-\phi^p(u-\psi)$ 作为 (1.5) 式中的试验函数,有

$\int_\Omega {\phi ^p}\,A(x,u,Xu)\cdot Xu{\rm d}x \\ \leq \int_\Omega {\phi ^p}\,A(x,u,Xu)\cdot X\psi {\rm d}x -p\int_\Omega {\phi^{p - 1}}(u - \psi )\,A(x,u,Xu) \cdot X\phi {\rm d}x\\ -\int_\Omega B(x,u,Xu){\phi ^p}(u - \psi ){\rm d}x.$

利用 $A(x,u,\xi)$,$B(x,u,\xi)$ 的结构条件及 Young 不等式可得

$\beta\int_\Omega |{\phi ^p}||Xu{|^p}{\rm d}x \leq \alpha \int_\Omega \left({|\phi u{|^p} + \varepsilon |\phi Xu{|^p} + |\phi \varphi _1^{1/p - 1}{|^p} + {C_\varepsilon }|\phi X\psi {|^p}} \right){\rm d}x \\ + p\alpha \int_\Omega \left( {|\phi u{|^p} + \varepsilon |\phi Xu{|^p} + |\phi \varphi _1^{1/p - 1}{|^p} + {C_\varepsilon }|\left( {u - \psi } \right)X\phi {|^p}} \right){\rm d}x \\ +\alpha \int_\Omega \left( {|\phi u{|^p} + \varepsilon |\phi Xu{|^p} + |\phi \varphi _2^{1/p - 1}{|^p} + {C_\varepsilon }|\left( {u - \psi } \right)\phi {|^p}} \right){\rm d}x.$

取 $\varepsilon $ 充分小使得 $\beta-3p\alpha \varepsilon >0$ 即得 (4.8)式.

综合定理 4.1 和定理 4.2 便有:

定理4.3 设 $U$ 为 $\Omega $ 的紧子集,若 $\left\{ u_i \right\}_{i \in \mathbf{N}^*}(u_i\subset W_{X,loc}^{1,p}(\Omega ))$ 为方程 (1.1) 的 ${\cal K}_{\psi,u_0}^{p}$ 障碍问题的一族弱解且在 $L^p(\Omega )$ 中有界,则 $\{ u_i\}$ 在 $W_{X}^{1,p}(U)$ 中紧.

定理 1.2 的证明 定理 1.1 结合定理 4.3 即得结论.

定理 1.3 的证明 证明与定理 1.1 的不同之处在于这里主要是用容度估计. 由于 $\Omega $ 有界,故存在球 $B_0$ 使得 $\overline{\Omega }\subset\frac{1}{2}B_0$. 固定某个 $0＜R＜1$ 使得以 $R$ 为半径的球 $B$ 满足 $3B\subset B_0$. 此时 $3B$ 与 $\Omega $ 有 $3B\subset\Omega $ 和 $3B\backslash\Omega \neq\emptyset$ 两种关系. 对情形 $3B\subset\Omega $,类似定理 1.1 的证明可得

$ƒ_{\frac{B}{2}}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\left(\delta ^{1-\delta }+\delta +\tau^{1-\delta }\right)ƒ_{3B}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ +c\tau^{1-p}\left[ƒ_{3B}\left(|u|^{p-\delta }+|\psi|^{p-\delta }+|X\psi|^{p-\delta } +|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}+|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+\left(ƒ_{3B}|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}\right],$

(5.1)

其中 $\max\left\{1,(p-\delta )_*\right\}＜t＜p-\delta $.

下面分几步对情形 $3B\backslash\Omega \neq\emptyset$ 证明类似于 (5.1) 式的估计.

第一步 记 $r=p-\delta $,则 $p-\frac{1}{2}＜r＜p$. 令 $w=u-\eta(u-u_0)$,其中 $\eta$ 为 $2B$ 上的截断函数. 因为 $w-u_0\in W_{X,0}^{1,p-\delta }(\Omega )$,$u,u_0\geq \psi$ a.e.,所以

$w=(1-\eta)u+\eta u_0\geq(1-\eta)\psi+\eta\psi=\psi\ a.e.,$

即有 $w\in{\cal K}_{\psi,u_0}^{r}(\Omega )$. 定义 $v=w-u=-\eta(u-u_0):=-\hat{u},$ 则 $v\geq\psi-u$. 对 $\mu>0$,记

$E_\mu=\{x\in{\Bbb R}^n:M|X\hat{u}|(x)\leq\mu\}.$

由定理 2.5 及假设 (H1) 可知 $v$ 是 $E_\mu\cup({\Bbb R}^n\backslash\Omega )$ 上的 Lipschitz 连续函数. 事实上,若 $x,y\in E_\mu\cap\Omega $,则由定理 2.5 可得 $|v(x)-v(y)|\leq c\mu d(x,y)$; 若 $x,y\in {\Bbb R}^n\backslash\Omega $,则 $v(x)=v(y)=0$; 当 $x\in E_\mu\cap\Omega $,$y\in {\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 时,记 $\rho_x=2{\rm dist}(x,{\Bbb R}^n\backslash\Omega )$,$B_{\rho_x}=B(x,\rho_x)$. 由于 $v$ 在 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 上取值为零,故

${\int _{{B_{{\rho _x}}} \cap ({{\Bbb R}^n}\backslash \Omega )}}|v - {v_{{B_{{\rho _x}}}}}|{\rm d}z={\int _{{B_{{\rho _x}}} \cap ({{\Bbb R}^n}\backslash \Omega )}}{\rm{|}}{v_{{B_{{\rho _x}}}}}|{\rm d}z=|{B_{{\rho _x}}} \cap ({{\Bbb R}^n}\backslash \Omega )||{v_{{B_{{\rho _x}}}}}|.$

再由假设 (H1) 及定理 2.3,可得

$|v_{B_{\rho_x}}| \leq \bar{C}\frac{|B_{\rho_x}\cap({\Bbb R}^n\backslash\Omega )|}{|B_{\rho_x}|}|v_{B_{\rho_x}}|\\ =\frac{\bar{C}}{|B_{\rho_x}|}\int_{B_{\rho_x}\cap({\Bbb R}^n\backslash\Omega )}|v-v_{B_{\rho_x}}|{\rm d}z\\ \leq \bar{C}ƒ_{B_{\rho_x}}|v-v_{B_{\rho_x}}|{\rm d}z \leq c\bar{C}\rho_xƒ_{B_{\rho_x}}|Xv|{\rm d}z\leq c\bar{C}{\rho_x}M|Xv|(x)\leq c\mu \bar{C}{\rho_x}.$

由上式及 (2.2) 式即得

$|v(x)-v(y)|=|v(x)|\leq |v(x)-v_{B_{\rho_x}}|+|v_{B_{\rho_x}}|\\ \leq c{\rho_x}M|Xv|(x)+c\mu \bar{C}{\rho_x} \leq c\mu \bar{C}{\rho_x}\leq c\bar{C}\mu d(x,y).$

这样我们就证明了 $v$ 为 $E_\mu\cup({\Bbb R}^n\backslash\Omega )$ 上的 Lipschitz 连续函数且 Lipschitz 常数为 $c\bar{C}\mu$.

如定理 1.1 的证明过程,利用 Kirszbraun 定理可将 $v$ 延拓为 ${\Bbb R}^n$ 上的 Lipschitz 连续函数 $v_\mu$ 且其 Lipschitz 常数仍为 $c\bar{C}\mu$. 若记

$D=2B\cap\Omega ,\mu_0=\frac{C_d}{|2B|}\int_{D}|X\hat{u}|(y){\rm d}y,$

则由定理 1.1 证明的第一步可知当 $\mu\geq\mu_0$ 时 ${\rm supp}{v_\mu}\subset3B\cap\Omega $.

第二步 令 $\mu\geq\mu_0$,取 $v_\mu$ 作为 (1.5) 式中的试验函数,可得

$\int_{(3B \cap \Omega ) \cap {E_\mu }}A(x,u,Xu) \cdot X{v_\mu }{\rm d}x + \int_{(3B \cap \Omega ) \cap {E_\mu }} \,B(x,u,Xu){v_\mu }{\rm d}x\\ +\int_{(3B \cap \Omega )\backslash {E_\mu }} \,A(x,u,Xu) \cdot X{v_\mu }{\rm d}x + \int_{(3B \cap \Omega )\backslash {E_\mu }} \,B(x,u,Xu){v_\mu }{\rm d}x \geq 0.$

利用函数 $A$ 和 $B$ 的增长条件,并注意到 $|Xv_\mu|\leq c\mu$,$|v_\mu|\leq cR\mu$,

$\int_{D\cap E_\mu} A(x,u,Xu)\cdot X\hat{u} {\rm d}x+\int_{D\cap E_\mu} B(x,u,Xu)\hat{u}\\ \leq \int_{(3B\cap\Omega )\backslash E_\mu} |A(x,u,Xu)||Xv_\mu| {\rm d}x+\int_{(3B\cap\Omega )\backslash E_\mu} |B(x,u,Xu)||v_\mu| {\rm d}x\\ \leq c\mu\int_{(3B\cap\Omega )\backslash E_\mu}\left(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|\right){\rm d}x.$

(5.2)

对上式两端乘以 $\mu^{-(1+\delta )}$ 并在 $({\mu_0},+\infty)$ 上积分可得

$L' := \int_{\mu_0}^{\infty}\int_{D\cap E_\mu}{\mu}^{-(1+\delta )}\left(A(x,u,Xu)\cdot X\hat{u}+B(x,u,Xu)\hat{u}\right){\rm d}x{\rm d}\mu\\ \leq c\int_{\mu_0}^{\infty}\int_{(3B\cap\Omega )\backslash E_\mu}\mu^{-\delta }\left(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|\right){\rm d}x{\rm d}\mu:=P'.$

(5.3)

对 $P'$ 交换积分次序并利用 Young 不等式,可得

$P' \leq \frac{c}{1-\delta }\int_{(3B\cap\Omega )\backslash E_{\mu_0}}(M|X\hat{u}|)^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|+|\varphi _2|){\rm d}x \\ \leq c\int_{3B\cap\Omega }\left(|u|^{p-\delta }+|Xu|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1} +|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\int_{3B\cap\Omega }(M|X\hat{u}|)^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.4)

对 (5.4) 式右端最后一项应用定理 2.4 及引理 2.2,可得

$ c\int_{3B\cap\Omega }(M|X\hat{u}|)^{p-\delta }{\rm d}x \leq c\int_{D}|X\hat{u}|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{D}|Xu-Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x+\frac{c}{R^{p-\delta }}\int_{2B}|u-u_0|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x \\ +\frac{c|2B|}{R^{p-\delta }}\left(\frac{1}{{\rm cap}_{p-\delta }(N(u-u_0),2B)}\int_{2B}|Xu-Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x\right),$

(5.5)

其中 $N(u-u_0)=\left\{x\in \bar{B}:u(x)=u_0(x)\right\}$. 由于 $u-u_0$ 在 $\Omega $ 外几乎处处等于零,因此 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega \subset\{u-u_0=0\}$. 又由定理 2.7 知存在 $\delta _0$,使得当 $0＜\delta ＜\delta _0$ 时,${\Bbb R}^n\setminus\Omega $ 是一致 $(X,p-\delta )$ 厚的,因此

${\rm cap}_{p-\delta }(N(u-u_0),2B)\geq{\rm cap}_{p-\delta }(\bar{B}\cap({\Bbb R}^n\backslash\Omega ),2B)\geq c\ {\rm cap}_{p-\delta }(\bar{B},2B)\geq c|B|R^{-(p-\delta )}.$

(5.6)

进而由二重性条件可得

$\frac{1}{{\mathop {{\rm{cap}}}\nolimits_{p - \delta } (N(u - {u_0}),2B)}} \le c\frac{{{R^{p - \delta }}}}{{|B|}} \le c\frac{{{R^{p - \delta }}}}{{|2B|}}.$

(5.7)

将 (5.7) 式代入 (5.5) 式可以得到

$c\int_{3B\cap\Omega }(M|X\hat{u}|)^{p-\delta }{\rm d}x\leq c\int_{D}|X\hat{u}|^{p-\delta }{\rm d}x \leq c\int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.8)

于是 (5.4) 式变为

$P'\leq c\int_{3B\cap\Omega }\left(|u|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1} +|\varphi _2|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\int_{3B\cap\Omega }|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.9)

第三步 下面我们估计 $L'$. 交换积分顺序有

$L'=\frac{1}{\delta }\int_{D\backslash E_{\mu_0}}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(A(x,u,Xu)\cdot X\hat{u}+B(x,u,Xu)\hat{u}){\rm d}x \\ +\frac{1}{\delta }\int_{D\cap E_{\mu_0}}\mu_0^{-\delta }(A(x,u,Xu)\cdot X\hat{u}+B(x,u,Xu)\hat{u}){\rm d}x.$

由于在 $E_{\mu_0}$ 上 ${\mu_0}^{-\delta }\leq(M|X\hat{u}|)^{-\delta }$,于是由 (1.2) 和 (1.3) 式可得

$L' \ge \frac{1}{\delta }\int_{D}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }A(x,u,Xu)\cdot X\hat{u}{\rm d}x \\ -\frac{2\alpha }{\delta }\int_{D\cap E_{\mu_0}}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\hat{u}|{\rm d}x\\ -\frac{\alpha }{\delta }\int_{D}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _2|)|\hat{u}|{\rm d}x\\ := \frac{1}{\delta }(I'_1-2\alpha I'_2-\alpha I'_3).$

(5.10)

$I'_1$ 的估计. 首先令 ${D_1} = \{ x\in D\backslash B:M|X\hat u|\leq\delta ({M_D}|Xu-Xu_0|)\}$,$D_2=D\backslash (B \cup D_1)$. 于是类似于 (3.7) 式的估计,有

$I'_1 \ge c\beta\int_{B\cap\Omega }(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(M_{B\cap\Omega }|Xu-Xu_0|)^p{\rm d}x\\ -\alpha \int_{B\cap\Omega }(|u_0|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|)|Xu-Xu_0|^{1-\delta }{\rm d}x\\ -\alpha \int_{D_2}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u_0|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|)|Xu-Xu_0|{\rm d}x\\ -\alpha \int_{D_2}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\eta(u-u_0)|{\rm d}x\\ -\alpha \int_{D_1}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\hat{u}|{\rm d}x \\ := I'_{11}-I'_{12}-I'_{13}-I'_{14}-I'_{15}.$

(5.11)

对于 $I'_{11}$,首先注意到当 $x\in\frac{B}{2}\cap\Omega $ 时,由引理 2.2 可得

$M|X\hat{u}|(x) \leq \sup\limits_{B'\ni x,B'\subset B}ƒ_{B'}|X\hat{u}|{\rm d}y +\sup\limits_{B'\ni x,B'\cap\partial B\neq\emptyset}ƒ_{B'}|X\hat{u}|{\rm d}y\\ \leq M_{B\cap\Omega }|X(u-u_0)|+\frac{c}{R}ƒ_{2B}|u-u_0|{\rm d}x+\frac{c}{|2B|}\int_{D}|Xu-Xu_0|{\rm d}x\\ \leq M_{B\cap\Omega }|X(u-u_0)|+\frac{c}{R}\left(ƒ_{2B}|u-u_0|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s'}} \\ +c\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu-Xu_0|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s'}}\\ \leq M_{B\cap\Omega }|X(u-u_0)|+\frac{c}{R}\left(\frac{1}{{\rm cap}_{s'}(N(u-u_0),2B)}\int_{2B}|X(u-u_0)|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s'}}\\ +c\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu-Xu_0|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s'}}\\ \leq M_{B\cap\Omega }|X(u-u_0)|+c\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu-Xu_0|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s'}},$

(5.12)

其中 $\max\left\{1,(p-\delta )_*\right\}＜s'＜p-\delta $ 使得 ${\Bbb R}^n\backslash\Omega $ 是一致 $(X,s')$ 厚的.

接下来,令

$G=\left\{x\in\frac{B}{2}\cap\Omega :M_{B\cap\Omega }|X(u-u_0)|\geq c\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu-Xu_0|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s'}}\right\}.$

因此由 (5.12)式知当 $x\in G$ 时 $M|X\hat{u}|\leq cM_{B\cap\Omega }|X(u-u_0)|$. 于是有

$I'_{11} \ge c\int_{\frac{B}{2}\cap\Omega }(M_{B\cap\Omega }|Xu-Xu_0|)^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{\left(\frac{B}{2}\cap\Omega \right)\backslash G}\left(M_{B\cap\Omega }|Xu-Xu_0|\right)^{p-\delta }{\rm d}x \\ \ge c\int_{\frac{B}{2}\cap\Omega }|Xu-Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x-c|B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu-Xu_0|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{s'}} \\ \ge c\int_{\frac{B}{2}\cap\Omega }|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c\int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x-c|B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{s'}}.$

(5.13)

利用带 $\varepsilon $ 的 Young 不等式可得

$I'_{12} \leq c \int_{D}\left(|u_0|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x +c\varepsilon \int_{D}|Xu-Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c \int_{D}|u_0|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{D}|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}{\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.14)

根据 $D_2$ 的定义及定理 2.4,有

$I'_{13} \leq c\delta ^{-\delta }\int_{D}(M_{D}|Xu-Xu_0|)^{1-\delta }(|u_0|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c\int_{D}|u_0|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x+c \int_{D}|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}{\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.15)

对 $I'_{14}$ 我们有

$I'_{14} \leq \alpha \int_{D_2}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\hat{u}|{\rm d}x\\ +\alpha \int_{D_2}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|)|Xu-Xu_0|{\rm d}x\\ +\frac{c\alpha }{R}\int_{D_2}(M|X\hat{u}|)^{-\delta }|Xu-Xu_0|^{p-1}|u-u_0|{\rm d}x:=K_1+K_2+K_3.$

利用 Young 不等式和 (5.8)式,得

$K_1 \leq c\int_{D}(|u|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|)|X\hat{u}|^{1-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{D}(|u|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}){\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|X\hat{u}|^{p-\delta }{\rm d}x\\ \leq c\int_{D}(|u|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}){\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|X{u}|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.16)

由 $D_2$ 的定义,有

$K_2 \leq c\delta ^{-\delta }\int_{D}|Xu-Xu_0|^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu_0|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c\int_{D}(|u|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}){\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.17)

最后,由 Young 不等式可知

$K_3 \leq \frac{c\delta ^{-\delta }}{R}\int_{D_2}(M_{D}|Xu-Xu_0|)^{-\delta }|Xu-Xu_0|^{p-1}|u-u_0|{\rm d}x \\ \leq \frac{c\delta ^{-\delta }}{R}\int_{D}|Xu-Xu_0|^{p-1-\delta }|u-u_0|{\rm d}x\\ \leq c\varepsilon \int_{{D}}|Xu-Xu_0|^{p -\delta }{\rm d}x + c\int_{{D}}{\left|{\frac{{u-{u_0}\,}}{R}} \right|^{p-\delta }}{\rm d}x.$

(5.18)

为了估计上式右端第二项,令 $s"=(p-\delta )(1-\vartheta )$,其中当 $p-\delta \leq Q$ 时 $0＜\vartheta ＜\frac{p-\delta }{p-\delta +Q}$; 当 $p-\delta > Q$ 时 $0＜\vartheta ＜\min\left\{\frac{p-\delta -Q}{p-\delta },\frac{1}{2}\right\}$. 若记

$\kappa=\left\{\begin{array}{ll} \frac{Q}{Q-s"},&s"＜Q,\\[2mm] 2,&s">Q,\end{array}\right.$

则 $\kappa s"\geq p-\delta $ 且由引理 2.2 及定理 2.7可得

$\left(ƒ_{2B}\left|\frac{u-u_0}{R}\right|^{p-\delta }{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p-\delta }} \leq cR^{-1}\left(ƒ_{2B}|u-u_0|^{\kappa s"}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{\kappa s"}}\\ \leq cR^{-1}\left(\frac{1}{{\rm cap}_{s"}(N(u-u_0),2B)}\int_{2B}|X(u-u_0)|^{s"}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{s"}}\\ \leq c\left(\frac{1}{|2B|}\int_D|Xu-Xu_0|^{s"}\right)^{\frac{1}{s"}}.$

其中最后一个不等式的得到与 (5.6) 和 (5.7)式的证明相仿. 所以

$ c\int_{2B}\left|\frac{u-u_0}{R}\right|^{p-\delta }{\rm d}x \leq c|2B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_D|Xu-Xu_0|^{s"}{\rm d}x\right)^{\frac{{p-\delta }}{s"}}.$

(5.19)

将 (5.19)式代入 (5.18)式,有

$K_3 \leq c\varepsilon \int_D |Xu|^{p -\delta }{\rm d}x + c\int_D |Xu_0|^{p - \delta }{\rm d}x + c|2B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_D |Xu|^{s"}{\rm d}x \right)^{\frac{{p-\delta }}{s"}}.$

(5.20)

联合 (5.16),(5.17) 和 (5.20) 式,便得

$I'_{14} \leq c\int_{D}(|u|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}){\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x \\ + c|2B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_D |Xu|^{s"}{\rm d}x \right)^{\frac{{p-\delta }}{s"}}.$

(5.21)

根据 $D_1$ 的定义和定理 2.4 可知

$I'_{15} \leq c\int_{D_1}(M|X\hat{u}|)^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c\delta ^{1-\delta }\int_{D}(M_{D}|Xu-Xu_0|)^{1-\delta }(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _1|){\rm d}x\\ \leq c\int_{D}\left(|u|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x+c\delta ^{1-\delta }\int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x.$

(5.22)

综合 $I'_{11}-I'_{15}$ 的估计便有

$I'_1 \ge c\int_{\frac{B}{2}\cap\Omega }|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x -c\int_{D}\left(|u|^{p-\delta }+|u_0|^{p-\delta }+|Xu_0|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}\right){\rm d}x\\ - c(\varepsilon +\delta ^{1-\delta })\int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x-c|2B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu|^{t}{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}},$

(5.23)

其中 $t=\max\{s',s"\}＜p-\delta $.

$I'_2$ 的估计. 首先注意到

$I'_{2} \leq \int_{D}(|u|^{p-1} + |{\varphi _1}|)|X\hat u{|^{1 - \delta }}{\rm d}x + \int_{D \cap {E_{{\mu _0}}}} |Xu{|^{p - 1}}|X\hat u|{(M|X\hat u|)^{ - \delta }}{\rm d}x\\ \leq c\int_{D}\left(|u|^{p-\delta }+|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}+|Xu_0|^{p-\delta }\right){\rm d}x+c\varepsilon \int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ +\int_{D\cap E_{\mu_0}}|Xu|^{p-1}(M|X\hat{u}|)^{1-\delta }{\rm d}x.$

(5.24)

为估计 (5.24) 式右端最后一项,选取常数 $0＜\tau＜\frac{1}{2}$ 及 $x\in D\cap E_{\mu_0}$. 类似于 (3.19) 式的证明可知当 $x\in D\cap E_{\mu_0}$ 时

$|Xu|^{p-1}(M|X\hat{u}|)^{1-\delta }\leq c\left(\tau^{1-\delta }|Xu|^{p-\delta }+\tau^{1-p}\mu_0^{p-\delta }\right).$

(5.25)

注意到 $\displaystyle\mu_0=\frac{c}{|2B|}\int_{D}|X\hat{u}|{\rm d}x$,故类似于 (5.12) 式的证明可以得到

$\tau^{1-p}\mu_0^{p-\delta }=c\tau^{1-p}\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|X\hat{u}|{\rm d}x\right)^{p-\delta } \leq c\tau^{1-p}\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|X(u-u_0)|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{s'}}\\ \leq c\tau^{1-p}\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x\right)+c\tau^{1-p}\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{s'}}.$

(5.26)

于是由 (5.25)和 (5.26) 式可知

$I'_2 \leq c\int_{D}|u|^{p-\delta }{\rm d}x+c\int_{D}|\varphi _1|^\frac{p-\delta }{p-1}{\rm d}x+ c\int_{D}|Xu_0|^{p-\delta }{\rm d}x\\ +c\left(\varepsilon +\tau^{1-\delta }\right)\int_{D}|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x+c\tau^{1-p}|2B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_{D}|Xu|^{s'}{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{s'}}.$

$I'_3$ 的估计. 类似于 (5.19) 式的证明,利用 (2.3) 式和引理 2.2,可得

$I'_3 \leq c\int_{D}(|u|^{p-1}+|Xu|^{p-1}+|\varphi _2|)|\hat{u}|^{1-\delta }{\rm d}x\\ \leq \int_D \,(|u{|^{p - \delta }} + |{\varphi _2}{|^{\frac{{p - \delta }}{{p - 1}}}}){\rm d}x + c\varepsilon \int_D \,|Xu{|^{p - \delta }}{\rm d}x + c\int_D \,|u - {u_0}{|^{p - \delta }}{\rm d}x\\ \leq c\int_D \,(|u{|^{p - \delta }} + |{\varphi _2}{|^{\frac{{p - \delta }}{{p - 1}}}} + |X{u_0}{|^{p - \delta }}){\rm d}x\\ ( {\frac{1}{{|2B|}}\int_D \,|Xu{|^{t}}{\rm d}x} {{\textstyle{{p - \delta } \over {t}}}}.$

第四步 把 $I'_1-I'_3$ 的估计代入 (5.10)式,结合 (5.3) 和 (5.9)式,移项整理并取 $\varepsilon =\tau^{1-\delta }$,有

$\int_{\frac{B}{2}\cap\Omega }|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x \leq c\int_{3B \cap \Omega } (\,|u{|^{p - \delta }} + \,|{u_0}{|^{p - \delta }} + \,|X{u_0}{|^{p - \delta }} + |{\varphi _1}{|^{\frac{{p - \delta }}{{p - 1}}}} + |{\varphi _2}{|^{\frac{{p - \delta }}{{p - 1}}}}){\rm d}x\\ +c\left(\delta ^{1-\delta }+\delta +\tau^{1-\delta }\right)\int_{3B\cap\Omega }|Xu|^{p-\delta }{\rm d}x\\ +c\tau^{1-p}|2B|\left(\frac{1}{|2B|}\int_{3B\cap\Omega }|Xu|^t{\rm d}x\right)^{\frac{p-\delta }{t}}.$

(5.27)

为综合 $3B\subset\Omega $ 和 $3B\backslash\Omega \neq\emptyset$ 两种情形,令

$g(x)=\left\{\begin{array}{ll} |Xu|^t,\ \ &x\in\Omega ,\\ 0,\ \ & x\in{\Bbb R}^n\backslash\Omega \end{array}\right.$

及

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \left(|u-u_0|+|u_0|+|Xu_0|+|\psi|+|X\psi|+|\varphi _1|^\frac{1}{p-1}+|\varphi _2|^\frac{1}{p-1}\right)^t,\ \ & x\in\Omega ,\\ 0,\ \ & x\in{\Bbb R}^n\backslash\Omega . \end{array}\right.$

于是由 (5.1) 和 (5.27) 式可得

$ƒ_{\frac{B}{2}}g^{q}{\rm d}x\leq b\left[\left(ƒ_{3B}g{\rm d}x\right)^q+ƒ_{3B}f^q{\rm d}x\right]+\thetaƒ_{3B}g^q{\rm d}x,$

其中 $q=\frac{p-\delta }{t}$,$\theta=c\left( {{\delta ^{1 - \delta }} + \delta + {\tau ^{1 - \delta }}}\right)$,$b = c{\tau ^{1 - p}}.$ 取 $\tau$,$\delta $ 足够小然后由定理 2.8 可知存在 $\varepsilon _0>0$,使得 $|Xu|\in L^{t_1}(\Omega )$,$t_1=p-\delta +\varepsilon _0$.

进一步,我们证明存在 ${t_2}>r=p-\delta $ 使得 $u \in L^{t_2}(\Omega )$. 由于 $u-u_0\in W_{X,0}^{1,r}(\Omega )$,故由定理 2.3 可知对 $r＜Q$,$r^*=Qr/(Q-r)$,有

$\left(\int_\Omega |u-u_0|^{r^*}{\rm d}x\right)^\frac{1}{r^*}\leq C(\Omega )\left(\int_\Omega |X(u-u_0)|^{r}{\rm d}x\right)^\frac{1}{r}＜\infty.$

取 $t_2=\min\{s,r^*\}>r$,我们有

$\label{step4-1} \left(\int_\Omega |u|^{t_2}{\rm d}x\right)^\frac{1}{t_2} \leq \left(\int_\Omega |u-u_0|^{t_2}{\rm d}x\right)^\frac{1}{t_2}+\left(\int_\Omega |u_0|^{t_2}{\rm d}x\right)^\frac{1}{t_2}\\ \leq C\left(\int_\Omega |u-u_0|^{r^*}{\rm d}x\right)^\frac{1}{r^*}+\left(\int_\Omega |u_0|^{t_2}{\rm d}x\right)^\frac{1}{t_2}.$

于是由 $u_0\in L^s(\Omega )$ 可知 $u\in L^{t_2}(\Omega )$. 若记 $\tilde{p}=\min\{t_1,t_2\}>p-\delta $ 则 $u\in W_{X}^{1,\tilde{p}}(\Omega )$. 如果 $r\geq Q$ 我们可对任意的 $r^*＜\infty$ 重复上面的过程可以得到 $u\in L^{\tilde{p}}(\Omega )$ 进而得到 $u\in W_{X}^{1,\tilde{p}}(\Omega )$. 重复上述过程,将可积指数抬高,可知存在 $\tilde \delta >0$ 使得 $u\in W_{X}^{1,p+\tilde{\delta }}(\Omega )$. 这样,我们就完成了定理 1.3 的证明.