本文考虑以下带有 Logistic 源的吸引-排斥趋化性系统

$\left\{ \begin{array}{ll} u_{t}=\Delta u-\nabla\cdot(u\nabla v)+\mu_1u(1-u),&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ 0=\Delta v- v+w,&(x,t)\in\Omega \times (0,T),\\ \displaystyle w_t=\Delta w+\nabla\cdot(w\nabla z)+\mu_2w(1-w),&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ 0=\Delta z-z+u,&(x,t)\in\Omega \times (0,T),\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=\frac{\partial w}{\partial n}=\frac{\partial z}{\partial n}=0,&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ [6pt] u(x,0)=u_{0}(x),w(x,0)=w_0(x),& x\in\Omega ,\end{array} \right.$

(1.1)

其中 $\Omega \subset{\Bbb R}^N$ ($N\ge1$) 是边界光滑的有界区域,$\mu_1,\mu_2>0$.

在系统 (1.1) 中,$u$ 和 $w$ 分别代表第一和第二个种群的密度; $v$ 及 $z$ 分别表示由第二和第一个种群分泌的化学物质的浓度. 系统 (1.1) 意味着第一个种群受到第二个种群分泌的化学物质的吸引,而第二个种群却受到第一个种群分泌的化学物质的排斥. 系统 (1.1) 中 Logistic 源 $\mu_1 u(1-u)$ 及 $\mu_2 w(1-w)$ 的加入阻止了种群密度的一致增长. 可见,系统 (1.1) 解的行为是由扩散项、 吸引项、 排斥项和 Logistic 源的相互作用所决定的.

经典的简化 Keller-Segel 趋化性系统

$\left\{ \begin{array}{llc} u_{t}=\Delta u-\nabla\cdot(u\nabla v),&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ \displaystyle 0=\Delta v- v+u,&(x,t)\in\Omega \times (0,T),\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}=\frac{\partial v}{\partial n}=0,&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\[6pt] u(x,0)=u_{0}(x),v(x,0)=v_0(x),& x\in\Omega \end{array} \right.$

与系统 (1.1) 代表的含义是不相同的. 此系统关注的是种群 $u$ 受到它自身产生的化学物质 $v$ 的吸引. 这个系统已经被广泛地研究并取得了丰富的成果,如解的整体存在性(有界性)、 有限时刻爆破和解的长时间行为等,详情参见文献[1-9].

近来,Tello 和 Winkler^[10]考虑了带有Logistic源的抛物-椭圆趋化性模型的齐次Neumann 边值问题

$\left\{ \begin{array}{llc} u_{t}=\Delta u-\chi\nabla\cdot(u\nabla v)+\mu u(1-u),&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ 0=\Delta v- v+u,&(x,t)\in\Omega \times (0,T),\end{array} \right.$

(1.2)

其中 $\mu,\chi >0$. 他们证明了若 $N\le2$ 或者 $\mu >\frac{N-2}{N}\chi$,则解整体有界且附加条件 $\mu>2\chi$ 后稳态解 $(1,1)$ 是整体吸引子. 关于系统 (1.2) 的稳态问题,Kuto 等^[11]在矩形区域 $\Omega $($N=1$) 中通过选取合适的 $\mu$,$\chi$,证明了存在条形和六角形的非常数稳态解分支. 对抛物-抛物趋化性系统来说,将 $\mu u(1-u)$ 换为 $au-bu^2$,Lankeit^[12]证明了当区域 $\Omega $ 是光滑有界凸区域时,对任意小的 $b>0$ 存在整体弱解,特别地,当 $N=3$,$a$ 适当小时,某个时刻后这些解就是古典解,而且还证明了当 $a\le0$ 时,$(0,0)$ 是 $L^\infty(\Omega )$ 模意义下的整体吸引子. 更有意思的是,将 Logistic 源换为 $au-bu^\kappa$,Winkler^[13] 证明了当 $N\ge5$ 且 $1＜\kappa＜\frac{3}{2}+\frac{1}{2N-2}$ 时存在有限时刻爆破解(也可参见文献[14]).

最近,多种群和多分泌物 Keller-Segel 系统备受关注并得到了许多好的结论,详见文献[15-23]. 其中,Tao 和 Winkler^[19] 考虑了齐次 Neumann 边值条件下的吸引-排斥趋化性系统

$\left\{ \begin{array}{llc} u_{t}=\Delta u-\nabla\cdot(u\nabla v),&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ \displaystyle 0=\Delta v- v+w,&(x,t)\in\Omega \times (0,T),\\ \displaystyle w_t=\Delta w+\nabla\cdot(w\nabla z),&(x,t)\in \Omega \times (0,T),\\ \displaystyle 0=\Delta z-z+u,&(x,t)\in\Omega \times (0,T),\end{array} \right.$

(1.3)

即在系统 (1.1) 中令 $\mu_1,\mu_2=0$. 证明了如果 $N\le3$,那么系统 (1.3) 对任意非负初值 $u_0(x),w_0(x)\in C(\bar\Omega )$ 存在整体解.

关于带有 Logistic 源的吸引-排斥趋化性系统 (1.1),本文主要结论叙述为如下定理.

定理1.1 假设 $\Omega \subset{\Bbb R}^N$ ($N\ge1$) 是边界光滑的有界区域,非负初值 $u_0(x),w_0(x)\in C(\bar\Omega )$,则系统 (1.1) 的解是整体有界的. 此外,若 $\mu_1,\mu_2>\frac{1}{16}$,则存在 $c,\lambda>0$ 使得

$\|u(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}} +\|v(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}}+\|w(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}} +\|z(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}}\le c{\rm e}^{-\lambda t}.$

(1.4)

注1.1 与文献[19] 中的定理 1.1 相比,我们的结果反映了 Logistic 源的加入是有利于解整体有界的. 在文献 [19] 中,Tao 和 Winkler 证明了当 $N\le3$ 时系统 (1.3) 的解整体有界. 从定理 1.1 可以看出,对任意小的 $\mu_1,\mu_2>0$ 及任意维数 $N\ge1$,系统 (1.1) 的解都是整体有界的. 另外,当 $\mu_1,\mu_2>\frac{1}{16}$ 时,我们还得到了解的渐近行为 (1.4) 式,这是文献 [19]中所不具备的.

接下来的内容安排如下: 第二节介绍系统 (1.1) 的解的局部存在性及局部解的相关结论作为预备知识; 第三节给出定理 1.1 的证明.

本节中,我们引入局部解的几个相关结论.

引理2.1 假设 $\Omega \subset {\Bbb R}^N$ $(N\ge1)$ 是具有光滑边界的有界区域,则对任意非负初值 $\big(u_0(x),w_0(x)\big)\in C(\bar\Omega )\times W^{1,k}(\Omega )$ $(k>N)$,存在 $T_{\max}\in(0,\infty]$ 使得系统 (1.1) 存在非负古典解 $u,v,w,z\in C^0(\bar{\Omega }\times[0,T_{\max}))\cap C^{2,1}(\bar{\Omega }\times(0,T_{\max}))$. 而且,若 $T_{\max}＜\infty$,则

$\lim_{{t\rightarrow T_{\max}}} \big(\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega )}+\|w(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega )}\big)=\infty.$

系统(1.1) 的局部存在性可以通过标准的抛物理论在合适的不动点理论框架下证明出来,详情参见文献[5, 19, 24]. 此处省略证明.

引理2.2 [23,引理 3.2; 25,引理 2.2] 假设 $(u,v,w,z)$ 是由引理 2.1 确定的系统 (1.1) 的局部解,则对任意的 $\varepsilon >0$,$p>1$,存在 $c_0=c_0(\varepsilon ,p)>0$ 使得

$\int_\Omega z^p\le\varepsilon \int_\Omega u^p+c_0,~~t\in(0,T_{\max}).$

(2.1)

证 类似文献 [25] 中引理 2.2 的证明,我们来证明不等式 (2.1).

分别对系统 (1.1) 中的第一个和第三个方程积分,得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u=\mu_1\int_\Omega u(1-u)=\mu_1\int_\Omega u-\mu_1\int_\Omega u^{2} \le\mu_1\int_\Omega u-\frac{\mu_1}{|\Omega |}\Big(\int_\Omega u\Big)^{2},$

$ 0=\int_\Omega u -\int_\Omega z,~~t\in(0,T_{\max}). $

因此,

$\int_\Omega z=\int_\Omega u\leq \max\Big\{\int_\Omega u_{0},|\Omega |\Big\}:= M,~~t\in(0,T_{\max}).$

(2.2)

接下来,在系统 (1.1) 中的第四个方程两边同乘以 $z^{p-1}$($p>1$),积分得

$(p-1)\int_\Omega z^{p-2}|\nabla z|^2+ \int_\Omega z^p= \int_\Omega uz^{p-1},~~t\in(0,T_{\max}),$

(2.3)

从而

$ \int_\Omega z^p\le\int_\Omega uz^{p-1}\le\Big(\int_\Omega u^p\Big)^\frac{1}{p}\Big(\int_\Omega z^p\Big)^\frac{p-1}{p},~~t\in(0,T_{\max}),$

即

$\|z\|_{L^p(\Omega )}\le\|u\|_{L^p(\Omega )},~~t\in(0,T_{\max}).$

(2.4)

由 (2.3) 式及 Young 不等式,得

$ \frac{4(p-1)}{p^2}\int_\Omega |\nabla z^\frac{p}{2}|^2+\int_\Omega z^p\le\frac{p-1}{p}\int_\Omega z^p+\frac{1}{p}\int_\Omega u^p,~~t\in(0,T_{\max}),$

故

$\frac{4(p-1)}{p}\int_\Omega |\nabla z^\frac{p}{2}|^2\le\int_\Omega u^p,~~t\in(0,T_{\max}).$

(2.5)

由 $W^{1,2}(\Omega )\hookrightarrow\hookrightarrow L^2(\Omega )\hookrightarrow L^{\frac{2}{p}}(\Omega )$ 及 Ehrling 引理知,对任意的 $\varepsilon >0$,$p>1$,存在 $\bar C=\bar C(\varepsilon ,p)>0$,使得

$\|\psi\|^2_{L^2(\Omega )}\le C_0\varepsilon \|\psi\|^2_{W^{1,2}(\Omega )}+\bar C\|\psi\|^2_{L^\frac{2}{p}(\Omega )},~~\psi\in W^{1,2}(\Omega ),$

其中 $C_0=\frac{4(p-1)}{4(p-1)+p}$. 令 $\psi=z^\frac{p}{2}$ 并结合式子 (2.2),(2.4) 及 (2.5),可得 (2.1)式.

本节中,我们用两个命题来证明定理1.1.

命题3.1 假设定理1.1的条件成立,则对所有的 $t>0$,有

$\|u(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega )}+\|v(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega ) }+\|w(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega )} +\|z(\cdot,t)\|_{L^{\infty}(\Omega )}＜\infty.$

(3.1)

而且,对所有的 $t\ge1$,存在 $\theta\in(0,1)$ 及 $C>0$,使得

$\|u\|_{C^{2+\theta,1+\frac{\theta}{2}}(\bar\Omega \times[t,t+1])}+\|v\|_{C^{2+\theta,1+\frac{\theta}{2}}(\bar\Omega \times[t,t+1])} \\ +\|w\|_{C^{2+\theta,1+\frac{\theta}{2}}(\bar\Omega \times[t,t+1])}+\|z\|_{C^{2+\theta,1+\frac{\theta}{2}}(\bar\Omega \times[t,t+1])} \le C.$

(3.2)

命题3.2 假设定理1.1的条件成立,若 $\mu_1,\mu_2>\frac{1}{16}$,则存在 $c,\lambda>0$ 使得

$\|u(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}}+\|v(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}}+\|w(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}} +\|z(\cdot,t)-1\|_{L^{\infty}}\le c{\rm e}^{-\lambda t}.$

(3.3)

下面我们证明命题 3.1 和命题 3.2.

命题 3.1 的证明 在系统 (1.1) 中的第一个方程两边同乘以 $u^{q-1}$,分部积分得

$\frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u^q= -(q-1)\int_\Omega u^{q-2}|\nabla u|^2+(q-1) \int_\Omega u^{q-1}\nabla u\cdot\nabla v+\mu_1\int_\Omega u^q-\mu_1\int_\Omega u^{q+1}\\ \le \frac{q-1}{q}\int_\Omega \nabla u^q\cdot\nabla v+\mu_1\int_\Omega u^q-\mu_1\int_\Omega u^{q+1}\\ =-\frac{q-1}{q}\int_\Omega u^q\Delta v+\mu_1\int_\Omega u^q-\mu_1\int_\Omega u^{q+1},~~t\in(0,T_{\max}).$

(3.4)

将系统 (1.1) 中的第二个方程代入上式,则有

$\frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u^q\le -\frac{q-1}{q}\int_\Omega u^{q}(v-w)+\mu_1\int_\Omega u^q-\mu_1\int_\Omega u^{q+1}\\\le\frac{q-1}{q}\int_\Omega u^{q}w+\mu_1\int_\Omega u^q-\mu_1\int_\Omega u^{q+1},~~t\in(0,T_{\max}).$

由 Young 不等式,知

$\frac{q-1}{q}\int_\Omega u^{q} w\le\frac{\mu_1}{2}\int_\Omega u^{q+1}+c_1\int_\Omega w^{q+1},~~t\in(0,T_{\max}),$

其中 $c_1=c_1(q)>0$. 从而,

$\frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega u^q\le c_1\int_\Omega w^{q+1} +\mu_1\int_\Omega u^q-\frac{\mu_1}{2}\int_\Omega u^{q+1},~~t\in(0,T_{\max}).$

(3.5)

类似 (3.4) 式,在系统 (1.1) 中的第三个方程两边同乘以 $w^{q-1}$,我们有

$\frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega w^q \le\frac{q-1}{q}\int_\Omega w^q\Delta z+\mu_2\int_\Omega w^q-\mu_2\int_\Omega w^{q+1}.$

再将系统 (1.1) 中的第四个方程代入,得

$ \frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega w^q\le\frac{q-1}{q}\int_\Omega w^q(z-u)+\mu_2\int_\Omega w^q-\mu_2\int_\Omega w^{q+1} \\ \le\frac{q-1}{q}\int_\Omega w^qz+\mu_2\int_\Omega w^q-\mu_2\int_\Omega w^{q+1},~~t\in(0,T_{\max}).$

(3.6)

利用 Young 不等式及式子 (2.1) (其中取 $\varepsilon =\frac{\mu_1\mu_2}{16c_1c_2}$),存在 $c_2=c_2(q),c_3=c_3(q)>0$ 使得

$\frac{q-1}{q}\int_\Omega w^{q} z\le\frac{\mu_2}{2}\int_\Omega w^{q+1}+c_2\int_\Omega z^{q+1} \\ \le\frac{\mu_2}{2}\int_\Omega w^{q+1} +\frac{\mu_1\mu_2}{16c_1}\int_\Omega u^{q+1}+c_3,~~t\in(0,T_{\max}).$

(3.7)

将 (3.7) 式代入 (3.6) 式中,整理可得

$\frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_\Omega w^q \le\frac{\mu_1\mu_2}{16c_1}\int_\Omega u^{q+1}+\mu_2\int_\Omega w^q-\frac{\mu_2}{2}\int_\Omega w^{q+1}+c_3,~~t\in(0,T_{\max}).$

(3.8)

由式子 (3.5),(3.8) 及 Young 不等式知

$\frac{1}{q}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\Big(\frac{\mu_2}{4c_1}\int_\Omega u^q+\int_\Omega w^q\Big) \le-\frac{\mu_1\mu_2}{16c_1}\int_\Omega u^{q+1}-\frac{\mu_2}{4}\int_\Omega w^{q+1} \\ +\frac{\mu_1\mu_2}{4c_1}\int_\Omega u^q +\mu_2 \int_\Omega w^q+c_3\\ \le-\frac{\mu_2}{4c_1}\int_\Omega u^q - \int_\Omega w^q+c_4,~~t\in(0,T_{\max}),$

其中 $c_4=c_4(q)>0$. 根据常微分方程的比较原理,对任意的 $q>1$,存在 $c_5=c_5(q)>0$ 使得

$ \int_\Omega u^q,\int_\Omega w^q\le c_5,t\in (0,T_{\max}) $

成立. 现在,取 $q>N$ 并对系统 (1.1) 中的第二个和第四个方程应用标准的椭圆理论,可以得到 $\nabla v$ 及 $\nabla z$ 在 $L^\infty$ 模意义下的有界性. 容易验证文献[26]中引理 A.1的条件都满足,故存在 $C>0$ 使得

$ \|u\|_{L^\infty(\Omega )},\|w\|_{L^\infty(\Omega )}\leq C $

对所有的 $t\in(0,T_{\max})$ 都成立. 由引理2.1 知 $T_{\max}=\infty$. 因此,(3.1) 式得证. (3.2) 式可利用 (3.1) 式及标准的抛物椭圆正则性理论证得.

为证命题 3.2,我们给出以下引理.

引理3.1 [27,引理 3.1] 若 $f(t): (a,\infty)\rightarrow {\Bbb R}$ 非负一致连续且 $\int_a^\infty f(t){\rm d}t＜\infty$,则当 $t\rightarrow\infty$ 时,$f(t)\rightarrow0$.

命题 3.2 的证明 下面证明 (3.3) 式,其思想来源于文献 [1, 28]. 记 $A(t):=\int_\Omega (u-\ln u-1)$,$B(t):=\int_\Omega (w-\ln w-1)$.

首先,证明 $A(t),B(t)\ge0$. 设 $g(s)=s-\ln s-1$,易验证 $g'(1)=0$ 且 $g"(1)>0$,故 $g(s)\ge g(1)=0$. 从而,$A(t),B(t)\ge0$.

其次,我们来证明当 $t\rightarrow\infty$ 时,

$\int_\Omega (u-1)^2,\int_\Omega (w-1)^2\rightarrow 0.$

(3.9)

对 $A(t)$ 求导,可得

$\frac{{\rm d}A(t)}{{\rm d}t}=\int_\Omega \Big(1-\frac{1}{u}\Big)u_t\\ =\int_\Omega \Big(1-\frac{1}{u}\Big)\big(\Delta u-\nabla\cdot(u\nabla v)+\mu_1 u(1-u)\big)\\ =-\int_\Omega \frac{|\nabla u|^2}{u^2}+\int_\Omega \frac{\nabla u\cdot\nabla v}{u}-\mu_1\int_\Omega (u-1)^2\\ \le \frac{1}{4}\int_\Omega |\nabla v|^2-\mu_1\int_\Omega (u-1)^2.$

(3.10)

同理,对 $B(t)$ 求导,整理得

$\frac{{\rm d}B(t)}{{\rm d}t}\le\frac{1}{4}\int_\Omega |\nabla z|^2-\mu_2\int_\Omega (w-1)^2.$

(3.11)

分别在系统 (1.1) 中的第二个及第四个方程两边乘以 $v-1$ 和 $z-1$,并进行分部积分,有

$\label{v00}\int_\Omega |\nabla v|^2=-\int_\Omega (v-1)^2+\int_\Omega (v-1)(w-1),$

(3.12)

$\label{z00} \int_\Omega |\nabla z|^2=-\int_\Omega (z-1)^2+\int_\Omega (u-1)(z-1).$

(3.13)

由式子 (3.10)-(3.13),可得

$\frac{{\rm d}\big(A(t)+B(t)\big)}{{\rm d}t}\le -\frac{1}{4}\int_\Omega (v-1)^2+\frac{1}{4}\int_\Omega (v-1)(w-1)-\mu_1\int_\Omega (u-1)^2\\ -\frac{1}{4}\int_\Omega (z-1)^2+\frac{1}{4}\int_\Omega (u-1)(z-1)-\mu_2 \int_\Omega (w-1)^2\\ \le-\big(\mu_1-\frac{1}{16}\big)\int_\Omega (u-1)^2 -\big(\mu_2-\frac{1}{16}\big)\int_\Omega (w-1)^2,$

(3.14)

再从 $a>0$ 到 $t$ 进行积分,有

$ A(t)+B(t)-\big(A(a)+B(a)\big)\le-\Big(\mu_1-\frac{1}{16}\Big)\int_a^t\int_\Omega (u-1)^2 -\Big(\mu_2-\frac{1}{16}\Big)\int_a^t\int_\Omega (w-1)^2. $

又因 $A(t),B(t)\ge0$,故

$ \Big(\mu_1-\frac{1}{16}\Big)\int_a^\infty\int_\Omega (u-1)^2+ \Big(\mu_2-\frac{1}{16}\Big)\int_a^\infty\int_\Omega (w-1)^2\le A(a)+B(a). $

由 (3.2) 式知,$\big(\mu_1-\frac{1}{16}\big)\int_\Omega (u-1)^2+\big(\mu_2-\frac{1}{16}\big)\int_\Omega (w-1)^2$ 对 $t$ 一致连续. 根据引理3.1,当 $t\rightarrow\infty$ 时,$\big(\mu_1-\frac{1}{16}\big) \int_\Omega (u-1)^2+\big(\mu_2-\frac{1}{16}\big)\int_\Omega (w-1)^2\rightarrow 0$. 又由 $\mu_1,\mu_2>\frac{1}{16}$,从而 (3.9) 式得证.

最后,证明 $u-1$ 及 $w-1$ 在 $L^\infty$ 模意义下指数衰减. 引入 Gagliardo-Nirenberg 不等式并应用命题 3.1,知存在 $C_1,C_2>0$ 使得

$\|\phi\|_{L^\infty(\Omega )} \le C_1\|\phi\|_{W^{1,\infty}(\Omega )}^\frac{N}{N+2}\|\phi\|_{L^2(\Omega )}^\frac{2}{N+2} \le C_2\|\phi\|_{L^2(\Omega )}^\frac{2}{N+2}.$

(3.15)

将 (3.9) 式代入上式,则当 $t\rightarrow\infty$ 时

$\|u(\cdot,t)-1\|_{L^\infty(\Omega )}\rightarrow0,~~\|w(\cdot,t)-1\|_{L^\infty(\Omega )}\rightarrow0. $

根据 L'Höpital 法则,有

$ \lim_{s\rightarrow1}\frac{s-\ln s-1}{(s-1)^2}=\lim_{s\rightarrow1}\frac{1-1/s}{2(s-1)}=\frac{1}{2}. $

因此,存在适当大的 $t_0$,使得当 $t>t_0$ 时,

$ \frac{1}{4}\int_\Omega (u-1)^2\le A(t)=\int_\Omega (u-1-\ln u)\le\int_\Omega (u-1)^2,\\ \frac{1}{4}\int_\Omega (w-1)^2\le B(t)=\int_\Omega (w-1-\ln w)\le\int_\Omega (w-1)^2.$

(3.16)

结合 (3.14) 式,得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}(A(t)+B(t))\le -C_3(A(t)+B(t)),~~t>t_0,$

其中 $C_3=\min\{\mu_1-\frac{1}{16},\mu_2-\frac{1}{16}\}$. 因此,存在 $C_4>0$ 使得

$A(t)+B(t)\le C_4{\rm e}^{-C_3t},~~t>t_0.$

利用 (3.16)式,有

$\int_\Omega (u-1)^2,~~\int_\Omega (w-1)^2\le4C_4{\rm e}^{-C_3t},~~t>t_0.$

再由 (3.15) 式,知存在 $C_5>0$ 使得

$\|u-1\|_{L^{\infty}(\Omega )},~ \|w-1\|_{L^{\infty}(\Omega )}\le C_5{\rm e}^{-\frac{C_3}{N+2}t},~~t>t_0.$

(3.17)

令 $V=v-1,Z=z-1$,系统 (1.1) 化为

$\left\{ \begin{array}{llc} 0=\Delta V- V+w-1,&(x,t)\in\Omega \times (0,+\infty),\\ \displaystyle 0=\Delta Z-Z+u-1,&(x,t)\in\Omega \times (0,+\infty),\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial V}{\partial n}=\frac{\partial Z}{\partial n}=0,&(x,t)\in \Omega \times (0,+\infty). \end{array} \right.$

应用极大值原理及 (3.17) 式,我们有

$ \|v-1\|_{L^\infty(\Omega )}=\|V\|_{L^\infty(\Omega )}\le\|w-1\|_{L^{\infty}(\Omega )}\le C_5{\rm e}^{-\frac{C_3}{N+2}t},\\ \|z-1\|_{L^\infty(\Omega )}=\|Z\|_{L^\infty(\Omega )}\le\|u-1\|_{L^{\infty}(\Omega )}\le C_5{\rm e}^{-\frac{C_3}{N+2}t},~~t>t_0.$

(3.18)

结合式子 (3.17),(3.18),并取 $c=4C_5,\lambda=\frac{C_3}{N+2}$,可得 (3.3) 式.