我们考虑描述不可压非牛顿流体的不可压Oldroyd模型,有如下形式

$\left\{\begin{array}{ll}tial_{t} u+(u\cdot \nabla) u-\mu \Delta u+\nabla P=\nabla\cdot (FF^{T}),\\tial_{t} F+(u\cdot \nabla) F=\nabla u F,\\ \nabla\cdot u=0,x\in {\Bbb R}^n,n=2,3,\\ u|_{t=0}=u_0,\end{array}\right.$

(1.1)

其中$u(t,x)$表示流体速度向量场,$P=P(t,x)$表示压强,是一个标量函数,$F=F(t,x)\in {\Bbb R}^n\times {\Bbb R}^n$是形变张量,$\mu$是流体的粘性系数($\mu>0$),$u_0$是已知的初速度且$\nabla\cdot u_0=0$.

粘弹性材料可以看作是液体和固体的一种中间状态,这类材料既具有固体的弹性特征(例如记忆性),又具有液体的特征. 复杂流体动力学和复杂流体的流变行为可被看作由其内部的弹性特质造成的结果. 方程组(1.1)是粘弹性流体的基本宏观模型之一(见文献[1]及其中的参考文献),该方程组又被称作Hookean线性弹性情形的粘弹性动力学方程组. 该模型更多的物理背景可参见文献[2-4].

近些年,Oldroyd模型已得到广泛研究. 林芳华、柳春、张平在文献[5]中,通过引入一个辅助向量场代替张量$F$,证明其经典解的整体存在性. 文献[6]通过对形变张量$F$运用不可压缩极限的方法,证明了同样的结果. 文献[7]证明了在二维或三维空间中,该模型的Cauchy问题以及在平衡态附近$n$维周期问题的局部和整体光滑解的存在性. 文献[8]证明了在Dirichlet边值条件下,一个Oldroyd型粘弹性流体方程组的初边值问题的整体适定性. 文献[9-15]给出了更多相关的结果.

为了介绍我们研究的模型,需要对方程组(1.1)进行简化. 在流体动力学中,基本变量是流场$x(t,X)$,其中$X$是质点的拉格朗日坐标,又被称作物质坐标,$x$是欧拉坐标,又被称作参考坐标. 对于一个已知的速度场$u(t,x)$,流场$x(t,X)$用如下的常微分方程定义

$ \frac{{\rm d}x(t,X)}{{\rm d}t}=u(t,x(t,X)),\ x(0,X)=X. $

形变张量用$\tilde{F}(t,X)=\frac{\partial x(t,X)}{\partial X}$来定义. 在欧拉坐标下,相应的形变张量$F(t,x)$定义为$F(t, x(t,X))=\tilde{F}(t,X)$. 运用链式法则,可得到$F(t,x)$满足如下的传输方程,即方程组(1.1)中第二个方程

$tial_{t} F+(u\cdot \nabla) F=\nabla u F. $

如果$\nabla\cdot F^{T}(0,x)=0$,则我们可以从方程组(1.1)的第二个方程得到

$tial_t(\nabla\cdot F^{T})+(u\cdot\nabla)(\nabla\cdot F^{T})=0. $

因此,如果$\nabla\cdot F^{T}(0,x)=0$,则对于任意$t>0$都有$\nabla\cdot F^{T}=0$成立. 下面用$ F_k=Fe_k $表示$F$的列元素,并且由于$\nabla\cdot F_k=0$,故

$ \nabla\cdot (FF^{T})=\sum_{k=1}^{n}(F_k\cdot\nabla) F_k,$

从而方程组(1.1)可被等价地写作

$\left\{\begin{array}{ll} \partial _{t} u+(u\cdot \nabla) u-\mu \Delta u+\nabla P=\sum_{k=1}^{n}(F_k\cdot\nabla) F_k,\\[2mm]tial_{t} F_k+(u\cdot \nabla) F_k=(F_k\cdot\nabla) u,\\ \nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0,\end{array}\right.$

(1.2)

其中$k=1,\cdots,n$,$u(0,x)=u_{0},F_{k}(0,x)=F_{k,0}$.

另一方面,对于大尺度运动情形,当Reynolds数很大的时候,现有的方法和工具都无法计算出三维的流体湍流行为的解析解或数值解. 为了克服上述困难,许多研究致力于建立一种可靠的湍流模型,它能够依据大尺度来参数化小尺度的影响. 由Cheskidov等^[16]建立的Leray-$\alpha $模型,对于多种不同的Reynolds数而言,比原有的从槽道湍流和管道流中得到的的经验数据要有效,它对次网格尺度大涡的湍流模拟效果非常好. 粘性的Camassa-Holm 方程(也被称作拉格朗日平均的Navier-Stokes-$\alpha $(LANS-$\alpha $)模型)也具有同样的优点 (更多的讨论参见文献[17-24]). 由于Leray-$\alpha $模型的结果与经验数据非常吻合,自然地,我们考虑在Leray-$\alpha $意义下对Oldroyd模型的正则化.

一般地,对于$\alpha $模型而言,其中的一个或几个函数会被其正则化函数所替代. 更准确地说,我们用函数$v$替代函数$u$,$v=(1-\alpha ^2\Delta)u,\ \alpha >0.$

在本文,我们考虑如下的二维Oldroyd-$\alpha $模型,我们称之为Leray-$\alpha $-Oldroyd模型

$\left\{\begin{array}{ll} \partial _{t} v+(u\cdot \nabla) v-\mu \Delta v+\nabla P=\sum_{k=1}^{2}(F_k\cdot\nabla) F_k,\\[2mm]tial_{t} F_k+(u\cdot \nabla) F_k=(F_k\cdot\nabla) u,\\ v=(1-\alpha ^2\Delta)u,\\ \nabla\cdot v=\nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0,\end{array}\right.$

(1.3)

其中$v(0,x)=v_0,u(0,x)=u_{0},F_{k}(0,x)=F_{k,0},x\in {\Bbb R}^2$.

本文的主要结果如定理1.1所述,证明了方程组(1.3)强解的整体存在性.

定理1.1 假设在全空间${\Bbb R}^2$上,$(v_0,F_{k,0})\in H^3({\Bbb R}^2)$,$\nabla\cdot u_0=\nabla\cdot v_0=\nabla\cdot F_{k,0}=0$,其中整数$k\geq2$. 则Leray-$\alpha $-Oldroyd模型(1.3)存在唯一的整体光滑解$(v,F_k)$,且对任意$T>0$满足

$v\in L^\infty(0,T;H^{3}({\Bbb R}^2))\cap L^2(0,T;H^{4}({\Bbb R}^2)),$

(1.4)

$F_k\in L^\infty(0,T;H^{3}({\Bbb R}^2)).$

(1.5)

注1.1 修正的Leray-$\alpha $-Oldroyd模型有如下形式

$\left\{\begin{array}{ll} \partial _{t} v+(u\cdot \nabla) u-\mu \Delta v+\nabla P=\sum_{k=1}^{2}(F_k\cdot\nabla) F_k,\\[2mm]tial_{t} F_k+(u\cdot \nabla) F_k=(F_k\cdot\nabla) u,\\ v=(1-\alpha ^2\Delta)u,\\ \nabla\cdot v=\nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0,\end{array}\right.$

(1.6)

其中$v(0,x)=v_0,u(0,x)=u_{0},F_{k}(0,x)=F_{k,0},x\in {\Bbb R}^2$. 该方程组的适定性可以用类似于模型(1.3)的证明方法得到证明. 本文略去其具体过程.

接下来,我们给出一些将在定理1.1的证明中用到的引理.

首先给出著名的交换子估计(参见文献[25]).

引理1.1 假设$s>0,1＜p＜\infty$,$f,g\in {\cal S}({\Bbb R}^2)$. 则

$ \|\Lambda^{s}(fg)-f\Lambda^{s}g\|_{L^{p}}\leq C(\|\nabla f\|_{L^{p_1}}\|\Lambda^{s-1} g\|_{L^{q_1}}+\|\Lambda^{s} f\|_{L^{p_2}}\| g\|_{L^{q_2}}),$

$ \|\Lambda^{s}(fg)\|_{L^{p}}\leq C(\|\Lambda^{s} f\|_{L^{p_1}}\| g\|_{L^{q_1}}+\| f\|_{L^{p_2}}\|\Lambda^{s} g\|_{L^{q_2}}),$

其中$\frac{1}{p}=\frac{1}{p_1}+\frac{1}{q_1}=\frac{1}{p_2}+\frac{1}{q_2},\Lambda=(-\Delta)^{\frac{1}{2}}$,${\cal S}({\Bbb R}^2)$ 表示 Schwartz 速降函数.

文献[26-27]给出了如下对数Sobolev不等式的证明.

引理1.2 假设$u\in H^{2}({\Bbb R}^2)$. 则

$ \|u\|_{L^{\infty}}\leq C\|u\|_{H^1}\ln ({\rm e}+\| u\|_{H^{2}}),$

其中$C$为常数.

最后,给出一组二维空间的Gagliardo-Nirenberg不等式.

引理1.3 在二维空间中,有以下不等式成立

$\label{pro} \left\{\begin{array}{ll} \|u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^2 u\|_{L^2}^{\frac{1}{4}},\\ \|u\|_{L^{\infty}}\leq C\|u\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^2 u\|_{L^2}^{\frac{1}{2}},\\ \|\nabla u\|_{L^2}\leq C\|u\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^2 u\|_{L^2}^{\frac{1}{2}},\\ \|\nabla u\|_{L^{4}}\leq C\|u\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla^2 u\|_{L^2}^{\frac{3}{4}},\end{array}\right. $

其中$C$是一个常数.

在这一部分,我们将给出定理1.1的证明. 不失一般性,假设$\mu=1$. 同时,用$\sum\limits_k$ 表示$\sum\limits_{k=1}^{2}$,并记$\partial _1=\frac{\partial }{\partial x_1},\partial _2=\frac{\partial }{\partial x_1}$,其中$x=(x_1,x_2)\in {\Bbb R}^2 $. 容易证明Leray-$\alpha $-Oldroyd模型(1.3)存在唯一的光滑解$(v,F_k)$,所以我们只需证明(1.4)和(1.5)式成立.

下面我们假设解$(v,F_k)$在$[0,T]$内是足够光滑的. 现在,将(1.3)的前两个方程分别与$u$和$F_k$做$L^2$内积,得到

$\label{eq2.1} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\nabla u\|^2_{L^2})+\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot \nabla)v\cdot u {\rm d}x+\|\nabla u\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\Delta u\|^2_{L^2}\\ =\sum_{k}\int_{{\Bbb R}^2}(F_k\cdot\nabla) F_k\cdot u {\rm d}x,$

(2.1)

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|F_k\|^2_{L^2}=\int_{{\Bbb R}^2}(F_k\cdot\nabla )u\cdot F_k {\rm d}x-\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla) F_k\cdot F_k {\rm d}x.$

(2.2)

首先,我们有下式成立

$\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)\Delta u\cdot u{\rm d}x=0.$

(2.3)

事实上,假设$u=(u_1(x),u_2(x))$是一个向量函数,$\psi(x)$是一个标量函数,$u_1,u_2,\psi$在无穷远处迅速衰减,其中$x\in {\Bbb R}^2$. 定义如下的旋度算子

$\mbox{curl} u=\partial _1 u_2-\partial _2 u_1,$

$ \mbox{curl} \psi=(\partial _2\psi,-\partial _1\psi). $

在条件$\nabla\cdot u=0$下,经过适当的计算可以得到

$ -\Delta u=\mbox{curl}\mbox{curl}u,$

$ \mbox{curl}(u\cdot \nabla)u=(u\cdot\nabla)\mbox{curl}u. $

则

$\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)\Delta u\cdot u{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^2}u_i\partial _{ijj}u_k\cdot u_k{\rm d}x \ \ (\mbox{这里}\ i,j,k=1,2)\\ =-\int_{{\Bbb R}^2}\partial _i u_i\partial _{jj}u_ku_k{\rm d}x-\int_{{\Bbb R}^2}u_i\partial _{jj}u_k\partial _iu_k{\rm d}x\\ =-\int_{{\Bbb R}^2}u_i\partial _iu_k\partial _{jj}u_k{\rm d}x\\ =-\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)u\cdot\Delta u{\rm d}x\\ = \int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)u\cdot\mbox{curl}\mbox{curl}u{\rm d}x\\ =\int_{{\Bbb R}^2}\mbox{curl}[(u\cdot\nabla)u]\cdot\mbox{curl}u{\rm d}x\\ = \int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)\mbox{curl}u\cdot\mbox{curl}u{\rm d}x\\ =0.$

因此,结合(2.3)式和$\nabla\cdot u=0$可得

$ \int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)v\cdot u{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)u\cdot u{\rm d}x-\alpha ^2\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla)\Delta u\cdot u{\rm d}x=0,$

并且注意到,由于$\nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0$,故有

$\int_{{\Bbb R}^2}(u\cdot\nabla) F_k\cdot F_k {\rm d}x=0,$

$ \int_{{\Bbb R}^2}(F_k\cdot\nabla) F_k\cdot u{\rm d}x+\int_{{\Bbb R}^2}(F_k\cdot\nabla) u\cdot F_k {\rm d}x=0,$

然后对(2.2)式中的$k$求和,并与(2.1)式相加,可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|u\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\nabla u\|^2_{L^2}+\sum_{k}\|F_k\|_{L^2}^{2})+\|\nabla u\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\Delta u\|^2_{L^2}=0,$

将上式对时间变量$t$积分

$\|u(t)\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\nabla u(t)\|^2_{L^2}+\sum_{k}\|F_k(t)\|_{L^2}^{2}+2\int_{0}^{t}(\|\nabla u(\tau)\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\Delta u(\tau)\|^2_{L^2}){\rm d}\tau\\=\|u_0\|^2_{L^2}+\alpha ^2\|\nabla u_0\|^2_{L^2}+\sum_{k}\|F_{k,0}\|_{L^2}^{2}.$

因此

$\|u\|_{L^{\infty}(0,T;H^1)}+\|u\|_{L^{2}(0,T;H^2)}\leq C,$

(2.4)

$\|v\|_{L^{2}(0,T;L^2)}\leq C,$

(2.5)

$\|F_k\|_{L^{\infty}(0,T;L^2)}\leq C,$

(2.6)

其中$C$为常数.

定义$\omega=\mbox{curl} v$. 由$\nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0$,可得

$ \mbox{curl}(u\cdot \nabla)u=(u\cdot\nabla)\mbox{curl}u,$

$ \mbox{curl}(F_k\cdot \nabla)F_k=(F_k\cdot\nabla)\mbox{curl}F_k,$

$ \mbox{curl}(u\cdot\nabla)v=(u\cdot\nabla)\omega-(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2),$

接着,将旋度算子作用于方程组(1.3)的第一个方程,可得

$\partial _t \omega+(u\cdot\nabla)\omega-\Delta\omega=\sum_k (F_k\cdot\nabla)\mbox{curl}F_k+(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2).$

(2.7)

将(2.7)式与$\omega$做$L^2$内积,运用分部积分我们得到

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|^2_{L^2}+\|\nabla \omega\|^2_{L^2}=\sum_{k}\int_{{\Bbb R}^2}(F_k\cdot\nabla) \mbox{curl}F_k\omega {\rm d}x +\int_{{\Bbb R}^2}(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2)\omega {\rm d}x \\ \doteq I_1+I_2.$

(2.8)

运用$\nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0,\mbox{curl}\nabla\equiv0$以及Hardy空间理论^[28],再结合(2.4)-(2.6)式及Young不等式,可以得到如下对$I_1$和$I_2$的估计

$I_1=\sum_{k}\int_{{\Bbb R}^2}(F_k\cdot\nabla) \mbox{curl}F_k\omega {\rm d}x\\ \leq \sum_{k}\|F_k\cdot\nabla\mbox{curl}F_k\|_{{\cal H}^1}\|\omega\|_{BMO}\\ \leq \sum_{k}C\|F_k\|_{L^2}\|\nabla \mbox{curl}F_k\|_{L^2}\|\nabla\omega\|_{L^2}\\ \leq C\sum_{k}\|\Delta F_k\|_{L^2}\|\nabla\omega\|_{L^2}\\ \leq \frac{1}{16}\|\nabla\omega\|_{L^2}^2+C\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2,\\[2mm] I_2=\int_{{\Bbb R}^2}(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2)\omega {\rm d}x\\ \leq \|\partial _2 u\nabla v_1\|_{{\cal H}^1}\|\omega\|_{BMO}+\|\partial _1 u\nabla v_2\|_{{\cal H}^1}\|\omega\|_{BMO}\\ \leq C\|\nabla u\|_{L^2}\|\nabla v\|_{L^2}\|\nabla\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\omega\|_{L^2}\|\nabla\omega\|_{L^2}\\ \leq \frac{1}{16}\|\nabla\omega\|_{L^2}^2+C\|\omega\|_{L^2}^2,$

将上述$I_1$和$I_2$的估计代入(2.8)式得到

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\omega\|^2_{L^2}+\|\nabla \omega\|^2_{L^2}\leq\frac{1}{8}\|\nabla\omega\|_{L^2}^2+C\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2+C\|\omega\|_{L^2}^2.$

(2.9)

现将算子$\Delta$作用于方程组(1.3)的第二个方程,并与$\Delta F_k$做$L^2$内积,得到

$\label{eq2.8} \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2)=\sum_k\int_{{\Bbb R}^2}\left(\Delta[(F_k\cdot\nabla)u]\cdot\Delta F_k-\Delta[(u\cdot\nabla) F_k]\cdot \Delta F_k \right){\rm d}x\\ =\sum_k\int_{{\Bbb R}^2}\Delta[(F_k\cdot\nabla)u]\cdot\Delta F_k{\rm d}x\\ \ -\sum_k\int_{{\Bbb R}^2}\left(\Delta[(u\cdot\nabla)F_k]-(u\cdot\nabla)\Delta F_k\right)\cdot\Delta F_k{\rm d}x\\ \leq \sum_k(C\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\Delta F_k\|_{L^2}^2+C\|\Delta u\|_{L^4}\|\nabla F_k\|_{L^4}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \ +C\|F_k\|_{L^{\infty}}\|\nabla\Delta u\|_{L^2}\|\Delta F_k\|_{L^2})\\ \doteq II_1+II_2+II_3,$

(2.10)

上述计算中运用了$\nabla\cdot u=\nabla\cdot F_k=0$ 和引理1.1.

对于$II_1$,由引理1.2可得

$ II_1=\sum_kC\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\Delta F_k\|_{L^2}^2\\ \leq \sum_kC\| u\|_{H^2}\log({\rm e}+\|u\|_{H^3})\|\Delta F_k\|_{L^2}^2\\ \leq \sum_kC\| v\|_{L^2}\ln({\rm e}+\|\omega\|_{L^2}+\|\Delta F_k\|_{L^2})\|\Delta F_k\|_{L^2}^2.$

对于$II_2$和$II_3$有如下估计

$II_2=\sum_k C\|\Delta u\|_{L^4}\|\nabla F_k\|_{L^4}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \leq \sum_k C\|v\|_{L^4}\|\nabla F_k\|_{L^4}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \leq \sum_k C\|v\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\Delta v\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|F_k\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\Delta F_k\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \leq \sum_k C\|v\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla\omega\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\Delta F_k\|_{L^2}^{\frac{7}{4}}\\ \leq \frac{1}{4}\|\nabla \omega\|_{L^2}^2+C\|v\|_{L^2}^{\frac{6}{7}}\sum_k\|\Delta F_k\|_{L^2}^{2}$

及

$II_3=\sum_k C\|F_k\|_{L^{\infty}}\|\nabla\Delta u\|_{L^2}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \leq \sum_k C\|F_k\|_{L^{\infty}}\|\nabla v\|_{L^2}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \leq \sum_k C\|F_k\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\Delta F_k\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\| v\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\Delta v\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\Delta F_k\|_{L^2}\\ \leq \sum_k C\|\Delta F_k\|_{L^2}^{\frac{3}{2}}\| v\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla \omega\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\\ \leq \frac{1}{4}\|\nabla \omega\|_{L^2}^2+C\|v\|_{L^2}^{\frac{2}{3}}\sum_k\|\Delta F_k\|_{L^2}^{2}.$

上述计算运用了引理1.3,(2.4)-(2.6)式以及Young不等式.

将上述对$II_1$-$II_3$的估计代入(2.8)式,并与(2.9)式相加,得到

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|\omega\|_{L^2}^2+\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2)+\frac{1}{4}\|\nabla\omega\|_{L^2}^2\\ \leq C(1+\|v\|_{L^2}^{\frac{6}{7}}+\|v\|_{L^2}^{\frac{2}{3}} +\|v\|_{L^2}\ln({\rm e}+\|\omega\|_{L^2}+\sum_k\|\Delta F_k\|_{L^2}))\sum_k\|\Delta F_k\|_{L^2}^2+C\|\omega\|_{L^2}^2.$

进一步可得

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}({\rm e}+\|\omega\|_{L^2}^2+\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2)+\frac{1}{4}\|\nabla\omega\|_{L^2}^2 \\ \leq C(1+\|v\|_{L^2}^{\frac{6}{7}}+\|v\|_{L^2})\ln({\rm e}+\|\omega\|_{L^2}+\sum_k\|\Delta F_k\|_{L^2}) ({\rm e}+\|\omega\|_{L^2}^2+\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2). $

(2.11)

结合(2.5)式可得

$\|\omega\|_{L^{\infty}(0,T;L^2)}+\|\omega\|_{L^{2}(0,T;H^1)}\leq C,$

(2.12)

$\|F_k\|_{L^{\infty}(0,T;H^2)}\leq C.$

(2.13)

因此

$\|v\|_{L^{\infty}(0,T;H^1)}+\|v\|_{L^{2}(0,T;H^2)}\leq C,$

(2.14)

$\|u\|_{L^{\infty}(0,T;H^3)}+\|u\|_{L^{2}(0,T;H^4)}\leq C,$

(2.15)

其中$C$为常数.

本文简略证明(2.12)-(2.15)式,相似的证明过程可参见文献[29]. 由于不等式(2.11)有如下形式

$y'(t)+\|\nabla\omega\|_{L^2}^2\leq C (1+\|v\|_{L^2}^{\frac{6}{7}}+\|v\|_{L^2})y(t)\ln y(t),$

(2.16)

其中$y(t)={\rm e}+\|\omega\|_{L^2}^2+\sum_k \|\Delta F_k\|_{L^2}^2$,则

$ \int_{y_0}^{y}\frac{{\rm d}\bar{y}}{\bar{y}\ln\bar{y}}\leq C\int_{0}^{t}(1+\|v(\tau)\|_{L^2}^{\frac{6}{7}}+\|v(\tau)\|_{L^2}){\rm d}\tau. $

由(2.5)式可得

$ \ln\ln y-\ln\ln y_0\leq C(t+1),$

故对任意$t\in [0,T]$有

$ y(t)\leq {\rm e}^{C{\rm e}^{C(T+1)}},$

从而

$\|\omega\|_{L^{\infty}(0,T;L^2)}+\sum_k\|\Delta F_k\|_{L^{\infty}(0,T;L^2)}\leq C.$

(2.17)

注意到$\|\nabla F_k\|_{L^2}\leq C\|F_k\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla^2 F_k\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}$,引理1.1及(2.6)式,可知(2.13)式成立. 进一步地由(2.16)式可知$\|\nabla \omega\|_{L^2(0,T:L^2)}\leq C$,再结合(2.17)式可知(2.12),(2.14)和(2.15)式成立.

现将算子$\partial ^3$作用于方程组(1.3)的第二个方程,并乘以$\partial ^3 F_k$,运用引理1.1,(2.15)式和Sobolev不等式,得到

$\frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\partial ^3 F_k(t)\|_{L^2}^2=\int_{{\Bbb R}^2}\partial ^3[(F_k\cdot\nabla)u]\cdot\partial ^3 F_k{\rm d}x-\int_{{\Bbb R}^2}\partial ^3[(u\cdot\nabla)F_k]\cdot\partial ^3 F_k{\rm d}x\\ =\int_{{\Bbb R}^2}\partial ^3[(F_k\cdot\nabla)u]\cdot\partial ^3 F_k{\rm d}x\\\ -\int_{{\Bbb R}^2}(\partial ^3[(u\cdot\nabla)F_k]-(u\cdot\nabla)\partial ^3 F_k)\cdot\partial ^3 F_k{\rm d}x\\ \leq C\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}^2+C\|\nabla F_k\|_{L^{\infty}}\|\partial ^3 u\|_{L^2}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}\\ \ +C\|F_k\|_{L^{\infty}}\|\partial ^4 u\|_{L^2}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}\\ \leq C\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}^2+C\|\nabla F_k\|_{L^{\infty}}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}+C\|\partial ^4 u\|_{L^2}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}\\ \leq C\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}^2+C(1+\|\partial ^3 F_k\|_{L^{2}})\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}+C\|\partial ^4 u\|_{L^2}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2},$

运用Gronwall不等式,可得

$\|F_k\|_{L^{\infty}(0,T;H^3)}\leq C,$

(2.18)

其中$C$为常数.

最后,将算子$\Delta$同时作用于(2.7)式两边,并与$\Delta\omega$做$L^2$内积,得到

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta\omega\|_{L^2}^2+\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^2=-\int_{{\Bbb R}^2}\Delta[(u\cdot\nabla)\omega]\Delta\omega {\rm d}x+\sum_k\int_{{\Bbb R}^2}\Delta[(F_k\cdot\nabla)\mbox{curl}F_k]\Delta\omega {\rm d}x\\ +\int_{{\Bbb R}^2}\Delta(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2)\Delta\omega {\rm d}x\\ \doteq III_1+III_2+III_3.$

(2.19)

对于$III_1$和$III_2$,通过分部积分,结合引理1.1,Young不等式以及(2.12)-(2.15)式和(2.18)式,可得

$III_1=-\int_{{\Bbb R}^2}\Delta[(u\cdot\nabla)\omega]\Delta\omega {\rm d}x\\ =\int_{{\Bbb R}^2}\nabla[(u\cdot\nabla)\omega]\cdot\nabla\Delta\omega {\rm d}x\\ \leq C\|u\|_{L^{\infty}}\|\Delta\omega\|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2} +C\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\nabla\omega\|_{L^{2}}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\Delta\omega\|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+C\|\nabla\omega\|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^2+C\|\Delta\omega\|_{L^2}^2+C\|\nabla\omega\|_{L^2}^2$

以及

$III_2=\sum_k\int_{{\Bbb R}^2}\Delta[(F_k\cdot\nabla)\mbox{curl}F_k]\Delta\omega {\rm d}x\\ =-\sum_k\int_{{\Bbb R}^2}\Delta\partial _i(F_k^{(i)}F_k)\cdot\mbox{curl}\Delta\omega {\rm d}x\\ \leq C\|F_k\|_{L^{\infty}}\|\partial ^3 F_k\|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq \frac{1}{8}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^2+C,$

其中还应用了$(F_k\cdot\nabla)\mbox{curl}F_k=\mbox{curl}[(F_k\cdot\nabla)F_k]=\mbox{curl}(\partial _i(F_{k}^{(i)}F_k))$,$\nabla\cdot F_k=0$,并且$F_{k}^{(i)}$表示$III_2$的估计式中$F$的第$(i,k)$个元素.

类似地,运用引理1.2,引理1.3,(2.4) (2.12)式和Young不等式,可以得到对$III_3$的估计

$III_3=\int_{{\Bbb R}^2}\Delta(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2)\Delta\omega {\rm d}x\\ =-\int_{{\Bbb R}^2}\nabla(\partial _2 u\nabla v_1-\partial _1 u\nabla v_2)\cdot\nabla\Delta\omega {\rm d}x\\ \leq C(\|\nabla\partial _2 u\|_{L^4}\|\nabla v_1 \|_{L^4}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+\|\partial _2 u\|_{L^{\infty}}\|\Delta v_1 \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2})\\ +C(\|\nabla\partial _1 u\|_{L^4}\|\nabla v_2 \|_{L^4}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+\|\partial _1 u\|_{L^{\infty}}\|\Delta v_2 \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2})\\ \leq C\|\Delta u\|_{L^4}\|\omega \|_{L^4}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+C\|\nabla u\|_{L^{\infty}}\|\nabla \omega \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\Delta u\|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^2\Delta u\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\cdot\|\omega \|_{L^2}^{\frac{3}{4}}\|\nabla^2\omega \|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\cdot\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+C\|\nabla \omega \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\nabla\omega\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla^2\omega \|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+C\|\nabla \omega \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\nabla\omega\|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\cdot\|\nabla^2\omega \|_{L^2}^{\frac{1}{4}}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^{\frac{1}{2}} +C\|\nabla \omega \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq C\|\nabla\omega\|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+C\|\nabla^2\omega \|_{L^2}^{\frac{1}{2}}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}+C\|\nabla \omega \|_{L^2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}\\ \leq \frac{1}{4}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^2+C\|\nabla\omega\|_{L^2}^2+C\|\Delta\omega \|_{L^2}^2+C,$

将上述对$III_1-III_3$的估计代入(2.19)式,可得

$ \frac{1}{2}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|\Delta\omega\|_{L^2}^2+\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^2\leq\frac{1}{2}\|\nabla\Delta\omega\|_{L^2}^2 +C\|\Delta\omega\|_{L^2}^2+C\|\nabla\omega\|_{L^2}^2+C,$

运用Gronwall不等式,可推知

$ \|\omega\|_{L^{\infty}(0,T;H^2)}+\|\omega\|_{L^{2}(0,T;H^3)}\leq C. $

因此

$ \|v\|_{L^{\infty}(0,T;H^3)}+\|v\|_{L^{2}(0,T;H^4)}\leq C,$

其中$C$为常数. 证毕.