考虑下述拟线性椭圆型边值问题

$ \left\{\begin{array}{ll} -\Delta_p u(x)-\mu\triangle u=f(x,u),& x\in\Omega ,\\ u=0,& x\in\partial \Omega ,\end{array}\right. $

(1.1)

其中 $\Omega $ 是 ${\Bbb R}^N\ (N>2)$ 上具有光滑边界 $\partial \Omega $ 的有界区域,$\mu>0$ 是实参数,$f(x,t)\in C(\overline{\Omega }\times {\Bbb R})$,$\triangle_p$ 表示 $p$ -拉普拉斯算子且定义如下

$\triangle_pu:=\mbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u),2＜p＜\infty.$

众所周知,问题 (1.1) 的非平凡解等价于 $C^1$ -能量泛函

$ I(u)=\frac{1}{p}\int_\Omega |\nabla u|^p{\rm d}x+\frac{\mu}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2{\rm d}x-\int_\Omega F(x,u){\rm d}x$

(1.2)

的非零临界点,其中 $F(x,t)=\int_0^t f(x,s){\rm d}s$.

当 $p>2,$ $\mu>0$ 时,寻找问题 (1.1) 的解已成为近年来研究的热门问题之一.

设 $0＜\mu_1＜\mu_2＜\cdot\cdot\cdot$ 表示拉普拉斯算子 $-\triangle$ 在空间 $H_0^1(\Omega )$ 中的特征值,$\lambda_1$ 与 $\sigma(-\triangle_p)$ 分别是算子 $-\triangle_p$ 在空间 $ W_0^{1,p}(\Omega )$ 中的第一特征值与谱(参见文献[3]).

在文献 [1-2] 中,作者使用如下条件

$ \mu_m＜f'(x,0)＜\mu_{m+1},\ \ F(x,t)＜\frac{\lambda_1}{p}|t|^p+C,\ x\in \Omega ,m\geq 1,$

运用三个临界点理论得到了问题 (1.1) 至少有两个非平凡解.

当问题 (1.1) 右端在无穷远处是 $p$ -线性增长时,即

$\lim\limits_{|t|\rightarrow\infty}\frac{f(x,t)}{|t|^{p-2}t}=\lambda\not\in\sigma(-\triangle_p),$

文献[4-5] 得到了一些非平凡解的存在性结果. 在文献 [6] 中,作者在更一般的渐近线性条件下推广了文献[1-2] 中的结果.

本文的主要目标是: 当 $2＜p\leq N$ 时 ,在非线性项 $F(x,.)$ 在原点是渐近$2$-线性增长,无穷远处是 $p$-超线性增长情形下建立问题 (1.1) 的非平凡解的存在性结果. 据我们所知,有很少的文献利用 Morse 理论研究问题 (1.1) (参见文献 [7]). 然而,上述所有的文献中非线性项 $f(x,u)$ 是次临界(多项式)增长,也就是

(SCP) : 存在正数 $c_1$,$c_2$ 和 $q_0\in (p-1,p^*-1) $ 使得

$ | f(x,t)| \leq c_1+c_2|t|^{q_0},\ \mbox{任意的}\ t\in {\Bbb R}\ ,\ x\in \Omega ,$

其中 $p^*=Np/(N-p)$ 表示临界 Sobolev 指数. 一个主要原因是: 在 (SCP) 条件下有 Sobolev 紧嵌入 $ W_0^{1,p}\hookrightarrow L^q(\Omega )$,$1\leq q＜p^*.$

不失一般性,本文总假设 $\mu=1$. 受 Lam 与 Lu^[8] 的启发,第一个问题将研究改进型次临界多项式增长条件下,即

$ (SCPI):\ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{f(x,t)}{t^{p^*-1}}=0 \mbox{对任意的$x\in \Omega $ 一致成立},$

问题 (1.1) 的非平凡解的存在性. 显然 (SCPI) 条件弱于 (SCP) 条件,且在 (SCPI) 条件下 Sobolev 紧嵌入不成立. 我们继续研究超线性问题 (1.1) 但在无穷远处不满足 (AR)- 条件. 事实上,在文献[9] 中,Liu 和 Wang 利用 Nehari 流形方法研究了拉普拉斯(即 $p=2$)情形. 然而,我们将应用 Morse 理论研究问题 (1.1) 在一般情形 ($2＜p＜N$). 此外,本文结果不同于文献 [7] 中的结果,因为文献 [7] 中非线性项在原点要求 $p$ 线性增长而本文要求 $2$ -渐近线性增长.

主要结果陈述如下.

设 $f(x,t)\in C(\overline{\Omega }\times {\Bbb R})$ 且满足:

$(H_1)$ 存在 $\eta>0$ 与 $m\geq 2$ 使得

$ \frac{1}{2}\bar{\mu} t^2＜ F(x,t)\leq \frac{1}{2}\mu_{m+1}t^2,\ x\in \Omega ,\ 0＜|t|\leq \eta,$

其中 $F(x,t)=\int_0^tf(x,s){\rm d}s$,$\mu_m＜\bar{\mu}＜\mu_{m+1}$;

$(H_1' )$ 存在 $\eta>0,$ 使得 $2F(x,t)\leq \mu_1 t^2,$ 对任意的 $|t|\leq \eta,\ x\in \Omega $;

$(H_2)$ 存在 $\theta\geq 1$,$C_*>0$ 使得

$ \theta (f(x,t)t-pF(x,t))\geq (sf(x,st)t-pF(x,st))-C_*$

对任意的 $(x,t)\in \Omega \times {\Bbb R}$,$ s\in [0,1]$;

$(H_3)$ $\lim\limits_{|t|\rightarrow+\infty}\frac{f(x,t)}{|t|^{p-2}t} =+\infty$ 对 a.e. $x\in \Omega $一致成立.

记 $|\cdot|_p$ 表示 $L^p(\Omega )$ 范数,Sobolev空间 $W_0^{1,p}(\Omega )$ 中的范数定义如下

$||u||:=\bigg(\int_\Omega |\nabla u|^p{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{p}}.$

定理 1.1 假设条件 $(H_1)-(H_3)$ 成立,当 $2＜p＜N$,且 $f$ 在 $\Omega $ 上满足改进的次临界多项式增长条件 (SCPI). 则问题 (1.1) 至少有一个非平凡解.

注 1.1 条件 $(H_1)$ 和 (SCPI) 与文献 [7] 中的条件 $(\mathrm{i})$ 和 $(\mathrm{iv})$ 比较可知,定理 1.1 完全不同于文献 [7] 中的定理 10.

定理 1.2 假设条件 $(H_1' )$,$(H_2)$ 和 $(H_3)$ 成立,当 $2＜p＜N$,且 $f$ 在 $\Omega $ 上满足改进的次临界多项式增长条件 (SCPI). 则问题 (1.1) 至少有一个非平凡解.

当 $p=N$ 时,有 $p^*=+\infty.$ 任意多项式增长都是合理的,但 $ W_0^{1,n}(\Omega )\nsubseteq L^\infty (\Omega ).$ 因此,在这种情形下仅需要寻找具有最大值增长的函数 $ g(s): {\Bbb R}\rightarrow {\Bbb R}^+$,使得

$ \sup\limits_{u\in W_0^{1,N},||u||\leq 1}\int_\Omega g(u){\rm d}x＜\infty.$

由文献[10] 与 [11] 可知,这种最大值增长其实是一种指数型增长. 因此,必须重新定义次临界指数型增长,具体定义如下:

(SCE): $f$ 在 $\Omega $ 上具有次临界指数型增长条件,即 $\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{|f(x,t)|}{\exp(\alpha |t|^{\frac{N}{N-1}})}=0$,$x\in \Omega $ 对任意的 $\alpha >0$ 一致成立.

当 $p=N$ 时,我们在 $f$ 具有次临界指数型增长条件 $\mathrm{(SCE)}$ 及在无穷远点不附加 (AR)-条件情形下研究超线性问题 (1.1),就我们所知这个是全新的. 研究结果如下:

定理 1.3 假设条件 $(H_1)-(H_3)$ 成立,当 $p=N$,且 $f$ 具有次临界指数型增长条件 $\mathrm{(SCE)}$. 则问题(1.1) 至少有一个非平凡解.

注 1.2 在 (SCE) 条件下,问题 (1.1) 是次临界指数型问题. 因此定理 1.3 是一个全新的结果.

定理 1.4 假设条件 $(H_1' )$,$(H_2)$ 及 $(H_3)$ 成立. 当 $p=N$,且 $f$ 具有次临界指数型增长条件$\mathrm{(SCE)}$. 则问题 (1.1) 至少有一个非平凡解.

定义 2.1 设 ($E,||\cdot||_E)$ 是实 Banach 空间,其对偶空间为 $(E^*,||\cdot||_{E^*}).$ 设泛函 $I\in C^1(E,{\Bbb R})$. 对常数 $c\in {\Bbb R},$ 如果对任意的序列 $\{x_n\}\subset E$ 满足

$ I(x_n)\rightarrow c,\ ||DI(x_n)||_{E^*}(1+||x_n||_E)\rightarrow 0,$

那么存在子列 $\{ x_{n_k}\}$ 在 $E$ 中强收敛,则称 $I$ 满足 $(C)_c$ 条件.

引理 2.1 在定理1.1 (或定理 1.2) 条件的假设下,$I(u)$ 满足 $(C)_c$ 条件.

证 设 $E=W_0^{1,p}(\Omega ).$ 考虑序列 $(u_{n})$ 满足

$ u_{n}\in W_0^{1,p}(\Omega ),\ I(u_{n})\rightarrow c,\ (1+||u_{n}||)I'(u_{n})\rightarrow 0 $

(2.1)

与

$\lim\limits_{n\rightarrow\infty} \bigg\{(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\int_\Omega |\nabla u_{n}|^2{\rm d}x+\int_\Omega (\frac{1}{p}f(x,u_{n})u_{n}-F(x,u_{n})){\rm d}x\bigg\}=c.$

(2.2)

当 $n\rightarrow \infty$ 时,假设 $||u_n||\rightarrow \infty$. 令 $w_{n}=||u_{n}||^{-1}u_{n}.$ 则有

$ w_{n}\rightharpoonup w\ \mbox{于}\ W_0^{1,p}(\Omega ),\ w_{n}\rightarrow w\ \mbox{于}\ L^p,\ w_{n}(x)\rightarrow w(x)\ \mbox{a.e.}\ x\in\Omega .$

如果 $w=0$,选择序列 $\{t_n\}\subset [0,1]$ 使得

$ I(t_nu_{n})=\max\limits_{t\in [0,1]}I(tu_{n}).$

对任意的 $m>0$,令 $v_{n}=(2pm)^{\frac{1}{p}}w_{n}$. 由 Sobolev 嵌入定理,有

$ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_\Omega F(x,v_{n}) {\rm d}x=0.$

因此,当 $n$ 充分大时,$(2pm)^{\frac{1}{p}}||u_{n}||^{-1} \in (0,1)$,且有

$ I(t_nu_{n})\geq I(v_{n})\geq 2m-\epsilon\geq m,$

(2.3)

其中 $\epsilon$ 是充分小的常数.

以上讨论证明 $I(t_nu_{n})\rightarrow\infty.$ 此外有,$I(0)=0$,$I(u_{n})\rightarrow c,$ $t_n\in [0,1]$ 且

$ \int_\Omega |\nabla (t_nu_{n})|^p{\rm d}x+\int_\Omega |\nabla (t_nu_{n})|^2{\rm d}x-\int_\Omega f(x,t_nu_{n})t_nu_{n}{\rm d}x=t_n \frac{\rm d}{{\rm d}t}|_{t=t_n} I(tu_{n})=0.$

(2.4)

因此,由条件 $(H_2)$ 可得

$(\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\int_\Omega |\nabla u_{n}|^2{\rm d}x+ \int_\Omega \frac{1}{p}f(x,u_{n}) u_{n}-F(x,u_{n}){\rm d}x \\ geq (\frac{1}{2}-\frac{1}{p})\int_\Omega |\nabla u_{n}|^2{\rm d}x+ \frac{1}{\theta}\int_\Omega (\frac{1}{p}f(x,t_nu_{n})t_nu_{n}-F(x,t_nu_{n})){\rm d}x- C_*|\Omega |\theta^{-1}\rightarrow+\infty.$

这与 (2.2) 式矛盾. 如果 $w\neq 0,$ 那么设 $\circleddash=\{ x\in\Omega : w(x)\neq 0\}$ 有一个正 Lebesgue 测度. 当 $ x\in \circleddash$ 时,$|u_{n}(x)|\rightarrow\infty.$ 因此,由条件 $(H_3)$ 知

$\frac{f(x,u_{n}(x))u_{n}(x)}{|u_{n}(x)|^p}|w_{n}(x)|^p{\rm d}x\rightarrow\infty.$

(2.5)

由 (2.1) 式可得

$ 1- o(1)\geq\bigg(\int_{w\neq 0}+\int_{w=0}\bigg)\frac{f(x,u_{n}(x))u_{n}(x)}{|u_{n}(x)|^p}|w_{n}(x)|^p{\rm d}x.$

(2.6)

由 (2.5) 知 (2.6)式的右端 $\rightarrow+\infty.$ 这是一个矛盾.

无论哪种情形都可得出矛盾. 因此,$\{u_{n}\}$ 有界.

现在证明 $\{u_n\}$ 有一个收敛子列. 事实上,假设

$u_n\rightharpoonup u\ \mbox{ 于 }\ W_0^{1,p}(\Omega ),$

(15)

$u_n \rightarrow u \ \mbox{于}\ L^q(\Omega ),\ \forall1\leq q＜p^*,$

$u_n(x)\rightarrow u(x)\ \mbox{a.e.}\ x\in \Omega .$

因为 $f$ 在 $\Omega $ 上是次临界增长的,对任意的 $\epsilon>0,$ 存在常数 $C(\epsilon)>0$ 使得

$ f(x,s)\leq C(\epsilon) +\epsilon|s|^{p^*-1},\forall (x,s)\in \Omega \times {\Bbb R} $

及

$\bigg|\int_\Omega f(x,u_n)(u_n-u){\rm d}x\bigg|\\ \leq C(\epsilon) \int_\Omega |u_n-u|{\rm d}x+ \epsilon \int_\Omega |u_n-u||u_n|^{p^*-1}{\rm d}x \\\leq C(\epsilon)\int_\Omega |u_n-u|{\rm d}x+\epsilon\bigg( \int_\Omega (|u_n|^{p^*-1})^{\frac{p^*}{p^*-1}}{\rm d}x\bigg)^{\frac{p^*-1}{p^*}}\bigg(\int_\Omega |u_n-u|^{p^*}\bigg)^{\frac{1}{p^*}}\\ \leq C(\epsilon)\int_\Omega |u_n-u|{\rm d}x+\epsilon C(\Omega ).$

类似的,由于在空间 $W_0^{1,p}(\Omega )$ 中,$u_n\rightharpoonup u$,$\int_\Omega |u_n-u|{\rm d}x\rightarrow 0.$ 由 $\epsilon$ 的任意性可得

$ \int_\Omega (f(x,u_n)-f(x,u))(u_n-u){\rm d}x\rightarrow 0,\ \ n\rightarrow\infty.$

(2.7)

由 (2.1)式可知

$ \langle I'(u_n)-I'(u),(u_n-u)\rangle\rightarrow 0,\ \ n\rightarrow\infty. $

(2.8)

由 (2.7) 与 (2.8)式推出

$\int_\Omega (|\nabla u_n|^{p-2}\nabla u_n-|\nabla u|^{p-2}\nabla u)(\nabla u_n-\nabla u)\rightarrow 0,\ \ n\rightarrow\infty.$

利用不等式

$ 2^{2-p}|b-a|^p\leq \langle |b|^{p-2}b-|a|^{p-2}a,b-a\rangle,\forall a,b\ \in {\Bbb R}^N $

可以得到

$ |\nabla u_n|\rightarrow |\nabla u|\ \mbox{于}\ L^p(\Omega ).$

因此,在空间 $W_0^{1,p}(\Omega )$ 中,$u_n\rightarrow u,$ 即 $I$ 满足 $\mathrm{(C)_c}$ 条件.

引理 2.2 ^[10-11] 设 $u\in W_0^{1,N}(\Omega )$,则对所以的 $1\leq q＜\infty$ 有 $\exp(|u|^{\frac{N}{N-1}})\in L^q(\Omega )$. 此外,

$ \sup\limits_{u\in W_0^{1,N}(\Omega ),||u||\leq 1}\int_\Omega \exp(\alpha |u|^{\frac{N}{N-1}}){\rm d}x\leq C(\Omega ),\ \ \alpha \leq \alpha _N,$

其中 $\alpha _N=N\omega_{N-1}^{\frac{1}{N-1}}$ 和 $\omega_{N-1}$ 是 $(N-1)$ -维单位球面的面测度. 这个不等式是最优的,即对任意的增长 $\exp(\alpha |u|^{\frac{N}{N-1}})$,$\alpha >\alpha _N$,相应的上确界是 $+\infty$.

引理 2.3 在定理 1.3 (或定理 1.4) 的假设下,$I(u)$ 满足 $(C)_c$ 条件.

证 设 $E=W_0^{1,N}(\Omega )$. 与引理 2.1 的证明类似,易知 $\mathrm{(C)_c}$ 序列 $\{u_n\}$ 在 $W_0^{1,N}(\Omega )$ 中有界. 接下来证明 $\{u_n\}$ 有一个收敛子列. 不失一般性,设

$ ||u_n||\leq \beta,$

$u_n\rightharpoonup u \mbox{于} \ W_0^{1,N}(\Omega ),$

$u_n \rightarrow u\mbox{于}\ L^q(\Omega ),\ \forall q\geq 1,$

$u_n(x)\rightarrow u(x)\ \mbox{a.e.}\ x\in \Omega .$

因为 $f$ 在 $\Omega $ 上满足次临界指数型增长条件 $\mathrm{(SCE)}$,且存在常数 $ C_\beta>0$ 使得

$ |f(x,t)|\leq C_\beta \exp\bigg(\frac{\alpha _N}{2\beta^{\frac{N}{N-1}}}|t|^{\frac{N}{N-1}}\bigg),\ \forall (x,t)\in \Omega \times {\Bbb R}.$

因此,由 Moser-Trudinger 不等式(参见引理 2.2)推出

$\bigg|\int_\Omega f(x,u_n)(u_n-u){\rm d}x\bigg|\\ \leq C\bigg(\int_\Omega \exp(\frac{\alpha _N}{\beta^{\frac{N}{N-1}}}|u_n|^{\frac{N}{N-1}}){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}|u_n-u|_2 \\\leq C\bigg(\int_\Omega \exp(\frac{\alpha _N}{\beta^{\frac{N}{N-1}}}||u_n||^{\frac{N}{N-1}}|\frac{u_n}{||u_n||}|^{\frac{N}{N-1}}){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{2}}|u_n-u|_2 \\ \leq C|u_n-u|_2\rightarrow0.$

类似于引理 2.1 最后的证明,在 $W_0^{1,N}(\Omega )$ 中,$u_n\rightarrow u$,即 $I$ 满足 $\mathrm{(C)_c}$ 条件.

总所周知,临界群与 Morse 理论是解决椭圆型偏微分方程的重要工具. 首先回顾一些基本的结果,其他相关 Morse 理论的相关结果可参见文献[12].

设 $E$ 是一个 Hilbert 空间,$I\in C^1(E,{\Bbb R})$ 是一个满足 (PS) 条件或 $\mathrm{(C)_c}$ 条件的泛函,$H_q(X,Y)$ 是 $q$ 阶奇异相对同调群. 设 $u_0$ 是一个 $I$ 的孤立临界点且 $I(u_0)=c,c\in {\Bbb R},$ $U$ 是一个 $u_0$ 的邻域. 群

$C_q(I,u_0):=H_q(I^c\cap U,I^c\cap U\backslash\{u_0\}),\ q\in Z$

称为 $I$ 在 $u_0$ 点的 $q$ 阶临界群,其中 $I^c= \{ u\in E:I(u)\leq c\}.$

设 $K:=\{u\in E:I'(u)=0\}$ 是 $I$ 的临界点的集合且 $a＜\inf I(K)$,$I$ 在无穷远处的临界群形式上定义如下^[13]

$C_q(I,\infty):=H_q(E,I^a),\ q\in Z.$

为方便证明,首先给出一些重要的性质.

性质 3.1 如果定理 1.1 (或定理1.2-1.4)的假设成立,则有

$C_q(I,\infty)=0\ \ \mbox{对任意整数}\ q\geq 0.$

证 这里仅给出定理 1.1 的假设下的证明,其他情形类似. 设 $S^{\infty}=\{ u\in E\ :\ ||u||=1\}$ 是 $E$ $(E=W_0^{1,p}(\Omega ))$ 中的单位球面,$B^{\infty}:=\{u\in W_0^{1,p}(\Omega )\ :\ ||u||\leq 1\}.$ 由条件 $(H_3)$,对任意的 $M>0$ 存在 $c>0$,使得 $F(x,t)\geq Mt^p-c,$ $(x,t)\in \Omega \times {\Bbb R},$ 这意味着

$ I(tu)\rightarrow-\infty,\ t\rightarrow+\infty$

对任意的 $u\in S^{\infty}.$ 由条件 $(H_2)$ 可知

$ f(x,t)t-pF(x,t)\geq -\frac{C_*}{\theta},\ (x,t)\in \Omega \times {\Bbb R}.$

(3.1)

选择

$ a＜ \min\bigg\{ \inf\limits_{u\in B^{\infty}}I(u),\ -\frac{C_*}{p\theta}|\Omega |\bigg\}.$

则对任意的 $u\in S^\infty$,存在 $t>1$ 使得 $I(tu)\leq a,$ 即

$ I(tu)= \frac{t^2}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{t^p}{p}-\int_\Omega F(x,tu){\rm d}x\leq a,$

这意味着

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}I(tu)=t\int_\Omega |\nabla u|^2{\rm d}x+t^{p-1}-\int_\Omega f(x,tu)u\\ \leq \frac{1}{t}(pa+\frac{C_*}{\theta}|\Omega |)＜0\ (\mbox{运用 (3.1)式).}$

剩余部分的证明与文献 [14] 中引理 2.6 证明完全相同.

性质 3.2 如果 $f$ 满足条件 (SCPI) 与 $(H_1)$,则 $C_m(I,0)\neq0$.

证 设

$ H^-=\oplus_{i\leq m-1}\ker(-\triangle-\mu_i),$

$H^0=\ker(-\triangle-\mu_m),$

$ H^+=\overline{\oplus_{j\geq m+1}\ker(-\triangle-\mu_j)},$

则有

$W_0^{1,2}(\Omega )=H^-\oplus H^0 \oplus H^+.$

设 $X^2=H^-\oplus H^0.$ 因为 $p>2$,通过正则理论(参见文献[15])有

$ X^2\subset W_0^{1,p}(\Omega )\cap L^\infty(\Omega ),$

及 $W_0^{1,p}(\Omega )\subset W_0^{1,2}(\Omega )$ 嵌入连续. 设 $X^1= H^+\cap W_0^{1,p}(\Omega ),$ 可得如下分解

$ W_0^{1,p}(\Omega )=X^1\oplus X^2.$

下证 $I$ 在 $0$ 关于 $(X^1,X^2)$ 有一个局部环绕.

由 $(H_1)$ 可知,对任意的 $u\in X^2$ (有限维)且充分小的 $||u||$,有

$F(x,u) \geq \frac{1}{2}\bar{\mu}u^2,$

这意味着

$I(u) \leq \frac{1}{2}\int_\Omega |\nabla u|^2{\rm d}x+\frac{1}{p} \int_\Omega |\nabla u|^p-\frac{\bar{\mu}}{2\mu_m}\int_\Omega |\nabla u|^2{\rm d}x\\ \leq -C||u||^2+C||u||^{p},$

其中 $C$ 是一个正常数,当 $r>0$ 充分小,有

$ I(u)\leq 0,\ u\in X^2,\ ||u|| \leq r.$

由条件 $(H_1)$ 与 $(SCPI)$,可得

$ F(x,u) \leq\frac{1}{2}\mu_{m+1}u^2 +C|u|^{p^*},\ u\in {\Bbb R},\ x\in \Omega $

及

$I(u)geq \frac{1}{2}\int_\Omega | \nabla u|^2{\rm d}x+ \frac{1}{p}\int_\Omega |\nabla u|^p{\rm d}x-\frac{1}{2} \int_\Omega \mu_{m+1}u^2-C\int_\Omega |u|^{p^*}{\rm d}x\\ geq C||u||^p-C||u||^{p^*}$

对任意的 $u\in X^1$ 成立,这意味着

$ I(u)> 0 $

对 $\forall u\in X^1 $,$||u||\leq r$ 及 $r>0$ 充分小成立.因此,$C_m(I,0)\neq0$ (参见文献[16]).

性质 3.3 如果 $f$ 满足条件 (SCE) 与 $(H_1)$,则 $C_m(I,0)\neq0$.

证 类似于性质 3.2 的证明,有

$ I(u)\leq 0,\ u\in X^2,\ ||u|| \leq r.$

由条件 (SCE) 与 $(H_1)$,存在 $A_1,\kappa>0$ 及 $q>N$ 使得对所有 $(x,s)\in \Omega \times {\Bbb R},$

$ F(x,s)\leq\frac{1}{2}\mu_{m+1}s^2 +A_1\exp (\kappa|s|^{\frac{N}{N-1}}) |s|^q.$

(3.2)

由式 (3.2),Holder's 不等式及 Moser-Trudinger 嵌入(参见引理2.2),可得

$I(u)geq \frac{1}{N}||u||^N-A_1\int_\Omega \exp(\kappa|u|^{\frac{N}{N-1}})|u|^q{\rm d}x\\ geq\frac{1}{N}||u||^N-A_1 \bigg(\int_\Omega \exp \Big(\kappa r||u||^{\frac{N}{N-1}}\Big(\frac{|u|}{||u||}\Big)^{\frac{N}{N-1}} \Big){\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{r}}\bigg(\int_\Omega |u|^{r'q}{\rm d}x\bigg)^{\frac{1}{r'}}\\ geq\frac{1}{N}||u||^N-C||u||^q,$

其中$r>1$ 充分接近于$1$,$||u||\leq \sigma$,$\kappa r\sigma^{\frac{N}{N-1}}＜\alpha _N.$ 因此,对所有 $u\in X^1$,有

$ I(u)> 0$

对 $||u||\leq r$ 和 $0＜r$ 充分小成立. 有 $C_m(I,0)\neq0$ (参见文献[16]).

性质 3.4 设 $ f$ 满足条件(SCPI) 与 $(H_1' )$,则

$C_m(I,0)=\delta _{m,0}Z.$

证 由 (SCPI) 与 $(H_1' )$,可知 $F(x,t)\leq \frac{1}{2}\mu_1t^2+C|t|^{p^*},$ $(x,t)\in \Omega \times {\Bbb R},$ 这意味着

$ I(u)\geq \frac{1}{p}||u||^p-C||u||^{p^*}.$

因为 $p^*>p$,易知 $0$ 是 $I$ 的一个局部极小且 $C_m(I,0)=\delta _{m,0}Z.$

性质 3.5 设 $ f$ 满足条件 (SCE) 与 $(H_1' )$,则

$C_m(I,0)=\delta _{m,0}Z.$

证 由 (SCE) 与 $(H_1' )$,类似于性质 3.3 的证明,有

$ I(u)\geq\frac{1}{N}||u||^N-C||u||^q,$

其中 $q>N$. 易知 $0$ 是 $ I$ 的一局部极小且 $C_m(I,0)=\delta _{m,0}Z.$

性质 3.6 ^{[14, 17]} 假设 $I\in C^1(E,{\Bbb R})$,满足 $(C)_c$ 条件,且 $I$ 有有限多个临界点. 设 $0$ 是 $I$ 的一个孤立临界点. 如果对某个 $k>0$ 有 $C_k(I,\infty)\neq C_k(I,0),$ 则 $I$ 有一个非平凡临界点.

定理 1.1 的证明 由 $(H_1)$,可知 $0$ 是 $I$ 的一个平凡临界点. 由性质 3.2,可知 $C_m(I,0)\neq0$. 同时由性质 3.1,可知 $C_q(I,\infty)=0.$ 最后再利用性质 3.6,定理得证.

定理 1.2 的证明 由性质 3.1,性质 3.4 及性质 3.6,定理即可得证.

定理 1.3 的证明 由性质 3.1,性质 3.3 及性质 3.6,定理即可得证.

定理 1.4 的证明 由性质 3.1,性质 3.5 及性质 3.6,定理即可得证.