关于 Dirichlet 级数的增长性质已经研究了很长时间,并得到了许多成果. 文献[1-4] 已经研究了半平面上的收敛 Dirichlet 级数的系数 $|a_{n}|$ 和偏差 $E_{n-1}(f,\delta )$ 的等价关系. 文献[5-11]已经研究了在全平面上收敛 Dirichlet 级数的增长性. 文献[12]通过定义一族新的函数,研究了 Dirichlet级数的广义级和型. 本文在此基础上,研究全平面上 Dirichlet 级数的逼近偏差,估计其广义级和型与偏差 $E_{n-1}(f,\delta )$ 和余项 $R_{n}(f,\delta )$ 之间的关系.

设 Dirichlet 级数

$f(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}{\rm e}^{-\lambda_{n}s},$

(1.1)

其中 $\{a_{n}\}$ 是一复数列,$s=\sigma+{\rm i}t(\sigma,t\in {\Bbb R}). $ $\lambda=\{\lambda_{n}\}^{\infty}_{n=1}$ 满足

$0=\lambda_{0}＜\lambda_{1}＜\cdots＜\lambda_{n}＜\cdots\uparrow+\infty.$

(1.2)

文献[12]假设级数(1.1)满足下列两个条件

$\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{\ln|a_{n}|}{\lambda_{n}}=-\infty,$

(1.3)

$\liminf_{n\rightarrow+\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)=h>0.$

(1.4)

由条件(1.4)和文献[1,引理3.1.1]可得

$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\frac{ n}{\lambda_n}=D ＜+\infty.$

(1.5)

由(1.3)和(1.5)式,应用 valirol 公式知级数(1.1)在全平面上是收敛且绝对收敛的,故(1.1)式所表示的函数$f(s)$为整函数.

定义 1.1 ^[1] 若级数(1.1)所表示的函数$f(s)$为整函数,则最大模和最大项定义如下

$M(\sigma)=\sup\{|f(\sigma+{\rm i}t)|;t\in{\Bbb R}\},m(\sigma)=\max\{|a_n|{\rm e}^{-\lambda _n\sigma};n \in N^+\}.$

定义 1.2 ^[1] 若级数(1.1)所表示的函数$f(s)$为整函数,则 $f(s)$ 的一般级可以定义为

$\rho=\limsup_{\sigma\rightarrow -\infty}\frac{\ln \ln M(\sigma)}{-\sigma}.$

如果 $0＜\rho＜\infty$,$f(s)$ 的型可以定义如下

$\tau=\limsup_{\sigma\rightarrow -\infty}\frac{\ln \ln M(\sigma)}{{\rm e}^{\sigma\rho}}.$

当$\rho=0$时,称整函数 $f(s)$ 为慢增长整函数. 为区分慢增长整函数的增长快慢,文献[12]引入了一族新的函数,并利用了这个函数定义了广义级和广义型,得到了具有广义级和广义型的整函数与其系数及指数之间的关系. 下面将对这一族函数进行介绍.

定义 1.3^[12] 记$\Lambda$ 为所有满足下列条件的函数 $h(x)$ 所构成的集合：

(i) $h(x)$ 为定义在 $[a,+\infty)$ 上严格递增,可微的正函数,并随着 $x\rightarrow +\infty$ 而趋于 $+\infty$;

(ii) $\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{{\rm d}(h(x))}{ {\rm d}(\ln^{[p]} x)}=k\in(0;+\infty),p\geq1,p\in N^+$,其中 d 为微分符号,$\ln^{[0]} x=x,$ $\ln^{[1]} x=\ln x,$ $\ln^{[p]}$ $ x=\ln^{[p-1]} \ln x .$ 容易证明对任意的$c>0$,有

$\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{h(cx)}{h(x)}=1,\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{h(c+x)}{h(x)}=1,$

(1.6)

因此$h(x)$ 是慢增长的函数.

定义 1.4 ^[12] 令 $\alpha (x)\in \Lambda$,(1.1)式所表示的整函数$f(s)$的广义级定义如下

$\rho_1 =\rho_1 (\alpha ;f)=\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)},$

若 $\rho_1\in(0,\infty)$,(1.1)式所表示的定义整函数$f(s)$的型为

$\tau_1=\tau_1(\alpha ;f) =\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (M(\sigma))}{[\alpha (e^\sigma)]^{\rho_1}}=\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\beta(\ln M(\sigma))}{[\beta(\sigma)]^{\rho_1}} ,$

其中 $\beta(\ln x)=\alpha (x)$.

本文将分成两个部分进行讨论,一部分在文献[12]的基础上继续研究全平面上增长的 Dirichlet 级数的广义级和型,探索全平面上 Dirichlet 级数的广义级、 型与偏差 $E_{n-1}(f,\delta )$ 及指数之间的关系. 另一部分将在文献[13]基础上研究全平面上余项$R_n(f,\delta )$的性质,探索余项与广义级和型的关系,并得到一些余项和偏差的性质.

定义 2.1 任意给定 $\delta (-\infty ＜\delta ＜+\infty )$ 和固定的正整数 $n(n\in N_+)$ ,令 $\Pi_k(\lambda)$ 表示形如 ${\sum\limits_{n=1}^k a_n {\rm e}^{-\lambda_n s}}$ 的指数多项式,我们定义逼近函数$f(s)$的偏差如下,记作$E_n(f,\delta )$

$E_n(f,\delta )=\inf\{||f-p||_\delta :p\in \Pi_k(\lambda),1\leq k \leq n\},$

其中

$||f-p||_\delta =\sup\{|f(\delta +{\rm i}t)-p(\delta + {\rm i}t)|:t\in {\Bbb R}\}.$

引理 2.1 ^[12] 若 Dirichlet级数 (1.1) 满足(1.3)和(1.5)式,$\alpha \in\Lambda$,那么

$\lim_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{[\alpha (-\sigma)]^H}=\lim_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln m(\sigma))}{[\alpha (-\sigma)]^H},H\in(0,+\infty).$

引理 2.2 ^[12] 若$\alpha (-\sigma)\in\Lambda$,它的反函数为 $\alpha ^{-1}(-\sigma)$,那么

$\lim_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha \{-\sigma\alpha ^{-1}[A\alpha (-\sigma+B)]\}}{\alpha (-\sigma)}\leq A+1,A>0,B>0. $

引理 2.3^[12] 若 $\beta(\ln (-\sigma))=\alpha (-\sigma)\in \Lambda$ ,$\beta^{-1}(-\sigma)$ 是 $\beta(-\sigma)$的反函数,那么

$\lim_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\beta\{-\sigma\beta^{-1}\{A[\beta(-\sigma+B)]^{\rho_1}\}\}}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}}\leq A,A>0,B>0,\rho_1>1.$

引理 2.4^[14] 由(1.1)式定义的整函数$f(s)$满足条件(1.2)和(1.3),对于任意的$n\geq1$,那么

$|a_n|{\rm e}^{-\delta \lambda_n}\leq E_{n-1}(f,\delta )\leq R_n(f,\delta ).$

(2.1)

定理 2.1 若 Dirichlet级数 (1.1) 满足条件(1.3)和(1.5),$\alpha \in\Lambda$,那么

${\rm (i)}~~ \limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)}-1=\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln[E_{n-1}(f,\delta ) {\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})},p=1; \\ {\rm (ii)}~~\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln[E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})}\leq\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)} \\ \le \limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln[E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})}+ 1,p=2,3,\cdots.$

证 我们分两步证明定理.

(Ⅰ) 当 $p=1$时,$\alpha (-\sigma)=k\cdot\ln (-\sigma)+C$,可得 $\alpha ^{-1}(-\sigma)=\exp(\frac{-\sigma-C}{k})=C{\rm e}^{\frac{-\sigma}{k}}$. 由引理2.1,有

$\lim_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)}=\lim_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln m(\sigma))}{\alpha (-\sigma)}=A. $

假定 $1 \leq A＜\infty$,对任意的 $\varepsilon >0,$ 存在 $ \sigma_0(\varepsilon )＜0$,当 $\sigma\leq\sigma_0$时,有

$\frac{\alpha (\ln m(\sigma))}{\alpha (-\sigma)}＜ A+\varepsilon =A^*.$

那么

$\ln m(\sigma)＜\alpha ^{-1}[A^*\alpha (-\sigma)]=\exp[\frac{A^*\alpha (-\sigma)-C}{k}]=C(-\sigma)^{A^*}. $

由 $E_{n-1}(f,\delta )$定义,当 $1\leq k \leq n-1$时,有

$E_{n-1}(f,\delta )\le m(\sigma)\sum_{k=n}^{\infty}{\rm e}^{\lambda_k(\sigma-\delta )}\leq m(\sigma){\rm e}^{\lambda_n(\sigma-\delta )}\sum_{k=n}^{\infty}{\rm e}^{(\lambda_k-\lambda_n)(\sigma-\delta )}\\ \le m(\sigma){\rm e}^{\lambda_n(\sigma-\delta )}\sum_{k=n}^{\infty}{\rm e}^{-(k-n)h'}\leq m(\sigma){\rm e}^{\lambda_n(\sigma-\delta )}{\rm e}^{nh'}\sum_{k=n}^{\infty}{\rm e}^{-kh'}\\ =m(\sigma){\rm e}^{\lambda_n(\sigma-\delta )}(1-{\rm e}^{-h'})^{-1}.$

故

$E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}\leq m(\sigma){\rm e}^{\lambda_n\sigma}(1-{\rm e}^{-h'})^{-1},$

$\ln E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}\leq \ln m(\sigma)+\lambda_n\sigma+\ln K,$

(2.2)

其中$ K=(1-{\rm e}^{-h'})^{-1}$. 记 $E_{n-1}=E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}$,那么

$\ln E_{n-1}\leq\ln m(\sigma)+\lambda_n\sigma+ \ln K $

或

$\ln E_{n-1}^{-1}\geq -\ln m(\sigma)+(-\sigma)\lambda_n-\ln K. $

当 $n$ 充分大时,令$\sigma=\sigma_n =-(\frac{\lambda_n}{A^*})^{\frac{1}{A^*-1}}. $ 那么

$ \ln E_{n-1}^{-1}\geq \lambda_n(\frac{\lambda_n}{A^*})^{\frac{1}{A^*-1}} -C(\frac{\lambda_n}{A^*})^{\frac{A^*}{A^*-1}}-\ln K =(A^*-C)(\frac{\lambda_n}{A^*})^{\frac{A^*}{A^*-1}}-\ln K,$

$\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}} \geq\frac{1}{\lambda_n}[(A^*-C)(\frac{\lambda_n}{A^*})^{\frac{A^*}{A^*-1}}],$

$\ln (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}}) geq -\ln\lambda_n+\ln [(A^*-C)(\frac{\lambda_n}{A^*})^{\frac{A^*}{A^*-1}})]\\ geq -\ln\lambda_n+\frac{A^*}{A^*-1}\ln \lambda_n=\frac{\ln\lambda_n}{A^*-1}.$

可得

$\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})\geq\frac{\alpha (\lambda_n)}{A^*-1}.$

因此

$A-1 \geq\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})}. $

当 $p=2,3,\cdots$ 时,假定 $A＜\infty$. 由上述证明,得

$ \ln m(\sigma)＜\alpha ^{-1}[A^*\alpha (-\sigma)] \mbox{ 或 }\ln E_{n-1}^{-1}\geq -\ln m(\sigma)+(-\sigma)\lambda_n-\ln K. $

令 $\sigma=\sigma(\lambda_n) =-\alpha ^{-1}[\frac{\alpha (\lambda_n)}{A^*}](\sigma\rightarrow-\infty\Leftrightarrow n\rightarrow+\infty),$ 那么 $\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}}> -\sigma-1$ 或 $\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})> \alpha (-\sigma-1)$.

由(1.6)式,当$\sigma$ 充分小时,得 $ \alpha (-\sigma-1)=(1+o(1))\alpha (-\sigma)$,

$ \alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})>(1+o(1))\alpha (-\sigma)=(1+o(1))\frac{\alpha (\lambda_n)}{A^*}. $

那么

$ A^*=A+\varepsilon >(1+o(1))\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})}. $

我们得到

$\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})}\leq A,$

当$A=\infty$时,结论也成立.

(Ⅱ) 相反的,令

$\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})}=B,$

假定 $B＜\infty$ ,对任意 $\varepsilon >0$,存在$n_0(\varepsilon )>0$,当$n\leq n_0(\varepsilon )$时,得

$\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})}＜B+\varepsilon =B^*.$

因此 $\alpha (\lambda_n)＜B^*\alpha (\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}} ),$ $\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]＜-\frac{1}{\lambda_n}\ln E_{n-1},$

$E_{n-1}＜\exp\{-\lambda_n\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]\}.$

由 (1.5)式,则存在$r>0$,使得

$\lambda_n>r\ln n \mbox{ 或 } {\rm e}^{-\lambda_n}＜\frac{1}{n^r},$

当 $\sigma$ 充分小时,存在 $s>n_0(\varepsilon )$,使得

$\lambda_s\leq\alpha ^{-1}[B^*\alpha (-\sigma+\frac{2}{r})]\leq\lambda_{s+1}. $

(2.3)

由 $M(\sigma)$ 的定义和引理2.4,可得

$M(\sigma)\le \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n\sigma} \leq\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n\delta }{\rm e}^{\lambda_n\delta }{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}\\ \le \sum_{n=1}^{\infty}E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\lambda_n\delta }{\rm e}^{-\lambda_n\sigma}\\ \le \sum_{n=1}^{n_0}E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\lambda_n(\delta -\sigma)}+\sum_{n=n_0+1}^{s}E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\lambda_n(\delta -\sigma)} +\sum_{n=s+1}^{\infty}E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\lambda_n(\delta -\sigma)}\\ =A_0+A_1+A_2.$

容易得到

$A_1=\sum_{n=n_0+1}^sE_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\lambda_n(\delta -\sigma)} =\sum_{n=n_0+1}^s E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n}\\ \le \sum_{n=n_0+1}^s\exp \{-\lambda_n\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]\}\cdot\exp\{-\sigma\alpha ^{-1}[B^*\alpha (-\sigma+\frac{2}{r})]\}\\ \le \exp\{-\sigma\alpha ^{-1}[B^*\alpha (-\sigma+\frac{2}{r})]\}\sum_{n=n_0+1}^s\frac{1}{n^{r\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]}}\\ \le C\exp\{-\sigma\alpha ^{-1}[B^*\alpha (-\sigma+\frac{2}{r})]\}.$

$ A_2=\sum_{n=s+1}^{\infty}E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\lambda_n(\delta -\sigma)}=\sum_{n=s+1}^{\infty}E_{n-1}{\rm e}^{-\lambda_n\sigma},$

由(2.3)式可得

$-\sigma＜\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]-\frac{2}{r},$

因此

$A_2\le \sum_{n=s+1}^{\infty}\exp\{-\lambda_n\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]\}\cdot\exp\{-\lambda_n\alpha ^{-1}[\frac{1}{B^*}\alpha (\lambda_n)]\}\cdot {\rm e}^{-\frac{2\lambda_n}{r}}\\ =\sum_{n=s+1}^{\infty}{\rm e}^{-\frac{2\lambda_n}{r}}\leq\sum_{n=s+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}＜C.$

同样的,

$M(\sigma)\leq(1+o(1))C\exp\{-\sigma\alpha ^{-1}[B^*\alpha (-\sigma+\frac{2}{r})]\}.$

由引理 2.2,我们可得

$\alpha (\ln M(\sigma))\leq(1+o(1))\alpha \{-\sigma\alpha ^{-1}[B^*\alpha (-\sigma+\frac{2}{r})]\}=(1+o(1))(B^*+1)\alpha (-\sigma),$

因此

$\limsup_{\sigma\rightarrow{-\infty}}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)}\leq B+1.$

综合(Ⅰ)和(Ⅱ)知,结论成立.

定理 2.2 若 Dirichlet级数 (1.1) 满足条件(1.3)和 (1.5),$\alpha \in\Lambda$,广义级 $\rho_1\in(1,+\infty),$ 那么

$\tau_1=\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\beta(\ln M(\sigma))}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}} =\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\beta(\lambda_n)}{[\beta(\ln[E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}}. $

证 我们分两步证明定理.

(Ⅰ) 由引理2.1,令

$\limsup_{\sigma\rightarrow{-\infty}}\frac{\beta(\ln M(\sigma))}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}} =\limsup_{\sigma\rightarrow{-\infty}}\frac{\beta(\ln m(\sigma))}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}} =\tau_1,$

假定 $\tau_1＜\infty$,对任意的 $\varepsilon >0$,存在$\sigma_0(\varepsilon )＜0$,当 $\sigma\leq \sigma_0(\varepsilon )$时,有

$\frac{\beta(\ln m(\sigma))}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}}＜\tau_1+\varepsilon =\tau_1^* ~\mbox{ 或 } \ln m(\sigma)＜\beta^{-1}\{\tau_1^*[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}\}.$

由(2.2)式,有

$\ln E_{n-1}^{-1}>-\sigma\lambda_n-\ln m(\sigma)-\ln K . $

故

$ \ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}}>-\sigma-\frac{\ln m(\sigma)}{\lambda_n}-\frac{\ln K}{\lambda_n} >-\sigma-\frac{\beta\{\tau_1^*[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}\}+K}{\lambda_n}. $

令 $\sigma=\sigma(\lambda_n)$满足

$\sigma=-\beta^{-1}\{[\frac{1}{\tau_1^*}\beta(\lambda_n-K)]^{\frac{1}{\rho_1}}\} \mbox{ } (\sigma\rightarrow{-\infty}\Leftrightarrow n\rightarrow {+\infty}),$

则

$ \ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}}>-\sigma-1 \mbox{ 或 } \beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})>\beta(-\sigma-1). $

由 (1.6)式,得 $\beta(-\sigma-1)=(1+o(1))\beta(-\sigma)$,那么

$[\beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}\geq(1+o(1))[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}=(1+o(1))\frac{1}{\tau_1^*}\beta(\lambda_n-K),$

$\tau_1^*=\tau_1+\varepsilon \geq \frac{\beta(\lambda_n)}{[\beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}},$

当$n\rightarrow +\infty$,

$\tau_1\geq\limsup_{n\rightarrow +\infty}\frac{\beta(\lambda_n)}{[\beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}}.$

(Ⅱ) 相反的,令

$\limsup_{n\rightarrow +\infty}\frac{\beta(\lambda_n)}{[\beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}}=B,$

假定 $B＜\infty$,对任意的 $\varepsilon >0$,存在 $n_0(\varepsilon )>0,$ 当$n\geq n_0(\varepsilon )$时,我们有

$\frac{\beta(\lambda_n)}{[\beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}}＜B+\varepsilon =B^* \mbox{ 或 }\beta(\lambda_n)＜B^*[\beta(\ln E_{n-1}^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1},$

$\beta^{-1}\{[\frac{1}{B^*}\beta(\lambda_n)]^{\frac{1}{\rho_1}}\}＜-\frac{1}{\lambda_n}\ln E^{n-1},$

$E_{n-1}＜\exp\{-\lambda_n\beta^{-1}\{[\frac{1}{B^*}\beta(\lambda_n)]^{\frac{1}{\rho_1}}\}\}.$

由(1.5)式,存在$ r>0$,使得

$\lambda_n>r\ln n \mbox{ 或 } {\rm e}^{-\lambda_n}＜\frac{1}{n^r},$

另外,当 $\sigma$ 充分小,存在 $s$,使得

$\lambda_s \leq\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\leq\lambda_{s+1},$

(2.4)

有

$M(\sigma)\le \sum_{n=1}^{\infty}|a_n|{\rm e}^{-\lambda_n\sigma} \leq \sum_{n=1}^{\infty}E_{n-1}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n} =\sum_{n=1}^{\infty}E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n}\\ =\sum_{n=1}^{n_0}E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n}+\sum_{n=n_0+1}^{s}E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n}+\sum_{n=s+1}^{\infty}E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n}\\ =B_0+B_1+B_2.$

显然,

$B_1=\sum_{n=n_0+1}^{s}E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n} \\ \le \sum_{n=n_0+1}^{s}\exp\{-\lambda_n\beta^{-1}\{[\frac{1}{B^*}\beta(\lambda_n)]^{\frac{1}{\rho_1}}\}\} \cdot\exp\{-\sigma\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\}\\ \le \exp\{-\sigma\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\}\cdot\sum_{n=n_0+1}^{s}\frac{1}{n^{r\beta^{-1}[\frac{1}{B^*\beta(\lambda_n)}]}}\\ \le C\exp\{-\sigma\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\}.$

由(2.4)式,得

$-\sigma＜\beta^{-1}\{[\frac{1}{B^*}\beta(\lambda_n)]^{\frac{1}{\rho_1}}\}-\frac{2}{r},$

由(2.4)式和上面不等式,得

$B_2=\sum_{n=s+1}^{\infty}E_{n-1}{\rm e}^{-\sigma\lambda_n} \\ \le \sum_{n=s+1}^{\infty}\exp\{-\lambda_n\beta^{-1}\{[\frac{1}{B^*}\beta(\lambda_n)]^{\frac{1}{\rho_1}}\}\} \cdot\exp\{\lambda_n\beta^{-1}\{[\frac{1}{B^*}\beta(\lambda_n)]^{\frac{1}{\rho_1}}\}\}{\rm e}^{-\frac{2}{r}\lambda_n}\\ =\sum_{n=s+1}^{\infty}{\rm e}^{-\frac{2}{r}\lambda_n}\leq\sum_{n=s+1}^{\infty}\frac{1}{n^2}＜C.$

同样的,有

$ M(\sigma)\leq(1+o(1))C\exp\{-\sigma\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\},$

因此

$\beta(\ln M(\sigma))\leq(1+o(1))C\beta\{-\sigma\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\}.$

由引理2.3,有

$\beta\{-\sigma\beta^{-1}\{B^*[\beta(-\sigma+\frac{2}{r})]^{\rho_1}\}\}\leq B^*[\beta(-\sigma)]^{\rho_1},$

那么

$\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\beta(\ln M(\sigma))}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}}\leq B. $

综合(Ⅰ)和(Ⅱ)知,结论成立.

文献[13]研究了半平面上余项的性质,本文借助一族新的函数以及定义整函数$f(s)$的广义级和型,对全平面上Dirichlet级数的余项的性质进行了研究.

首先,给出由 Dirichlet级数(1.1)所定义的和函数$f(s)$的余项,记作 $R_n(f,\delta )$ :

$R_n(f,\delta )=\sum_{k=n}^\infty |a_k|{\rm e}^{-\delta \lambda_k}.$

(3.1)

下面,给出这节所需要的定理.

引理 3.1 若 $f(s)$ 满足条件 (1.2) (1.3),$\{\lambda_n\}_{n=1}^\infty$ 满足 $\liminf\limits_{n\rightarrow+\infty}(\lambda_{n+1}-\lambda_n)=h>0$和

$\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln |a_{n+1}|-\ln |a_{n}|}{\lambda_{n+1}-\lambda_n}=-\infty,$

则对任意的 $\delta $,当 $n\geq1$时,有

$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\ln R_n(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}}{\ln|a_n|}=1.$

(3.2)

证 一方面,由引理2.4,可得 $|a_n|\leq R_n(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n} $,因此当 $n$ 充分大,可得

$\frac{\ln R_n(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}}{\ln |a_n|}\leq 1.$

另一方面,对给定的 $h_1(0＜h_1＜h)$ ,存在正整数 $n_1$,使得 $\forall n>n_1$,

$\lambda_{n+1}-\lambda_n\geq h_1.$

由第二个极限条件,对于存在充分大的数 $M(>|\delta |)>0$. 存在正整数 $n_2$,使得 $\forall n>n_2$

$\ln |a_{n+1}|-\ln |a_{n}|\geq-M(\lambda_{n+1}-\lambda_n),~ \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}>{\rm e}^{-M(\lambda_{n+1}-\lambda_n)},$

那么当 $n>\max\{n_1,n_2\}$,可得

$\begin{align} & {{R}_{n}}(f,\delta )=\sum\limits_{k=n}^{\infty }{|}{{a}_{k}}|{{\text{e}}^{-\delta {{\lambda }_{k}}}}=|{{a}_{n}}|{{\text{e}}^{-\delta {{\lambda }_{n}}}}[1+\sum\limits_{k=n+1}^{\infty }{\frac{|{{a}_{k}}|}{|{{a}_{n}}|}}{{\text{e}}^{-\delta ({{\lambda }_{k}}-{{\lambda }_{n}})}}] \\ & \ge |{{a}_{n}}|{{\text{e}}^{-\delta {{\lambda }_{n}}}}[1+\sum\limits_{k=n+1}^{\infty }{{{\text{e}}^{-(M+\delta )({{\lambda }_{k}}-{{\lambda }_{n}})}}}] \\ & \ge |{{a}_{n}}|{{\text{e}}^{-\delta {{\lambda }_{n}}}}[1+\sum\limits_{k=n+1}^{\infty }{{{\text{e}}^{-(M+\delta ){{h}_{1}}(k-n)}}}] \\ & \ge |{{a}_{n}}|{{\text{e}}^{-\delta {{\lambda }_{n}}}}[1+\frac{1}{{{\text{e}}^{{{h}_{1}}(M+\delta )}}-1}], \\ \end{align}$

故 $\ln [R_n(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}]\geq \ln |a_{n}| +\ln [1+\frac{1}{{\rm e}^{h_1(M+\delta )}-1}]$,且

$\frac{\ln [R_n(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}]}{\ln |a_{n}|}\geq 1+\frac{\ln [1+\frac{1}{{\rm e}^{h_1(M+\delta )}-1}]}{\ln |a_{n}|}. $

因此,当 $n\rightarrow+\infty$,引理得证.

定理 3.1 若 Dirichlet级数(1.1)满足引理 3.1 的条件,$\alpha \in\Lambda$,那么

${\rm (i)}~~\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)}-1=\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln[R_{n}(f,\delta ) {\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})},p=1; \\ {\rm (ii)}~~\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln[R_{n}(f,\delta ) {\rm e}^{ \delta _n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})}\leq \limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\alpha (\ln M(\sigma))}{\alpha (-\sigma)} \\ \le \limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\alpha (\lambda_n)}{\alpha (\ln[R_{n}(f,\delta ) {\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})}+ 1,p=2,3,\cdots.$

证 由文献[12]中的定理 1 和引理 3.1,我们可以得到上述结果.

定理 3.2 若 Dirichlet级数 (1.1) 满足引理 3.1 的条件,$\alpha \in\Lambda$,广义级 $\rho_1\in(1,+\infty),$ 那么

$\tau_1=\limsup_{\sigma\rightarrow-\infty}\frac{\beta(\ln M(\sigma))}{[\beta(-\sigma)]^{\rho_1}} =\limsup_{n\rightarrow+\infty}\frac{\beta(\lambda_n)}{[\beta(\ln[R_{n}(f,\delta ){\rm e}^{\delta \lambda_n}]^{-\frac{1}{\lambda_n}})]^{\rho_1}}. $

证 由文献[12]中的定理 3 和引理 3.1,我们可以得到上述结果.