反向热传导问题也被称为终值问题^[1],这是一个典型的不适定问题^[2-3]. 一般情况下,当终值和边界值已知时,热传导方程是无解的,即使有解存在,解也不会连续依赖于终值数据,在这种情况下很难进行数值模拟,必须借助于正则化方法去解这类不适定问题. 对于这类问题已经有了大量的研究成果,如文献[4-6]. 文献[7] 利用拟逆方法研究了反向热传导问题,文献[8]中作者对一类特殊的反向热传导方程建立了最优性误差估计式,文献[9]建立了一种最优滤波方法,文献[10-11]应用一些数值方法研究这个问题. 近年来,刘在文献[12]中利用数值方法研究了反向热传导方程,文献[13] 中作者应用了算子分裂法,文献[14]和文献[15] 分别应用了Fourier 方法和拟逆正则化方法去解决这类不适定问题. 上面提到的文献研究的都是线形反向热传导问题,尽管在线性反向热传导问题中已经有了大量的研究工作,但是在非线性的情形中,只有少量的研究成果. 本文考虑如下问题

$\left\{\begin{array}{ll} u_t(x,t)-u_{xx}(x,t)=f(x,t,u(x,t)),& (x,t)\in {\Bbb R}\times(0,T),\\ u(x,T)=\varphi (x),& x\in{\Bbb R},\\ \end{array}\right. \label{101}$

(1.1)

其中 $\varphi (x)$ 和 $f(x,t,u(x,t))$ 已知. 由于在实际问题中 $\varphi (x)$ 只能通过测量得到,因此存在测量误差,假设测量函数 $\varphi _{\delta }(x)\in L^2({\Bbb R})$,并且满足

$\|\varphi -\varphi _{\delta }\|\le\delta ,\\ \label{102}$

(1.2)

其中 ||·|| 表示 $ L^2$ 范数,$\delta >0$ 表示测量误差. 在文献[16]中,作者考虑了有界区域上的非线性反向热传导方程. 本文的主要工作是给出一个既简单又方便的正则化方法-- Fourier 正则化方法,与此同时,给出正则解和精确解之间具有Hölder型的误差估计.

Fourier 正则化方法已经被广泛应用于解决各种问题. 在文献[17-18]中利用 Fourier 正则化方法解决了侧边值逆热传导问题,在文献[19]中解决了高阶数值微分问题. 文献[20]中利用 Fourier 方法解决了 Helmholtz 方程 Cauchy 问题. 在文献[21-22]中解决了未知源识别问题. 这种正则化方法对于处理一些不适定问题是相当简单和方便的. 然而,据我们所知,到目前为止,在解决非线性反向热传导方程方面只有少量工作. 本文的目的就是利用 Fourier 正则化方法去解决问题 (1.1).

本文结构安排如下: 在第二部分分析了问题的不适定性并且给出了一个重要引理; 在第三部分给出了 Fourier 正则化方法和适定性结果; 在第四部分,在精确解的先验界条件下给出了正则解与精确解之间的收敛性误差估计; 第五部分给出了本文的主要结论.

通过在频域空间求解问题 (1.1) 来分析问题的不适定性.

定义函数 $f(x)$ 的 Fourier 变换如下

$\hat{f}(\xi):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^\infty_{-\infty} {\rm e}^{-{\rm i}\xi{x}}f(x){\rm d}x. \label{201}$

(2.1)

在问题 (1.1) 中对变量 $x$ 做 Fourier 变换,得到精确解 $u(x,t)$ 的 Fourier 变换为^[23]

$\widehat{u}(\xi,t)={\rm e}^{\xi^2(T-t)}\hat{\varphi }(\xi)-\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2 (s-t)}\widehat{f(x,s,u)}(\xi,s){\rm d}s. \label{202}$

(2.2)

再利用 Fourier 逆变换得到

$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{{\rm i}\xi x }\Big({\rm e}^{\xi^2(T-t)}\hat{\varphi }(\xi)-\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2 (s-t)}\widehat{f(x,s,u)}(\xi,s){\rm d}s\Big){\rm d}\xi. \label{212}$

(2.3)

注意到,当 $|\xi|\rightarrow\infty$ 时 ${\rm e}^{\xi^2(T-t)}\rightarrow\infty$. 因此从 (2.2) 式和 (2.3) 式知: 当 $|\xi|\rightarrow\infty$ 时,要使得 $\widehat{u}(\xi,t)\in L^2({\Bbb R})$,$\hat{\varphi }(\xi)$ 必须是急速衰减的. 但在实际问题中只知道 $\varphi (x)$ 的测量值 $\varphi _{\delta }(x)$,并且 ${\varphi }_{\delta }(x)\in L^2({\Bbb R})$ 一般不会满足急速衰减的. 因此问题 (1.1) 是一个不适定问题,我们将应用 Fourier 正则化方法得到问题 (1.1) 的近似解. 首先给出如下引理.

引理2.1 如果 $v(t)\in C(0,T)$ 并且满足

$v(t)\leq C_1+2C_2(T-t)\int_t^T v(y){\rm d}y,\label{203}$

(2.4)

则

$v(t)\leq C_1T{\rm e}^{2C_2T(T-t)},\label{204}$

(2.5)

其中 $C_1\geq0,C_2\geq0$ 都是常数.

证 设 $V(t)=v(T-t)$,有 $V(T-t)=v(t)$,$\forall t\in[0,T]$.

则

$V(T-t)\leq C_1+2C_2(T-t)\int_{t}^{T}v(y){\rm d}y. \label{205}$

(2.6)

设 $z=T-y$,有

$V(T-t)\leq C_1+2C_2(T-t)\int_{0}^{T-t}v(T-z){\rm d}z\leq C_1+2C_2T\int_{0}^{T-t}v(T-z){\rm d}z. \label{206}$

(2.7)

设 $\tau=T-t$,则 $\tau\in [0,T]$,并且有

$V(\tau)\leq C_1+2C_2T\int_{0}^{\tau}V(z){\rm d}z. \label{207}$

(2.8)

对 (2.8) 式应用 Gronwall 不等式^[24],得到

$V(\tau)\leq {\rm e}^{\int_0^{\tau}2C_2T{\rm d}s}\int_0^\tau C_1{\rm d}s. \label{208}$

(2.9)

所以有

$V(\tau)\leq C_1\tau {\rm e}^{2C_2T\tau}\leq C_1T{\rm e}^{2C_2T\tau},\label{209}$

(2.10)

即

$V(T-t)\leq C_1T{\rm e}^{2C_2T(T-t)}. \label{210}$

(2.11)

因此

$v(t)\leq C_1T{\rm e}^{2C_2T(T-t)}. \label{211}$

(2.12)

证毕.

我们定义问题 (1.1) 的一个正则近似解

$u_{\xi_{\max}}^{\delta }(x,t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}\Big({\rm e}^{\xi^2(T-t)}\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)\chi_{\max} -\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2 (s-t)}\widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}}^{\delta })}(\xi,s)\chi_{\max}{\rm d}s\Big){\rm e}^{{\rm i}\xi x}{\rm d}\xi,\label{301}$

(3.1)

其中 $\chi_{\max}$ 是定义在区间 $[-\xi_{\max},\xi_{\max}]$ 上的一个特征函数,即

$\xi_{\max}= \left\{\begin{array}{ll} 1,&|\xi|\leq\xi_{\max},\\ 0,&|\xi|>\xi_{\max}. \end{array}\right. \label{302}$

(3.2)

下面我们将证明问题 (3.1) 解的存在性、唯一性和稳定性.

定理3.1 假设 $\varphi \in L^2({\Bbb R})$,$f\in L^{\infty}({\Bbb R}\times[0,T]\times{\Bbb R})$ 满足 $f(x,t,0)=0$,并且

$|f(x,y,w)-f(x,y,v)|\leq k|w-v|,\label{303}$

(3.3)

其中 $k>0$ 是依赖于 $x,y,w,v$ 的一个常数. 那么问题 (3.1) 有唯一解 $u_{\xi_{\max}}^{\delta }(x,t)\in C([0,T];$ $L^2({\Bbb R})). $

证 对于 $\omega(x,t)\in C([0,T];L^2({\Bbb R}))$,考虑如下定义的算子

$G(\omega)(x,t):=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}{\rm e}^{\xi^2(T-t)}\hat{\varphi }(\xi)\chi_{\max}{\rm e}^{{\rm i}\xi x}{\rm d}\xi\\ -\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int^{\infty}_{-\infty}\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2 (s-t)}\widehat{f(x,s,\omega)}(\xi,s)\chi_{\max}{\rm d}s{\rm e}^{{\rm i}\xi x}{\rm d}\xi,\label{304}$

那么对于 $\omega,\,\,\nu\in C([0,T];L^2({\Bbb R}))$ ,能够证明如下估计

$\|G^p(\omega_{\xi_{\max}})(\cdot,t)-G^{p}(\nu_{\xi_{\max}})(\cdot,t)\|\leq k^p {\rm e}^{Tp\xi^2_{\max}}\frac{1}{\sqrt{p!}}(T(T-t))^{\frac{p}{2}} |||\omega_{\xi_{\max}}-\nu_{\xi_{\max}}|||,\label{305}$

(3.4)

其中 $\|\cdot\|$ 是 $L^2({\Bbb R})$ 中的范数,$|||\cdot|||$ 是 $C([0,T];L^2({\Bbb R}))$ 中范数的上确界,并且

$G^p(\omega_{\xi_{\max}})=\underbrace {\left\{G(G(G \cdots(G\right\}}_p(\omega_{\xi_{\max}})))). \label{314}$

(3.5)

我们将通过归纳法证明不等式 (3.4) 成立.

当 $p=1$时,有

$\begin{align} & \|G({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})(\cdot ,t)-G({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})(\cdot ,t){{\|}^{2}}=\|\hat{G}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})(\cdot ,t)-\hat{G}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})(\cdot ,t){{\|}^{2}} \\ & =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s))\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & =\int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{[}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s))\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{]}^{2}}\text{d}\xi \\ & \le \int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{[}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\text{d}s\int\limits_{t}^{T}{|}\widehat{f(x,s,{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}s]\text{d}\xi \\ & \le {{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t)\int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{[}\int\limits_{t}^{T}{|}\widehat{f(x,s,{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}s]\text{d}\xi \\ & \le {{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t)\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}\widehat{f(x,s,{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}\xi ]\text{d}s \\ & ={{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t)\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}f(x,s,{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})-f(x,s,{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}){{|}^{2}}\text{d}x]\text{d}s \\ & \le {{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t){{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}(x,s)-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}(x,s){{|}^{2}}\text{d}x]\text{d}s \\ & ={{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t){{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{\|{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}(}\cdot ,s)-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,s){{\|}^{2}}\text{d}s \\ & \le {{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t){{k}^{2}}(T-t)|||{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}||{{|}^{2}} \\ & \le {{\text{e}}^{2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}T}}(T-t){{k}^{2}}T|||{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}||{{|}^{2}}. \\ \end{align}$

当 $p=j$ 时,假设下面的不等式成立

$\|G^j(\omega_{\xi_{\max}})(\cdot,t)-G^{j}(\nu_{\xi_{\max}})(\cdot,t)\|^2\leq T^jk^{2j}{\rm e}^{2Tj\xi^2_{\max}}\frac{(T-t)^{j}}{j!}|||\omega_{\xi_{\max}} -\nu_{\xi_{\max}}|||^2. \label{306}$

(3.6)

所以当 $p=j+1$ 时,有

$\begin{align} & \|{{G}^{j+1}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})(\cdot ,t)-{{G}^{j+1}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})(\cdot ,t){{\|}^{2}}=\|\hat{G}({{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))(\cdot ,t)-\hat{G}({{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}))(\cdot ,t){{\|}^{2}} \\ & =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s))\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & \le \int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{[}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\text{d}s\int\limits_{t}^{T}{|}\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}))(\xi ,s)}{{|}^{2}}\text{d}s]\text{d}\xi \\ & \le {{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t)\int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{[}\int\limits_{t}^{T}{|}\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}s]\text{d}\xi \\ & ={{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t)\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{|}\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}\xi ]\text{d}s \\ & \le {{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t)\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}))}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}\xi ]\text{d}s \\ & ={{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t)\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}f(x,s,{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}))-f(x,s,{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}})){{|}^{2}}\text{d}x]\text{d}s \\ & ={{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t){{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{[}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}{{G}^{j}}({{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}})-{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}){{|}^{2}}\text{d}x]\text{d}s \\ & \le {{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t){{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{\|{{G}^{j}}(}{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,s))-{{G}^{j}}({{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,s)){{\|}^{2}}\text{d}s \\ & \le {{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T}}(T-t){{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{{{T}^{j}}}{{k}^{2j}}{{\text{e}}^{2Tj\xi _{\max }^{2}}}\frac{{{(T-s)}^{j}}}{j!}|||{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}||{{|}^{2}}\text{d}s \\ & \le \frac{{{T}^{j+1}}{{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T(j+1)}}{{k}^{2(j+1)}}|||{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}||{{|}^{2}}}{j!}\int\limits_{t}^{T}{{{(T-s)}^{j}}}\text{d}s \\ & =\frac{{{T}^{j+1}}{{\text{e}}^{2\xi _{\max }^{2}T(j+1)}}{{(T-t)}^{j+1}}{{k}^{2(j+1)}}}{(j+1)!}|||{{\omega }_{{{\xi }_{\max }}}}-{{\nu }_{{{\xi }_{\max }}}}||{{|}^{2}}. \\ \end{align}$

则

$\|G^{j+1}(\omega_{\xi_{\max}})(\cdot,t)-G^{j+1}(\nu_{\xi_{\max}})(\cdot,t)\|\leq \frac{{\rm e}^{\xi_{\max}^2T(j+1)}(T(T-t))^{\frac{j+1}{2}}k^{j+1}}{\sqrt{(j+1)!}}|||\omega_{\xi_{\max}}-\nu_{\xi_{\max}}|||. \label{307}$

(3.7)

应用归纳法,并且对于所有 $\omega,\nu \in C([0,T];L^2({\Bbb R}))$ 有

$\|G^p(\omega_{\xi_{\max}})(\cdot,t)-G^{p}(\nu_{\xi_{\max}})(\cdot,t)\|\leq k^p {\rm e}^{Tp\xi^2_{\max}}\frac{1}{\sqrt{p!}}(T(T-t))^{\frac{p}{2}} |||\omega_{\xi_{\max}}-\nu_{\xi_{\max}}|||. \label{308}$

(3.8)

考虑算子 $G: C([0,T;L^2({\Bbb R})])\rightarrow C([0,T;L^2({\Bbb R})])$ ,并从实分析中我们可知

$\lim_{p\rightarrow \infty} k^p {\rm e}^{Tp\xi^2_{\max}}\frac{1}{\sqrt{p!}}(T(T-t))^{\frac{p}{2}}=0. \label{309}$

(3.9)

即肯定存在一个正数 $p_0$ 满足 $0＜k^{p_0} {\rm e}^{Tp_{0}\xi^2_{\max}}\frac{1}{\sqrt{(p_0)!}}(T(T-t))^{\frac{p_0}{2}}＜1$. 所以 $G^{p_0}$ 是一个压缩映射,这表明方程 $G^{p_0}(\omega)=\omega$ 有唯一解 $u_{\xi_{\max}}(x,t)\in C([0,T];L^2({\Bbb R})])$. 注意到 $G(G^{p_0}(u_{\xi_{\max}}))=G(u_{\xi_{\max}})$,因此 $G^{p_0}(G(u_{\xi_{\max}}))=G(u_{\xi_{\max}})$. 由 $G^{p_0}$ 不动点的唯一性有 $G(u_{\xi_{\max}})=u_{\xi_{\max}}$,所以方程 $G(\omega)=\omega$ 有唯一解 $u_{\xi_{\max}}$.

定理3.2 假设 $f$ 满足 (3.3)式,$u_{\xi_{\max}}$ 和 $u^{\delta }_{\xi_{\max}}$ 是问题 (3.1) 分别对应于 $\varphi $ 和 $\varphi _{\delta }$ 的解,那么对于 $0＜t＜T$,有

$\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|\leq \sqrt{2T}{\rm e}^{\xi_{\max}^2(T-t)}{\rm e}^{k^2T(T-t)}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|. \label{310}$

(3.10)

证 由 Parseval 公式得到

$\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2=\|\hat{u}_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-\hat{u}^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\\ =\int_{-\infty}^{\infty}\Big|[{\rm e}^{\xi^2(T-t)}(\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi))\\ -\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2(s-t)}( \widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s)){\rm d}s]\chi_{\max}\Big|^2{\rm d}\xi\\ =\int_{-\xi_{\max}}^{\xi_{\max}}\Big|[{\rm e}^{\xi^2(T-t)}(\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi))\\ -\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2(s-t)}( \widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s)){\rm d}s]\Big|^2{\rm d}\xi\\ \le 2\int_{-\xi_{\max}}^{\xi_{\max}}[{\rm e}^{\xi^2(T-t)}(\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi))]^2{\rm d}\xi\\ +2\int_{-\xi_{\max}}^{\xi_{\max}} \bigg[\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi^2(s-t)}( \widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s)){\rm d}s \bigg]^2{\rm d}\xi\\ \le 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)|^2{\rm d}\xi\\ +2\int_{-\xi_{\max}}^{\xi_{\max}}\bigg[\int^{T}_{t}{\rm e}^{\xi_{\max}^2(s-t)}( \widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s)){\rm d}s\bigg]^2{\rm d}\xi\\ \le 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)\|^2\\ +2\int_{-\xi_{\max}}^{\xi_{\max}}\bigg[\int^{T}_{t}{\rm e}^{-2\xi_{\max}^2t}{\rm d}s\int^{T}_{t}{\rm e}^{2\xi_{\max}^2s}( \widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s))^2{\rm d}s\bigg]{\rm d}\xi\\ \le 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)\|^2\\ +2(T-t){\rm e}^{-2\xi_{\max}^2t}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{t}^{T}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s} (\widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s))^2{\rm d}s{\rm d}\xi\\ =2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)\|^2\\ +2(T-t){\rm e}^{-2\xi_{\max}^2t}\int_{t}^{T}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s} \int_{-\infty}^{\infty}(\widehat{f(x,s,u_{\xi_{\max}})}(\xi,s)-\widehat{f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}})}(\xi,s))^2{\rm d}\xi {\rm d}s\\ =2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)\|^2\\ +2(T-t){\rm e}^{-2\xi_{\max}^2t}\int_{t}^{T}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s} (f(x,s,u_{\xi_{\max}})-f(x,s,u^{\delta }_{\xi_{\max}}))^2{\rm d}x{\rm d}s\\ \le 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\hat{\varphi }(\xi)-\hat{\varphi }_{\delta }(\xi)\|^2\\ +2(T-t)k^2{\rm e}^{-2\xi_{\max}^2t}\int_{t}^{T}\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s} |u_{\xi_{\max}}(x,s)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(x,s)|^2{\rm d}x{\rm d}s\\ =2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|^2 +2(T-t)k^2{\rm e}^{-2\xi_{\max}^2t}\int_{t}^{T}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s} \|u_{\xi_{\max}}(\cdot,s)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,s)\|^2{\rm d}s. \label{311}$

则

$\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\\ \le 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|^2 +2(T-t)k^2{\rm e}^{-2\xi^2_{\max}t}\int_t^{T}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s}\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,s)-u_{\xi_{\max}}^{\delta }(\cdot,s)\|^2{\rm d}s,$

即

${\rm e}^{2\xi_{\max}^2t}\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2 \\ \le 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2T}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|^2 +2(T-t)k^2\int_t^{T}{\rm e}^{2\xi^2_{\max}s}\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,s)-u_{\xi_{\max}}^{\delta }(\cdot,s)\|^2{\rm d}s.$

应用引理2.1 有

${\rm e}^{2\xi_{\max}^2t}\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\leq 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2T}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|^2T{\rm e}^{2k^2T(T-t)},\label{312}$

(3.11)

即

$\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\leq 2{\rm e}^{2\xi_{\max}^2(T-t)}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|^2T{\rm e}^{2k^2T(T-t)}. \label{313}$

(3.12)

因此

$\|{{u}_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,t)-u_{{{\xi }_{\max }}}^{\delta }(\cdot ,t)\|\le \sqrt{2T}{{\text{e}}^{\xi _{\max }^{2}(T-t)}}{{\text{e}}^{{{k}^{2}}T(T-t)}}\|\varphi -{{\varphi }_{\delta }}\|.$

(3.13)

证毕.

注3.1 从定理3.2 有: 当 $\delta \rightarrow 0$ 时,$\|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u^{\delta }_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|\rightarrow 0$. 所以问题 (3.1) 的解连续依赖于 $\varphi \in L^2({\Bbb R})$.

在这一部分,我们将得到精确解与正则解之间的误差估计,为此,假设精确解存在如下先验界

$\int_{-\infty}^{\infty}{\rm e}^{2t\xi^2}|\hat{u}(\xi,t)|^2{\rm d}\xi\leq E^2,\,\,\,\forall t\in[0,T],\label{401}$

(4.1)

其中 $E$ 是常数.

下面给出本文主要结果. 定理4.1 设 $f$ 满足条件 (3.3),$u(x,t)$ 是问题 (1.1) 的精确解,$u_{\xi_{\max}}^{\delta }(x,t)$ 是问题 (3.1) 的解. 假设条件 (1.2), (4.1) 成立,如果选取 $\xi_{\max}$ 满足

$\xi_{\max}=\sqrt{\frac{1}{T}\ln(\frac{E}{\delta })},\label{402}$

(4.2)

则有如下估计

$\|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}^{\delta }(\cdot,t)\|\leq2\sqrt{2T}{\rm e}^{k^2(T-t)}\delta ^{\frac{t}{T}}E^{1-\frac{t}{T}}. \label{403}$

(4.3)

证 由 Parseval 公式,有

$\begin{align} & \|u(\cdot ,t)-{{u}_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,t){{\|}^{2}}=\|\hat{u}(\cdot ,t)-{{{\hat{u}}}_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,t){{\|}^{2}} \\ & =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(T-t)}}(1-{{\chi }_{\max }})\hat{\varphi }(\xi )-\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)\text{d}s \\ & +\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(T-t)}}(1-{{\chi }_{\max }})\hat{\varphi }(\xi )-\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,u)(\xi ,s)}(\xi ,s)\text{d}s \\ & +\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)\text{d}s{{\chi }_{\max }}\text{d}\xi \\ & -\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)\text{d}s{{\chi }_{\max }}\text{d}\xi +\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s)\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}[{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(T-t)}}\hat{\varphi }(\xi )-\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)\text{d}s](1-{{\chi }_{\max }}) \\ & -\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s))\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & =\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}(1-{{\chi }_{\max }})\hat{u}(\xi ,t)-\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s))\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & \le \int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}(1-{{\chi }_{\max }})\hat{u}(\xi ,t){{|}^{2}}\text{d}\xi + \\ & 2\int\limits_{-\infty }^{\infty }{\int\limits_{t}^{T}{|}}{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}(\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})})(\xi ,s)\text{d}s{{\chi }_{\max }}{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & =2\int\limits_{|\xi |>{{\xi }_{\max }}}{|}\hat{u}(\xi ,t){{|}^{2}}\text{d}\xi +2\int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{|}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }^{2}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s))\text{d}s{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & \le \int\limits_{|\xi |>{{\xi }_{\max }}}{{{\text{e}}^{-2t{{\xi }^{2}}}}}{{\text{e}}^{2t{{\xi }^{2}}}}|\hat{u}(\xi ,t){{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & +2\int\limits_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{|}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}(s-t)}}}(\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s))\text{d}s{{|}^{2}}\text{d}\xi \\ & \le 2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}} \\ & +2\int_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{|}\int_{t}^{T}{{{\text{e}}^{-2{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}t}}}\text{d}s\int_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}|\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{\max }})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}s|\text{d}\xi \\ & \le 2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}} \\ & +2(T-t){{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}\int_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{\int_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}}|\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}s\text{d}\xi \\ & \text{=}2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}} \\ & +2(T-t){{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}\int_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}\int_{-{{\xi }_{\max }}}^{{{\xi }_{\max }}}{|}\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}\xi \text{d}s \\ & \le 2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}}+2(T-t){{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}\int_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}\int_{-\infty }^{\infty }{|}\widehat{f(x,s,u)}(\xi ,s)-\widehat{f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}})}(\xi ,s){{|}^{2}}\text{d}\xi \text{d}s \\ & \text{=}2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}}+2(T-t){{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}f(x,s,u)-f(x,s,{{u}_{{{\xi }_{\max }}}}){{|}^{2}}\text{d}x\text{d}s \\ & \le 2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}}+2(T-t){{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}\int\limits_{-\infty }^{\infty }{|}u(x,s)-{{u}_{{{\xi }_{\max }}}}(x,s){{|}^{2}}\text{d}x\text{d}s \\ & \text{=}2{{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{E}^{2}}+2(T-t){{\text{e}}^{-2t{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}{{k}^{2}}\int\limits_{t}^{T}{{{\text{e}}^{2s{{\xi }_{{{\max }^{2}}}}}}}\|u(\cdot ,s)-{{u}_{{{\xi }_{\max }}}}(\cdot ,s){{\|}^{2}}\text{d}s. \\ \end{align}$

则

$\|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\\ \le 2{\rm e}^{-2t\xi_{\max}^2}E^2+2(T-t){\rm e}^{-2t\xi_{\max}^2}k^2\int_{t}^{T}{\rm e}^{2s\xi_{\max}^2}\|u(\cdot,s)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,s)\|^2{\rm d}s,\label{404}$

即

${\rm e}^{2t\xi_{\max}^2}\|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\leq 2E^2+2(T-t)k^2\int_{t}^{T}{\rm e}^{2s\xi_{\max}^2}\|u(\cdot,s)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,s)\|^2{\rm d}s. \label{405}$

(4.4)

应用引理 2.1,有

${\rm e}^{2t\xi_{\max}^2}\|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|^2\leq2E^2T{\rm e}^{2k^2T(T-t)}. \label{406}$

(4.5)

那么

$\|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|\leq\sqrt{2T}E{\rm e}^{k^2T(T-t)}{\rm e}^{-t\xi_{\max}^2}. \label{407}$

(4.6)

由三角不等式,并注意到 (3.10),(4.6) 和 (4.2)式,有

$\displaystyle\|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}^{\delta }(\cdot,t)\| \le \|u(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)\|+ \|u_{\xi_{\max}}(\cdot,t)-u_{\xi_{\max}}^{\delta }(\cdot,t)\|\\ \displaystyle\le \sqrt{2T}E{\rm e}^{k^2T(T-t)}{\rm e}^{-t\xi_{\max}^2}+\sqrt{2T}{\rm e}^{\xi_{\max}^2(T-t)}{\rm e}^{k^2T(T-t)}\|\varphi -\varphi _{\delta }\|\\ \displaystyle\le \sqrt{2T}E{\rm e}^{k^2T(T-t)}{\rm e}^{-t\xi_{\max}^2}+\sqrt{2T}{\rm e}^{\xi_{\max}^2(T-t)}{\rm e}^{k^2T(T-t)}\delta \\ \displaystyle=2\sqrt{2T}{\rm e}^{k^2(T-t)}\delta ^{\frac{t}{T}}E^{1-\frac{t}{T}}.$

证毕.

非线性反向热传导问题是反问题研究中一类重要的反问题,在实际问题中有着非常广泛的应用. 我们借助于Fourier 截断正则化方法,得到问题的正则解,并且给出了正则解和精确解之间的 Hölder 型的误差估计.