设 ${\Bbb R}^n,\ n\geq2,$ 是 $n$ 维欧式空间且 $S^{n-1}$ 表示 ${\Bbb R}^n$ 中的单位球面,${\rm d}\sigma$ 为 Lebesgue 测度. 令 $\Omega$ 是 ${\Bbb R}^n$ 上零次齐次函数且

$\int_{S^{n-1}}\Omega(u){\rm d}\sigma(u)=0.$

(1.1)

对定义在 ${\Bbb R}^{+}:=(0,\infty)$ 上的两个适当的实值函数 $\phi,\,h$,我们考虑相关于形如 $\{\phi(|u|)u':u\in{\Bbb R}^n\}$ 的曲面上的参数型 Marcinkiewicz 积分 ${\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho$:

${\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho(f)(x)=\Big(\int_0^\infty\Big|\frac{1}{t^\rho} \int_{|y|\leq t}\frac{\Omega(y)h(|y|)}{|y|^{n-\rho}}f(x-\phi(|y|)y'){\rm d}y \Big|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2},$

(1.2)

这里 $\rho=\sigma+{\rm i}\tau\,(\sigma,\,\tau\in{\Bbb R}$,$\sigma>0)$ 且 $f\in{\cal S}({\Bbb R}^n)$ (Schwartz 类).

当 $h\equiv1$,$\rho=1$ 且 $\phi(t)=t$,我们用 ${\cal M}_\Omega$ 表示 ${\cal M}_{h,\Omega,\phi}^{\rho}$. Stein^[21] 给出算子 ${\cal M}_\Omega$ 的定义,随后许多作者对该算子进行了进一步的研究,可参看文献[4, 7-8, 10, 13, 23, 25, 27]. 特别地,Walsh^[23] 在 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$时,建立了 ${\cal M}_\Omega$ 在 $L^2({\Bbb R}^n)$ 上的有界性. 后来 Al-Salman 等^[4] 又将这一结果推广到了对任意 $1＜p＜\infty$ 成立. 需要说明的是,对 ${\cal M}_{\Omega}$ 的 $L^2$ 有界性,$\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$ 是一个充分非必要条件并且在如下意义下是最佳的: 对任意 $\epsilon>0$,存在一个 $\Omega$ 属于 $L(\log^+L)^{1/2-\epsilon}(S^{n-1})$ 且满足 (1.1)式使得 ${\cal M}_{\Omega}$ 不是 $L^2({\Bbb R}^n)$ 有界的(参看文献[23]). Ding等^[10] 证明如果 $\Omega\in H^1(S^{n-1})$,对 $1＜p＜\infty$,${\cal M}_{\Omega}$ 在 $L^p({\Bbb R}^n)$ 上有界,这里 $H^1(S^{n-1})$ 表示单位球面上的 Hardy 空间. 接着,Chen 等^[8] 证明了若对某个 $\beta>1$,$\Omega \in{\cal F}_\beta(S^{n-1})$,则对 $2\beta/(2\beta-1)＜p＜2\beta$,${\cal M}_\Omega$ 在 $L^p({\Bbb R}^n)$ 上有界. 这里对 $\beta>0$,${\cal F}_\beta(S^{n-1})$ 定义如下

${\cal F}_\beta(S^{n-1}):=\Big\{\Omega\in L^1(S^{n-1}):\ \sup\limits_{\xi'\in S^{n-1}}\int_{S^{n-1}}|\Omega(y')|\Big(\log\frac{1}{|\xi'\cdot y'|}\Big)^{\beta}{\rm d}\sigma(y')＜\infty\Big\}.$

(1.3)

最近,Wu^[24] 将文献[8] 的结果改善为: 对某个 $\beta>1/2$ 且 $1+1/(2\beta)＜p＜1+2\beta$,$\Omega\in{\cal F}_\beta(S^{n-1})$ (可参看文献[25]). 注意到

$ \bigcap_{\beta>1}{{\cal F}}_{\beta}({S}^{n-1})\nsubseteq H^1({S}^{n-1}) \nsubseteq \bigcup_{\beta>1}{{\cal F}}_{\beta}({S}^{n-1}),\bigcap_{\beta>1}{{\cal F}}_{\beta}({S}^{n-1})\nsubseteq L\log^+L(S^{n-1}); $

$ L^q(S^{n-1})\subsetneq L(\log^+L)(S^{n-1})\subsetneq H^1(S^{n-1})\subsetneq L^1(S^{n-1}); $

$ L(\log^+L)^{\beta_1}(S^{n-1})\subsetneq L(\log^+L)^{\beta_2}(S^{n-1}),\ \forall\ 0＜\beta_2＜\beta_1; $

$ L(\log^+L)^{\beta}(S^{n-1})\nsubseteq H^1(S^{n-1})\nsubseteq L(\log^+L)^{\beta}(S^{n-1}),\ \ \forall\ 0＜\beta＜1; $

$ L(\log^+L)^{\beta}(S^{n-1})\subset H^1(S^{n-1}),\ \ \forall\ \beta\geq1. $

当 $\phi(t)=t$,我们用 ${\cal M}_{h,\Omega}^\rho$ 来表示 ${\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho$. 对 $h(t)\equiv 1$,算子 ${\cal M}_{h,\Omega}^\rho$ 归结为经典的参数型 Marcinkiewicz 积分算子,其最初由 Hörmander^[16] 对 $\rho>0$ 的情况进行了研究,后来由 Sakamoto 和 Yabuta^[18] 对复数 $\rho$ 及 $\Omega\in{\rm Lip}_\alpha (S^{n-1})$ 的情形进行了研究. 由于 $h$ 的关系,${\cal M}_{h,\Omega}^{\rho}$ 的核函数在径向上增加了粗糙性,其研究也引起了许多人的关注. 在 2002 年,Ding 等^[11] 证明了如果 $\Omega\in L(\log^+L)(S^{n-1})$ 且关于某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)$,则 ${\cal M}_{h,\Omega}^\rho$ 在 $L^2({\Bbb R}^n)$ 上有界. 这里 $\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)\,(\gamma\geq1)$ 表示定义在 ${\Bbb R}^+$ 上的所有满足如下条件的可测函数 $h$ 的集合

$ \|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}:=\sup\limits_{R>0}\Big(R^{-1}\int_0^{R}|h(t)|^\gamma {\rm d}t\Big)^{1/\gamma}＜\infty. $

易验证 $L^{\infty}({\Bbb R}^+)=\Delta_{\infty} ({\Bbb R}^+)$ 并且对 $1\le\gamma_1＜\gamma_2＜\infty$,$\Delta_{\gamma_2}({\Bbb R}^+)\subsetneq \Delta_{\gamma_1}({\Bbb R}^+)$. 近来,Al-Qassem 和 Pan^[6] 将文献[11] 的结果推广到了 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$ 及 $|1/p-1/2|＜\min\{1/2,1/\gamma'\}$ 的情形(可参看文献[12]). 进一步的,在文献[6]中证明了当 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$ 且 $h\in{\cal N}_{1/2}({\Bbb R}^+)$ 时,对 $2\leq p＜\infty$,${\cal M}_{h,\Omega}^\rho$ 在 $L^p({\Bbb R}^n)$ 上有界 (关于非等环情形可参看文献[17]). 这里 ${\cal N}_\alpha ({\Bbb R}^+)\,(\alpha >0)$ 表示 ${\Bbb R}^+$ 上的可测函数 $h$ 全体且满足

$N_\alpha (h)=\sum\limits_{m=1}m^\alpha 2^md_m(h)＜\infty,~ d_m(h)=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}2^{-k}|E(k,m)|,$

其中 $E(k,1)=\{t\in(2^k,2^{k+1}]: \ |h(t)|\leq2\}$,且对 $m\geq2$,

$ E(k,m)=\{t\in(2^k,2^{k+1}]:\ 2^{m-1}＜|h(t)|\leq2^m\}. $

注1.1 Sato^[20] 中介绍的函数类 ${\cal N}_\alpha ({\Bbb R}^+)\,(\alpha >0)$ 是目前最弱的径向条件. 另外,从文献[20] 中可知对任意 $\alpha >0$ 及 $1＜\gamma＜\infty$,$\Delta_{\gamma}({\Bbb R}^+)\subsetneq{\cal N}_\alpha ({\Bbb R}^+)$.

本文主要研究当 $\phi$ 是 Van der Corput 型时,${\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho$ 在 $L^p$ 上的有界性. 具体地,称映射 $\phi:{\Bbb R}^{+}\rightarrow{\Bbb R}$ 是 Van der Corput ${\cal I}$ 型,如果 $\phi$ 单调增加且存在正常数 $\alpha _\phi,\theta_\phi$ 使得

$ \inf_{r>0}\phi(2r)/\phi(r)\geq\theta_\phi>1 $

及

$ \Big|\int_{r}^{2r}{\rm e}^{-{\rm i}\lambda \phi(t)}t^{-1}{\rm d}t\Big|\leq|\lambda\phi(r)|^{-\alpha _\phi} $

成立. 称映射 $\phi:{\Bbb R}^{+}\rightarrow{\Bbb R}$ 是 Van der Corput ${\cal D}$ 型,如果 $\phi$ 单调减少且存在正常数 $\alpha _\phi,\theta_\phi$ 使得

$ \inf_{r>0}\phi(r)/\phi(2r)\geq\theta_\phi>1 $

及

$ \Big|\int_{r}^{2r}{\rm e}^{-{\rm i}\lambda \phi(t)}t^{-1}{\rm d}t\Big|\leq|\lambda \phi(2r)|^{-\alpha _\phi} $

成立.

为了简便起见,我们用 ${\cal G}_1$ (或 ${\cal G}_2$) 表示 Van der Corput ${\cal I}$(或 ${\cal D}$) 型函数全体. 容易找到几类属于 ${\cal G}_1$ (或 ${\cal G}_2$)的映射. 例如,满足如下条件之一的映射就属于 ${\cal G}_1$:

(i) $g:{\Bbb R}^+\rightarrow{\Bbb R}$ 是严格增加的 ${\cal C}^1$ 函数并满足 $tg'(t)$ 是增加的且

$ tg'(t)\geq Cg(t),\ {\forall\ }\ t>0. $

(ii) $g:{\Bbb R}^+\rightarrow{\Bbb R}$ 是连续严格增加函数,满足

$ tg'(t)\geq Cg(t),\ \ \mbox{且}\ \ g(2t)\leq cg(t),\,\ {\forall\ }\ t>0,$

这里 $C$,$c$ 是与 $t$无关的常数;

满足如下条件之一的映射就属于 ${\cal G}_2$:

(iii) $g:{\Bbb R}^+\rightarrow{\Bbb R}$ 是连续严格减少函数满足

$ tg'(t)\leq -Cg(t),\ \ \mbox{且}\ \ g(t)\leq cg(2t),\,\ {\forall\ }\ t>0,$

这里 $C$,$c$ 是与 $t$ 无关的正常数;

(iv) $g:{\Bbb R}^+\rightarrow{\Bbb R}$ 属于 ${\cal C}^1$ 且为严格减少的凸函数,满足

$ tg'(t)\leq -Cg(t),\ {\forall\ }\ t>0. $

注1.2 我们注意到以下事实成立(参看文献[12]).

(1) 条件 (i) 与 (ii) 互不蕴含. 例如,$\phi(t)=t^{1/2}{\rm e}^t$ 满足条件 (i),但不满足条件 (ii); 又 $\phi(t)=2t^2+t(\chi_{\{0\leq t\leq\pi/2\}}+\sin t\chi_{\{t\geq\pi/2\}})$ 满足条件 (ii),但不满足条件 (i).

(2) 条件 (iii) 与 (iv) 互不蕴含. 例如,$\phi(t)=3/t+(1/t^2)(\chi_{\{0\leq t\leq \pi/2\}}+\sin t\chi_{\{t\geq\pi/2\}})$ 满足条件 (iii),但不满足条件 (iv); 而 $\phi(t)=t^{-\alpha }{\rm e}^{1/t},\,\alpha >0$ 满足条件 (iv),但不满足条件 (iii).

最近,Ding 等^[12] 证明了如下结果：

定理1.1 设对某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_\gamma ({\Bbb R}^+)$ 并且 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2} (S^{n-1})$ 满足 (1.1)式. 如果 $\phi$ 是一个非负单调 ${\cal C}^1({\Bbb R}^+)$ 函数并满足条件 (i)-(iv),则当 $p$ 满足 $|1/p-1/2|＜\min\{1/2,1/\gamma'\}$ 时,${\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho$ 在 $L^p({\Bbb R}^n)$ 上有界.

基于上述说明,自然要问在定理 1.1 中 $p$ 的范围是否能扩大? 受 Al-Qassem 和 Pan^[6] 的启发,我们建立如下定理.

定理1.2 设 $\phi\in{\cal G}_1$ 或 ${\cal G}_2$ 且 $\Omega$ 满足 (1.1)式.

(i) 如果 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$ 且对某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)$,则对 $2/(2\delta+1)＜p＜2$ 满足 $\delta=\min\{1/2,1/\gamma'\}$,存在 $C_p>0$ 使得对任意 $f\in L^p({\Bbb R}^n)$,

$ \|{\cal M}_{h,\Omega,\phi}^{\rho}(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C_p\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}; $

(ii) 如果 $\Omega\in L(\log^+L)(S^{n-1})$ 且 $h\in{\cal N}_1({\Bbb R}^+)$,则对 $1＜p＜2$,存在 $C_p>0$ 使得对任意 $f\in L^p({\Bbb R}^n)$,

$ \|{\cal M}_{h,\Omega,\phi}^{\rho}(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C_p(N_{1}(h)+1)\|\Omega\|_{L(\log^+L)(S^{n-1})}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}; $

(iii) 如果 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$ 且 $h\in{\cal N}_{1/2}({\Bbb R}^+)$,则对 $2\leq p＜\infty$,存在 $C_p>0$ 使得对任意 $f\in L^p({\Bbb R}^n)$,

$ \|{\cal M}_{h,\Omega,\phi}^{\rho}(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C_p(N_{1/2}(h)+1)\|\Omega\|_{L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}. $

注1.3 和定理 1.1 比较,定理 1.2 中 $p$ 的范围被推广到了 $2/(2\delta+1)＜p＜\infty$,$\delta=\min\{1/2,1/\gamma'\}$. 另一方面,因为对任意 $\alpha >0$ 及 $1＜\gamma＜\infty$,$\Delta_{\gamma}({\Bbb R}^+)\subsetneq{\cal N}_\alpha ({\Bbb R}^+)$,所以定理 1.2 从本质上改善并推广了定理 1.1 的结果. 但我们还不清楚,在定理 1.2 中 $p$ 的范围是否能在 $\Omega\in L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})$ 及 $h\in{\cal N}_{1/2} ({\Bbb R}^+)$ 的条件下扩大到 $1＜p＜\infty$,这是一个有意思的问题,还有待进一步研究.

本文组织如下: 第 2 小节主要介绍一些记号并建立一些必要的引理. 定理 1.2 的证明在第 3 小节给出.本文所用的方法来自文献[5-6, 17, 20]的思想与讨论. 特别是,定理 1.2 的 (ii) 和 (iii) 的证明主要基于文献[20] 中的外插讨论,并借助通过引理 2.3-2.4 及文献 [14,定理 7.5] 的证明建立的两个重要的向量值范数不等式(见引理 2.5,2.6) 得到. 全文中,$C$ 表示一个不依赖于主要参数的常数,但其值在不同的地方可能不尽相同.

首先给出一些必要的记号和定义. 设 $\Omega\in L(\log^+L)^{\alpha } (S^{n-1})$ 关于 $\alpha >0$ 满足 (1.1)式. 采用文献[5] 中的记号,对 $\mu\in{\Bbb N}\backslash\{0\}$ 和 $E_0=\{y'\in S^{n-1}:\ |\Omega(y')|\leq2\}$,令 $E_\mu=\{y'\in S^{n-1}:\ 2^\mu＜|\Omega(y')| \leq2^{\mu+1}\}$. 记 $N(\Omega)=\{\mu\in{\Bbb N}:\ \sigma(E_\mu)>2^{-4\mu}\}$ 并且对 $\mu\geq1$,

$ \Omega_\mu(y')=\Omega(y')\chi_{E_\mu}(y')-\frac{1}{\sigma(S^{n-1})}\int_{E_\mu}\Omega(y'){\rm d}\sigma(y'),$

及 $\Omega_0(y')=\Omega(y')-\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)}\Omega_\mu(y')$. 易验证

$\int_{S^{n-1}}\Omega_\mu(y'){\rm d}\sigma(y')=0,\ \ \ \mu\in N(\Omega)\cup\{0\};$

(2.1)

$\|\Omega_0\|_{L^1(S^{n-1})}\leq C,\ \ \|\Omega_\mu\|_{L^1(S^{n-1})}\leq C\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)},\ \ \ \mu\in N(\Omega);$

(2.2)

$\|\Omega_0\|_{L^2(S^{n-1})}\leq C,\ \ \|\Omega_\mu\|_{L^2(S^{n-1})}\leq C2^{2\mu}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)},\ \\ \mu\in N(\Omega);$

(2.3)

$\Omega(y')=\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}\Omega_\mu(y');$

(2.4)

$\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}(\mu+1)^{\alpha }\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} \leq C\|\Omega\|_{L(\log^+L)^{\alpha }(S^{n-1})}.$

(2.5)

当 $\phi\in{\cal G}_1$ 时,$\phi$ 在 $(0,\infty)$ 中单调增加且存在正常数 $\alpha _1,\theta_1$ 使得

$\inf_{r>0}\phi(2r)/\phi(r)\geq\theta_1>1,$

(2.6)

$|\int_{r}^{2r}{\rm e}^{-{\rm i}\lambda \phi(t)}t^{-1}{\rm d}t\Big|\leq|\lambda\phi(r)|^{-\alpha _1}.$

(2.7)

当 $\phi\in{\cal G}_2$,则 $\phi$ 在 $(0,\infty)$ 中单调减少且存在正常数 $\alpha _2,\theta_2$ 使得

$\inf_{r>0}\phi(r)/\phi(2r)\geq\theta_2>1,$

(2.8)

$|\int_{r}^{2r}{\rm e}^{-{\rm i}\lambda \phi(t)}t^{-1}{\rm d}t\Big|\leq|\lambda\phi(2r)|^{-\alpha _2}.$

(2.9)

对每个 $t>0$,$\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}$,我们定义 ${\Bbb R}^n$ 上的一族测度 $\{\sigma_{h,t}^{\mu}\}$ 及极大算子 $\sigma_{h,\mu}^{*}$ 和 $M_{h,\mu}^{*}(f)$为

$ \widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)=\frac{1}{t^\rho}\int_{t/2＜|y|\leq t}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}\phi(|y|)y'\cdot\xi}\frac{\Omega_\mu(y)h(|y|)}{|y|^{n-\rho}}{\rm d}y; $

$ \sigma_{h,\mu}^{*}(f)(x)=\sup\limits_{t>0}\big||\sigma_{h,t}^{\mu}|*f(x)\big|; $

$ M_{h,\mu}^{*}(f)(x)=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^{2^{k\gamma'(\mu+1)}}\big||\sigma_{h,t}^{\mu}|*f(x)\big|\frac{{\rm d}t}{t},$

这里 $|\sigma_{h,t}^{\mu}|$ 的定义与 $\sigma_{h,t}^{\mu}$ 定义类似,只需将 $\Omega_\mu$,$h$ 分别改为 $|\Omega_\mu|$,$|h|$.

引理2.1 设 $\Omega_\mu$ 如上所述且对某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)$. 存在 $C>0$,使得

(i) 若 $\phi\in{\cal G}_1$,则

$\max\big\{|\widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)|,|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)-\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(0)|\big\}\leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}|\phi(t)\xi|^{1/(\gamma'(\mu+1))},$

(2.10)

$\max\big\{|\widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)|,|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)|\big\}\leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} \min\big\{1,|\phi(t/2)\xi|^{-\alpha _1/(8(\alpha _1+1)\gamma'(\mu+1))}\big\};$

(2.11)

(ii) 若 $\phi\in{\cal G}_2$,则

$\max\big\{|\widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)|,|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)-\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(0)|\big\}\leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}|\phi(t/2)\xi|^{1/(\gamma'(\mu+1))},$

(2.12)

$\max\big\{|\widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)|,|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)|\big\}\leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\min \big\{1,|\phi(t)\xi|^{-\alpha _2/(8(\alpha _2+1)\gamma'(\mu+1))}\big\},$

(2.13)

这里常数 $C$ 与 $\gamma,\,\mu,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关.

证 我们仅证 (i),因为只需将 $\phi(t)$ 换成 $\phi(t/2)$,将 $\alpha _1$ 替换成 $\alpha _2$,通过类似 (i) 的讨论可以得到 (ii). 利用变量替换,(2.1),(2.2)式及 Hölder 不等式,我们得到

$\begin{align} & |\widehat{\sigma _{h,t}^{\mu }}(\xi )|=|\frac{1}{{{t}^{\rho }}}\int\limits_{t/2}^{t}{\int\limits_{{{S}^{n-1}}}{{{\text{e}}^{-2\pi \text{i}\phi (r){y}'\cdot \xi }}}}{{\Omega }_{\mu }}({y}')\text{d}\sigma ({y}')h(r)\frac{\text{d}r}{{{r}^{1-\rho }}}| \\ & \le \int\limits_{t/2}^{t}{|}\int\limits_{{{S}^{n-1}}}{({{\text{e}}^{-2\pi \text{i}\phi (r){y}'\cdot \xi }}-1)}{{\Omega }_{\mu }}({y}')\text{d}\sigma ({y}')||h(r)|\frac{\text{d}r}{r} \\ & \le C\|h{{\|}_{{{\Delta }_{1}}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|{{\Omega }_{\mu }}{{\|}_{{{L}^{1}}({{S}^{n-1}})}}|\phi (t)\xi | \\ & \le C\|h{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}|\phi (t)\xi |. \\ \end{align}$

(2.14)

类似可得

$\big|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)\big|\leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}|\phi(t)\xi|.$

(2.15)

易验证

$\max\big\{|\widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)|,|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)|\big\}\leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}.$

(2.16)

于是 (2.10)式可由 (2.14)-(2.16)式得到. 另一方面,通过变量替换及 Hölder 不等式,我们有

$\begin{align} & |\widehat{\sigma _{h,t}^{\mu }}(\xi )|=|\frac{1}{{{t}^{\rho }}}\int\limits_{t/2}^{t}{\int\limits_{{{S}^{n-1}}}{{{\text{e}}^{-2\pi \text{i}\phi (r){y}'\cdot \xi }}}}{{\Omega }_{\mu }}({y}')\text{d}\sigma ({y}')h(r)\frac{\text{d}r}{{{r}^{1-\rho }}}| \\ & \le \int\limits_{t/2}^{t}{|}\int\limits_{{{S}^{n-1}}}{{{\text{e}}^{-2\pi \text{i}\phi (r){y}'\cdot \xi }}}{{\Omega }_{\mu }}({y}')\text{d}\sigma ({y}')||h(r)|\frac{\text{d}r}{r} \\ & \le \text{C}\|h{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|{{\Omega }_{\mu }}\|_{{{L}^{1}}({{S}^{n-1}})}^{\max \{0,1-2/{\gamma }'\}} \\ & {{(\int\limits_{t/2}^{t}{|}\int\limits_{{{S}^{n-1}}}{{{\text{e}}^{-2\pi \text{i}\phi (r){y}'\cdot \xi }}}{{\Omega }_{\mu }}({y}')\text{d}\sigma ({y}'){{|}^{2}}\frac{\text{d}r}{r})}^{1/\tilde{\gamma }}}, \\ \end{align}$

(2.17)

这里 $\tilde{\gamma}=\max\{2,\gamma'\}$. 由 (2.3),(2.7)式及 Hölder 不等式,对任意 $\epsilon\in(0,1)$,我们有

$\begin{align}(\int_{t/2}^{t}\Big|\int_{S^{n-1}}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}\phi(r)y'\cdot\xi}\Omega_\mu(y'){\rm d}\sigma(y')\Big|^2\frac{{\rm d}r}{r}\Big)^{1/\tilde{\gamma}}\\ & \le \Big(\int_{t/2}^{t}\int_{(S^{n-1})^2}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}\phi(r)(y'-u')\cdot\xi}\Omega_\mu(y')\overline{\Omega_\mu(u')}{\rm d}\sigma(y'){\rm d}\sigma(u')\frac{{\rm d}r}{r}\Big)^{1/\tilde{\gamma}}\\ & \le \Big(\int_{(S^{n-1})^2}|\Omega_\mu(y')\overline{\Omega_\mu(u')}|\Big|\int_{t/2}^{t}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}\phi(r)(y'-u')\cdot\xi}\frac{{\rm d}r}{r}\Big|{\rm d}\sigma(y'){\rm d}\sigma(u')\Big)^{1/\tilde{\gamma}}\\ & \le C\Big(\int_{(S^{n-1})^2}|\Omega_\mu(y')\overline{\Omega_\mu(u')}| \min\{1,|\phi(t/2)\xi\cdot(y'-u)|^{-\alpha _1}\}{\rm d}\sigma(y'){\rm d}\sigma(u')\Big)^{1/\tilde{\gamma}}\\ & \le C|\phi(t/2)\xi|^{-\epsilon\alpha _1/\tilde{\gamma}}\Big(\int_{(S^{n-1})^2}|\Omega_\mu(y')\overline{\Omega_\mu(u')}| |\xi'\cdot(y'-u)|^{-\epsilon\alpha _1}{\rm d}\sigma(y'){\rm d}\sigma(u')\Big)^{1/\tilde{\gamma}}\\ & \le C2^{4\mu/\tilde{\gamma}}|\phi(t/2)\xi|^{-\epsilon\alpha _1/\tilde{\gamma}}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}^{2/\tilde{\gamma}} \Big(\int_{(S^{n-1})^2}|\xi'\cdot(y'-u)|^{-2\epsilon\alpha _1}{\rm d}\sigma(y'){\rm d}\sigma(u')\Big)^{1/(2\tilde{\gamma})}.\end{align} $

(2.18)

取 $\epsilon=\frac{1}{4(\alpha _1+1)}$,由文献[9,p533] (也可参看文献 [9,引理 1] 的证明),我们得到

$\int_{(S^{n-1})^2}|\xi'\cdot(y'-u)|^{-2\epsilon\alpha _1}{\rm d}\sigma(y'){\rm d}\sigma(u')\leq C.$

(2.19)

因此由 (2.2),(2.17)-(2.19)式,我们有

$|\widehat{\sigma_{h,t}^{\mu}}(\xi)|\leq C2^{4\mu/\tilde{\gamma}}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)} \|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}|\phi(t/2)\xi|^{-\alpha _1/(4(\alpha _1+1)\tilde{\gamma})}.$

(2.20)

类似地,

$\big|\widehat{|\sigma_{h,t}^{\mu}|}(\xi)\big|\leq C2^{4\mu/\tilde{\gamma}}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)} \|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}|\phi(t/2)\xi|^{-\alpha _1/(4(\alpha _1+1)\tilde{\gamma})}.$

(2.21)

则可由 (2.16)式及 (2.20)-(2.21)式得到 (2.11)式. 于是,我们完成了引理 2.1 的证明.

通过文献 [9,p544] 中引理的类似讨论,我们得到下面的结果.

引理2.2 设 $A>0$ 及 $|\sigma_{k}|$ 是 ${\Bbb R}^n$ 上的一列测度且满足 $\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}||\sigma_k||\leq A$. 若对某个 $s>1$,$$\|\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}\big||\sigma_k|*f \big|\Big\|_{L^s({\Bbb R}^n)}\leq CA\|f\|_{L^s({\Bbb R}^n)}$,则

$ \|(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|\sigma_k*g_k|^2\Big)^{1/2}\Big\|_{L^{q_0}({\Bbb R}^n)} \leq CA\Big\|\Big(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|g_k|^2\Big)^{1/2}\Big\|_{L^{q_0}({\Bbb R}^n)},$

这里 $\{g_k\}_{k\in{\Bbb Z}}$ 为任意函数且 $q_0$ 满足 $1/(2s)=|1/2-1/q_0|$.

引理2.3 设 $\Omega_\mu$ 如上所述且 $\phi\in{\cal G}_1$ 或 ${\cal G}_2$. 假若对某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)$,则

$\|M_{h,\mu}^{*}(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜\infty,$

(2.22)

$\|\sigma_{h,\mu}^{*}(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜\infty,$

(2.23)

这里 $C$ 与 $\mu,\,\gamma,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关.

证 我们仅证 $\phi\in{\cal G}_1$ 的情形,其他情形通过类似方法可得.首先证明(2.22)式. 利用文献[9] 中的思想并结合文献[15] 中的证明方法. 设 $\psi\in{\cal C}_0^\infty({\Bbb R}^n)$ 支集为 $\{|t|\leq1\}$. 对 $|t|\leq1/2$,$\psi(t)\equiv1$. 定义测度 $\{\omega_{k,\mu}\}$ 如下

$\begin{align} & {{\omega }_{k,\mu }}(\xi )=\int_{{{2}^{(k-1){\gamma }'(\mu +1)}}}^{{{2}^{k{\gamma }'(\mu +1)}}}{|}\sigma _{h,t}^{\mu }|(\xi )\frac{\text{d}t}{t} \\ & -\frac{1}{\phi {{({{2}^{k{\gamma }'(\mu +1)}})}^{n}}}\psi (\phi {{({{2}^{k{\gamma }'(\mu +1)}})}^{-1}}\xi )\int_{{{2}^{(k-1){\gamma }'(\mu +1)}}}^{{{2}^{k{\gamma }'(\mu +1)}}}{|}\sigma _{h,t}^{\mu }|(0)\frac{\text{d}t}{t}. \\ \end{align}$

易验证

$|\widehat{\omega_{k,\mu}}(\xi)|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} |\phi(2^{k\gamma'(\mu+1)})\xi|^{1/(\gamma'(\mu+1))},$

(2.24)

$|\widehat{\omega_{k,\mu}}(\xi)|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\min\{1,|\phi(2^{(k-2)\gamma'(\mu+1)})\xi|^{-\alpha _1/(8(\alpha _1+1)\gamma'(\mu+1))}\},$

(2.25)

$\ \ \omega_\mu^{*}(f)(x):=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}\big||\omega_{k,\mu}|*f(x)\big|\leq M_{h,\mu}^{*}(f)(x)+C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}{\cal M}(|f|)(x),\ $

(2.26)

$M_{h,\mu}^{*}(f)(x)\leq G(f)(x)+C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}{\cal M}(|f|)(x),$

(2.27)

这里 ${\cal M}$ 是 Hardy-Littlewood 极大函数且 $G(f)(x):=(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|\omega_{k,\mu}*f(x)|^2)^{1/2}$. 要证 (2.22)式,由 (2.27)式,只需证明存在与 $\mu,\,\gamma\,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关的正常数 $C>0$,使得

$\|G(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜\infty.$

(2.28)

通过 Rademacher 函数的性质,(2.28)式可由下式得到

$\|V_\epsilon(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜\infty,$

(2.29)

这里 $V_\epsilon(f)=\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\epsilon_k\omega_{k,\mu}*f$ 满足 $\epsilon=\{\epsilon_k\}$,$\epsilon_k=1$ 或 $-1$ 且 $C$ 与 $\mu,\,\gamma\,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关. 我们取一列满足如下性质的光滑函数：

(i) $\Psi_k\in{\cal C}^1({\Bbb R}^+)$,$0\leq\Psi_k\leq1$,$\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\Psi_k^2(t)=1$;

(ii) ${\rm supp}(\Psi_k)\subset[\phi(2^{(k+1)\gamma'(\mu+1)})^{-1},\phi(2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)})^{-1}]$;

(iii) 对一切 $t>0$,$j\in{\Bbb N}$,$|({\rm d}/{\rm d}t)^j\Psi_k(t)|\leq c_j|t|^{-j}$,这里 $c_j$ 与 $k,\,t$ 无关.

定义算子族 $\{S_k\}$ 如下

$ \widehat{S_kf}(\xi)=\Psi_k(|\xi|)\hat{f}(\xi). $

则

$\begin{align} & {{V}_{\epsilon }}(f)=\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{{{\epsilon }_{k}}}{{\omega }_{k,\mu }}*f=\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{{{\epsilon }_{k}}}{{\omega }_{k,\mu }}*\sum\limits_{j\in \mathbb{Z}}{{{S}_{j+k}}}{{S}_{j+k}}f \\ & =\sum\limits_{j\in \mathbb{Z}}{\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{{{\epsilon }_{k}}}}{{S}_{j+k}}({{\omega }_{k,\mu }}*{{S}_{j+k}}f):=\sum\limits_{j\in \mathbb{Z}}{{{V}_{j}}}(f). \\ \end{align}$

(2.30)

通过 Littlewood-Paley 定理(参看文献 [22,第 4 章]) 及 Plancherel 定理,我们得到

$ \|V_j(f)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2\leq \sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{\{\phi(2^{(j+k+1)\gamma'(\mu+1)})^{-1}\leq |\xi|\leq \phi(2^{(j+k-1)\gamma'(\mu+1)})^{-1}\}}|\hat{f}(\xi)|^2|\widehat{\omega_{k,\mu}}(\xi)|^2{\rm d}\xi. $

又由 (2.24)和 (2.25)式可得

$\|V_j(f)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}B_j\|f\|_{L^2({\Bbb R}^n)},$

(2.31)

这里

$ B_j=\theta_1^{\alpha _1(j+1)/(16(\alpha _1+1))}\chi_{\{j\leq-1\}}(j) +\theta_1^{-(j-1)/2}\chi_{\{j\geq1\}}(j)+\chi_{\{-1＜j＜1\}}(j). $

则由(2.30)式,(2.31)式及 Minkowski 不等式,我们有

$\|V_\epsilon(f)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^2({\Bbb R}^n)},$

(2.32)

这里 $C$ 与 $\gamma,\,\mu,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关. 再由 Rademacher 函数的性质可得

$\|G(f)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^2({\Bbb R}^n)},$

(2.33)

这一结果再结合 (2.26)和(2.27)式推出

$\|\omega_\mu^*\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^2({\Bbb R}^n)}.$

(2.34)

显然

$\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}\|\omega_{k,\mu}\|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)},$

(2.35)

则由引理 2.2,(2.35) 式及 Littlewood-Paley 定理,我们得到

$\|V_j(f)\|_{L^{q_0}({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^{q_0}({\Bbb R}^n)},\ \ |1/2-1/q_0|=1/4.$

(2.36)

对 (2.31) 和 (2.36)式进行插值并结合 (2.30)式得到

$\|V_\epsilon(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 4/3＜p＜4.$

这也推出

$\|G(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 4/3＜p＜4.$

(2.37)

再结合 (2.35)式,(2.26)-(2.27)式,(2.30)-(2.31)式,引理 2.2 及 Littlewood-Paley 理论可得

$ \|V_\epsilon(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 8/7＜p＜8. $

再次做类似讨论,我们最终得到

$ \|V_\epsilon(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜\infty. $

因此,(2.29)式得证. 这也完成了 (2.22)式的证明. 接下来我们证明 (2.23)式. 易验证

$\sigma_{h,\mu}^\ast(f)(x)\leq \tau_\mu^\ast(|f|)(x):=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}||\tau_{k,\mu}|*f(x)|,$

(2.38)

这里

$ \widehat{|\tau_{k,\mu}|}(x)=\int_{{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}＜|y|\leq 2^{k\gamma'(\mu+1)}}{\rm e}^{-2\pi{\rm i}\phi(|y|)y'\cdot x}\frac{|\Omega_\mu(y)h(|y|)} {|y|^n}{\rm d}y. $

因此,为证明 (2.23)式,只需证明对 $1＜p＜\infty$,

$\|\tau_\mu^\ast(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},$

(2.39)

这里 $C$ 与 $\gamma,\,\mu,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关. 通过引理 2.1 的证明及直接的计算,我们得到

$|\widehat{|\tau_{k,\mu}|}(\xi)-\widehat{|\tau_{k,\mu}|}(0)|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} |\phi(2^{k\gamma'(\mu+1)})\xi|^{1/(\gamma'(\mu+1))},$

(2.40)

$|\widehat{|\tau_{k,\mu}|}(\xi)|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\min\{1,|\phi(2^{(k-2)\gamma'(\mu+1)})\xi|^{-\alpha _1/(8(\alpha _1+1)\gamma'(\mu+1))}\}.$

(2.41)

在 ${\Bbb R}^n$ 上定义 Borel 测度 $\{\vartheta_{k,\mu}\}_{k\in{\Bbb Z}}$ 如下

$\widehat{\vartheta_{k,\mu}}(\xi)=\widehat{|\tau_{k,\mu}|}(\xi) -\psi(\phi(2^{k\gamma'(\mu+1)})|\xi|)\widehat{|\tau_{k,\mu}|}(0).$

(2.42)

由 (2.40)-(2.42)式可得

$|\widehat{\vartheta_{k,\mu}}(\xi)|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\min\{1,|\phi(2^{k\gamma'(\mu+1)})\xi|^{1/(\gamma'(\mu+1))}\},$

(2.43)

$|\widehat{\vartheta_{k,\mu}}(\xi)|\leq C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\min\{1,|\phi(2^{(k-2)\gamma'(\mu+1)})\xi|^{-\alpha _1/(8(\alpha _1+1)\gamma'(\mu+1))}\}.$

(2.44)

此外,还有下面两个非常有用的不等式.

$\vartheta_\mu^{*}(f)(x):=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}\big||\vartheta_{k,\mu}|*f(x)\big|\leq \tau_{\mu}^{*}(f)(x)+C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}{\cal M}(|f|)(x),$

(2.45)

$\tau_{\mu}^{*}(f)(x)\leq\Big(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|\vartheta_{k,\mu}*f(x)|^2\Big)^{1/2} +C\gamma'(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}{\cal M}(|f|)(x).$

(2.46)

由 (2.43)-(2.46)式,及做类似于 (2.22)式证明的讨论,我们便能得到(2.39)式. 于是完成了引理 2.3 的证明.

通过类似于引理 2.3 中 (2.22)式的证明,我们可以建立如下结果:

引理2.4 设 $\Omega_\mu$ 如上所述且 $\phi\in{\cal G}_1$ 或 ${\cal G}_2$. 假如对某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)$,则算子 $N_{h,\mu}^{*}$ 定义为

$ N_{h,\mu}^{*}(f)(x)=\sup\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)(\mu+1)}}^{2^{k(\mu+1)}}||\sigma_{h,t}^{\mu}|*f(x)|\frac{{\rm d}t}{t} $

满足

$ \|N_{h,\mu}^{*}(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C(\mu+1)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜\infty,$

这里 $C$ 与 $\mu,\,\gamma,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关.

引理2.5 设 $\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}$ 且 $\phi\in{\cal G}_1$ 或 ${\cal G}_2$. 假设对某个 $\gamma>1$,$h\in\Delta_{\gamma}({\Bbb R}^+)$,则对 $|1/p-1/2|＜\min\{1/2,1/\gamma'\}$ 及任意函数 $\{g_k\}_{k\in{\Bbb Z}}\in L^p({\Bbb R}^n,\ell^2)$,我们有

$\begin{align} & \|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\int_{{{2}^{(k-1)(\mu +1)}}}^{{{2}^{k(\mu +1)}}}{|}}\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}{{|}^{2}}\frac{\text{d}t}{t})}^{1/2}}{{\|}_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}} \\ & \le C{{(\mu +1)}^{1/2}}\|h{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}\|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{|}{{g}_{k}}{{|}^{2}})}^{1/2}}{{\|}_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}, \\ \end{align}$

(2.47)

其中常数 $C$ 与 $\mu,\,\gamma,\,h,\,\Omega_\mu$ 无关.

证 为证这个引理,我们采用文献[14,定理 7.5] 中证明的类似讨论. 因为对$\gamma\geq2$,$\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)\subset \Delta_2({\Bbb R}^+)$,所以我们仅证明此引理中 $1＜\gamma\leq2$ 且 $|{1}/{p}-{1}/{2}|＜{1}/{\gamma'}$ 的情形. 由对偶性,只需证明该引理在 $2＜p＜2\gamma/(2-\gamma)$ 的情况. 设 $q=(p/2)'$ 且 $\{g_k\}_{k\in{\Bbb Z}}\in L^p({\Bbb R}^n,\ell^2)$. 则存在具有单位范数的非负函数 $f\in L^q({\Bbb R}^n)$ 使得

$\|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\int_{{{2}^{(k-1)(\mu +1)}}}^{{{2}^{k(\mu +1)}}}{|}}\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}{{|}^{2}}\frac{\text{d}t}{t})}^{1/2}}\|_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}^{2}=\int_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\int_{{{2}^{(k-1)(\mu +1)}}}^{{{2}^{k(\mu +1)}}}{|}}}\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}(x){{|}^{2}}\frac{\text{d}t}{t}f(x)\text{d}x.enddocument$

(2.48)

通过变量替换及 Hölder 不等式,我们有

$\begin{align} & |\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}(x){{|}^{2}} \\ & \le {{(\int_{t/2\text{}|y|\le t}{|}{{g}_{k}}(x-\phi (|y|){y}')|\frac{|h(|y|){{\Omega }_{\mu }}(y)|}{|y{{|}^{n}}}\text{d}y)}^{2}} \\ & \le {{(\int_{t/2}^{t}{\int_{{{S}^{n-1}}}{|}}{{g}_{k}}(x-\phi (r){y}')||{{\Omega }_{\mu }}({y}')|\text{d}\sigma ({y}')|h(r)|\frac{\text{d}r}{r})}^{2}} \\ & \le C\|h\|_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}^{\gamma }\|{{\Omega }_{\mu }}{{\|}_{{{L}^{1}}({{S}^{n-1}})}}(\int_{t/2}^{t}{\int_{{{S}^{n-1}}}{|}}{{g}_{k}}(x-\phi (r){y}'){{|}^{2}}|{{\Omega }_{\mu }}({y}')|\text{d}\sigma ({y}')|h(r){{|}^{2-\gamma }}\frac{\text{d}r}{r}), \\ \end{align}$

这一结果再结合 (2.48)式并再次利用 Hölder 不等式可推出

$\begin{align} & \|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\int_{{{2}^{(k-1)(\mu +1)}}}^{{{2}^{k(\mu +1)}}}{|}}\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}{{|}^{2}}\frac{\text{d}t}{t})}^{1/2}}\|_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}^{2} \\ & \le C\|h\|_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}^{\gamma }\|{{\Omega }_{\mu }}{{\|}_{{{L}^{1}}({{S}^{n-1}})}}\int\limits_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{|}}{{g}_{k}}(x){{|}^{2}}{{{\tilde{N}}}_{|h{{|}^{2-\gamma }},\mu }}(\tilde{f})(-x)\text{d}x \\ & \le C\|h\|_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}^{\gamma }\|{{\Omega }_{\mu }}{{\|}_{{{L}^{1}}({{S}^{n-1}})}}\|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{|}{{g}_{k}}{{|}^{2}})}^{1/2}}\|_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}^{2}\|\tilde{N}_{|h{{|}^{2-\gamma }},\mu }^{*}(\tilde{f}){{\|}_{{{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}, \\ \end{align}$

(2.49)

这里 $\tilde{f}(x)=f(-x)$ 且 $\tilde{N}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^{*}(f)$ 表示 $N_{|h|^{2-\gamma},\mu}^{*}$ 满足 $\rho=1$. 注意到 $|h(\cdot)|^{2-\gamma}\in\Delta_{\gamma/(2-\gamma)}({\Bbb R}^+)$ 且 $\gamma/(2-\gamma)>1$. 利用引理 2.4,我们有

$\begin{align} & \|\tilde{N}_{|h{{|}^{2-\gamma }},\mu }^{*}(|\tilde{f}|){{\|}_{{{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{n}})}} \\ & \le C(\mu +1)\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}\||h{{|}^{2-\gamma }}{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma /(2-\gamma )}}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|f{{\|}_{{{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{n}})}} \\ & \le C(\mu +1)\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}\|h\|_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}^{2-\gamma }, \\ \end{align}$

这一结果结合 (2.2),(2.49)式便可得到 (2.47)式. 于是我们证明了引理 2.5.

引理2.6 设 $\mu\in N(\Omega) \cup\{0\}$ 且 $\phi\in{\cal G}_1$ 或 ${\cal G}_2$. 假设对某个 $1＜\gamma\leq2$,$h\in\Delta_{\gamma}({\Bbb R}^+)$ . 则存在 $C>0$ 使得

$\begin{align} & \|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\int_{{{2}^{(k-1){\gamma }'(\mu +1)}}}^{{{2}^{k{\gamma }'(\mu +1)}}}{|}}\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}{{|}^{2}}\frac{\text{d}t}{t})}^{1/2}}{{\|}_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}\le C{{(\mu +1)}^{1/2}}{{(\gamma -1)}^{-1/2}}\|h{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}\|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{|}{{g}_{k}}{{|}^{2}})}^{1/2}}{{\|}_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}},\ 2\le p\text{}\infty ,\ \ \\ & \|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{\int\limits_{{{2}^{(k-1){\gamma }'(\mu +1)}}}^{{{2}^{k{\gamma }'(\mu +1)}}}{|}}\sigma _{h,t}^{\mu }*{{g}_{k}}{{|}^{2}}\frac{\text{d}t}{t})}^{1/2}}{{\|}_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}\le C(\mu +1){{(\gamma -1)}^{-1}}\|h{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}\|{{(\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}}{|}{{g}_{k}}{{|}^{2}})}^{1/2}}{{\|}_{{{L}^{p}}({{\mathbb{R}}^{n}})}},\ 1\text{}p\text{}2, \\ \end{align}$

(2.50)

其中常数 $C$ 与 $\mu,\,\gamma,\,\Omega,\,h$ 无关.

证 我们首先证明 (2.50)式. 我们采用引理 2.5 的证明方法. 对取定的 $2\leq p＜\infty$,令 $q=(p/2)'$ 且 $\{g_k\}_{k\in{\Bbb Z}} \in L^p({\Bbb R}^n,\ell^2)$. 由对偶性,存在一个具有单位范数的非负函数 $f\in L^q({\Bbb R}^n)$,使得

$ \|(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^{2^{k\gamma'(\mu+1)}} |\sigma_{h,t}^{\mu}*g_k|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^2 \\ =\int_{{\Bbb R}^n}\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^{2^{k\gamma'(\mu+1)}} |\sigma_{h,t}^{\mu}*g_k(x)|^2\frac{{\rm d}t}{t}f(x){\rm d}x.$

(2.52)

因此由 (2.52)式及 Hölder 不等式,我们可证

$ \|(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^ {2^{k\gamma'(\mu+1)}} |\sigma_{h,t}^{\mu}*g_k|^2 \displaystyle\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^2\\ \le C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}^\gamma \|\Omega_\mu\|_{L^1(S^{n-1})}\int_{{\Bbb R}^n} \sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|g_k(x)|^2\tilde{M}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^{*} (\tilde{f})(-x){\rm d}x\\ \le C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}^\gamma \|\Omega_\mu\|_{L^1(S^{n-1})}\Big\|\Big(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|g_k|^2\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^2 \|\tilde{M}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^{*}(\tilde{f})\|_{L^q({\Bbb R}^n)},$

(2.53)

这里 $\tilde{f}(x)=f(-x)$ 且 $\tilde{M}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^{*}(f)$ 表示满足 $\rho=1$ 的 $M_{|h|^{2-\gamma},\mu}^{*}$. 注意到 $|h(\cdot)|^{2-\gamma}\in\Delta_{\gamma/(2-\gamma)}({\Bbb R}^+)$ 且 $\gamma/(2-\gamma)>1$. 借助引理 2.3,我们有

$\begin{align} & \|\tilde{M}_{|h{{|}^{2-\gamma }},\mu }^{*}(|\tilde{f}|){{\|}_{{{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{n}})}}\le C(\mu +1)\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}{{(\gamma /(2-\gamma ))}^{\prime }}\||h{{|}^{2-\gamma }}{{\|}_{{{\Delta }_{\gamma /(2-\gamma )}}({{\mathbb{R}}^{+}})}}\|f{{\|}_{{{L}^{q}}({{\mathbb{R}}^{n}})}} \\ & \le C(\mu +1){{(\gamma -1)}^{-1}}\|\Omega {{\|}_{{{L}^{1}}({{E}_{\mu }})}}\|h\|_{{{\Delta }_{\gamma }}({{\mathbb{R}}^{+}})}^{2-\gamma }. \\ \end{align}$

这一结果再结合(2.53) 及 (2.2)式便推出 (2.50)式. 下面我们证明 (2.51)式. 由对偶性,存在定义在 ${\Bbb R}^n\times{\Bbb R}^+$ 上的满足 $\|\{f_k(\cdot,\cdot)\}\|_{L^{p'}({\Bbb R}^n,\ell^2 (L^2([2^{q'\gamma'k},2^{q'\gamma'(k+1)}],{\rm d}t/t)))}\leq1$ 的函数 $\{f_k(x,t)\}$ 使得

$ \|(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^ {2^{k\gamma'(\mu+1)}} |\sigma_{h,t}^{\mu}*g_k|^2 \displaystyle\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \le \int_{{\Bbb R}^n}\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^ {2^{k\gamma'(\mu+1)}}\sigma_{h,t}^{\mu}*g_k(x)f_k(x,t)\frac{{\rm d}t}{t}{\rm d}x\\ \leq C(\gamma')^{-1/2}(\mu+1)^{1/2} \Big\|\Big(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|g_k|^2\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)} \|({\cal L}(f))^{1/2}\|_{L^{p'}({\Bbb R}^n)},$

(2.54)

这里

$ {\cal L}(f)(x)=\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^ {2^{k\gamma'(\mu+1)}}|\sigma_{h,t}^{\mu}\ast\tilde{f}_k(x,t)|^2\frac{{\rm d}t}{t}\ \ \mbox{且}\ \ \tilde{f}_k(x,t)=f(-x,t). $

因为 $p'>2$,存在非负函数 $u\in L^{(p'/2)'} ({\Bbb R}^n)$ 使得

$ \|{\cal L}(f)\|_{L^{p'/2}({\Bbb R}^n)}= \sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{{\Bbb R}^n} \int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^{2^{k\gamma'(\mu+1)}}|\sigma_{h,t}^{\mu}\ast\tilde{f}_k(x,t)|^2\frac{{\rm d}t}{t}u(x){\rm d}x. $

经变量替换及 Hölder 不等式,我们有

$|\sigma_{h,t}^{\mu}*\tilde{f}_k(x,t)|^2\\ \le \Big(\int_{t/2＜|y|\leq t} |\tilde{f}_k(x-\phi(|y|)y',t)|\frac{|h(|y|)\Omega_\mu(y)|} {|y|^n}{\rm d}y\Big)^2\\ \le \Big(\int_{t/2}^t\int_{S^{n-1}}|\tilde{f}_k(x-\phi(r)y',t)||\Omega_\mu(y')|{\rm d}\sigma(y')|h(r)|\frac{{\rm d}r}{r}\Big)^2\\ \le C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}^\gamma \|\Omega_\mu\|_{L^1(S^{n-1})}\Big(\int_{t/2}^t \int_{S^{n-1}}|\tilde{f}_k(x-\phi(r)y',t)|^2|\Omega_\mu(y')|{\rm d}\sigma(y') |h(r)|^{2-\gamma}\frac{{\rm d}r}{r}).$

(2.55)

从 (2.55),(2.2)式可得

$\|{\cal L}(f)\|_{L^{p'/2}({\Bbb R}^n)}\\ \leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}^\gamma \|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\int_{{\Bbb R}^n} \tilde{\sigma}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^\ast(\tilde{u})(-x)\Big( \sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^ {2^{k\gamma'(\mu+1)}}|\tilde{f_k}(x,t)|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big){\rm d}x\\ \leq C\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}^\gamma \|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} \Big\|\Big(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{(k-1)\gamma'(\mu+1)}}^ {2^{k\gamma'(\mu+1)}}|f_k(x,t)|^2 \frac{{\rm d}t}{t}\Big)\Big\|_{L^{p'/2}({\Bbb R}^n)} \|\tilde{\sigma}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^\ast(\tilde{u})\|_{L^{(p'/2)'}({\Bbb R}^n)}\\ \le C(\mu+1)^{-1}(\gamma-1)^{-1}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}^2 \|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}^2,$

(2.56)

这里 $\tilde{u}(x)=u(-x)$ 且 $\tilde{\sigma}_{|h|^{2-\gamma},\mu}^\ast(\tilde{u})$ 表示 $\sigma_{|h|^{2-\gamma},\mu}^\ast (\tilde{u})$ 满足 $\rho=1$. (2.51)式可由 (2.54)和 (2.56)式得到. 自此引理 2.6 得证.

引理2.7 设 $v,\,N\in{\Bbb N} \backslash\{0\}$ 且 $\{\sigma_{t}:t>0\}$ 是 ${\Bbb R}^n$ 上的一族测度. 令 $\delta,\,\beta>0$,$\gamma\neq0$ 及 $L:{\Bbb R}^n\rightarrow{\Bbb R}^{N}$ 是一个线性变换. 假设 $\varphi$ 是一个单调函数并满足如下条件之一:

{\rm (a)} $\sup\limits_{r>0}\varphi(2r)/\varphi(r)\geq D_\varphi>1$;

{\rm (b)} $\sup\limits_{r>0}\varphi(r)/\varphi(2r)\geq D_\varphi>1$.

且假若存在 $C,\,A>0$ 使得

(i) 对 $\xi\in{\Bbb R}^n$ 与 $t>0$,$|\widehat{\sigma_{t}}(\xi)|\leq CA\min\{1,|\varphi(t)^{\gamma} L(\xi)|^{-\delta/v},|\varphi(t)^{\gamma}L(\xi)|^{\beta/v}\}$;

(ii) 存在 $p_0>0$ 及与 $v,\,A$ 无关的正常数 $C$ 使得

$ \|(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{kv}}^{2^{(k+1)v}}|\sigma_{t}*g_k|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\Big\|_{L^{p_0}({\Bbb R}^n)}\leq CAv^{1/2}\Big\|\Big(\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}|g_k|^2\Big)^{1/2}\Big\|_{L^{p_0}({\Bbb R}^n)}.$

则对任意 $p\in[\min\{p_0,2\},\max\{p_0,2\}]$,存在与 $v,\,A$ 无关的正常数 $C$ 使得

$ \|(\int_0^\infty|\sigma_{t}*f|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq CAv^{1/2}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}.$

特别地,如果 $p_0=2$,$p=2$.

证 我们仅证明 $\varphi$ 满足条件 (a) 的情形,其他情形可类似证明. 设 $\lambda={\rm rank}(L)$. 由文献[14,引理 6.1],存在两个非奇异线性变换 ${\cal R}:{\Bbb R}^{\lambda}\rightarrow{\Bbb R}^{\lambda}$ 和 ${\cal Q}:{\Bbb R}^n\rightarrow{\Bbb R}^n$ 使得

$|{\cal R}\pi_{\lambda}^n{\cal Q}(\xi)|\leq |L(\xi)|\leq N|{\cal R}\pi_{\lambda}^n{\cal Q}(\xi)|,$

(2.57)

这里 $\pi_{\lambda}^n$ 是从 ${\Bbb R}^n$ 到 ${\Bbb R}^{\lambda}$ 的入射算子. 我们取 ${\cal C}_0^\infty({\Bbb R})$ 中一列非负函数 $\{\Psi_k\}_{k\in{\Bbb Z}}$ 使得

$ {\rm supp}(\Psi_k)\subset[\varphi(2^{(k+1)v})^{-\gamma},\varphi(2^{(k-1)v})^{-\gamma}],\ \ \sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\Psi_k(t)=1,$

对一切 $t>0$ 及 $j\in{\Bbb N}$,

$ |\frac{{\rm d}^j}{{\rm d}t^j}(\Psi_k(t))\Big|\leq C_j|t|^{-j},$

这里 $C_j$ 与 $k,\,t$ 无关. 定义 Fourier 乘子算子 $S_k$ 为

$\widehat{S_kf}(\xi)=\hat{f}(\xi)\Psi_k(|{\cal R}\pi_{\lambda}^n{\cal Q}(\xi)|).$

(2.58)

我们写

$\sigma_{t}*f(x)=\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\sigma_{t}*f(x)\chi_{[2^{kv},2^{(k+1)v})}(t)\\ =\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\sigma_{t}*\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}S_{j+k}f(x)\chi_{[2^{kv},2^{(k+1)v})}(t)\\ =\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\sigma_{t}*S_{j+k}f(x)\chi_{[2^{kv},2^{(k+1)v})}(t)\\ :=\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}H_{j}(f)(x,t).$

(2.59)

因此由 (2.58)式及 Minkowski 不等式,我们有

$(\int_0^\infty|\sigma_{t}*f(x)|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2} \leq\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}\Big(\int_0^\infty|H_{j}(f)(x,t)|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2} :=\sum\limits_{j\in{\Bbb Z}}U_{j}(f)(x).$

(2.60)

下面我们仅考虑 $\gamma>0$ 的情况,$\gamma＜0$ 的情况类似可证. 由 (2.59)式,Plancherel 定理及假设 (i),我们有

$\|U_{j}(f)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2=\int_{{\Bbb R}^n}\int_0^\infty|H_{j}(f)(x,t)|^2\frac{{\rm d}t}{t}{\rm d}x\\ =\int_{{\Bbb R}^n}\int_0^\infty\Big|\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\sigma_{t}*S_{j+k}f(x)\chi_{[2^{kv},2^{(k+1)v})}(t)\Big|^2\frac{{\rm d}t}{t}{\rm d}x\\ \leq\int_{{\Bbb R}^n}\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{2^{kv}}^{2^{(k+1)v}} |\widehat{\sigma_{t}}(x)\Psi_{k+j}(|{\cal R}\pi_{\lambda}^n{\cal Q}(x)|)\hat{f}(x)|^2\frac{{\rm d}t}{t}{\rm d}x\\ \leq C\sum\limits_{k\in{\Bbb Z}}\int_{\varphi(2^{(k+j+1)v})^{-\gamma}\leq |{\cal R}\pi_{\lambda}^n{\cal Q}(x)|\leq\varphi(2^{(k+j-1)v})^{-\gamma}} \int_{2^{kv}}^{2^{(k+1)v}}|\widehat{\sigma_{t}}(x)|^2\frac{{\rm d}t}{t}|\hat{f}(x)|^2{\rm d}x\\ \leq CA^2vB_j^2\|f\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2,$

这里

$B_j=D_\varphi^{(2-j)\beta\gamma}\chi_{j\geq2}(j)+\chi_{-1 ＜j＜2}(j)+D_\varphi^{(j+1)\delta\gamma}\chi_{j\leq-1}(j).$

(2.61)

因此,我们有

$\|U_{j}(f)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\leq CAv^{1/2}B_j\|f\|_{L^2({\Bbb R}^n)}.$

(2.62)

另一方面,由假设 (ii)及Littlewood-Paley 定理,我们有

$\|U_j(f)\|_{L^{p_0}({\Bbb R}^n)}\leq CAv^{1/2}\|f\|_{L^{p_0}({\Bbb R}^n)}.$

(2.63)

则通过对 (2.62)及 (2.63)式插值,对任意 $p\in[\min\{p_0,2\},\max\{p_0,2\}]$,存在常数 $\theta_p\in(0,1]$ 使得

$\|U_j(f)\|_{L^{p}({\Bbb R}^n)}\leq CAv^{1/2}B_j^{\theta_p}\|f\|_{L^{p}({\Bbb R}^n)},$

(2.64)

再结合 (2.60)式及 Minkowski 不等式得到引理 2.7 的证明.

本节我们将证明定理 1.2.

证 设 $\Omega$,$\Omega_\mu$ 如第 2 节中所述. 由 Minkowski 不等式,我们写

${\cal M}_{h,\Omega_\mu,\phi}^\rho(f)(x) = \Big(\int_0^\infty\Big|\sum\limits_{k=-\infty}^0\frac{1}{t^\rho} \int_{2^{k-1}t＜|y|\leq2^kt}f(x-\phi(|y|)y')\frac{\Omega_\mu(y)h(|y|)} {|y|^{n-\rho}}{\rm d}y\Big|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\\ \le \sum\limits_{k=-\infty}^0\Big(\int_0^\infty\Big|\frac{1}{t^\rho} \int_{2^{k-1}t＜|y|\leq2^kt} f(x-\phi(|y|)y')\frac{\Omega_\mu(y)h(|y|)} {|y|^{n-\rho}}{\rm d}y\Big|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\\ \leq(1-2^{-\sigma})^{-1}\Big(\int_0^\infty|\sigma_{h,t}^{\mu}*f(x)|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}.$

(3.1)

我们仅证明定理 1.2 中 $\phi\in{\cal G}_1$ 的情形,其他情况类似可证,这里省略细节. 下面我们考虑如下两种情形:

情形 1 $2/(2\delta+1)＜p＜2$ ,$\delta=\min\{1/2,1/\gamma'\}$. 由 (2.10)-(2.11)式及引理 2.5 和 2.7,对 $|1/p-1/2|＜\min\{1/2,1/\gamma'\}$,我们有

$ \|(\int_0^\infty|\sigma_{h,t}^{\mu}*f|^2\frac{{\rm d}t}{t}\Big)^{1/2}\Big\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C(\mu+1)^{1/2}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},$

(3.2)

这里 $C$ 是与 $\mu,\,\gamma,\,h$ 无关的正常数. 则通过 (2.5)式,(3.1)-(3.2)式及 Minkowski 不等式,可得对任意 $2/(2\delta+1)＜p＜2$,

$\|{\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le \sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}\|{\cal M}_{h,\Omega_\mu,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \leq C(\sigma)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}(\mu+1)^{1/2}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \le C(\sigma)\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}.$

(3.3)

这也就证明了定理 1.2 的 (i).

情形 2 我们假设对某个 $1＜\gamma\leq 2$,$h\in\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)$. 由引理 2.1,引理 2.6 及文献 [17,定理 1] 证明的类似讨论,我们得到

$ \|{\cal M}_{h,\Omega_\mu,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C(\mu+1)(\gamma-1)^{-1}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} \|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 1＜p＜2,$

$ \|{\cal M}_{h,\Omega_\mu,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C(\mu+1)^{1/2}(\gamma-1)^{-1/2}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)} \|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ \ 2\leq p＜\infty,$

再结合 (3.1)式和 Minkowski 不等式推出

$\|{\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le C(\sigma)\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}\|{\cal M}_{h,\Omega_\mu,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \le C\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}(\mu+1)\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}(\gamma-1)^{-1}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \leq C(\gamma-1)^{-1}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L(\log^+L)(S^{n-1})}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ 1＜p＜2. \\ \label{eq:3.5} \|{\cal M}_{h,\Omega,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\leq C(\sigma)\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}\|{\cal M}_{h,\Omega_\mu,\phi}^\rho(f)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \le C\sum\limits_{\mu\in N(\Omega)\cup\{0\}}(\mu+1)^{1/2}\|\Omega\|_{L^1(E_\mu)}(\gamma-1)^{-1/2}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\ \leq C(\gamma-1)^{-1/2}\|h\|_{\Delta_\gamma({\Bbb R}^+)}\|\Omega\|_{L(\log^+L)^{1/2}(S^{n-1})}\|f\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\ 2\leq p＜\infty.$

(3.4)

再应用文献 [20,定理 1.2] 中的外插讨论便可得到定理 1.2 的 (ii),(iii).