在单位球 $S^{n-1}\subset{\Bbb R}^{n}(n\geq2)$ 上赋予标准的 Lebesgue 测度 ${\rm d}\sigma={\rm d}\sigma(x')$. 设 $\Omega\in L^1(S^{n-1})$ 是 ${\Bbb R}^n$ 上的零阶齐次函数且有消失性质

$\int_{{\Bbb S}^{n-1}}\Omega(x'){\rm d}\sigma(x')=0,$

(1.1)

其中 $x'=x/|x|(x\neq0).$ 1960年,Hömander 在文献[1] 中引入了高维参数型 Marcinkiewicz 积分算子

$ \mu^{\rho}(f)(x)=\bigg(\int_0^\infty|F_{\rho,t}(f)(x)|^2\frac{{\rm d}t}{t^{2\rho+1}}\bigg)^{\frac{1}{2}},$

其中$\rho>0,\ t>0$,

$ F_{\rho,t}(f)(x)=\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x-y)}{|x-y|^{n-\rho}}f(y){\rm d}y. $

当$\rho=1$时,它就是 Stein 在文献[2] 中研究的高维 Marcinkiewicz 积分算子,简单记作 $\mu(f)$. 给定复数 $\rho$ 满足 ${\rm Re}(\rho)=\alpha >0$ 和 ${\Bbb R}^n$ 上的径向函数 $h,$ 丁勇,陆善镇和 Yabuta 在文献[3] 中考虑了下述积分

$ \mu_{\Omega,h}^{\rho}(f)(x)=\bigg(\int_{0}^\infty\big|F_{\Omega,h}^{\rho}(x,t)\big|^2\frac{{\rm d}t}{t}\bigg)^{\frac{1}{2}},$

其中

$ F_{\Omega,h}^{\rho}(x,t)=\frac{1}{t^\rho}\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x-y)h(|x-y|)}{|x-y|^{n-\rho}}f(y){\rm d}y $

且 $h(|y|)\in l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+),\ \ 1\leq q\leq \infty$,即对 $1\leq q＜\infty,$ 有

$ l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+):=\bigg\{h:\|h\|_{l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+)}= \sup_{j\in{\Bbb Z}}\bigg(\int_{2^{j-1}}^{2^j}|h(r)|^q\frac{{\rm d}r}{r}\bigg)^{\frac{1}{q}}＜C\bigg\}. $

当 $q=\infty,$ 有 $l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+)=L^{\infty}({\Bbb R}^+).$ 在文献[3] 中,我们有以下两个事实: 当$ 1＜\beta＜\delta＜\infty$,

$ l^\infty(L^\infty)\subset l^{\infty}(L^{\delta})\subset l^\infty(L^\beta)\subset l^\infty(L^1); $

当$1\leq\beta＜\infty$,

$ \|h\|_{l^\infty(L^\beta)({\Bbb R}^+)}\sim\sup_{R>0} \bigg(\frac{1}{R}\int_0^R|h(r)|^\beta{\rm d}r\bigg)^{1/\beta}. $

同时,丁勇,陆善镇和 Yabuta 在文献[3] 中获得了以下定理:

定理DLY ^[3] 设 $\Omega$ 是定义在 ${\Bbb R}^n$ 上的零阶光滑函数且满足 $\Omega\in L(\log^+ L)(S^{n-1})$ 和 (1.1) 式,以及 $h(|y|)\in l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+).$ 如果 $1＜q\leq\infty$ 且 ${\rm Re}(\rho)=\alpha >0,$ 则存在与 $\rho$ 和 $f$ 无关的常数 $C,$ 使得 $\|\mu_{\Omega,h}^{\rho}(f)\|_{2}\leq C/\sqrt{\alpha }\|f\|_{2}.$

而且,Ahmad Al-Salman 和 Hussian Al-Qassem 在文献[4] 中证明了 $\mu_{\Omega,h}^{\rho}$ 的 $L^p(p\neq2)$ 的有界性.

定理SQ ^[4] 假设定义在 ${\Bbb R}^n$ 上的零阶光滑函数 $\Omega$ 满足 $\Omega\in L(\log^+ L)(S^{n-1})$ 和 (1.1)式且 $h(|y|)\in l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+)$. 如果 $1 ＜q\leq\infty$ 且 ${\rm Re}(\rho)=\alpha >0$,则 $\|\mu_{\Omega,h}^{\rho}(f)\|_{p}\leq C/\sqrt{\alpha }\|f\|_{p} \ \ (1 ＜p\leq \infty)$,其中常数 $C$ 不依赖于 $\rho$ 和 $f$.

对于 $\mu_{\Omega}$ 的加权有界性,若 $\omega\in {\rm Lip}_\alpha (S^n)(0＜\alpha \leq1)$ 且 $\omega$ 为经典的Muckenhoupt权,Torchinsky 和 Wang 在文献[5] 中证明了 $\mu_{\Omega}$ 是在 $L^p(\omega)(1 ＜ p ＜ 1)$ 上有界的. Ding,Fan 和 Pan 在文献[9] 中证明了 $\mu_{\Omega}$ 是光滑的,如果 $\mu_{\Omega,h}^{\rho}$ 不是加权有界的,这里$\rho=1$且$h(r)\in l^{\infty}(L^{\infty})$. 最近,Ding 和 Lin 在文献[10] 中获得了带粗糙核的 Marcinkiewicz 积分算子在加双权时的有界性.

定理DL ^[10] 假设定义在 ${\Bbb R}^n$ 上的零阶光滑函数 $\Omega$ 满足 $\Omega\in L^q(S^{n-1})(q>1)$ 和 (1.1)式且 $h(|y|)\in l^{\infty}(L^{q})({\Bbb R}^+)$. 如果 $1＜p,q,\beta＜\infty$ 且权满足以下条件中的任何一个: (a) $\frac{1}{q'}-\frac{1}{\beta}>\max\{\frac{1}{p},\frac{1}{2}\}$ 且有 $(u,v)\in A_{p/\lambda}^{\ast}$ 和 $u,v\in A_{p/\lambda}$,其中 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{q}+\frac{1}{\beta}=1$;

(b) $\frac{1}{q'}-\frac{1}{\beta}>\max\{\frac{1}{p'},\frac{1}{2}\}$ 且有 $(u^{1-p'},v^{1-p'})\in A_{p'/\lambda}^{\ast}$ 和 $u^{1-p'},v^{1-p'}\in A_{p/\lambda}$,其中 $\frac{1}{\lambda}+\frac{1}{q}+\frac{1}{\beta}=1$;

(c) $\beta=2,q\leq 2,q' ＜p$ 且有 $(u,v)\in A_{p/q'}^{\ast}$ 和 $u,v\in A_{p/q'}$;

(d) $\beta=2,q\leq 2,p＜q$ 且有 $(u^{1-p'},v^{1-p'})\in A_{p'/q'}^{\ast}$ 和 $u,v\in A_{p'/q'}$.

则存在与 $\rho$ 和 $f$ 无关的常数 $C$,使得

$ \bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|\mu_{\Omega,h}^{\rho}f(x)|^{p}u(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}\leq C\bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|^{p} v(x){\rm d}x\bigg)^{1/p},$

这里的 $A_p$ 权和$A_{p}^{\ast}$ 权是 Muckenhoupt 在文献[11] 中引入的.

唐林^[6]引入了一类非双倍权类,$A_p(\phi)$ 权,本文将研究参数型 Marcinkiewicz 积分算子和它的交换子加 $A_p(\phi)$ 权的估计. 固定正数 $\alpha _0>0$,且记 $\phi(t)=(1+t)^{\alpha _0},t>0$. 一个正的局部可积函数 $\omega$ 属于 $A_p(\phi)(1＜p＜\infty)$ 权,是指存在常数 $C$ 使得对所有的方体 $Q$ 满足

$ \bigg(\frac{1}{\phi(|Q|)|Q|}\int_{Q}\omega(y){\rm d}y\bigg)\bigg(\frac{1}{\phi(|Q|)|Q|}\int_{Q}\omega^{-1/(p-1)}(y){\rm d}y\bigg)^{p-1}\leq C. $

类似地,$\omega\in A_{1}(\phi)$,是指

$ M_{\phi}(\omega)\leq C\omega(x),\ \ {\rm a.e.}\ x\in {\Bbb R}^n,$

其中

$ M_{\phi}f(x)=\sup_{x\in Q}\frac{1}{\phi(|Q|)|Q|}\int_{Q}|f(y)|{\rm d}y. $

不难发现 $f(x)\leq M_{\phi}f(x)\leq Mf(x),$ a.e. $ x\in{\Bbb R}^n$ 且函数 $M_{\phi}f(x)$ 是下半连续的,其中 $M$ 表示 Hardy-Littlewood 极大算子. 如唐林在文献[6] 中所指,$A_{p}\subset A_p(\phi)$ 且对所有的 $\omega\in A_{\phi}({\Bbb R}^n)$,$\omega(x){\rm d}x$ 是非双倍侧度. 以下就是我们的主要结果.

定理1.1 设单位球 $S^{n-1}$ 上的零阶有界光滑函数 $\Omega$ 满足 (1.1)式,且

$|h(|y|)|\leq C_N{1}/({1+|y|^{N}}),$

当 $N\geq0$ 时,如果 $1＜p＜\infty$ 且 $\omega\in A_{p}(\phi)$,则存在与 $\rho$ 和 $f$ 无关的常数 $C$,使得

$ \bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|\mu_{\Omega,h}^{\rho}f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}\leq C\bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}. $

定理1.2 设定理 $1.1$ 的条件成立,如果 $\omega\in A_1(\phi)$,则存在与 $\rho$ 和 $f$ 无关的常数 $C$,使得

$ \omega(\{x\in{\Bbb R}^n:\mu_{\Omega,h}^{\rho}(f)(x)>\lambda\})\leq \frac{C}{\lambda}\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|\omega(x){\rm d}x. $

对于文献[7] 中介绍的 $b\in {\rm BMO}({{\Bbb R}}^n)$,参数型 Marcinkiewicz 积分算子的交换子被定义为

$ \mu_{\Omega,h}^{\rho,b}f(x)=\bigg(\int_{0}^\infty\big|F_{\Omega,h}^{\rho,b}(x,t)\big|^2\frac{{\rm d}t}{t}\bigg)^{\frac{1}{2}},$

其中

$ F_{\Omega,h}^{\rho,b}(x,t)=\frac{1}{t^\rho}\int_{|x-y|\leq t}\frac{\Omega(x-y)h(|x-y|)}{|x-y|^{n-\rho}}[b(x)-b(y)]f(y){\rm d}y. $

在1990年,Torchinsky 和Wang 在文献[5] 中证明了 $\mu_{\Omega,1}^{1,b}$ 在 $L^p(u)$ 上有界,$u$ 是 $A_p$ 权. 类似的,我们有

定理1.3 设定理 $1.1$ 的条件成立. 如果 $b\in{\rm BMO}({\Bbb R}^n)$ 和 $\omega\in A_{p}(\phi)(1＜p＜\infty)$,则存在与 $\rho$ 和 $f$ 无关的常数 $C$,使得

$ \bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|\mu_{\Omega,h}^{\rho,b}f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}\leq C\|b\|_{{\rm BMO}}\bigg(\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x\bigg)^{1/p}. $

定理1.4 设定理 $1.1$ 的条件成立. 如果 $b\in{\rm BMO}({\Bbb R}^n)$ 且 $\omega\in A_1(\phi)$,则存在正常数 $C$ 使得对任意的 $\lambda>0$ 有

$ \omega(\{x\in{\Bbb R}^n:\mu_{\Omega,h}^{\rho,b}f(x)>\lambda\})\leq C\Phi(\|b\|_{{\rm BMO}})\int_{{\Bbb R}^n}\frac{|f(x)|}{\lambda}\bigg(1+ \log^+\bigg(\frac{|f(x)|}{\lambda}\bigg)\bigg)\omega(x){\rm d}x,$

其中 $\Phi(t)=t(1+\log^+t)$.

在某种程度上,本文推广了一些已知的结论.

首先给出一些必要的结论.

引理2.1 ^[6] 假设 $1＜p＜\infty$,$p' = p/(p-1)$ 并且假设 $\omega\in A_p(\phi)$. 则存在一个常数 $C_p>0$,使得

$\|M_{\phi,p'}f\|_{L^p(\omega)}\leq C\|f\|_{L^p(\omega)},$

这里 $M_{\phi,\eta}f(x):=\sup\limits_{Q\ni x}\frac{1}{\phi(|Q|)^\eta|Q|}\int_{Q}|f(y)|{\rm d}y$.

为介绍我们的引理,先引入二进极大算子和 sharp 极大算子,对于任意的 $0＜\eta＜\infty$,有

$ M_{\phi,\eta}^\triangle f(x):=\sup_{Q\ni x\atop Q\ {\rm is\ dyadic}} \frac{1}{\phi(|Q|)^\eta|Q|}\int_{Q}|f(y)|{\rm d}y $

和

$\eqalign{ & M_{\phi ,\eta }^\sharp f(x): = \mathop {\sup }\limits_{Q \ni x,\;r{\rm{ ＜ }}1} {1 \over {|Q|}}\int_{Q({x_0},r)} | f(y) - {m_Q}(f)|{\rm{d}}y + \mathop {\sup }\limits_{Q \ni x,\;r \ge 1} {1 \over {\phi {{(|Q|)}^\eta }|Q|}}\int_{Q({x_0},r)} | f(y)|{\rm{d}}y \cr & \simeq \mathop {\sup }\limits_{Q \ni x,\;r{\rm{ ＜ }}1} \mathop {\inf }\limits_c {1 \over {|Q|}}\int_{Q({x_0},r)} | f(y) - c|{\rm{d}}y + \mathop {\sup }\limits_{Q \ni x,\;r \ge 1} {1 \over {\phi {{(|Q|)}^\eta }|Q|}}\int_{Q({x_0},r)} | f(y)|{\rm{d}}y. \cr} $

我们总是记 $m_Q (f)=(1/|Q|)\int_Qf(y){\rm d}x$.

引理2.2 ^[6] 设 $1＜p＜\infty$,$\omega\in A_p(\phi)$,$0＜\eta＜\infty$ 和 $\delta>0$,

(a) 如果 $\phi:(0,\infty)\rightarrow(0,\infty)$ 是双倍的,即 $\phi(2a)\leq C\phi(a)$ 对所有的 $a>0$ 都成立. 那么,存在正常数 $C$ 使得

$ \sup_{\lambda>0}\phi(\lambda)\omega(\{y\in{\Bbb R}^n:M_{\delta,\phi,\eta}^\triangle f(y) >\lambda\})\leq C\sup_{\lambda>0} \phi(\lambda)\omega(\{y\in{\Bbb R}^n:M_{\delta,\phi,\eta}^\sharp f(y)>\lambda\}) $

对所有左半连续的函数都成立;

(b) 如果 $f\in L^p(\omega)$,那么

$ \|f\|_{L^p(\omega)}\leq C\|M_{\delta,\phi,\eta}^\triangle f\|_{L^p(\omega)}\leq C\|M_{\delta,\phi,\eta}^\sharp f\|_{L^p(\omega)},$

其中 $M_{\delta,\phi,\eta}^\triangle f(x)=M_{\phi,\eta}^\triangle(f^\delta)^{1/\delta}(x)$ 且 $\ M_{\delta,\phi,\eta}^\sharp f(x)=M_{\phi,\eta}^\sharp(f^\delta)^{1/\delta}(x).$

引理2.3 ^[6] 假设 $1\leq p_{1}＜\infty$ 且 $\omega\in A_{p_{1}}(\phi)$. 如果 $p_{1}＜ p＜\infty$,则不等式

$ \int_{{\Bbb R}^n}|M_{\phi}f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x\leq C_{p}\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x. $

此外,假设 $1\leq p＜\infty$,$\omega\in A_{p}(\phi)$ 当且仅当

$ \omega \big({x\in{\Bbb R}^n:M_{\phi}(f)(x)>\lambda}\big)\leq \frac{C_{p}}{\lambda^{p}}\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|^{p}\omega(x){\rm d}x. $

引理2.4 设零阶有界光滑函数 $\Omega$ 满足 (1.1)式,且 $|h(|y|)|\leq C_N1/(1+|y|^{N})$. 如果 $1＜p＜\infty$,则存在不依赖于 $\rho$ 和 $f$ 的正常数 $C$,使得

$ |\{x\in{\Bbb R}^n:\mu_{\Omega,h}^{\rho}(f)(x)>\lambda\}|\leq \frac{C}{\lambda}\int_{{\Bbb R}^n}|f(x)|{\rm d}x. $

证 事实上,由于 $\int_{{\Bbb S}^{n-1}}\Omega(x')h(|x|){\rm d}\sigma(x')=0$ 且 $\Omega(.)h(|.|)\in L(\log L),$ 上述引理为文献[8,定理 1] 的推论.

因为我们不知道是否存在 $\delta>1$ 使得对 $\omega\in A_p(\phi)$ 有 $\omega^\delta\in A_p(\phi)$ 这一事实,所以我们不能借用文献[3, 9-10] 中的方法. 我们将采用文献[6] 中的论述和思想. 为了证明定理 1.1,由引理 2.1-2.4,我们只需要说明对任意的 $p'＜\eta＜\infty$ 和 $0＜\delta＜1$ 有

$M_{\delta,\phi,\eta}^{\sharp}(\mu_{\Omega,h}^{\rho}f)(x)\leq C_\eta M_{\phi,\eta}(f)(x),\ \ {\rm a.e.} \ x\in{\Bbb R}^n.$

(3.1)

定理1.1的证明 固定 $x_0\in{\Bbb R}^n$. 对任意的方体 $Q=Q(x_Q,r)\ni x_0 $,分解 $f=f_1 +f_2$,其中 $f_1=f\chi_{8Q}$ 和 $f_2=f\chi_{{\Bbb R}^n\backslash 8Q}$. 我们对 $r$ 分两种情况进行讨论.

情况 1 $(0＜r＜1).$ 当 $0＜\delta＜1$ 时,那么

$\eqalign{ & {({1 \over {|Q|}}\int_Q | |\mu _{\Omega ,h}^\rho (f)(x){|^\delta } - |{m_Q}(\mu _{\Omega ,h}^\rho ({f_2})){|^\delta }|{\rm{d}}x)^{1/\delta }} \cr & \le {({1 \over {|Q|}}\int_Q | \mu _{\Omega ,h}^\rho (f)(x) - {m_Q}(\mu _{\Omega ,h}^\rho ({f_2})){|^\delta }{\rm{d}}x)^{1/\delta }} \cr & \le C{({1 \over {|Q|}}\int_Q | \mu _{\Omega ,h}^\rho ({f_1})(x){|^\delta }{\rm{d}}x)^{1/\delta }} + \cr & C{({1 \over {|Q|}}\int_Q | \mu _{\Omega ,h}^\rho {f_2}(x) - {m_Q}(\mu _{\Omega ,h}^\rho {f_2}){|^\delta }{\rm{d}}x)^{1/\delta }} = I + II, \cr} $

对于 $I$,由引理 2.1,$\phi(|8Q|)\sim1$ 和 Kolmogorov 不等式,可推出

$ I\leq\frac{C}{|Q|}\|\mu_{\Omega,h}^\rho\|_{L^{1,\infty}({\Bbb R}^n)} \leq\frac{C}{|8Q|}\int_Q|f(y)|{\rm d}y \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

为估计 $II$,我们记 $A(x):=|\mu_{\Omega,h}^{\rho}f_2(x)-\mu_{\Omega,h}^{\rho}f_2(x_0)|$,对所有 $x\in Q$. 我们有

$ A(x)\leq A_1(x)+A_2(x)+A_3(x),$

其中

$ A_1(x)=\bigg(\int_0^\infty\bigg[\int_{|x-y|\leq t＜|x_0-y|}\frac{|\Omega(x-y)|}{|x-y|^{n-\rho}}|h(|x-y|)f_2(y)|{\rm d}y\bigg]^2\frac{{\rm d}t}{t^{2\rho+1}}\bigg)^{1/2},$

$ A_2(x)=\bigg(\int_0^\infty\bigg[\int_{|x_0-y|\leq t＜|x-y|}\frac{|\Omega(x_0-y)|}{|x_0-y|^{n-\rho}}|h(|x_0-y|)f_2(y)|{\rm d}y\bigg]^2\frac{{\rm d}t}{t^{2\rho+1}}\bigg)^{1/2},$

$ A_3(x)=\bigg(\int_0^\infty\bigg[\int_{|x_0-y|\leq t\atop|x-y|\leq t}\bigg|\frac{\Omega(x-y)h(|x-y|)}{|x-y|^{n-\rho}}-\frac{\Omega(x_0-y)h(|x_0-y|)}{|x_0-y|^{n-\rho}}\bigg||f_2(y)|{\rm d}y\bigg]^2\frac{{\rm d}t}{t^{2\rho+1}}\bigg)^{1/2}. $

由于 $x_0,x\in Q$ 和 $y\in{\Bbb R}^n\backslash8Q$,则 $|x_0-y|\sim|x-y|\sim|x_Q-y|$. 记 $k_0\in{\Bbb N}$ 使得 $1/8＜8^{k_0}r＜1$,并用 Minkowski 不等式,我们有

$\begin{align} & {{A}_{1}}(x)\le C{{\int }_{{{\mathbb{R}}^{n}}\backslash 8Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}|h(|x-y|)f(y)|{{(\int_{|x-y|\le t ＜|{{x}_{0}}-y|}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2\rho +1}}}})}^{1/2}}\text{d}y \\ & \le C{{\int }_{{{\mathbb{R}}^{n}}\backslash 8Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}|h(|x-y|)f(y)|\frac{|x-{{x}_{0}}{{|}^{1/2}}}{|x-y{{|}^{\rho +1/2}}}\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k=0}^{{{k}_{0}}}{|}Q{{|}^{1/2n}}{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n+1/2}}}|h(|x-y|)f(y)|\text{d}y \\ & +\sum\limits_{k={{k}_{0}}+1}^{\infty }{|}Q{{|}^{1/2n}}{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n+1/2}}}|h(|x-y|)f(y)|\text{d}y \\ & :={{A}_{11}}(x)+{{A}_{12}}(x). \\ \end{align}$

因为对所有的 $k\leq k_0$ 有 $\phi(|8^{k}Q|)\sim1$,我们可得

$ A_{11}(x)\leq C\sum_{k=0}^{k_0}\frac{8^{-k/2}}{|8^{k+1}Q|}\int_{8^{k+1}Q}|f(y)|{\rm d}y \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

$ A_{11}(x)\leq C\sum_{k=0}^{k_0}\frac{8^{-k/2}}{|8^{k+1}Q|}\int_{8^{k+1}Q}|f(y)|{\rm d}y \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

对于 $A_{12}(x)$,我们记 $N=n\eta\alpha _0$,由于 $|h(|x-y|)|\leq C|x-y|^{-n\eta\alpha _0}$ 且有

$ A_{12}(x)\leq C\sum_{k=k_0}^{\infty}\frac{8^{-k/2}}{\phi(|8^{k+1}Q|)^\eta|8^{k+1}Q|}\int_{8^{k+1}Q}|f(y)|{\rm d}y\\ \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

类似的,$A_2(x)\leq CM_{\phi,\eta}f(x_0)$. 再次利用 Minkowski 不等式

$\begin{align} & {{A}_{3}}(x)\le C{{\int }_{{{\mathbb{R}}^{n}}\backslash 8Q}}|\frac{\Omega (x-y)h(|x-y|)}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}-\frac{\Omega ({{x}_{0}}-y)h(|{{x}_{0}}-y|)}{|{{x}_{0}}-y{{|}^{n-\rho }}}| \\ & \times |f(y)|{{(\int_{\begin{matrix} |{{x}_{0}}-y|\le t \\ |x-y|\le t \\ \end{matrix}}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2\rho +1}}}})}^{1/2}}\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}}|f(y)|\frac{|\Omega (x-y)h(|x-y|)-\Omega ({{x}_{0}}-y)h(|{{x}_{0}}-y|)|}{|x-y{{|}^{n}}}\text{d}y \\ & +C\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}}|f(y)|\frac{|\Omega ({{x}_{0}}-y)h(|{{x}_{0}}-y|)|}{|{{x}_{0}}-y{{|}^{\rho }}}|\frac{1}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}-\frac{1}{|{{x}_{0}}-y{{|}^{n-\rho }}}|\text{d}y \\ & :={{A}_{31}}(x)+{{A}_{32}}(x). \\ \end{align}$

由于 $|x-y|\sim|x_0-y|$,不难验证 $|\frac{1}{|x-y|^{n-\rho}}-\frac{1}{|x_0-y|^{n-\rho}}|\leq C\frac{|x-x_0|}{|x-y|^{n+1-\rho}}$ 且类似于 $A_1(x)$ 的估计可以得到 $A_{32}(x)\leq CM_{\phi,\eta}f(x_0)$. 为了得到 $A_{31}(x)\leq CM_{\phi,\eta}f(x_0)$,我们只需要估计以下的不等式

$ \sum_{k=0}^{\infty}\int_{8^{k+1}Q\backslash8^{k}Q}|f(y)|\frac{|h(|x-y|)-h(|x_0-y|)|}{|x-y|^n}{\rm d}y\leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

并且我们只要验证

$ \sum_{k=k_0}^{\infty}\int_{8^{k+1}Q\backslash8^{k}Q}|f(y)|\frac{|h(|x-y|)-h(|x_0-y|)|}{|x-y|^n}{\rm d}y\leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

类似于 $A_{12}(x)$,我们记 $N=n\eta\alpha _0+1$,并且有

$\begin{align} & \sum\limits_{k={{k}_{0}}}^{\infty }{{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}}|f(y)|\frac{|h(|x-y|)-h(|{{x}_{0}}-y|)|}{|x-y{{|}^{n}}}\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k={{k}_{0}}}^{\infty }{{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}}|f(y)|\frac{|h(|x-y|)|}{|x-y{{|}^{n}}}\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k={{k}_{0}}}^{\infty }{\frac{{{8}^{-k}}}{\phi {{(|{{8}^{k+1}}|Q)}^{\eta }}|{{8}^{k+1}}Q|}}\int_{{{8}^{k+1}}Q}{|}f(y)|\text{d}y\le C{{M}_{\phi ,\eta }}f({{x}_{0}}). \\ \end{align}$

则我们有

$ II\leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

情况 2 $(r\geq1)$. 当 $r\geq1$时,记 $\rho_1:=\eta/\delta\geq\eta+1$,则有以下结果

$\begin{align} & {{(\frac{1}{\phi (|Q|)\eta |Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f)(y){{|}^{\delta }})}^{1/\delta }} \\ & \le \frac{C}{\phi {{(|Q|)}^{{{\rho }_{1}}}}}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }({{f}_{1}})(y){{|}^{\delta }})}^{1/\delta }}+\frac{C}{\phi {{(|Q|)}^{{{\rho }_{1}}}}}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }({{f}_{2}})(y){{|}^{\delta }})}^{1/\delta }} \\ & :=III+IV. \\ \end{align}$

对于 $III$,类似与 $I$,我们有

$ III \leq\frac{C}{\phi(|Q|)^{\rho_1}}\frac{1}{|Q|}\|\mu_{\Omega,h}^{\rho}(f_1)\|_{L^{1,\infty}} \leq C\frac{C}{\phi(|Q|)^{\eta}|Q|}\int_{8Q}|f(y)|{\rm d}y \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

最后,利用 $II$ 的论证过程,由 $r\geq1$,我们可得

$ IV\leq C\sum_{k=0}^{\infty}\frac{8^{-k}}{\phi(|Q|)^{\eta}|8^{k+1}Q|}\int_{8^{k+1}Q}|f(y)|{\rm d}y \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

定理1.1证毕.

定理 1.2的证明 由引理 2.1-2.3 和 (3.1)式,我们有

$\begin{align} & \omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f)(x)>\lambda \}) \\ & \le \omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:M_{\phi ,\eta }^{\vartriangle }(\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f))(x)>\lambda \}) \\ & \le \omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:M_{\delta ,\phi ,\eta }^{\sharp }(\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f))(x)>\lambda \}) \\ & \le \omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:{{M}_{\phi ,\eta }}(f)(x)>\lambda \}) \\ & \le \omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:{{M}_{\phi }}(f)(x)>\lambda \}) \\ & \le \frac{C}{\lambda }\int_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{|}f(x)|\omega (x)\text{d}x. \\ \end{align}$

定理 1.2 证毕.

首先,我们回忆 Orlicz 空间上的一些定义和事实. 一个连续递增的、凹的,且满足 $\varphi(0)=0$ 和 $\varphi(t)\rightarrow0(t\rightarrow\infty)$ 的函数 $\varphi(t):[0,\infty)\rightarrow[0,\infty)$ 称为 Young 函数. 定义方体 $Q$ 上的与 $\varphi$ 相关的 Luxemberg 范数为

$ \|f\|_{\varphi,Q}=\inf\{\lambda>0:\frac{1}{|Q|}\int_{Q} \varphi(\frac{|f(y)|}{\lambda}){\rm d}y\leq1\}. $

我们引入极大函数

$ M_{\varphi}f(x):=\sup_{Q\ni x}\|f\|_{\varphi,Q},$

对于$0＜\eta＜\infty$,

$ M_{\varphi,\phi,\eta}f(x):=\sup_{Q\ni x}\phi(|Q|)^{-\eta}\|f\|_{\varphi,Q},$

这里的上确界取自所有包含 $x$ 的方体. 例如,对 $\varphi(t)=t(1+\log^+t)$,与之相应的极大函数为 $M_{L\log L}$. 而 $\tilde{\varphi}(t)\thickapprox {\rm e}^t$ 为 $\phi$ 的补Young函数,相应的极大函数记作 $M_{\exp L}$. 接着,在证明本文的定理之前我们介绍一些引理.

引理 4.1 ^[6] 设 $0＜\eta＜\infty$ 和 $M_{\phi,\eta/2}f$ 是局部可积的,则存在不依赖于 $f$ 和 $x$ 的正常数 $C_1$ 和 $C_2$,使得

$ C_2M_{\phi,\eta}f(x)\leq M_{L\log L,\phi,\eta}f(x)\leq C_1M_{\phi,\eta/2}M_{\phi,\eta/2}f(x). $

引理 4.2 给定 $b\in{\rm BMO}$ 和 $1\leq\eta＜\infty$. 如果 $0＜\delta＜\epsilon＜1$,则对所有的 $f\in C_0^\infty({\Bbb R}^n)$ 有

$ M_{\delta,\phi,\eta}^\sharp(\mu_{\Omega,h}^{\rho,b}f)(x)\leq C\|b\|_{{\rm BMO}}[M_{\epsilon,\phi,\eta}(\mu_{\Omega,h}^{\rho,b}f)(x) +M_{L\log L,\phi,\eta}(f)(x)],\ \ {\rm a.e.} \ x\in{\Bbb R}^n,$

这里 $M_{\epsilon,\phi,\eta}f(x)=M_{\phi,\eta}(|f|^\epsilon)^{1/\epsilon}$.

证 固定 $x_0\in{\Bbb R}^n,$ 记方体 $Q=Q(x_Q,r)\ni x_0$. 分解 $f=f_1+f_2$,其中 $f_1=f\chi_8Q$ 和 $f_2=f\chi_{{\Bbb R}^n\backslash8Q}$. 我们依然分两类情况 $1>r>0$ 和 $r\geq 1$来讨论. 我们始终记 $m_k=m_{8^kQ}(f)$ 和 $h_Q=m_Q(\mu_{\Omega,h}^\rho((b-m_1)f_2)$.

情况1 $(0＜r＜1)$. 由于 $0＜\delta＜1$,则

$\begin{align} & {{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}|\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f)(y){{|}^{\delta }}-|{{h}_{Q}}{{|}^{\delta }}|\text{d}y)}^{1/\delta }} \\ & \le C{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f)(y)-{{h}_{Q}}{{|}^{\delta }}\text{d}y)}^{1/\delta }} \\ & \le C{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}(b(y)-{{m}_{1}})\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f)(y){{|}^{\delta }}\text{d}y)}^{1/\delta }}+ \\ & C{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }((b-{{m}_{1}}){{f}_{1}})(y){{|}^{\delta }}\text{d}y)}^{1/\delta }}+ \\ & C{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }((b-{{m}_{1}}){{f}_{2}})(y)-{{h}_{Q}}{{|}^{\delta }}\text{d}y)}^{1/\delta }} \\ & =V+VI+VII. \\ \end{align}$

利用 John-Nirenberg 不等式,对所有的 $1＜q＜\epsilon/\delta$,我们有

$\begin{align} & V\le C{{(\frac{1}{|8Q|}\int_{Q}{|}b(y)-{{m}_{1}}{{|}^{\delta {q}'}}\text{d}y)}^{{q}'/\delta }}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{8Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f)(y){{|}^{q\delta }})}^{1/q\delta }} \\ & \le C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{\epsilon ,\phi ,\eta }}(\mu _{\Omega ,h}^{\rho }f)({{x}_{0}}). \\ \end{align}$

由于 $\mu_{\Omega,h}^{\rho}$ 是弱 $(1,1)$ 型的,且利用 Kolmogorov 不等式,则有

$ VI\leq \frac{C}{|Q|}\|\mu_{\Omega,h}^\rho f_1\|_{L^{1,\infty}}\leq \frac{C}{|8Q|}\int_{Q}|f(y)|{\rm d}y \leq CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

为了估计 $VII$,这里记 $k_0$为满足 $1/8＜8^{k_0}r\leq1$ 的最小整数,则

$\begin{align} & VII\le \frac{C}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }((b-{{m}_{1}}){{f}_{2}})(y)-{{h}_{Q}}|\text{d}y \\ & \le \frac{C}{|Q{{|}^{2}}}\int_{Q}{\int_{Q}{\mu _{\Omega ,h}^{\rho }}}((b-{{m}_{1}}){{f}_{2}})(y)-\mu _{\Omega ,h}^{\rho }((b-m){{f}_{2}})(z)\text{d}z\text{d}y. \\ \end{align}$

使用与 $II$ 相类似的步骤,我们有

$ B_1(x)=\bigg(\int_0^\infty\bigg[\int_{|x-y|\leq t＜|x_0-y|}\frac{|\Omega(x-y)|}{|x-y|^{n-\rho}}|h(|x-y|)(b(y)-m_1)f_2(y)|{\rm d}y\bigg]^2\frac{{\rm d}t}{t^{2\rho+1}}\bigg)^{1/2},$

$ B_2(x)=\bigg(\int_0^\infty\bigg[\int_{|x_0-y|\leq t＜|x-y|}\frac{|\Omega(x_0-y)|}{|x_0-y|^{n-\rho}}|h(|x_0-y|)(b(y)-m_1)f_2(y)|{\rm d}y\bigg]^2\frac{{\rm d}t}{t^{2\rho+1}}\bigg)^{1/2},$

$\begin{align} & {{B}_{3}}(x)=(\int_{0}^{\infty }{[}\int_{\begin{matrix} |{{x}_{0}}-y|\le t \\ |x-y|\le t \\ \end{matrix}}{|}\frac{\Omega (x-y)h(|x-y|)}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}-\frac{\Omega ({{x}_{0}}-y)h(|{{x}_{0}}-y|)}{|{{x}_{0}}-y{{|}^{n-\rho }}}| \\ & \times |(b(y)-{{m}_{1}})||{{f}_{2}}(y)|\text{d}y{{]}^{2}}\frac{\text{d}t}{{{t}^{2\rho +1}}}{{)}^{1/2}}. \\ \end{align}$

类似于 $A_1(x)$,我们有

$\begin{align} & {{B}_{1}}(x)\le C{{\int }_{{{\mathbb{R}}^{n}}\backslash 8Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}|h(|x-y|)(b(y)-{{m}_{1}})f(y)|{{(\int_{|x-y|\le t ＜|{{x}_{0}}-y|}{\frac{\text{d}t}{{{t}^{2\rho +1}}}})}^{1/2}}\text{d}y \\ & \le C{{\int }_{{{\mathbb{R}}^{n}}\backslash 8Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n-\rho }}}|h(|x-y|)(b(y)-{{m}_{1}})f(y)|\frac{|x-{{x}_{0}}{{|}^{1/2}}}{|x-y{{|}^{\rho +1/2}}}\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k=0}^{{{k}_{0}}}{|}Q{{|}^{1/2n}}{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n+1/2}}}|h(|x-y|)(b(y)-{{m}_{1}})f(y)|\text{d}y \\ & +\sum\limits_{k={{k}_{0}}+1}^{\infty }{|}Q{{|}^{1/2n}}{{\int }_{{{8}^{k+1}}Q\backslash {{8}^{k}}Q}}\frac{|\Omega (x-y)|}{|x-y{{|}^{n+1/2}}}|h(|x-y|)(b(y)-{{m}_{1}})f(y)|\text{d}y \\ & :={{B}_{11}}(x)+{{B}_{12}}(x). \\ \end{align}$

由于 $\phi(|8^{k}Q|)\sim1$,对所有的 $k\leq k_0$,我们有

$\begin{align} & {{B}_{11}}(x)\le C\sum\limits_{k=0}^{{{k}_{0}}}{\frac{{{8}^{-k/2}}}{|{{8}^{k+1}}Q|}}\int_{{{8}^{k+1}}Q}{|}b(y)-{{m}_{1}}||f(y)|\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k=0}^{{{k}_{0}}}{\frac{{{4}^{-k}}}{|{{8}^{k+1}}Q|}}[\int_{{{8}^{k}}Q}{|}b(y)-{{m}_{k+1}}(b)||f(y)|\text{d}y+|{{m}_{k+1}}(b)-{{m}_{1}}|\int_{{{8}^{k+1}}Q}{|}f(y)|\text{d}y] \\ & \le C\sum\limits_{k=0}^{{{k}_{0}}}{{{8}^{-k/2}}}\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}})+C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}})\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k}{{8}^{-k/2}} \\ & \le C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}}). \\ \end{align}$

且我们记 $N=n\eta\alpha _0$ 使得 $|h(|x-y|)|\leq C|x-y|^{-n\eta\alpha _0}$,则

$\begin{align} & {{B}_{12}}(x)\le C\sum\limits_{k={{k}_{0}}}^{\infty }{\frac{{{8}^{-k/2}}}{\phi (|{{8}^{k+1}}Q|)|{{8}^{k+1}}Q|}}\int_{{{8}^{k+1}}Q}{|}b(y)-{{m}_{1}}||f(y)|\text{d}y \\ & \le C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}}). \\ \end{align}$

因此 $B_{1}(x)\leq C\|b\|_{{\rm BMO}}M_{L\log L,\phi,\eta}(f)(x_0)$.

类似于 $B_{2}(x)\leq C\|b\|_{{\rm BMO}}M_{L\log L,\phi,\eta}(f)(x_0)$. 对于 $B_{3}(x)$,记 $N=n\eta\alpha _0+1$,由事实 $|m_1-m_k|\leq Ck\|b\|_{{\rm BMO}}$ 和类似于 $A_{3}(x)$ 的估计过程,我们推得出

$ B_{3}(x)\leq C\|b\|_{{\rm BMO}}M_{L\log L,\phi,\eta}(f)(x_0). $

情况 2 $(r\geq1)$. 由于 $0＜\delta＜\epsilon＜1$ 且 $\eta\geq1$,设 $\rho_2=\eta/\delta\leq\eta$,则

$\begin{align} & {{(\frac{1}{\phi {{(|Q|)}^{\eta }}|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f)(y){{|}^{\delta }}\text{d}y)}^{1/\delta }} \\ & \le C\frac{1}{\phi {{(|Q|)}^{{{\rho }_{2}}}}}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}b(y)-{{m}_{1}}|\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f)(y)\text{d}y)}^{1/\delta }}+ \\ & C\frac{1}{\phi {{(|Q|)}^{{{\rho }_{2}}}}}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{\mu _{\Omega ,h}^{\rho }}((b(y)-{{m}_{1}}){{f}_{1}})(y)\text{d}y)}^{1/\delta }}+ \\ & C\frac{1}{\phi {{(|Q|)}^{{{\rho }_{2}}}}}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{\mu _{\Omega ,h}^{\rho }}((b(y)-{{m}_{1}}){{f}_{2}})(y)\text{d}y)}^{1/\delta }} \\ & :=VIII+IVV+VV. \\ \end{align}$

为估计 $VIII$,对所有的 $1＜q＜\epsilon/\delta$,利用 Jhon-Nirenberg 不等式,我们有

$\begin{align} & VIII\le C{{(\frac{1}{|8Q|}\int_{8Q}{|}b(y)-{{m}_{1}}{{|}^{\delta {q}'}}\text{d}y)}^{{q}'/\delta }}\frac{1}{\phi {{(|Q|)}^{{{\rho }_{2}}}}}{{(\frac{1}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }(f)(y){{|}^{q\delta }})}^{1/q\delta }} \\ & \le C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{\epsilon ,\phi ,\eta }}(\mu _{\Omega ,h}^{\rho }f)({{x}_{0}}). \\ \end{align}$

利用引理 2.4 和 Kolmogorov 不等式可得

$ IVV \le \frac{C}{\phi(|Q|)^{\rho_2}}\frac{1}{|Q|}\|\mu_{\Omega,h}^\rho f_1\|_{L^{1,\infty}}\le \frac{C}{\phi(|Q|)^{\rho_2}}\frac{1}{|8Q|}\int_{Q}|f(y)|{\rm d}y \le CM_{\phi,\eta}f(x_0). $

记 $N=n\eta\delta_0+1$,并由 $|m_k-m_1|\le Ck\|b\|_{{\rm BMO}}$ 以及 $r\geq1$,我们推得

$\begin{align} & IVV\le C\frac{C}{|Q|}\int_{Q}{|}\mu _{\Omega ,h}^{\rho }((b-{{m}_{1}}){{f}_{2}})(y)|\text{d}y\frac{{{8}^{-k}}}{\phi {{(|{{8}^{k+1}}Q|)}^{\eta }}|{{8}^{k+1}}Q|}\int_{{{8}^{k+1}}Q}{|}b(y)-{{m}_{1}}||f(y)|\text{d}y \\ & \le C\sum\limits_{k=0}^{{{k}_{0}}}{{{8}^{-k/2}}}\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}})+C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}})\sum\limits_{k=1}^{\infty }{k}{{8}^{-k/2}} \\ & \le C\|b{{\|}_{\text{BMO}}}{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)({{x}_{0}}). \\ \end{align}$

至此我们就完成了此证明.

定理1.3的证明 从引理 2.4,4.1 和定理 1.1,有如下结果

$\begin{align} & \|\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f){{\|}_{{{L}^{p}}(\omega )}}\le C\|{{M}_{\phi ,\eta }}(\mu _{\Omega ,h}^{\rho }f){{\|}_{{{L}^{p}}(\omega )}}+C\|{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f){{\|}_{{{L}^{p}}(\omega )}} \\ & \le C\|\mu _{\Omega ,h}^{\rho }f{{\|}_{{{L}^{p}}(\omega )}}+C\|{{M}_{\phi ,\eta /2}}{{M}_{\phi ,\eta /2}}(f){{\|}_{{{L}^{p}}(\omega )}}\le C\|f{{\|}_{{{L}^{p}}(\omega )}}. \\ \end{align}$

证毕.

接着我们来证明交换子的加权弱 $(1,1) $型.

定理1.4的证明 利用齐次性,我们不难得到

$ \omega(\{x\in{\Bbb R}^n:\mu_{\Omega,h}^{\rho,b}(f)(x)>1\})\le C\int_{{\Bbb R}^n}|f(y)| \big(1+\log^+|f(y)|\big)\omega(y){\rm d}y. $

为了继续我们的证明,必须使用以下两个引理.

引理 4.3 ^[6] 设 $\omega\in A_{1}(\phi)$ 和 $\eta>2$. 则存在正常数 $C$ 使得对所有函数 $f$ 和 $\lambda>0$,有

$ \omega(\{x\in{\Bbb R}^n:M_{L\log L,\phi,\eta}(f)(x)>\lambda\})\le C\int_{{\Bbb R}^n}\Phi(|f(y)|/\lambda)\omega(y){\rm d}y. $

引理 4.4 设 $b\in{\rm BMO},\ \eta>2$ 和 $\omega\in A_1(\phi)$. 则存在正常数 $C$ 使得对所有具有紧支集的光滑函数 $f$

$\begin{align} & \underset{t>0}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{\Phi (t)}\omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f)(x)>t\}) \\ & \le C\Phi (\|b{{\|}_{BMO}})\underset{t>0}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{\Phi (t)}\omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)(x)>t\}). \\ \end{align}$

与文献[12,14] 的论证相似,利用引理 2.2,2.4,4.1 和 4.2,我们可以得到

$\begin{align} & \omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f)(x)>1\}) \\ & \le C\underset{t>0}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{\Phi (t)}\omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:\mu _{\Omega ,h}^{\rho ,b}(f)(x)>t\}) \\ & \le C\Phi (\|b{{\|}_{BMO}})\underset{t>0}{\mathop{\sup }}\,\frac{1}{\Phi (t)}\omega (\{x\in {{\mathbb{R}}^{n}}:{{M}_{L\log L,\phi ,\eta }}(f)(x)>t\}) \\ & \le C\int_{{{\mathbb{R}}^{n}}}{\Phi }(|f(y)|)\omega (y)\text{d}y, \\ \end{align}$

其中 $\eta>2$. 因此,我们完成了定理 1.4 的证明.