用 ${\Bbb D}$ 表示复平面 ${\Bbb C}$ 的开单位圆盘,${\Bbb C}^n$ 表示 $n$ 维复欧氏空间,用 $\Omega_1$ 和 $\Omega_2$ 分别表示 ${\Bbb C}^n$ 和 ${\Bbb C}^q$ 中的域,将 $\Omega_1$ 映到 $\Omega_2$ 的全纯映照的全体记为 $H(\Omega_1,\Omega_2)$. 另外用 ${\Bbb N}$ 表示正整数集,${\Bbb R}$ 表示实数集.

熟知,若 $f$ 在 $\Omega_1$ 上全纯,$z\in \Omega_1$,则有

$f(w)=\sum_{l=0}^\infty\frac{1}{l!}D^lf(z)((w-z)^l) $

在点 $z\in \Omega_1$ 的领域中的点 $w$ 上成立,其中 $D^lf(z)$ 表示 $f$ 在点 $z$ 的 $l$ 阶 Fréchet 导数.

定义1.1 ^[1] 设 $\Omega$ 是 ${\Bbb C}^n$ 中包含原点的域,$f\in H(\Omega,{\Bbb C}^q)$. 若 $f(0)=0,\cdots,D^{m-1}f(0)=0$,但 $D^mf(0)\neq 0$,其中 $m\in {\Bbb N}$,则称 $z=0$ 是 $f(z)$ 的 $m$ 阶零点.

设 $f \in H(\Omega_1,\Omega_2)$,且在 $z=0$ 的展开式为

$f(z)=f(0)+\sum\limits_{l=1}^\infty \frac{D^{lm}f(0)(z^{lm})}{(lm)!},$

其族记为 $H_m(\Omega_1,\Omega_2)$. 当 $\Omega_1= {\Bbb D}$ 时,上述的幂级数展开式也可写为

$f(z)=f(0)+\sum\limits_{l=1}^\infty \frac{f^{(lm)}(0)}{(lm)!}z^{lm}.$

显然,若 $f\in H_m(\Omega_1,\Omega_2)$,则 $z=0$ 是 $f(z)-f(0)$ 的 $m$ 阶零点,但反之不然.

设 $p>1$,在${\Bbb C}^n$ 中引入范数 $\|z\|=(\sum\limits^{n}_{i=1}|z_{i}|^{p})^{\frac{1}{p}}$,记 ${\Bbb B}^p=\{z\in {\Bbb C}^{n}:\sum\limits^{n}_{i=1}|z_{i}|^{p}＜1\}.$

在几何函数论中,对全纯函数导数模的估计一直是人们感兴趣的研究课题,见文献[2-4]. 如下的结果是单复变经典的 Schwarz-Pick 引理.

引理A 若 $\varphi\in H({\Bbb D},{\Bbb D})$,则

$|\varphi'(z)|\leq\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{1-|z|^{2}},\ \ z\in {\Bbb D}.$

(1.1)

且 (1.1)式在 $z$ 点取等号当且仅当

$\varphi(z)={\rm e}^{{\rm i}\theta}\frac{z+a}{1+\bar{a}z},\ \theta \in {\Bbb R},\ a,\ z \in {\Bbb D}.$

随后,人们将 (1.1) 式推广到任意阶导数的情形,见文献[5-6]; 近年来,人们也将 (1.1) 式推广到多复变数空间,见文献[7-11].

在文献[12] 中,Liu 和 Dai 证明了如下的定理.

引理B 若 $f\in H_{}({\Bbb D},{\Bbb B}^p)$,$1＜p＜+\infty$,则

$|\nabla\|f\|(z)|\leq\frac{1-\|f(z)\|^{2}}{1-|z|^{2}},\ \ z\in{\Bbb D}.$

(1.2)

本文的目的是把定理 B 推广到映照族 $ H_m({\Bbb D},{\Bbb B}^p) (1＜p＜+\infty)$,并考虑 (1.2)式在等号成立时的极值映照. 为此,先给出 Liu 和 Dai^[12] 关于 $|\nabla\|f\|(z)|$ 的定义及相关运算.

设 $f\in H({\Bbb D},{\Bbb B}^p)$,对 $\forall z \in {\Bbb D}$,记 $F(z)=\|f(z)\|$. 现定义

$ |\nabla\|f\|(z)|=\sup\limits_{\beta\in{\Bbb C},|\beta|=1}\left(\lim\limits_{t\in{\Bbb R},t\rightarrow 0^{+}}\frac{||f||(z+t\beta)-\|f\|(z)}{t}\right),\ \ z\in {\Bbb D},$

其中 $f=(f_1,f_2,\cdots,f_n)$,$\|f(z)\|=(\sum\limits^{n}_{i=1}|f_{i}(z)|^{p})^{\frac{1}{p}}$.

于是,

$ |\nabla F(z)|=\sup\limits_{\beta\in{\Bbb C},|\beta|=1}\left(\lim\limits_{t\in{\Bbb R},t\rightarrow 0^{+}}\frac{F(z+t\beta)-F(z)}{t}\right),\ \ z\in {\Bbb D}. $

若 $F(z)\neq 0$,则 $F$ 在点 $z$ 是可微的,因此可得

$ |\nabla F(z)|=2\left|\frac{\partial F}{\partial z}\right|,$

其中

$ \frac{\partial F}{\partial z}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial F}{\partial x}- {\rm i} \frac{\partial F}{\partial y}\right),\ \ z=x+{\rm i}y,\ x,\ y \in {\Bbb R}. $

并且有

$\nabla \|f\|(z)=2\frac{\partial \|f(z)\|}{\partial z} =2\frac{\partial (\sum\limits^{n}_{i=1}|f_{i}(z)|^{p})^{\frac{1}{p}}}{\partial z}\\ =\frac{2}{p}\|f(z)\|^{1-p}\frac{\partial (\sum\limits^{n}_{i=1}|f_{i}(z)|^{p})}{\partial z} \\ =\frac{2}{p}\|f(z)\|^{1-p}\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{\partial (|f_{i}(z)|^{p})}{\partial z} \\=\frac{2}{p}\|f(z)\|^{1-p}\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{pf_{i}^{p-1}(z)f'_{i}(z) \overline{f_{i}^{p}(z)}}{2|f_{i}(z)|^{p}} \\=\|f(z)\|^{1-p}\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i}^{p-1}(z)f'_{i}(z) \overline{f_{i}^{p}(z)}}{|f_{i}(z)|^{p}},\ z\in{\Bbb D}.$

由上式即得

$ |\nabla\|f\|(z)|=\|f(z)\|^{1-p}\left|\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i}^{p-1}(z)f'_{i}(z)\overline{f_{i}^{p}(z)}}{|f_{i}(z)|^{p}}\right|,\ z\in{\Bbb D}. $

若 $F(z)=0$,由定义得

$ |\nabla F(z)|=\sup\limits_{\beta\in{\Bbb C},|\beta|=1} \left(\lim\limits_{t\in{\Bbb R},t\rightarrow 0^{+}}\frac{F(z+t\beta)}{t}\right) =\sup\limits_{\beta\in{\Bbb C},|\beta|=1}\left(\lim\limits_{t\in{\Bbb R},t\rightarrow 0^{+}}\frac{\|f(z+t\beta)-f(z)\|}{t}\right). $

又

$ \lim\limits_{t\in{\Bbb R},t\rightarrow 0^{+}}\frac{\|f(z+t\beta)-f(z)\|}{t}=\|Df(z)\cdot \beta\|=\|f'(z)\|,$

其中 $Df(z)$ 为 $f$ 在点 $z$ 的 Fréchet 导数.

故

$|\nabla\|f\|(z)|=\left\{\begin{array}{ll} \|f(z)\|^{1-p}\left|\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i}^{p-1}(z)f'_{i}(z)\overline{f_{i}^{p}(z)}}{|f_{i}(z)|^{p}}\right|,\ \ & f(z)\neq 0,\\ \|f'(z)\|,\ \ & f(z)=0. \end{array}\right.$

(1.3)

引理2.1 ^[13] 若 $\varphi \in H({\Bbb D},{\Bbb D})$,$\varphi(z)=\sum\limits_{\nu=0}^\infty a_\nu z^\nu,$ 则

$|a_\nu|\leq 1-|a_0|^2,\ \nu\geq 1.$

定理2.1 若$\varphi \in H_m({\Bbb D},{\Bbb D})$,则

$|\varphi'(z)|\leq \frac{m|z|^{m-1}}{1-|z|^{2m}}(1-|\varphi(z)|^2),\ z\in {\Bbb D},$

(2.1)

该估计式是精确的.

证 由于 $\varphi \in H_m({\Bbb D},{\Bbb D})$,则

$\varphi(z)=\varphi(0)+\sum\limits_{l=1}^\infty \frac{\varphi^{(lm)}(0)}{(lm)!}z^{lm}.$

(2.2)

由 (2.2)式可得

$ F(z)=\varphi \left(\left(\frac{z+\zeta^m}{1+\bar{\zeta}^mz}\right)^{\frac{1}{m}}\right)=\sum\limits_{v=0}^\infty c_vz^v \in H({\Bbb D},{\Bbb D}) $

且

$ \varphi(z)=F\left(\frac{z^m-\zeta^m}{1-(\bar{\zeta}z)^m}\right)=\sum\limits_{v=0}^\infty c_v\left(\frac{z^m-\zeta^m}{1-(\bar{\zeta}z)^m}\right)^v. $

经计算得

$ \varphi'(\zeta)=c_1\frac{m\zeta^{m-1}}{1-|\zeta|^{2m}}. $

注意到 $c_0=\varphi(\zeta),$ 由引理 2.1 知

$ |c_1|\leq 1-|c_0|^2=1-|\varphi(\zeta)|^2. $

故

$ |\varphi'(\zeta)|\leq \frac{m|\zeta|^{m-1}}{1-|\zeta|^{2m}}(1-|\varphi(\zeta)|^2). $

用 $z$ 替换 $\zeta$,即得 (2.1) 式成立.

下面的例子表明定理 2.1 的估计是精确的.

$ \varphi(z)={\rm e}^{{\rm i}\theta}\frac{z^m+z_0}{1+\bar{z_0}z^m},\ \theta \in {\Bbb R},\ |z_0|＜1,\ |z|＜1. $

证毕.

注2.1 注意到当 $0\leq x＜1,\ m\in {\Bbb N}$ 时,成立着

$ \frac{1-x^{2m}}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\cdots+x^{2m-2} \geq m\sqrt[m]{1\cdot x^2\cdot x^4\cdots x^{2m-2}} =mx^{m-1}. $

也即

$ \frac{mx^{m-1}}{1-x^{2m}}\leq \frac{1}{1-x^2},\ \ 0\leq x＜1,\ \ m\in {\Bbb N}. $

这表明定理 2.1 推广和改进了经典的 Schwarz-Pick 引理.

引理3.1 ^[12] 若 $H({\Bbb D},{\Bbb B}^p),\ 1＜p＜+\infty $,则

$ |\nabla\|h\|(0)|\leq 1-\|h(0)\|^{2},\ z\in {\Bbb D}. $

定理3.1 设 $f \in H_m({\Bbb D},{\Bbb B}^p)$,则

$|\nabla \|f\|(z)|\leq \frac{m|z|^{m-1}}{1-|z|^{2m}}(1-\|f(z)\|^2),\ \ z\in {\Bbb D}.$

(3.1)

证 因 $f\in H_m({\Bbb D},{\Bbb B}^p)$,于是

$ f(z)=f(0)+\sum\limits_{l=1}^\infty \frac{f^{(lm)}(0)}{(lm)!}z^{lm},$

其中$f(0)=(f_1(0),f_2(0),\cdots,f_n(0))$,$f^{(lm)}(0)=(f^{(lm)}_1(0),f^{(lm)}_2(0),\cdots,f^{(lm)}_n(0))$.

令

$ \sigma_\zeta(z)=\left(\frac{z+\zeta^m}{1+\bar{\zeta}^mz}\right)^{\frac{1}{m}},\ \ z,\ \zeta\in {\Bbb D}. $

因此

$h(z)=f\circ \sigma_\zeta(z)\\ =\left(f_1\left(\frac{z+\zeta^m}{1+\bar{\zeta}^mz}\right)^{\frac{1}{m}},f_2\left(\frac{z+\zeta^m}{1+\bar{\zeta}^mz}\right)^{\frac{1}{m}},\cdots,f_k\left(\frac{z+\zeta^m}{1+\bar{\zeta}^mz}\right)^{\frac{1}{m}}\right)\in H({\Bbb D},{\Bbb B}^p).$

(3.2)

(3.2)式即为

$h\left(\frac{z^m-\zeta^m}{1-(\bar{\zeta}z)^m}\right)=f(z).$

(3.3)

由 (3.3)式可得

$ f(\zeta)=h(0) $

和

$ |\nabla \|f\|(\zeta)|=\frac{m|\zeta|^{m-1}}{1-|\zeta|^2}|\nabla \|h\|(0)|. $

由引理 3.1 知

$ |\nabla \|h\|(0)|\leq 1-\|h(0)\|^2,$

此即

$ |\nabla \|f\|(\zeta)|\leq \frac{m|\zeta|^{m-1}}{1-|\zeta|^{2m}}(1-\|f(\zeta)\|^2),\ \zeta\in {\Bbb D}. $

定理 3.1 证毕.

注3.1 定理 3.1 推广了文献[12] 的相应结果,当$m=1$时,定理 3.1 由 Liu 和 Dai 在文献[12] 中得到.

引理4.1 ^[12] 设 $p$ 为偶数,$f=(f_{1},f_{2},\cdot\cdot\cdot,f_{n}) \in H({\Bbb D},{\Bbb B}^p)$,并设 $f_{i}(z)=\sum\limits^{\infty}_{v=0}a^{v}_{i}z^{v},\ i= 1,2,\cdots,n,\ z\in{\Bbb D}$,则

$ \sum\limits^{n}_{i=1}\sum\limits^{\infty}_{v=0}|a^{v}_{i}|^{p}\leq1. $

用类似于文献[12] 的方法,证明定理4.1.

定理4.1 设 $f=(f_{1},f_{2},\cdot\cdot\cdot,f_{n})\in H_m({\Bbb D},\ {\Bbb B}^p),\ b\in{\Bbb D}$. 若

$ |\nabla \|f\|(b)|= \frac{m|b|^{m-1}}{1-|b|^{2m}}(1-\|f(b)\|^2),\ $

则

(I) 当 $f(b)=0$ 时,有

$ f(z)=\alpha \varphi_{b}(z),\ z\in {\Bbb D}; $

(II) 当 $f(b)\neq 0$ 时,有

$ \sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i}^{p-1}(b)f_{i}(z)\overline{f_{i}^{p}(b)}}{|f_{i}(b)|^{p}}=\|f(b)\|^{p-1}\frac{\|f(b)\|+{\rm e}^{{\rm i}\theta}\varphi_{b}(z)}{1+\|f(b)\|{\rm e}^{{\rm i}\theta}\varphi_{b}(z)},\ \ z\in {\Bbb D},\ \ $

其中 $\alpha \in {\Bbb C}^n$ 且 $\|\alpha \|=1$,而 $\varphi_{b}(z)=\frac{z^m-b^m}{1-(\bar{b}z)^m},\ z\in {\Bbb D}$,\ $\theta \in {\Bbb R}$.

证 要证定理 4.1,只需考虑下列等式即可.

$|\nabla \|h\|(0)|=1-\|h(0)\|^2,$

(4.1)

其中 $h \in H({\Bbb D},{\Bbb B}^p) $.

现考虑如下两种情形.

情形I 当 $h(0)=0$ 时,由 (4.1) 式知

$ \|h'(0)\|=1. $

依据引理 4.1 得

$h(z)=\alpha z,\ z\in {\Bbb D},$

(4.2)

其中 $\alpha \in {\Bbb C}^n $ 且 $\|\alpha \|=1$.

情形II 当 $h(0)\neq 0$ 时,令

$ g(z)=\|h(0)\|^{1-p}\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{h_{i}^{p-1}(0)h_{i}(z)\overline{h_{i}^{p}(0)}}{|h_{i}(0)|^{p}},$

于是

$ |\nabla \|h\|(0)|=|g'(0)|=1-|g(0)|^2=1-\|h(0)\|^2. $

不难验证 $g \in H({\Bbb D},{\Bbb D})$,故

$ g(z)=\frac{\|h(0)\|+{\rm e}^{{\rm i}\theta}z}{1+\|h(0)\|{\rm e}^{{\rm i}\theta}z},\ \ \theta \in {\Bbb R},\ z\in {\Bbb D}. $

因此

$ \sum\limits^{n}_{i=1}\frac{h_{i}^{p-1}(0)h_{i}(z)\overline{h_{i}^{p}(0)}}{|h_{i}(0)|^{p}}=||h(0)||^{p-1}\frac{\|h(0)\|+{\rm e}^{{\rm i}\theta}\varphi_{b}(z)}{1+\|h(0)\|{\rm e}^{{\rm i}\theta}\varphi_{b}(z)},\ \theta \in {\Bbb R},\ z\in {\Bbb D}. $

再令

$h(z)=f\circ \sigma_{b}(z),$

(4.3)

其中

$\sigma_{b}(z)=\left(\frac{z+b^m}{1+\bar{b}^mz}\right)^{\frac{1}{m}},\ \ z,\ b \in {\Bbb D},\ b\neq 0.$

(4.4)

由 (4.3) 和 (4.4) 式可得

$h\in H({\Bbb D},{\Bbb B}^p)$

且

$h(0)=f(b),\ \ \ \frac{m|b|^{m-1}}{1-|b|^{2m}}h'(0)=f'(b).$

(4.5)

若 $|\nabla \|f\|(b)|= \frac{m|b|^{m-1}}{1-|b|^{2m}}(1-\|f(b)\|^2)$ 且 $f(b)=0$,则由 (1.3) 和 (4.5) 式知 $h(0)=0$,且

$|\nabla \|h\|(0)|=\|h'(0)\|=\frac{1-|b|^{2m}}{m|b|^{m-1}}\|f'(b)\| =\frac{1-|b|^{2m}}{m|b|^{m-1}}|\nabla \|f\|(b)| \\=1-||f(b)||^2 =1-\|h(0)\|^2.$

于是由 (4.2)式可得

$h(z)=\alpha z,\ \ z\in {\Bbb D},$

(4.6)

其中 $\alpha \in {\Bbb C}^n$ 且 $\|\alpha \|=1$. 再由 (1.3) 和 (4.3) 式便得

$ f(z)=\alpha \varphi_{b}(z),$

其中 $\varphi_{b}(z)=\frac{z^m-b^m}{1-(\bar{b}z)^m},\ z\in {\Bbb D}$.

若 $|\nabla \|f\|(b)|= \frac{m|b|^{m-1}}{1-|b|^{2m}}(1-\|f(b)\|^2)$ 且 $f(b)\neq 0$,则由(1.4)和(4.5)式,可得 $h(0)\neq 0$ 且

$|\nabla \|h\|(0)|=\|h(0)\|^{1-p}\left|\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{h_{i}^{p-1}(0)h'_{i}(0)\overline{h_{i}^{p}(0)}}{|h_{i}(0)|^{p}}\right| \\=\|f(b)\|^{1-p}\left|\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i}^{p-1}(b)\frac{1-|b|^{2m}}{m|b|^{m-1}}f'_{i}(b)\overline{f_{i}^{p}(b)}}{|f_{i}(b)|^{p}}\right| \\=\frac{1-|b|^{2m}}{m|b|^{m-1}}||f(b)||^{1-p}\left|\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i} ^{p-1}(b)f'_{i}(b)\overline{f_{i}^{p}(b)}}{|f_{i}(b)|^{p}}\right| \\=\frac{1-|b|^{2m}}{m|b|^{m-1}}|\nabla \|f\|(b)| \\=1-\|f(b)\|^2 =1-\|h(0)\|^2.$

于是

$\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{h_{i}^{p-1}(0)h_{i}(z)\overline{h_{i}^{p}(0)}}{|h_{i}(0)|^{p}}=\|h(0)\|^{p-1}\frac{\|h(0)\|+{\rm e}^{{\rm i}\theta}z}{1+\|h(0)\|{\rm e}^{{\rm i}\theta}z},\ \theta \in {\Bbb R},\ z\in {\Bbb D}.$

再由 (4.3)式可得

$\sum\limits^{n}_{i=1}\frac{f_{i}^{p-1}(b)f_{i}(z)\overline{f_{i}^{p}(b)}}{|f_{i}(b)|^{p}}=\|f(b)\|^{p-1}\frac{\|f(b)\|+{\rm e}^{{\rm i}\theta}\varphi_{b}(z)}{1+\|f(b)\|{\rm e}^{{\rm i}\theta}\varphi_{b}(z)},\ \ z\in {\Bbb D},\ $

其中 $\varphi_{b}(z)=\frac{z^m-b^m}{1-(\bar{b}z)^m},\ z\in {\Bbb D},\ \theta \in {\Bbb R}$. 证毕.

注4.1 定理 4.1 表明定理 3.1 的估计是精确的.