单射半径在微分几何的研究中扮演相当重要的角色. 若一个序列的黎曼流形们都具有适当的单射半径下界,那么就可以用来避免极限流形可能产生的塌陷现象. 通常这样的下界可以透过截面曲率与体积的信息来得知 (可参考文献[4-6]). 在这篇文章中,我们试着对测地回圈直接做分析,并在缺乏体积信息的情况下导出非紧流形的单射半径下界估计与非塌陷性.

微分几何中著名的Gromoll-Meyer 定理指出: 当完备非紧流形具有有界的正截面曲率时,其单射半径具有一致的下界^[7],亦即它具有某种非塌陷性质. 但是我们并没有其他更精细的成果,特别是当曲率往无穷远处递减时,理应有相对应的单射半径增长,但目前却没有任何证明. 我们在这篇文章中正是要回答这一类的问题.

由于塌陷一词在微分几何中十分常见,并且处处有不同的意涵,因此我们必须先定义清楚这里所谓的塌陷性.

定义1 给定一序列的开测地球 $\{(B_{r_i}(x_i),g_i)\}_{i=1}^\infty$,若对于某常数 $C>0$,它们的截面曲率满足 $|Sect_{g_i}|\leq \frac{C}{r_i^2}$,且当 $i\rightarrow\infty$ 时,单射半径满足 $\frac{inj(x_i)}{r_i}\rightarrow 0$,则称此序列为一塌陷序列.

如果在一个流形 $(M,g)$ 里,可以找到一个塌陷序列 $\{(B_{r_i}(x_i),g)\}_{i=1}^\infty$,那么就称这个流形是塌陷的; 反之则称为非塌陷的.

我们将会证明: 当黎曼流形 $(M,g)$ 的一个测地球 $B_{2r}(x)$ 不包含共轭型割点与光滑测地回圈,并且满足本文第三节中定义的不聚积性,那么 $B_{r}(x)$ 就是非塌陷的. 更精确来说,我们可以证明的是,在没有共轭型割点与光滑测地回圈的情况下,非光滑测地回圈的聚积性是塌陷序列的一个特征,因此只要能排除聚积现象,流形就不会发生塌陷.

在这篇文章中,我们特别关注完备非紧流形的无穷远切锥,因此我们是在假设截面曲率二次递减的情况下来叙述主要引理 (位于第三节). 此曲率条件正好可以用来排除共轭型割点. 若将此引理的证明过程应用在瑞奇孤立子上,便可以得出下述定理:

定理1 令 $(M,g,f)$ 是一个满足 $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf=\lambda g_{ij}$ 的瑞奇孤立子. 令 $O\in M$ 且记 $s(x)=dist(O,x)$. 假设其满足不聚积性,且截面曲率满足 $|Sect|(x)\leq \frac{C}{s(x)^{2}}$. 若下述三个叙述中有一个是满足的:

(i) $\lambda>0$ 且 $Ric＜ \lambda\cdot g$;

(ii) $\lambda=0$ 且 $Ric>0$;

(iii) $\lambda＜0$ 且 $Ric> \lambda\cdot g$.

则当 $s$ 够大时,$inj(x)\geq \kappa s(x)$,其中 $\kappa>0$ 是一个与孤立子本身无关的常数,仅依赖于 $C$ 和 $\lambda$.

本文的组织如下:第二节中,我们证明某一类完备流形不包含光滑测地回圈; 第三节中,我们使用非光滑测地回圈来定义不聚积性并证明主要的结果.

本文主要撰写于笔者在法国就学期间,笔者感谢 Gérard Besson教授在此问题上给予的指导与讨论. 笔者也感谢台湾 NCTS 长期的资助与支持.

给定一黎曼流形 $(M,g)$ 及其上一点 $O\in M$,对于流形上另外一点 $x$,我们将以 $O$ 为起点的距离函数记作 $s$,亦即 $s(x):=dist(O,x)$.

光滑回圈条件: 对于任意 $x\in M$,存在常数 $c_0$ 与 $d_0$ 使得当 $s$ 大于 $d_0$ 时,没有一条通过 $x$ 的光滑测地回圈的长度能够短于 $c_0\cdot s$.

在此节接下来的篇幅中,我们将会发现某一类黎曼流形以及瑞奇孤立子是满足光滑回圈假设的. 首先我们证明具有正截面曲率的完备非紧黎曼流形满足光滑回圈假设. 此处的证明是使用一个标准的变分论证^[7],和引言当中提及的Gromoll-Meyer 定理的证明方式雷同. 为了简化叙述,本文所提及之回圈皆指测地回圈.

引理1 考虑一个具有非负截面曲率的完备非紧黎曼流形 $(M,g)$ 以及其上一个光滑回圈 $\gamma$. 可以证明截面曲率在此回圈上不能处处为正. 特别地,当截面曲率在 $M$ 的尾肢 (end) 上皆为正时,$M$ 就会满足光滑回圈条件.

证 本证明使用归谬法. 假设存在一个光滑回圈 $\gamma$ 使得对于所有的单位长向量 $V_1,V_2\in T_qM$,$q\in\gamma$,都满足截面曲率 $Sect(V_1,V_2)>0$.

由于回圈是紧的,我们可以假设在 $\gamma$ 的一个管状邻域 $\{x\in M | dist(x,\gamma)＜\delta \}$ 中,截面曲率 $Sect$ 处处大于 $\epsilon$. 此处 $\epsilon$ 与 $\delta$ 为两个微小的正常数.

选取一点 $p\in M\setminus\gamma$ 并考虑连接 $p$ 与 $\gamma$ 的极小测地线 $\sigma$. 藉由对 $\sigma$ 做一阶变分,我们知道 $\sigma$ 垂直于 $\gamma$. 此外,因为测地线 $\sigma$ 实现了 $p$ 与 $\gamma$ 的最短距离,弧长函数的二次变分必须是非负的. 我们直接计算此二次变分如下:

将 $\gamma'$ 沿着 $\sigma(t)$,$t\in [0,l]$,做平行延拓(parallel extension)成为 ${\tilde{\gamma'}}(t)$. 考虑变分向量场 $V(t):=(1-\frac{t}{l}){\tilde{\gamma'}}(t)$,可以计算其指标形式

$\begin{align} & I(V,V)=\int_{0}^{l}{|}{{\nabla }_{{\sigma }'(t)}}V(t){{|}^{2}}-{{\left( 1-\frac{t}{l} \right)}^{2}}Sect\left( {\sigma }'(t),\tilde{{\gamma }'}(t) \right)\text{d}t \\ & \le \frac{1}{l}-{{\left( 1-\frac{\delta }{l} \right)}^{2}}\int_{0}^{\delta }{S}ect\left( {\sigma }'(t),\tilde{{\gamma }'}(t) \right)\text{d}t \\ & \le \frac{1}{l}-{{\left( 1-\frac{\delta }{l} \right)}^{2}}\delta \epsilon ,\\ \end{align}$

其中 $Sect\left(\sigma'(t),{\tilde{\gamma'}}(t)\right)$ 表示由 $\sigma'(t)$ 与 ${\tilde{\gamma'}}(t)$ 所张平面之截面曲率. 显然在 $p$ 距离 $\gamma$ 很远的情况下,我们可以得到 $I(V,V)＜0$. 这就与极小测地线的稳定性矛盾. 引理得证.

接下来我们证明某些瑞奇孤立子也满足光滑回圈条件. 所谓瑞奇孤立子是指满足 $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf=\lambda g_{ij}$ 的黎曼流形. 这里的 $f:M\rightarrow {\Bbb R}$ 是流形上的某个函数,而 $\lambda$ 是取值在 $\{1,0,-1\}$ 的常数. 瑞奇孤立子可以视为瑞奇流的自我相似解的一个时间切片(time slice). 当 $\lambda=1$,称其为收缩的(shrinking); $\lambda=0$ 称为静态的(steady); 而 $\lambda=-1$ 则称为扩张的(expanding).

定理2 考虑满足 $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf=\lambda g_{ij}$ 的一个瑞奇孤立子 $(M,g,f)$. 令 $h:M\to {\Bbb R}$ 为一非负函数使得当 $s\rightarrow\infty$ 时,$h(x)\rightarrow 0$. 若下述三个条件有一个是满足的:

(i) $\lambda=1$ 且 $Ric\leq h\cdot g$;

(ii) $\lambda=0$ 且 $Ric>0$;

(iii) $\lambda=-1$ 且 $Ric\geq -h\cdot g$.

则 $M$ 在一个紧集 $K$ 之外都没有光滑测地回圈 (在第二个情形中,$K$ 是空集合). 特别地,$M$ 满足光滑回圈条件.

证 假设存在一个长度为 $l$ 的光滑测地回圈 $\gamma \subset M\setminus B_s(O)$. 在此回圈上对孤立子方程积分可得

$\lambda l=\int_{\gamma} \lambda|\gamma'|^2 =\int_{\gamma} Ric(\gamma',\gamma')+\int_{\gamma} f"=\int_{\gamma} Ric(\gamma',\gamma').$

如此便违反了条件 (i)、(ii) 和 (iii). 故此定理得证.

注1 很容易可以发现此定理及其证明对于非梯度瑞奇孤立子也是成立的. 此外,定理中的条件 $Ric\leq h g$ (或 $Ric\geq -h g$)可以替换成在 $M$ 的尾肢上有 $Ric＜ \lambda g$ (或 $Ric>\lambda g$). 值得注意的是,当 $\lambda=1$ 时,条件 $Ric＜ \lambda g$ 等价于函数 $f$ 的凸性.

在此节中,针对非光滑回圈,我们引进非聚积条件. 藉此我们证明单射半径的一个下界估计对某类黎曼流形皆成立,其中包括一大类瑞奇孤立子. 在进一步讨论之前,我们必须回顾一些关于割点(cut point)的基本性质.

若 $y\in M$ 是 $x\in M$ 的一个割点,则仅有两种可能的情况: $y$ 是 $x$ 的共轭点,或者存在一个测地回圈 $\gamma$ 通过 $x$ 与 $y$ 两点. 若是第二种情况,则 $\gamma$ 是由两条连接 $x$ 与 $y$ 的极小测地线组成. 若我们假设 $y$ 是 $x$ 的所有割点中与 $x$ 距离最近的那一个,那么 $\gamma$ 在 $x$ 点之外必然是光滑的 (在 $x$ 处可能光滑也可能有折角) (参考文献 [3,Proposition 2.12,Ch 13]). 我们称这种情况是 $y$ 藉由 $\gamma$ 实现了 $x$ 的单射半径. 事实上,单射半径 $inj(x)$ 的定义即为 $x$ 与其最近之割点的距离. 因此,我们在前一节提出光滑回圈条件的意旨在于: 当 $x$ 的单射半径很小时,割点 $y$ 或是共轭点,或是由一条非光滑回圈来实现 $x$ 的单射半径.

为了研究非光滑回圈,我们引进下述概念: 测地链.

定义2 若一个点列 $\{x^{(i)}\}_{i=0}^m\subset M$ 中的每一个 $x^{(i)}$,都藉由一个测地回圈 $\gamma^{(i)}$ 实现 $x^{(i-1)}$ 的单射半径,则这些点和回圈整体就构成一个测地链(geodesic chain). 我们将之记为 $G(x^{(0)},\cdots,x^{(m)})$,其中 $m\in{\Bbb Z}\cup\{\infty\}$ 称为 $G$ 的环节数{\rm(number of links)}.

考虑一个完备非紧流形 $(M,g)$,若对于任意常数 $D>0$,皆可找到一个正整数 $n_0$ 使得对于所有的 $x^{(0)}\in M$ 以及无穷测地链 $G(x^{(0)},\cdots,x^{(m)},\cdots)\subset M$ 满足 $G\cap(M\setminus B_{2D}(x^{(0)}))\neq \phi$,在 $n\geq n_0$ 时都满足 $dist(x^{(0)},x^{(n)}) > D$,那么就称此流形具有不聚积性质 (non-accumulated property). 粗略地说,考虑一个开球 $B_{2D}(x^{(0)})$,则任何一条从 $x^{(0)}$ 出发往外连接的测地链在 $n_0$ 个环节之后就会落在 $B_{D}(x^{(0)})$ 之外. 读者可以想象一个满足不聚积性质的简单例子,即欧氏空间锥 ${\Bbb R}/\Gamma$,这里 $\Gamma$ 是标准球面等距变换群 ${\rm Isom}(S^{n-1})$ 中的一个子群. 另一方面,若有一个二维曲面渐进到圆柱面,则不满足非聚积性质 (如图 1 所示). 这是因为当 $x^{(0)}$ 位于曲面远程时,从 $x^{(0)}$ 出发的测地链具有较密的环节. 因此当 $x^{(0)}$ 愈远,此测地链就可以有愈多环节落在 $B_{1}(x^{(0)})$ 之中,亦即不存在一个 $n_0$ 使得测地链在 $n_0$ 个环节之后就会离开 $B_{1}(x^{(0)})$.

我们接下来要证明的是,在截面曲率二次递减且没有光滑回圈的情况下,倘若非光滑回圈不产生聚积现象,那么单射半径将会线性增长,同时流形也就是非塌陷的.

引理2 令 $(M,g)$ 为满足 $|Sect|(x)\leq C\cdot s^{-2}(x)$ 的完备非紧黎曼流形,其中 $s(x):=dist(O,x)$. 若 $M$ 满足光滑回圈条件且具有非聚积性质,则存在一个常数 $\delta>0$ 使得对于所有的 $x\in M$ 都有 $inj(x)\geq\delta\cdot s(x)$.

证 考虑 $q_k\in M$ 与 $\lambda_k:=\frac{1}{2}dist(O,q_k)\rightarrow\infty$. 对于任意 $y\in B_{\lambda_k}(q_k)$,我们希望证明 $inj(y)\geq\delta\cdot dist(y,\partial B_{\lambda_k}(q_k))$. 倘若这成立,则特别地当 $y=q_k$ 时,可得到 $inj(q_k)\geq\delta\cdot dist(q_k,\partial B_{\lambda_k}(q_k))=\delta\lambda_k= \frac{1}{2}\delta\cdot s(q_k)$. 因为 $q_k$ 是任意的,故本引理也就成立.

我们利用归谬法来证明. 假设存在 $\delta_k\searrow 0$ 与 $x_k\in B_{\lambda_k}(q_k)$ 使得 $inj(x_k)=\delta_k\cdot d_k$,其中 $d_k:=dist(x,\partial B_{\lambda_k}(q_k))$. 不失一般性,我们还可以进一步假设定义在 $B_{\lambda_k}(q_k)$ 上的函数 $F(y):=\frac{inj(y)}{dist(y,\partial B_{\lambda_k}(q_k))}$ 在 $x_k$ 达到极小值. 如此,对于所有的 $y\in B_{\frac{1}{2}d_k}(x_k)$ 都有

$ inj(y)=F(y)\cdot dist(y,\partial B_{\lambda_k}(q_k)) \geq F(x_k)\cdot\frac{1}{2}dist(x_k,\partial B_{\lambda_k}(q_k)) =\frac{1}{2}inj(x_k).$

令 ${\tilde{g}}_k:=(\delta_kd_k)^{-2}g$ 并考虑度量重整(rescale)后的测地球序列 $\left({\tilde{B}}_{\frac{1}{2\delta_k}}(x_k),x_k,{\tilde{g}}_k\right)$. 因为 $|{\tilde{Sect}}|\leq C\cdot\lambda_k^{-2}\delta_k^2d_k^2\rightarrow 0$ 并且在 ${\tilde{B}}_{\frac{1}{2\delta_k}}(x_k)$ 中每一点都有 ${\tilde{inj}}\geq\frac{1}{2}$,使用调和坐标系可以得知此序列收敛至完备平坦流形 $(B,x_\infty,g_\infty)$ (在 $C^{1,\sigma}\cap W^{2,p}$ -拓朴的意义下). 对于调和坐标系的使用不熟悉的读者可以参考文献[1,9].

注意到此平坦极限流形 $B$ 是非紧的,因为当 $k\to\infty$ 时,${\tilde{B}}_{\frac{1}{2\delta_k}}$ 的直径趋近于无穷大. 所以 $B$ 可能是 ${\Bbb R}^{n-1}\times{\Bbb S}^1$ 或 ${\Bbb R}^{n-k}\times{\Bbb F}^k$,这里 ${\Bbb F}^k$ 是指 $k$维Bieberbach流形,也就是那些容许平坦度量的流形. 注意到 $inj(x_\infty)=1$ 保证了 $B$ 不可能是 ${\Bbb R}^n$. 我们自此将 $B$ 的切片-亦即 ${\Bbb S}^1$ 或 ${\Bbb F}^k$ -的直径记为 $D$.

在接下来的证明里,我们要论证上述两种拓朴型态都不会发生,因此就得出矛盾并证得此定理. 考虑实现 $x_k^{(0)}:=x_k$ 的单射半径的点 $x_k^{(1)}$. 根据Klingenberg's引理与截面曲率的递减假设,可以得知存在长度为 $2\delta_kd_k$ 的回圈 $\gamma_k^{(1)}$ 通过 $x_k^{(1)}$ 与 $x_k$,并且此回圈在 $x_k^{(1)}$ 是光滑的. 根据光滑回圈条件,此回圈在 $x_k$ 必是非光滑的. 注意到,此非光滑回圈的存在显示 $inj(x_k^{(1)})\leq inj(x_k)$. 倘若 $inj(x_k^{(1)})= inj(x_k)$,则表示 $x_k$ 藉此回圈实现了 $x_k^{(1)}$ 的单射半径,那么此回圈在 $x_k$ 必是光滑的,这是不可能的. 因此可以得知 $inj(x_k^{(1)}) ＜inj(x_k)$.

用相同的方式可以找到另一个点 $x_k^{(2)}$,使其藉由仅在 $x_k^{(1)}$ 一点非光滑的回圈实现 $x_k^{(1)}$ 的单射半径. 依序下去可以得到一个无穷测地链 $G=G(x_k^{(0)},\cdots,x_k^{(m)},\cdots)$,因为若 $G$ 仅具有有限多环节,则最后一个环节 $\gamma_k^{(m)}$ 必定同时实现 $x_k^{(m-1)}$ 与 $x_k^{(m)}$ 的单射半径,因此是光滑回圈,这是不可能的. 接着我们证明 $G$ 的无穷多环节不会都落在任何紧区域(compact region)之中. 假设存在一个紧区域 $K$ 包含 $G$,则存在子点列 $x_k^{(j)}\to x_k^{(\infty)}$ 以及向量子序列 $(\gamma_k^{(j)})'(x_k^{(j)})\to v$. 根据测地线方程对初始条件的连续依赖性,可以得知 $\gamma_k^{(j)}$ 收敛到 $\gamma_k^{(\infty)}$. 再加上单射半径对点的连续性,可以得知

$inj(x_k^{(\infty)})=\lim_{j\to\infty} inj(x_k^{(j)})=\lim_{j\to\infty}\frac{1}{2}|\gamma_k^{(j+1)}|=\frac{1}{2}|\gamma_k^{(\infty)}|.$

由此可知 $\gamma_k^{(\infty)}$ 实现了 $x_k^{(\infty)}$ 的单射半径,特别地可以得知 $x_k^{(\infty)}$ 是 $\gamma_k^{(\infty)}$ 唯一可能不光滑的点. 另一方面,因为 $\gamma_k^{(j)}$ 在 $x_k^{(j)}$ 是光滑的,所以 $\gamma_k^{(\infty)}$ 在 $x_k^{(\infty)}$ 也是光滑的. 综上所述,可以得知 $\gamma_k^{(\infty)}$ 是光滑测地回圈. 当 $K=\overline{B_{4D\delta_kd_k}(x_k)}$ 且 $\delta_k$ 足够小时 (例如使得 $D\delta_k＜\frac{1}{8}c_0$),这将与流形的光滑回圈条件矛盾. 因此我们证明了 $G\cap(M\setminus B_{4D\delta_kd_k}(x_k)) \neq \phi$. 根据不聚积性质,存在正整数 $n$ 使得对于所有的 $k$ 都有 $x_k^{(n)}\not\in B_{2D\delta_kd_k}(x_k)$.

在测地球 ${\tilde{B}}_{\frac{1}{2\delta_k}}(x_k)$ 上,我们已经造出一条测地链 $G(x_k^{(0)}\equiv x_k,\cdots,x_k^{(m_k)})$ ($m_k$ 之后仍可延伸,且 $m_k=n$ 之后就落在 ${\tilde{B}}_{2D}$ 之外). 当 $k\to\infty$ 时,我们考虑这个序列的收敛子序列,可以得到一条 $B$ 中的测地链 (先利用对角线法证明存在极限点列 $\{x_\infty^{(j)}\}_{j=1}^n$,再证明 $(\gamma_k^{(j)})'(x_k^{(j)})$ 收敛到 $(\gamma_\infty^{(j)})'(x_\infty^{(j)})$,因此根据测地线方程对初始值的连续依赖性,$\{\gamma_k^{(j)}\}_{j=1}^n$ 也收敛到 $\{\gamma_\infty^{(j)}\}_{j=1}^n$). 此时有两种可能的状况: 或者存在两个极限点 $x_\infty^{(i-1)}$ 与 $x_\infty^{(i)}$ 落在 $B$ 的相异切片上; 或者所有极限点都落在同一切片- $\{x_\infty\}\times {\Bbb F}^k$ 或 $\{x_\infty\}\times {\Bbb S}^1$ -之上. 根据测地链的不聚积性,存在极限点 $x_\infty^{(n)}$ 使得 $dist(x_\infty^{(n)},x_\infty)>2D$,此处 $D$ 为 $B$ 的切面之直径. 因此就排除了第二种可能性,亦即不可能所有的测地环节通通收敛到同一切片上.

最后我们证明第一种情形也不可能发生. 若是存在一个测地回圈 $\gamma_\infty^{(i)}$ 不包含在切片 $\{x_\infty^{i-1}\}\times {\Bbb F}^k$ (或 $\{x_\infty^{i-1}\}\times {\Bbb S}^1$)之中,则我们可以把此回圈投影到此切片上并得到一条更短的测地回圈. 如此则抵触了 $inj(x_\infty^{(i-1)})=\frac{1}{2}|\gamma_\infty^{(i)}|$. 引理得证.

利用此引理的证明方式以及前一节的结果,我们可以得知下述定理成立.

定理3 令 $(M,g,f)$ 是一个满足 $R_{ij}+\nabla_i\nabla_jf=\lambda g_{ij}$ 的瑞奇孤立子. 令 $O\in M$ 且记 $s(x)=dist(O,x)$ . 假设其满足不聚积性,且截面曲率满足 $|Sect|(x)\leq \frac{C}{s(x)^{2}}$. 若下述三个叙述中有一个是满足的:

(i) $\lambda>0$ 且 $Ric＜ \lambda\cdot g$;

(ii) $\lambda=0$ 且 $Ric>0$;

(iii) $\lambda＜0$ 且 $Ric> \lambda\cdot g$.

则当 $s$ 够大时,$inj(x)\geq \kappa s(x)$,其中 $\kappa>0$ 是一个与孤立子本身无关的常数,仅依赖于 $C$ 和 $\lambda$.

注2 在文献[8] 中,Naber 证明若一个 $n$ 维收缩瑞奇孤立子的曲率有界且 $n\geq 2$,则它是 $\kappa$ -非塌陷的. 注意此处的常数 $\kappa$ 依赖于孤立子本身,并不是对于所有孤立子都适用的一致常数. 对于静态孤立子,则没有一般的方法可以判定其是否为 $\kappa$ -非塌陷的.