传染病是严重危害人类健康的一类疾病.传染病数学模型的动力学行为是生物数学研究的一个热点问题.根据疾病的传播特点, 建立传染病传播的数学模型, 对模型进行理论分析, 有助于理解疾病的传播规律和传播途径.研究传染病是否会消失或者成为地方病, 已经成为传染病学和数学相结合的一个重要的具有理论和现实意义的研究课题.通常根据传染病的传染机制, 一般将人群分为易感者类 $S$ , 潜伏者类 $E$ , 染病者类 $I$ , 恢复者类R^[1].很多学者利用常微分方程建模, 根据现实传染病的特点如疾病的周期性, 潜伏性等特点, 研究了确定型 $SIR, SIRS, SEIR, SEIRS$ 模型^[1-5].这些模型具有不同的疾病发生率, 即每一个病人平均对易感者的有效接触率.近年来, 大量工作研究了更为复杂的、具有非单调发生率的确定型传染病模型^[2-4]. Huo^[3]研究了具有非单调发生率的时滞 $SIRS$ 模型, 通过构造不同的Lyapunov函数, 证明了无病平衡点是全局渐近稳定的. Muroya^[4]在此基础上, 利用单调迭代法, 得到了地方病平衡点全局渐近稳定的充分性条件.

然而在现实中, 生物系统易受内外随机因素的影响.近年来, 以随机微分方程建模的随机传染病模型已受到了学者们的广泛关注.人们通常在确定型模型基础之上, 考虑环境白噪声这一随机因素, 研究在随机扰动下, 系统的动力学行为是否发生变化, 以及随机因素对疾病消亡和流行的影响情况等.其中, 研究较多的是考虑相应的确定型模型无病平衡点及地方病平衡点的稳定性问题^[6-11].文献[6-7]中, 考虑随机因素对疾病传染率的扰动, 研究了随机 $SIR$ , $SIRS$ 模型无病平衡点的随机稳定性问题.另一方面, Beretta^[8]考虑随机因素对相应的确定型模型地方病平衡点的扰动, 研究了具有分布时滞的随机传染病 $SIRS$ 模型. Yu^[9]亦用Lyapunov方法, 考虑了随机两种群 $SIR$ 模型, 得到了相应的确定型模型地方病平衡点随机稳定的充分性条件.

本文提出一类新的具有非单调发生率的时滞随机 $SIRS$ 传染病模型.在第二节, 对问题进行描述, 并简要叙述了与本文相关的随机微分方程的基础知识.第三节, 通过构造不同的Lyapunov函数或Lyapunov泛函, 证明系统模型全局正解的存在唯一性, 同时得到疾病灭亡的条件, 并且考虑相应的确定型模型地方病平衡点在随机扰动下的渐近性质.第四节, 通过数值仿真对理论结果进行了验证.

文献[3-4]讨论了下列具有非单调发生率的时滞 $SIRS$ 传染病模型

$ \begin{eqnarray} &&\dot{S}(t)=b-d S(t)-\frac{k \exp (-{\rm d}\tau) S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)}+\gamma R(t), \nonumber\\ &&\dot{I}(t)=\frac{k \exp(-{\rm d}\tau)S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)}-(d+\mu)I(t), \nonumber\\ &&\dot{R}(t)=\mu I(t)-(d+\gamma)R(t), \end{eqnarray} $

(2.1)

其中, $S$ , $I$ , $R$ 分别为易感者, 染病者, 恢复者.参数 $b, d, k, \alpha, \mu$ 为正常数, $\gamma$ 为非负常数. $b$ 为总人口输入率, $d$ 为自然死亡率, $k$ 为有效接触率, $\mu$ 为染病者的恢复率系数, $\gamma$ 为免疫力丧失系统, $\gamma>0$ 意味着恢复者具有暂时免疫力, $\gamma=0$ 意味着永久免疫, $\tau$ 为潜伏期, $\frac{kSI}{1+\alpha I^2}$ 为非单调疾病发生率, 系统 $(2.1)$ 表示 $t-\tau$ 时刻的染病者经过 $\tau$ 时刻后具有传染力, 则在 $t$ 时刻的非单调传染率是 ${\frac{k \exp(-{\rm d}\tau)S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)}}$ , $\exp(-{\rm d}\tau)$ 表示时滞.

系统(2.1)的初值为

$ S(\theta)=\phi_1(\theta), I(\theta)=\phi_2(\theta), R(\theta)=\phi_3(\theta), $

$ \begin{equation} \phi_i(\theta)\geqslant0, \theta\in [-\tau, 0], i=1, 2, 3, (\phi_1, \phi_2, \phi_3)\in {\cal C}([-\tau, 0], {\Bbb R}_{+0}^3), \end{equation} $

(2.2)

其中, ${\cal C}$ 表示所有的连续映射 $\phi: [-\tau, 0]\rightarrow{\Bbb R}^3$ , $\phi=(\phi_1, \phi_2, \phi_3)$ , ${\Bbb R}_{+0}^3=\{(x_1, x_2, x_3): x_i\geqslant0, $ $ i=1, 2, 3\}$ .

文献[3]中作者已经证明, 当基本再生数 $R_0={\frac{bk\exp(-{\rm d}\tau)}{d(d+\mu)}}<1$ 时, 系统 $(2.1)$ 只有一个无病平衡点 $E_0=(\frac{b}{d}, 0, 0)$ , 且是全局渐近稳定的.当 $R_0>1$ 时, 系统 $(2.1)$ 有唯一地方病平衡点 $P^*=(S^*, I^*, R^*)$ , 其中

$ S^*=\frac{1}{d}\Big[b-\Big(d+\mu-\frac{\gamma\mu}{d+\gamma}\Big)I^*\Big], \\ I^*=\frac{-k\exp(-{\rm d}\tau)(d+\mu-\frac{\gamma\mu}{d+\gamma})+\sqrt{\triangle}}{2\alpha d(d+\mu)}, ~~ R^*=\frac{\mu}{d+\gamma}I^*, \\ \triangle=k^2\exp(-2{\rm d}\tau)\Big(d+\mu-\frac{\gamma\mu}{d+\gamma}\Big)^2- 4\alpha d^2(d+\mu)(1-R_0). $

本文, 考虑随机因素的扰动, 在系统 $(2.1)$ 中引入环境白噪声.由于疾病的有效接触率的改变, 对传染病的传播规律影响非常大, 因此, 类似于参考文献[5-6], 我们也主要考虑有效接触率的随机扰动

$ k\rightarrow k+\sigma \dot{B}(t), $

其中, $\dot{B}(t)$ 为环境白噪声, $B(t)$ 是标准的布朗运动, $B(0)=0$ , $\sigma$ 是随机扰动强度.我们得到如下具有非单调发生率的时滞随机 $SIRS$ 传染病模型

$ \begin{eqnarray} {\rm d}S(t)&=&\Big[b-d S(t)-\frac{k \exp (-{\rm d}\tau) S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)}+\gamma R(t)\Big]{\rm d}t- \frac{\sigma \exp (-{\rm d}\tau) S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)}{\rm d}B(t), \nonumber\\ {\rm d}I(t)&=&\Big[\frac{k \exp(-{\rm d}\tau)S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)} -(d+\mu)I(t)\Big]{\rm d}t+ \frac{\sigma \exp (-{\rm d}\tau) S(t)I(t-\tau)}{1+\alpha I^2(t-\tau)}{\rm d}B(t), \nonumber\\ {\rm d}R(t)&=&[\mu I(t)-(d+\gamma)R(t)]{\rm d}t, \end{eqnarray} $

(2.3)

初始函数仍记为 $(2.2)$ 式.

为研究系统 $(2.3)$ , 首先我们介绍关于随机时滞微分方程的相关基础知识.考虑以下随机时滞系统

$ \begin{eqnarray} {\rm d}x(t)=f(t, x_t){\rm d}t+g(t, x_t){\rm d}B(t), ~~ t\geqslant0, \end{eqnarray} $

(2.4)

其中, $B(t)=(B_1(t), \cdots, B_m(t))^T\in{\Bbb R}^m$ 是定义在带一自然滤子族 $\{{\cal F}_t\}_{t\geqslant0}$ 的完备概率空间 $(\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_t\}_{t\geqslant0}, P)$ 上的 $m$ 维布朗运动, ${\cal C}_{{\cal F}_0}$ 表示所有 ${\cal F}_0$ 可测的取值于 ${\cal C}([-\tau, 0]; {\Bbb R}^n)$ 上的随机变量 $\varphi=\{\varphi(t): t\in[-\tau, 0]\}$ 的全体, $\tau\geqslant0$ , 且 $\|\varphi\|=\sup\limits_{-h\leqslant \theta\leqslant0}|\varphi(\theta)|$ . $f:{\Bbb R}^+\times{\Bbb R}^n\rightarrow{\Bbb R}^n$ , $g: {\Bbb R}^+\times{\Bbb R}^n\rightarrow{\Bbb R}^{n\times m}$ 都是Borel可测函数, $f, g$ 满足局部Lipschtiz条件和线性增长条件.对任意 $s\leqslant0$ , $x_t=x(t+s)$ .初始函数 $x_0=\varphi\in{\cal C}_{{\cal F}_0}([-\tau, 0], {\Bbb R}^n)$ . $x=0$ 是系统 $(2.4)$ 的零解, 即对 $t\geqslant t_0$ 满足 $f(t, 0)=0$ , $g(t, 0)=0$ .

定义2.1^[12] 若对任意的 $\epsilon_1\in(0, 1)$ , $\epsilon_2>0$ , 存在 $\delta>0$ , 当对任意的 $\varphi\in{\cal C}_{{\cal F}_0}$ , $P\{\|\varphi\|\leqslant\delta\}=1$ , 使得系统 $(2.4)$ 的解 $x$ 满足

$ P\Big\{\sup\limits_{t\geqslant0}|x(t, \varphi)|<\epsilon_2\Big\}\geqslant1-\epsilon_1, $

则称系统 $(2.4)$ 的零解是随机稳定的或是依概率稳定.

引理2.1^[12] (强大数定律)若 $M=\{M_t\}_{t\geqslant0}$ 是一实值连续局部鞅, $M(0)=0$ , 则

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\langle M, M\rangle _t =\infty \Rightarrow\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{M_t}{\langle M, M\rangle _t}=0, $

且

$ \limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\langle M, M\rangle _t}{t}<\infty \Rightarrow\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{M_t}{t}=0 $

几乎处处成立(a.s.).

全文中, 除非特别说明, 设 $(\Omega, {\cal F}, \{{\cal F}_t\}_{t\geqslant0}, P)$ 是完备的概率空间, 流 $\{{\cal F}_t\}_{t\geqslant0}$ 满足通常条件, 即单调递增且右连续, ${\cal F}_0$ 包含所有零测集^[12-13].

对系统 $(2.3)$ , 我们一般要考虑系统全局解的存在性.且由生物意义, 还需要考虑此全局解非负.我们知道, 要使随机微分方程对任意给定的初始函数有唯一全局解, 即在有限时间内不爆破, 方程的系数需满足线性增长条件和局部Lipschitz条件^[12].然而, 系统 $(2.3)$ 的系数是局部Lipschitz连续的, 不满足线性增长条件.因此, 系统 $(2.3)$ 的解将有可能在有限时间内爆破.本节, 将利用Lyapunov方法, 讨论系统 $(2.3)$ 存在唯一的正全局解.

令

$ {\Bbb R}_+^3=\{(x_1, x_2, x_3): x_i>0, i=1, 2, 3\}. $

定理3.1 对任意的初始条件 $(2.2)$ , 若 $(\phi_1(0), \phi_2(0), \phi_3(0))\in{\Bbb R}_+^3$ , 则系统 $(2.3)$ 有唯一解, 且此解依概率1位于 ${\Bbb R}_+^3$ 中, 即 $(S(t), I(t), R(t))\in{\Bbb R}_+^3(t\geqslant0)$ , 几乎处处成立(a.s.).

证 因为系统 $(2.3)$ 满足局部Lipschitz条件, 则对任意的初始条件 $(2.2)$ , 且 $(\phi_1(0), \phi_2(0), $ $\phi_3(0))\in {\Bbb R}_+^3$ , 在 $t\in[0, \tau_e)$ 上, 系统有唯一局部解 $(S(t), I(t), R(t))$ , 其中, $\tau_e$ 是爆破时间^[12].首先, 我们证明对 $t\in(0, \tau_e)$ , 局部解 $(S(t), I(t), R(t))$ 是正的, 几乎处处成立.定义以下停时

$ t_+=\sup\{t\in(0, \tau_e):S|_{[0, t]}>0, I|_{[0, t]}>0, R|_{[0, t]}>0\}. $

则需证 $t_+=\tau_e$ a.s..若此式不成立, 则 $P\{t_+<\tau_e\}>0$ .因此, 对几乎所有的 $\omega\in\{t_+<\tau_e\}$ , $t\in[0, t_+)$ , 由伊藤公式^[12]可得

$ \begin{eqnarray*} &&\ln S(t)+\ln I(t)+\ln R(t)\\ &=&\ln \phi_1(0)+\ln \phi_2(0)+\ln\phi_3(0)\\ &&+\int_0^t\Big\{\frac{1}{S(s)}\Big[b-d S(s)-\frac{k \exp (-{\rm d}\tau) S(s)I(s-\tau)}{1+\alpha I^2(s-\tau)} +\gamma R(s)\Big]\\ &&-\frac{1}{2}\frac{1}{S^2(s)}\frac{\sigma^2\exp(-2{\rm d}\tau)S^2(s) I^2(s-\tau)}{(1+\alpha I^2(s-\tau))^2}+\\&&\frac{1}{I(s)} \Big[\frac{k\exp(-{\rm d}\tau)S(s)I(s-\tau)}{1+\alpha I^2(s-\tau)} -(d+\mu)I(s)\Big]\\ &&- \frac{1}{2}\frac{1}{I^2(s)}\frac{\sigma^2\exp(-2{\rm d}\tau)S^2(s)I^2(s-\tau)} {(1+\alpha I^2(s-\tau))^2}+\frac{1}{R(s)}[\mu I(s)-(d+\gamma)R(s)]\Big\}{\rm d}s\\ &&+ \int_0^t\Big[-\frac{1}{S(s)}\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)S(s)I(s-\tau)}{1+\alpha I^2(s-\tau)}+ \frac{1}{I(s)}\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)S(s)I(s-\tau)}{1+\alpha I^2(s-\tau)}\Big]{\rm d}B(s)\\ &\geqslant&\ln \phi_1(0)+\ln \phi_2(0)+\ln\phi_3(0)\\ &&+ \int_0^t\Big[-3d-\mu-\gamma-k\exp(-{\rm d}\tau)I(s-\tau) -\frac{1}{2}\frac{\sigma^2\exp(-2{\rm d}\tau)}{4\alpha} -\frac{1}{2}\frac{\sigma^2S^2(s)}{4\alpha I^2(s)}\Big]{\rm d}s\\ &&+ \int_0^t\Big[-\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)I(s-\tau)}{1+\alpha I^2(s-\tau)} +\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)S(s)I(s-\tau)}{I(s)(1+\alpha I^2(s-\tau))}\Big]{\rm d}B(s), \end{eqnarray*} $

取期望可得

$ \begin{eqnarray*} &&{\Bbb E}(\ln S(t)+\ln I(t)+ \ln R(t))\\ &\geqslant&\ln \phi_1(0)+\ln \phi_2(0)+\ln \phi_3(0) +{\Bbb E}\Big(\int_0^t\Big[-3d-\mu-\gamma-k\exp(-{\rm d}\tau)I(s-\tau)\\ &&-\frac{\sigma^2\exp(-2{\rm d}\tau)}{8\alpha}-\frac{\sigma^2S^2(s)} {8\alpha I^2(s)}\Big]{\rm d}s\Big). \end{eqnarray*} $

因为对所有的 $\omega\in\{t_+<\tau_e\}$ , $S(t)$ , $I(t)$ 和 $R(t)$ 是正的, $S(t_+)I(t_+)R(t_+)=0$ , 则 $\lim\limits_{t\rightarrow t_+}{\Bbb E}(\ln S(t)+\ln I(t)+ \ln R(t))=-\infty$ .因此

$ \begin{eqnarray} -\infty&\geqslant&\ln \phi_1(0)+\ln \phi_2(0)+\ln \phi_3(0) +{\Bbb E}\Big(\int_0^t\Big[- 3d-\mu-\gamma-k\exp(-{\rm d}\tau)I(s-\tau)\nonumber\\ &&-\frac{\sigma^2\exp(-2{\rm d}\tau)}{8\alpha}-\frac{\sigma^2S^2(s)} {8\alpha I^2(s)}\Big]{\rm d}s\Big). \end{eqnarray} $

(3.1)

因为由系统 $(2.3)$ 可知

$ {\rm d}(S(t)+I(t)+R(t))= [b-d(S(t)+I(t)+R(t))]{\rm d}t, $

则对 $t\in[0, t_+)$ , 若 $\sum\limits_{i=1}^3\phi_i(0)\leqslant\frac{b}{d}$ , 有

$ S(t)+I(t)+R(t)\leqslant\frac{b}{d}, $

若 $\sum\limits_{i=1}^3\phi_i(0)>\frac{b}{d}$ , 有

$ S(t)+I(t)+R(t)\leqslant\sum\limits_{i=1}^3\phi_i(0), $

所以

$ \begin{eqnarray} 0<S(t)+I(t)+R(t)\leqslant\max\Big\{\frac{b}{d}, \sum\limits_{i=1}^3\phi_i(0)\Big\}, \end{eqnarray} $

(3.2)

因此, $(3.1)$ 式的右端是有限的.则 $t_+=\tau_e$ a.s..

其次, 我们证明此正解是全局的.对每个大于或者等于 $\sum\limits_{i=1}^3\phi_i(0)$ 的整数 $k$ , 定义停时

$ \tau_k=\sup\{t\in[0, \tau_e): (S+I+R)|_{[0, t]}\leqslant k\}, $

显然, 当 $k\rightarrow\infty$ 时, $\tau_k$ 是递增的.令 $\tau_{\infty}=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\tau_k$ , $\tau_{\infty}\leqslant\tau_e$ a.s.若我们能证明 $\tau_{\infty}=\infty$ a.s..则 $\tau_e=\infty$ a.s..且对 $t\geqslant0$ , 解 $(S(t), I(t), R(t))$ 是正的.换言之, 我们只需要证明 $\tau_{\infty}=\infty$ a.s.若此式不成立, 则存在常数 $T>0$ 和 $\epsilon\in(0, 1)$ 使得 $ P\{\tau_{\infty}\leqslant T\}>\epsilon. $ 因此亦存在一整数 $k_1$ , 当 $k\geqslant k_1$ 时, $P\{\tau_k\leqslant T\}>\epsilon$ .对函数 $\exp(dt)(S(t)+I(t)+R(t))$ 应用伊藤公式而后取期望可得

$ \begin{eqnarray} &&{\Bbb E}[\exp(d(\tau_k\wedge T))(S(\tau_k\wedge T)+I(\tau_k\wedge T)+R(\tau_k\wedge T))]\nonumber\\ &=&\phi_1(0)+\phi_2(0)+\phi_3(0)+{\Bbb E} \Big(\int_0^{\tau_k\wedge T} \exp(ds)b{\rm d}s\Big)\nonumber\\ &\leqslant&\phi_1(0)+\phi_2(0)+\phi_3(0)+\frac{b}{d}\exp(dT). \end{eqnarray} $

(3.3)

令 $\Omega_k=\{\tau_k\leqslant T\}$ , $k\geqslant k_1$ 时, $P\{\Omega_k\}\geqslant\epsilon$ .对所有的 $\omega\in\Omega_k$ , 有 $S(\tau_k, \omega)+I(\tau_k, \omega)+R(\tau_k, \omega)=k$ .则 $(3.3)$ 式左端

$ \begin{eqnarray*} &&{\Bbb E}[\exp(d(\tau_k\wedge T))(S(\tau_k\wedge T)+I(\tau_k\wedge T)+R(\tau_k\wedge T))]\\ &\geqslant&{\Bbb E}(1_{\Omega_k}(S(\tau_k)+I(\tau_k)+R(\tau_k)))\\ &=&P\{\tau_k\leqslant T\}k, \end{eqnarray*} $

其中, $1_{\{\cdot\}}$ 是示性函数.令 $k\rightarrow\infty$ , 则

$ \infty\leqslant\phi_1(0)+\phi_2(0)+\phi_3(0)+ \frac{b}{d}\exp(dT)<\infty, $

此式矛盾.所以可得 $\tau_{\infty}=\infty$ , a.s..

本节考虑无病平衡点的稳定性问题.易知, 系统 $(2.1)$ 的无病平衡点 $E_0=(\frac{b}{d}, 0, 0)$ 仍是系统 $(2.3)$ 的无病平衡点.若我们能证明此平衡点稳定, 则说明疾病在一定条件下可消除.首先通过以下变换

$ x=S-\frac{b}{d}, ~~ y=I, ~~ z=R, $

可将系统 $(2.3)$ 转换为

$ \begin{eqnarray} {\rm d}x(t)&=&\Big[-dx(t)-\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}- \frac{k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)}+\gamma z(t) \Big]{\rm d}t\nonumber\\ &&-\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(t) y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)} \Big]{\rm d}B(t), \nonumber\\ {\rm d}y(t)&=&\Big[\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}+ \frac{k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)} -(d+\mu)y(t)\Big]{\rm d}t\\ &&+\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(t) y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)}\Big]{\rm d}B(t), \nonumber\\ {\rm d}z(t)&=&[\mu y(t)-(d+\gamma) z(t)]{\rm d}t, \end{eqnarray} $

(3.4)

初值为: $(\xi_1, \xi_2, \xi_3)$ , $\xi_j\in C([-\tau, 0], {\Bbb R})$ , $j=1, 2, 3.$

定理3.2 若定理 $3.1$ 条件满足，且

$ \frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}<d+\mu-\frac{1}{2}\frac{b^2}{d^2}\sigma^2, $

则系统 $(3.4)$ 的零解是随机稳定的, 即系统 $(2.3)$ 的无病平衡点是随机稳定的或依概率稳定.

证 设 $a>0$ , 令

$ V_1=ax^2(t)+y^2(t)+2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}z^2(t), $

对系统 $(3.4)$ , 由伊藤公式得

$ \begin{eqnarray} LV_1&=&2ax(t)\Big[-dx(t)-\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}- \frac{k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)}+\gamma z(t)\Big]\nonumber\\ &&+a\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(t) y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)}\Big]^2\nonumber\\ &&+2y(t)\Big[\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}+\frac{k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)} -(d+\mu)y(t)\Big]\\ &&+\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))}+\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(t) y(t-\tau)}{1+\alpha y^2(t-\tau)} \Big]^2\nonumber\\ &&+4a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}z(t)[\mu y(t)-(d+\gamma) z(t)]. \end{eqnarray} $

(3.5)

因为

$ \begin{equation} -2a\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)x(t)y(t-\tau)}{d(1+\alpha y^2(t-\tau))} \leqslant\frac{1}{2}adx^2(t)+2a\frac{k^2b^2}{d^3}y^2(t-\tau), \end{equation} $

(3.6)

$ \begin{equation} 2a\gamma x(t)z(t)\leqslant\frac{1}{2}adx^2(t)+2a\frac{\gamma^2}{d}z^2(t), \end{equation} $

(3.7)

$ \begin{equation} 2\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)y(t-\tau)y(t)} {d(1+\alpha y^2(t-\tau))} \leqslant \frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}y^2(t)+\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}y^2(t-\tau), \end{equation} $

(3.8)

$ \begin{equation} 4a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}u y(t)z(t) \leqslant4a\frac{\gamma^2\mu^2}{d(d+\gamma)^2}y^2(t)+a\frac{\gamma^2}{d}z^2(t), \end{equation} $

(3.9)

则将(3.6)-(3.9)式代入(3.5)式可得

$ \begin{eqnarray*} LV_1&\leqslant&-adx^2(t)+\Big[\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}- 2(d+\mu)+4a\frac{\gamma^2\mu^2}{d(d+\gamma)^2}\Big]y^2(t)\\ &&+\Big[2a\frac{k^2b^2}{d^3}+\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}+a\frac{b^2\sigma^2}{d^2}+ \frac{b^2\sigma^2}{d^2}\Big]y^2(t-\tau)-a\frac{\gamma^2}{d}z^2(t)+\\ &&F_1(x(t), y(t), \tau), \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} F_1(x(t), y(t), \tau)&=&2a\sigma^2\frac{b}{d}|x(t)|y^2(t-\tau)+a\sigma^2x^2(t)y^2(t-\tau)\\ &&+2k|x(t)|y(t)y(t-\tau)+2\sigma^2\frac{b}{d}|x(t)|y^2(t-\tau)+\sigma^2x^2(t)y^2(t-\tau). \end{eqnarray*} $

令

$ V_2=\int_{t-\tau}^t\Big[2a\frac{k^2b^2}{d^3}+\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}+a\frac{b^2\sigma^2}{d^2}+\frac{b^2\sigma^2}{d^2} \Big]y^2(s){\rm d}s, $

则

$ \begin{eqnarray*} LV_2&=&\Big[2a\frac{k^2b^2}{d^3}+\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}+a\frac{b^2\sigma^2}{d^2}+ \frac{b^2\sigma^2}{d^2}\Big]y^2(t)\\ &&-\Big[2a\frac{k^2b^2}{d^3} +\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}+a\frac{b^2\sigma^2}{d^2}+\frac{b^2\sigma^2}{d^2} \Big]y^2(t-s). \end{eqnarray*} $

构造Lyapunov泛函为

$ V=V_1+V_2. $

定义停时

$ T_{\epsilon}=\inf\{t\geqslant0: x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)\geqslant\epsilon^2\}. $

对任意 $t\geqslant0$ , 由伊藤公式可得

$ \begin{eqnarray*} &&V(x(t\wedge T_\epsilon), y(t\wedge T_\epsilon), z(t\wedge T_\epsilon))\\ &=&V(x(0), y(0), z(0))+\int_0^{t\wedge T_{\epsilon}}[LV_1(x(s), y(s), z(s))+LV_2(x(s), y(s), z(s))]{\rm d}s\\ &&+\int_0^{t\wedge T_{\epsilon}} \Big\{-2ax(s)\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(s-\tau)} {d(1+\alpha y^2(s-\tau))}+\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(s) y(s-\tau)} {1+\alpha y^2(s-\tau)}\Big]\nonumber\\ &&+2y(s)\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(s-\tau)}{d(1+\alpha y^2(s-\tau))} +\frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(s) y(s-\tau)}{1+\alpha y^2(s-\tau)} \Big]\Big\}{\rm d}B(s)\nonumber\\ &\leqslant&V(x(0), y(0), z(0))+\int_0^{t\wedge T_{\epsilon}} \Big\{-adx^2(s)+\Big[a\Big(\frac{2k^2b^2}{d^3}+\frac{4\gamma^2\mu^2} {d(d+\gamma)^2}+ \frac{\sigma^2b^2}{d^2}\Big)\\ &&-2\Big(d+ \mu-\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}-\frac{1}{2}\frac{b^2\sigma^2}{d^2} \Big)\Big]y^2(s)-a\frac{\gamma^2}{d}z^2(s)+ F_1(x(s), y(s), \tau)\Big\}{\rm d}s\\ &&+\int_0^{t\wedge T_{\epsilon}} \Big\{-2ax(s)\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(s-\tau)} {d(1+\alpha y^2(s-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(s) y(s-\tau)}{1+\alpha y^2(s-\tau)} \Big]\nonumber\\ &&+2y(s)\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(s-\tau)} {d(1+\alpha y^2(s-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(s) y(s-\tau)}{1+\alpha y^2(s-\tau)} \Big]\Big\}{\rm d}B(s). \end{eqnarray*} $

因

$ \lim\limits_{x^2(s)+y^2(s)\rightarrow0}\frac{F_1(x(s), y(s), \tau)}{x^2(s)+y^2(s)}=0, $

则对任意小 $\epsilon_1>0$ , 存在 $\delta_1>0$ , 若 $x^2(s)+y^2(s)\leqslant \delta_1^2$ , 使得

$ |F_1(x(s), y(s), \tau)|<\epsilon_1(x^2(s)+y^2(s)). $

因此对任意 $0<\epsilon_2<1$ , $0<\epsilon<\delta_1$ , 取

$ \delta=\min\bigg\{\frac{\epsilon}{\sqrt{3}}, \bigg( \frac{(a\wedge1\wedge2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)})\epsilon^2\epsilon_2} {a+1+2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}}\bigg)^{\frac{1}{2}}\bigg\}, $

当 $\|\xi_1\|^2+\|\xi_2\|^2+\|\xi_3\|^2<\delta^2$ 时, 可知

$ \begin{eqnarray*} &&V(x(t\wedge T_\epsilon), y(t\wedge T_\epsilon), z(t\wedge T_\epsilon))\\ &\leqslant&V(x(0), y(0), z(0))+\int_0^{t\wedge T_{\epsilon}} \Big\{(-ad+ \epsilon_1)x^2(s)+ \Big[a\Big(\frac{2k^2b^2}{d^3}+\frac{4\gamma^2\mu^2}{d(d+\gamma)^2} +\frac{\sigma^2b^2}{d^2}\Big)\\ &&-2\Big(d+\mu-\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}- \frac{1}{2}\frac{b^2\sigma^2}{d^2}\Big)+\epsilon_1\Big]y^2(s)-a\frac{\gamma^2}{d}z^2(s) \Big\}{\rm d}s\\ &&+\int_0^{t\wedge T_{\epsilon}} \Big \{-2ax(s)\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(s-\tau)}{d(1+\alpha y^2(s-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(s) y(s-\tau)}{1+\alpha y^2(s-\tau)}\Big]\nonumber\\ &&+2y(s)\Big[\frac{\sigma b \exp(-{\rm d}\tau)y(s-\tau)}{d(1+\alpha y^2(s-\tau))}+ \frac{\sigma \exp(-{\rm d}\tau)x(s) y(s-\tau)}{1+\alpha y^2(s-\tau)}\Big]\Big\}{\rm d}B(s), \end{eqnarray*} $

取期望可得

$ \begin{eqnarray*} &&{\Bbb E}V(x(t\wedge T_\epsilon), y(t\wedge T_\epsilon), z(t\wedge T_\epsilon))\\ &\leqslant&a{\Bbb E}\xi_1^2+{\Bbb E}\xi_2^2+2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}{\Bbb E}\xi_3^2 \\ &&+ \int_0^{t\wedge T_{\epsilon}}\Big \{(-ad+\epsilon_1){\Bbb E}x^2(s) +\Big[a\Big(\frac{2k^2b^2}{d^3}+\frac{4\gamma^2\mu^2}{d(d+\gamma)^2}+ \frac{\sigma^2b^2}{d^2}\Big)\\ &&-2\Big(d+\mu-\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d} -\frac{1}{2}\frac{b^2\sigma^2}{d^2}\Big)+\epsilon_1\Big] {\Bbb E}y^2(s)-a\frac{\gamma^2}{d}{\Bbb E}z^2(s)\Big\}{\rm d}s. \end{eqnarray*} $

由定理 $3.2$ 条件成立, 可知存在 $a>0$ , 使得

$ a<\frac{2(d+\mu-\frac{kb\exp(-{\rm d}\tau)}{d}-\frac{1}{2}\frac{b^2\sigma^2}{d^2})} {\frac{2k^2b^2}{d^3}+\frac{4\gamma^2\mu^2}{d(d+\gamma)^2}+\frac{\sigma^2b^2}{d^2}}. $

所以对充分小的 $\epsilon_1>0$ , 可得

$ \begin{eqnarray*} {\Bbb E}V(x(t\wedge T_\epsilon), y(t\wedge T_\epsilon), z(t\wedge T_\epsilon)) &\leqslant&a{\Bbb E}\xi_1^2+{\Bbb E}\xi_2^2+2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}{\Bbb E}\xi_3^2\\ &\leqslant&\Big(a+1+2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}\Big)\delta^2. \end{eqnarray*} $

另一方面

$ \begin{eqnarray*} {\Bbb E}V(x(t\wedge T_\epsilon), y(t\wedge T_\epsilon), z(t\wedge T_\epsilon)) &\geqslant&{\Bbb E}[1_{t\wedge T_{\epsilon}}V(x(t\wedge T_\epsilon), y(t\wedge T_\epsilon), z(t\wedge T_\epsilon))]\\ &=&{\Bbb E}[1_{t\wedge T_{\epsilon}}V(x(T_\epsilon), y(T_\epsilon), z(T_\epsilon))]\\ &\geqslant&\Big(a\wedge1\wedge2a\frac{\gamma^2}{d(d+\gamma)}\Big)\epsilon^2P\{T_{\epsilon}\leqslant t\}. \end{eqnarray*} $

因此, 当 $t\rightarrow\infty$ , 可得

$ P\{T_{\epsilon}<\infty\}\leqslant\epsilon_2, $

即对 $t\geqslant0$ , 有

$ P\{x^2(t)+y^2(t)+z^2(t)<\epsilon^2\}\geqslant1-\epsilon_2. $

由定义 $2.1$ 可知, 系统 $(2.3)$ 的无病平衡点是随机稳定的.

对于确定型传染病模型, 人们通常除考虑无病平衡点的稳定性外, 还通过分析地方病平衡点的稳定性, 来讨论是否会形成地方病, 疾病是否流行等.易知, 系统 $(2.1)$ 的地方病平衡点 $P^*=(S^*, I^*, R^*)$ 已不是系统 $(2.3)$ 的平衡点.因此, 本节通过以下定理来讨论 $P^*$ 在随机绕动下的渐近性质，从而讨论疾病的流行情况.

定理3.3 若定理 $3.1$ 条件满足, 且 $R_0={\frac{bk\exp(-{\rm d}\tau)}{d(d+\mu)}}>1$ , 则

$ \begin{eqnarray*} &&\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\bigg\{a_2d\frac{1}{t}\int_0^t (S(s) -S^*)^2{\rm d}s+2a_1d\frac{1}{t}\int_0^t(I(s)-I^*)^2{\rm d}s\\ &&+\Big[2a_3(d+\gamma)-a_2\frac{\gamma^2}{d}\Big]\frac{1}{t}\int_0^t(R(s)-R^*)^2 {\rm d}s\bigg\} \leqslant(1+a_2)\frac{\sigma^2}{\alpha}M^2 ~~{\rm a.s.}, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{equation} a_1=\frac{k\exp(-{\rm d}\tau)I^*}{2d(1+\alpha {I^*}^2)}, \end{equation} $

(3.10)

$ \begin{equation} a_3=\frac{k\exp(-{\rm d}\tau)I^*}{\mu(1+\alpha {I^*}^2)}, \end{equation} $

(3.11)

$ \begin{equation} 0<a_2<\min\bigg\{\frac{2a_3d(d+\gamma)}{\gamma^2}, \frac{4(d+\mu)\alpha {I^*}^3(1+\alpha {I^*}^2)}{k\exp(-{\rm d}\tau)(1-\alpha {I^*}^2)^2{S^*}^2}\bigg\}, \end{equation} $

(3.12)

$ \begin{equation} M=\max\bigg\{\frac{b}{d}, \sum\limits_{i=1}^3\phi_i(0)\bigg\}. \end{equation} $

(3.13)

证 令 $x=S-S^*$ , $y=I-I^*$ , $z=R-R^*$ , 则系统 $(2.3)$ 可化为

$ \begin{eqnarray*} {\rm d}x&=&[-(d+k\exp(-{\rm d}\tau)f(I^*))x(t)- k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*y(t-\tau)+\gamma z(t)\\ &&-k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)x(t)y(t-\tau)-k\exp(-{\rm d}\tau)S^*g(y(t-\tau))\\ &&-k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)g(y(t-\tau))]{\rm d}t-\frac{\sigma\exp(-{\rm d}\tau)S(t)I(t)}{1+\alpha I^2(t)}{\rm d}B(t), \\ {\rm d}y&=&[k\exp(-{\rm d}\tau)f(I^*)x(t)-(d+\mu)y(t)+k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*y(t-\tau)\\ &&+k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)x(t)y(t-\tau)+k\exp(-{\rm d}\tau)S^*g(y(t-\tau))\\ &&+k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)g(y(t-\tau))]{\rm d}t+\frac{\sigma\exp(-{\rm d}\tau)S(t)I(t)}{1+\alpha I^2(t)}{\rm d}B(t), \\ {\rm d}z&=&[\mu y(t)-(d+\gamma)z(t)]{\rm d}t, \end{eqnarray*} $

其中

$ f(I^*)=\frac{I^*}{1+\alpha {I^*}^2}, ~~ f'(I^*)=\frac{1-\alpha {I^*}^2}{(1+\alpha {I^*}^2)^2}, ~~ g(y(t-\tau))=\circ(y(t-\tau)). $

令

$ V_1=a_1(x(t)+y(t)+z(t))^2+ a_2x^2(t)+y^2(t)+a_3z^2(t), $

其中 $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ 分别由(3.10), $(3.12)$ 和 $(3.11)$ 式给出, $a_i>0, i=1, 2, 3$ .由伊藤公式可得

$ \begin{eqnarray*} LV_1 &=&-(2a_1d+2a_2d+ 2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)f(I^*))x^2(t)-[2a_1d+2(d+\mu)]y^2(t)\\ && -[2a_1d+2a_3(d+\gamma)]z^2(t)-2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*x(t)y(t-\tau)\\ && -4a_1dx(t)z(t)+2a_2\gamma x(t)z(t)+(-4a_1d+2k\exp(-{\rm d}\tau)f(I^*))x(t)y(t)\\ &&+ (-4a_1d+2a_3\mu)y(t)z(t)+2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*y(t)y(t-\tau)\\ &&+ F_2(x(t), y(t), \tau)+ (a_2+1)\frac{\exp(-{\rm d}\tau)S^2(t)I^2(t)}{1+\alpha I^2(t)}\sigma^2, \end{eqnarray*} $

其中

$ \begin{eqnarray*} &&F_2(x(t), y(t), \tau)\\ &=&-2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)x^2(t)y(t-\tau)- 2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)S^*x(t)g(y(t-\tau))\\ &&-2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)x^2(t)g(y(t-\tau))+ 2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)x(t)y(t-\tau)y(t)\\ &&+2k\exp(-{\rm d}\tau)S^*y(t)g(y(t-\tau))+ 2k\exp(-{\rm d}\tau)x(t)y(t)g(y(t-\tau)). \end{eqnarray*} $

令

$ V_2=\Big(\frac{1}{2}a_2k\exp(-{\rm d}\tau)\frac{f'^2(I^*)}{f(I^*)}{S^*}^2+ k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*\Big)\int_{t-\tau}^ty^2(s){\rm d}s, $

由 $(3.10)$ , $(3.11)$ 式知 $4a_1d=2k\exp(-{\rm d}\tau)f(I^*)$ 且 $2a_3\mu=4a_1d$ .又因为

$ \begin{eqnarray*} &&2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*x(t)y(t-\tau)\\ &\leqslant&2a_2k\exp(-{\rm d}\tau)f(I^*)x^2(t)+ \frac{1}{2}a_2k\exp(-{\rm d}\tau)\frac{f'^2(I^*)}{f(I^*)}{S^*}^2y^2(t-\tau), \\[3mm] &&2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*y(t)y(t-\tau)\\ &\leqslant& k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*y^2(t)+ k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*y^2(t-\tau), \end{eqnarray*} $

$ \begin{eqnarray*} 2a_2\gamma x(t)z(t)\leqslant a_2dx^2(t)+a_2\frac{\gamma^2}{d}z^2(t), \end{eqnarray*} $

则

$ \begin{eqnarray*} LV_1+LV_2&\leqslant&-(2a_1d+a_2d)x^2(t)- \Big[2a_1d+2(d+\mu)-\frac{1}{2}a_2k\exp(-{\rm d}\tau)\frac{f'^2(I^*)}{f(I^*)}{S^*}^2\\ &&- 2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*\Big]y^2(t)-4a_1dx(t)z(t)\\ &&-\Big[2a_1d+ 2a_3(d+\gamma)-a_2\frac{\gamma^2}{d}\Big]z^2(t)+ F_2(x(t), y(t), \tau)+(1+a_2)\frac{S^2(t)}{\alpha}\sigma^2. \end{eqnarray*} $

由系统 $(2.1)$ 的第二个方程知

$ \frac{k\exp(-{\rm d}\tau)S^*I^*}{1+\alpha{I^*}^2}-(d+\mu)I^*=0, $

又由 $(3.12)$ 式可得

$ 2(d+\mu)-\frac{1}{2}a_2k\exp(-{\rm d}\tau)\frac{f'^2(I^*)}{f(I^*)}{S^*}^2- 2k\exp(-{\rm d}\tau)f'(I^*)S^*>0, \\ 2a_3(d+\gamma)-a_2\frac{\gamma^2}{d}>0. $

因为

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{F_2(x(t), y(t), \tau)}{x^2(t)+y^2(t)}=0, $

所以对任意小 $\epsilon_3>0$ , 存在 $\delta_2>0$ , 当 $x^2(t)+y^2(t)\leqslant\delta_2^2$ 时, 有

$ |F_2(x(t), y(t), \tau)|<\epsilon_3(x^2(t)+y^2(t)). $

又因为

$ \begin{eqnarray*} &&-2a_1dx^2(t)-4a_1dx(t)z(t)- \Big[2a_1d+2a_3(d+\gamma)-a_2\frac{\gamma^2}{d}\Big]z^2(t)\\ &=&-2a_1d(x(t)+z(t))^2- \Big[2a_3(d+\gamma)-a_2\frac{\gamma^2}{d}\Big]z^2(t), \end{eqnarray*} $

所以

$ \begin{eqnarray*} LV_1+LV_2&\leqslant&(-a_2d+\epsilon_3)x^2(t)+ (-2a_1d+\epsilon_3)y^2(t)-\Big[2a_3(d+\gamma) -a_2\frac{\gamma^2}{d}\Big]z^2(t)\\ &&- 2a_1d(x(t)+z(t))^2+ (1+a_2)\frac{S^2(t)}{\alpha}\sigma^2 :=F(t). \end{eqnarray*} $

因此, 构造Lyapunov泛函为

$ V=V_1+V_2, $

由以上讨论可知

$ V(t)-V(0)\leqslant \int_0^t F(s){\rm d}s+\int_0^tG(s){\rm d}B(s), $

其中

$ G(s)=-2a_2x(s)\frac{\sigma\exp(-{\rm d}\tau)S(s)I(s)}{1+\alpha I^2(s)}+ 2y(s)\frac{\sigma\exp(-{\rm d}\tau)S(s)I(s)}{1+\alpha I^2(s)}. $

令

$ H(t):=\int_0^tG(s){\rm d}B(s), $

则其是一局部连续鞅, $H(0)=0$ , 由 $(3.2)$ 和 $(3.13)$ 式知

$ \limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\langle H, H\rangle _t}{t}\leqslant16(a_2^2+1)M^4\frac{\sigma^2}{\alpha}<\infty, $

由引理 $2.1$ 强大数定理可知

$ \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{H(t)}{t}=0, ~~{\rm a.s..} $

因此

$ \liminf\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{\int_0^tF(s){\rm d}s}{t}\geqslant0, ~~ {\rm a.s. .} $

所以, 对充分小的 $\epsilon_3$ , 有

$ \begin{eqnarray*} &&\limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\bigg\{a_2d\frac{1}{t}\int_0^t(S(s)-S^*)^2{\rm d}s+ 2a_1d\frac{1}{t}\int_0^t(I(s)-I^*)^2{\rm d}s\\ &&+\Big[2a_3(d+\gamma)-a_2\frac{\gamma^2}{d}\Big]\frac{1}{t}\int_0^t(R(s)-R^*)^2{\rm d}s\bigg\} \leqslant(1+a_2)\frac{M^2}{\alpha}\sigma^2, ~~{\rm a.s. .} \end{eqnarray*} $

证毕.

注3.1 由定理 $3.3$ 知, 对系统 $(2.1)$ 的地方病平衡点 $P^*=(S^*, I^*, R^*)$ , 存在正常数 $K$ 使得

$ \limsup\limits_{t\rightarrow\infty}\frac{1}{t}\int_0^t\|X(s)-P^*\|^2{\rm d}s\leqslant K\sigma^2, $

其中 $X=(S, I, R)$ 是系统 $(2.3)$ 的解.因此, 定理 $3.3$ 可近似看做是讨论地方病平衡点的稳定性.当随机扰动强度 $\sigma$ 减小时, 系统 $(2.3)$ 的解趋于 $P^*$ , 传染病流行.另外, 从此定理可推出, 传染病的流行, 受环境白噪声随机扰动强度的影响.

本节根据以上定理的理论结果, 我们选取适当的参数, 利用Matlab仿真.为简便, 始终选取初值为 $(0.1, 0.6, 0.2)$ .

首先, 选取参数 $b=1, d=1, k=0.8, \alpha=0.3, \gamma=0.4, \mu=0.5, \tau=0.6$ .当 $\sigma=0$ 时, 基本再生数 $R_0=0.2927<1$ , 由文献[3]知系统 $(2.1)$ 的无病平衡点 $(1, 0, 0)$ 是稳定的, 如图 1.当 $\sigma=0.6$ 时, 定理 $3.2$ 中条件成立, 则无病平衡点 $(1, 0, 0)$ 是稳定的, 如图 2.

其次, 依据文献[4]中参数, 选取 $b=4, k=6, \alpha=0.1, d=\gamma=\mu=1, \tau=1$ .则系统 $(2.1)$ 的地方病平衡点 $P^*=(1.2178, 1.8547, 0.9273)$ .当 $\sigma=0$ 时, 地方病平衡点 $P^*$ 是稳定的, 如图 3.当选取 $\sigma=0.1$ 时, 由图 4可知, 系统 $(2.3)$ 的解在 $P^*$ 处震荡.当环境白噪声强度增大, 取 $\sigma=0.8$ 时, 系统解在 $P^*$ 附件的扰动越强烈, 如图 5.因此, 可推出定理 $3.3$ 的理论结果是合理的.

本文研究了一类具有非单调发生率的随机传染病模型.首先考虑了系统模型的解在有限时间内不爆破, 是正的全局解.其次, 证明了模型无病平衡点是随机稳定的, 疾病在一定条件下将消除.由定理 $3.2$ 中得到的稳定性条件与文献[3]中结论比较, 可将 $\frac{S_0^2\sigma^2}{2}$ , 其中 $S_0=\frac{b}{d}$ , 看作是环境白噪声对无病平衡点的扰动强度.另外, 本文还讨论了相应的确定型模型的地方病平衡点在随机绕动下的渐近性质, 得到了疾病的流行规律.最后, 通过数值仿真, 对本文结论进行了验证.