考虑如下的Kirchhoff方程

$ \begin{equation}\label{8} -\left(a+b\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)\triangle u=|u|^{p-2}u+\lambda u, \quad \ x\in {\Bbb R}^{N}, \end{equation} $

(1.1)

这里 $N\leq3$ , $a>0, b>0$ 为常数且 $p\in(2, 2^{\ast})$ , 其中 $2^{\ast}=6$ (若 $N=3$ )或 $2^{\ast}=+\infty$ (若 $N=1, 2$ ), $\lambda\in{\Bbb R}$ 为参数.

为了得到上述方程在给定 $L^{2}$ 范数下的解, 文献[9]中研究了下面的约束变分极小问题

$ \begin{equation}\label{1} I_{c^{2}}:=\inf\limits_{u\in S_{c}} I(u), \end{equation} $

(1.2)

这里

$ \begin{equation}\label{2} I(u)=\frac{a}{2}\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x+\frac{b}{4}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{2}-\frac{1}{p}\int_{{\Bbb R}^N}|u|^{p}{\rm d}x, \end{equation} $

(1.3)

$ \begin{equation}\label{3} S_{c}=\left\{u\in H^{1}({\Bbb R}^{N})|\ \|u\|_{L^{2}}=c>0\right\}. \end{equation} $

(1.4)

在文献[9]中作者证明了如下结论:

定理1.1^{[9, 定理1.1]} 若 $2<p<2+\frac{8}{N}$ , 则存在 $c_{\ast}\geq0$ 使得 $I_{c^{2}}$ 可达(即问题(1.2)存在极小元)的充要条件是 $c> c_{\ast}$ (当 $2<p\leq2+\frac{4}{N}$ )或 $c\geq c_{\ast}$ (当 $2+\frac{4}{N}<p<2+\frac{8}{N}$ ), 其中

$ \begin{equation}\label{9} c_{\ast}= \left\{\begin{array}{ll} 0, & \mbox{当}\quad 2<p<2+\frac{4}{N}, \\[3mm] a^{\frac{N}{4}}\|Q\|_{L^{2}}, & \mbox{当}\quad p=2+\frac{4}{N}, \\[3mm] \inf\{c\in(0, +\infty):I_{c^{2}}<0\}, \quad & \mbox{当}\quad2+\frac{4}{N}<p<2+\frac{8}{N}, \end{array}\right. \end{equation} $

(1.5)

这里 $Q$ 是以下方程的唯一径向对称正解^{[2, 6-8]}

$ \begin{equation}\label{6} -\frac{N(p-2)}{4}\triangle u+\left(1+\frac{p-2}{4}(2-N)\right)u=u^{p-1}, \ 2<p<2^{\ast}, \ N\geq1, \end{equation} $

(1.6)

其中 $2^{\ast}=\frac{2N}{N-2}$ ( $N\geq3$ 时)或 $2^{\ast}=+\infty$ ( $N=1, 2$ 时).

从以上定理可以看出, 文献[9]只能在 $p\in(2, 2+\frac{4}{N}]$ 的情况下给出 $c_{\ast}$ 的具体值, 对于 $p\in(2+\frac{4}{N}, 2+\frac{8}{N})$ , 文献[9]的方法是无法给出 $c_{\ast}$ 的具体表达式的.该注记的目的就是希望通过方法上的改进, 在 $p\in(2+\frac{4}{N}, 2+\frac{8}{N})$ 下也确定出 $c_{\ast}$ 的具体值, 进而给出定理1.1的更为精确的形式.该文的结果如下:

定理1.2  如果 $2<p<2+\frac{8}{N}$ , 则一定存在 $c_{\ast}\geq0$ 使得约束极小问题(1.2)可达的充要条件是 $c>c_{\ast}$ 且 $c_{\ast}$ 由(1.5)式给出(若 $2<p\leq2+\frac{4}{N}$ ), 或

$ c\geq c_{\ast}=\left[2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2} \Big(\frac{2a}{8-N(p-2)}\Big)^{\frac{8-N(p-2)}{4}}\Big(\frac{b}{N(p-2)-4} \Big)^{\frac{N(p-2)-4}{4}}\right]^{\frac{1}{p-\frac{N(p-2)}{2}}} $

(若 $2+\frac{4}{N}<p<2+\frac{8}{N}$ ).

为了证明定理1.2, 首先给出下面的Gagliardo-Nirenberg不等式 $^{^{[<xref ref-type="bibr" rid="b8">8</xref>]}}$ :当 $N\geq3$ 时, $p\in(2, \frac{2N}{N-2})$ 或当 $N=1, 2$ 时, $p>2$ , 总成立

$ \begin{equation}\label{5} \|u\|_{L^{p}}^{p}\leq \frac{p}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}\|\nabla u\|_{L^{2}}^{\frac{N(p-2)}{2}}\|u\|_{L^{2}}^{p-\frac{N(p-2)}{2}}, \end{equation} $

(1.7)

这里 $Q$ 是方程(1.6)的唯一径向对称正解, 并且根据方程(1.6)和Pohozaev等式, 可以推出

$ \begin{equation}\label{7} \left\{\begin{array}{ll} \int_{{\Bbb R}^N}Q^{2}{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^{N}}|\nabla Q|^{2}{\rm d}x, \\[4mm] \int_{{\Bbb R}^N}Q^{2}{\rm d}x=\frac{2}{p}\int_{{\Bbb R}^{N}}|Q|^{p}{\rm d}x. \end{array}\right. \end{equation} $

(1.8)

参照文献[9]中关于定理1.1的证明过程, 可知要证定理1.1, 只须证明在相应条件下 $I_{c^{2}}<0$ 成立.因此, 关于定理1.2的证明, 只须证在定理1.2的条件下 $I_{c^{2}}<0$ 成立, 其余过程则完全类似于文献[9].以下我们给出定理1.2的证明.

证 对于 $2<p\leq2+\frac{4}{N}$ , 相应结果在文献[9]的定理1.1已经给出了证明, 这里仅给出当 $2+\frac{4}{N}<p<2+\frac{8}{N}$ 时相应的证明.

首先证明 $\forall\ c>0$ , $I_{c^{2}}$ 是良定义的, 并且

$ \begin{equation}\label{eq2.111} I_{c^{2}}\in(-\infty, 0]. \end{equation} $

(2.1)

$\forall\ c>0$ , $u\in S_{c}$ .根据(1.7)式以及定义(1.3)可知

$ \begin{equation}\label{eq2.1} I(u)\geq\frac{b}{4}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{2} -\frac{c^{p-\frac{N(p-2)}{2}}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{\frac{N(p-2)}{4}}. \end{equation} $

(2.2)

由 $2+\frac{4}{N}<p<2+\frac{8}{N}$ , 知 $1<\frac{N(p-2)}{4}<2$ , 因此 $I$ 在 $S_{c}$ 上是下方有界的, 故 $I_{c^{2}}$ 是良定义的.令 $u_{t}(x)=t^{\frac{N}{2}}u(tx), (t>0)$ , 则 $u_{t}\in S_{c}$ 并且当 $t\rightarrow0$ 时

$ \begin{equation}\label{eq2.2} I(u_{t})=\frac{at^{2}}{2}\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x +\frac{bt^{4}}{4}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{2} -\frac{ t^{\frac{N(p-2)}{2}}}{p}\int_{{\Bbb R}^N}|u|^{p}{\rm d}x\rightarrow0. \end{equation} $

(2.3)

因此, $\forall\ c>0$ , $I_{c^{2}}\in(-\infty, 0]$ .

下面证明当 $p\in(2+\frac{4}{N}, 2+\frac{8}{N})$ 时, 对于定理1.2中给定的 $c_{\ast}$ , 有

$ \begin{equation}\label{100} I_{c^{2}}<0 \quad\mbox{当且仅当}\quad c>c_{\ast}. \end{equation} $

(2.4)

$\forall\ u\in S_{c}$ , 令 $u_{t}=\frac{ct^{\frac{N}{2}}Q(tx)}{\|Q\|_{L^{2}}}(t>0)$ , 则 $u_{t}\in S_{c}$ , 根据(1.8)式有

$ \begin{equation}\label{eq2.5} \int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u_{t}|^{2}{\rm d}x =\frac{c^{2}t^{2}\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla\phi_{p}|^{2}{\rm d}x}{\|Q\|_{L^{2}}^{2}}=c^{2}t^{2}, \end{equation} $

(2.5)

且

$ \begin{equation}\label{eq2.6} \int_{{\Bbb R}^N}u_{t}^{p}{\rm d}x =\frac{c^{p}t^{\frac{N(p-2)}{2}}\int_{{\Bbb R}^N}|Q|^{p}{\rm d}x}{\|Q\|_{L^{2}}^{p}} =\frac{pc^{p}t^{\frac{N(p-2)}{2}}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}. \end{equation} $

(2.6)

从而

$ \begin{equation}\label{eq2.7} I(u_{t})=\frac{a}{2}c^{2}t^{2}+\frac{b}{4}c^{4}t^{4}-\frac{c^{p}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}t^{\frac{N(p-2)}{2}}. \end{equation} $

(2.7)

由 $2+\frac{4}{N}<p<2+\frac{8}{N}$ , 知 $2<\frac{N(p-2)}{2}<4$ , 根据Young不等式, 有

$ \begin{equation}\label{eq2.8} f(t)\triangleq\frac{a}{2}c^{2}t^{2}+\frac{b}{4}c^{4}t^{4}\geq\Big(\frac{ac^{2}t^{2}}{2p_{1}}\Big)^{p_{1}}\Big(\frac{bc^{4}t^{4}}{4q_{1}}\Big)^{q_{1}} =t^{2+2q_{1}}c^{2+2q_{1}}\Big(\frac{a}{2p_{1}}\Big)^{p_{1}}\Big(\frac{b}{4q_{1}}\Big)^{q_{1}}, \end{equation} $

(2.8)

这里 $p_{1}+q_{1}$ =1并且当且仅当 $\frac{ac^{2}t^{2}}{2p_{1}}=\frac{bc^{4}t^{4}}{4q_{1}}$ 时等号成立.取 $2q_{1}=\frac{N(p-2)}{2}-2$ , 则 $2p_{1}=4-\frac{N(p-2)}{2}$ 并且

$ \begin{equation}\label{eq2.9} f(t)\geq t^{\frac{N(p-2)}{2}}c^{\frac{N(p-2)}{2}}\Big(\frac{2a}{8-N(p-2)}\Big)^{\frac{8-N(p-2)}{4}}\Big(\frac{b}{N(p-2)-4}\Big)^{\frac{N(p-2)-4}{4}}. \end{equation} $

(2.9)

令

$ \begin{equation}\label{eq2.10} c_{\ast}=\left[2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}\Big(\frac{2a}{8-N(p-2)}\Big)^{\frac{8-N(p-2)}{4}}\Big(\frac{b}{N(p-2)-4}\Big)^{\frac{N(p-2)-4}{4}}\right]^{\frac{1}{p-\frac{N(p-2)}{2}}}. \end{equation} $

(2.10)

如果 $c>c_{\ast}$ , 取 $t_{0}^{2}=\frac{2aq_{1}}{bp_{1}c^{2}}$ 使得 $\frac{ac^{2}t_{0}^{2}}{2p_{1}}=\frac{bc^{4}t_{0}^{4}}{4q_{1}}$ , 则

$ \begin{eqnarray*} I_{c^{2}}\leq I(u_{t_{0}}) &=&\frac{a}{2}c^{2}t_{0}^{2}+\frac{b}{4}c^{4}t_{0}^{4}-\frac{c^{p}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}t_{0}^{\frac{N(p-2)}{2}} \\ &=&\frac{t_{0}^{\frac{N(p-2)}{2}}c^{\frac{N(p-2)}{2}}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}(c_{\ast}^{p-\frac{N(p-2)}{2}}-c^{p-\frac{N(p-2)}{2}})<0. \end{eqnarray*} $

如果 $0<c\leq c_{\ast}$ , 那么 $\forall\ u\in S_{c}$ , 根据(2.9)和(2.10)式, 有

$ \begin{eqnarray*} I(u) &=&\frac{a}{2}\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x +\frac{b}{4}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{2} -\frac{1}{p}\int_{{\Bbb R}^N}|u|^{p}{\rm d}x\\ &\geq&\frac{a}{2}\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x +\frac{b}{4}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{2} -\frac{c^{p-\frac{N(p-2)}{2}}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{\frac{N(p-2)}{4}}\\ &\geq&\frac{c_{\ast}^{p-\frac{N(p-2)}{2}}-c^{p-\frac{N(p-2)}{2}}}{2\|Q\|_{L^{2}}^{p-2}}\left(\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{\frac{N(p-2)}{4}}\geq0. \end{eqnarray*} $

从而 $I_{c^{2}}\geq0$ , 结合(2.1)式有 $I_{c^{2}}=0$ , 从而(2.4)式得证.结合文献[9]中定理1.1的证明, 知定理1.2成立.