本文考虑如下带临界指数的Kirchhoff型问题

$\begin{eqnarray}\label{1.1} \left\{\begin{array}{ll} -\left(a+b\displaystyle\int_\Omega|\nabla u|^2{\rm d}x\right)\Delta u=\mu u^{2^{*}-1}+f(x)u^{q-1},&x\in\Omega,\\ u>0,&x\in\Omega,\\ u=0, &x\in\partial\Omega,\end{array}\right. \end{eqnarray}$

(1.1)

其中 $\Omega\subset {\Bbb R}^{N}(N\geq3)$ 是一个具有光滑边界的有界区域, $a,b\geq0,a+b>0,$ $\mu>0,2\leq q<2^{*}.$ $2^{*}=\frac{2N}{N-2}$ 是空间 $H_{0}^{1}(\Omega)\hookrightarrow L^{p}(\Omega)(p\in [1,2^{*}])$ 的Sobolev临界指数.记 $\|u\|=\left(\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{2}}$ 和 $|u|_{p}=\left(\int_{\Omega}|u|^{p}{\rm d}x\right)^{\frac{1}{p}}$ 分别为空间 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 和 $L^{p}(\Omega)$ 中的范数. $f\in L^{\infty}(\Omega)$ 满足如下条件

$(f)$ 存在 $u_{0}\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 使得 $\frac{2a+b}{4}-\frac{1}{q\|u_{0}\|^{q}}\int_{\Omega}f(x)(u_{0}^{+})^{q}{\rm d}x<0$ .

Kirchhoff型问题源于1883年Kirchhoff在文献[7]中提出的一个定态问题的模型. Kirchhoff在研究由横向振动引起的弦的长度变化问题时, 曾提出以下方程给出的数学模型

$\begin{eqnarray}\label{1.2} \rho\frac{\partial^2u}{\partial t^2}-\left(\frac{P_0}{h}+\frac{E}{2L}\int_{0}^L\left|\frac{\partial u}{\partial x}\right|^2{\rm d}x\right)\frac{\partial^2u}{\partial x^2}=0,\end{eqnarray}$

(1.2)

其中 $\rho,P_0,h,E,L$ 为常量, $u=u(x,t)$ 表示弦的位置.问题(1.2)在某种意义上讲是经典D'Alembert波动方程的一个推广和延伸.该模型在非牛顿力学、宇宙物理、弹性理论电磁学等诸多领域都有着广泛的应用.然而直到1978年Lions在文献[8]中对如下问题

$\begin{eqnarray}\label{1.3} u_{tt}-\left(a+b\displaystyle\int_\Omega|\nabla u|^2{\rm d}x\right)\Delta u=h(x,u),\end{eqnarray}$

(1.3)

给出了一个抽象的泛函分析框架.自此以后, 问题(1.3)得到了人们大量的关注和研究, 详细结果可参见文献[1, 3-6, 9-10, 12, 15-19]等及其相关文献.

2010年, Alves, Corr $\hat{\mathrm{e}}$ a以及Figueiredo在文献[1]利用变分方法研究了带有临界指数的Kirchhoff型问题正解的存在性.随后文献[5, 9, 12, 16-17]等在不同的条件下研究了带有临界指数的Kirchhoff型问题解的存在性及多重性.

我们记 $S$ 为最佳Sobolev嵌入常数

$\begin{eqnarray}\label{1.4} S:=\inf\limits_{u\in D^{1,2}({\Bbb R}^{N})\backslash\{0\}}\frac{\int_{{\Bbb R}^{N}}|\nabla u|^{2}{\rm d}x}{\left(\int_{{\Bbb R}^{N}}|u|^{2^{*}}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{2^{*}}}}:=\inf\limits_{u\in H_{0}^{1}(\Omega)\backslash\{0\}}\frac{\int_{\Omega}|\nabla u|^{2}{\rm d}x}{\left(\int_{\Omega}|u|^{2^{*}}{\rm d}x\right)^{\frac{2}{2^{*}}}}, \end{eqnarray}$

(1.4)

以及 $\mu^{*}$ 为如下常数

$\begin{eqnarray*} \mu^{*}= \left\{\begin{array}{ll} bS^{2},& N=4,\\ \displaystyle \left(\frac{2a}{4-2^{*}}\right)^{\frac{4-2^{*}}{2}}S^{\frac{2^{*}}{2}} \left(\frac{2b}{2^{*}-2}\right)^{\frac{2^{*}-2}{2}},& N\geq5. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

特别地, 当 $N=4,f(x)\equiv\lambda$ 时, 2014年文献[12]中研究了问题(1.1), 即

$\begin{eqnarray}\label{1.0} \left\{\begin{array}{ll} -\left(a+b\displaystyle\int_\Omega|\nabla u|^2{\rm d}x\right)\Delta u=\mu u^{3}+\lambda u^{q-1},&x\in\Omega,\\ u>0,&x\in\Omega,\\ u=0, &x\in\partial\Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(1.5)

令 $\lambda_{1}$ 为 $-\Delta$ 算子的第一个特征值, 作者利用变分方法获得如下结果.

定理1.1 假设 $q=2,a>0,b\geq0,0<\lambda<\lambda_{1},\mu>0$ , 则当且仅当 $\mu>bS^{2}$ 时问题(1.5)有一个正解.

定理1.2 假设 $2<q<4,b,\mu>0,bS^{2}<\mu<2bS^{2}$ 且 $\Omega$ 是一个严格星形区域, 当下列条件(C1), (C2), (C3)至少有一个成立时

(C1) $a>0$ 且 $\lambda>0$ 充分小.

(C2) $\lambda>0$ 且 $a>0$ 充分小.

(C3) $a>0,\lambda>0$ 且 $b<\frac{\mu}{S^{2}}$ 充分接近 $\frac{\mu}{S^{2}}$ .

则问题(1.5)有一个正解.

不难发现定理1.1和定理1.2中, 都要求 $\mu>bS^{2}.$ 一个自然的问题就是:当 $0<\mu<bS^{2}$ 时, 问题(1.5)是否也存在正解?当 $N\geq4$ 时, 本文给出了一个肯定答案:当 $N\geq4$ 以及 $0<\mu<\mu^{*}$ 时, 我们获得了问题(1.1)正解的存在性及多解性.众所周知, 临界指数问题主要的困难在于空间 $H_{0}^{1}(\Omega)\hookrightarrow L^{2^{*}}(\Omega)$ 不具备紧性, 这使得该问题的研究变得很复杂.一般情况下, 需要问题满足局部的紧性条件.值得指出的是:本文获得了关于临界指数问题的一个全局(PS)条件.据我们查阅文献显示, 在此之前这样的结果是没有的.借助于这重要的结论, 我们获得了问题(1.1)正解的存在性及多解性.

定义问题(1.1)对应的能量泛函 $I$ 为

$\begin{eqnarray*} I(u)=\frac{a}{2}\|u\|^2+\frac{b}{4}\|u\|^4-\frac{\mu}{2^{*}}\int_{\Omega}(u^{+})^{2^{*}}{\rm d}x-\frac{1}{q}\int_{\Omega}f(x)(u^{+})^{q}{\rm d}x, \forall u\in H_{0}^{1}(\Omega). \end{eqnarray*}$

显然, $I\in C^{1}(H_{0}^{1}(\Omega),{\Bbb R}).$ 众所周知, 问题(1.1)的解与泛函 $I$ 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 中的临界点是一一对应的.更精确地说, 我们称 $u\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 是问题(1.1)的弱解, 如果对任意的 $\varphi\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 都有如下等式成立

$\begin{eqnarray}\label{1.5} \left(a+b\|u\|^2\right)\int_{\Omega}(\nabla u,\nabla \varphi){\rm d}x-\mu\int_{\Omega}(u^{+})^{2^{*}-1}\varphi {\rm d}x-\int_{\Omega}f(x)(u^{+})^{q-1}\varphi {\rm d}x=0, \end{eqnarray}$

(1.6)

其中 $u^{\pm}=\max\{\pm u,0\}.$

我们的主要结果如下.

定理1.3 假设 $N\geq4,a,b>0,2<q<2^{*},0<\mu<\mu^{*}$ 并且 $f\in L^{\infty}(\Omega)$ 满足条件 $(f)$ , 则问题(1.1)至少有两个正解.

注1.1 一方面, 定理1.3补充了文献[12]中的相应结果.即, 取 $f(x)=\lambda,$ 我们只需要 $\lambda>0$ 充分大时条件 $(f)$ 就能被满足.而且我们还获得了高维空间中的Kirchhoff型问题正解的多重性.另一方面, 当 $a=1,b=0$ 时, 问题(1.1)就退化到经典的半线性椭圆问题.定理1.3可以看作文献[4]中相应的结果在Kirchhoff型问题中的推广.特别需要指出的是条件 $(f)$ 允许 $f$ 可以变号.

定理1.4 假设 $N\geq4,a,b>0,q=2,0<\mu<\mu^{*}$ 并且 $f\in L^{\infty}(\Omega)$ 满足条件 $(f)$ , 则问题(1.1)至少有一个正解.

注1.2 定理1.4是定理1.1的补充和完善.

在证明定理之前, 我们给出如下一个重要的引理.

引理2.1 假设 $a,b>0,2\leq q<2^{*},0<\mu<\mu^{*}$ 并且 $f\in L^{\infty}(\Omega)$ , 则泛函 $I$ 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 中满足(PS)条件.

证 对任意的 $c\in{\Bbb R}$ , 假设 $\{u_{n}\}\subset H_{0}^{1}(\Omega)$ 是泛函 $I$ 的一个(PS) $_{c}$ 序列, 即当 $n\rightarrow\infty$ 时有

$\begin{eqnarray}\label{2.1} I(u_{n})\rightarrow c, I'(u_{n})\rightarrow0. \end{eqnarray}$

(2.1)

由于 $2\leq q<2^{*},N\geq4$ 以及 $0<\mu<\mu^{*},$ 利用Hölder不等式以及(1.4)式, 我们有

$\begin{eqnarray}\label{2.2} I(u)&=&\displaystyle\frac{a}{2}\|u\|^2+\frac{b}{4}\|u\|^4-\frac{\mu}{2^{*}}\int_{\Omega}(u^{+})^{2^{*}}{\rm d}x-\frac{1}{q}\int_{\Omega}f(x)(u^{+})^{q}{\rm d}x\\ &\geq&\displaystyle\frac{a}{2}\|u\|^2+\frac{b}{4}\|u\|^4-\frac{\mu}{2^{*}S^{\frac{2^{*}}{2}}}\|u\|^{2^{*}} -\frac{1}{q}|f|_{\infty}|\Omega|^{\frac{2^{*}-q}{2^{*}}}S^{-\frac{q}{2}}\|u\|^{q}, \end{eqnarray}$

(2.2)

这就意味着泛函 $I$ 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 空间中是强制的、下方有界的.因此, $\{u_{n}\}$ 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 空间中是有界的.从而, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, $\{u_{n}\}$ 存在一个子列(仍记为 $\{u_{n}\}$ )使得存在一个 $u\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 满足

$\begin{eqnarray}\label{2.3} \left\{\begin{array}{ll} u_n\rightharpoonup u,& H_{0}^{1}(\Omega),\\ u_n\rightarrow u,& L^{s}(\Omega),1\leq s<2^{*},\\ u_n(x)\rightarrow u(x),& \mathrm{a.e. } \Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.3)

下面只需证明:在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 中, 当 $n\rightarrow\infty$ 时, $u_{n}\rightarrow u.$ 不妨记 $w_{n}=u_{n}-u,$ 我们只需证明:当 $n\rightarrow\infty$ 时, $\|w_{n}\|\rightarrow0$ .不失一般性, 假设 $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|w_{n}\|=l.$ 根据(2.3)式中的弱收敛, 可得

$\begin{eqnarray}\label{2.4} \|u_{n}\|^{2}=\|w_{n}\|^{2}+\|u\|^{2}+o(1), \end{eqnarray}$

(2.4)

$\begin{eqnarray}\label{2.5} \|u_n\|^{4}=\|w_{n}\|^{4}+\|u\|^{4}+2\|w_n\|^{2}\|u\|^{2}+o(1). \end{eqnarray}$

(2.5)

根据Br $\acute{\mathrm{e}}$ zis-Lieb引理(参见文献[14]), 可得

$\begin{eqnarray}\label{2.6} \int_{\Omega}(u_{n}^{+})^{2^{*}}{\rm d}x=\int_{\Omega}(w_{n}^{+})^{2^{*}}{\rm d}x+\int_{\Omega}(u^{+})^{2^{*}}{\rm d}x+o(1). \end{eqnarray}$

(2.6)

依据Vitali收敛定理(参见文献[13, p133]), 我们断言下式成立

$\begin{eqnarray}\label{2.7} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\int_{\Omega}f(x)(u_{n}^{+})^{q}{\rm d}x=\int_{\Omega}f(x)(u^{+})^{q}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.7)

事实上, 我们只需要证明 $\left\{\int_{\Omega}f(x)|u_n|^{q}{\rm d}x,n\in N\right\}$ 是等度绝对连续的.注意到 $\{u_{n}\}$ 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 上是有界的, 根据Sobolev嵌入定理可知, 存在一个常数 $C>0$ 使得 $|u_{n}|_{2^{*}}\leq C<\infty$ .对任意的 $\varepsilon>0$ , 存在一个 $\delta>0,$ 对任意的 $E\subset\Omega$ , 当 $meas(E)<\delta$ 时, 根据H $\ddot{\mathrm{o}}$ lder不等式可得

$\begin{eqnarray*} \displaystyle\int_{E}f(x)(u_{n}^{+})^{q}{\rm d}x\leq \int_{E}|f(x)|\,|u_{n}|^{q}{\rm d}x \leq \displaystyle|u_n|_{2^{*}}^{q}\left(\int_{E}|f|^{\frac{2^{*}}{2^{*}-q}}{\rm d}x\right)^{\frac{2^{*}-q}{2^{*}}} <\displaystyle C\varepsilon, \end{eqnarray*}$

其中最后一个不等式是从 $\int_{\Omega}|f|^{\frac{2^{*}}{2^{*}-q}}{\rm d}x$ 积分的绝对连续性获得的.因此, (2.7)式成立.根据(2.1)式, 我们有

$\begin{eqnarray}\label{2.8} \langle I'(u_{n}),u_{n}\rangle=a\|u_{n}\|^{2}+b\|u_{n}\|^{4}-\mu\int_{\Omega}(u_{n}^{+})^{2^{*}}{\rm d}x-\int_{\Omega}f(x)(u_{n}^{+})^{q}{\rm d}x=o(1), \end{eqnarray}$

(2.8)

$\begin{eqnarray}\label{2.9} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\langle I'(u_{n}),u\rangle=a\|u\|^{2}+b\|u\|^{4}+bl^{2}\|u\|^{2}-\mu\int_{\Omega}(u^{+})^{2^{*}}{\rm d}x-\int_{\Omega}f(x)(u^{+})^{q}{\rm d}x=0. \end{eqnarray}$

(2.9)

结合(2.4)-(2.8)式, 可得

$\begin{eqnarray}\label{2.10} &&\displaystyle a\|u\|^{2}+a\|w_{n}\|^{2}+b\|u\|^{4}+b\|w_{n}\|^{4}+2b\|w_{n}\|^{2}\|u\|^{2}-\mu\int_{\Omega}(u^{+})^{2^{*}}{\rm d}x\\ &&\displaystyle-\mu\int_{\Omega}(w_{n}^{+})^{2^{*}}{\rm d}x-\int_{\Omega}f(x)(u^{+})^{q}{\rm d}x=o(1). \end{eqnarray}$

(2.10)

联立(2.9)式和(2.10)式, 可以推得

$\begin{eqnarray}\label{2.11} a\|w_{n}\|^{2}+b\|w_{n}\|^{4}+b\|w_{n}\|^{2}\|u\|^{2}-\mu\int_{\Omega}(w_{n}^{+})^{2^{*}}{\rm d}x=o(1). \end{eqnarray}$

(2.11)

根据(1.4)式, 可得

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}(w_{n}^{+})^{2^{*}}{\rm d}x\leq\int_{\Omega}|w_{n}|^{2^{*}}{\rm d}x\leq S^{-\frac{2^{*}}{2}}\|w_{n}\|^{2^{*}}. \end{eqnarray}$

从而, 结合(2.11)式, 可得

$\begin{eqnarray}al^{2}+bl^{2}\|u\|^{2}+bl^{4}\leq\mu S^{-\frac{2^{*}}{2}}l^{2^{*}},\end{eqnarray}$

这就意味着

$\begin{eqnarray}\label{2.12} al^{2}+bl^{4}\leq\mu S^{-\frac{2^{*}}{2}}l^{2^{*}}. \end{eqnarray}$

当 $N=4$ 以及 $0<\mu<\mu^{*}=bS^{2}$ 时, 根据(2.12)式可得, $l=0.$ 当 $N\geq5$ 时, 对(2.12)式右边利用Young不等式, 可得

$\begin{eqnarray*} al^{2}+bl^{4}&\leq&\displaystyle\frac{4-2^{*}}{2}\bigg[\frac{\mu}{S^{\frac{2^{*}}{2}}}\left(\frac{2b}{2^{*}-2}\right)^{-\frac{2^{*}-2}{2}}l^{4-2^{*}}\bigg] ^{\frac{2}{4-2^{*}}} +\frac{2^{*}-2}{2}\bigg[\left(\frac{2b}{2^{*}-2}\right)^{\frac{2^{*}-2}{2}}l^{2(2^{*}-2)}\bigg]^{\frac{2}{2^{*}-2}}\\ &=&\displaystyle\frac{4-2^{*}}{2}\bigg[\frac{\mu}{S^{\frac{2^{*}}{2}}}\left(\frac{2b}{2^{*}-2}\right)^{-\frac{2^{*}-2}{2}}\bigg] ^{\frac{2}{4-2^{*}}}l^{2}+bl^{4}, \end{eqnarray*}$

即

$\begin{eqnarray}\label{2.13} \left\{a-\frac{4-2^{*}}{2}\bigg[\frac{\mu}{S^{\frac{2^{*}}{2}}}\left(\frac{2b}{2^{*}-2}\right)^{-\frac{2^{*}-2}{2}}\bigg] ^{\frac{2}{4-2^{*}}}\right\}l^{2}\leq0. \end{eqnarray}$

因为 $0<\mu<\mu^{*},$ 从而根据(2.13)式, 我们可得 $l=0.$ 因此, 在 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 空间中当 $n\rightarrow\infty$ 时有 $u_{n}\rightarrow u$ .引理2.1证毕.

定理1.3的证明 令 $0<\mu<\mu^{*}.$ 我们分以下三步来完成定理1.3的证明.

第一步, 证明问题(1.1)存在一个非零非负的全局极小解.根据(2.2)式可知, 这个极小值 $m=\inf\limits_{u\in H_{0}^{1}(\Omega)}I(u)$ 是有定义的.而且我们可以断言: $m<0.$ 事实上, 根据 $(f)$ 条件, 选取 $\tilde{u}=\frac{u_{0}}{\|u_{0}\|}$ , 都有 $I(\tilde{u})<0.$ 根据引理2.1以及文献[11]中的定理4.4, 存在一个 $u_{*}\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 使得 $I(u_{*})=m<0.$ 因此, $u_{*}$ 是问题(1.1)的非零解, 即 $u_{*}$ 满足(1.6)式.特别地, 在(1.6)式中取 $\varphi=u_{*}^{-}$ , 我们有

$\begin{eqnarray}\left(a+b\|u_{*}\|^2\right)\|u_{*}^{-}\|=0,\end{eqnarray}$

这就意味着 $u_{*}^{-}\equiv0.$ 从而, $u_{*}$ 是问题(1.1)的非零非负解.

第二步, 证明问题(1.1)存在一个非零非负的山路解.由于 $2<q<2^{*},$ 从而我们可得 $0$ 点是泛函 $I$ 的一个局部极小值点.定义 $c$ 如下

$\begin{eqnarray*} c=\displaystyle\inf\limits_{\gamma\in\Gamma}\max\limits_{t\in[0, 1]}I(\gamma(t)), \end{eqnarray*}$

其中 $\Gamma=\left\{\gamma\in C([0, 1], H_{0}^{1}(\Omega)): \gamma(0)=0,\gamma(1)=u_{*}\right\}.$ 显然有 $c>0$ .根据引理2.1, 可得泛函 $I$ 在空间 $H_{0}^{1}(\Omega)$ 满足山路引理的条件.应用文献[2]中的定理2.1, 可得存在 $u_{**}\in H_{0}^{1}(\Omega)$ 使得 $I(u_{**})=c>0$ 且 $I'(u_{**})=0.$ 因此, $u_{**}$ 是问题(1.1)的非零解, 即 $u_{**}$ 满足(1.6)式.类似于第一步, 我们可得 $u_{**}$ 问题(1.1)的非零非负解.

第三步, 证明 $u_{*},u_{**}$ 是正解.由于 $f\in L^{\infty}(\Omega),$ 根据弱解的正则性讨论可得, $u_{*},u_{**}\in W^{2,s}(\Omega)(1\leq s<\infty).$ 再根据Sobolev嵌入定理可得, $u_{*},u_{**}\in C^{1,\alpha}(\overline{\Omega})(0<\alpha<1)$ .因为 $u_{*},u_{**}$ 是问题(1.1)的非零非负解, 从而有

$\begin{eqnarray*} -\triangle u_{*}&=&\displaystyle\frac{\mu u_{*}^{2^{*}-1}+f(x)u_{*}^{q}}{a+b\|u_*\|^{2}} \geq \displaystyle\frac{f(x)u_{*}^{q}}{a+b\|u_*\|^{2}} =\displaystyle\frac{f(x)u_{*}^{q-1}}{a+b\|u_*\|^{2}}u_{*} \geq \displaystyle-\frac{f^{-}u_{*}^{q-1}}{a+b\|u_*\|^{2}}u_{*} \geq \displaystyle-Cu_{*}, \end{eqnarray*}$

其中 $f^{\pm}=\max\{\pm f,0\},f=f^{+}-f^{-},$ 且 $C>0$ 为常数.从而根据强极大值原理可得, 在 $\Omega$ 中有 $u_{*}(x)>0.$ 类似地, 在 $\Omega$ 中有 $u_{**}(x)>0.$ 因此, $u_{*},u_{**}$ 是正解.定理1.3证毕.

定理1.4的证明 类似于定理1.3中的第一步和第三步的证明, 很容易得到定理1.4的结论.定理1.4证毕.