本文在齐次Dirichlet边界条件下讨论如下食物链模型

$\begin{eqnarray}\label{pde1} \left\{\begin{array}{ll}-\Delta u=u(r_{1}-u-a_{1}v),&x\in\Omega,\\ -\Delta \displaystyle v=v\Big(r_{2}-v+\frac{a_{2}u}{(1+cu)(1+dw)}\Big),&x\in\Omega,\\ \displaystyle -\Delta w=w\Big(r_{3}-\frac{a_{3}w}{1+ev}\Big),&x\in\Omega,\\ u=v=w=0,&x\in\partial\Omega,\end{array}\right. \end{eqnarray}$

(1.1)

其中 $\Omega$ 是 ${\Bbb R}^{N}$ 中带有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域, $\!\!u,v$ 和 $w$ 分别表示食饵、第一个捕食者和第二个捕食者的浓度. $\!\!r_{1},r_{2}$ 和 $r_{3}$ 分别是 $u,v$ 和 $w$ 的最大增长率. $\!\!a_{1}$ 表示捕食者捕获食饵的转化率. $\!\!a_{2},c$ 和 $d$ 分别代表了捕食者的捕获率、捕食者对食饵的处理时间和捕食者间的干扰度.系统(1.1)中参数 $c,d,e,a_{i},r_{i}(i=1,2,3)$ 都是正常数. $\!\!a_{2}u/[(1+cu)(1+dw)]$ 是Crowley-Martin (简记C-M)反应函数, 它认为无论某个捕食者目前是否寻找或处理食饵, 捕食者间的干扰总存在, 这是比其它反应函数的优越之处, 也更加符合很多生物现象.对于C-M反应函数更多的生物意义及背景, 感兴趣的读者可见文献[1-7].

两物种捕食-食饵模型一直以来被许多学者所关注^[8-12].近年来, 三物种捕食-食饵模型的动力学行为也得到了一些研究, 见文献[13-21].文献[13]利用全局分歧理论得到了系统正解的局部唯一性和稳定性, 文献[14, 16]讨论了抛物系统的渐近行为以及物种增长率远离 $-\Delta$ 在 $\Omega$ 上关于齐次Dirichlet边界条件下的主特征值 $\lambda_{1}$ 时正平衡态解的唯一性和稳定性, 文献[20]利用扰动理论、分歧理论和度理论分析了系统正解的存在性和多重性.然而, 当物种增长率接近主特征值 $\lambda_{1}$ 时模型的动力学分析非常复杂, 因此目前这种情况下对正解唯一性和稳定性的研究工作甚少.鉴于此, 本文主要探讨食饵 $u$ 的增长率 $r_{1}$ 接近主特征值 $\lambda_{1}$ 时参数 $c$ 对系统(1.1)正解的影响, 从而得到系统(1.1)正解的唯一性和稳定性条件.

这节最后给出一些基础知识.令 $\lambda_{1}(q)$ 是 $-\Delta+q(x)$ 在 $\Omega$ 上关于齐次Dirichlet边界条件下的主特征值.记主特征值 $\lambda_{1}$ 所对应的特征函数为 $\varphi_{1}$ 且 $\|\varphi_{1}\|_{\infty}=1$ .

众所周知, 问题

$\begin{eqnarray}\begin{array}{ll} -\Delta u=u(r-au),x\in\Omega;\ \ u=0,x\in\partial\Omega \end{array}\end{eqnarray}$

(1.2)

当 $r>\lambda_{1}$ 时有唯一正解, 记为 $\Theta_{(r,a)}$ .而且 $\Theta_{(r,a)}<r/a$ .特别地, 记 $\Theta_{(r,1)}=\Theta_{r}$ .

显然系统(1.1)可能有如下四类形式的非负解

(ⅰ) 平凡解 $(0,0,0)$ ;

(ⅱ)弱半平凡解 $(u,0,0),(0,v,0)$ 和 $(0,0,w)$ ;

(ⅲ)强半平凡解 $(u,v,0),(0,v,w)$ 和 $(u,0,w)$ ;

(ⅳ)正解 $(u,v,w)$ .

本小节利用度理论给出系统(1.1)正解存在的条件.易看出当 $r_{1}>\lambda_{1},r_{2}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ 时, 系统(1.1)分别存在弱半平凡解 $(\Theta_{r_{1}},0,0),(0,\Theta_{r_{2}},0),(0,0,\hat{w})$ , 这里 $\hat{w}=\Theta_{(r_{3},a_{3})}.$ 设 $r_{2}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ , 记方程

$\begin{eqnarray} -\Delta w=w\Big(r_{3}-\frac{a_{3}w}{1+e\Theta_{r_{2}}}\Big),\ x\in\Omega;\ \ w=0,x\in\partial\Omega \end{eqnarray}$

的唯一正解为 $\tilde{w}$ .令 $\bar{r}_{2}=\lambda_{1}(-\frac{a_{2}\Theta_{r_{1}}}{(1+c\Theta_{r_{1}})(1+d\hat{w})})$ .

首先给出系统(1.1)正解存在的必要条件.设 $(u,v,w)$ 是系统(1.1)的正解, 则根据特征值的比较原理知 $r_{1}=\lambda_{1}(u+a_{1}v)>\lambda_{1}$ .同理得 $r_{2}>\bar{r}_{2},r_{3}>\lambda_{1}$ .于是有

引理1 如果 $(u,v,w)$ 是系统(1.1)的正解, 则 $r_{1}>\lambda_{1},r_{2}>\bar{r}_{2},r_{3}>\lambda_{1}$ .

接着利用上下解方法给出系统(1.1)正解的先验估计.证明方法是基本的, 故我们不予以证明.

引理2 系统(1.1)的任意正解 $(u,v,w)$ 满足

$\begin{eqnarray}u\leq\Theta_{r_{1}}<r_{1},v\leq\hat{v}<Q_{1},\hat{w}\leq w<Q_{2}.\end{eqnarray}$

进而, 若 $r_{2}>\lambda_{1}$ , 则 $\Theta_{r_{2}}\leq v$ , 这里 $Q_{1}=r_{2}+a_{2}r_{1},Q_{2}=\frac{r_{3}(1+eQ_{1})}{a_{3}},$ $\hat{v}$ 是如下问题的唯一正解

$\begin{eqnarray} -\Delta v=v\Big(r_{2}-v+\frac{a_{2}\Theta_{r_{1}}}{1+c\Theta_{r_{1}}}\Big), \ x\in\Omega;\ \ v=0,x\in\partial\Omega. \end{eqnarray}$

其次, 类似文献[2, 引理2.5]的证明给出如下表明 $r_{2}$ 有界的结果.

引理3 如果 $(u,v,w)$ 是系统(1.1)的正解且 $r_{2}>\lambda_{1}$ , 则存在正常数 $M$ 使得 $r_{2}\leq M$ .

其次, 为了利用度理论引入如下空间

$\begin{eqnarray}\begin{array}{lll}C_{0}(\overline{\Omega})=\{u\in C(\overline{\Omega}):u(x)=0,x\in\partial\Omega\};K=\{u\in C(\overline{\Omega}):u(x)\geq0,x\in\overline{\Omega}\}; \\X=C_{0}(\overline{\Omega})\times C_{0}(\overline{\Omega})\times C_{0}(\overline{\Omega}); W=K\times K\times K; \\D=\{(u,v,w)\in W: u< r_{1}+1,v< Q_{1}+1,w<Q_{2}+1\}.\end{array}\end{eqnarray}$

定义算子 ${\rm A}_{\tau}:X\rightarrow X$ 为

$\begin{eqnarray}{\rm A}_{\tau}=(-\Delta+q)^{-1}\left( \begin{array}{c} \tau u(r_{1}-u-a_{1}v)+qu \\ \displaystyle \tau v\Big(r_{2}-v+\frac{a_{2}u}{(1+cu)(1+dw)}\Big)+qv \\ \displaystyle \tau w\Big(r_{3}-\frac{a_{3}w}{1+ev}\Big)+qw \end{array} \right), \end{eqnarray}$

其中 $ \tau\in[0, 1],q$ 为充分大的正常数.显然 ${\rm A}_{\tau}$ 是紧算子.记 ${\rm A}={\rm A}_{1}$ , 则易知 ${\rm A}:D\rightarrow W$ 是连续可微算子.显然, 系统(1.1)有正解当且仅当 ${\rm A}$ 在 $D$ 中有正不动点.

利用Dancer指数定理^[22]可得如下引理, 由于其计算过程繁琐, 故在此省略其证明.

引理4 (ⅰ)设 $r_{1}\neq\lambda_{1},r_{2}\neq\lambda_{1},r_{3}\neq\lambda_{1}.$ 若 $r_{1}>\lambda_{1}$ 或 $r_{2}>\lambda_{1}$ 或 $r_{3}>\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,0,0))=0$ ; 若 $r_{1}<\lambda_{1}, r_{2}<\lambda_{1}$ 且 $r_{3}<\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,0,0))=1$ .

(ⅱ) ${\rm index}_{W}({\rm A},D)=1$ .

(ⅲ)设 $r_{1}>\lambda_{1},r_{2}\neq\lambda_{1}(-\frac{a_{2}\Theta_{r_{1}}}{1+c\Theta_{r_{1}}}),r_{3}\neq\lambda_{1}$ .若 $r_{2}>\lambda_{1}(-\frac{a_{2}\Theta_{r_{1}}}{1+c\Theta_{r_{1}}})$ 或 $r_{3}>\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},$ $(\Theta_{r_{1}},0,0))=0$ ; 若 $r_{2}<\lambda_{1}(-\frac{a_{2}\Theta_{r_{1}}}{1+c\Theta_{r_{1}}})$ 且 $r_{3}<\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(\Theta_{r_{1}},0,0))=1$ .

(ⅳ)设 $r_{2}>\lambda_{1},r_{1}\neq\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}}),r_{3}\neq\lambda_{1}$ .若 $r_{1}>\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}})$ 或 $r_{3}>\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0, \Theta_{r_{2}},0))=0$ ; 若 $r_{1}<\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}})$ 且 $r_{3}<\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,\Theta_{r_{2}},0))=1$ .

(ⅴ) 设 $r_{3}>\lambda_{1},r_{1}\neq\lambda_{1},r_{2}\neq\lambda_{1}$ .若 $r_{1}>\lambda_{1}$ 或 $r_{2}>\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,0,\hat{w}))=0$ ; 若 $r_{1}<\lambda_{1}$ 且 $r_{2}<\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,0,\hat{w}))=1$ .

(ⅵ)设 $r_{1}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ .若 $r_{2}>\bar{r}_{2}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(\Theta_{r_{1}},0,\hat{w}))=0$ ; 若 $r_{2}<\bar{r}_{2}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(\Theta_{r_{1}},0,\hat{w}))=1$ .

(ⅶ)设 $r_{2}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ .若 $r_{1}>\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}})$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,\Theta_{r_{2}},\tilde{w}))=0$ ; 若 $r_{1}<\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}})$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},(0,\Theta_{r_{2}},\tilde{w}))=1$ .

设 $M_{1}=\{u\in C(\overline{\Omega}):u(x)<r_{1}+1\},M_{2}=\{v\in C(\overline{\Omega}):v(x)<Q_{1}+1\},S=\{(\bar{u},\bar{v},0)\in M_{1}\oplus M_{2} \oplus \{0\}\}$ , 这里 $(\bar{u},\bar{v})$ 是如下问题

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} -\Delta u=u(r_{1}-u-a_{1}v),&x\in\Omega,\\ \displaystyle -\Delta v=v\Big(r_{2}-v+\frac{a_{2}u}{1+cu}\Big),&x\in\Omega,\\ u=v=0,&x\in\partial\Omega \end{array}\right. \end{eqnarray}$

的正解.类似文献[21, 引理4.11]的证明可得如下引理.

引理5 设 $r_{1}>\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}}),r_{2}>\lambda_{1}$ 或 $r_{1}>\lambda_{1},\lambda_{1}(-\frac{a_{2}\Theta_{r_{1}}}{1+c\Theta_{r_{1}}})<r_{2}<\lambda_{1}$ .若 $r_{3}>\lambda_{1}$ , 则 ${\rm index}_{W}({\rm A},S)=0$ .

最后由度的可加性得系统(1.1)正解存在的充分条件.

定理1 (ⅰ)如果 $r_{1}>\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{r_{2}}),r_{2}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ , 则系统(1.1)至少存在一个正解;

(ⅱ)如果 $r_{1}>\lambda_{1},\bar{r}_{2}<r_{2}<\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ , 则系统(1.1)至少存在一个正解.

本节将重点讨论当 $r_{1}$ 接近于 $\lambda_{1}$ 且 $r_{2}\leq\lambda_{1}$ 时系统(1.1)正解的唯一性和稳定性.首先给出唯一性引理.

引理6 设 $r_{1}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1},\hat{r}_{2}>\lambda_{1}$ 定义为: $r_{1}=\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{\hat{r}_{2}})$ .如果 $r_{2}\in(\bar{r}_{2},\hat{r}_{2})$ 且系统(1.1)的任意正解非退化且线性稳定, 则系统(1.1)存在唯一正解.

证 只需要证明唯一性.由 $r_{1}>\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1},r_{2}\in(\bar{r}_{2},\hat{r}_{2})$ 可证系统(1.1)的平凡解和半平凡解都远离正解.又因为系统(1.1)的任意正解非退化, 所以根据线性算子的紧性理论可知系统(1.1)最多有有限个正解.记为 $\{(u_{i},v_{i},w_{i}):i=1,2,\cdots,n\}$ .又根据文献[22, 定理1]通过计算得 ${\rm index}_{W}({\rm A},(u_{i},v_{i},w_{i}))=1$ .另外, 在已知条件下由引理4可知算子 ${\rm A}$ 在系统(1.1)的平凡解和所有半平凡解处的指数为0.所以根据度的可加性得

$\begin{eqnarray}1={\rm index}_{W}({\rm A},D)=\mathop{\sum}\limits_{1\leq i\leq n}{\rm index}_{W}({\rm A},(u_{i},v_{i},w_{i}))+0=n.\end{eqnarray}$

这说明系统(1.1)存在唯一非退化且线性稳定的正解.

利用引理1和全局分歧理论可得如下引理.证明是基本的, 因此在此省略.

引理7 (ⅰ)设 $r_{3}>\lambda_{1}$ .若 $r_{2}<\lambda_{1}(-\frac{a_{2}}{c(1+d\hat{w})})$ , 则系统(1.1)无正解;

(ⅱ)设 $r_{3}>\lambda_{1}$ .若 $\lambda_{1}(-\frac{a_{2}}{c(1+d\hat{w})})<r_{2}\leq\lambda_{1}$ , 则存在唯一常数 $\bar{r}_{1}>\lambda_{1}$ , 当 $r_{1}>\bar{r}_{1}$ 时系统(1.1)至少存在一个正解; 当 $r_{1}\leq\bar{r}_{1}$ 时系统(1.1)无正解, 这里 $\bar{r}_{1}$ 由 $r_{2}=\lambda_{1}(-\frac{a_{2}\Theta_{\bar{r}_{1}}}{(1+c\Theta_{\bar{r}_{1}})(1+d\hat{w})})$ 唯一确定.

下面给出对于任意 $c\geq0$ , 系统(1.1)正解的唯一性和稳定性条件.

定理2 设 $r_{2}\leq\lambda_{1},r_{3}>\lambda_{1}$ .则存在任意小的 $\varepsilon>0$ , 对于任意 $\lambda_{1}<r_{1}\leq\lambda_{1}+\varepsilon$ 和 $c\geq0$ , 系统(1.1)至多存在一个正解.而且正解(如果存在)是非退化和线性稳定的.

证 在定理的条件下, 根据引理6和引理7只需证明系统(1.1)的任意正解非退化且线性稳定.采用反证法.假设存在 $r_{1,i}\rightarrow\lambda^{+}_{1},c_{i}\rightarrow c\geq0$ 和 $r_{2,i}\leq\lambda_{1}$ 使得系统(1.1)带有 $(r_{1},c,r_{2})=(r_{1,i},c_{i},r_{2,i})$ 的正解 $(u_{i},v_{i},w_{i})$ 退化或不稳定, 即存在 ${\rm Re}(\nu_{i})\leq0$ 的 $\nu_{i}$ 以及满足 $\|\xi_{i}\|^{2}_{L^{2}}+\|\omega_{i}\|^{2}_{L^{2}}+\|\chi_{i}\|^{2}_{L^{2}}=1$ 的 $(\xi_{i},\omega_{i},\chi_{i})\neq(0,0,0)$ 使得

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{lll}-\Delta \xi_{i}-(r_{1,i}-2u_{i}-a_{1}v_{i})\xi_{i}+a_{1}u_{i}\omega_{i}=\nu_{i}\xi_{i},&x\in\Omega,\\ \displaystyle -\Delta \omega_{i}- \Big[r_{2,i}-2v_{i}+\frac{a_{2}u_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})})\Big]\omega_{i}-\frac{a_{2}v_{i}}{(1+c_{i}u_{i})^{2}(1+dw_{i})}\xi_{i} \\ \displaystyle\quad +\frac{a_{2}du_{i}v_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})^{2}}\chi_{i}=\nu_{i}\omega_{i},&x\in\Omega,\\ \displaystyle -\Delta \chi_{i}-\Big(r_{3}-\frac{2a_{3}w_{i}}{1+ev_{i}}\Big)\chi_{i}-\frac{a_{3}ew_{i}^{2}}{(1+ev_{i})^{2}}\omega_{i}=\nu_{i}\chi_{i},&x\in\Omega,\\ \xi_{i}=\omega_{i}=\chi_{i}=0,&x\in\partial\Omega, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.1)

因为 $0<u_{i}\leq\Theta_{r_{1,i}}$ , 所以在 $L^{\infty}$ 中 $u_{i}\rightarrow0$ .根据系统(1.1)中 $v_{i}$ 的方程易有

$\begin{eqnarray}\begin{array}{lll} \Theta_{r_{2,i}}\leq v_{i}\leq \Theta_{r_{2,i}+a_{2}\|\Theta_{r_{1,i}}\|_{\infty}}, \end{array}\end{eqnarray}$

(3.2)

由 $v_{i}\not\equiv0$ 得 $r_{2,i}+a_{2}\|\Theta_{r_{1,i}}\|_{\infty}>\lambda_{1}$ .于是 $\lambda_{1}-a_{2}\|\Theta_{r_{1,i}}\|_{\infty}<r_{2,i}\leq\lambda_{1}$ .又因为 $r_{1,i}\rightarrow\lambda^{+}_{1}$ , 所以 $\|\Theta_{r_{1,i}}\|_{\infty}\rightarrow0$ .故 $r_{2,i}\rightarrow\lambda_{1}$ .由(3.2)式知在 $L^{\infty}$ 中 $v_{i}\rightarrow0$ .同理由 $w_{i}$ 的方程有 $\hat{w}\leq w_{i}\leq\Theta_{(r_{3},\frac{a_{3}}{1+e\|v_{i}\|_{\infty}})}$ , 故 $w_{i}\rightarrow\hat{w}$ .令 $U_{n}=\frac{u_{i}}{\|u_{i}\|_{\infty}},$ 则

$\begin{eqnarray} -\Delta U_{n}=U_{n}(r_{1,i}-u_{i}-a_{1}v_{i}),x\in\Omega;\ \ U_{n}=0,x\in\partial\Omega . \end{eqnarray}$

根据 $L^{p}$ 估计和Sobolev嵌入定理可设 $U_{n}\rightarrow\bar{U}\geq0,\not\equiv0$ .又由Harnack不等式得 $\bar{U}>0,x\in\Omega$ .上式取极限得在 $C^{1}$ 中 $\frac{u_{i}}{\|u_{i}\|_{\infty}}\rightarrow\varphi_{1}$ .同理可得 $\frac{v_{i}}{\|v_{i}\|_{\infty}}\rightarrow\varphi_{1}$ .因此可令

$\begin{eqnarray} u_{i}=s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}(\varphi_{1}+p_{i}),v_{i}=s_{i}{\rm sin}\alpha_{i}(\varphi_{1}+q_{i}) ,\end{eqnarray}$

其中在 $C^{1}$ 中 $p_{i},q_{i}\rightarrow0,(p_{i},\varphi_{1})_{2}=(q_{i},\varphi_{1})_{2}=0,\alpha_{i}\in(0,\frac{\pi}{2})$ 且 $s_{i}=\sqrt{\frac{\|u_{i}\|^{2}_{\infty}}{\|\varphi_{1}+p_{i}\|^{2}_{\infty}}+\frac{\|v_{i}\|^{2}_{\infty}}{\|\varphi_{1}+q_{i}\|^{2}_{\infty}}}\rightarrow0^{+}$ .记 $\bar{\xi}_{i},\bar{\omega}_{i}$ 和 $\bar{\chi}_{i}$ 分别是 $\xi_{i},\omega_{i}$ 和 $\chi_{i}$ 的共轭算子, 则由(3.1)式得

$\begin{eqnarray*} \nu_{i}&=&\int_{\Omega}|\nabla\xi_{i}|^{2}{\rm d}x-\int_{\Omega}(r_{1,i}-2u_{i}-a_{1}v_{i})|\xi_{i}|^{2}{\rm d}x+\int_{\Omega} a_{1}u_{i}\omega_{i}\bar{\xi}_{i}{\rm d}x\\ &&+\int_{\Omega}|\nabla\omega_{i}|^{2}{\rm d}x -\int_{\Omega}\Big[r_{2,i}-2v_{i}+\frac{a_{2}u_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})}\Big]| \omega_{i}|^{2}{\rm d}x\\ &&-\int_{\Omega}\frac{a_{2}v_{i}}{(1+c_{i}u_{i})^{2}(1+dw_{i})}\xi_{i}\bar{\omega}_{i}{\rm d}x +\int_{\Omega}\frac{a_{2}du_{i}v_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})^{2}}\chi_{i} \bar{\omega}_{i}{\rm d}x\\ &&+\int_{\Omega}|\nabla\chi_{i}|^{2}{\rm d}x -\int_{\Omega}\Big(r_{3}-\frac{2a_{3}w_{i}}{1+ev_{i}}\Big)|\chi_{i}|^{2}{\rm d}x-\int_{\Omega}\frac{a_{3}ew_{i}^{2}}{(1+ev_{i})^{2}}\omega_{i}\bar{\chi}_{i}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

因为 $u_{i},v_{i}$ 和 $w_{i}$ 有界, 所以 ${\rm Re}(\nu_{i})$ 和 ${\rm Im}(\nu_{i})$ 有界, 故 $\nu_{i}$ 有界.设 $\nu_{i}\rightarrow\nu$ , 则 ${\rm Re}(\nu)\leq0$ .又由 $L^{p}$ 估计可知 $\xi_{i},\omega_{i}$ 和 $\chi_{i}$ 有界, 设 $\xi_{i}\rightarrow\xi,\omega_{i}\rightarrow\omega,\chi_{i}\rightarrow\chi$ .对(3.1)式取极限得

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{lll}-\Delta \xi-\lambda_{1}\xi=\nu\xi,&x\in\Omega,\\[2pt] -\Delta\omega-\lambda_{1}\omega=\nu\omega,&x\in\Omega,\\[1pt] -\Delta\chi-(r_{3}-2a_{3}\hat{w})\chi-a_{3}e\hat{w}^{2}\omega=\nu\chi,&x\in\Omega,\\[2pt] \xi=\omega=\chi=0,&x\in\partial\Omega. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

则 $\nu$ 是实的.若 $\omega\equiv0$ , 则 $\nu\geq\lambda_{1}(-r_{3}+2a_{3}\hat{w})>0$ , 矛盾.因此 $\omega\not\equiv0$ .则 $\nu=0$ 且 $\xi=k_{1}\varphi_{1},\omega=k_{2}\varphi_{1},\chi=(-\Delta-(r_{3}-2a_{3}\hat{w}))^{-1}(a_{3}e\hat{w}^{2}k_{2}\varphi_{1})$ , 此处 $k_{1},k_{2}$ 都是实数且 $(k_{1},k_{2})\neq(0,0)$ .由Kato's不等式和(3.1)式的第二个式子得

$\begin{eqnarray*}-\Delta|\omega_{i}| &\leq&-{\rm Re}\Big(\frac{\bar{\omega}_{i}}{|\omega_{i}|}\Delta\omega_{i}\Big)\\ &\leq& \Big[r_{2,i}-2v_{i}+\frac{a_{2}u_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})}\Big]|\omega_{i}|+{\rm Re}(\nu_{i})|\omega_{i}|+\frac{a_{2}v_{i}}{(1+c_{i}u_{i})^{2}(1+dw_{i})}|\xi_{i}|. \end{eqnarray*}$

上式乘以 $v_{i}$ 并在 $\Omega$ 上积分得

$\begin{eqnarray*}-\int_{\Omega}\Delta|\omega_{i}|v_{i}{\rm d}x &=&\int_{\Omega}\Big[r_{2,i}-v_{i}+\frac{a_{2}u_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})}\Big]|\omega_{i}|v_{i}{\rm d}x\\ &\leq&\int_{\Omega}\Big[r_{2,i}-2v_{i}+\frac{a_{2}u_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})} \Big]|\omega_{i}|v_{i}{\rm d}x\\ &&+\int_{\Omega}{\rm Re}(\nu_{i})|\omega_{i}|v_{i}{\rm d}x +\int_{\Omega}a_{2}v^{2}_{i}|\xi_{i}|{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

因此

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}v^{2}_{i}|\omega_{i}|{\rm d}x\leq a_{2}\int_{\Omega}v^{2}_{i}|\xi_{i}|{\rm d}x+{\rm Re}(\nu_{i})\int_{\Omega}|\omega_{i}|v_{i}{\rm d}x\leq a_{2}\int_{\Omega}v^{2}_{i}|\xi_{i}|{\rm d}x, \end{eqnarray}$

即

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}\Big(\frac{v_{i}}{\|v_{i}\|_{\infty}}\Big)^{2}|\omega_{i}|{\rm d}x\leq a_{2}\int_{\Omega}\Big(\frac{v_{i}}{\|v_{i}\|_{\infty}}\Big)^{2}|\xi_{i}|{\rm d}x. \end{eqnarray}$

上式取极限有 $\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}|\omega|{\rm d}x\leq a_{2}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}|\xi|{\rm d}x$ .故 $k_{1}\neq0$ 且 $|k_{2}|\leq a_{2}|k_{1}|$ .令 $k_{1}=1$ , 则 $\xi_{i}\rightarrow\varphi_{1},\omega_{i}\rightarrow h\varphi_{1},\chi_{i}\rightarrow(-\Delta-(r_{3}-2a_{3}\hat{w}))^{-1}(a_{3}e\hat{w}^{2}h\varphi_{1})$ , 这里 $|h|\leq a_{2}$ .于是可假设 $\xi_{i}=\varphi_{1}+\hat{\xi}_{i},\omega_{i}=h_{i}(\varphi_{1}+\hat{\omega}_{i})$ , 其中 $(\varphi_{1},\hat{\xi}_{i})_{2}=(\varphi_{1},\hat{\omega}_{i})_{2}=0,\hat{\xi}_{i}\rightarrow0,\hat{\omega}_{i}\rightarrow0,h_{i}\rightarrow h$ .给(3.1)式的第一个方程乘以 $\varphi_{1}$ , 在 $\Omega$ 上积分, 并结合 $\xi_{i}=\varphi_{1}+\hat{\xi}_{i},\omega_{i}=h_{i}(\varphi_{1}+\hat{\omega}_{i})$ 得

$\begin{eqnarray}\lambda_{1}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x=r_{1,i}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x+\nu_{i}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x-\int_{\Omega}(2u_{i}+a_{1}v_{i})\xi_{i}\varphi_{1}{\rm d}x -\int_{\Omega}a_{1}u_{i}\omega_{i}\varphi_{1}{\rm d}x, \end{eqnarray}$

即

$\begin{eqnarray}(r_{1,i}-\lambda_{1})\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x+\nu_{i}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x=\int_{\Omega}(2u_{i}+a_{1}v_{i})\xi_{i}\varphi_{1}{\rm d}x+\int_{\Omega}a_{1}u_{i}\omega_{i}\varphi_{1}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

设 $\alpha_{i}\rightarrow\alpha\in[0,\frac{\pi}{2}]$ .将 $u_{i}=s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}(\varphi_{1}+p_{i}),v_{i}=s_{i}{\rm sin}\alpha_{i}(\varphi_{1}+q_{i})$ 带入上式, 两边除以 $s_{i}$ 并取极限, 得

$\begin{eqnarray} \mathop{\lim}\limits_{i\rightarrow\infty} \Big(\frac{r_{1,i}-\lambda_{1}}{s_{i}}+\frac{\nu_{i}}{s_{i}}\Big)\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x =2{\rm cos}\alpha\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x+a_{1}{\rm sin}\alpha\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x+a_{1}h{\rm cos}\alpha\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x.\end{eqnarray}$

(3.3)

给 $u_{i}$ 的方程除以 $s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}$ , 再乘以 $\varphi_{1}$ 并在 $\Omega$ 上积分, 得

$\begin{eqnarray}\lambda_{1}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x=r_{1,i}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x-\int_{\Omega}(\varphi_{1}+p_{i})(u_{i}+a_{1}v_{i})\varphi_{1}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

将 $u_{i}=s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}(\varphi_{1}+p_{i}),v_{i}=s_{i}{\rm sin}\alpha_{i}(\varphi_{1}+q_{i})$ 带入上式, 两边除以 $s_{i}$ 并取极限, 得

$\begin{eqnarray} \mathop{\lim}\limits_{i\rightarrow\infty} \Big(\frac{r_{1,i}-\lambda_{1}}{s_{i}}\Big)\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x =({\rm cos}\alpha+a_{1}{\rm sin}\alpha)\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x.\end{eqnarray}$

(3.4)

由(3.3)和(3.4)式可知

$\begin{eqnarray} \mathop{\lim}\limits_{i\rightarrow\infty}\frac{\nu_{i}}{s_{i}}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x =({\rm cos}\alpha+a_{1}h{\rm cos}\alpha)\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x.\end{eqnarray}$

(3.5)

设 $c_{i}s_{i}\rightarrow\bar{c}\in[0,\infty]$ .同理给 $v_{i}$ 的方程除以 $s_{i}{\rm sin}\alpha_{i}$ , 再乘以 $\varphi_{1}$ 并在 $\Omega$ 上积分, 得

$\begin{eqnarray}\lambda_{1}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x=r_{2,i} \int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x-\int_{\Omega}(\varphi_{1}+q_{i}) \Big(v_{i}-\frac{a_{2}u_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})}\Big)\varphi_{1}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

将 $u_{i}=s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}(\varphi_{1}+p_{i}),v_{i}=s_{i}{\rm sin}\alpha_{i}(\varphi_{1}+q_{i})$ 带入上式, 两边除以 $s_{i}$ 并取极限, 得

$\begin{eqnarray}\mathop{\lim}\limits_{i\rightarrow\infty} \Big(\frac{r_{2,i}-\lambda_{1}}{s_{i}}\Big)\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x =\Big({\rm sin}\alpha-\frac{a_{2}{\rm cos}\alpha}{(1+\bar{c}\varphi_{1}{\rm cos}\alpha)(1+d\hat{w})}\Big)\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x.\end{eqnarray}$

(3.6)

因为 $r_{2,i}\leq\lambda_{1}$ , 所以(3.6)式暗含了 $\alpha\neq\frac{\pi}{2}$ , 即 $\alpha\in[0,\frac{\pi}{2})$ .而且, 如果 $\alpha\neq0$ , 则 $\bar{c}\neq\infty$ .若 $h_{i}\rightarrow h=0$ , 则由(3.5)式有 $\mathop{\lim}\limits_{i\rightarrow\infty}\frac{\nu_{i}}{s_{i}}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x ={\rm cos}\alpha\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x>0$ , 这与 ${\rm Re}(\nu_{i})\leq0$ 矛盾.因此 $h\neq0$ .给(3.1)式第二个方程乘以 $v_{i}$ 并在 $\Omega$ 上积分, 得

$\begin{eqnarray*}\int_{\Omega}\omega_{i}v^{2}_{i}{\rm d}x &=&a_{2}\int_{\Omega}\frac{v^{2}_{i}}{(1+c_{i}u_{i})^{2}(1+dw_{i})}\xi_{i}{\rm d}x -a_{2}d\int_{\Omega}\frac{u_{i}v^{2}_{i}}{(1+c_{i}u_{i})(1+dw_{i})^{2}}\chi_{i}{\rm d}x\\ &&+\nu_{i}\int_{\Omega}\omega_{i}v_{i}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

给上式除以 $h_{i}(s_{i}{\rm sin}\alpha_{i})^{2}$ , 取实部并取极限, 得

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x\leq {\rm Re} \Big(\frac{1}{h}\Big)a_{2}\int_{\Omega}\frac{\varphi^{3}_{1}}{(1+\bar{c}\varphi_{1}{\rm cos}\alpha)^{2}(1+d\hat{w})}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

于是根据(3.5)式有 $\mathop{\lim}\limits_{i\rightarrow\infty}\frac{{\rm Re}(\nu_{i})}{s_{i}}\int_{\Omega}\varphi^{2}_{1}{\rm d}x>0$ , 又与 ${\rm Re}(\nu_{i})\leq0$ 矛盾.

最后给出当有 $c$ 界时, 系统(1.1)正解的不存在性、唯一性和稳定性的更一般结果.

定理3 设 $r_{3}>\lambda_{1}$ .对于任意小的 $\varepsilon>0$ , 存在 $\hat{c}>0$ , 如果 $\lambda_{1}<r_{1}\leq\lambda_{1}+\varepsilon$ 且 $0\leq c\leq\hat{c}$ , 则当 $r_{2}\not\in(\bar{r}_{2},\hat{r}_{2})$ 时系统(1.1)无正解; 当 $r_{2}\in(\bar{r}_{2},\hat{r}_{2})$ 时系统(1.1)存在唯一且渐近稳定的正解.

证 首先证明对于 $\lambda_{1}<r_{1}\leq\lambda_{1}+\varepsilon, 0\leq c\leq\hat{c}$ 和任意 $r_{2}$ , 系统(1.1)的任意正解非退化且线性稳定.采用反证法.假设存在 $r_{1,i}\rightarrow\lambda^{+}_{1},c_{i}\in[0,\hat{c}]$ 和 $r_{2,i}$ 使得系统(1.1)带有 $(r_{1},c,r_{2})=(r_{1,i},c_{i},r_{2,i})$ 的正解 $(u_{i},v_{i},w_{i})$ 退化或不稳定, 即存在 ${\rm Re}(\nu_{i})\leq0$ 的 $\nu_{i}$ 以及 $(\xi_{i},\omega_{i},\chi_{i})\neq(0,0,0)$ 使得(3.1)式成立.同定理2可得在 $L^{\infty}$ 中 $u_{i}\rightarrow0,\lambda_{1}-a_{2}\| \Theta_{r_{1,i}}\|_{\infty}<r_{2,i}$ .设 $r_{2,i}\rightarrow\breve{r}_{2} \in[\lambda_{1},+\infty)$ .由(3.2)式知在 $L^{\infty}$ 中 $v_{i} \rightarrow\Theta_{\breve{r}_{2}}$ .另一方面, $r_{1,i}=\lambda_{1} (u_{i}+a_{1}v_{i})\rightarrow\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{\breve{r}_{2}})$ .即 $\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{\breve{r}_{2}})=\lambda_{1}$ , 这意味着 $\breve{r}_{2}=\lambda_{1}$ .因此 $r_{2,i}\rightarrow\lambda_{1}$ .再由(3.2)式得在 $L^{\infty}$ 中 $v_{i}\rightarrow0$ .于是在 $L^{\infty}$ 中 $w_{i}\rightarrow\hat{w}$ .

易看出定理2的证明过程仍然成立, 只不过没有条件 $r_{2,i}\leq\lambda_{1}$ 的限制.此时, $c_{i}s_{i}\rightarrow\bar{c}=0,$ 而且 ${\rm Re}(h)>0$ 也成立.另一方面, 给 $u_{i}$ 的方程乘以 $\xi_{i}$ 在 $\Omega$ 上积分, 得

$\begin{eqnarray*}\int_{\Omega}\xi_{i}u_{i}(r_{1,i}-u_{i}-a_{1}v_{i}){\rm d}x &=&\int_{\Omega}(-\Delta u_{i})\xi_{i}{\rm d}x=\int_{\Omega} u_{i}(-\Delta\xi_{i}){\rm d}x\\ &=&\int_{\Omega}\xi_{i}u_{i}(r_{1,i}-2u_{i}-a_{1}v_{i}){\rm d}x \\ && -a_{1}\int_{\Omega}u^{2}_{i}\omega_{i}{\rm d}x+\nu_{i}\int_{\Omega}u_{i}\xi_{i}{\rm d}x. \end{eqnarray*}$

于是

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}\xi_{i}u^{2}_{i}{\rm d}x=-a_{1}\int_{\Omega}u^{2}_{i}\omega_{i}{\rm d}x+\nu_{i}\int_{\Omega}u_{i}\xi_{i}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

将 $u_{i}=s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}(\varphi_{1}+p_{i})$ 带入上式, 除以 $s^{2}_{i}({\rm cos}\alpha_{i})^{2}$ , 得

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}(\varphi_{1}+p_{i})^{2}\xi_{i}{\rm d}x=-a_{1}\int_{\Omega}(\varphi_{1}+p_{i})^{2}\omega_{i}{\rm d}x +\frac{\nu_{i}}{s_{i}{\rm cos}\alpha_{i}}\int_{\Omega}(\varphi_{1}+p_{i})\xi_{i}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

上式取实部并取极限, 得

$\begin{eqnarray}\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x\leq -a_{1}{\rm Re}(h)\int_{\Omega}\varphi^{3}_{1}{\rm d}x,\end{eqnarray}$

这与 ${\rm Re}(h)>0$ 矛盾.因此系统(1.1)的任意正解非退化且线性稳定.故根据引理6可知当 $r_{2}\in(\bar{r}_{2},\hat{r}_{2})$ 时系统(1.1)存在唯一非退化渐近稳定的正解.

最后证明当 $r_{2}\not\in(\bar{r}_{2},\hat{r}_{2})$ 时系统(1.1)无正解.由引理1知当 $r_{2}\leq\bar{r}_{2}$ 时系统(1.1)无正解, 故只需证明 $r_{2}\geq\hat{r}_{2}$ 时系统(1.1)无正解即可.反证.假设对于 $\lambda_{1}<r'_{1}\leq\lambda_{1}+\varepsilon,0\leq c'\leq\hat{c}$ , 存在 $r'_{2}\geq\hat{r}_{2}$ 使得系统(1.1)存在带有 $(r_{1},c,r_{2})=(r'_{1},c',r'_{2})$ 的正解.令

$\begin{eqnarray}\tilde{r}_{2}={\rm sup}\{r''_{2}: \mbox{ 系统(1.1)存 在$(r_{1},c,r_{2})=(r'_{1},c',r''_{2})$的正解}\ \}.\end{eqnarray}$

显然 $\tilde{r}_{2}\geq r'_{2}\geq \hat{r}_{2}$ .而且 $\tilde{r}_{2}<\infty$ .因此只有两种情况.

(ⅰ) $\tilde{r}_{2}=r'_{2}=\hat{r}_{2}$ .则系统(1.1)存在带有 $r_{2}=\tilde{r}_{2}$ 的正解 $(\tilde{u},\tilde{v},\tilde{w})$ .根据前面讨论 $(\tilde{u},\tilde{v},\tilde{w})$ 非退化, 所以由隐函数定理和最大值原理得当 $r_{2}$ 充分接近 $\tilde{r}_{2}$ 时, 在 $(\tilde{u},\tilde{v},\tilde{w})$ 附近系统(1.1)存在一直延伸到 $\tilde{r}_{2}$ 右侧的正解 $(u,v,w)$ , 这与 $\tilde{r}_{2}$ 的定义矛盾.

(ⅱ) $\tilde{r}_{2}>\hat{r}_{2}>\lambda_{1}$ .由紧性理论可知系统(1.1)存在 $r_{2}=\tilde{r}_{2}$ 的非负解 $(\breve{u},\breve{v},\breve{w})$ .若 $(\breve{u},\breve{v},\breve{w})$ 是正解, 则同(ⅰ)推出矛盾.而 $\breve{v}\geq\Theta_{\tilde{r}_{2}},\breve{w}\geq\hat{w}$ , 因此可设 $\breve{u}\equiv0$ , 则 $\breve{v}=\Theta_{\tilde{r}_{2}}$ .于是 $r_{1}=\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{\tilde{r}_{2}})$ .然而 $r_{1}=\lambda_{1}(a_{1}\Theta_{\hat{r}_{2}})<\lambda_{1} (a_{1}\Theta_{\tilde{r}_{2}})$ 矛盾.因此 $r_{2}\geq\hat{r}_{2}$ 时系统(1.1)无正解.

本节通过数值模拟对前面的理论分析结果进行补充和说明.我们采用Matlab软件及有限差分法在一维情形 $\Omega=(0,l)$ 下模拟系统(1.1)的抛物系统.取 $l=10$ , 则 $\lambda_{1}=0.0987$ .

(1) 三物种共存与不共存. 图 1(b)(c)和(d)除某些参数值以外，其余与图 1(a)相同. (a)取 $r_{1}=2,r_{2}=1,r_{3}=2,a_{1}=0.5,a_{2}=1,a_{3}=1,c=0.5,d=0.5,e=1$ ; (b)取 $r_{2}=0.08,c=0.2$ .我们发现只要参数在一定范围内则三物种共存, 见图 1(a)和(b), 这与定理1的结论吻合. (c)取 $r_{3}=0.02$ ; (d)取 $r_{1}=0.2,r_{2}=0.01,a_{2}=0.01,c=2$ .当物种的增长率充分小时 $(r_{3}<\lambda_{1}$ 或 $r_{2}<\lambda_{1}-\frac{a_{2}r_{1}}{1+cr_{1}}<\bar{r}_{2})$ , 三物种不共存, 见图 1(c)和(d).

(2) 参数 $c$ 对正解的影响. 图 2(b)(c)和(d)除了某些参数值以外, 其余与图 2(a)相同. (a)取 $r_{1}=0.101,r_{2}=0.08,r_{3}=2,a_{1}=0.5,a_{2}=20,a_{3}=5,c=500,d=0.05,e=1$ ; (b)取 $c=20$ ; (c)取 $r_{1}=0.099$ ; (d)取 $r_{2}=5,c=20$ .当物种 $u$ 的增长率 $r_{1}$ 接近于 $\lambda_{1}$ 时, 对于任意 $c$ 或有界 $c$ , 只要物种 $v$ 的增长率 $r_{2}$ 满足一定条件, 则系统(1.1)最多有一个正解, 见图 2(a)-(d), 恰好与定理2和定理3的结论一致.而且, 观察发现随着 $c$ 的增大, $u$ 的浓度增大, $v$ 的浓度快速减少, $w$ 的浓度慢慢减少.

(3) 参数对 $d$ 正解的影响. 图 3中的参数值除 $d$ 不同外, 其余参数值与图 1(a)相同.参数 $d$ 的取值见图 3.模拟显示随着 $d$ 的增大, 物种 $u$ 的浓度慢慢增大, 而物种 $v$ 和 $w$ 的浓度减少.