本文主要讨论下列具有阻尼项的半线性波动方程的初边值问题

$\begin{eqnarray}\label{1.1} \left\{\begin{array}{ll} u_{tt}-\Delta u-\omega\Delta u_t+\mu u_t=|u|^{p-1}u, \quad (x,t)\in\Omega\times{\mathbb{R}}^+,\\ u\mid_{\partial\Omega}=0,\\ u(x,0)=u_0(x),\quad u_t(x,0)=u_1(x) \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(1.1)

解的整体存在性和有限时间爆破, 其中 $\Omega$ 是 ${\mathbb{R}}^n$ 中具有光滑边界 $\partial \Omega$ 的有界区域, $\Delta$ 是 $n$ 维Laplace算子, 常数 $\omega$ 和 $\mu$ 满足 $\omega\geq0$ , $\mu>-\lambda_1\omega$ , $\lambda_1>0$ 是 $-\Delta$ 在Dirichlet边界条件下的第一特征值, 参数 $p$ 满足

$\begin{eqnarray}\label{H2} 1< p< \infty,\quad n=1,2,\quad 1<p\leq\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{n+2}{n-2},& \omega>0,\\ \displaystyle \frac{n}{n-2},& \omega=0,\end{array}\right. \quad n\geq 3. \end{eqnarray}$

(1.2)

具有阻尼项(弱阻尼、强阻尼、非线性阻尼)的半线性波动方程的定解问题解的整体存在性和不存在性已经得到了广泛的研究.对初边值问题(1.1)在 $\omega=0$ , $\mu>0$ 的情形下, Levine在文献[11-12]中研究了负初始能量状态下解的有限时间爆破, 在文献[2]中, Georgiev和Todorova将其爆破结果推广到了非线性阻尼的情形; 在文献[18]中, Vitillaro研究了初始能量为正时解的有限时间爆破, 也可参看文献[13]; 在文献[5]中, Gerbi和Houari给出了当初值落在位势井中时问题(1.1)的整体解的指数衰减性质; 在文献[16, 22]中给出了问题(1.1)解爆破时间的下界估计.

在文献[4]中, Gazzola和Squassina研究了问题(1.1), 在低初始能量状态下( $E(0)< d$ , $d$ 称为位势井深度^[1])利用位势井理论^[14-15]给出整体解存在和不存在的门槛结果并给出了整体解的多项式衰减性质; 当 $\omega=0$ 时给出在任意正初始能量状态下解在有限时间发生爆破的充分条件, 就我们所知这是关于弱阻尼波动方程初边值问题在高初始能量状态下解爆破的第一个结果.在一定初值条件下利用文献[4]的方法, Xu Runzhang和Ding Yunhua在文献[21]中讨论了Klein-Gordon方程的初值问题在高初始能量状态下解在有限时间爆破的充分条件.

在低初始能量状态下解的整体存在性和不存在性已有了很多结果, 可参看文献[6, 10, 20].而对于高初始能量状态下解的整体存在性和不存在性的结果相对较少. Kutev等在文献[7]中研究了Boussinesq型方程

$\begin{eqnarray}u_{tt}-u_{xx}-\beta_1 u_{xxtt}+\beta_2 u_{xxxx}=f(u)_{xx} \end{eqnarray}$

的初值问题, 给出了在任意正初始能量状态下解的整体存在性的充分条件, 在文献[7]中未给出解的爆破定理, 在文献[8]中, Kutev等给出了Boussinesq方程

$\begin{eqnarray}\beta_2u_{tt}-u_{xx}-\beta_1u_{ttxx}+u_{xxxx}+mu+f(u)_{xx}=0, \quad \beta_1\geq0,\beta_2>0,m>0\end{eqnarray}$

的初值问题在任意正初始能量状态下解在有限时间爆破的充分条件.在文献[3]中, Gazzola和Weth研究了半线性抛物型方程

$\begin{eqnarray}u_t-\Delta u=u^p \end{eqnarray}$

的初值问题, 利用比较原理研究了高初始能量状态下解的整体存在性和不存在性. Xu Runzhang和Su Jia在文献[20]中研究了半线性拟抛物型方程

$\begin{eqnarray} u_t-\Delta u_t-\Delta u=u^p \end{eqnarray}$

的初边值问题, 给出了高初始能量状态下解的整体存在性和不存在性定理.最近Wang Shubin和Su Xiao在文献[17, 19]中分别研究了耗散Boussinesq方程和双色散方程的初边值问题, 在一定的初值条件下给出了在任意正初始能量状态下解的整体存在性和有限时间爆破的充分条件.

文献[4]中提出:当 $\omega>0$ 时, 在高初始能量状态下初边值问题(1.1)的解在什么条件下在有限时间发生爆破？本文的主要目的是研究当 $\omega>0$ 时高初始能量状态下问题(1.1)解的整体存在性和不存在性.由于双曲型方程不具有比较原理, 文献[3, 20]中的方法不适用于双曲方程定解问题高初始能量情形下解的整体存在性和不存在性的研究.本文主要受文献[7]思想的启发给出问题(1.1)在高初始能量状态下解整体存在的充分条件, 利用文献[19]的方法研究问题(1.1)在高初始能量状态下解在有限时间爆破的充分条件.

文中将使用标准的符号: $L^p=L^p(\Omega)$ 表示Lebesgue空间, $\|\cdot\|_{L^p}$ 表示 $L^p$ 中的范数, 其中 $1\leq p\leq\infty$ ; $H_0^1=H_0^1(\Omega)$ 表示Sobolev空间, $\|\nabla\cdot\|_{L^2}$ 表示 $H_0^1$ 中的范数; $(\cdot,\cdot)$ 表示 $L^2$ 中的内积.为了书写方便引入下列内积

$\begin{eqnarray}(v,w)_\ast=\mu(v, w)+\omega(\nabla v,\nabla w),\quad \|v\|_{\ast}^2=(v,v)_{\ast}, \quad \forall v,w\in H_0^1 (L^2).\end{eqnarray}$

显然, 当 $\omega>0$ 时, $\|\cdot\|_\ast$ 是 $H_0^1$ 中的等价模; 当 $\omega=0$ 时, $\|\cdot\|_\ast$ 是 $L^2$ 中的等价摸, 且存在常数 $c_\ast$ 使得

$\begin{eqnarray}\label{c-1} \|\nabla u\|^2\geq c_\ast\|u\|_\ast^2 , \end{eqnarray}$

(2.1)

其中 $c_\ast$ 由下列式子定义

$\begin{eqnarray*} c_\ast=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\lambda_1}{\mu},&\omega =0,\\ c_1,& \omega>0,\end{array}\right. \quad c_1=\left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \frac{\lambda_1}{\mu+\lambda_1\omega}, &\mu >0,\\ \displaystyle \frac{1}{\omega},&-\lambda_1\omega<\mu\leq0. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

为了需要下面, 给出文献[4]中建立的解的局部适定性.

定理2.1^[4] 假设条件(1.2)成立, 如果 $u_0\in H_0^1$ , $u_1\in L^2$ , 则存在时间 $T>0$ 使得初边值问题(1.1)在 $[0,T]$ 上有唯一弱解

$\begin{eqnarray}u\in C([0,T]; H_0^1)\cap C^1([0,T]; L^2)\cap C^2([0,T]; H^{-1})\end{eqnarray}$

且满足能量等式

$\begin{eqnarray}\label{2.13} E(t)+\int_0^t\|u_{\tau}\|_{\ast}^2{\mathrm{d}}\tau= E(0) , \end{eqnarray}$

(2.2)

其中

$\begin{eqnarray*} E(t)=\frac{1}{2}\left(\left\|u_{t}\right\|^2+\|\nabla u\|^2\right) -\frac{1}{p+1}\|u\|_{L^{p+1}}^{p+1}. \end{eqnarray*}$

进一步, 当

$\begin{eqnarray}T_{\max}=\sup\left\{T>0: u=u(t) \mbox{在} [0,T] \mbox{上存在}\right\}<\infty\end{eqnarray}$

时, 有

$\begin{eqnarray}\lim\limits_{t\rightarrow T_{\max}}\left(\|u\|_{H_0^1}+\|u_t\|\right)=\infty.\end{eqnarray}$

定义2.1 如果 $T_{\max}<\infty$ , 则称问题(1.1)的解在有限时间爆破, $T_{\max}$ 称为爆破时间; 如果 $T_{\max}=\infty$ , 则称问题(1.1)的解是整体存在的.

本节建立问题(1.1)在任意正初始能量状态下解的整体存在性定理和有限时间爆破定理.

定理3.1 假设条件(1.2)成立, $u_0\in H_0^1$ , $u_1\in L^2$ , $u$ 是问题(1.1)在 $[0,T]$ 上的唯一弱解.若 $E(0)>0$ 且下面的条件成立

(ⅰ) $2\left(u_0,u_1\right)+\frac{c_\ast(p-1)}{p+3}\widetilde{C}^{-1} \left\|u_0\right\|^2-\widetilde{C}\left\|u_0\right\|_\ast^2 +\frac{2(p+1)}{(p-1)c_\ast}\widetilde{C}E(0)<0,$

(ⅱ) $2\left(u_0,u_1\right)+\|u_0\|_{\ast}^2< 0$ ,

(ⅲ) $\|\nabla u_0\|^2-\|u_0\|_{L^{p+1}}^{p+1}-\|u_1\|^2>0$ ,

则 $u$ 是问题(1.1)的唯一整体弱解, 其中 $\widetilde{C}=\sqrt{\frac{2(p+1)}{p+3}}-1$ .

证 令

$\begin{eqnarray}\psi(t)= \left\|u\right\|^2+\int_0^t\|u\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau,\end{eqnarray}$

则

$\begin{eqnarray*} \psi'(t) =2\left(u,u_t\right)+\|u\|_{\ast}^2. \end{eqnarray*}$

利用Lions-Magenes定理^[9]并使用方程(1.1), 可得

$\begin{eqnarray*} \psi''(t)=-2\|\nabla u\|^2+2\|u\|_{L^{p+1}}^{p+1}+2\|u_t\|^2\triangleq -2 K(u(t)). \end{eqnarray*}$

首先证明下面的事实:若 $K(u_0)>0$ , 则对任意的 $t\in[0,T_{\max})$ 有 $K(u(t))>0$ .事实上, 如果存在时间 $t_0\in(0,T_{\max})$ 使得 $K(u(t_0))=0$ 且对任意的 $t\in [0,t_0)$ 有 $K(u(t))>0$ .则由(2.2)式可知

$\begin{eqnarray}\label{E} E(0) =\frac{p+3}{2(p+1)}\left\|u_t(t_0)\right\|^2+\frac{p-1}{2(p+1)}\|\nabla u(t_0)\|^2+\int_0^{t_0}\|u_\tau\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau. \end{eqnarray}$

(3.1)

由Cauchy不等式可知

$\begin{eqnarray}\label{3.5} -2A\left(u(t_0), u_t(t_0)\right) \leq\frac{p+3}{2(p+1)}\left\|u_t(t_0) \right\|^2+\frac{2(p+1)}{p+3}A^2\left\|u(t_0) \right\|^2 , \end{eqnarray}$

(3.2)

$\begin{eqnarray}\label{3.6} -2B\left(u, u_t\right)_\ast\leq\|u_t\|_\ast^2+B^2\left\|u \right\|_\ast^2, \end{eqnarray}$

(3.3)

其中

$\begin{eqnarray}\label{A-1} A=\left(\sqrt{\frac{2(p+1)}{p+3}}-1\right)^{-1}\frac{p-1}{2(p+1)}c_\ast, \quad B=\sqrt{\frac{2(p+1)}{p+3}}A. \end{eqnarray}$

(3.4)

将(3.2)和(3.3)式代入(3.1)式可得

$\begin{eqnarray*} E(0)&\geq &-2A\left(u(t_0),u_t(t_0)\right)-\frac{2(p+1)}{p+3}A^2\left\|u(t_0) \right\|^2\\ & &-2B\int_0^{t_0}\left(u,u_\tau\right)_\ast{\mathrm{d}} \tau-B^2\int_0^{t_0}\left\|u \right\|_\ast^2{\mathrm{d}} \tau+\frac{p-1}{2(p+1)}\|\nabla u(t_0)\|^2. \end{eqnarray*}$

注意到(2.1)式, (3.4)式和 $ A=B-\frac{p-1}{2(p+1)}c_\ast>0$ , 则

$\begin{eqnarray}\label{Gl} E(0)&\geq&-B^2\psi(t_0)-2A\left(u(t_0), u_t(t_0)\right)-\left(B-\frac{(p-1)c_\ast}{2(p+1)}\right)\|u(t_0)\|_\ast^2 +B\|u_0\|_\ast^2\nonumber\\ &= &-B^2\psi(t_0)-A\psi'(t_0)+B\|u_0\|_\ast^2,\end{eqnarray}$

(3.5)

在上述估计中用到了下面的事实

$\begin{eqnarray} 2\int_0^{t_0}\left(u, u_\tau\right)_\ast{\mathrm{d}} \tau=\|u(t_0)\|_\ast^2-\|u_0\|_\ast^2.\end{eqnarray}$

由 $\psi(t)$ 和 $\psi'(t)$ 关于时间 $t$ 在 $[0,T]$ 上的连续性可知存在 $\xi_1$ , $\xi_2 \in (0,t_0)$ 使得

$\begin{eqnarray*} &&\psi(t_0)=\psi(0)+\psi'(0)t_0+\psi''(\xi_1)t_0^{2}<\psi(0)+\psi'(0)t_0,\\ &&\psi'(t_0)=\psi'(0)+\psi''(\xi_2)t_0< \psi'(0). \end{eqnarray*}$

将上面的两个不等式代入(3.5)式并注意到由假设条件(ⅱ)得 $\psi'(0)<0$ 可知

$\begin{eqnarray*} E(0)&\geq &-B^2\psi(0)-A\psi'(0)+B\|u_0\|_\ast^2\\ &=&-B^2 \left\|u_0 \right\|^2-2A\left(u_0, u_1\right)+\frac{(p-1)c_\ast}{2(p+1)}\|u_0\|_\ast^2,\end{eqnarray*}$

这与定理中的假设条件(ⅰ)矛盾.

由上面的讨论及假设条件(ⅲ), 可得对任意的 $t\in[0,T_{\max})$ 有 $K(u(t))>0$ .由

$\begin{eqnarray} \frac{p+3}{2(p+1)}\left\|u_t\right\|^2+\int_0^{t}\|u_\tau\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau+\frac{p-1}{2(p+1)}\|\nabla u\|^2+\frac{1}{p+1}K(u) = E(0) \end{eqnarray}$

可得

$\begin{eqnarray} \frac{p+3}{2(p+1)}\left\|u_t\right\|^2+\frac{p-1}{2(p+1)}\|\nabla u\|^2 < E(0),\label{E-u2} \end{eqnarray}$

(3.6)

$\begin{eqnarray} \int_0^{t}\|u_\tau\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau< E(0). \label{E-u} \end{eqnarray}$

(3.7)

综上可得对任意的 $t\in[0,T_{\max})$ , $\|u\|_{H_0^1}^2+\left\|u_t\right\|^2$ 是一致有界的且上界依赖于 $E(0)$ 和 $p$ .由定理2.1可知定理3.1的结论成立.

下面给出问题(1.1)在任意正初始能量状态下解的有限时间爆破定理.

定理3.2 假设条件(1.2)成立, $u_0\in H_0^1$ , $u_1\in L^2$ , $u$ 是问题(1.1)的唯一弱解.若 $E(0)>0$ 且

$\begin{eqnarray}\label{blow} 2\left(u_0,u_1\right)+\|u_0\|_{\ast}^2-\frac{2(p+1)}{\kappa} E(0)>0, \end{eqnarray}$

(3.8)

则 $u$ 在某一有限时间爆破, 其中

$\begin{eqnarray} \kappa= \frac{1}{2c_\ast}\left(\sqrt{A^2+B}-A\right), \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} A=(p+3)\lambda_1,\quad B=4(p-1)(p+3)\lambda_1c_\ast^2. \end{eqnarray}$

注3.1 当 $E(0)<d$ 时通过直接的计算并结合标准的位势井理论, 可知在假设条件(3.8)下定理2.1中的唯一局部弱解 $u$ 在有限时间爆破.但是仅假设条件(3.8)成立, $E(0)$ 可以任意大, 看下面的定理3.3.

为证明定理3.2首先给出下面的引理.

引理3.1^[11-12] 假设对 $t\geq t_{0}\geq0$ , $\phi(t)$ 是一个正的二阶连续可微函数且存在常数 $\alpha>0$ 使得

$\begin{eqnarray} \phi''\phi-(\alpha+1)(\phi')^2\geq0, \end{eqnarray}$

如果 $\phi(t_{0})>0$ 且 $\phi'(t_{0})>0$ , 则存在 $t_1\leq T_{0}=\phi(t_{0})/(\alpha\phi'(t_{0}))+t_0$ 使得

$\begin{eqnarray}\lim\limits_{t\uparrow t_1}\phi(t)=\infty.\end{eqnarray}$

定理3.2的证明 证明主要是使用凸性方法和一些必要的分析技巧.假设 $u(t)$ 是问题(2.2)的整体解, 令

$\begin{eqnarray}H(t)=2\left(u,u_t\right)+\|u\|_{\ast}^2-\frac{2(p+1)}{\kappa} E(0).\end{eqnarray}$

利用方程(1.1)和能量等式(2.2), 可得

$\begin{eqnarray}\label{3.3} H'(t) &=&-2\|\nabla u\|^2+2\|u\|_{L^{p+1}}^{p+1}+2\left\|u_t\right\|^2\nonumber\\ &=&(p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\|\nabla u\|^2-2(p+1) E(0)+2(p+1)\int_0^t\|u_\tau\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau. \end{eqnarray}$

(3.9)

由Poncaré不等式可知

$\begin{eqnarray}\label{nab} \|\nabla u\|^2\geq \lambda_1 \left\|u\right\|^2. \end{eqnarray}$

(3.10)

将(3.10)式代入(3.9)式并利用(2.1)式得

$\begin{eqnarray*} H'(t)&\geq&(p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\eta_1 \|\nabla u\|^2 +(p-1)(1-\eta_1)\|\nabla u\|^2-2(p+1) E(0)\\ &\geq&{(p+3)}\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\eta_1\lambda_1 \left\|u\right\|^2 +(p-1)(1-\eta_1)c_\ast\|u\|_\ast^2-2(p+1) E(0), \end{eqnarray*}$

其中 $0<\eta_1<1$ 为待定的常数.由Cauchy不等式可知

$\begin{eqnarray} (p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\eta_1\lambda_1 \left\|u\right\|^2 \geq 2\sqrt{{(p+3)}(p-1)\eta_1\lambda_1}\left|\left(u_t,u \right)\right|. \end{eqnarray}$

因此

$\begin{eqnarray}\label{H1} H'(t) \geq 2\sqrt{{(p+3)}(p-1)\eta_1\lambda_1}\left|\left(u_t,u \right)\right| +(p-1)(1-\eta_1)c_\ast\|u\|^2_\ast-2(p+1) E(0). \end{eqnarray}$

(3.11)

选取 $0<\eta_1<1$ 满足

$\begin{eqnarray}\sqrt{(p+3)(p-1)\eta_1\lambda_1}=(p-1)(1-\eta_1)c_\ast\triangleq\kappa,\end{eqnarray}$

则不等式(3.11)可改写为

$\begin{eqnarray}H'(t)\geq \kappa \left(2\left(u,u_t\right)+\|u\|_{\ast}^2-\frac{2(p+1)}{\kappa} E(0)\right)=\kappa H(t).\end{eqnarray}$

因而有

$\begin{eqnarray} H(t)\geq H(0){\rm e}^{\kappa t},\quad t\geq 0.\end{eqnarray}$

由假设条件(3.8)可知 $H(0)>0$ , 从而

$\begin{eqnarray}\lim\limits_{t\rightarrow+\infty}H(t)=+\infty.\end{eqnarray}$

再次使用Cauchy不等式可知当 $t\rightarrow +\infty$ 时

$\begin{eqnarray}\left\|u_t\right\|^2+\left\|u\right\|^2 +\|u\|_\ast^2\rightarrow+\infty,\end{eqnarray}$

这意味着当 $t\rightarrow +\infty$ 时

$\begin{eqnarray}(p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\|\nabla u\|^2-2(p+1) E(0)\rightarrow +\infty.\end{eqnarray}$

经过简单的计算可知对固定的 $p>1$ 存在 $0<\xi<1$ , $\varepsilon>0$ 和 $t_0>0$ 使得对任意的 $t>t_0$ 有下面的三个结论成立.

(a) $\xi (p+3)>4+\varepsilon,\quad p>1+\frac{\varepsilon}{2}$ ;

(b) $(p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\|\nabla u\|^2-2(p+1) E(0)$ $\geq \xi\left[(p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\|\nabla u\|^2 \right]; $

(c) $2\left(u,u_t\right)+\|u\|_\ast^2-\|u_0\|_\ast^2>0.$

为应用引理3.1, 作辅助函数

$\begin{eqnarray*} \phi(t)=\left\|u\right\|^2+\int_0^t\|u\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau+(T-t)\|u_0\|_{\ast}^2,\quad t_0<t<T, \end{eqnarray*}$

则由上述的结论(c)可知

$\begin{eqnarray}\phi'(t)=2(u, u_t)+\|u\|_{\ast}^2-\|u_0\|_{\ast}^2=2(u,u_t)+2\int_0^t(u, u_\tau)_{\ast}{\mathrm{d}} \tau>0,\quad t_0<t<T.\end{eqnarray}$

利用Schwarz不等式可得

$\begin{eqnarray*} \phi'(t)^2 \leq 4\phi(t)\left(\left\|u_t\right\|^2+\int_0^t\|u_\tau\|_{\ast}^2{\mathrm{d}} \tau\right),\quad t_0<t<T. \end{eqnarray*}$

由方程(1.1)和能量式(2.2)可得

$\begin{eqnarray*} \phi''(t)&=&(p+3)\left\|u_t\right\|^2+(p-1)\|\nabla u\|^2-2(p+1) E(0)+2(p+1)\int_0^t\|u_\tau\|_\ast^2{\mathrm{d}} \tau\\ &\geq &(4+\varepsilon)\left[\left\|u_t\right\|^2+\int_0^t\|u_t\|_\ast^2{\mathrm{d}} \tau \right],\quad t_0<t<T. \end{eqnarray*}$

因此有

$\begin{eqnarray} \phi(t)\phi''(t)-\left(1+\frac{\varepsilon}{4}\right)\phi'(t)^2>0, \quad t_0<t<T. \end{eqnarray}$

利用引理3.1可知对充分大的 $T>t_0$ 有 $\lim\limits_{t\uparrow T} \phi(t)=+\infty $ , 这与 $u(t)$ 是问题(1.1)的整体解矛盾.定理3.2得证.

最后, 在高初始能量状态下构造适当的初值使之满足定理3.2中的爆破条件(3.8).

定理3.3 对任意给定的正常数 $K$ , 则存在初值 $u_0^K\in H_0^1$ , $u_1^K\in L^2$ 使得 $E(u_0^K,u_1^K)=K$ 且以 $u_0^K$ 和 $u_1^K$ 为初值的弱解 $u^K$ 在有限时间爆破.

证 给定 $w(x)\in H_0^1$ , $v(x)\in L^2$ 满足

$\begin{eqnarray}\|\nabla w\|\neq0,\quad \|v\|\neq0,\quad (w,v)=0.\end{eqnarray}$

令 $K$ 是任意给定的正常数, 构造初值

$\begin{eqnarray}\label{3.12} u_0^K(x)=qw(x),\quad u_1^K(x)=qw(x)+sv(x), \end{eqnarray}$

(3.12)

其中 $q>0$ , $s>0$ 为待定常数.由 $u_0^K$ , $u_1^K$ 的表达式, 经过简单的计算可得

$\begin{eqnarray} \|u_0^K\|_{\ast}^2=q^2\|w\|_{\ast}^2,\quad (u_0^K,u_1^K)=q^2\|w\|^2,\quad \|u_1^K\|^2=q^2\|w\|^2+s^2\|v\|^2, \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \|\nabla u_0^K\|^2=q^2\|\nabla w\|^2,\quad E(0)=Q(q)+\frac{1}{2}s^2\|v\|^2, \end{eqnarray}$

其中

$\begin{eqnarray}Q(q)=\frac{1}{2}q^2\|w\|^2+\frac{1}{2}q^2\|\nabla w\|^2-\frac{1}{p+1}q^{p+1}\|w\|^{p+1}_{L^{p+1}}.\end{eqnarray}$

下面将选取适当的 $q$ 和 $s$ 使得 $u_0^K$ , $u_1^K$ 满足定理3.2中的爆破条件(3.8)且 $E(u_0^K,u_1^K)=E(0)=K$ , 这等价于选取适当的 $q$ 和 $s$ 使得

$\begin{eqnarray}\label{3.13} K=Q(q)+\frac{1}{2}s^2\|v\|^2<\frac{\kappa q^2}{2(p+1)}\left(2\|w\|^2+\|w\|^2_{\ast}\right). \end{eqnarray}$

(3.13)

注意到对充分大的 $q$ 有 $Q(q)<0$ , 则选取 $q=q_{\ast}$ 充分大使得

$\begin{eqnarray}Q(q_\ast)<0,\quad q_{\ast}>\sqrt{\frac{2(p+1)K}{\kappa}}\left(2\|w\|^2+\|w\|^2_{\ast}\right)^{-\frac{1}{2}}.\end{eqnarray}$

选取 $s=s_{\ast}$ 使得 $K=Q(q_{\ast})+\frac{1}{2}s^2\|v\|^2$ .因而对上述方式选取的 $q_\ast$ 和 $s_\ast$ 初值(3.12)满足条件(3.8)且 $E(0)=K$ .按照这种方式, 若取 $K>d$ , 则可构造一类初值(3.12)使得 $E(0)=K>d$ 且满足定理3.2的爆破条件(3.8).定理3.3得证.