二维Chaplgyin气体模型方程可描述为

$\begin{eqnarray} \label{101} \left\{\begin{array}{ll} \partial_t\rho + {\rm div}(\rho \vec{u}) = 0,\\ \partial_t(\rho \vec{u}) + {\rm div}(\rho \vec{u}\bigotimes \vec{u})+\nabla{p}=0, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(1.1)

其中 $\rho$ , $\vec{u}=(u,v)$ 和 $ p$ 分别代表密度, 速度和压力.状态方程满足

$\begin{eqnarray}p=g(s)-\frac{f(s)}{\rho},\end{eqnarray}$

参考文献[1-2].在等熵系统中 $s$ 是常数.为了简单起见, 取

$\begin{eqnarray}\label{102} p=-\frac1\rho. \end{eqnarray}$

(1.2)

Chaplygin气体的引入一方面作为近似用于计算空气动力学中机翼的升力问题^[1], 另一方面是近年来研究比较热的有关暗物质的模型^[3-4].一维Chaplygin气体的研究可以参考文献[5-7].对于二维情形, 文献[2]证明了等熵Chaplygin气体初始无旋二维Riemann问题"saddle"和"vortex"跨音速解的存在性, 这为一般初始无旋问题的解决提供了理论基础. 2012年, Chen和Qu证明了等熵Chaplygin气体初始无旋三个分片常数小初值二维Riemann问题解的存在性.

我们考虑方程组(1.1)初值为四个分片常数的二维Riemann问题.设初值

$\begin{eqnarray} \label{103} U_i=(u_i,v_i,c_i),\qquad i=1,2,3,4. \end{eqnarray}$

(1.3)

满足无旋条件

$\begin{eqnarray}\label{104} v_1=v_2,\quad u_2=u_3,\quad v_3=v_4,\quad u_4=u_1. \end{eqnarray}$

(1.4)

其中 $c=\frac{1}{\rho}$ 表示音速.

由文献[2]知, 在初始无旋条件下, 等熵Chaplygin气体在时间 $t>0$ 时也满足无旋条件.另外, 文献[2, 5-7]研究表明对于Chaplygin气体Riemann问题, 初始间断会生成经典基本波以及奇异 $\delta$ -波.本文主要考虑Riemann问题(1.1), (1.3)和(1.4)不含 $\delta$ -波的解的构造、结构及其相应的初值条件等.一般而言, 在初始等熵及无旋条件下, 一般的初始间断(1.3)会生成多至八个平面基本波.关于初值是四个分片常数且由四个基本波相互作用的二维等熵Chaplygin气体的研究, 文献[8]和^[9]分别给出了含 $\rho$ -delta奇性及含 $p$ -delta奇性的分析.由于一般初值的选取使得问题的研究非常复杂, 本文主要分析初始由六个基本波构成的波结构, 探究扩大初值范围后解的结构及其分类, 希望对一般初值问题解的结构有更多的把握.在 $(x_1,x_2)$ 平面, 考虑初值及其产生的平面波满足 $U_1$ 和 $U_2$ (相应的 $U_3$ 和 $U_4$ )由两个基本波连接; $U_2$ 和 $U_3$ (相应的 $U_4$ 和 $U_1$ )由一个基本波连接.如图 1所示.

在第二节我们分析了方程组(1.1)的一些基本性质, 并对由六个基本波构成的波结构进行了分类.在第三节我们利用广义特征分析的方法, 在两个典型的波结构下, 总结出方程组(1.1)存在经典弱解的充分必要条件, 并构造出相应波结构下的分片光滑解.

作自相似变换 $\xi_1=\frac{x_1}{t}$ , $\xi_2=\frac{x_2}{t}$ , $\vec{\xi}=(\xi_1,\xi_2)$ .记拟速度 $\vec{v}(\vec{\xi})=(V_1(\vec{\xi)},V_2(\vec{\xi})) :=\vec{u}(\vec{\xi})-\vec{\xi}$ , i.e., $V_1=u-\xi_1,V_2=v-\xi_2$ (参见文献[10]), 则方程组(1.1)转化成

$\begin{eqnarray}\label{201} \left\{\begin{array}{ll} {\rm div}(\rho \vec{v})+2\rho=0,\\ {\rm div}(\rho \vec{v}\bigotimes \vec{v})+3\rho\vec{v}+\nabla{p(\rho)}=0. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.1)

其特征方程是

$\begin{eqnarray} (V_2-\lambda V_1)[(V_2-\lambda V_1)^2-c^2(1+\lambda^2)]=0, \end{eqnarray}$

相应的特征值分别是

$\begin{eqnarray} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle \lambda_0=\frac{V_2}{V_1},\\[3mm] \displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{{V_1}{V_2}\pm c\sqrt{V_1^2+V_2^2-c^2}}{V_1^2-c^2}. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

由此可知穿过音速线

$\begin{eqnarray} \label{202} V_1^2+V_2^2=c^2, \end{eqnarray}$

(2.2)

方程(2.1)类型改变, 即如果 $|\vec{v}|^2>c^2$ , 它是双曲型, 如果 $|\vec{v}|^2 <c^2$ , 它是椭圆型.

由方程组(2.1)可以得到

$\begin{eqnarray} (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}+\vec{v}+\frac{1}{\rho}\nabla p(\rho)=0. \end{eqnarray}$

由无旋的性质 $(V_1)_{\xi_2}=(V_2)_{\xi_1}$ , 可引入势函数 $\phi(\xi_1,\xi_2)$ , 使得 $\vec{v}=\nabla\phi$ .等熵Chaplygin气体二维Riemann问题自相似解在椭圆区域 $\Omega$ 内通常归结为以下Dirichlet问题

$\begin{eqnarray}\label{225} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle {\rm div}\frac{\nabla\phi}{\sqrt{2\phi+|\nabla\phi|^2}}+\frac{2}{\sqrt{2\phi+|\nabla\phi|^2}}=0,\\[2mm] \phi|_{\partial\Omega}=0. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.3)

定理2.1^[2] 假设 $\Omega$ 是一个具有 $C^2$ 分片光滑的凸域且边界曲率具有非零下界, 则Dirichlet问题具有唯一的正解, 且该解属于 $C(\bar{\Omega})\cap C^\infty(\Omega)$ .

基于以上已有的结果, 本文主要研究在双曲区域内方程组(2.1)的分片光滑解.我们有以下的分析步骤.

(1) 求解四个一维Riemann问题, 得出初始间断生成的波结构;

(2) 分析基本波的相互作用, 得出该波结构下可解的充要条件;

(3) 构造双曲区域内不同波结构的分片光滑解.

利用广义特征分析法^[10]及参考文献[11]中的分析过程, 我们构造四个一维Riemann问题的解.类似一维 $p$ 方程组解的构造^[12], 记四个基本波分别为 $R_1$ , $S_1$ , $R_2$ , $S_2$ .从而确定该问题所对应的波结构.随着波的传播, 在有限时间内不同基本波会相交, 导致了波的相互作用问题.

初始条件不同导致不同的波结构, 利用自相似变换后一维Riemann问题可解的相容性条件^[13], 图 1所示的由六个基本波构成的波结构可分类如下

$\begin{eqnarray*} &&R_1R_2\mbox{-} R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2 \quad R_1R_2\mbox{-}R_2\mbox{-}R_1S_2\mbox{-}R_2 \quad R_1R_2\mbox{-}R_1\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}R_1,\\ &&R_1S_2\mbox{-}R_1\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}R_1 \quad R_1S_2\mbox{-}R_1\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}R_2 \quad R_1S_2\mbox{-}R_2\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}R_1 \quad R_1S_2\mbox{-}R_2\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}R_2,\\ &&R_1S_2\mbox{-}R_2\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}R_2 \quad S_1S_2\mbox{-}R_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}R_2 \quad S_1S_2\mbox{-}R_1\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}R_1,\\ &&R_1R_2\mbox{-}S_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}S_2 \quad R_1R_2\mbox{-}S_1\mbox{-}R_1S_2\mbox{-}S_1 \quad R_1R_2\mbox{-}S_2\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}S_2,\\ &&R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}S_1 \quad R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}S_2 \quad R_1S_2\mbox{-}S_2\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}S_1 \quad R_1S_2\mbox{-}S_2\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}S_2,\\ &&R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_1 \quad S_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_2 \quad S_1S_2\mbox{-}S_2\mbox{-}S_1R_2\mbox{-}S_2. \end{eqnarray*}$

本文主要分析波结构为

$\begin{eqnarray}R_1R_2\mbox{-} R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2 \quad \mbox{和} \quad R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_1\end{eqnarray}$

的经典弱解存在的充要条件并构造相应波结构下的分片光滑解, 其余的波结构可以类似分析.

首先, 我们将分析波结构 $R_1R_2\mbox{-} R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2$ , 如图 2所示.

在这种波结构下, 固定 $d$ , 考虑初值

$\begin{eqnarray}\label{301} \left\{\begin{array}{ll} U_1=(u_1,v_1,c_1),\\ U_2=(u_1-d,v_1,c_2),\\ U_3=(u_1-d,v_1-d,c_2-d),\\ U_4=(u_1,v_1-d,c_1-d). \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.1)

于是在满足初始间断不产生奇性的条件

$\begin{eqnarray}\label{214} |c_1-c_2|<d \end{eqnarray}$

(3.2)

下解两个一维Riemann问题可以得到

$\begin{eqnarray}\label{304} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle U_{12}=\Big(u_1+\frac{c_1-c_2-d}{2},v_1,\frac{c_1+c_2+d}{2}\Big),\\[3mm] \displaystyle U_{34}=\Big(u_1+\frac{c_1-c_2-d}{2},v_1-d,\frac{c_1+c_2-d}{2}\Big). \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.3)

由于 $R_1$ 波和 $R_2$ 波的相互作用, 无奇性条件满足

$\begin{eqnarray}\label{209} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle (c_2-d)^2+(c_2-d)\Big(c_2+\frac{c_1+c_2-d}{2}\Big)-\frac{c_2(c_1+c_2-d)}{2}>0,\\[3mm] \displaystyle (c_1-d)^2+(c_1-d)\Big(c_1+\frac{c_1+c_2-d}{2}\Big)-\frac{c_1(c_1+c_2-d)}{2}>0. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.4)

结合(3.2)式, 我们可以得到

引理3.1 方程组(2.1)满足初值(3.1), 且波结构为 $R_1R_2\mbox{-}R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2$ 的经典弱解存在的充要条件为

(1) 若 $\frac{3}{2}d<c_1<(1+\frac{\sqrt{2}}{2})d$ , 则有

$\begin{eqnarray}\frac{7d+\sqrt{16c_1d+d^2}}{8}<c_2<\frac{(c_1-d)(4c_1-3d)}{d}; \end{eqnarray}$

(2) 若 $(1+\frac{\sqrt{2}}{2})d\leq c_1 \leq (2+\frac{\sqrt{2}}{2})d$ , 则有

$\begin{eqnarray}\frac{7d+\sqrt{16c_1d+d^2}}{8}<c_2<c_1+d; \end{eqnarray}$

(3) 若 $c_1>(2+\frac{\sqrt{2}}{2})d$ , 则有

$\begin{eqnarray}c_1-d<c_2<c_1+d. \end{eqnarray}$

为了直观起见, 取 $d=1$ , 上述条件可以如图 3所示.

$R_1$ 和 $R_2$ 波在 $P_3$ 点相互作用, 生成两个新的 $R_1$ 和 $R_2$ 波, 它们分别与音速圆 $C_{34}$ 和 $C_2$ 相切.利用该性质我们可以求解状态 $U_{234}$ .若记过 $P_3$ 点的一般直线方程为

$\begin{eqnarray}a(\xi_1-u_1+c_2)+b(\xi_2-v_1+c_2)=0,\end{eqnarray}$

那么 $o_2$ 到新的 $R_2$ 波的距离 $c_2$ 和 $o_{34}$ 到新的 $R_1$ 波的距离 $c_{34}$ 分别满足

$\begin{eqnarray} \frac{|a(u_1-d-u_1+c_2)+b(v_1-v_1+c_2)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=c_2, \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} \frac{|a(u_1+\frac{c_1-c_2-d}{2}-u_1+c_2)+b(v_1-d-v_1+c_2)|}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{c_1+c_2-d}{2}, \end{eqnarray}$

由此可得新的 $R_1$ 和 $R_2$ 波直线方程分别为

$\begin{eqnarray}\label{204} \begin{array}{ll} 2c_2(c_2-d)(\xi_1-u_1+c_2) +(2c_2-d)d(\xi_2-v_1+c_2)=0,\\ (c_1+3c_2-3d)(c_1-c_2+d) (\xi_1-u_1+c_2)\\ +4(c_2-d)(c_1+c_2-d)(\xi_2-v_1+c_2)=0. \end{array} \end{eqnarray}$

(3.5)

于是易得两条分别过 $o_2$ 和 $o_{34}$ 的直线且均垂直于直线(3.5)的方程为

$\begin{eqnarray}\label{226} \begin{array}{ll} (2c_2-d)d(\xi_1-u_1+d)-2c_2(c_2-d)(\xi_2-v_1)=0,\\ 2(c_2-d)(c_1+c_2-d)(2\xi_1-2u_1-c_1+c_2+d)\\ -(c_1+3c_2-3d)(c_1-c_2+d)(\xi_2-v_1+d)=0. \end{array} \end{eqnarray}$

(3.6)

$U_{234}$ 的速度相应于(3.6)式中两条直线的交点

$\begin{eqnarray}\label{205} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_{234}=u_1-d- \frac{2c_2(c_2-d)(c_1-c_2+d) }{c_1d-(c_2-d)(4c_2-3d)},\\[3mm] \displaystyle v_{234}=v_1-\frac{(c_1-c_2+d)(2c_2-d)d}{c_1d-(c_2-d)(4c_2-3d)}. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.7)

由于音速圆 $C_{234}$ 与基本波 $R_1$ , $R_2$ 相互作用后产生的两个新的基本波(3.5)相切, 则 $ c_{234} $ 等于点 $ (u_{234},v_{234}) $ 到(3.5)式中任意一条直线的距离, 即

$\begin{eqnarray}\label{206} c_{234}=c_2-\frac{(2c_2^2-2c_2d+d^2)(c_1-c_2+d)}{c_1d-(c_2-d)(4c_2-3d)}. \end{eqnarray}$

(3.8)

同样的方法可以得到 $U_{341}=(u_{341},v_{341},c_{341})$ 如下

$\begin{eqnarray}\label{303} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_{341}=u_1-\frac{2c_1(c_1-d)(c_1-c_2-d)}{c_2d-(c_1-d)(4c_1-3d)},\\[3mm] \displaystyle v_{341}=v_1+\frac{(2c_1-d)d(c_1-c_2-d)}{c_2d-(c_1-d)(4c_1-3d)},\\[3mm] \displaystyle c_{341}=c_1+\frac{(2c_1^2-2c_1d+d^2)(c_1-c_2-d)}{c_2d-(c_1-d)(4c_1-3d)}. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.9)

至此我们构造得到波结构 $R_1R_2\mbox{-}R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2$ 在双曲域内的分片光滑解.

同样的方法, 考虑初值满足

$\begin{eqnarray}\label{302} \left\{\begin{array}{ll} U_1=(u_1,v_1,c_1),\\ U_2=(u_1+d,v_1,c_2),\\ U_3=(u_1+d,v_1+d,c_2+d),\\ U_4=(u_1,v_1+d,c_1-d) \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.10)

的波结构为 $R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_1$ 的解, 如图 4所示.

在满足初始间断不产生奇性的前提条件

$\begin{eqnarray}\label{208} |c_1-c_2-2d|<d \end{eqnarray}$

(3.11)

下解两个一维Riemann问题可以得到

$\begin{eqnarray}\label{305} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle U_{12}=\Big(u_1+\frac{c_1-c_2+d}{2},v_1,\frac{c_1+c_2-d}{2}\Big),\\[3mm] \displaystyle U_{34}=\Big(u_1+\frac{c_1-c_2-d}{2},v_1+d,\frac{c_1+c_2-d}{2}\Big). \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.12)

在条件(3.11)下, 如果来自无穷远处的基本波 $S_1$ 和 $S_2$ 相互作用满足

$\begin{eqnarray}\label{210} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle c_1^2-\Big(\frac{c_1+c_2-d}{2}+c_1-d\Big)c_1-\frac{c_1+c_2-d}{2}(c_1-d)<0,\\[3mm] \displaystyle (c_2+d)^2-\Big(\frac{c_1+c_2-d}{2}+c_2\Big)(c_2+d)-\frac{c_1+c_2-d}{2}c_2<0, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.13)

那么来自无穷远的基本波相互作用产生的过 $P_1=(u_1+c_1,v_1+c_1)$ 点的新基本波方程为

$\begin{eqnarray}\label{222} \begin{array}{ll} 2c_1(c_1-d)(\xi_1-u_1-c_1)-(2c_1-d)d(\xi_2-v_1-c_1)=0,\\ (c_2-d+3c_1)(c_2-c_1-d)(\xi_1-u_1-c_1)+4c_1(c_1+c_2-d)(\xi_2-v_1-c_1)=0. \end{array} \end{eqnarray}$

(3.14)

求解状态 $U_{412}$ , 有

$\begin{eqnarray}\label{223} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_{412}=u_1 -\frac{2c_1(c_1-d)(c_2-c_1-d)}{c_2d+4c_1^2-c_1d-d^2},\\[3mm] \displaystyle v_{412}=v_1+\frac{2c_1d(c_1+c_2-d)}{c_2d+4c_1^2-c_1d-d^2},\\[3mm] \displaystyle c_{412}=c_1-d+\frac{(2c_1^2-2c_1d+d^2)(c_2-c_1-d)}{c_2d+4c_1^2-c_1d-d^2}. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.15)

过 $P_3$ 点新的基本波方程为

$\begin{eqnarray}\label{211} \begin{array}{ll} 2c_2(c_2+d)(\xi_1-u_1+c_2)-(2c_2+d)d(\xi_2-v_1+c_2)=0,\\ (c_1+d+3c_2)(c_1-c_2-3d)(\xi_1-u_1+c_2)+4(c_1+c_2-d)(c_2+d)(\xi_2-v_1+c_2)=0. \end{array} \end{eqnarray}$

(3.16)

求解状态 $U_{234}$ , 有

$\begin{eqnarray}\label{212} \left\{\begin{array}{ll} \displaystyle u_{234}=u_1+d-\frac{2c_2(c_2+d)(3d+c_2-c_1)}{c_1d+4c_2^2+7c_2d+d^2},\\[3mm] \displaystyle v_{234}=v_1+\frac{(2c_2+d)(3d+c_2-c_1)d}{c_1d+4c_2^2+7c_2d+d^2},\\[3mm] \displaystyle c_{234}=c_2-\frac{(2c_2^2+2c_2d+d^2)(3d+c_2-c_1)}{c_1d+4c_2^2+7c_2d+d^2}. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.17)

值得注意的是, 随着基本波继续传播, 这里和波结构为 $R_1R_2\mbox{-}R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2$ 的解不同在于这里新产生的基本波 $S_2$ 会与来自无穷远处的 $S_1$ 相交(新产生的基本波 $S_2$ 会与来自无穷远的 $R_1$ 相交).这就使得我们不得不继续分析相互作用条件.从文献[13]知 $R_1$ 和 $S_2$ 相互作用不会产生奇性解, 而 $S_1$ 和 $S_2$ 相互作用后无奇性解的条件为

$\begin{eqnarray}\label{224} (4c_1^2-2c_1d-d^2)c_2^2+(8c_1^3-16c_1^2d+6c_1d^2)c_2+4c_1^4-14c_1^3d+11c_1^2d^2-2c_1d^3+d^4>0. \end{eqnarray}$

引理3.2 方程组(2.1)满足初值(3.10), 且波结构为 $R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_1$ 的经典弱解存在的充要条件为(3.11), (3.13), (3.18)式.

重复基本波的相互作用过程, 可以计算 $U_{1234}$ 和 $U_{4123}$ .为了说明该波结构关于初始条件可解, 我们选取 $c_1=2d$ , $c_2=\frac{4}{5}d$ 为例即知满足条件(3.11), (3.13), (3.18)下, 方程的解非空.

综上所述, 我们在考虑如图 1所示的六个波结构的前提下, 可以得到如下结论.

定理3.1 方程组(1.1)在初值(1.3), (1.4)满足不同条件下可以构造不同波结构的分片光滑解.

证 将方程组(1.1)作自相似变换后转化成方程组(2.1).于是利用广义特征分析的方法求解(2.1), (1.3), (1.4)式具有六个基本波的情况.我们只需关注双曲区域内的解.引理3.1, {3.2}分别对应波结构 $R_1R_2\mbox{-}R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2$ , $R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_1$ 的在上述方法下双曲域内可解的充要条件.且(3.3), (3.7), (3.8), (3.9)式是波结构 $R_1R_2\mbox{-}R_1\mbox{-}R_1R_2\mbox{-}R_2$ 的分片光滑解. (3.12), (3.15), (3.17)式是波结构 $R_1S_2\mbox{-}S_1\mbox{-}S_1S_2\mbox{-}S_1$ 的分片光滑解.回归物理面 $(t,x_1,x_2)$ , 每个点 $(\xi_1,\xi_2)$ 对应两条射线 $x_1=\xi_1 t,x_2=\xi_2 t$ .因此, 我们得到了方程组(1.1)关于初始(3.1)及(3.10)的解.类似上述的分析过程可以讨论第二节中其他波结构的可解条件及构造其分片光滑解.