在局部 $p$ -凸空间( $0<p<1$ )共轭锥的研究中, 作者引进了拟平移不变拓扑锥与赋范拓扑锥等概念^[1-2].设 $E$ 是具有零元 $\theta$ 的可换半群.除加法外, 如果 $E$ 上还定义了非负数乘运算 $(t,x)\rightarrow tx$ , $x\in E$ , $t \in {\bf R}_{+}$ , 使对任意的 $x,y,z\in E$ , $s,t \in {\bf R}_{+}$ ,

(a) $s(tx)=(st)x$ ,

(b) $(s+t)x=sx+tx$ ,

(c) $t(x+y)=ty+tx$ ,

(d) $1\cdot x=x$ ,

(e) $0x =\theta$ ,

则称 $E$ 是凸锥^[3-4], 加法与非负数乘运算称为锥运算.如果在凸锥 $E$ 上

(f) $x+y=\theta$ $\Leftrightarrow$ $x=y=\theta$ ,

则称 $E$ 是真锥; 如果对任意的 $x,y,z\in E$ ,

(g) $x+y=x+z$ 意味着 $y=z$ ,

则称凸锥 $E$ 满足消去律^[1].如果凸锥 $E$ 上存使加法与非负数乘运算都连续的拓扑 $\tau$ , 则称 $\tau$ 是锥拓扑, $(E,\tau)$ 是拓扑锥.如果拓扑锥 $(E,\tau)$ 中 $\theta$ 点邻域基 ${\mathcal{U}}_{\theta}$ 到任意点 $x\in E$ 的拟平移

$\begin{eqnarray} x\oplus{\mathcal{U}}_{\theta}=\{x\oplus U:U\in {\mathcal{U}}_{\theta}\} \end{eqnarray}$

(1.1)

构成 $x$ 的邻域基, 则称 $(E,\tau)$ 是拟平移不变拓扑锥, 其中

$\begin{eqnarray} x\oplus U=\{y\in E:\ \ \mbox{存在}\ h,l\in U\ \ \mbox{使得}\ x+h=y+l\} \end{eqnarray}$

(1.2)

是集合 $U$ 到 $x$ 的拟平移.

如果真锥$E$上存在非负函数 $\|\cdot\|:E\rightarrow {\bf R}_{+}$ 使

(N $_{1}$ ) $\|x\|=0\Leftrightarrow x=\theta$ ,

(N $_{2}$ ) $\|tx\|=t\|x\|$ , $t\in {\bf R}_{+}$ , $x\in E$ ,

(N $_{3}$ ) $\|x\|,\|y\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ , $x,y\in E$ ,

则称 $\|\cdot\|$ 是锥范数, 称 $(E,\|\cdot\|)$ 是赋范锥^[1-2].条件(N $_{3}$ )的后一部分 $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ 是通常的三角不等式, 前一部分 $\|x\|,\|y\|\leq \|x+y\|$ 相当于在自然序

$\begin{eqnarray} x\preceq y \Leftrightarrow\ \mbox{存在}\ z\in E \ \mbox{使得}\ x+z=y \end{eqnarray}$

(1.3)

下锥范数 $\|\cdot\|$ 的单调性.一般来说, 由锥范数 $\|\cdot\|$ 导出的二元函数

$\begin{eqnarray} \rho(x,y)=\inf\{t>0:\ \mbox{存在}\ h,l\in B(t)\quad \mbox{使得}\quad x+h=y+l\} \end{eqnarray}$

(1.4)

是 $E$ 上的伪度量(即 $\rho(x,y)=0\not\Rightarrow x=y$ ), 其中 $B(t)=\{h\in E:\ \ \|h\|\leq t\}$ 是 $E$ 中半径为 $t$ 的闭扇.这时的度量拓扑使赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 构成拟平移不变拓扑锥, 称之为赋范拓扑锥^[1-2].由定义不难看出关系

$\begin{eqnarray} \rho(x,\theta)=\|x\|,\ \ x\in E \end{eqnarray}$

(1.5)

总成立.当由锥范 $\|\cdot\|$ 导出的 $\rho$ 是真度量(即 $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$ )时, 称 $(E,\|\cdot\|)$ 是分离赋范锥.例如, 对于真锥

$\begin{eqnarray} E=\left\{(\xi,\eta)\in {\bf R}^{2}:\ \ \xi>0,\eta\in {\bf R}\right\}\bigcup \{(0,0)\}, \end{eqnarray}$

锥范 $\|(\xi,\eta)\|=\xi+|\eta|$ 使 $(E,\|\cdot\|)$ 构成分离赋范锥, 而锥范 $|\|(\xi,\eta)|\|=\xi$ 使 $(E,|\|\cdot|\|)$ 构成非分离的赋范锥.

Radstrom曾在凸锥上引进过锥度量的概念.如果具有消去律的真锥 $E$ 上的度量 $d:E\times E\rightarrow {\bf R}_{+}$ 满足

(D $_{1}$ ) $d(x+z,y+z)=d(x,y)$ (平移不变性),

(D $_{2}$ ) $d(tx,ty)=td(x,y)$ , $t\in {\bf R}_{+}$ (正齐性),

则称 $d$ 是 $E$ 上的锥度量, 称 $(E,d)$ 是度量锥^[5].

我们知道, 线性空间上的范数与具有绝对齐性和平移不变性的度量(简称为线性度量)相互唯一确定^{[6, p206]}.但是对于真锥 $E$ 来说, 由锥范数 $\|\cdot\|$ 导出的 $\rho$ 可能只是 $E$ 上的一个伪度量.反过来, 由一般锥度量 $d$ 给出的 $\|x\|=d(x,0)$ , $x\in E$ 未必就是锥范数, 由于 $\|x\|=d(x,0)$ 往往不满足锥范条件(N $_{3}$ )中的单调性.这就是说, 与线性空间上范数与线性度量的关系不同, 在真锥上锥范数与锥度量差距很大, 二者并不相互确定.

作者在文献[1, p111]中给出了凸锥到线性空间的代数嵌入定理:

定理A 真锥 $E$ 能被嵌入某实线性空间的充分必要条件是消去律在 $E$ 中成立.

Radstrom先生在文献[5]中给出了度量锥到度量线性空间的嵌入定理:

定理B 设 $(M,d)$ 是具有消去律的度量锥.则存在最小的度量线性空间 $(N,\delta)$ 使 $(M,d)$ 可被度量嵌入其中:

(a) 存在 $(M,d)$ 到 $(N,\delta)$ 的某个子锥的等距同构 $T$ ,

(b) 对任意的 $(M,d)$ 可被嵌入的度量线性空间 $(N_{1},\delta_{1})$ , $(N,\delta)$ 等距同构于 $(N_{1},\delta_{1})$ 的某个子空间.

受定理A, B的启发, 本文首先研究赋范锥到赋范线性空间的嵌入问题.如上所述, 锥范数与锥度量差距很大, 二者并不相互确定, 故希望绕道度量锥, 借助定理B将赋范锥迂回嵌入赋范线性空间的方法既不直接, 也不严密.本文下一节采用构造性的几何方法, 直接给出赋范锥到赋范线性空间的嵌入定理.对于给定的赋范线性空间中的凸锥, 通过引进凸锥的"锐性模", 第三节研究由锥范数导出的延拓范数与原范数的等价关系.文章最后一节给出赋范锥上连续线性泛函的Hahn-Banach正延拓定理.

为了表述完整起见, 让我们从凸锥到线性空间的代数嵌入开始讨论, 所用的标准构造方法可以参看文献[1, p111]等.

设 $E$ 是具有消去律的真锥.在乘积空间 $X=E\times E$ 上建立等价关系

$\begin{eqnarray} (h_{1},l_{1})\sim (h_{2},l_{2})\Leftrightarrow h_{1}+l_{2}=h_{2}+l_{1},\end{eqnarray}$

(2.1)

则可将 $X$ 中的元素按照等价关系 $\sim$ 进行分类, 使 $X$ 中的每个序对 $(h,l)$ 属于, 且仅属于某个等价类.以下就将 $X$ 理解成由 $\sim$ 的陪集或等价类所成集合, 将其中每个序对 $(h,l)$ 理解成由其确定的等价类.在 $X$ 上规定"加法"与"数乘"运算如下

$\begin{eqnarray} (h_{1},l_{1})+(h_{2},l_{2})=(h_{1}+h_{2},l_{1}+l_{2}), \end{eqnarray}$

(2.2)

$\begin{eqnarray} t(h,l)=\left\{\begin{array}{ll} (th,tl),& t\geq 0,\\ (-tl,-th),& t< 0, \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(2.3)

不难验证两种运算的结果与代表选择无关, 且满足线性运算的所有性质, 故在这种运算下 $X$ 构成实线性空间, $(\theta,\theta)$ 为其中的零元.这时

$\begin{eqnarray} X_{E}=\{(h,\theta)\in X:\ \ h\in E\} \end{eqnarray}$

是 $X$ 中的真子锥, 且在自然映射 $j:E\rightarrow X$

$\begin{eqnarray} j(h)=(h,\theta),\ \ h\in E \end{eqnarray}$

(2.4)

下, $E$ 与 $X_{E}$ 代数同构, 即 $E$ 被代数嵌入实线性空间 $X$ .

若将 $X$ 中的序对 $(h,l)$ 形式地用 $h-l$ 表示, 则等价关系表现为

$\begin{eqnarray} h_{1}-l_{1}\sim h_{2}-l_{2}\Leftrightarrow h_{1}+l_{2}=h_{2}+l_{1}, \end{eqnarray}$

(2.5)

即在由消去律确定的可移项操作下, 等价符号" $\sim$ "可以简化为等号" $=$ ".如果再约定

$\begin{eqnarray} h-\theta=h,\ \ \theta-h=-h,\ \ \theta-\theta=\theta, \end{eqnarray}$

则 $E=X_{E}$ , $-E=\{-h:h\in E\}$ 是 $X$ 中 $E$ 的对称锥, $X$ 是由 $E$ 张成的线性空间, 即

$\begin{eqnarray} X={\mathrm{span}}E=\{h-l:\ \ h,l\in E\}=E-E. \end{eqnarray}$

(2.6)

在此意义下就称 $X=E-E$ 是由真锥 $E$ 自然生成的线性空间^{[1, p111]}.这时任何 $x\in X$ 可表示为 $x=h-l$ , $h,l\in E$ .值得注意的是这种表示并不唯一, 但若另有表示 $x=h_{1}-l_{1}$ , $h_{1},l_{1}\in E$ , 则 $h+l_{1}=h_{1}+l$ .由以上构造可知, 由真锥 $E$ 自然生成的线性空间 $X=E-E$ 具有最小性, 即当 $E$ 能被代数嵌入另一个线性空间 $Y$ 时, $X$ 必与 $Y$ 的某个子空间线性同构.

定义2.1 设 $(E,\|\cdot\|)$ 是赋范拓扑锥.如果存在半范线性空间 $(X,|\|\cdot|\|)$ 与其中的真锥 $F$ , 使 $(E,\|\cdot\|)$ 与 $(F,|\|\cdot|\|)$ 保范同构, 则称赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 可被嵌入半范线性空间 $(X,|\|\cdot|\|)$ .

在定义2.1中, 由 $(E,\|\cdot\|)$ 与 $(F,|\|\cdot|\|)$ 保范同构可知范数 $|\|\cdot|\|$ 在 $F$ 上一定满足条件 $(N_{3})$ 中的单调性 $|\|x|\|,|\|y|\|\leq |\|x+y|\|$ , $x,y\in F$ .

定理2.1 (赋范锥到赋半范线性空间的嵌入定理)设 $(E,\|\cdot\|)$ 是具有消去律的赋范锥.则在由 $E$ 自然生成的实线性空间 $X=E-E$ 上可以引进半范数 $|\|\cdot|\|$ , 使 $|\|h|\|=\|h\|$ , $h\in E$ , 即在由(2.4)式给出的自然映射 $j$ 下, 赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 被嵌入半范线性空间 $(X,|\|\cdot|\|)$ .

证 我们将采用构造性的几何方法进行证明.设 $B_{E}=\{h\in E:\ \|h\|\leq1\}$ 是 $E$ 中的单位闭扇, $X=E-E$ 是由 $E$ 自然生成的实线性空间.取

$\begin{eqnarray} B=B_{E}-B_{E}=\{h-l\in X:\ \ h,l\in B_{E}\}. \end{eqnarray}$

我们断言, $B$ 是线性空间 $X$ 中的均衡吸收凸集, 且 $B\bigcap E=B_{E}$ .集合 $B$ 的均衡性显然.对于任意的 $h_{1}-l_{1},h_{2}-l_{2}\in B$ 与 $0\leq\lambda,\mu$ , $\lambda+\mu=1$ , 由 $B_{E}$ 的凸性可知

$\begin{eqnarray} \lambda(h_{1}-l_{1})+\mu(h_{2}-l_{2})=(\lambda h_{1}+\mu h_{2})-(\lambda l_{1}+\mu l_{2})\in B, \end{eqnarray}$

即 $B$ 是凸集.设 $\theta\neq x\in X$ .当 $x\in E$ 时, 由 $[0,\frac{1}{\|x\|}]x\in B_{E}$ 可知 $B$ 吸收 $x$ ; 当 $x\in -E$ 时, 由 $[0,\frac{1}{\|x\|}]x\in -B_{E}$ 可知 $B$ 吸收 $x$ .当 $x=h-l$ , $\theta\neq h,l\in B_{E}$ 时, $[0,\frac{1}{\|h\|}]h\in B_{E}\subset B$ 与 $[0,\frac{1}{\|l\|}](-l)\in -B_{E}\subset B$ 同时成立.不妨就设 $\|h\|\geq \|l\|$ , 则 $[0,\frac{1}{\|h\|}](-l)\subset B$ 同样成立, 于是由 $B$ 的凸性可知

$\begin{eqnarray}[0,\frac{1}{2\|h\|}]x=[0,\frac{1}{2\|h\|}](h-l)\subset B, \end{eqnarray}$

这就验证了 $B$ 的吸收性.由定义可知 $B\bigcap E\supset B_{E}$ .如果 $B\bigcap E\neq B_{E}$ , 则存在 $h,l\in B_{E}$ 使 $h-l=x\in E$ , 且 $\|x\|>1$ .但由 $h=l+x$ 及 $E$ 中锥范数满足单调性可知

$\begin{eqnarray}1\geq\|h\|=\|l+x\|\geq \|x\|>1, \end{eqnarray}$

矛盾说明等式 $B\bigcap E=B_{E}$ 成立.这就证明了我们的断言.

我们知道, 线性空间上由均衡吸收凸集产生的Minkowsi泛函是其上的半范数^{[7, p39]}.现在取 $|\|\cdot|\|$ 是由 $B$ 产生的Minkowsi泛函, 即

$\begin{eqnarray} |\|x|\|:=P_{B}(x)=\inf\left\{t>0:x\in tB\right\},\ \ x\in X. \end{eqnarray}$

(2.7)

首先让我们验证 $|\|x|\|$ 与 $x$ 的代表选择无关, 即对不同表示 $x=h-l$ 与 $x=h_{1}-l_{1}$ ,

$\begin{eqnarray}P_{B}(h-l)=P_{B}(h_{1}-l_{1}).\end{eqnarray}$

(2.8)

对于任意的 $\varepsilon>0$ , 由定义(2.7), 存在满足 $P_{B}(h-l)\leq t<P_{B}(h-l)+\varepsilon$ 的正数 $t$ 使

$\begin{eqnarray} h-l\in t(B_{E}-B_{E}). \end{eqnarray}$

于是存在 $p,q\in B_{E}$ 使 $h-l=tp-tq$ , 或 $h+tq=tp+l$ .由 $h-l=h_{1}-l_{1}$ 可知 $h+l_{1}=h_{1}+l$ .将二等式交叉相加得

$\begin{eqnarray} h_{1}+tq+\left(h+l\right)=l_{1}+tp+\left(h+l\right). \end{eqnarray}$

由 $E$ 中消去律成立可知

$\begin{eqnarray} h_{1}+tq=l_{1}+tp\ \ \mbox{或}\quad h_{1}-l_{1}=t(p-q)\in t(B_{E}-B_{E}). \end{eqnarray}$

于是由定义(2.7)得

$\begin{eqnarray}P_{B}(h_{1}-l_{1})\leq t< P_{B}(h-l)+\varepsilon. \end{eqnarray}$

再由 $\varepsilon$ 的任意性可知 $P_{B}(h_{1}-l_{1})\leq P_{B}(h-l)$ .同理可得不等式 $P_{B}(h_{1}-l_{1})\geq P_{B}(h-l)$ , 或等式 $P_{B}(h_{1}-l_{1})=P_{B}(h-l)$ , 即 $|\|x|\|$ 与 $x$ 的代表选择无关.这就证明了 $|\|\cdot|\|$ 是线性空间 $X$ 上的半范数( $|\|x|\|=0\not\Rightarrow x=\theta$ ), $B$ 是相应的单位闭球.最后由 $B\bigcap E=B_{E}$ 可知在凸锥 $E$ 上 $\|\cdot\|$ 与 $|\|\cdot|\|$ 相同, 即在自然嵌入映射 $j$ 下, 赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 被嵌入半范线性空间 $(X,|\|\cdot|\|)$ .证毕.

刚才的证明通过单位球 $B=B_{E}-B_{E}$ 的构造给出了半范数 $|\|\cdot|\|$ 的几何直观.以下称半范 $|\|\cdot|\|$ 是锥范 $\|\cdot\|$ 在 $X=E-E$ 上的自然延拓, 称 $(X,|\|\cdot|\|)$ 是由 $(E,\|\cdot\|)$ 自然生成的半范线性空间.由构造过程可知由 $(E,\|\cdot\|)$ 自然生成的半范线性空间 $(X,|\|\cdot|\|)$ 具有最小性, 即当 $(E,\|\cdot\|)$ 能被嵌入另一半范线性空间 $Y$ 时, $X$ 必与 $Y$ 的某个子空间保范同构.

下面的命题给出了自然延拓半范 $|\|\cdot|\|$ 的另一种表达形式.

命题2.1 在定理2.1的证明中, 由等式(2.7)给出的半范 $|\|\cdot|\|$ 也可以表达成

$\begin{eqnarray} |\|x|\|=\rho(h,l),\ \ x=h-l\in X,\ h,l\in E. \end{eqnarray}$

(2.9)

证 由定义可知只需证明等式

$\begin{eqnarray} P_{B}(h-l)=\rho(h,l),\ h,l\in E. \end{eqnarray}$

设 $h,l\in E$ , $s>P_{B}(h-l)$ .由等式(2.7)存在满足 $P_{B}(h-l)\leq t<s$ 的正数 $t$ 使

$\begin{eqnarray}h-l\in t(B_{E}-B_{E})=B_{E}(t)-B_{E}(t),\end{eqnarray}$

即存在 $h_{1},l_{1}\in B_{E}(t)$ 使 $h-l=l_{1}-h_{1}$ , 或 $h+h_{1}=l+l_{1}$ .由定义(1.4)可知 $\rho(h,l)\leq t<s$ , 再让 $s\rightarrow P_{B}(h-l)$ 即得 $\rho(h,l)\leq P_{B}(h-l)$ .反过来, 对于任意的 $s>\rho(h,l)$ , 由定义(1.4)可知存在满足 $\rho(h,l)\leq t<s$ 的正数 $t$ 及 $h_{1},l_{1}\in B_{E}(t)$ 使 $h+h_{1}=l+l_{1}$ .于是由 $h-l=l_{1}-h_{1}\in B_{E}(t)-B_{E}(t)=tB$ 和定义(2.7)可知 $P_{B}(h-l)\leq t<s$ .最后让 $s\rightarrow \rho(h,l)$ 即得 $P_{B}(h-l)\leq \rho(h,l)$ , 从而

$\begin{eqnarray}P_{B}(h-l)=\rho(h,l), \end{eqnarray}$

即等式(2.9)成立.证毕.

定理2.2 (分离赋范锥到赋范线性空间的嵌入定理)设 $(E,\|\cdot\|)$ 是具有消去律的分离赋范锥.则在由 $E$ 自然生成的实线性空间 $X=E-E$ 上, 可以引进范数 $|\|\cdot|\|$ 使 $|\|h|\|=\|h\|$ , $h\in E$ , 即在(2.4)式给出的自然映射 $j$ 下, 赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 被嵌入赋范线性空间 $(X,|\|\cdot|\|)$ .

证 由 $(E,\|\cdot\|)$ 是分离赋范锥可知由 $\|\cdot\|$ 导出的 $\rho$ 是 $E$ 上的度量.于是由等式(2.9)可知由其导出的 $|\|\cdot|\|$ 是 $X=E-E$ 上的范数, 故由定理2.1即得结论.证毕.

如果线性空间 $X$ 上存在半序 $\preceq$ (自反、传递、反对称关系), 使对任意的 $x\preceq y$ 与 $z\in X$ , $t\in {\bf R}_{+}$ 有

$\begin{eqnarray}x+z\preceq y+z;\ \ tx\preceq ty,\end{eqnarray}$

则称 $(X,\preceq)$ 是序线性空间^{[8, p2]}.不难看出 $X$ 中的序 $\preceq$ 与其上的序正锥

$\begin{eqnarray} K=\{x\in X:\ \ x\succeq \theta\} \end{eqnarray}$

相互唯一确定: $x\preceq y\Leftrightarrow y-x\in K$ .当序线性空间 $(X,\preceq)$ 或 $(X,K)$ 上存在使序正锥 $K$ 为闭集的线性拓扑 $\tau$ 时, 称 $(X,\preceq,\tau)$ 或 $(X,K,\tau)$ 是序拓扑线性空间^{[9; 7,p222]}.于是当 $E$ 是具有消去律的真锥时, 由其自然生成的线性空间 $X=E-E$ 在由 $E$ 产生的自然序 $\preceq$ 下构成序线性空间.当 $(E,\|\cdot\|)$ 是具有消去律的赋范锥时, 由以上两个定理可知, 在锥范 $\|\cdot\|$ 的自然延拓半范 $|\|\cdot|\|$ 下, $(X,|\|\cdot|\|)$ 构成拓扑线性空间.但是这时由于序锥 $E$ 未必就是 $(X,|\|\cdot|\|)$ 中闭集, 从而 $(X,|\|\cdot|\|,\preceq)$ 未必就是严格意义上的序拓扑线性空间.

例如, 凸锥

$\begin{eqnarray}E_{1}=\{(\xi,\eta):\xi,\eta\in {{\bf R}}_{+}\}, E_{2}=\{(\xi,\eta):0<\xi,\eta\}\bigcup\{(0,0)\} \end{eqnarray}$

在锥范 $\|(\xi,\eta)\|=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$ 下均构成赋范拓扑锥.显然二者自然生成相同的赋范线性空间 $({{\bf R}}^{2},|\|\cdot|\|)$ .但由 $E_{1}$ 是其中的闭集可知 $({{\bf R}}^{2},\preceq_{1},|\|\cdot|\|)$ 构成序拓扑线性空间, 但由 $E_{2}$ 在其中非闭可知 $({{\bf R}}^{2},\preceq_{2},|\|\cdot|\|)$ 不是序拓扑线性空间.

设 $(X,\|\cdot\|)$ 是赋范线性空间, $E$ 是能够生成 $X$ 的真锥(即 $X=E-E$ ), 且在 $E$ 上范数 $\|\cdot\|$ 满足条件(N $_{3}$ )中的单调性, 即 $\|\cdot\|$ 使 $E$ 构成分离赋范锥.由定理2.2可知, 除了原范数 $\|\cdot\|$ 外, $X=E-E$ 上还有由 $E$ 上锥范 $\|\cdot\|$ 自然延拓得到的新范数 $|\|\cdot|\|$ .我们的问题是在 $X$ 上新范数 $|\|\cdot|\|$ 与原范数 $\|\cdot\|$ 是否相等, 或者是否等价?

以下例子说明, 一般来说二者相等问题的答案否定.

例3.1 二维实平面 $X={\bf R}^{2}$ 在通常范数 $\|x\|=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$ , $x=(\xi,\eta)\in X$ 下构成赋范线性空间.取 $E=\{(\xi,\eta):\xi,\eta\in {\bf R}_{+}\}$ , 则 $(E,\|\cdot\|)$ 是赋范锥, 且 $X=E-E$ .对于 $h=(1,1)$ , $l=(2,0)\in E$ , $\|h-l\|=\sqrt{2}$ .但是由于存在 $h_{1}=(1,0)$ , $l_{1}=(0,1)\in B$ 使 $h+h_{1}=l+l_{1}$ , 故由(2.9)与(1.4)式可知新范数 $|\|h-l|\|=\rho(h,l)\leq 1$ , 即 $\|h-l\|>|\|h-l|\|$ .

本节集中讨论两种范数的等价问题, 即是否存在有限正数 $k_{1}$ , $k_{2}$ 使

$\begin{eqnarray}k_{1}\|x\|\leq |\|x|\|\leq k_{2}\|x\|,\ \ x\in X.\end{eqnarray}$

(3.1)

为了找到满足关系(3.1)的适当系数 $k_{1}$ , $k_{2}$ , 在定理2.1的几何证法的启发下, 我们引进凸锥“锐性模”的概念.

定义3.1 设 $E$ 是赋范线性空间 $(X,\|\cdot\|)$ 中的真锥, 且在其上 $\|\cdot\|$ 满足条件 $(N_{3})$ , 则称数

$\begin{eqnarray} \gamma_{E}:=\inf\left\{t>0:\ \ B_{E}(t)-B_{E}(t)\supset B\bigcap(E-E) \right\} \end{eqnarray}$

(3.2)

是 $E$ 的锐性模, 其中 $B$ 是 $(X,\|\cdot\|)$ 中的闭单位球, $B_{E}(t)$ 表示赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 中半径为 $t$ 的闭扇, $E-E$ 是由 $E$ 自然生成的线性子空间.

从后续讨论我们将会看到, "锐性模"是刻画凸锥尖锐程度及其它性质的重要工具.

定理3.1 设 $E$ 是赋范线性空间 $(X,\|\cdot\|)$ 中的真锥, 且在其上 $\|\cdot\|$ 满足条件 $(N_{3})$ , 则

(ⅰ) 不等式 $\frac{1}{2}\leq\gamma_{E}$ 恒成立;

(ⅱ)当 $E$ 是一维射线锥时 $\gamma_{E}=1$ ;

(ⅲ)设 $E_{1}$ 是 $X$ 中另一个与 $E$ 有相同生成空间的真锥, 即 $E_{1}-E_{1}=E-E$ , 且在其上 $\|\cdot\|$ 满足条件 $(N_{3})$ .则当 $E_{1}\subset E$ 时 $\gamma_{E}\leq\gamma_{E_{1}}$ ;

(ⅳ)当 ${\mathrm{dim}}E<+\infty$ 时 $\gamma_{E}<+\infty$ , 其中 ${\mathrm{dim}}E:={\mathrm{dim}}(E-E)$ 称为凸锥 $E$ 的维数.

证 (ⅰ)如果不然, 则存在某个满足条件(N $_{3}$ )的真锥 $E\subset X$ 使 $\gamma_{E}< \frac{1}{2}$ .由定义存在某个满足 $\gamma_{E}\leq t<\frac{1}{2}$ 的 $t>0$ , 使 $B_{E}(t)-B_{E}(t)\supset B\bigcap(E-E)$ .任取 $x_{0}\in (E-E)$ 使 $\|x_{0}\|=1$ , 则由 $x_{0}\in B_{E}(t)-B_{E}(t)$ 可知, 存在 $h,l\in B_{E}(t)$ 使 $x_{0}=h-l$ .于是

$\begin{eqnarray}1=\|x_{0}\|=\|h-l\|\leq\|h\|+\|l\|<2t<1,\end{eqnarray}$

矛盾说明 $\frac{1}{2}\leq\gamma_{E}$ .

(ⅱ)此时可设 $E=\{tx_{0}:\ t\in {\bf R}_{+}\}$ , 其中 $x_{0}\in X$ , $\|x_{0}\|=1$ .由 $B_{E}-B_{E}=[-x_{0},x_{0}]=B\bigcap(E-E)$ 可知 $\gamma_{E}\leq1$ .反过来, 如果 $\gamma_{E}<1$ , 则存在满足 $\gamma_{E}\leq t<1$ 的数 $t>0$ 使 $B_{E}(t)-B_{E}(t)\supset B\bigcap(E-E)=[-x_{0},x_{0}]$ .于是存在 $h=ax_{0},l=bx_{0}\in B_{E}(t)$ , $0\leq a,b\leq t$ , 使 $x_{0}=h-l$ .但此时

$\begin{eqnarray}1=\|x_{0}\|=\|h-l\|=|a-b|\|x_{0}\|<1,\end{eqnarray}$

矛盾说明 $\gamma_{E}=1$ .

(ⅲ)对于任意的 $s>\gamma_{E_{1}}$ , 由定义存在满足 $\gamma_{E_{1}}\leq t<s$ 的 $t>0$ 使 $B_{E_{1}}(t)-B_{E_{1}}(t)\supset B\bigcap(E_{1}-E_{1})$ .于是由 $E_{1}\subset E$ 和 $E_{1}-E_{1}=E-E$ 可知

$\begin{eqnarray} B_{E}(t)-B_{E}(t)\supset B_{E_{1}}(t)-B_{E_{1}}(t)\supset B\bigcap(E_{1}-E_{1})=B\bigcap(E-E), \end{eqnarray}$

从而 $\gamma_{E}\leq t<s$ .再让 $s\rightarrow \gamma_{E_{1}}$ 即得 $\gamma_{E}\leq\gamma_{E_{1}}$ .

(ⅳ)现在不妨就设 $X=E-E$ 是有限维空间.此时由开扇形 $\stackrel{\circ}{B}(t)=\{h\in E:\|h\|<t\}$ 构成的开集族 $\{\stackrel{\circ}{B}(t)-\stackrel{\circ}{B}(t):\ \ t>0\}$ 构成紧集 $B$ 的覆盖, 从而存在 $B$ 的有限覆盖

$\begin{eqnarray} \{\stackrel{\circ}{B}(t_{i})-\stackrel{\circ}{B}(t_{i}):\ \ i=1,2,\cdots k\}. \end{eqnarray}$

不妨设 $t_{i}\leq t_{k}$ $(i=1,2,\cdots k-1)$ , 则由 $B_{E}(t_{k})-B_{E}(t_{k})\supset B$ 可知 $\gamma_{E}\leq t_{k}<+\infty$ .证毕.

由定理3.1的(ⅲ)可知, 在所生成子空间不变的前提下, 锐性模 $\gamma_{E}$ 反映了真锥 $E$ 的尖锐程度, 即 $\gamma_{E}$ 越大 $E$ 越尖锐, 越小越凸钝.但当维数发生改变时以上结论不再成立, 下面给出一个这样的例子.

例3.2 在 ${\bf R}^{2}$ 中考虑通常范数 $\|x\|=\|(\xi,\eta)\|=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$ , 取真锥 $E=\{(\xi,\eta):\ \ 0\leq \eta\leq\xi\}$ , 取 $E_{1}=\{(\xi,0):\ \xi\geq0\}$ 为正半横轴.显然 $E_{1}\subset E$ , $1={\mathrm{dim}}E_{1}<{\mathrm{dim}}E=2$ .由定理3.1的(ⅱ)可知 $\gamma_{E_{1}}=1$ , 但通过简单计算不难得到 $\gamma_{E}=\sqrt{2}$ , 从而 $\gamma_{E}>\gamma_{E_{1}}$ .

在定理3.1的(ⅳ)中, 有限维条件 ${\mathrm{dim}}E<+\infty$ 是不可或缺的, 即当 ${\mathrm{dim}}E=+\infty$ 时 $\gamma_{E}=+\infty$ 是可能的.下面就是一个这样的例子:

例3.3 在实赋范线性空间 $l^{1}$ 中, 取

$\begin{eqnarray} E_{1}=\left\{(\xi_{1},0,\cdots ):\ \ \xi_{1}\in {\bf R}_{+}\right\}, \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray} E_{n}=\left\{(\overbrace{\xi_{1},0,\cdots ,0,\xi_{n}}^{n},0,\cdots ):\ \ 0\leq\xi_{n}\leq \frac{\xi_{1}}{n},\xi_{1}\in {\bf R}_{+}\right\}, \ \ n=2,3,\cdots, \end{eqnarray}$

取凸锥 $E={\overline{\mathrm{co}}}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty}E_{n}\right)$ , 则 ${\mathrm{dim}}E=+\infty$ , 且由 $E$ 中元素坐标的非负性可知 $l^{1}$ 中范数 $\|\cdot\|$ 在 $E$ 上满足条件 $(N_{3})$ .我们断言, 对任意自然数 $n_{0}$ 均有 $B_{E}(n_{0})-B_{E}(n_{0})\not\supset B\bigcap(E-E)$ , 从而 $\gamma_{E}=+\infty$ .设 $n_{0}\in{\bf N}$ , 为了验证断言, 只需对 $n=n_{0}+2$ 验证 $B\bigcap(E-E)$ 中元 $ P_{0}=(\overbrace{0,\cdots ,0,1}^{n},0\cdots )\not\in B_{E}(n_{0})-B_{E}(n_{0}) $ 即可.如果不然, 则存在

$\begin{eqnarray} P'=(\xi_{1}',\xi_{2}',\cdots ,\xi_{k}',\cdots ), \ \ P''=(\xi_{1}'',\xi_{2}'',\cdots ,\xi_{k}'',\cdots )\in B_{E}(n_{0}), \end{eqnarray}$

使 $P'-P''=P_{0}$ .于是 $ \xi_{1}'=\xi_{1}''$ , $\xi_{n}'=\xi_{n}''+1$ , 且 $\xi_{1}'+\xi_{n}',\ \ \xi_{1}''+\xi_{n}''\leq n_{0}$ .由 $E$ 的构造可知 $0\leq \xi_{n}'\leq \frac{\xi_{1}'}{n}$ , $0\leq \xi_{n}''\leq\frac{\xi_{1}''}{n}$ , 于是 $\xi_{1}'+\xi_{n}''+1\leq n_{0}$ 与 $1+\xi_{n}''\leq \frac{\xi_{1}'}{n}$ 同时成立.联立即得

$\begin{eqnarray} 1+\xi_{n}''\leq \frac{1}{n}(n_{0}-(1+\xi_{n}'')), \end{eqnarray}$

于是得到矛盾

$\begin{eqnarray} 1<(1+\frac{1}{n})(1+\xi_{n}'')\leq \frac{n_{0}}{n}<1. \end{eqnarray}$

这就证明了 $P_{0}\not\in B_{E}(n_{0})-B_{E}(n_{0})$ , 或 $\gamma_{E}=+\infty$ .

下面两个定理回答了本节开头提出的两种范数的等价问题.

定理3.2 设 $E$ 是赋范线性空间 $(X,\|\cdot\|)$ 中的真锥, $X=E-E$ , 且在其上 $\|\cdot\|$ 满足条件 $(N_{3})$ , 则

$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|x\|\leq |\|x|\|\leq \gamma_{E}\|x\|,\ \ x\in X, \end{eqnarray}$

(3.3)

其中 $|\|\cdot|\|$ 是 $E$ 上锥范 $\|\cdot\|$ 到 $X=E-E$ 的自然延拓范数.

证 由条件 $X=E-E$ 中任何元都可以表达成 $x=h-l$ , $h,l\in E$ .由命题2.1的可知 $|\|x|\|=|\|h-l|\|=\rho(h,l),\ h,l\in E$ , 于是只要证明不等式

$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|h-l\|\leq \rho(h,l)\leq \gamma_{E}\|h-l\|,\ \ h,l\in E \end{eqnarray}$

(3.4)

即可.对于任意的 $h,l\in E$ 与 $s>\rho(h,l)$ , 由定义(1.4)存在 $h_{1},l_{1}\in E$ , $\|h_{1}\|,\|l_{1}\|<s$ 使 $h+h_{1}=l+l_{1}$ , 于是 $\|h-l\|=\|l_{1}-h_{1}\|\leq \|l_{1}\|+\|h_{1}\|<2s$ .让 $s\rightarrow\rho(h,l)$ 即得 $\|h-l\|\leq 2\rho(h,l)$ , 或 $\frac{1}{2}\|h-l\|\leq \rho(h,l)$ .

另一方面, 当 $\gamma_{E}=+\infty$ 或 $h-l=\theta$ 时 $\rho(h,l)\leq \gamma_{E}\|h-l\|$ 总成立.当 $\gamma_{E}<+\infty$ 且 $h-l\not=\theta$ 时有 $\frac{h-l}{\|h-l\|}\in B\bigcap(E-E)$ .对于任意的 $s>\gamma_{E}$ , 由定义存在满足 $\gamma_{E}\leq t<s$ 的正数 $t$ 使 $\frac{h-l}{\|h-l\|}\in B_{E}(t)- B_{E}(t)$ , 即存在 $h_{1},l_{1}\in E$ , $\|h_{1}\|,\|l_{1}\|\leq t$ 使 $\frac{h-l}{\|h-l\|}=l_{1}-h_{1}$ .于是由 $h+\|h-l\|h_{1}=l+\|h-l\|l_{1}$ 可知 $\rho(h,l)\leq \|h-l\|t<\|h-l\|s$ .最后让 $s\rightarrow\gamma_{E}$ 即得 $\rho(h,l)\leq \gamma_{E}\|h-ly\|$ .这就证明了不等式(3.4)与(3.3).证毕.

综合定理2.1与定理3.1, 3.2立即得到

定理3.3 设 $E$ 是赋范线性空间 $(X,\|\cdot\|)$ 中的真锥, $X=E-E$ , 且在其上 $\|\cdot\|$ 满足条件 $(N_{3})$ .则当 $\gamma_{E}<+\infty$ 或 ${\mathrm{dim}}E<+\infty$ 时, $E$ 上锥范 $\|\cdot\|$ 在 $X$ 上的自然延拓范数 $|\|\cdot|\|$ 与 $X$ 上的原范数 $\|\cdot\|$ 等价.

在嵌入定理与范数等价定理的基础上, 本节第一部分研究赋范锥上连续线性泛函到其自然生成半范空间上的Hahn-Banach正延拓问题, 第二部分研究子锥到真锥上连续线性泛函的保范延拓问题.

设 $E$ , $F$ 是两个真锥, 映射 $T:E\rightarrow F$ 称为线性的^{[4, p115]}, 如果

(L $_{1}$ ) $T(x+y)=T(x)+T(y),\ \ x,y\in E$ ,

(L $_{2}$ ) $T(tx)=tT(x),\ \ x\in E,\ t\in {\bf R}_{+}$ .

值得注意的是线性映射总满足 $T(\theta)=\theta$ , 且在由(1.3)式给出的自然序 $\preceq$ 下保序.从凸锥 $E$ 到 $\bf R_{+}$ 上的线性映射称为线性泛函, 这里 $\bf R_{+}$ 被看做通常拓扑下的赋范拓扑锥, 此时的保序体现为真锥 $E$ 上的每个线性泛函均单调.用 $E' $ 表示凸锥 $E$ 上线性泛函全体构成的真锥, 称为 $E$ 的代数共轭锥.拓扑锥 $E$ 上连续线性泛函全体构成的真锥 $E^{*}$ 称为 $E$ 的(拓扑)共轭锥.对于赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 与 $f\in E' $ , 称

$\begin{eqnarray} \|f\|:=\sup\limits_{x\in B_{E}}f(x) \end{eqnarray}$

(4.1)

是 $f$ 的范数.不难验证 $f\in E^{*}\Leftrightarrow \|f\|<+\infty$ , 此时 $f(x)\leq \|f\|\|x\|$ , $x\in E$ 总成立.

在第二节末尾, 我们引进了序线性空间与序拓扑线性空间的概念, 并且知道并非每个由赋范锥自然生成的半范空间都是自然序下的序拓扑线性空间.序线性空间 $(X,K)$ 上的线性泛函 $f$ 称为正的如果 $f[K]\subset {\bf R}_{+}$ , 即 $f$ 在正锥 $K$ 上取值非负.以下用 $X_{+}^{*}$ 表示具有线性拓扑 $\tau$ 的序线性空间 $(X,K)$ 上连续正线性泛函构成的凸锥.

首先给出赋范锥到其自然生成半范空间上连续线性泛函的保范正延拓定理:

定理4.1 设 $(E,\|\cdot\|)$ 是具有消去律的赋范锥, 设 $(X,\|\cdot\|)$ 是由 $E$ 自然生成的赋范线性空间.则任意连续线性泛函 $f_{0}\in E^{*}$ 可以保范延拓为 $X$ 上的连续正线性泛函 $f\in X_{+}^{*}$ .

证 设 $f_{0}\in E^{*}$ .取 $f$ 是 $f_{0}$ 到 $X$ 的自然延拓, 即

$\begin{eqnarray} f(x):=f_{0}(h)-f_{0}(l),\ \ x=h-l\in X,\ h,l\in E. \end{eqnarray}$

(4.2)

当 $x$ 也被表为 $h_{1}-l_{1}$ 时, 由 $h+l_{1}=l+h_{1}$ 与 $f_{0}(h)+f_{0}(l_{1})=f_{0}(l)+f_{0}(h_{1})$ 得

$\begin{eqnarray} f(h-l)=f_{0}(h)-f_{0}(l)=f_{0}(h_{1})-f_{0}(l_{1})=f(h_{1}-l_{1}), \end{eqnarray}$

即 $f$ 是 $X$ 上唯一确定的实值泛函.函数 $f$ 的线性是显然的, 且 $f(h)=f_{0}(h)\in {\bf R}_{+}$ , $h\in E$ , 故 $f$ 是 $f_{0}$ 到 $X$ 上的正线性延拓.下面验证 $f$ 保范即可.由定理2.1的几何证法可知 $X$ 中单位闭球 $B$ 满足 $B\bigcap E=B_{E}$ , 从而

$\begin{eqnarray} \|f\|=\sup\limits_{x\in B}f(x)\geq \sup\limits_{x\in B_{E}}f(x)=\|f_{0}\|. \end{eqnarray}$

反过来, 由于 $X$ 的单位闭球 $B$ 中任何元均可以表示为 $x=h-l,\ \ h,l\in B_{E}$ , 于是

$\begin{eqnarray} \|f\|&=&\sup\{|f(x)|:\ \ x\in B\}\nonumber\\ &=&\sup\{|f_{0}(h)-f_{0}(l)|:\ \ h,l\in B_{E}\}\nonumber\\ &\leq&\sup\{\max\{ f_{0}(h),f_{0}(l)\}:\ \ h,l\in B_{E}\} \leq\|f_{0}\|,\nonumber \end{eqnarray}$

从而 $f\in X_{+}^{*}$ , 且 $\|f\|=\|f_{0}\|$ .证毕.

注4.1 由自然生成空间 $X=E-E$ 的唯一性可知由(4.2)式给出的 $f_{0}$ 的自然延拓具有唯一性.

定理4.2 设 $E$ 是赋范线性空间 $(X,\|\cdot\|)$ 中满足条件 $(N_{3})$ 的真锥, $X=E-E$ , 且 $\gamma_{E}<+\infty$ .则对任意的 $f_{0}\in E^{*}$ , 其自然延拓 $f\in X_{+}^{*}$ , 且

$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|f_{0}\|\leq\|f\|\leq\gamma_{E}\|f_{0}\|. \end{eqnarray}$

(4.3)

证 由于 $(E,\|\cdot\|)$ 是赋范锥, 现在 $X$ 上存在由 $E$ 上锥范 $\|\cdot\|$ 按(2.7)或(2.9)式生成的另一个范数 $|\|\cdot|\|$ .由定理2.1的几何证法可知 $X$ 上关于 $|\|\cdot|\|$ 的单位球为 $B_{|\|\cdot|\|}=B_{E}-B_{E}$ , 其中 $B_{E}=\{x\in E:\ \|x\|\leq1\}$ .设 $f_{0}\in E^{*}$ .由定理4.1可知由(4.2)式定义的 $f$ 是 $f_{0}$ 到 $X$ 上的正线性延拓, 且关于 $|\|\cdot|\|$ 保范, 即

$\begin{eqnarray} |\|f|\|=\sup\limits_{|\|x|\|\leq 1}|f(x)|=\sup\limits_{x\in B_{E}}f(x)=\|f_{0}\|, \end{eqnarray}$

于是 $f\in (X,|\|\cdot|\|)_{+}^{*}$ .由 $E$ 的锐性模 $\gamma_{E}<+\infty$ 与定理3.2给出的关系(3.3), 即

$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|x\|\leq |\|x|\|\leq \gamma_{E}\|x\|,\ \ x\in X, \end{eqnarray}$

可知 $f\in \left(X,\|\cdot\|\right)_{+}^{*}$ .再由

$\begin{eqnarray} \|f\|&=&\sup\{|f(x)|:\ \ \|x\|\leq1\}\nonumber\\ &\leq&\sup\{|f(x)|:\ \ |\|x|\|\leq\gamma_{E}\}\nonumber\\ &=&\gamma_{E}\sup\left\{|f(\frac{x}{\gamma_{E}})|:\ \ |\|\frac{x}{\gamma_{E}}|\|\leq1\right\}\nonumber\\ &=&\gamma_{E}|\|f|\|=\gamma_{E}\|f_{0}\|\nonumber \end{eqnarray}$

与

$\begin{eqnarray} \|f_{0}\|&=&|\|f|\|=\sup\{|f(x)|:\ \ |\|x|\|\leq1\}\nonumber\\ &\leq&\sup\left\{|f(x)|:\ \ \|\frac{x}{2}\|\leq1\right\}\nonumber\\ &=&2\sup\left\{|f(\frac{x}{2})|:\ \ \|\frac{x}{2}\|\leq1\right\} =2\|f\|,\nonumber \end{eqnarray}$

可知 $f\in X_{+}^{*}$ 的范数满足不等式

$\begin{eqnarray} \frac{1}{2}\|f_{0}\|\leq\|f\|\leq\gamma_{E}\|f_{0}\|. \end{eqnarray}$

证毕.

注4.2 以下例子说明, 定理4.2中的正线性延拓不能由连续加强为保范, 因为 $(X,|\|\cdot|\|)$ 中单位闭球 $B_{|\|\cdot|\|}= B_{E}- B_{E}$ 与 $(X,\|\cdot\|)$ 中单位闭球 $B_{\|\cdot\|}$ 往往不同.

例4.1 在 $X={\bf R}^{2}$ 上取通常范数 $\|(\xi,\eta)\|=\sqrt{\xi^{2}+\eta^{2}}$ , 取 $E=\{(\xi,\eta):\ \ 0\leq\eta\leq\xi\}$ , $\preceq$ 是由真锥 $E$ 确定的自然序, 则 $(X,\preceq,\|\cdot\|)$ 是Banach格^{[10, p81]}.不难看出这时 $B_{|\|\cdot|\|}\neq B_{\|\cdot\|}$ .取

$\begin{eqnarray} f_{0}(\xi,\eta)=2\xi-\eta,\ \ (\xi,\eta)\in E, \end{eqnarray}$

显然 $f_{0}\in E^{*}$ , 且

$\begin{eqnarray} \|f_{0}\|=\sup\{2\xi-\eta:\ \ 0\leq\eta\leq\xi, \xi^{2}+\eta^{2}\leq 1\}=f_{0}(1,0)=2. \end{eqnarray}$

但是对于 $f_{0}$ 到 $X$ 上的自然延拓 $f(\xi,\eta)=2\xi-\eta,\ \ (\xi,\eta)\in X$ , 通过简单计算可得

$\begin{eqnarray} \|f\|=\sup\{|2\xi-\eta|:\ \ |\xi|^{2}+|\eta|^{2}\leq1\}=f(\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}) =\sqrt{5}, \end{eqnarray}$

即 $\|f\|>\|f_{0}\|$ .在例3.2中我们已经知道 $\gamma_{E}=\sqrt{2}$ , 本例进一步说明包含在(4.3)式中的严格不等式 $\frac{1}{2}\|f_{0}\|<\|f\|<\gamma_{E}\|f_{0}\|$ 可能成立.

下面给出子锥到真锥上线性泛函的延拓定理, 进而得到共轭锥对于赋范锥的分离定理.

定理4.3 设 $E_{0}$ 是赋范锥 $(E,\|\cdot\|)$ 的子锥, 则对任意的 $ f_{0}\in E^{*}$ , 存在 $f\in E^{*}$ 使 $f(y)=f_{0}(y),\ \ y\in E_{0}$ , 且 $\|f\|=\|f_{0}\|$ .

证 我们将用Zorn引理分两部分完成定理证明.

(a) 对于任意的 $x_{1}\in E\backslash E_{0}$ , 取由 $\{x_{1}\}$ 与 $E_{0}$ 生成的子锥

$\begin{eqnarray} E_{1}=\{y+tx_{1}:\ \ y\in E_{0},t\in {\bf R}_{+}\}. \end{eqnarray}$

在 $E_{1}$ 上定义 $P(x):=\|f_{0}\|\|x\|$ , $x\in E_{1}$ , 则 $P$ 是 $E_{1}$ 上的连续次半范(非负、次加、正齐性泛函).对任意的 $y\in E_{0}$ , 由锥范数满足单调性可知

$\begin{eqnarray} P(y+x_{1})=\|f_{0}\|\|y+x_{1}\|\geq\|f_{0}\|\|y\|\geq f_{0}(y),\ \ y\in E_{0}. \end{eqnarray}$

于是

$\begin{eqnarray} M=\inf\{P(y+x_{1})-f_{0}(y):\ \ y\in E_{0}\} \end{eqnarray}$

满足 $0\leq M<+\infty. $ 任取 $0\leq\xi\leq M$ , 并在 $E_{1}$ 上定义

$\begin{eqnarray} f_{1}(y+tx_{1})=f_{0}(y)+t\xi,\ \ y\in E_{0},t\in {\bf R}_{+}. \end{eqnarray}$

显然 $f_{1}$ 是凸锥 $E_{1}$ 上的(非负值)线性泛函, 且 $f_{1}(y)=f_{0}(y)$ , $y\in E_{0}$ , 即 $f_{1}$ 是 $f_{0}$ 到 $E_{1}$ 上的线性延拓.对于任意的 $t>0$ , 由

$\begin{eqnarray} 0\leq\xi\leq M\leq P(\frac{y}{t}+x_{1})-f_{0}(\frac{y}{t}),\ \ y\in E_{0} \end{eqnarray}$

得

$\begin{eqnarray} f_{0}(\frac{y}{t})+\xi\leq M+f_{0}(\frac{y}{t})\leq P(\frac{y}{t}+x_{1}),\ \ y\in E_{0}, \end{eqnarray}$

于是由 $f_{0}$ 与 $P$ 的正齐性可知

$\begin{eqnarray} f_{1}(y+tx_{1})=f_{0}(y)+t\xi \leq P(y+tx_{1})=\|f_{0}\|\|y+tx_{1}\|, \end{eqnarray}$

即 $f_{1}\in E_{1}^{*}$ , 且 $\|f_{1}\|\leq \|f_{0}\|$ .再由 $f_{1}$ 是 $f_{0}$ 的延拓可知 $\|f_{1}\|= \|f_{0}\|$ , 即 $f_{1}$ 是 $f_{0}$ 到 $E_{1}$ 上的保范线性延拓.

(b) 用 $\cal F$ 表示 $f_{0}$ 的全部保范线性延拓的集合, 则由(a)可知 ${\cal F}\neq\Phi$ (非空).对于任意的 $g',g''\in \cal F$ , 规定次序

$\begin{eqnarray} g'\ll g''\Leftrightarrow D(g')\subseteq D(g''),\ \ g''(x)=g'(x),x\in D(g'), \end{eqnarray}$

其中 $D(g)$ 表示延拓 $g$ 的定义域, 则 $(\cal F,$ $\ll)$ 构成半序空间.对于 $\cal F$ 中的任意全序子集 $\cal M$ , 取 $D=\bigcup_{g\in \cal M}D(g)$ , 则

$\begin{eqnarray} G(x)=g(x),\ \ x\in D(g),g\in \cal M \end{eqnarray}$

是 $\cal M$ 的一个上界.于是由Zorn引理可知 $(\cal F,$ $\ll)$ 中存在极大元 $f$ , 最后只要验证 $D(f)=E$ 即可.如果不然, 任取一点 $x_{0}\in E\backslash D(f)$ , 同(a)中一样可以得到 $f$ 到 $D_{1}=\{x+ax_{0}:x\in D(f)\}$ 的保范真延拓 $g\in \cal F$ .显然 $f\ll g_{1}$ , $f\neq g$ , 这与 $f$ 的极大性矛盾.证毕.

推论 设 $(E,\|\cdot\|)$ 是赋范锥, 则对任意的 $\theta\neq x_{0}\in E$ , 存在 $ f\in E^{*}$ 使 $f(x_{0})=\|x_{0}\|$ , $\|f\|=1$ .

证 在由 $x_{0}$ 生成的一维子锥 $E_{0}=\{tx_{0}:\ t\in {\bf R}_{+}\}$ 上定义

$\begin{eqnarray} f_{0}(tx_{0})=t\|x_{0}\|,\ \ t\in {\bf R}_{+}, \end{eqnarray}$

则有 $f_{0}\in E_{0}^{*}$ , $f_{0}(x_{0})=\|x_{0}\|$ 且 $\|f_{0}\|=1$ .于是由定理4.3存在 $f_{0}$ 到 $E$ 上的保范延拓 $ f\in E^{*}$ 使 $f(x_{0})=\|x_{0}\|$ , $\|f\|=1$ .证毕.

注4.3 由以上证明过程不难看出, 定理4.3及其推论中的延拓泛函并不唯一.

定理4.4 设 $(E,\|\cdot\|)$ 是赋范锥, 则 $E^{*}$ 分离 $E$ .

证 设 $x_{1},x_{2}\in E$ , $x_{1}\neq x_{2}$ .下面我们将分三种情况在 $E^{*}$ 中寻找非零线性泛函 $f$ 分离 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ , 即 $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ .

(a) 当 $x_{1}=\theta$ 时, 由定理4.3的推论可知存在 $f\in E^{*}$ 使 $f(x_{2})=\|x_{2}\|>0$ , 且 $\|f\|=1$ , 从而 $0=f(x_{1})< f(x_{2})$ .

(b) 当 $x_{1},x_{2}\neq\theta$ , 但存在 $b>1$ 使 $x_{2}=bx_{1}$ 时, 采用推论的证明方法, 在由 $x_{1}$ 生成的子锥 $E_{1}=\{tx_{1}:t\in {\bf R}_{+}\}$ 上定义

$\begin{eqnarray} f_{1}(tx_{1})=t\|x_{1}\|,\ \ t\in {\bf R}_{+}, \end{eqnarray}$

则有 $\theta\neq f_{1}\in E_{1}^{*}$ , $\|f_{1}\|=1$ , 且 $f_{1}(x_{1})=\|x_{1}\|\neq b\|x_{1}\|=f_{1}(x_{2})$ .由定理4.3可知 $f_{1}$ 到 $E$ 上的保范延拓 $ f\in E^{*}$ 分离 $x_{1}$ 与 $x_{2}$ .

(c) 当 $x_{1},x_{2}\neq\theta$ , 且 $x_{2}\not\in E_{1}=\{tx_{1}:t\in {\bf R}_{+}\}$ 时, 对于(b)中定义的 $f_{1}\in E_{1}^{*}$ , 采用定理4.3的证明中第一部分使用过的相同方法, 注意

$\begin{eqnarray} P(tx_{1}+x_{2}):=\|f_{1}\|\|tx_{1}+x_{2}\|\geq \|tx_{1}\|=t\|x_{1}\|=f_{1}(tx_{1}),\ \ tx_{1}\in E_{1}. \end{eqnarray}$

于是

$\begin{eqnarray} M=\inf\left\{P(tx_{1}+x_{2})-f_{1}(tx_{1}):\ \ tx_{1}\in E_{1}\right\} \end{eqnarray}$

满足 $ 0\leq M<+\infty. $ 任取 $0\leq\xi\leq \min\{M,\frac{1}{2}\|x_{1}\|\}$ , 并在由 $x_{1},x_{2}$ 张成的真锥

$\begin{eqnarray}E_{2}=\{sx_{1}+tx_{2}:\ \ s,t\in {\bf R}_{+}\}\end{eqnarray}$

上定义

$\begin{eqnarray} f_{2}(sx_{1}+tx_{2})=f_{1}(sx_{1})+t\xi,\ \ s,t\in {\bf R}_{+}, \end{eqnarray}$

则 $f_{2}$ 是 $f_{1}$ 到 $E_{2}$ 上的保范延拓, 且 $f_{2}(x_{1})=\|x_{1}\|>\xi=f_{2}(x_{2})$ .再次利用定理4.3将 $f_{2}$ 保范延拓为 $f\in E^{*}$ , 则 $f(x_{1})\neq f(x_{2})$ , 这就证明了 $E^{*}$ 分离 $E$ .证毕.