众所周知, 函数的凸性和广义凸性在最优化理论及其应用领域中扮演重要角色.在众多广义凸性中, 不变凸函数是一类非常有意义的广义凸函数.这类广义凸函数最早由Hanson^[1]给出, 随后, Jeyakumar和Mond^[2]对这类广义凸性进行了推广, 提出了 $V$ -不变凸函数的概念, 并在这种广义凸性假设下研究了非线性规划问题的最优性条件. Emam^[3]引进了 $B$ -不变凸函数的概念, 并讨论了这类广义凸函数的性质以及多目标规划的最优性条件. Ivanov^[4]给出了二阶不变凸函数的概念, 并讨论了非线性规划问题的最优解. Yang和Yang^[5]研究了伪不变凸函数的一些性质, 并且在这种伪不变凸性和函数的不变伪单调条件下讨论了向量变分不等式与向量优化问题解之间的关系. Yu和Liu^[6]在一种广义代数运算下, 研究了一类广义不变凸函数并讨论了多目标规划的最优性条件.本文将在以上介绍的广义凸性基础上, 引进一类更弱的广义不变凸函数, 称之为 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数.

在凸性和广义凸性条件下, 向量变分不等式与多目标优化问题解之间的关系以及向量变分不等式解的存在性是近些年来国内外学者研究的两个热点. Giannessi^[7]针对可微函数首次讨论了Minty型向量变分不等式与向量优化问题有效解之间的关系.最近, Homidan和Ansari^[8]针对不可微函数研究了一类广义Minty型向量变分不等式和向量优化解之间的关系. Rezaie和Zafarani^[9]在不可微函数的广义单调性和伪不变凸性假设下, 讨论了Stampacchia型和Minty型向量变分不等式与向量优化问题解之间的关系. Yang, Yang和Teo^[10]在函数的伪凸性和伪单调假设下, 研究了Minty型向量变分不等式与向量优化问题解之间的关系. Long, Peng和Wu^[11]在函数的伪不变凸性和不变伪单调假设下, 研究了广义向量变分不等式的解与非光滑向量优化问题的有效解与弱有效解之间的关系. Ansari和Rezaie^[12]在Banach空间中研究了广义Stampacchia型和Minty型向量变分不等式解的存在性.文献[13]在Banach空间中建立了向量变分不等式与向量优化问题解之间的关系. Farajzadeh和Lee^[14]在不变凸性假设下, 讨论了Stampacchia型向量变分不等式问题. Zeng和Li^[15]在广义不变凸性假设下, 研究了向量变分不等式的解与集值优化问题的解之间的关系. Long, Quan和Wen^[16]在广义锥-预不变凸性假设下, 讨论了集值优化问题的正有效解与向量变分不等式的正有效解之间的关系.

本文首先引进 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数的概念, 并在这种广义凸性下讨论Stampacchia和Minty型向量变分不等式与多目标规划解之间的关系, 并利用KKM定理研究Stampacchia型和Minty型向量变分不等式解的存在性.本文内容安排如下:第2节, 给出本文用到的记号, 回顾不变凸性的概念, 并给出 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数的概念.第3节, 在 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸性假设下, 讨论Stampacchia型和Minty型向量变分不等式与多目标规划解之间的关系.第4节, 利用KKM定理, 在单调性假设下给出Stampacchia型和Minty型向量变分不等式解的存在性定理.

本文用 ${\Bbb R}^{n}$ 表示 $n$ 维欧氏空间, ${\Bbb R}$ 表示实数集, ${\Bbb R}_{+}$ 和 ${\Bbb R}_{++}$ 分别表示非负实数集和正实数集.对任意的 $x,y\in {\Bbb R}^{n}$ , 用 $x^Ty$ 表示 $x$ 与 $y$ 的内积, 并用以下记号表示 ${\Bbb R}^{n}$ 中向量间的序关系:

(a) $x\leqslant y\Leftrightarrow x_{i}\leq y_{i},i=1,\cdots ,n$ , 至少存在一个 $i$ 不等式严格成立;

(b) $x\leqq y\Leftrightarrow x_{i}\leq y_{i},i=1,\cdots ,n$ ;

(c) $x= y\Leftrightarrow x_{i}= y_{i},i= 1,\cdots ,n$ ;

(d) $x< y\Leftrightarrow x_{i}< y_{i},i= 1,\cdots ,n$ .

下面首先回顾不变凸函数的概念.以下总假设 $X\subseteq{\Bbb R}^{n}$ 为一非空子集, $\varphi:X\rightarrow{\Bbb R}$ 为一可微实值函数, 并且 $f$ 在点 $\bar{x}\in X$ 处的梯度记为 $\triangledown f(\bar{x})$ .

定义2.1^[17] 称 $X\subseteq {\Bbb R}^{n}$ 是一个 $\eta$ -不变集, 如果存在向量值函数 $\eta: X\times X \rightarrow {\Bbb R}^{n}$ , 对任意的 $x,y\in X$ , $\lambda\in[0, 1]$ , 满足 $ y+\lambda\eta(x,y)\in X.\nonumber $

定义2.2^[18] 假设 $X\subseteq{\Bbb R}^{n}$ 是一个 $\eta$ -不变集.称实值函数 $\varphi :X\rightarrow{\Bbb R}$ , 在点 $\bar{x}\in X$ 是 $\eta$ -不变凸的, 如果对于任意的 $x\in X$ , 满足 $ \varphi(x)-\varphi(\bar{x})\geq \triangledown \varphi(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x}). $ 如果 $\varphi$ 在任意一点 $x\in X$ 都是 $\eta$ -不变凸的, 则称 $\varphi$ 在 $X$ 上是 $\eta$ -不变凸函数.

根据 $\eta$ -不变凸函数的定义, 我们对这类广义凸函数做进一步的推广, 给出如下 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸性的概念.

定义2.3 假设 $X\subseteq{\Bbb R}^{n}$ 是一个 $\eta$ -不变集.函数 $\varphi:X\rightarrow{\Bbb R}$ 称为在点 $\bar{x}\in X$ 是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸的, 如果存在实值函数 $\alpha$ , $\rho: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , 使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:2.1} \varphi(x)-\varphi(\bar{x})\geq \alpha(x,\bar{x})\triangledown \varphi(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho(x,\bar{x}),\ \forall x \in X. \end{eqnarray}$

(2.1)

如果 $\varphi$ 在任意一点 $x\in X$ 都是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸的, 则称 $\varphi$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数.如果(2.1式取严格不等号, 也即

$\begin{eqnarray} \varphi(x)-\varphi(\bar{x})> \alpha(x,\bar{x})\triangledown \varphi(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho(x,\bar{x}),\ \forall x \in X, \ x\neq \bar{x}, \end{eqnarray}$

则称 $\varphi$ 在点 $\bar{x}\in X$ 是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -严格不变凸的.如果 $\varphi$ 在任意一点 $x\in X$ 都是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -严格不变凸的, 则称 $\varphi$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -严格不变凸函数.

注2.1 在定义2.3中取 $\alpha\equiv1$ , $\rho\equiv0$ , 即为 $\eta$ -不变凸函数的定义.因此 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸性是 $\eta$ -不变凸性的推广.

下面给出一个 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数的例子.

例2.1 令 $X={\Bbb R}^{2}$ , 任意的 $x,y\in X$ , 其中 $x=(x_{1},x_{2})^T$ , $y=(y_{1},y_{2})^T$ , 定义实值函数 $\varphi(x)=\varphi(x_{1},x_{2})=\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}$ , 取向量值函数 $\eta(x,y)=x-y$ , 实值函数 $\alpha(x,y)$ 和 $\rho(x,y)$ 定义如下

$\begin{eqnarray} \alpha(x,y)=\frac{y_{2}}{x_{2}},\ \ \ \ \rho(x,y)=-\frac{(x_{2}y_{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}.\nonumber \end{eqnarray}$

容易验证 $\varphi$ 是 $X$ 上的 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数.事实上

$\begin{eqnarray} \varphi(x)-\varphi(y)=\frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}-\frac{y_{1}^{2}}{y_{2}}=\frac{x_{1}^{2}y_{2}-y_{1}^{2}x_{2}}{x_{2}y_{2}},\nonumber \end{eqnarray}$

$\begin{eqnarray*} \alpha(x,y)\triangledown \varphi(y)^T\eta(x,y)+\rho(x,y) &=&\frac{y_{2}}{x_{2}}(\frac{2y_{1}}{y_{2}},-\frac{y_{1}^{2}}{y_{2}^{2}})(x_{1}-y_{1},x_{2}-y_{2})^{T}-\frac{(x_{2}y_{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\nonumber \\ &=&\frac{2x_{1}y_{1}y_{2}-2y_{1}^{2}y_{2}-y_{1}^{2}x_{2}+y_{1}^{2}y_{2}}{x_{2}y_{2}}-\frac{\frac{(x_{2}y_{2})^{2}(x_{2}^{2}+y_{2})^{2}}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{x_{2}y_{2}}. \end{eqnarray*}$

下面只需验证

$\begin{eqnarray} \varphi(x)-\varphi(y)\geq \alpha(x,y)\triangledown \varphi(y)^T\eta(x,y)+\rho(x,y),\ \forall x ,y\in X.\nonumber \end{eqnarray}$

此即是验证

$\begin{eqnarray} \frac{x_{1}^{2}y_{2}-y_{1}^{2}x_{2}}{x_{2}y_{2}}\geq\frac{2x_{1}y_{1}y_{2}-2y_{1}^{2}y_{2}-y_{1}^{2}x_{2}+y_{1}^{2}y_{2}}{x_{2}y_{2}}-\frac{\frac{(x_{2}y_{2})^{2}(x_{2}^{2}+y_{2})^{2}}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{x_{2}y_{2}},\nonumber \end{eqnarray}$

等价于

$\begin{eqnarray} x_{1}^{2}y_{2}-y_{1}^{2}x_{2}\geq2x_{1}y_{1}y_{2}-2y_{1}^{2}y_{2}-y_{1}^{2}x_{2}+y_{1}^{2}y_{2}-\frac{(x_{2}y_{2})^{2}(x_{2}^{2}+y_{2})^{2}}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}},\nonumber \end{eqnarray}$

这又等价于验证

$\begin{eqnarray} x_{1}^{2}-2y_{1}x_{1}+y_{1}^{2}\geq-\frac{(x_{2}y_{2})^{2}(x_{2}^{2}+y_{2})^{2}}{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}.\nonumber \end{eqnarray}$

根据所给条件, 上式总是成立的, 至此说明 $\varphi$ 是 $X$ 上的 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数.

定义2.4 假设 $X\subseteq{\Bbb R}^{n}$ 是一个 $\eta$ -不变集.函数 $\varphi:X\rightarrow{\Bbb R}$ 称为在点 $\bar{x}\in X$ 是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -伪不变凸的, 如果存在实值函数 $\alpha$ , $\rho: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , 使得

$\begin{eqnarray} \alpha(x,\bar{x})\triangledown \varphi(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho(x,\bar{x})\geq0\Rightarrow \varphi(x)-\varphi(\bar{x})\geq0,\ \forall x\in X,\nonumber \end{eqnarray}$

或等价于

$\begin{eqnarray} \varphi(x)-\varphi(\bar{x})<0\Rightarrow \alpha(x,\bar{x})\triangledown \varphi(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho(x,\bar{x})<0,\ \forall x\in X,\ x\neq \bar{x}.\nonumber \end{eqnarray}$

如果 $\varphi$ 在任意一点 $x\in X$ 都是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -伪不变凸的, 则称 $\varphi$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -伪不变凸函数.

下面给出一个 $(\alpha,\rho,\eta)$ -伪不变凸函数的例子.

例2.2 令 $X={\Bbb R}^{2}$ , 任意的 $x \in X$ , $x=(x_{1},x_{2})^T$ , 取 $\bar{x}=(1,0)^T$ .对任意的 $x \in X$ , 定义实值函数 $\varphi(x)=\varphi(x_{1},x_{2})=\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}$ , 则容易验证:对任意的向量值函数 $\eta: X\times X \rightarrow {\Bbb R}^{n}$ , 以及实值函数 $\alpha:X\times X\rightarrow{\Bbb R}$ 和 $\rho:X\times X\rightarrow{\Bbb R}_+$ , $\varphi$ 在 $\bar{x}$ 处是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -伪不变凸的.事实上, 对任意的 $x \in X$ , 有

$\begin{eqnarray} \triangledown \varphi(x)^T=\Big(-\frac{2x_{2}^{2}}{x_1^3},\frac{2x_{2}}{x_1^2}\Big). \nonumber \end{eqnarray}$

由此可知, $\triangledown \varphi(\bar{x})^T=(0,0)$ .所以有

$\begin{eqnarray} \alpha(x,\bar{x})\triangledown \varphi(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho(x,\bar{x})=\rho(x,\bar{x})\geq0,\ \forall x\in X.\nonumber \end{eqnarray}$

又因

$\begin{eqnarray} \varphi(x)-\varphi(\bar{x})=\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}-0=\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}^{2}}\geq0,\nonumber \end{eqnarray}$

由此说明 $\varphi$ 在 $\bar{x}=(1,0)^T$ 处是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -伪不变凸函数.

定义2.5 设 $X\subseteq{\Bbb R}^{n}$ , $\alpha$ , $\rho: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $\eta:X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .称函数 $\varphi:X\rightarrow{\Bbb R}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho,\eta)$ -单调的, 如果

$\begin{eqnarray} \alpha(x,y)\triangledown \varphi(y)^T\eta(x,y)+\rho(x,y)+\alpha(y,x)\triangledown \varphi(x)^T\eta(y,x)+\rho(y,x)\leq 0,\ \forall x,y\in X.\nonumber \end{eqnarray}$

考虑下面的多目标规划问题(Multi-objective Programming)

$\begin{eqnarray*} {\rm (MP)}\quad\quad && \mbox{Minimize}\quad\quad f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots ,f_{p}(x))^T \nonumber \\ &&\mbox{subject   to } \quad x\in X,\nonumber \end{eqnarray*}$

其中 $f_{i}:X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P=\{1,2,\cdots,p\}$ .

定义2.6 称 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的有效解, 如果不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} f(x)\leqslant f(\bar{x});\nonumber \end{eqnarray}$

称 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的弱有效解, 如果不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} f(x)<f(\bar{x}).\nonumber \end{eqnarray}$

下面分别介绍[弱] Stampacchia型向量变分不等式([Weak] Stampacchia Vector Variational-like Inequality)和[弱] Minty型向量变分不等式([Weak] Minty Vector Variational-like Inequality), 简记为[WSVVI] (SVVI)和[WMVVI] (MVVI).本文以下总假设 $X\subseteq{\Bbb R}^{n}$ 为 $\eta$ -不变集, $\alpha,\rho_{i}: X\times X \rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , 为实值函数.

(SVVI)对于给定的实值函数 $\alpha$ 和 $\rho_{i}$ , $i\in P$ . $\bar{x}\in X$ 称为(SVVI)的解, 如果不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{1}(x,\bar{x}),\cdots ,\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{p}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{p}(x,\bar{x}))\leqslant 0.\nonumber \end{eqnarray}$

(MVVI)对于给定的实值函数 $\alpha$ 和 $\rho_{i}$ , $i\in P$ . $\bar{x}\in X$ 称为(MVVI)的解, 如果不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{1}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{1}(\bar{x},x),\cdots ,\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{p}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{p}(\bar{x},x))\geqslant 0.\nonumber \end{eqnarray}$

(WSVVI)对于给定的实值函数 $\alpha$ 和 $\rho_{i}$ , $i\in P$ . $\bar{x}\in X$ 称为(WSVVI)的解, 如果不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{1}(x,\bar{x}),\cdots ,\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{p}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{p}(x,\bar{x}))< 0.\nonumber \end{eqnarray}$

(WMVVI)对于给定的实值函数 $\alpha$ 和 $\rho_{i}$ , $i\in P$ . $\bar{x}\in X$ 称为(WMVVI)的解, 如果不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{1}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{1}(\bar{x},x),\cdots ,\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{p}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{p}(\bar{x},x))> 0.\nonumber \end{eqnarray}$

注2.2 令 $\alpha$ 为取正值的实值函数, $\rho_i=0$ , $i\in P$ , 将问题(SVVI)和(WSVVI)中的梯度替换为方向导数, 此时正是Farajzadeh和Lee^[14]所讨论的向量变分不等式问题.

例2.3 令 $X={\Bbb R}^{2}$ , 任意的 $x\in X$ , $x=(x_{1},x_{2})^T$ , 取 $\bar{x}=(1,0)^T$ .对任意的 $x\in X$ , 向量值函数 $f(x)=(f_{1}(x),f_{2}(x))$ , $\rho_{1}(x,\bar{x})$ 和 $\rho_{2}(x,\bar{x})$ 定义如下

$\begin{eqnarray} f_{1}(x)=\frac{x_{2}^3}{x_{1}},\ f_{2}(x)=\frac{x_{2}^2}{x_{1}^2},\ \rho_{1}(x,\bar{x})=\frac{x_{2}^2}{x_{1}^2+x_{2}^2},\ \rho_{2}(x,\bar{x})=\frac{x_{1}^2}{x_{1}^2+x_{2}^2}.\nonumber \end{eqnarray}$

对任意的向量值函数 $\eta: X\times X \rightarrow {\Bbb R}^{n}$ , 以及实值函数 $\alpha:X\times X\rightarrow{\Bbb R}$ , 容易验证: $\bar{x}=(1,0)^T$ 是(SVVI)的解.事实上, 对任意的 $x\in X$ , 有

$\begin{eqnarray*} &&(\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{1}(x,\bar{x}),\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{2}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{2}(x,\bar{x}))\nonumber \\ &=&\Big(\frac{x_{2}^2}{x_{1}^2+x_{2}^2},\frac{x_{1}^2}{x_{1}^2+x_{2}^2}\Big)\geqslant0.\nonumber \end{eqnarray*}$

这表明:不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{1}(x,\bar{x}),\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{2}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{p}(x,\bar{x}))\leqslant 0.\nonumber \end{eqnarray}$

本节将在 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数的条件下, 讨论(SVVI)、(MVVI)、(WSVVI)和(WMVVI)的解与多目标规划问题解之间的关系.

定理3.1 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .假设对于每一个 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $\bar{x}\in X$ 处是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的.如果 $\bar{x}$ 是(SVVI)的解, 则 $\bar{x}$ 是(MP)的有效解.

证 假设 $\bar{x}$ 不是(MP)的有效解, 则存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.1} f_{i}(\hat{x})-f_{i}(\bar{x})\leq0,\ \forall i\in P, \end{eqnarray}$

(3.1)

并且至少存在一个 $i_0\in P$ , 使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.2} f_{i_0}(\hat{x})-f_{i_0}(\bar{x})<0. \end{eqnarray}$

(3.2)

由于对每一个 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $\bar{x}\in X$ 处是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的, 所以有

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.3} f_{i}(\hat{x})-f_{i}(\bar{x})\geq \alpha(\hat{x},\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(\hat{x},\bar{x})+\rho_{i}(\hat{x},\bar{x}),\ i\in P, \end{eqnarray}$

(3.3)

由不等式(3.1), (3.2)和(3.3)可得, 存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} \triangledown f_{i}(\bar{x})\eta(\hat{x},\bar{x})\alpha(\hat{x},\bar{x})+\rho_{i}(\hat{x},\bar{x})\leq 0,\ \forall i \in P,\nonumber \end{eqnarray}$

并且至少存在一个 $i_0\in P$ , 使得

$\begin{eqnarray} \triangledown f_{i_0}(\bar{x})\eta(\hat{x},\bar{x})\alpha(\hat{x},\bar{x})+\rho_{i_0}(\hat{x},\bar{x})< 0.\nonumber \end{eqnarray}$

这表明存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\hat{x},\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(\hat{x},\bar{x})+\rho_{1}(\hat{x},\bar{x}),\cdots ,\alpha(\hat{x},\bar{x})\triangledown f_{p}(\bar{x})^T\eta(\hat{x},\bar{x})+\rho_{p}(\hat{x},\bar{x}))\leqslant 0,\nonumber \end{eqnarray}$

这与 $\bar{x}$ 是(SVVI)的解矛盾, 证毕.

定理3.2 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .假设对每一个 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $\bar{x}\in X$ 处是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -伪不变凸的.如果 $\bar{x}$ 是(WSVVI)的解, 则 $\bar{x}$ 是(MP)的弱有效解.

证 反证法.假设 $\bar{x}$ 不是(MP)的弱有效解, 则存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} f_{i}(\hat{x})-f_{i}(\bar{x})<0,\ \forall i\in P,\nonumber \end{eqnarray}$

又因对每个 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $\bar{x}\in X$ 处是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -伪不变凸的, 所以有

$\begin{eqnarray} \alpha(\hat{x},\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(\hat{x},\bar{x})+\rho_{i}(\hat{x},\bar{x})<0,\ \forall i\in P.\nonumber \end{eqnarray}$

这表明存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\hat{x},\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(\hat{x},\bar{x})+\rho_{1}(\hat{x},\bar{x}),\cdots ,\alpha(\hat{x},\bar{x})\triangledown f_{p}(\bar{x})^T\eta(\hat{x},\bar{x})+\rho_{p}(\hat{x},\bar{x}))<0,\nonumber \end{eqnarray}$

这与 $\bar{x}$ 是(WSVVI)的解矛盾, 证毕.

定理3.3 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .假设对每一个 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的.如果 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的有效解, 则 $\bar{x}$ 是(MVVI)的解.

证 假设 $\bar{x}$ 不是(MVVI)的解, 则存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{1}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{1}(\bar{x},\hat{x}),\cdots ,\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{p}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{p}(\bar{x},\hat{x}))\geqslant 0,\nonumber \end{eqnarray}$

或等价于

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.4} \alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i}(\bar{x},\hat{x})\geq 0,\ \forall i \in P, \end{eqnarray}$

(3.4)

并且存在某个 $i_{0}\in P$ , 使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.5} \alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i_{0}}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i_{0}}(\bar{x},\hat{x})>0,\ \forall i \in P. \end{eqnarray}$

(3.5)

又因对任意的 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的, 所以有

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.6} f_{i}(\bar{x})-f_{i}(\hat{x})\geq \alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i}(\bar{x},\hat{x}),\ \forall i\in P. \end{eqnarray}$

(3.6)

由(3.4), (3.5)和(3.6)式, 可得, 存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} f(\hat{x})\leqslant f(\bar{x}),\nonumber \end{eqnarray}$

这与 $\bar{x}$ 是(MP)的有效解矛盾, 证毕.

定理3.4 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .对每一个 $i$ , 函数 $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸函数.如果 $\bar{x}\in X$ 是(WSVVI)的解, 则 $\bar{x}$ 是(WMVVI)的解.

证 因为 $\bar{x}$ 是(WSVVI)的解, 所以不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{1}(x,\bar{x}),\cdots ,\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{p}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{p}(x,\bar{x}))<0,\nonumber \end{eqnarray}$

也即

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.7} \alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x})<0,\ \forall i\in P. \end{eqnarray}$

(3.7)

又因对每一个 $i$ , 函数 $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的, 所以有

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.8} f_{i}(x)-f_{i}(\bar{x})\geq \alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x}),\ \forall x\in X,\ i\in P, \end{eqnarray}$

(3.8)

在(3.8)式中交换 $x$ 和 $\bar{x}$ , 可得

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.9} f_{i}(\bar{x})-f_{i}(x)\geq \alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x),\ \forall x\in X,\ i\in P. \end{eqnarray}$

(3.9)

由(3.8)和(3.9)式, 可得

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.10} \alpha(\bar{x},x) \triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x)\leq -[\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x})], \end{eqnarray}$

(3.10)

结合(3.7)和(3.10)式, 可得:不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} \alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x)>0,\ \forall i\in P.\nonumber \end{eqnarray}$

因此, 不存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{1}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{1}(\bar{x},x),\cdots ,\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{p}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{p}(\bar{x},x))>0,\ \forall i\in P,\nonumber \end{eqnarray}$

这表明 $\bar{x}$ 是(WMVVI)的解, 证毕.

定理3.5 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .对每一个 $i$ , 函数 $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -严格不变凸的.如果 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的弱有效解, 则 $\bar{x}$ 是(MVVI)的解.

证 反证法.假设 $\bar{x}$ 不是(MVVI)的解, 则存在 $\hat{x}\in X$ 满足 $\hat{x}\neq\bar{x}$ (若 $\hat{x}=\bar{x}$ , 则与 $\bar{x}$ 是(MP)的弱有效解矛盾), 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{1}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{1}(\bar{x},\hat{x}),\cdots ,\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{p}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{p}(\bar{x},\hat{x}))\geqslant 0,\nonumber \end{eqnarray}$

也即

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.11} \alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i}(\bar{x},\hat{x})\geq 0,\ \forall i\in P, \end{eqnarray}$

(3.11)

并且存在某个 $i_{0}\in P$ , 使得

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.12} \alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i_{0}}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i_{0}}(\bar{x},\hat{x})> 0. \end{eqnarray}$

(3.12)

又因为 $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -严格不变凸的, 所以有

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.13} f_{i}(\bar{x})-f_{i}(\hat{x})>\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho(\bar{x},\hat{x}),\ \forall i\in P, \end{eqnarray}$

(3.13)

结合(3.11), (3.12)和(3.13)式, 可得, 存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} f_{i}(\bar{x})-f_{i}(\hat{x})> 0,\ \forall i\in P,\nonumber \end{eqnarray}$

这与 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的弱有效解矛盾, 证毕.

定理3.6 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $i\in P$ , $\eta:X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ .对每一个 $i$ , 函数 $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的.如果 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的弱有效解, 则 $\bar{x}$ 是(WMVVI)的解.

证 假设 $\bar{x}$ 不是(WMVVI)的解, 则存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{1}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{1}(\bar{x},\hat{x}),\cdots ,\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{p}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{p}(\bar{x},\hat{x}))>0,\nonumber \end{eqnarray}$

也即是

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.14} \alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i}(\bar{x},\hat{x})> 0,\ \forall i\in P, \end{eqnarray}$

(3.14)

注意到函数 $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -不变凸的, 所以有

$\begin{eqnarray}\label{eq:3.15} f_{i}(\bar{x})-f_{i}(\hat{x})\geq\alpha(\bar{x},\hat{x})\triangledown f_{i}(\hat{x})^T\eta(\bar{x},\hat{x})+\rho_{i}(\bar{x},\hat{x}),\ i\in P, \end{eqnarray}$

(3.15)

由(3.14)和(3.15)式可得, 存在 $\hat{x}\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} f_{i}(\bar{x})-f_{i}(\hat{x})> 0,\ \forall i\in P,\nonumber \end{eqnarray}$

这与 $\bar{x}\in X$ 是(MP)的弱有效解矛盾, 证毕.

本节将在单调性假设下, 利用KKM定理讨论Stampacchia型向量变分不等式和Minty型向量变分不等式解得存在性.以下总假设 $Y$ 是拓扑向量空间, $X$ 为 ${\Bbb R}^n$ 的非空凸子集, $f_{i}: X \rightarrow {\Bbb R},i\in P$ .

定义4.1^[19] 假设 $E$ 是拓扑向量空间 $Y$ 的一个非空子集.称多值函数 $\psi:E\rightarrow2^{Y}$ 是KKM映射, 如果对 $E$ 的任意有限子集 $\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}$ , 满足

$\begin{eqnarray} co\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}\subset\bigcup\limits_{j=1}^{n}\psi(x_{j}),\nonumber \end{eqnarray}$

其中 $co\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}$ 表示 $\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}$ 的凸包.

引理4.1^[19] (KKM定理) 假设 $E$ 是拓扑向量空间 $Y$ 的一个非空凸子集, $\psi:E\rightarrow2^{Y}$ 是KKM映射并且取闭值.如果存在一点 $x_{0}\in E$ 使得 $\psi(x_{0})$ 是紧集, 则 $ \bigcap\limits_{x\in E}^{}\psi(x)\neq\emptyset. $

定理4.1 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ , $i\in P$ .假设

(a) 对每个 $i\in P$ , $ -f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_i,\eta)$ -单调的;

(b) $\alpha(x,y)\in{\Bbb R}_{++}$ , $x\neq y$ , $x,y\in X$ . $\rho_{i}(x,y)\in {\Bbb R}_{+}$ , $x,y\in X$ ;

(c) $\alpha$ 和 $\rho_{i}$ 关于第二个变量是仿射函数, 且 $\alpha(x,x)=0$ , $\rho_{i}(x,x)=0,\forall x\in X$ ;

(d) 集值映射 $\Gamma: X\rightarrow2^{X}$ , 定义为

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x)&=&\{y\in X:(\alpha(x,y)\triangledown f_{1}(y)^T\eta(x,y)+\rho_{1}(x,y),\cdots , \\ && \alpha(x,y)\triangledown f_{p}(y)^T\eta(x,y)+\rho_{p}(x,y))\nleqslant 0,\forall x\in X\},\nonumber \end{eqnarray*}$

是闭值的;

(e) 存在非空的紧集 $M\subset X$ 以及非空的紧凸集 $N\subset X$ , 使得对任意的 $y\in X\backslash M$ , 都存在 $x\in N$ 满足 $y \notin \Gamma(x)$ .

则(SVVI)在 $X$ 上有解.

证 首先, 定义一个集值映射 $\hat{\Gamma}: X\rightarrow2^{X}$ :

$\begin{eqnarray*} \hat{\Gamma}(x)&=&\{y\in X:(\alpha(y,x)\triangledown f_{1}(x)^T\eta(y,x)+\rho_{1}(y,x),\cdots , \\ && \alpha(x,y)\triangledown f_{p}(x)^T\eta(y,x)+\rho_{p}(y,x))\nleqslant 0,\forall x\in X\},\nonumber \end{eqnarray*}$

显然, $x\in \Gamma(x)\cap\hat{\Gamma}(x)$ , 所以 $\Gamma(x)$ 和 $\hat{\Gamma}(x)$ 不是空集.下面证明 $\hat{\Gamma}$ 是 $X$ 上的KKM映射.事实上, 若 $\hat{\Gamma}$ 不是 $X$ 上的KKM映射, 则存在 $\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\}\subset X,\ t_{j}\geq0,\ j\in\{1,2,\cdots ,n\}$ , 并且 $\sum\limits_{j=1}^{n}t_{j}=1$ , 使得 $ \bar{x}=\sum\limits_{j=1}^{n}t_{j}x_{j}\notin\bigcup\limits_{j=1}^{n}\hat{\Gamma}(x_{j}),\nonumber $ 因此, 对任意的 $j\in \{1,2,\cdots ,n\}$ , 有

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},x_{j})\triangledown f_{1}(x_{j})^T\eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{1}(\bar{x},x_{j}),\cdots ,\alpha(\bar{x},x_{j})\triangledown f_{p}(x_{j})^T\eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{p}(\bar{x},x_{j}))\geqslant 0,\nonumber \end{eqnarray}$

也即

$\begin{eqnarray} \alpha(\bar{x},x_{j})\triangledown f_{i}(x_{j})^T\eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{i}(\bar{x},x_{j})\geq0,\ \forall i\in P,\nonumber \end{eqnarray}$

并且至少存在一个 $i_{0}\in P$ , 使得

$\begin{eqnarray} \alpha(\bar{x},x_{j})\triangledown f_{i_{0}}(x_{j})^T \eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{i_{0}}(\bar{x},x_{j})>0.\nonumber \end{eqnarray}$

因此对所有的 $i\in P$ , $j=1,2,\cdots ,n$ , 有

$\begin{eqnarray*} 0 &= &\alpha(\bar{x},\bar{x})\triangledown f_{i}(x_{j})^T\eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{i}(\bar{x},\bar{x})\nonumber\\ &=&\alpha(\bar{x},\sum\limits_{j=1}^{n}t_{j}x_{j})\triangledown f_{i}(x_{j})^T\eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{i}(\bar{x},\sum\limits_{j=1}^{n}t_{j}x_{j})\nonumber\\ &=&\sum\limits_{j=1}^{n}t_{j}(\alpha(\bar{x},x_{j})\triangledown f_{i}(x_{j})^T\eta(\bar{x},x_{j})+\rho_{i}(\bar{x},x_{j}))\nonumber\\ & >& 0,\nonumber \end{eqnarray*}$

矛盾.因此 $\hat{\Gamma}$ 是 $X$ 上的KKM映射.

接下来, 证明对任意的 $x\in X$ , 满足 $\hat{\Gamma}(x)\subset\Gamma(x)$ .假设 $\bar{x}\notin \Gamma(x)$ , 则存在 $x\in X$ 满足

$\begin{eqnarray}\label{eq:4.1} \alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x})\leq 0,\ \forall i\in P, \end{eqnarray}$

(4.1)

并且至少存在一个 $i\in P$ 使得严格不等号成立.又因为 $ -f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_{i},\eta)$ -单调的, 所以对任意的 $i\in P$ , $x\in X$ , 有

$\begin{eqnarray} \alpha(x,\bar{x})\triangledown (-f_{i})(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x})+\alpha(\bar{x},x)\triangledown (-f_{i})(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x)\leq 0.\nonumber \end{eqnarray}$

由此可得

$\begin{eqnarray} -\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x})-\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x)\leq 0,\nonumber \end{eqnarray}$

这表明

$\begin{eqnarray} \alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})-\rho_{i}(x,\bar{x})+\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)-\rho_{i}(\bar{x},x)\geq 0.\nonumber \end{eqnarray}$

因此有

$\begin{eqnarray}\label{eq:4.2} \alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{i}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{i}(x,\bar{x}) \geq-\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x)+2\rho_{i}(x,\bar{x}). \end{eqnarray}$

(4.2)

由(4.1)和(4.2)式, 可得

$\begin{eqnarray*} 0& \leq &\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)-\rho_{i}(\bar{x},x)-2\rho_{i}(x,\bar{x})\nonumber\\ &\leq & \alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{i}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{i}(\bar{x},x),\nonumber \end{eqnarray*}$

并且至少存在一个 $i\in P$ 使得严格不等号成立.此即是:存在 $x\in X$ , 使得

$\begin{eqnarray} (\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{1}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{1}(\bar{x},x),\cdots ,\alpha(\bar{x},x)\triangledown f_{p}(x)^T\eta(\bar{x},x)+\rho_{p}(\bar{x},x))\geqslant 0,\nonumber \end{eqnarray}$

这表明 $\bar{x}\notin \hat{\Gamma}(x)$ .所以对任意的 $x\in X$ , $\hat{\Gamma}(x)\subset\Gamma(x)$ .所以 $\Gamma$ 也是(KKM)映射.再由假设(d)和(e), $\Gamma(x)$ 是紧闭集.因此 $\hat{\Gamma}(x)$ 也是紧集.由引理4.1可得 $ \bigcap\limits_{x\in X}^{}\Gamma(x)\neq\emptyset,\nonumber $ 这表明不存在 $x\in X$ , 满足

$\begin{eqnarray} (\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{1}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{1}(x,\bar{x}),\cdots ,\alpha(x,\bar{x})\triangledown f_{p}(\bar{x})^T\eta(x,\bar{x})+\rho_{p}(x,\bar{x}))\leqslant 0.\nonumber \end{eqnarray}$

因此, $\bar{x}\in X$ 是(SVVI)的解, 证毕.

类似于证明定理4.3的方法可证明下面关于Minty型向量变分不等式解的存在性定理.

定理4.2 令 $\alpha$ , $\rho_{i}: X\times X\rightarrow {\Bbb R}$ , $\eta: X\times X\rightarrow {\Bbb R}^{n}$ , $i\in P$ .假设

(a) 对每个 $i\in P$ , $f_{i}$ 在 $X$ 上是 $(\alpha,\rho_i,\eta)$ -单调的;

(b) $\alpha$ 和 $\rho_{i}$ 关于第一个变量是仿射函数, 且 $\alpha(x,x)=0$ , $\rho_{i}(x,x)=0,\forall x\in X$ ;

(c) 集值映射 $\Gamma: X\rightarrow2^{X}$ , 定义为

$\begin{eqnarray*} \Gamma(x)&=&\{y\in X:(\alpha(y,x)\triangledown f_{1}(x)^T\eta(y,x)+\rho_{1}(y,x),\cdots , \\ && \alpha(y,x)\triangledown f_{p}(x)^T\eta(y,x)+\rho_{p}(y,x))\nleqslant 0,\forall x\in X\},\nonumber \end{eqnarray*}$

是闭值的;

(d) 存在非空的紧集 $M\subset X$ 以及非空的紧凸集 $N\subset X$ , 使得对任意的 $y\in X\backslash M$ , 都存在 $x\in N$ 满足 $y \notin \Gamma(x)$ .

则(MVVI)在 $X$ 上有解.

我们在函数不变凸性定义的基础上, 引进 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸函数的概念, 并给出具体实例说明了这种广义不变凸函数的存在性.因为函数的 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸性是 $\eta$ -不变凸性^[18]的推广, 所以本文的工作推广了文献[18]中关于 $\eta$ -不变凸函数的相关结论; 本文在 $(\alpha,\rho,\eta)$ -不变凸性假设下, 给出了Stampacchia和Minty型向量变分不等式模型, 并讨论了它们与多目标优化问题解之间的关系. Farajzadeh和Lee^[14]所讨论的向量变分不等式问题是我们给出的Stampacchia和Minty型向量变分不等式在可微情形下的特例, 因此本文所得结论是文献[14]相应结果的深化与推广.最后, 我们还定义了函数的 $(\alpha,\rho,\eta)$ -单调性的概念, 并在 $(\alpha,\rho,\eta)$ -单调性假设下, 与已有文献的方法不同, 我们利用KKM定理得到了Stampacchia和Minty型向量变分不等式解的存在性定理.