令 $\Omega$ 为 ${\Bbb R}^n$ 中的连通的开子集.用 $B$ 表示球, $\rho B$ 为与 $B$ 同心的球, 满足 $\mbox{diam}(\rho B)=\rho \mbox{diam}(B)$ .有时也可以用 $B$ 表示立方体, 本文不特意区分球和立方体.用 $|E|$ 表示集合 $E\subseteq {\Bbb R}$ $^n$ 的 $n$ -维Lebesgue测度.

本文考虑微分形式的 $A$ -调和方程

$\begin{eqnarray} {\rm d}^* {\cal A}(x,{\rm d}u) = 0, \end{eqnarray}$

(1.1)

其中 ${\cal A}: \Omega\times \bigwedge^l ({{\Bbb R}}^n)\rightarrow \bigwedge^{l} ({{\Bbb R}}^n)$ 满足Carathéodory可测条件, 并且对几乎所有的 $x\in \Omega$ 和所有的 $\xi\in\bigwedge^l\left({{\Bbb R}}^n\right)$ , 有

(ⅰ) $\langle {\cal A}(x,\xi),\xi\rangle \geq\alpha |\xi|^{p},$

(ⅱ) $ |{\cal A}(x,\xi)|\leq \beta|\xi|^{p-1},$

(ⅲ) $ {\cal A}(x,t\xi)=|t|^{p-2}t{\cal A}(x,\xi),\ \ t\in {{\Bbb R}},$

这里 $\alpha,\beta >0$ 为常数, $1<p<n$ 为与方程(1.1)联系的固定指数.

定义1.1^[1-2] 称 $u\in W^{1,r}_{\rm loc}\big(\Omega,\bigwedge^{l-1}\big)$ , $\max\{1,p - 1\} \leq r < p$ 为方程(1.1)的很弱解(也称为弱 ${\cal A}$ -调和张量), 若对所有具有紧支集的 $\varphi\in W^{1,\frac{r}{r-p+1}}(\Omega,\bigwedge^{l-1})$ , 有

$\begin{eqnarray}\label{Definition} \int_{\Omega}\langle {\cal A}(x,{\rm d}u),{\rm d}\varphi\rangle {\rm d}x =0. \end{eqnarray}$

(1.2)

这里“弱”指的是 $u$ 的可积指数 $r$ 可以小于自然指数 $p$ . 当 $u$ 为0 -形式, (1.1)式等价于

$\begin{eqnarray}\label{} \mbox{div} {\cal A}(x,\nabla u)=0. \end{eqnarray}$

(1.3)

近年来关于形式各异的 ${\cal A}$ -调和方程已经有很多出色的结论, 见文献[3-10].

Iwaniec等建立的向量的Hodge分解定理^[4-5]是研究很弱解的有力工具, 引起了关于 ${\cal A}$ -调和方程很弱解的广泛研究.对于微分形式的 ${\cal A}$ -调和方程, Stroffolini^[1]通过建立弱 ${\cal A}$ -调和张量的逆Hölder不等式, 得到了弱 ${\cal A}$ -调和张量的高阶可积性; 高红亚等^[2]通过引入微分形式的弱 $WT_2$ 的定义, 给出了弱 ${\cal A}$ -调和张量的高阶可积性的另一种证明方法.佟玉霞^[11-12]等得到了弱 ${\cal A}$ -调和张量的正则性和梯度的零点性质.本文继续考虑弱 ${\cal A}$ -调和张量, 通过建立弱 ${\cal A}$ -调和张量的Caccioppoli估计, 得到其奇点可去性.

Painleve和Besicovitch关于有界全纯函数的可去奇点的理论表明, 开集 $\Omega\subset {\Bbb C}$ 中任何具有零测度的有界闭集 $E$ 在有界调和映射下都是可去的.但该方法不能用来考察偏微分方程的解的奇点可去性, 因为在复平面上的证明很大程度依赖于Cauchy积分公式.使用各种方法建立的与二阶偏微分方程有关的奇点可去性结论, 可以参见文献[13-15].本文主要借鉴郑神州^[15]在得到散度型非齐次 ${\cal A}$ -调和方程的很弱解的奇点可去性以及Iwaniec^[16-17]建立拟正则映射的奇点可去性中使用的方法, 来考虑微分形式的 ${\cal A}$ -调和方程(1.1), 通过建立弱 ${\cal A}$ -调和张量的Caccioppoli估计以得到其奇点可去性.

定义1.2^[15] 令紧集 $E\subset {\Bbb R}^n$ . $\Omega$ 为包含 $E$ 的有界区域.若存在序列 $\{\varphi_k(x)\}$ : $\varphi_k(x)\in C_0^\infty(\Omega)$ , $k=1,2,\cdots $ , 使得

(1) $0\leq \varphi_k(x) \leq 1,$

(2) 每一个 $ \varphi_k(x) $ 在 $E$ 中自己的邻域内等于1,

(3) $\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\|\nabla \varphi_k(x)\|_r=0,$

(4) $\displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty} \varphi_k(x)=0,\quad \forall x\in\Omega\setminus E$ ,

则称 $E$ 有零 $r$ -容量.若 $E$ 中每个紧子集都有零 $r$ -容量, 则称闭集 $E\subset {\Bbb R}^n$ 有零 $r$ -容量.

注意到对 $r=p-\varepsilon$ , $0<\varepsilon<n-1$ , 若闭集 $E\subset {\Bbb R}^n$ 的Hausdorff维数 $\mbox{dim}_H(E)<\varepsilon$ , 则 $E$ 有零 $r$ -容量.

定义1.3^[15] 令 $E\subset {{\Bbb R}}^n$ 为具有 $n$ 维零Hausdorff测度的紧子集. $E$ 中的峰值函数 $\rho(x)$ 指的是任给 $\alpha\in E$ , 都有 $\displaystyle\lim_{x\rightarrow a}\rho(x)=\infty$ , 且 $\rho(x)\in C^\infty({{\Bbb R}}^n\setminus E)$ .

下面是本文主要结论.

定理1.1 (弱 ${\cal A}$ -调和张量的奇点可去性) 令弱 ${\cal A}$ -调和张量 $u\in W_{\rm loc}^{1,r}(\Omega\setminus E,\bigwedge^{l-1})$ , $p_0\leq r<p$ , $p_0$ 如引理2.4所述, 则 $u$ 可以扩展到整个区域 $\Omega$ , 即 $u\in W_{\rm loc}^{1,r}(\Omega,\bigwedge^{l-1})$ .并且有 $u\in W_{\rm loc}^{1,p}(\Omega,\bigwedge^{l-1})$ .

注 当 $r=\varphi$ 时, ${\cal A}$ -调和张量的奇点可去性结论可见文献[20].

令 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}$ 为 ${\Bbb R}$ $^n$ 的标准正交基, 由外积 $e_{I}=e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{l}}$ 张成的 $l$ -维向量的线性空间记为 $\bigwedge^l=\bigwedge^l({\Bbb R}$ $^n)$ , 这里 $I=(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{l})$ , $1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{l}\leq n$ , $l=0,1,\cdots ,n$ 取遍所有的 $l$ -重数.记 ${\Bbb R}={\Bbb R}$ $^1$ . Grassman代数 $\bigwedge=\oplus\bigwedge^l$ 是关于外积的分次代数.对 $\alpha=\sum\alpha^{I}e_{I}\in\wedge$ 和 $\beta=\sum\beta^{I}e_{I}\in\bigwedge$ , 内积定义为 $\langle\alpha,\beta\rangle=\sum\alpha^I\beta^I$ , 其中 $\sum$ 表示对所有的 $l$ -重 $I=(i_{1},i_{2},\cdots ,i_{l})$ , $l=0,1,\cdots ,n$ 求和. Hodge星算子 $\star:\bigwedge\rightarrow\bigwedge$ 对任意 $\alpha,\beta\in\bigwedge$ , 满足 $\star1=e_{1}\wedge e_{2}\wedge \cdots \wedge e_{n}$ , 且 $\alpha\wedge\star\beta=\beta\wedge\star\alpha=\langle\alpha,\beta\rangle(\star1)$ . $\alpha\in\bigwedge$ 的范数 $|\alpha|$ 满足 $|\alpha|^2=\langle\alpha,\alpha\rangle=\star(\alpha\wedge\star\alpha)\in\bigwedge^0={\Bbb R}$ . Hodge星算子是 $\bigwedge$ 上的等距同构, 满足 $\star:\bigwedge^l\rightarrow\bigwedge^{n-l}$ , $\star\star(-1)^{l(n-l)}:\bigwedge^l\rightarrow \bigwedge^l$ .

微分形式是实值函数和分布的重要推广形式, 0 -形式就是 ${\Bbb R}^n$ 中的实函数或者广义函数. $\Omega$ 上的 $l$ -微分形式是 $\Omega$ 上的一个Schwartz分布, 其值属于 $\bigwedge^{l}({\Bbb R}^n)$ .用 $D'(\Omega,\bigwedge^l)$ 表示所有 $l$ -形式 $\omega(x)=\sum_{I}\omega_{I}(x){\rm d}x_{I}=\sum\omega_{i_{1}i_{2}\cdots i_{l}}(x) {\rm d}x_{i_{1}}\wedge {\rm d}x_{i_{2}}\wedge\cdots \wedge {\rm d}x_{i_{l}}$ 的全体, 用 $L^p(\Omega,\bigwedge^l)$ 表示所有 $l$ -形式的全体, 其中对于所有的有序 $l$ -重数 $I$ , $\omega_{I}\in L^p(\Omega,{\Bbb R})$ .于是 $L^p(\Omega,\bigwedge^l)$ 为一个Banach空间, 其上的范数定义为

$\begin{eqnarray*}\label{norm} \parallel\omega\parallel_{p,\Omega}=\Big(\int_{\Omega}|\omega(x)|^p{\rm d}x\Big)^{1/p} = \Big(\int_{\Omega}\Big(\sum|\omega_{I}(x)|^2\Big)^{p/2}{\rm d}x\Big)^{1/p}. \end{eqnarray*}$

对于 $\omega\in D'(\Omega,\bigwedge^l)$ , 向量值微分形式 $ \nabla\omega=\big(\frac{\partial\omega}{\partial x_{1}},\cdots ,\frac{\partial\omega}{\partial x_{n}}\big)$ 由微分形式 $\frac{\partial\omega}{\partial x_{i}}\in D'(\Omega,\bigwedge ^l)$ 组成.同祥地, $W^{1,p}(\Omega,\bigwedge^l)$ 表示 $l$ -形式的Sobolev空间, 等价于 $L^p( \Omega,\bigwedge^l)$ $ \bigcap L_{1}^{p} (\Omega,\bigwedge^l)$ , 其上的范数定义为

$\begin{eqnarray} \parallel \omega\parallel_{W^{1,p}\left(\Omega,\bigwedge^{^{l}}\right)} = \parallel\omega\parallel_{W^{1,p}\left(\Omega,\bigwedge^l\right)} = \mbox{diam}\left(\Omega\right)^{-1}\parallel\omega\parallel_{p,\Omega}+\parallel\nabla\omega\parallel_{p,\Omega}. \end{eqnarray}$

符号 $W^{1,p}_{\rm loc}(\Omega,{\Bbb R})$ 和 $W^{1,p}_{\rm loc}(\Omega,\bigwedge^l)$ 如常定义.外微分表示为d $:D'(\Omega,\bigwedge^l)\rightarrow D'(\Omega,\bigwedge^{l+1})$ , $l=0,1,\cdots ,n$ .它的共轭算子d $^{\star}:D'(\Omega,\bigwedge^{l+1})\rightarrow D'(\Omega,\bigwedge^{l})$ 在 $D'(\Omega,\bigwedge^{l+1})$ 上定义为d $^{\star}=(-1)^{nl+1}\star {\rm d}\star$ , $l=0,1,\cdots ,n$ .

上述符号及定义可参见微分形式方面的专著[18]及文献[4-5, 7, 11-12].

由文献[5, 18]可知, 令 $D \subset {\Bbb R}$ $^n$ 为有界凸区域, 对于任意的 $y\in D$ , 对应一个线性算子 $K_y : C^\infty(D,\bigwedge^{l}) \rightarrow C^\infty(D,\bigwedge^{l-1})$ .定义

$\begin{eqnarray*}\label{} (K_y \omega) (x; \xi_1,\cdots ,\xi_{l-1}) = \int^1_0 t^{l-1}\omega(tx+y-ty; x-y,\xi_1,\cdots ,\xi_{l-1}){\rm d}t, \end{eqnarray*}$

并且有分解式 $ \omega ={\rm d}(K_y \omega) +K_y ({\rm d}\omega).$ 同伦算子 $T : C^\infty(D,\bigwedge^{l}) \rightarrow C^\infty(D,\bigwedge^{l-1})$ 定义为 $D$ 内所有 $y$ 点的 $K_y$ 平均, 即

$\begin{eqnarray*}\label{} T\omega =\int_D \varphi(y)K_y\omega {\rm d}y, \end{eqnarray*}$

其中 $\varphi\in C_0^\infty (D)$ , 标准化为 $\int_D \varphi(y){\rm d}y=1$ .于是有分解式

$\begin{eqnarray*}\label{} \omega ={\rm d}(T \omega) +T({\rm d}\omega). \end{eqnarray*}$

对所有 $\omega\in L^p(D,\bigwedge^{l})$ , $l$ -形式 $\omega_D \in D'(D,\bigwedge^{l})$ 定义为

$\begin{eqnarray} \omega_D = \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle |D|^{-1}\int_D \omega(y){\rm d}y,& \mbox{若} \ l=0; \\ {\rm d}(T\omega),& \mbox{若} \ l=1,2,\cdots ,n. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

若 $\Omega$ 中的 $l$ -形式 $u\in D'(\Omega,\bigwedge^{l})$ 满足 ${\rm d}u = 0$ , 则称其为闭形式.若存在微分形式 $\alpha\in D'(\Omega,\bigwedge^{l-1})$ 使得 $u = {\rm d}\alpha$ , 则称 $u$ 为恰当的. Poincaré引理说明恰当形式是闭形式.显然 $\omega_D$ 为闭形式, 当 $l>0$ 时 $\omega_D$ 为恰当形式.

本文证明中需要下述基本不等式.

引理2.1^[7] 令 $X$ 和 $Y$ 为内积空间中的向量.则当 $ -1< \varepsilon \leq 0$ 时,

$\begin{eqnarray}\label{} \Big| |X|^{\varepsilon} X -|Y|^{\varepsilon} Y \Big| \leq \frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}2^{-\varepsilon} |X-Y|^{1+\varepsilon}. \end{eqnarray}$

(2.1)

当 $\varepsilon \geq 0$ 时,

$\begin{eqnarray}\label{} \Big| |X|^\varepsilon X -|Y|^\varepsilon Y \Big| \leq (1+\varepsilon) (|Y|+|X-Y|)^\varepsilon |X-Y|. \end{eqnarray}$

(2.2)

Iwaniec和Lutoborski证明的下述Poincaré不等式^[5]在本文证明中具有重要作用.

引理2.2^[5] 若 $\omega\in D'(Q,\bigwedge^l)$ , ${\rm d}\omega\in L^p(Q,\bigwedge^{l+1})$ , 则 $\omega-\omega_Q\in L^{\frac{np}{n-p}}(Q,\bigwedge^{l})$ , 并且

$\begin{eqnarray}\label{Poincare inequation} \left(\int_Q|\omega-\omega_Q|^{\frac{np}{n-p}}\right)^{\frac{n-p}{np}} \leq C(n,p)\left(\int_Q|{\rm d}\omega|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}, \end{eqnarray}$

(2.3)

其中 $Q$ 为 ${\Bbb R}^n$ 中的立方体或球, $l=0,1,\cdots ,n$ , $1<p<n$ .

我们也需要下述形式的Poincaré不等式^{[1, 11]}.

引理2.3^{[1, 11]} 令 $Q$ 为立方体或球, $\omega\in L^s(Q,\bigwedge^l)$ , ${\rm d}\omega\in L^s(Q,\bigwedge^{l+1})$ .则

$\begin{eqnarray}\label{Poincare inequation 2} \frac{1}{\mbox{diam} Q} \left(-\!\!\!\!\!\! \int_Q |\omega-\omega_Q|^{s}\right)^{\frac{1}{s}} \leq C(n,s) \left(-\!\!\!\!\!\!\int_Q |{\rm d}\omega|^{\frac{ns}{n+s-1}}\right)^{\frac{n+s-1}{ns}}, \end{eqnarray}$

(2.4)

这里 ${-\!\!\!\!\!\!\int_Q}$ 表示 $Q$ 上的积分平均.

下面的弱 $A$ -调和张量的Caccioppoli估计是本文建立奇点可去性所需的重要结论.

引理2.4 (弱 ${\cal A}$ -调和张量的Caccioppoli估计) 存在常数

$\begin{eqnarray}p_0=p_0(n,p,\alpha,\beta)\in \Big[\frac{n(p-1)}{n-1},p\Big), \end{eqnarray}$

使弱 ${\cal A}$ -调和张量 $u\in W_{\rm loc}^{1,r}(\Omega,\wedge^{l-1})$ , $p_0\leq r<p$ , 对所有闭形式 $c$ 和所有 $\eta\in C^{0,1}_0(\Omega)$ , 有

$\begin{eqnarray}\label{Caccioppoli inequation} \|\eta {\rm d} u\|_r \leq C\|(u-c)\wedge {\rm d}\eta\|_{r} + C\|\eta{\rm d}u\|_s +C\||{\rm d}u||{\rm d}\eta|\|_s, \end{eqnarray}$

(2.5)

其中 $C=C(n,p,\alpha,\beta)$ .

证 对所有 $x_0 \in \Omega$ , 令 $R_0 : R_0 \leq d = \mbox{dist} (x_0,\partial\Omega)$ 为常数.对任给 $R\in(0,R_0)$ , 定义球 $B_{R}= B_R(x_0)=\big\{x\mid |x-x_0|<R\big\}$ .令 $u\in W^{1,r}_{\rm loc}\left(B_R,\wedge^{l-1}\right)$ 为方程(1.1)的很弱解(即弱 ${\cal A}$ -调和张量), 函数 $\eta(x)\in C^{0,1}_0(B_{R})$ 且 $\eta(x)\geq 0$ .首先对 $A(x,{\rm d}u)$ 乘以 $\eta^{p-1}:=\eta^{p-2}\eta$ , 由假设条件(ⅲ), 有

$\begin{eqnarray} \eta^{p-1}A(x,{\rm d}u)=A(x,\eta{\rm d}u). \end{eqnarray}$

上式两边取 $d^*$ 运算, 有

$\begin{eqnarray} {\rm d}^*A(x,\eta{\rm d}u)=A(x,{\rm d}u)\wedge {\rm d}(\eta^{p-1}). \end{eqnarray}$

(2.6)

对上面的方程考虑 $\eta(u-c)$ 的恰当形式, 这里 $c\in D'(\Omega,\wedge^{l-1})$ 满足 ${\rm d}c=0$ .根据Hodge分解^{[5, 19]}, 有

$\begin{eqnarray}\label{} |{\rm d}(\eta(u-c))|^{r-p}{\rm d}(\eta(u-c)) = {\rm d}\Phi +h, \end{eqnarray}$

(2.7)

其中 ${\rm d}\Phi ,h \in L^{\frac{r}{r-p+1}}(B_R,\wedge^{l})$ , 且

$\begin{eqnarray}\label{Estimation h} \|h\|_{\frac{r}{r-p+1}} \leq C(n) (p-r) \|{\rm d}(\eta(u-c))\|_{r}^{r-p+1}. \end{eqnarray}$

(2.8)

于是有

$\begin{eqnarray}\label{Estimation dphi} \|{\rm d}\Phi\|_{\frac{r}{r-p+1}} &\leq& \displaystyle \left\| |{\rm d}(\eta(u-c))|^{r-p}{\rm d}(\eta(u-c)) \right\|_{\frac{r}{r-p+1}} + \|h\|_{\frac{r}{r-p+1}} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \left\|{\rm d}(\eta(u-c)) \right\|_{r}^{r-p+1} + C(n) |p-r| \|{\rm d}(\eta(u-c))\|_{r}^{r-p+1} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C(n)\|{\rm d}(\eta(u-c))\|_{r}^{r-p+1}. \end{eqnarray}$

(2.9)

可将 $\Phi-\tilde{c}\in W^{1,\frac{r}{r-p+1}}_0(B_R,\wedge^{l-1})$ 作为(1.2)式中的试验函数, 这里 $\tilde{c}\in D'(\Omega,\wedge^{l-1})$ 满足 ${\rm d}\tilde{c}=0$ .于是有

$\begin{eqnarray}\label{Integration 1} \int_{B_R}\langle A(x,\eta{\rm d}u), |{\rm d}(\eta(u-c))|^{r-p}{\rm d}(\eta(u-c)) - h\rangle {\rm d}x =\int_{B_R}(A(x,{\rm d}u)\wedge {\rm d}(\eta^{p-1}))\Phi {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.10)

令

$\begin{eqnarray}\label{} E = |{\rm d}(\eta(u-c))|^{r-p}{\rm d}(\eta(u-c)) - |\eta {\rm d}(u-c)| ^{r-p}\eta {\rm d}(u-c), \end{eqnarray}$

(2.11)

由引理2.1可得

$\begin{eqnarray}\label{Estimation E} | E| \leq 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}|(u-c) {\rm d}\eta|^{r-p+1}. \end{eqnarray}$

(2.12)

于是(2.10)式即为

$\begin{eqnarray}\label{Integration 2} && \int_{B_R}\langle A(x,\eta{\rm d}u),|\eta {\rm d}(u-c)| ^{r-p}\eta {\rm d}(u-c)\rangle {\rm d}x \nonumber\\ &=& \displaystyle \int_{B_R}\langle A(x,\eta{\rm d}u),h\rangle {\rm d}x - \int_{B_R}\langle A(x,\eta{\rm d}u),E\rangle {\rm d}x +\int_{B_R}(A(x,{\rm d}u)\wedge {\rm d}(\eta^{p-1}))(\Phi-\tilde{c}) {\rm d}x \nonumber\\ &=& \displaystyle I_1 + I_2+I_3. \end{eqnarray}$

(2.13)

下面考虑(2.13)式左侧.注意到 $c$ 为闭形式, 满足d $c=0$ , 于是由条件(ⅰ), 可得

$\begin{eqnarray}\label{Integration 3} &&\int_{B_R}\langle A(x,\eta{\rm d}u),|\eta {\rm d}(u-c)| ^{r-p}\eta {\rm d}(u-c)\rangle {\rm d}x \nonumber\\ &=& \displaystyle \int_{B_R}\langle A(x,\eta{\rm d}u),|\eta{\rm d}u| ^{r-p}\eta{\rm d}u\rangle {\rm d}x \nonumber\\ &\geq& \displaystyle \alpha\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r}{\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.14)

下面估计(2.13)式右边的积分.

估计 $I_1$ :由条件(ⅱ), Hölder不等式和(2.8)式, 有

$\begin{eqnarray}\label{Estimation I1 1} |I_1| &\leq& \displaystyle \int_{B_R}|A(x,\eta{\rm d}u)||h| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{p-1} |h| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta\left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r}\right)^{\frac{p-1}{r}} \left(\int_{B_R}|h|^{\frac{r}{r-p+1}} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta C(n)(p-r)\left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r}\right)^{\frac{p-1}{r}} \left(\int_{B_R}|{\rm d}(\eta(u-c))|^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}}. \end{eqnarray}$

(2.15)

因为

$\begin{eqnarray}\label{Estimation I1 2} && \left(\int_{B_R}|{\rm d}(\eta(u-c))|^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} = \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u + (u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u |^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} +\left(\int_{B_R}|(u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}}. \end{eqnarray}$

(2.16)

将(2.16)式代入(2.15)式, 并结合Young不等式, 可得

$\begin{eqnarray}\label{Estimation I1} |I_{1}| &\leq& \displaystyle \beta C(n)(p-r)\int_{B_R}|\eta{\rm d}u |^{r} {\rm d}x +\beta C(n)(p-r)\tau\int_{B_R}|\eta{\rm d}u |^{r} {\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +\beta C(n,\tau)(p-r) \int_{B_R}|(u-c) \wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.17)

估计 $I_2$ :由条件(ⅱ), (2.12)式, Hölder不等式和Young不等式, 有

$\begin{eqnarray}\label{Estimation I2} |I_2| &\leq& \displaystyle \int_{B_R}|A(x,\eta{\rm d}u)||E| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta \int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{p-1} |(u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r-p+1} {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r}{\rm d}x\right)^{\frac{p-1}{r}} \left(\int_{B_R}|(u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta\tau \int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r}{\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle + 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta C(\tau) \int_{B_R}|(u-c) \wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(2.18)

估计 $I_3$ :由条件(ⅱ)和Hölder不等式, 有

$\begin{eqnarray}\label{Estimation I3 1} |I_3| &\leq& \displaystyle \int_{B_R}|A(x,{\rm d}u)||{\rm d}(\eta^{p-1})||\Phi-\tilde{c}| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta(p-1) \int_{B_R}|{\rm d}u|^{p-1}|\eta|^{p-2}|{\rm d}\eta||\Phi-\tilde{c}| {\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta(p-1) \left(\int_{B_R}(|{\rm d}u|^{p-1}|\eta|^{p-2}|{\rm d}\eta|)^{\frac{s}{p-1}} {\rm d}x\right)^{\frac{p-1}{s}} \left(\int_{B_R}|\Phi-\tilde{c}|^q {\rm d}x\right)^{\frac{1}{q}}, \end{eqnarray}$

(2.19)

这里

$\begin{eqnarray*} q=\frac{n\frac{r}{r-p+1}}{n-\frac{r}{r-p+1}}=\frac{nr}{n(r-p+1)-r},\quad s=\frac{(p-1)q}{q-1}=\frac{nr}{n+\frac{r}{p-1}}, \end{eqnarray*}$

满足 $\frac{p-1}{s}+\frac{1}{q}=1$ .注意到因为 $r>\frac{n(p-1)}{n-1}$ , 所以 $q>1$ .而且 $s<r$ .根据引理2.2, 由(2.19)式可得

$\begin{eqnarray} |I_3| \leq \beta(p-1)C(n,r,p) \left(\int_{B_R}(|\eta{\rm d}u|^{p-2}|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^{\frac{s}{p-1}} {\rm d}x\right)^{\frac{p-1}{s}}\!\!\!\! \left(\int_{B_R}|{\rm d}\Phi|^{\frac{r}{r-p+1}} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}}. \end{eqnarray}$

(2.20)

对上式再次使用Hölder不等式( $\frac{p-1}{s} = \frac{p-2}{s} +\frac{1}{s}$ ), 并结合(2.9)和(2.16)式, 可得

$\begin{eqnarray} |I_3| &\leq& \displaystyle \beta(p-1)C(n,r,p) \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{p-2}{s}} \left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{1}{s}} \nonumber\\ &&\times \left(\int_{B_R}|{\rm d}(\eta(u-c))|^r {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta(p-1)C(n,r,p) \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{p-2}{s}} \left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{1}{s}} \nonumber\\ &&\times \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u |^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}} +\beta(p-1)C(n,r,p) \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{p-2}{s}} \nonumber\\ &&\times \left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{1}{s}} \left(\int_{B_R}|(u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x\right)^{\frac{r-p+1}{r}}. \end{eqnarray}$

(2.21)

上式使用两次Young不等式( $\frac{r-p+1}{r}+\frac{p-1}{r}=1$ 和 $\frac{p-2}{p-1}+\frac{1}{p-1}=1$ )可得

$\begin{eqnarray}\label{Estimation I3} |I_3| &\leq& \displaystyle \beta(p-1)C(n,r,p)\tau \int_{B_R}|\eta{\rm d}u |^{r} {\rm d}x +\beta(p-1)C(n,r,p)\tau \int_{B_R}|(u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +\beta(p-1)C(n,r,p,\tau) \left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{r(p-2)}{s(p-1)}} \left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s(p-1)}} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle \beta(p-1)C(n,r,p)\tau \int_{B_R}|\eta{\rm d}u |^{r} {\rm d}x +\beta(p-1)C(n,r,p)\tau \int_{B_R}|(u-c)\wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +\beta(p-1)C(n,r,p,\tau)\tau\left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}} \nonumber\\ && \displaystyle +\beta(p-1)C(n,r,p,\tau)\left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}}. \end{eqnarray}$

(2.22)

综合(2.14), (2.17), (2.18)和(2.22)式, 有

$\begin{eqnarray} &&\alpha \int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r}{\rm d}x \nonumber\\ &\leq& \left(\beta C(n)(p-r)(1+\tau) + 2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta\tau +\beta(p-1)C(n,r,p)\tau\right) \int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^{r} {\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +\left(\beta C(n,\tau)(p-r)+2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta C(\tau) +\beta(p-1)C(n,r,p)\tau\right) \int_{B_R}|(u-c) \wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x \nonumber\\ && \displaystyle +\beta(p-1)C(n,r,p,\tau)\tau\left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}} \nonumber\\ && \displaystyle +\beta(p-1)C(n,r,p,\tau)\left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}}. \end{eqnarray}$

(2.23)

令 $p-r$ 和 $\tau$ 足够小, 使得 $r>\frac{n(p-1)}{n-1}$ 且

$\begin{eqnarray} \frac{\beta C(n)(p-r)(1+\tau)+2^{p-r}\frac{p-r+1}{r-p+1}\beta\tau+\beta(p-1)C(n,r,p)\tau}{\alpha}=\theta<1, \end{eqnarray}$

于是有

$\begin{eqnarray} \int _{B_R}|\eta {\rm d} u|^r {\rm d}x &\leq& \displaystyle C\int_{B_R}|(u-c) \wedge {\rm d}\eta|^{r} {\rm d}x +C\left(\int_{B_R}|\eta{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}} \nonumber\\ && \displaystyle +C\left(\int_{B_R}(|{\rm d}u||{\rm d}\eta|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}}, \end{eqnarray}$

(2.24)

这里 $C=C(n,p,\alpha,\beta)$ , $s=\frac{nr}{n+\frac{r}{p-1}}<r$ .故对所有 $\eta\in C^{0,1}_0(B_R)$ , 有

$\begin{eqnarray}\label{} \|\eta {\rm d}u\|_r \leq C\|(u-c)\wedge {\rm d}\eta\|_{r} + C\|\eta{\rm d}u\|_s +C\||{\rm d}u||{\rm d}\eta|\|_s, \end{eqnarray}$

(2.25)

注意到我们考虑的情况是 $r$ 充分接近 $p$ , 故常数 $C$ 与 $r$ 无关.引理2.4证毕.

证 分为四步.

第一步 令 $\rho(x)$ 为定义在 $E$ 中的峰值函数, 满足 $\rho(x)\in W_{\rm loc}^{1,n}(\Omega)$ .定义Lipschitz函数序列 $\big\{\rho_k(x)\big\}$ 满足

$\begin{eqnarray}\label{Def rho k} \rho_k(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1,& \mbox{若} \hspace{2mm} \rho(x)\geq k+1; \\[0.1 cm] \rho(x)-k,& \mbox{若} \hspace{2mm} k\leq\rho(x)\leq k+1; \\[0.1 cm] 0,&\mbox{若} \hspace{2mm} \rho(x)\leq k. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.1)

每个函数 $\big\{\rho_k(x)\big\}$ 均在 $E$ 中自己的邻域内等于 $1$ .而且对所有 $x\in \hspace{-3mm}/ E$ , 有 $\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}\rho_k(x)=0 $ .并且有

$\begin{eqnarray} {\rm d}\rho_k=\left\{ \begin{array}{ll} 0,& \mbox{若} \hspace{2mm} \rho(x)\geq k+1; \\[0.1 cm] {\rm d}\rho(x),& \mbox{若} \hspace{2mm} k\leq\rho(x)\leq k+1; \\[0.1 cm] 0,&\mbox{若} \hspace{2mm} \rho(x)\leq k. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.2)

注意到 ${\rm d}\rho_k$ 在集合 $\Omega_k=\{x\in\Omega : k\leq \rho(x)\leq k+1\}$ 上支撑.

取定 $\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$ , 令

$\begin{eqnarray} \eta_k(x)=[1-\rho_k(x)]\varphi(x), \end{eqnarray}$

(3.3)

由(3.1)式可知

$\begin{eqnarray} \eta_k(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0,& \mbox{若} \hspace{2mm} \rho(x)\geq k+1; \\[0.1 cm] [k+1-\rho(x)]\varphi(x),& \mbox{若} \hspace{2mm} k\leq\rho(x)\leq k+1; \\[0.1 cm] \varphi(x),&\mbox{若} \hspace{2mm} \rho(x)\leq k. \end{array}\right. \end{eqnarray}$

(3.4)

故Lipschitz函数序列 $\big\{\eta_k(x)\big\}$ 在 $\Omega\setminus E$ 中支撑, 而且

$\begin{eqnarray} {\rm d}\eta_k=-\varphi {\rm d}\rho_k+[1-\rho_k(x)]{\rm d}\varphi. \end{eqnarray}$

(3.5)

因为 $u$ 是 ${\cal A}$ -调和方程(1.1)在 $\Omega\setminus E$ 中的很弱解, 于是将Caccioppoli不等式(2.5)中的 $\eta$ 取为 $\eta_k(x)$ , 有

$\begin{eqnarray} \|(1-\rho_k)\varphi {\rm d} u\|_r &\leq& C\|(1-\rho_k)(u-c)\wedge {\rm d}\varphi\|_{r} + C\|\varphi(u-c)\wedge {\rm d}\rho_k\|_{r} \nonumber\\ && \displaystyle + C\|(1-\rho_k)\varphi{\rm d}u\|_s +C\|\varphi|{\rm d}u||{\rm d}\rho_k|\|_s + C\|(1-\rho_k)|{\rm d}u||{\rm d}\varphi|\|_s. \end{eqnarray}$

(3.6)

考虑上式右端的积分.利用 $\rho_k(x)$ 的定义, $1-\rho_k\in[0, 1]$ , 于是有

$\begin{eqnarray} \|(1-\rho_k)\varphi {\rm d} u\|_r &\leq& \displaystyle C\|(u-c)\wedge {\rm d}\varphi\|_{r} + C\|\varphi(u-c)\wedge {\rm d}\rho_k\|_{r} \nonumber\\ && \displaystyle + C\|\varphi{\rm d}u\|_s +C\|\varphi|{\rm d}u||{\rm d}\rho_k|\|_s + C\||{\rm d}u||{\rm d}\varphi|\|_s. \end{eqnarray}$

(3.7)

注意到 $\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$ , ${\rm d}\rho_k$ 在集合 $\Omega_k$ 上支撑且 $|{\rm d}\rho_k|\leq |{\rm d}\rho|$ , 上式可化为

$\begin{eqnarray}\label{estimation step 1-1} &&\left(\int_{\Omega\setminus E}|(1-\rho_k)\varphi {\rm d} u|^r{\rm d}x\right)^{1/r} \nonumber\\ &\leq& \displaystyle C\left(\int_{\Omega\setminus E}|(u-c)\wedge {\rm d}\varphi|^r{\rm d}x\right)^{1/r} + C\|\varphi\|_{\infty}\left(\int_{\Omega_k}(|u-c||{\rm d}\rho|)^{r}{\rm d}x\right)^{1/r} \nonumber\\ && \displaystyle + C\left(\int_{\Omega\setminus E}|\varphi{\rm d}u|^{s}{\rm d}x\right)^{1/s} + C\|\varphi\|_{\infty}\left(\int_{\Omega_k}(|{\rm d}u||{\rm d}\rho|)^{s}{\rm d}x\right)^{1/s} \nonumber\\ && \displaystyle + C\left(\int_{\Omega\setminus E}(|{\rm d}u||{\rm d}\varphi|)^{s}{\rm d}x\right)^{1/s}. \end{eqnarray}$

(3.8)

(3.8)式右端的第二项积分中可取 $c=u_R$ , 因为 $u_R$ 为闭形式.根据Hölder不等式和Poincaré不等式(2.3), 有

$\begin{eqnarray} \left( \int_{\Omega_k} (|u-u_R||{\rm d}\rho|)^r{\rm d}x \right) ^{\frac{1}{r}} &\leq & \displaystyle \left[ \left( \int_{\Omega_k} |u-u_R|^{\frac{nr}{n-r}} {\rm d}x \right) ^{1-\frac{r}{n}} \left( \int_{\Omega_k} |{\rm d}\rho|^{n} {\rm d}x \right) ^{\frac{r}{n}} \right] ^{\frac{1}{r}} \nonumber\\ &\leq & \displaystyle C \left( \int_{\Omega_k} |{\rm d}u|^{r} {\rm d}x \right) ^{\frac{1}{r}} \left( \int_{\Omega_k} |{\rm d}\rho|^{n} {\rm d}x \right) ^{\frac{1}{n}}. \end{eqnarray}$

(3.9)

注意到, 对所有 $x \in \hspace{-3mm}\setminus E$ , 当 $k\rightarrow\infty$ 时 $(1-\rho_k)\rightarrow 1$ 且 $|\Omega_k|\rightarrow 0$ .又因为 $\rho(x)\in W_{\rm loc}^{1,n}(\Omega)$ 且 $\|{\rm d} u\|_r$ 有界, 可得故上式收敛于0.同理应用Hölder不等式可知(3.8)式右端的第四项积分收敛于0.于是(3.8)式取极限 $k\rightarrow\infty$ 可得

$\begin{eqnarray} \|\varphi {\rm d} u\|_r \leq C\|(u-c)\wedge{\rm d} \varphi\|_{r} + C\|\varphi{\rm d}u\|_s + C\||{\rm d}u||{\rm d}\varphi|\|_s. \end{eqnarray}$

(3.10)

对所有 $\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$ 均成立.

第二步 下面证明 $u\in W^{1,r}_{\rm loc}(\Omega,\wedge^{l-1})$ .因为 $u\in W^{1,r}_{\rm loc}(\Omega\setminus E,\wedge^{l-1})$ , $\{\eta_k(x)\}$ 为Lipschitz函数序列, 由分部积分公式可得

$\begin{eqnarray} \int_{\Omega\setminus E} (\eta_k {\rm d}u) {\rm d}x = -\int_{\Omega\setminus E} (u\wedge {\rm d}\eta_k){\rm d}x, \ \ \forall\eta_k\in C_0^{\infty}(\Omega\setminus E). \end{eqnarray}$

(3.11)

任给 $\varphi\in C_0^\infty(\Omega)$ , 令 $\eta_k = (1-\rho_k)\varphi$ , 则

$\begin{eqnarray}\label{estimation step 2-1} \int_\Omega ((1-\rho_k)\varphi {\rm d} u) {\rm d}x = -\int_\Omega ((1-\rho_k)u\wedge {\rm d}\varphi) {\rm d}x + \int_\Omega (\varphi u \wedge {\rm d}\rho_k ){\rm d}x. \end{eqnarray}$

(3.12)

因为 $|{\rm d}\rho_k| \leq |{\rm d}\rho|$ , $\displaystyle\lim_{k\rightarrow\infty}{\rm d}\rho_k =0$ , a.e., 从而 $\displaystyle\int_\Omega(\varphi u \wedge {\rm d}\rho_k) {\rm d}x\rightarrow 0 $ .于是由(3.12)式, 有

$\begin{eqnarray} \int_{\Omega} (\varphi {\rm d} u) {\rm d}x = -\int_{\Omega} (u\wedge {\rm d}\varphi) {\rm d}x, \ \ \forall\varphi\in C_0^{\infty}(\Omega). \end{eqnarray}$

(3.13)

于是有 $u\in W^{1,r}_{\rm loc}(\Omega,\wedge^{l-1})$ .

第三步 下面证明 $u$ 属于 $W^{1,p}_{\rm loc}(\Omega,\wedge^{l-1})$ .在Caccioppoli不等式(3.10)中, 取 $\varphi(x)\in C_0^\infty(B_R)$ , 满足

$\begin{eqnarray} 0 \leq \varphi\leq 1,\mbox{当$ x \in B_{R/2}$ 时$ \varphi= 1,$ 当$ x\in \Omega \setminus B_R $时$ \varphi= 0,$ 当$ x\in\Omega $时$ |{\rm d}\varphi| \leq \frac{C}{R}.$} \end{eqnarray}$

并取 $c = u_{B_R} $ , 于是有

$\begin{eqnarray} &&\int_{B_{R/2}}|{\rm d}u|^r {\rm d}x \nonumber\\ &\leq & \displaystyle C\int_{B_{R}}(|{\rm d}\varphi||u-u_{B_R}|)^r {\rm d}x +C\left(\int_{B_{R}}|{\rm d}u|^s {\rm d}x \right)^{\frac{r}{s}} +C\left(\int_{B_{R}}(|{\rm d}u||{\rm d}\varphi|)^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}} \nonumber\\ &\leq & \displaystyle C\int_{B_{R}} \left|\frac{u-u_{B_R}}{R}\right|^r {\rm d}x +C\left(\int_{B_{R}}|{\rm d}u|^s {\rm d}x \right)^{\frac{r}{s}} +\frac{C}{R^r}\left(\int_{B_{R}}\left|{\rm d}u\right|^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}}, \end{eqnarray}$

(3.14)

即

$\begin{eqnarray*} -\hspace{-4mm}\int_{B_{R/2}}|{\rm d}u|^r {\rm d}x \leq C-\hspace{-4mm}\int_{B_{R}} \left|\frac{u-u_{B_R}}{R}\right|^r {\rm d}x +C(1+\frac{1}{R^r})R^{\frac{r}{p-1}}\left(-\hspace{-4mm}\int_{B_{R}}|{\rm d}u|^s {\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}}. \end{eqnarray*}$

上式右边第一个积分应用Poincaré不等式(3.10), 可得

$\begin{eqnarray} -\!\!\!\!\!\!\int_{B_{R/2}}|{\rm d}u|^r {\rm d}x \leq C\left(-\!\!\!\!\!\!\int _{B_{R}}|{\rm d}u|^{\frac{nr}{n+r-1}} {\rm d}x \right) ^{\frac{n+r-1}{n}} +C\left(-\hspace{-4mm}\int_{B_{R}}|{\rm d}u|^s{\rm d}x\right)^{\frac{r}{s}} . \end{eqnarray}$

(3.15)

上式是一个广义逆Hölder不等式, 积分的指数 $ 1<\frac{nr}{n+r-1}<r<p$ 且 $1<s<r$ , 且 $C$ 与积分指数 $s,r$ 无关.使用文献[4, 11, 13, 15, 17]中的处理技巧, 可逐步迭代使得积分指数提高到 $p$ .从而有 $u\in W^{1,p}_{\rm loc}(\Omega,\wedge^{l-1})$ .

第四步 最后验证 $u$ 仍是方程(1.1)在 $\Omega$ 中的很弱解, 即 $u$ 满足

$\begin{eqnarray} \int_\Omega \langle {\cal A}(x,{\rm d}u),{\rm d}\varphi(x) \rangle {\rm d}x = 0, \ \ \forall\varphi\in C_0^\infty(\Omega,\wedge^{l-1}). \end{eqnarray}$

(3.16)

因为 $u$ 是 ${\cal A}$ -调和方程(1.1)在 $\Omega\setminus E$ 中的很弱解, 于是

$\begin{eqnarray} \int_{\Omega\setminus E} \langle {\cal A}(x,{\rm d}u),{\rm d}\varphi(x) \rangle {\rm d}x=0, \ \ \forall\varphi\in C_0^\infty(\Omega\setminus E,\wedge^{l-1}). \end{eqnarray}$

(3.17)

可将 $\varphi(x)$ 代替为 $\varphi_k =(1-\rho_k)\eta$ , $\forall\eta\in C_0^\infty(\Omega,\wedge^{l-1})$ .于是上式即

$\begin{eqnarray}\label{estimation step 4-1} \int_\Omega (1-\rho_k)\langle {\cal A}(x,{\rm d}u),{\rm d}\eta \rangle {\rm d}x = \int_\Omega \eta \langle {\cal A}(x,{\rm d}u),{\rm d}\rho_k \rangle {\rm d}x. \end{eqnarray}$

(3.18)

下面估计上式右边的积分.注意到 ${\rm d}\rho_k$ 在集合 $\Omega_k=\{x\in\Omega : k\leq \rho(x)\leq k+1\}$ 上支撑, $|{\rm d}\rho_k| \leq |{\rm d}\rho|$ .由条件(ⅰ), Hölder不等式, 有

$\begin{eqnarray} \left| \int_\Omega\eta \langle {\cal A}(x,{\rm d}u),{\rm d}\rho_k \rangle {\rm d}x \right| &\leq & \displaystyle \alpha\int_{\Omega_k} |\eta| |{\rm d}u|^{p-1} |{\rm d}\rho_k | {\rm d}x \nonumber\\ &\leq & \displaystyle \alpha\|\eta\|_{\infty} \left( \int_{\Omega_k}|{\rm d}u|^{p}{\rm d}x \right)^{1-\frac{1}{p}} \left( \int_{\Omega_k}|{\rm d}\rho|^{p}{\rm d}x \right)^{\frac{1}{p}} \nonumber\\ &\leq & \displaystyle \alpha\|\eta\|_{\infty} |\Omega_k|^{\frac{1}{p}-\frac{1}{n}} \left( \int_{\Omega_k}|{\rm d}u|^{p}{\rm d}x \right)^{1-\frac{1}{p}} \left( \int_{\Omega_k}|{\rm d}\rho|^{n}{\rm d}x \right)^{\frac{1}{n}}. \end{eqnarray}$

(3.19)

因为 $u\in W^{1,p}_{\rm loc}(\Omega,\wedge^{l-1})$ , $\rho\in W^{1,n}_{\rm loc}(\Omega)$ , 且当 $k\rightarrow\infty$ 时 $|\Omega_k| \rightarrow 0$ , 于是有上式右边的积分收敛于0.由(3.18)式即知定理1.1.证毕.