对于能够用于描述物理、化学和种群动力学中许多扩散规律的$p$-Laplace方程

$ u_t = \hbox{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) + u^q ,$

(1.1)

在过去的几十年中,国内外学者对它们的爆破解进行了大量的研究(见文献^[1]及其参考文献). 本文中我们将研究下面具有耗散梯度项的$p$-Laplace方程

$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t = \hbox{div}(|\nabla u|^{p-2} \nabla u) + a u^q - \mu |\nabla u|^r,& x\in\Omega,t>0,\\ u(x,t) = 0,& x\in\partial\Omega,t>0,\\ u(x,0) = u_0(x),& x\in\Omega,\end{array} \right.$

(1.2)

其中$\Omega \subset \mathbb{R}$ $^n (n \geq 3)$ 是具有光 滑边界$\partial\Omega$的有界区域; $p>2,r>1,q>0$,且 $\max\{p,r\}＜ n$; $a,\mu >0$; 初值$u_0(x)$是$\Omega$的非负连续函数.

由于梯度项的存在,方程(1.2)与(1.1)相比,其应用展现了一种不同的状态,相关方程解的爆破性质研究也取得许多结果(如文献^[2-3]).

在2007年,Payne^[4]等使用微分不等式技术得到了具有齐次Dirichlet边界条件的半线性热方程

$ u_t = \Delta u + f(u)$

(1.3)

解的爆破时间下界估计. 从此之后,通过借鉴该方法,许多作者也得到了其它抛物问题的各种爆破时间下界估计,读者也以查阅 文献^[5-9]及其参考文献.

基于此,本文考虑方程(1.2)解的爆破现象,包括解发生爆破与整体存在的条件,以及在爆破发生时爆破时间的下界估计. 至于方程 (1.2)解的局部存在性可以用标准的正则化方法得到^[10],这里我们省略而专注于讨论解的爆破现象.

这部分,我们将给出问题(1.2)的解整体存在的条件. 为此,定义下面的辅助函数

$\varphi_1(t) = \int_\Omega u^{k+1} {\rm d}x,\quad k>0. $

(2.1)

通过简单的计算并结合分部积分法,我们可以得到

$\begin{align} & \frac{\varphi _{1}^{\prime }(t)}{k+1}=\int_{\Omega }{{{u}^{k}}}{{u}_{t}}\text{d}x=\int_{\Omega }{{{u}^{k}}}\text{div}(|\nabla u{{|}^{p-2}}\nabla u)\text{d}x+a\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x-\mu \int_{\Omega }{{{u}^{k}}}|\nabla u{{|}^{r}}\text{d}x \\ & =-k{{(\frac{p}{k+p-1})}^{p}}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+p-1}{p}}}{{|}^{p}}\text{d}x+a\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x-\mu {{(\frac{r}{k+r})}^{r}}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+r}{r}}}{{|}^{r}}\text{d}x \\ & =(\frac{a}{2}\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x-k{{(\frac{p}{k+p-1})}^{p}}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+p-1}{p}}}{{|}^{p}}\text{d}x) \\ & +(\frac{a}{2}\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x-\mu {{(\frac{r}{k+r})}^{r}}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+r}{r}}}{{|}^{r}}\text{d}x) \\ & ={{I}_{1}}+{{I}_{2}}. \\ \end{align}$

(2.2)

首先估算$I_1$. 如果$q ＜p-1$,则根据Hölder不等式得

$\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x\le |\Omega {{|}^{\frac{p-q-1}{k+p-1}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+p-1}}}\text{d}x)}^{\frac{k+q}{k+p-1}}},$

(2.3)

又从文献[6,(2.10)式]得到

$ \int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+p-1}{p}}|^p {\rm d}x \geq \Big(\frac{2\sqrt{\lambda_1}}{p}\Big)^p \int_\Omega u^{k+p-1}{\rm d}x,$

(2.4)

这里$\lambda_1$表示下列特征值问题的第一特征值

$ \Delta \omega + \lambda \omega =0,\ x\in \Omega; \quad \omega = 0,\ x\in\partial\Omega.$

(2.5)

因此,从(2.3)和(2.4)式,得到

$ I_1 \leq \Big(\int_\Omega u^{k+p-1} {\rm d}x \Big)^{\frac{k+q}{k+p-1}} \bigg( \frac{a}{2}|\Omega|^{\frac{p-q-1}{k+p-1}} - k \Big(\frac{2\sqrt{\lambda_1}}{k+p-1}\Big)^p \Big(\int_\Omega u^{k+p-1}{\rm d}x\Big)^{\frac{p-q-1}{k+p-1}}\bigg).$

(2.6)

再利用$p>2$的条件,有

$ \int_\Omega u^{k+p-1} {\rm d}x \geq |\Omega|^{\frac{2-p}{k+1}}\Big(\int_\Omega u^{k+1}{\rm d}x\Big)^{\frac{k+p-1}{k+1}}. $

最后,从(2.6)式得

$ I_1 \leq \Big(\int_\Omega u^{k+p-1} {\rm d}x \Big)^{\frac{k+q}{k+p-1}} \bigg( \frac{a}{2}|\Omega|^{\frac{p-q-1}{k+p-1}} - k \Big(\frac{2\sqrt{\lambda_1}}{k+p-1}\Big)^p |\Omega|^{\frac{2-p}{k+1}\frac{p-q-1}{k+p-1}} \Big(\int_\Omega u^{k+1}{\rm d}x\Big)^{\frac{p-q-1}{k+1}}\bigg).$

(2.7)

类似地,如果$q ＜r$并结合条件$r>1$,对$I_2$进行估算我们也可以得到

$ I_2 \leq \Big(\int_\Omega u^{k+r}{\rm d}x \Big)^{\frac{k+q}{k+r}} \bigg( \frac{a}{2}|\Omega|^{\frac{r-q}{k+r}} - \mu \Big(\frac{2\sqrt{\lambda_1}}{k+r}\Big)^r |\Omega|^{\frac{1-r}{k+1}\frac{r-q}{k+r}}\Big(\int_\Omega u^{k+1}{\rm d}x\Big)^{\frac{r-q}{k+1}}\bigg).$

(2.8)

因此,根据(2.7)和(2.8)式,从(2.2)式得到

$ \frac{\varphi_1^\prime(t)}{k+1} \leq \Big(\int_\Omega u^{k+p-1} {\rm d}x \Big)^{\frac{k+q}{k+p-1}} \Big( A_1 - B_1 \varphi_1^{\frac{p-q-1}{k+1}}\Big) + \Big(\int_\Omega u^{k+r}{\rm d}x \Big)^{\frac{k+q}{k+r}} \Big( A_2 - B_2 \varphi_1^{\frac{r-q}{k+1}}\Big),$

(2.9)

其中

$ A_1 = \frac{a}{2}|\Omega|^{\frac{p-q-1}{k+p-1}},\ B_1 = k \Big(\frac{2\sqrt{\lambda_1}}{k+p-1}\Big)^p |\Omega|^{\frac{2-p}{k+1}\frac{p-q-1}{k+p-1}},$

$ A_2 = \frac{a}{2}|\Omega|^{\frac{r-q}{k+r}},\quad B_2 = \mu \Big(\frac{2\sqrt{\lambda_1}}{k+r}\Big)^r |\Omega|^{\frac{1-r}{k+1}\frac{r-q}{k+r}}. $

显然,如果问题(1.2)的解$u$按测度$\varphi_1$爆破,则从(2.9)式知道$\varphi_1^\prime(t)\leq 0$,这是一个矛盾. 因此,$u$ 整体存在. 我们总结上面的分析为如下的一个定理.

定理1 假设$q ＜ \min\{p-1,r\}$ 且 $u$是问题(1.2)的一个非负解,则$u$整体存在.

这一部分将讨论问题(1.2)的爆破条件. 在初值$u_0(x)$满足合适的条件下,我们将给出方程的解$u$发生爆破的一个充分条件. 为此,定义如下的辅助函数

${{\varphi }_{2}}(t)=\int_{\Omega }{{{u}^{2}}}\text{d}x.$

(3.1)

那么,经过简单的计算我们有

$\begin{align} & \varphi _{2}^{'}(t)=2\int_{\Omega }{u}{{u}_{t}}\text{d}x=2\int_{\Omega }{u}\text{div}({{\left| \nabla u \right|}^{p-2}}\nabla u)\text{d}x+2a\int_{\Omega }{{{u}^{q+1}}}\text{d}x-2\mu \int_{\Omega }{u}{{\left| \nabla u \right|}^{r}}\text{d}x \\ & =-2{{\int_{\Omega }{\left| \nabla u \right|}}^{p}}\text{d}x+2a\int_{\Omega }{{{u}^{q+1}}}\text{d}x-2\mu \int_{\Omega }{u}{{\left| \nabla u \right|}^{r}}\text{d}x. \\ \end{align}$

(3.2)

令函数

$\psi(t) = -\frac{2(q+1)}{p}\int_\Omega |\nabla u|^p {\rm d}x + 2 a \int_\Omega u^{q+1} {\rm d}x - 2\mu (q+1)\int_\Omega u |\nabla u|^r {\rm d}x. $

(3.3)

如果$q>p-1>1$,那么$-2 > -\frac{2(q+1)}{p}$和$-2\mu > - 2\mu (q+1)$. 因此,比较(3.2)与(3.3)式知

$\varphi_2^\prime(t) \geq \psi(t). $

(3.4)

另外

$\begin{align} & {{\psi }^{\prime }}(t)=-2(q+1)\int_{\Omega }{|}\nabla u{{|}^{p-2}}\nabla u\nabla {{u}_{t}}\text{d}x+2a(q+1)\int_{\Omega }{{{u}^{q}}}{{u}_{t}}\text{d}x \\ & -2\mu (q+1)\int_{\Omega }{|}\nabla u{{|}^{r}}{{u}_{t}}\text{d}x-2\mu (q+1)r\int_{\Omega }{u}|\nabla u{{|}^{r-2}}\nabla u\nabla {{u}_{t}}\text{d}x \\ & =2(q+1)\int_{\Omega }{u_{t}^{2}}\text{d}x+2\mu (q+1)r\int_{\Omega }{\text{div}}(u|\nabla u{{|}^{r-2}}\nabla u){{u}_{t}}\text{d}x. \\ \end{align}$

(3.5)

因此,如果初值$u_0(x)$充分大并且满足下列条件(H):

(1) $\hbox{div}(u_0 |\nabla u_0|^{r-2}\nabla u_0) \geq 0,\ x\in\Omega$;

(2) $\hbox{div}(|\nabla u_0|^{p-2}\nabla u_0) + a u_0^q - \mu |\nabla u_0|^r \geq 0,\ x\in\Omega$;

(3) $-\frac{2(q+1)}{p}\int_\Omega |\nabla u_0|^p {\rm d}x + 2a \int_\Omega u_0^{q+1} {\rm d}x - 2\mu \int_\Omega u_0 |\nabla u_0|^r {\rm d}x \geq 0$.

这样,从(3.5)式得到

$ \psi^\prime(t) \geq 2(q+1)\int_\Omega u_t^2 {\rm d}x.$

(3.6)

结合(3.1),(3.4)与(3.6)式,并应用Schwarz不等式有

$\begin{align} & {{\varphi }_{2}}(t){{\psi }^{\prime }}(t)\ge 2(q+1)\int_{\Omega }{{{u}^{2}}}\text{d}x\int_{\Omega }{u_{t}^{2}}\text{d}x\ge 2(q+1){{(\int_{\Omega }{u}{{u}_{t}}\text{d}x)}^{2}} \\ & =\frac{q+1}{2}{{(\varphi _{2}^{\prime })}^{2}}\ge \frac{q+1}{2}\varphi _{2}^{\prime }(t)\psi (t). \\ \end{align}$

因此

$ \frac{\psi^\prime}{\psi} \geq \frac{q+1}{2}\frac{\varphi_2^\prime}{\varphi_2}.$

(3.7)

从$0$到$t$积分(3.7)式,并经简单的计算得

$ \psi(t) \geq \frac{\psi(0)}{\varphi_2(0)^{(q+1)/2}} \varphi_2(t)^{\frac{q+1}{2}},$

也就是

$ \varphi_2^\prime(t) \geq \psi(t) \geq \frac{\psi(0)}{\varphi_2(0)^{(q+1)/2}} \varphi_2(t)^{\frac{q+1}{2}}.$

(3.8)

从$0$到$t$积分(3.8)式,并注意$q>p-1>1$,我们有

$ \frac{\psi(0)}{\varphi_2(0)^{(q+1)/2}}t \leq \frac{2}{q-1}\bigg( \frac{1}{\varphi_2(0)^{(q-1)/2}} - \frac{1}{\varphi_2(t)^{(q-1)/2}}\bigg).$

(3.9)

显然,(3.9)式不能对所有的时间$t$都成立. 也就是说问题(1.2)的解$u$必须在有限时刻$T$爆破,其中

$ T \leq \frac{2}{q-1}\frac{\varphi_2(0)}{\psi(0)}.$

(3.10)

我们把上述的分析总结为下面的定理.

定理2 假设$q>p-1$,$u(x,t)$是问题(1.2)的一个非负解. 如果初值$u_0(x)$充分大并且满足 条件(H),那么$u$必在时刻$T$爆破,且爆破时间$T$的上界由(3.10)式给出.

这一部分,我们假设问题(1.2)的解在有限时刻$T$爆破. 下面通过合适定义的辅助函数以及由此得到的一阶微分不等式技巧并 结合Sobolev不等式,在一定的条件下给出爆破时间$T$的下界估计.

假设$q$满足

$q > \max\bigg\{ \frac{3}{4}+\frac{n(p-1)}{4(n-p)},\ \frac{3}{4}+\frac{nr}{4(n-r)} \bigg\}. $

(4.1)

对于(2.1)式中定义的函数$\varphi_1(t)$,其中

$k>\max\bigg\{ \frac{(4q-3)(n-p)-n(p-1)}{p},\ \frac{(4q-3)(n-r)-nr}{r} \bigg\},$

(4.2)

以及由此计算得到的(2.2)式,我们将分别对$I_1,I_2$进行估计.

根据H\"{o}lder不等式,Young不等式并结合常数$k$的假设条件,可得

$\begin{align} & \int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x\le {{(\int_{\Omega }{{{u}^{\frac{n(k+p-1)+3(k+1)(n-p)}{4(n-p)}}}}\text{d}x)}^{{{m}_{1}}}}|\Omega {{|}^{{{m}_{2}}}}\le \\ & {{m}_{1}}\int_{\Omega }{{{u}^{\frac{n(k+p-1)+3(k+1)(n-p)}{4(n-p)}}}}\text{d}x+{{m}_{2}}|\Omega |,\\ \end{align}$

(4.3)

其中

$ m_1 = \frac{4(n-p)(k+q)}{n(k+p-1)+3(k+1)(n-p)},\quad m_2 = 1-m_1 \in (0,1). $

应用Schwarz不等式两次,得

$\begin{align} & \int_{\Omega }{{{u}^{\frac{n(k+p-1)+3(k+1)(n-p)}{4(n-p)}}}}\text{d}x\le {{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+1}}}\text{d}x)}^{\frac{1}{2}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{\frac{n(k+p-1)+(k+1)(n-p)}{2(n-p)}}}}\text{d}x)}^{\frac{1}{2}}} \\ & \le {{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+1}}}\text{d}x)}^{\frac{3}{4}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{\frac{n(k+p-1)}{n-p}}}}\text{d}x)}^{\frac{1}{4}}}. \\ \end{align}$

(4.4)

再根据Sobolev不等式^[11],还有

$\int_\Omega u^{\frac{n(k+p-1)}{n-p}} {\rm d}x \leq C^{\frac{np}{n-p}} \Big(\int_\Omega |\nabla u^{\frac{k+p-1}{p}}|^p {\rm d}x\Big)^{\frac{n}{n-p}},$

(4.5)

这里$C$是最佳常数($p ＜n$). 将(4.5)式代入(4.4)式并利用Young不等式,得到

$\begin{align} & \int_{\Omega }{{{u}^{\frac{n(k+p-1)+3(k+1)(n-p)}{4(n-p)}}}}\text{d}x \\ & \le {{C}^{\frac{np}{4(n-p)}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+1}}}\text{d}x)}^{\frac{3}{4}}}{{(\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+p-1}{p}}}{{|}^{p}}\text{d}x)}^{\frac{n}{4(n-p)}}} \\ & \le {{\varepsilon }_{1}}\frac{n}{4(n-p)}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+p-1}{p}}}{{|}^{p}}\text{d}x+\varepsilon _{1}^{-\frac{n}{3n-4p}}\frac{3n-4p}{4(n-p)}{{C}^{\frac{np}{3n-4p}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+1}}}\text{d}x)}^{\frac{3(n-p)}{3n-4p}}}. \\ \end{align}$

(4.6)

把(4.6)式代入(4.3)式,然后根据(4.3)式,并令

$ \varepsilon_1 = \frac{8k(n-p)}{a m_1 n} \Big(\frac{p}{k+p-1}\Big)^p,$

那么

$\begin{align} & {{I}_{1}}=\frac{a}{2}\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x-k{{(\frac{p}{k+p-1})}^{p}}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+p-1}{p}}}{{|}^{p}}\text{d}xn \\ & \le \frac{a}{2}{{m}_{2}}|\Omega |+\frac{a}{2}{{m}_{1}}\varepsilon _{1}^{-\frac{n}{3n-4p}}\frac{3n-4p}{4(n-p)}{{C}^{\frac{np}{3n-4p}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+1}}}\text{d}x)}^{\frac{3(n-p)}{3n-4p}}}. \\ \end{align}$

(4.7)

类似地

$\begin{align} & {{I}_{2}}=\frac{a}{2}\int_{\Omega }{{{u}^{k+q}}}\text{d}x-\mu {{(\frac{r}{k+r})}^{r}}\int_{\Omega }{|}\nabla {{u}^{\frac{k+r}{r}}}{{|}^{r}}\text{d}x \\ & \le \frac{a}{2}{{m}_{4}}|\Omega |+\frac{a}{2}{{m}_{3}}\varepsilon _{2}^{-\frac{n}{3n-4r}}\frac{3n-4r}{4(n-r)}{{C}^{\frac{nr}{3n-4r}}}{{(\int_{\Omega }{{{u}^{k+1}}}\text{d}x)}^{\frac{3(n-r)}{3n-4r}}},\\ \end{align}$

(4.8)

其中

$ m_3 = \frac{4(n-r)(k+q)}{n(k+r)+3(k+1)(n-r)},\quad m_4 = 1-m_3 \in (0,1),$

$ \varepsilon_2 = \frac{8\mu(n-r)}{a m_3 n} \Big(\frac{r}{k+r}\Big)^r. $

因此,从(2.2)式并结合(4.7)和(4.8)式,得到

$ \varphi_1^\prime(t) \leq \frac{a|\Omega|}{2}(k+1)(m_2+m_4) + M_1 \varphi_1^{\frac{3(n-p)}{3n-4p}} + M_2 \varphi_1^{\frac{3(n-r)}{3n-4r}},$

(4.9)

其中

$ M_1 = \frac{a}{2}m_1 (k+1)\varepsilon_1^{-\frac{n}{3n-4p}} \frac{3n-4p}{4(n-p)}C^{\frac{np}{3n-4p}},\ M_2 = \frac{a}{2}m_3(k+1) \varepsilon_2^{-\frac{n}{3n-4r}} \frac{3n-4r}{4(n-r)}C^{\frac{nr}{3n-4r}}. $

从$0$到$t(t ＜T)$积分(4.9)式,得

$ T \geq \int_{\varphi_1(0)}^\infty \frac{{\rm d}\eta}{\frac{a|\Omega|}{2}(k+1)(m_2+m_4) + M_1 \eta^{\frac{3(n-p)}{3n-4p}} + M_2 \eta^{\frac{3(n-r)}{3n-4r}}},$

(4.10)

这里$\varphi_1(0)=\int_\Omega u_0^{k+1} {\rm d}x$.

我们总结上面的分析为如下的定理.

定理3 假设$u(x,t)$是问题(1.2)的一个非负解,并且(2.1)式定义的辅助函数$\varphi_1(t)$ 在$T$时刻爆破,其中$k$满足(4.2)式. 如果$q$满足(4.1)式和$\max\{p,r\} ＜ 3n/4 ＜n$,那么爆破时间$T$有下界估计式(4.10).

注 定理1,2和3的结果,可以推广到具有双重退化形式的如下方程

$ u_t = \hbox{div}(|\nabla u^m|^{p-2} \nabla u^m) + a u^q - \mu |\nabla u|^r. $