该文主要研究如下非自治非经典扩散方程

$\left\{ \begin{array}{ll} \partial_tu-\varepsilon\Delta\partial_tu-\Delta u+f(u)= g(x,t),&x\in \Omega,\\ u(x,r)=u_r,\,u(x,t)\mid_{\partial\Omega\times[r,\infty)}=0,\end{array} \right.$

(1.1)

其中,$\Omega\subset\mathbb{R}^N\,(N\geqslant3)$ 是具有光滑边界 $\partial\Omega$ 的有界区域,$\varepsilon\in[0,1]$.

假设非线性项 $f\in C^1(\mathbb{R})$ 满足下列增长和耗散性质

$f'(s)\leqslant C(1+|s|^\frac{4}{N-2}),\label{f1}$

(1.2)

$f'(s)>-l,\label{f2}$

(1.3)

$\liminf_{|s|\to\infty}f'(s)>-\lambda_1,\label{f3}$

(1.4)

其中,$l>0$,$C>0$,$\lambda_1$ 是负拉普拉斯算子 $-\Delta$ 在空间 $L^2(\Omega)$ 上的第一特征值.

假设外力项 $g(x,t),\,\partial_tg(x,t)\in L^2_{{\rm loc}}(\mathbb{R};L^2(\Omega))$,满足

$\int_{-\infty}^t{\rm e}^{\sigma s}\|g(x,s)\|^2{\rm d}s＜\infty,\forall\,t\in\mathbb{R},$

(1.5)

其中,正常数 $\sigma$ 满足 (3.11)式.

非经典扩散方程来源于力学及热传导理论 (参见文献 ^[1,20,25]). 针对非线性项和外力项的不同假设,方程 (1.1) 的适定性及其长时间行为已经在许多文献中得到了研究 (参见 ^[3,24,27]).

值得一提的是,近年来非自治动力系统的拉回吸引子的理论及其在发展方程中的应用受到了广泛而深入的研究 (参见文献 ^{[2,8-10,14,18,26]} 等). 其中,带扰动系统的吸引子的连续性便是当中的重要问题之一,这方面同样得到了许多数学工作者的关注 (参见文献 ^{[5,13,15-16,19,23]}) 等. 对于自治动力系统的情形,全局吸引子的连续性的研究可参见文献^{[5, 13, 15-16, 19, 23]} 等; 对于非自治动力系统的情形,读者可参见文献^{[4, 6-7, 11, 22]}等.

容易看出,当方程 (1.1) 中的扰动参数 $\varepsilon$ 收敛至 $0$ 时,方程 (1.1) 便退化成了反应扩散方程,因此,有必要研究在此过程中方程解的极限行为. 此类问题已经在一些文献中得到了关注. 在文献 ^[27] 中,作者研究了自治情形的方程 (1.1) 在非线性项具有次临界增长的条件下,在强解空间 $H^2\cap H_0^1(\Omega)$ 中全局吸引子的存在性,以及该吸引子在弱解空间 $H_0^1(\Omega)$ 中的上半连续性. 在文献 ^[3] 中,作者研究了非自治情形的方程 (1.1) 在非线性项具有次临界增长的条件下,在空间 $H_0^1(\Omega)$ 中拉回吸引子的存在性及其在空间 $L^2(\Omega)$ 中的上半连续性. 本文的主要工作是证明当非线性项具有临界指数增长时,方程 (1.1) 在空间 $H_0^1(\Omega)$ 中的拉回吸引子的存在性及其上半连续性. 具体来讲,下文将证明方程 (1.1) 生成的拉回吸引子 $\{A_\varepsilon(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ ($\varepsilon\in[0,1]$) 满足

$\lim_{\varepsilon\to\varepsilon_0}\sup_{t\in[a,b]}{\rm dist}_{H_0^1(\Omega)}(A_\varepsilon(t),A_0(t))=0,\forall\varepsilon_0\in[0,1],\ \forall[a,b]\subset\mathbb{R}.$

该文的安排如下: 在下一节中,依据文献 ^[9] 给出了有关拉回吸引子的一些基本概念和一般性结果; 在第三节中,利用文献 ^[23] 中的观点,我们给出一种用于验证拉回吸引子上半连续性的抽象方法,并应用该方法证明了方程 (1.1) 在空间 $H_0^1(\Omega)$ 中的上半连续性.

在整篇论文中,总是用 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ 以及 $\|\cdot\|$ 表示空间 $L^2(\Omega)$ 中的内积和范数. 在证明过程中,有关 Young 不等式和 Hölder 不等式的使用将不做特别说明. 用 $C$ 来表示正常数.

为了方便的刻画非自治动力系统,我们引入"过程"这一概念 (见文献 ^[12]). 定义在 Banach 空间 $X$ 上的过程是一个映射 $U(t,\tau):X\to X,\ t\geqslant\tau$,并对任意的 $t\geqslant s\geqslant \tau$ 满足 $U(\tau,\tau)={\rm Id}$ 和 $U(t,s)U(s,\tau)=U(t,\tau)$.

定义2.1 一族紧集 ${\cal A}=\{A(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 称为是过程 $U(\cdot,\cdot)$ 生成的拉回吸引子,若满足:

1. ${\cal A}$ 是不变的,即 $U(t,\tau)A(\tau)=A(t)$,$\forall\,t\geqslant\tau$;

2. ${\cal A}$ 具有拉回吸引性,即对任意的有界集合 $D\subset X$ 满足

$\lim\limits_{\tau\rightarrow\infty}{\rm dist}_X(U(t,t-\tau)D,A(t))=0,$

其中,${\rm dist}_X(A,B)$ 表示空间 $X$ 中集合 $A$ 与 $B$ 之间的 Hausdorff 半距离,即

${\rm dist}_X(A,B)=\sup_{x\in A}\inf_{y\in B}\|x-y\|_X.$

定义2.2 一族集合 ${\cal D}=\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 关于过程 $U(\cdot,\cdot)$ 是拉回吸收的,是指对任意的 $t\in\mathbb{R}$ 以及有界集合 $D\subset X$,总存在 $T >0$,使得 $U(t,t-\tau)D\subset D(t)$ 对所有的 $\tau\geqslant T$ 成立.

定义2.3 过程 $U(\cdot,\cdot)$ 关于集合族 ${\cal D}=\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是 ${\cal D}$ -拉回渐近紧的,是指对任意的 $t\in\mathbb{R}$ 以及序列 $\tau_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty$,$x_n\in D(t-\tau_n)$,满足序列 $\{U(t,t-\tau_n)x_n\}_{n\in{\Bbb N}}$ 列紧的.

根据文献 ^[9],可得到下面有关拉回吸引子存在性的结果.

定理2.1 假设集合族 ${\cal D}=\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是拉回吸收的,并且过程 $U(\cdot,\cdot)$ 在空间 $X$ 上满足 ${ D}$ -拉回渐近紧性. 则集合族 ${\cal A}=\{A(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 定义为 $A(t):=\Lambda({\cal D},t)$,其中

$\Lambda({\cal D},t)=\bigcap_{s\geqslant0}\overline{\bigcup_{\tau\geqslant s}U(t,t-\tau)D(t-\tau)}^X,\forall\,t\in\mathbb{R}$

(2.1)

是过程 $U(\cdot,\cdot)$ 生成的一个拉回吸引子. 并且,如果还满足对任意的 $t\in\mathbb{R}$,总存在性 $T>0$ (依赖于 $t$),使得

$U(t,t-\tau)D(t-\tau)\subset D(t),\forall\,\tau\geqslant T,$

(2.2)

则

$\lim_{\tau\to\infty}{\rm dist}_X(U(t,t-\tau)D(t-\tau),A(t))=0,\forall\,t\in\mathbb{R}.$

(2.3)

基于自治动力系统中有关全局吸引子上半连续性结果 (见文献 ^[5,23]),下面的结果可以得到证明.

定理2.2 令 $X$ 是赋予了范数 $\|\cdot\|_X$ 的 Banach 空间. 假设对任意的 $\varepsilon\in [0,\mu]\subset\mathbb{R}$,过程 $U_\varepsilon(\cdot,\cdot)$ 有一个满足 (2.2) 式的拉回吸收族 ${\cal D_\varepsilon}=\{D_\varepsilon(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$,并且 $U_\varepsilon(\cdot,\cdot)$ 在空间 $X$ 上是 ${\cal D_\varepsilon}$ -拉回渐近紧的. 假设 ${\cal A}_\varepsilon=\{A_\varepsilon(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是由定理 2.1 给出的在空间 $X$ 上的拉回吸引子. 假设下列条件成立:

1. ${\cal D_\varepsilon}=\{D_\varepsilon(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 不依赖于 $\varepsilon\in[0,\mu]$,即存在 $\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 使得

$ D_\varepsilon(t)=D(t),\forall\,t\in\mathbb{R},\ \varepsilon\in[0,\mu]; $

2. 对任意的 $\tau>0$ 以及有界集合 $D\subset X$,有

$ \sup_{{t\in[a,b] \atop x\in D}}\|U_\varepsilon(t,a-\tau)x-U_0(t,a-\tau)x\|_X\stackrel{\varepsilon\to0}{\to}0; $

3. 对任意的 $\tau>0$ 以及序列 $\{t_n\}_{n\in\Bbb N}\subset[a,b]$ 和 $\{x_n\}_{n\in{\Bbb N}}\subset X$,其中 $t_n\stackrel{n\to\infty}{\to}t_0$,$x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}x_0$,满足

$ \|U_0(t_n,a-\tau)x_n-U_0(t_0,a-\tau)x_0\|_X\stackrel{n\to\infty}{\to}0,$

则

$\lim_{\varepsilon\to 0}\sup_{t\in[a,b]}{\rm dist}_X(A_\varepsilon(t),A_0(t))=0.$

(2.4)

证 首先,我们证明对任意的 $\delta>0$,总存在 $T>0$ 使得

$U_0(t,a-T)D(a-T)\subset{ N}_\frac{\delta}{2}(A_0(t)),\forall\ t\in[a,b],$

(2.5)

其中,${ N}_\frac{\delta}{2}(A_0(t))$ 表示 $A_0(t)$ 的 $\frac{\delta}{2}$ 邻域.

如果 (2.5)式不成立,则存在 $\delta>0$ 使得对任意的 $T_n>0$,总存在 $t_n\in[a,b]$ 和 $x_n\in D(a-T_n)$,使得

$\mbox{dist}_X(U_0(t_n,a-T_n)x_n,A_0(t_n))\geqslant\frac{\delta}{2}.$

(2.6)

令 $T_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty$,$t_n\stackrel{n\to\infty}{\to}t_0\in[a,b]$ 以及 $s_m\stackrel{m\to\infty}{\to}\infty$. 对于每个 $m\in{\Bbb N}$,存在足够大的 $N_m\in\mathbb N$,使得

$ y_n^{(m)}=U_0(a-s_m,a-T_n)x_n\in D(a-s_m),\forall\,n\geqslant N_m. $

由于 $U_\varepsilon(\cdot,\cdot)$ 在 $X$ 上具有 ${\cal D_\varepsilon}$ -拉回渐近紧性,所以 $\{y_n^{(m)}\}_{n\geqslant N_m}$ 是 $X$ 中列紧序列,不妨设

$ y_n^{(m)}\stackrel{n\to\infty}{\to}y_0^{(m)}\in A_0(a-s_m). $

根据定理假设,可以从 $\{U_0(t_n,a-s_m)y_n^{(m)}\}_{n\geqslant N_m}$ 抽取子列 $\{U_0(t^{(m)}_{n_k},a-s_m)y^{(m)}_{n_k}\}_{k\geqslant1}$,使得

$ \|U_0(t^{(m)}_{n_k},a-s_m)y^{(m)}_{n_k}-U_0(t_0,a-s_m)y_0^{(m)}\|_X\leqslant\frac{1}{m},\forall\,k\in\mathbb N. $

注意到 $U_0(t_0,a-s_m)y_0^{(m)}\in A_0(t_0)$. 这样,对角线序列 $\{U_0(t^{(m)}_{n_m},a-s_m)y^{(m)}_{n_m}\}_{m\in\mathbb N}$ 满足

${\rm dist}_X(U_0(t^{(m)}_{n_m},a-T_{n_m})x_{n_m},A_0(t_0))={\rm dist}_X(U_0(t^{(m)}_{n_m},a-s_m)y^{(m)}_{n_m},A_0(t_0)) \stackrel{m\to\infty}{\to}0.$

(2.7)

为了简单起见,令 $\tilde{t}_m=t_{n_m}^{(m)}$. 接下来,我们将证明

${\rm dist}_X(A_0(t_0),A_0(\tilde{t}_m))\stackrel{m\to\infty}{\to}0.$

(2.8)

如果 (2.8) 式不成立,则存在 $\eta>0$ 以及 $y_m\in A_0(t_0)$ 使得

${\rm dist}_X(y_m,A_0(\tilde{t}_m))\geqslant\eta,\forall\,m\in\mathbb N,$

(2.9)

并且,不失一般性,令

$y_m\stackrel{m\to\infty}{\to}\tilde{y}\in A_0(t_0).$

(2.10)

选择 $\tau>0$,则存在 $\{z_m\}_{m\in\mathbb N}\subset A_0(a-\tau)$ 使得

$ y_m=U_0(t_0,a-\tau)z_m,\forall\,m\in\mathbb N. $

不失一般性,令

$ z_m\stackrel{m\to\infty}{\to}z\in A_0(a-\tau),\forall\,l\in\mathbb N. $

根据定理假设,可得

$\lim_{m\to\infty}\|y_m-U_0(\tilde{t}_m,a-\tau)z_m\|_X\\ =\lim_{m\to\infty}\|U_0(t_0,a-\tau)z_m-U_0(\tilde{t}_m,a-\tau)z_m\|_X\\ \leqslant\lim_{m\to\infty}\|U_0(t_0,a-\tau)z_m-U_0( t_0,a-\tau)z\|_X\\ +\lim_{m\to\infty}\|U_0(t_0,a-\tau)z-U_0(\tilde{t}_m,a-\tau)z_m\|_X\\ =0.$

故而可得

$ {\rm dist}_X(y_{m},A_0(\tilde{t}_{m}))\leqslant{\rm dist}_X(y_{m},U_0(\tilde{t}_{m},a-\tau)z_{m})\stackrel{m\to\infty}{\to}0,$

这便与 (2.9)式相矛盾. 所以,(2.8) 式成立.

根据 (2.7) 与 (2.8)式,容易看出

$ {\rm dist}_X(U_0(t^{(m)}_{n_m},a-T_{n_m})x_{n_m},A_0(t^{(m)}_{n_m}))\stackrel{m\to\infty}{\to}0,$

这与 (2.6) 式相矛盾. 故,(2.5) 式成立.

另一方面,由定理假设条件,存在 $\eta_\delta\in(0,\mu]$ 使得

$ \sup_{ {t\in[a,b]\atop x\in D(a-T)}}\|U_\varepsilon(t,a-T)x-U_0(t,a-T)x\|_X＜\frac{\delta}{2},\forall\,\varepsilon\in(0,\eta_\delta),$

这与 (2.5) 式一起可推出

$A_\varepsilon(t)=U_\varepsilon(t,a-T)A_\varepsilon(a-T)\\ \subset U_\varepsilon(t,a-T)D(a-T)\\ \subset { N}_\frac{\delta}{2}(U_0(t,a-T)D(a-T))\\ \subset { N}_\delta(A_0(t)),$

对任意的 $\varepsilon\in(0,\eta_\delta)$,$t\in[a,b]$ 成立. 由此我们可得 (2.4)式.证毕.

现在,我们可以给出一个更一般的结果.

推论2.1 如果将定理 2.2 中假设 2,假设 3 替换为:

2. 对任意的 $\tau>0$ 及有界集合 $D\subset X$

$ \sup_{ {t\in[a,b]\atop x\in D}}\|U_\varepsilon(t,a-\tau)x-U_{\varepsilon_0}(t,a-\tau)x\|_X\stackrel{\varepsilon\to\varepsilon_0}{\to}0,\forall\,\varepsilon_0\in[0,\mu]; $

3. 对任意的 $\tau>0$ 以及满足 $t_n\stackrel{n\to\infty}{\to}t_0$,$x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}x_0$ 的序列 $\{t_n\}_{n\in\Bbb N}\subset[a,b]$ 和 $\{x_n\}_{n\in{\Bbb N}}\subset X$,有

$ \|U_\varepsilon(t_n,a-\tau)x_n-U_\varepsilon(t_0,a-\tau)x_0\|_X\stackrel{n\to\infty}{\to}0,\forall\,\varepsilon\in[0,\mu],$

则

$\lim_{\varepsilon\to\varepsilon_0}\sup_{t\in[a,b]}{\rm dist}_X(A_\varepsilon(t),A_{\varepsilon_0}(t))=0,\forall\,\varepsilon_0\in[0,\mu]$

(2.11)

以及

$\bigcup_{t\in[a,b]}\bigcup_{\varepsilon\in[0,\mu]}A_\varepsilon(t)\mbox{ 在空间 $X$ 中列紧.}$

(2.12)

证 其中 (2.11) 式的证明与定理 2.2 的证明类似. 下面只针对 (2.12)式给出证明. 为此,需要证明任意序列 $\{y_n\}_{n\in\Bbb N}\in \cup_{t\in[a,b]}\cup_{\varepsilon\in[0,\mu]}A_\varepsilon(t)$ 在 $X$ 中列紧.

根据拉回吸引子的性质,存在序列 $\{t_n\}_{n\in\Bbb N}\subset[a,b]$,$\{\varepsilon_n\}_{n\in\Bbb N}\subset[0,\mu]$,$\{\tau_n\}_{n\in\Bbb N}\subset\mathbb{R}^+$ 满足 $\tau_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\infty$ 以及 $x_n\in A_{\varepsilon_n}(a-\tau_n)(\subset D(a-\tau_n))$,使得

$ y_n=U_{\varepsilon_n}(t_n,a-\tau_n)x_n,$

并且,不失一般性,令 $t_n\stackrel{n\to\infty}{\to}t_0$ 以及 $\varepsilon_n\stackrel{n\to\infty}{\to}\varepsilon_0$.

选取合适的 $s\in(0,\tau_n)$ 对任意的 $n\in\Bbb N$ 成立. 令

$ z_n=U_{\varepsilon_n}(a-s,a-\tau_n)x_n,$

由于 $y_n=U_{\varepsilon_n}(t_n,a-s)z_n$,$z_n\in A_{\varepsilon_n}(a-s)$,根据 (2.11) 式并结合 $A_{\varepsilon_0}(a-s)$ 的紧性,存在 $z_0\in A_{\varepsilon_0}(a-s)$ 和序列 $\{z_{n_k}\}_{k\in\Bbb N}\subset\{z_{n}\}_{n\in\Bbb N}$ 使得

$ z_{n_k}\stackrel{k\to\infty}{\to}z_0. $

这样,根据定理假设可得

$\|y_{n_k}-U_{\varepsilon_0}(t_0,a-s) z_0\|_X\\ =\|U_{\varepsilon_{n_k}}(t_{n_k},a-s)z_{n_k}-U_{\varepsilon_0}(t_0,a-s)z_0\|_X\\ \leqslant \|U_{\varepsilon_{n_k}}(t_{n_k},a-s)z_{n_k}-U_{\varepsilon_0}(t_{n_k},a-s)z_{n_k}\|_X\\ +\|U_{\varepsilon_0}(t_{n_k},a-s)z_{n_k}-U_{\varepsilon_0}(t_0,a-s) z_0\|_X\stackrel{k\to\infty}{\to}0.$

证明结束.

方程 (1.1) 的解的存在性可利用经典的 Faedo-Galerkin 方法得到,具体如下:

定理3.1 假设 (1.2)-(1.4) 式成立,$g(x,t)\in L^2_{{\rm loc}}(\mathbb{R};L^2(\Omega))$. 对于任意的 $u_r\in H_0^1(\Omega)$,$\varepsilon\geqslant0$ 以及 $[r,T]\subset \mathbb{R}$,方程 (1.1) 有唯一的解 $u$,其满足

$ u\in C([r,T];H^1_0(\Omega)),\partial_tu\in L^2((r,T);H^1_0(\Omega)). $

并且,对任意的 $\varepsilon\geqslant0$,方程解在 $H^1_0(\Omega)$ 中连续的依赖初值.

根据定理 3.1,可建立方程 (1.1) 的解生成的过程 $U_\varepsilon(t,r)$:

$U_\varepsilon(t,r)u_r=u(t),\forall\,t\geqslant r,\ u_r\in H_0^1(\Omega),$

并且,映射 $U_\varepsilon(t,r):H_0^1(\Omega)\to H_0^1(\Omega)$ 连续.

引理3.1 假设 (1.2)-(1.5)式成立,方程 (1.1) 的解 $u$ 满足

$\|\nabla u(t)\|^2+{\rm e}^{-\sigma t}\int_r^t{\rm e}^{\sigma s}(\|\partial_tu(s)\|^2+\varepsilon\|\nabla\partial_tu(s)\|^2){\rm d}s\\ \leqslant C{\rm e}^{-\sigma (t-r)}(\|\nabla u_r\|^\frac{2N}{N-2}+1)+C{\rm e}^{-\sigma t}\int_{-\infty}^t{\rm e}^{\sigma s}\|g(x,s)\|^2{\rm d}s+C$

(3.1)

对任意的 $\varepsilon\in[0,1]$,$t\geqslant r$ 以及 $u_r\in H_0^1(\Omega)$ 成立,这里常数 $C>0$ 不依赖于 $t,\,r$ 和 $\varepsilon$.

证 用 $\partial_tu+\delta u$ 乘以方程 (1.1) 的两端并在 $\Omega $ 上积分,可得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}\left(\delta\|u\|^2+(1+\varepsilon\delta)\|\nabla u\|^2+2\langle F(u),1\rangle\right)+2\|\partial_tu\|^2+2\varepsilon\|\nabla\partial_tu\|^2\\ +2\delta\|\nabla u\|^2+2\delta\langle f(u),u\rangle=2\langle g(x,t),\partial_tu+\delta u\rangle,$

(3.2)

这里,$F(u)=\int_0^uf(s){\rm d}s$.

由于

$2\langle g(x,t),\partial_tu+\delta u\rangle\leqslant2\|g(x,t)\|^2+\|\partial_tu\|^2+\delta^2\|u\|^2.$

(3.3)

结合 (3.2)和 (3.3)式,可得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)+\delta E(t)+\|\partial_tu\|^2+2\varepsilon\|\nabla\partial_tu\|^2+\Pi(t)\leqslant2\|g(x,t)\|^2,$

(3.4)

其中

$ E(t)=\delta\|u\|^2+(1+\varepsilon\delta)\|\nabla u\|^2+2\langle F(u),1\rangle+2C_\rho,$

$ \Pi(t)=2\delta\|\nabla u\|^2+2\delta\langle f(u),u\rangle-\delta^2\|u\|^2-\delta E(t). $

由 (1.2)和 (1.4)式,可选取适当的正常数 $\rho ＜\lambda_1$ 和 $C_\rho$,确保下列估计成立

$\langle f(u),u\rangle\geqslant-\rho\|u\|^2-C_\rho,\label{f03}$

(3.5)

$\langle F(u),1\rangle\geqslant-\frac{1}{2}\rho\|u\|^2-C_\rho,\label{f04}$

(3.6)

$\langle f(u),u\rangle-\langle F(u),1\rangle\geqslant-\frac{1}{2}\rho\|u\|^2-C_\rho,\label{f05}$

(3.7)

$\langle F(u),1\rangle\leqslant C(\|\nabla u\|^\frac{2N}{N-2}+1).\label{f06}$

(3.8)

令

$0 ＜\delta\leqslant\frac{1-\rho\lambda_1^{-1}}{1+2\lambda_1^{-1}}.$

(3.9)

则,容易验证

$ E(t)\geqslant0 \mbox{以及} \Pi(t)\geqslant-C_0,$

其中,$C_0=4\delta C_\rho$.

这样,可以将 (3.4)式简化成

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)+\delta E(t)+\|\partial_tu\|^2+2\varepsilon\|\nabla\partial_tu\|^2\leqslant2\|g(x,t)\|^2+C_0.$

(3.10)

令 $\sigma>0$ 满足

$0 ＜\frac{\sigma N}{N-2}＜\delta.$

(3.11)

用 ${\rm e}^{\sigma t}$ 乘以 (3.10) 式两端,得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}{\rm e}^{\sigma t}E(t)+(\delta-\sigma){\rm e}^{\sigma t}E(t)+{\rm e}^{\sigma t}(\|\partial_tu\|^2+2\varepsilon\|\nabla\partial_tu\|^2)\leqslant2{\rm e}^{\sigma t}\|g(x,t)\|^2+C_0{\rm e}^{\sigma t}. $

对上式关于变量 $t$ 从 $r$ 到 $t$ 积分可得

$E(t)+(\delta-\sigma){\rm e}^{-\sigma t}\int_r^t{\rm e}^{\sigma s}E(s){\rm d}s+{\rm e}^{-\sigma t}\int_r^t{\rm e}^{\sigma s}(\|\partial_tu(s)\|^2+2\varepsilon\|\nabla\partial_tu(s)\|^2){\rm d}s\\ \leqslant {\rm e}^{-\sigma(t-r)}E(r)+2{\rm e}^{-\sigma t}\int_r^t{\rm e}^{\sigma s}\|g(x,s)\|^2{\rm d}s+C_0\sigma^{-1}.$

(3.12)

根据 (3.6)和 (3.8)式,有如下估计

$C_1\|\nabla u\|^2\leqslant E(t)\leqslant C_2( \|\nabla u\|^\frac{2N}{N-2}+1),$

(3.13)

其中 $C_1=1-\rho\lambda_1^{-1}$,$C_2=\delta\lambda_1^{-1}+\delta+2C_\rho+4C+1$.

结合 (3.12) 和 (3.13)式,可得 (3.1) 式. 证明结束.

推论3.1 假设 (1.2)-(1.5) 式成立. 则,对任意的 $\varepsilon\in[0,1]$,方程 (1.1) 的过程 $U_\varepsilon(\cdot,\cdot)$ 在 $H_0^1(\Omega)$ 中有一个拉回吸收集 ${\cal D}=\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$,其不依赖于 $\varepsilon\in[0,1]$,并且满足 (2.2)式.

证 令

$R(t)=\left(2C{\rm e}^{-\sigma t}\int^t_{-\infty}{\rm e}^{\sigma s}\|g(x,s)\|^2{\rm d}s+2C\right)^{1/2},\label{R}$

(3.14)

$D(t)=\{u\in H_0^1(\Omega)\mid \|\nabla u\|\leqslant R(t)\},\label{B}$

(3.15)

其中 $C>0$ 与 (3.1) 式中相同. 根据引理 3.1,$H_0^1(\Omega)$ 中的集合族 ${\cal D}=\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 关于过程 $U_\varepsilon(\cdot,\cdot)$ 是拉回吸收的.

选择正常数 $\tilde{\sigma }$,满足

$\frac{\sigma N}{N-2} ＜\tilde{\sigma } ＜\delta,$

(3.16)

其中 $\delta>0$ 与 (3.9)式中相同.

重复引理 3.1 证明过程,容易验证,即使将 $\sigma$ 替换为 $\tilde{\sigma }$,不等式 (3.1) 任然保持成立,即

$\begin{align} & \|\nabla {{U}_{\varepsilon }}(t,t-\tau ){{u}_{t-\tau }}{{\|}^{2}} \\ & C{{\text{e}}^{-\tilde{\sigma }\tau }}({{(R(t-\tau ))}^{\frac{2N}{N-2}}}+1)+C{{\text{e}}^{-\tilde{\sigma }t}}\int_{t-\tau }^{t}{{{\text{e}}^{(\tilde{\sigma }-\sigma )s}}}{{\text{e}}^{\sigma s}}\|g(x,s){{\|}^{2}}\text{d}s+C \\ & C{{\text{e}}^{-\tilde{\sigma }\tau }}({{(R(t-\tau ))}^{\frac{2N}{N-2}}}+1)+C{{\text{e}}^{-\sigma t}}\int_{-\infty }^{t}{{{\text{e}}^{\sigma s}}}\|g(x,s){{\|}^{2}}\text{d}s+C \\ \end{align}$

(3.17)

对任意的 $u_{t-\tau}\in D(t-\tau)$ 成立.

由 (3.14) 和 (3.16)式,可得

${{\text{e}}^{-\tilde{\sigma }\tau }}{{(R(t-\tau ))}^{\frac{2N}{N-2}}}\overset{\tau \to \infty }{\mathop{\to }}\,0,$

(3.18)

进一步结合 (3.15)式可知,集合族 $\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 满足 (2.2)式. 证明结束.

方程 (1.1) 在 $H^1_0(\Omega)$ 中的拉回吸引子的存在性证明,已由文献 ^[3] 给出:

定理3.2 假设 (1.2)-(1.5) 式成立. 令 ${\cal D}=\{D(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$ 是由推论 3.1 给出的拉回吸收族,则对任意的 $\varepsilon\in[0,1]$,在空间 $H^1_0(\Omega)$ 中存在一个拉回吸引子 ${\cal A_\varepsilon}=\{A_\varepsilon(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$. 并且

$ A_\varepsilon(t)=\bigcap_{s\geqslant0}\overline{\bigcup_{\tau\geqslant s}U_\varepsilon(t,t-\tau)D(t-\tau)}^{H_0^1(\Omega)},\forall\,t\in\mathbb{R},\ \varepsilon\in[0,1]. $

引理3.2 假设 (1.2)-(1.5) 式成立. 对任意的 $t\in(r,T]$ 以及 $\varepsilon\in[0,1]$,有如下估计

$\|\partial_tu(t)\|^2+\varepsilon\|\nabla\partial_tu(t)\|^2\leqslant \frac{Q}{(t-r)^2},$

(3.19)

只要 $\|\nabla u_r\|^2\leqslant K$. 这里,$Q>0$ 依赖于 $r,\,T$ 和 $K$,但不依赖 $\varepsilon$.

证 由引理 3.1,容易看出

$\int_r^T(\|\partial_tu(t)\|^2+\varepsilon\|\nabla\partial_tu(t)\|^2){\rm d}t\leqslant M,$

(3.20)

其中,$M>0$ 依赖于 $r,\,T$ 和 $K$.

将方程 (1.1) 两端关于变量 $t$ 微分,并令 $v=\partial_tu$,则 $v$ 满足如下等式

$\partial_tv-\varepsilon\Delta\partial_tv-\Delta v+f'(u)v=\partial_tg(x,t).$

(3.21)

用 $v$ 去乘 (3.21)式两端,并在 $\Omega$ 上积分,利用 (1.3) 式以及 Cauchy 不等式,简单计算后可得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}G(t)+\|\nabla v\|^2\leqslant 2lG(t)+ \lambda_1^{-1}\|\partial_tg(x,t)\|^2,$

(3.22)

这里

$G(t)=\|v(t)\|^2+\varepsilon\|\nabla v(t)\|^2. $

如果存在某个 $\xi\in(r,T)$,使得范数 $\|\partial_tu(\xi)\|^2+\|\nabla\partial_tu(\xi)\|^2$ 是有意义的,则我们可以对 (3.22) 式应用 Gronwall 不等式,得到

$\|\partial_tu(t)\|^2+\varepsilon\|\nabla\partial_tu(t)\|^2\leqslant Q\left(\|\partial_tu(\xi)\|^2+\varepsilon\|\nabla\partial_tu(\xi)\|^2+\int_r^T\|\partial_tg(x,s)\|^2{\rm d}s\right)$

(3.23)

对任意的 $t\in[\xi,T]$ 成立,其中 $Q>0$ 依赖于 $r,\,T$ 以及 $K$.

用 $(t-r)^2$ 乘以 (3.22) 式两端,得

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}(t-r)^2G(t) \leqslant 2l(t-r)^2G(t)+2(t-r)G(t)+\lambda_1^{-1}(t-r)^2\|\partial_tg(x,t)\|^2\\ \leqslant(2l+1)(t-r)^2G(t)+G(t)+\lambda_1^{-1}(t-r)^2\|\partial_tg(x,t)\|^2.$

(3.24)

接下来,对 (3.24) 式应用 Gronwall 不等式,并考虑到 (3.20)和 (3.23)式,便可推出 (3.19)式. 证明结束.

引理3.3 假设 (1.2)-(1.5)式成立. 对任意的 $\tau>0$,$[a,b]\subset\mathbb{R}$ 以及有界集合 $D\subset H_0^1(\Omega)$,

$ \sup_{ {t\in[a,b]\atop x\in D}}\|\nabla(U_\varepsilon(t,a-\tau)x-U_{\varepsilon_0}(t,a-\tau)x)\|\stackrel{\varepsilon\to\varepsilon_0}{\to}0,\forall\,\varepsilon_0\in[0,1]. $

证 令 $u(t)=U_{\varepsilon}(t,a-\tau)x$ 是方程 (1.1) 以 $u(a-\tau)=x$ 为初值的解,$u_0(t)=U_{ \varepsilon_0}(t,a-\tau)x$ 是方程 (1.1) 以 $u_0(a-\tau)=x$ 为初值且 $\varepsilon= \varepsilon_0$ 的解.

设 $w=u- u_0$,则其满足下面的以 $w(\alpha-\tau)=0$ 为初值的方程

$\partial_tw-\Delta w-\varepsilon_0\Delta\partial_tw-(\varepsilon-\varepsilon_0)\Delta\partial_t u+f(u)-f(u_0)=0.$

(3.25)

用 $w$ 去乘 (3.25) 式两端并在区域 $\Omega $ 上积分,有

$\frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|w\|^2+\varepsilon_0\|\nabla w\|^2)+2\|\nabla w\|^2+2(\varepsilon-\varepsilon_0)\langle-\Delta\partial_tu,w\rangle+2\langle f(u)-f(u_0),w\rangle=0,$

(3.26)

对 (1.3)式应用 Young 不等式,得

$|(\varepsilon-\varepsilon_0)\langle-\Delta\partial_tu,w\rangle|\leqslant \frac{(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}{2}\|\nabla\partial_tu\|^2+\frac{1}{2}\|\nabla w\|^2$

(3.27)

以及

$\langle f(u)-f(u_0),w\rangle\geqslant-l\|w\|^2.$

(3.28)

由 (3.26)-(3.28)式,可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|w\|^2+\varepsilon_0\|\nabla w\|^2)\leqslant 2l(\|w\|^2+\varepsilon_0\|\nabla w\|^2)+(\varepsilon-\varepsilon_0)^2\|\nabla\partial_tu\|^2. $

应用 Gronwall 不等式,有

$\|w(t)\|^2+\varepsilon_0\|\nabla w(t)\|^2\leqslant C(\varepsilon-\varepsilon_0)^2\int_{a-\tau}^t\|\nabla\partial_tu(s)\|^2{\rm d}s.$

(3.29)

下面,我们分成两种情形来讨论.

情形1 $\varepsilon_0>0$. 由引理 3.1 和 (3.29)式,容易看出

$ \lim_{\varepsilon\to\varepsilon_0}\sup_{ {t\in[a,b]\atop x\in D}}\|\nabla w(t)\|^2\leqslant\lim_{\varepsilon\to\varepsilon_0} C \frac{(\varepsilon-\varepsilon_0)^2}{\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\varepsilon\int_{a-\tau}^b\|\nabla\partial_tu(s)\|^2{\rm d}s=0. $

情形2 $\varepsilon_0=0$. 则可简化 (3.29)式为

$\|w(t)\|^2\leqslant C\varepsilon^2\int_{a-\tau}^t\|\nabla\partial_tu(s)\|^2{\rm d}s.$

(3.30)

用 $w$ 去乘 (3.25) 式两端并考虑到 (3.28)式,可得

$\|\nabla w(t)\|^2\leqslant C\left(\|\partial_tw(t)\|\|w(t)\|+\varepsilon^2\|\nabla\partial_tu(t)\|^2+\|w(t)\|^2\right),$

(3.31)

进一步结合引理 3.1,引理 3.2 以及 (3.30)式,可得到引理结论.

引理3.4 假设 (1.2)-(1.5)式成立. 对任意的 $\tau>0$,任意的 $H^1_0(\Omega)$ 中满足 $x_n\stackrel{n\to\infty}{\to}x_0$ 的序列 $\{x_n\}_{n\in\Bbb N}\subset H_0^1(\Omega)$ 以及任意的满足 $t_n\to t_0$ 的序列 $\{t_n\}_{n\in\mathbb N}\subset[a,b]$,有

$\|\nabla(U_{\varepsilon}(t_n,a-\tau)x_n-U_{\varepsilon}(t_0,a-\tau)x_0)\|\stackrel{n\to\infty}{\to}0,\forall\,\varepsilon\in[0,1].$

(3.32)

证 令 $u_n(t)=U_{\varepsilon}(t,a-\tau)x_n$ 是方程 (1.1) 以 $u_{n}(a-\tau)=x_n$ 为初值的解,$u_0(t)=U_{\varepsilon}(t,a-\tau)x_0$ 是方程 (1.1) 以 $u_{0}(a-\tau)=x_0$ 为初值的解.

设 $w_n=u_n-u_0$,则 $w_n$ 下面的以 $w_{n}(\alpha-\tau)=x_n-x_0$ 为初值的方程

$\partial_tw_n-\Delta w_n-\varepsilon\Delta\partial_tw_n+f(u_n)-f(u_0)=0.$

(3.33)

类似引理 3.3 的证明方法,用 $w_n$ 乘 (3.33)式两端,可得

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}(\|w_n\|^2+\varepsilon\|\nabla w_n\|^2)\leqslant 2l(\|w_n\|^2+\varepsilon\|\nabla w_n\|^2). $

再由 Gronwall 不等式,得

$\|w_n(t)\|^2+\varepsilon\|\nabla w_n(t)\|^2\leqslant C(\|x_n-x_0\|^2+\varepsilon\|\nabla (x_n-x_0)\|^2),$

(3.34)

这里 $C>0$ 依赖于 $a-\tau$,$b$,但不依赖 $\varepsilon.$

下面我们将证明分成两种情形.

情形1 $\varepsilon>0$. 由 (3.34)式,容易得到

$\sup_{t\in[a,b]}\|\nabla(U_\varepsilon(t,a-\tau)x_n-U_\varepsilon(t,a-\tau)x_0)\|\stackrel{n\to\infty}{\to}0,\forall\,\tau>0.$

(3.35)

注意到由定理 3.1 可推出 $U_\varepsilon(\cdot,a-\tau)x_0\in C([a,b]; H^1_0(\Omega))$,结合 (3.35)式,可得

$\|\nabla(U_{\varepsilon}(t_n,a-\tau)x_n-U_\varepsilon(t_0,a-\tau)x_0)\|\\ \leqslant\|\nabla(U_{\varepsilon}(t_n,a-\tau)x_n-U_{\varepsilon}(t_n,a-\tau)x_0)\|\\ +\|\nabla(U_{\varepsilon}(t_n,a-\tau)x_0-U_\varepsilon(t_0,a-\tau)x_0)\|\stackrel{n\to\infty}{\to}0.$

(3.36)

情形2 $\varepsilon=0$. 不等式 (3.34) 可简化为

$ \|w_n(t)\|^2\leqslant C\|x_n-x_0\|^2. $

这样,

$\sup_{t\in[a,b]}\|U_{0}(t,a-\tau)x_n-U_0(t,a-\tau)x_0\|\stackrel{n\to\infty}{\to}0,\forall\,\tau>0.$

(3.37)

类似 (3.31)式的证明,用 $w_n$ 乘以 (3.33)式两端,得

$ \|\nabla w_n(t)\|^2\leqslant C\left(\|\partial_tw_n(t)\|\|w_n(t)\|+\|w_n(t)\|^2\right). $

利用引理 3.2 和 (3.37)式,可得

$\sup_{t\in[a,b]}\|\nabla(U_{0}(t,a-\tau)x_n-U_0(t,a-\tau)x_0)\|\stackrel{n\to\infty}{\to}0,\forall\,\tau>0.$

(3.38)

则利用 (3.36)式的证明方式,我们可得到需要的结果.

结合推论 2.1,3.1 以及引理 3.3,3.4,便得到本节的主要结果:

定理3.3 假设 (1.2)-(1.5)式成立. 则由定理 3.2 给出的拉回吸引子 ${\cal A}_\varepsilon=\{A_\varepsilon(t)\}_{t\in\mathbb{R}}$,满足

$ \sup_{t\in[a,b]}{\rm dist}_{H_0^1}(A_\varepsilon(t),A_{\varepsilon_0}(t))\stackrel{\varepsilon\to\varepsilon_0}{\to}0,\forall\,\varepsilon_0\in[0,1],\ [a,b]\subset\mathbb{R} $

以及

$ \bigcup_{t\in[a,b]}\bigcup_{\varepsilon\in[0,1]}A_\varepsilon(t) \mbox{ 在空间$ H_0^1(\Omega)$ 中列紧.} $