本文研究了一类带有非局部边界条件的微分方程数值求解,这类问题常应用于化学工程、热弹性学、周期轨道的提取、由一个无限域造成的不均匀性、非线性机械振荡器、疾病的预测、地下河流动和人口流动问题等,由于这些方面的重要性,国内外众多学者都在热衷于从事寻找这类微分方程数值求解的算法 (见文献 ^[1-5]). 因此,本文基于再生核空间数值分析理论,给出一类带有积分边值条件的微分方程的数值求解方法.文中主要研究了以下带有积分边值条件的四阶非线性微分方程的解

$\left\{ \begin{matrix} {{u}^{4}}(x)-\lambda f(x,u(x))=0,0<x<1,\\ u(0)=u(1)=\int_{0}^{1}{p}(x)u(x)dx,\\ {u}''(0)={u}''(1)=\int_{0}^{1}{q}(x){u}''(x)dx,\\ \end{matrix} \right.$

(1.1)

其中: $f:[0,1]\times [0,+ \infty)\rightarrow [0,+ \infty)$ 是连续函数,$\lambda $ 是非负实数,$p(x),q(x)\in C_{[0,1]}^{2}$.

方程 (1.1) 解的存在性在文献 ^[6-7] 中得到证明. 本文在求解的基础上,更加严密的证明了解的一致收敛性. 此类带有积分边界条件的微分方程求解问题,许多学者都进行了研究,如文献 ^[8]. 本文不但改进了再生核的求法,而且在证明解的一致收敛性的问题上,也有一定的突破. 许多学者在研究这类问题时都是在假设了解在范数有界的条件下,收敛性成立 (见文献 ^[8-9]). 本文完善了范数有界的这部分证明,从而让解的收敛性的证明更加严密.

$\begin{align} & W_{2}^{5}[0,1]=\{u(x)|{{u}^{4}}(x)\text{ 是一个连续实值函数,}\ {{u}^{5}}(x)\in {{L}^{2}}[0,1],\\ & u(0)=u(1)=\int_{0}^{1}{p}(x)u(x)dx,{u}''(0)={u}''(1)=\int_{0}^{1}{q}(x){u}''(x)dx\}. \\ \end{align}$

$W_{2}^{5}[0,1]$的内积定义为

${{\langle u(x),v(x)\rangle }_{W_{2}^{5}}}=u(0)v(0)+{u}''(0){v}''(0)+{{u}^{(4)}}(0){{v}^{(4)}}(0)+\int_{0}^{1}{{{u}^{5}}}(x){{v}^{5}}(x)dx,$

(2.1)

$\|u{{\|}_{W_{2}^{5}}}=\sqrt{{{\langle u,u\rangle }_{W_{2}^{5}}}}.$

定理 2.1$W_{2}^{5}[0,1]$ 是一个完备的再生核空间,即存在 ${{R}_{x}}(t)\in W_{2}^{5}[0,1]$ 对任意 $u(t)\in W_{2}^{5}[0,1]$和每一个固定的 $x\in [0,1]$,使得对任何 $t\in [0,1]$,有 ${{\langle u(t),{{R}_{x}}(t)\rangle }_{W_{2}^{5}}}=u(x)$. 再生核函数可以被写作

${{R}_{x}}(t)=\left\{ \begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^{10}{{{a}_{i}}}(x){{t}^{i-1}}+\frac{{{c}_{1}}{{t}^{11}}}{11!}+{{c}_{2}}{{e}^{t}},t\le x,\\ \sum\limits_{i=1}^{10}{{{b}_{i}}}(x){{t}^{i-1}}+\frac{{{c}_{1}}{{t}^{11}}}{11!}+{{c}_{2}}{{e}^{t}},t>x. \\ \end{matrix} \right.$

(2.2)

证 (1) $W_{2}^{5}[0,1]$ 空间的完备性和再生性在参考文献 ^[7] 中已得到证明.

(2)再生核空间 $W_{2}^{5}[0,1]$ 中的再生核函数表达式 ${{\text{R}}_{X}}\text{(t)}$ 求解如下.

对 (2.1)式 进行分部积分,得到

$\begin{align} & {{\langle u(t),{{R}_{x}}(t)\rangle }_{W_{2}^{5}}}=u(0){{R}_{x}}(0)+{{u}^{''}}(0)R_{X}^{''}(0)+{{u}^{(4)}}(0)R_{x}^{(4)}(0) \\ & -\sum\limits_{i=0}^{4}{{{(-1)}^{4-i}}}{{u}^{(i)}}(0)R_{x}^{(9-i)}(0)+\sum\limits_{i=0}^{4}{{{(-1)}^{4-i}}}{{u}^{(i)}}(1)R_{x}^{(9-i)}(1) \\ & -\int_{0}^{1}{u(t)R_{x}^{(10)}(t)dt.} \\ \end{align}$

因为$u(x)\in W_{2}^{5}[0,1]$,则

$\begin{align} & u(0)=u(1)=\int_{0}^{1}{p(t)u(t)dt},{{u}^{''}}(0)={{u}^{''}}(1)=\int_{0}^{1}{q(t){{u}^{''}}(t)dt,} \\ & {{\langle u(t),{{R}_{x}}(t)\rangle }_{W_{2}^{5}}}=u(0){{R}_{x}}(0)+{{u}^{''}}(0){{R}_{{{x}''}}}(0)+{{u}^{(4)}}(0)R_{x}^{(4)}(0)-\sum\limits_{i=0}^{4}{{{(-1)}^{4-i}}}{{u}^{(i)}}(0)R_{x}^{(9-i)}(0) \\ & +\sum\limits_{i=0}^{4}{{{(-1)}^{4-i}}}{{u}^{(i)}}(1)R_{x}^{9-i}(1)-\int_{0}^{1}{u(t)R_{x}^{(10)}(t)dt} \\ & +{{c}_{1}}[u(0)-\int_{0}^{1}{p(t)u(t)dt}]+{{c}_{2}}[{{u}^{''}}(0)-\int_{0}^{1}{q(t){{u}^{''}}(t)dt}] \\ & =u(0){{R}_{x}}(0)+{{u}^{''}}(0){{R}_{{{x}''}}}(0)+{{u}^{(4)}}(0)R_{x}^{(4)}(0)-\sum\limits_{i=0}^{4}{{{(-1)}^{4-i}}}{{u}^{(i)}}(0)R_{x}^{(9-i)}(0) \\ & +\sum\limits_{i=0}^{4}{{{(-1)}^{4-i}}}{{u}^{(i)}}(1)R_{x}^{(9-i)}(1)-\int_{0}^{1}{u(t)R_{x}^{(10)}(t)dt} \\ & +{{c}_{1}}[u(0)-\int_{0}^{1}{p(t)u(t)dt}]+{{c}_{2}}[{{u}^{''}}(0)-{{u}^{'}}(1)q(1) \\ & +{u}'(0)q(0)+{q}'(1)u(1)-{q}'(0)u(0)-\int_{0}^{1}{{{q}^{''}}(t)u(t)dt}]. \\ \end{align}$

根据再生性质,即 ${{\langle u(t),{{R}_{x}}(t)\rangle }_{W_{2}^{5}}}=u(x)$,容易知道${{\text{R}}_{x}}\text{(t) }$是以下微分方程的解

$\left\{ \begin{matrix} -(R_{x}^{(10)}(t)+{{c}_{1}}p(t)+{{c}_{2}}{{q}^{''}}(t))=\delta (t-x),\\ {{R}_{x}}(0)-R_{x}^{(9)}(0)-{{c}_{1}}+R_{x}^{(9)}(1)+{{c}_{2}}{{q}^{'}}(0)-{{c}_{2}}{{q}^{'}}(1)=0,\\ R_{x}^{(8)}(0)-{{c}_{2}}q(0)=0,\\ {{R}_{{{x}^{''}}}}(0)-R_{x}^{(7)}(0)-{{c}_{2}}+R_{x}^{(7)}(1)=0,\\ R_{x}^{(6)}(0)=0,\\ R_{x}^{(4)}(0)-R_{x}^{(5)}(0)=0,\\ R_{x}^{(8)}(1)-{{c}_{2}}q(1)=0,\\ R_{x}^{(6)}(1)=0,\\ R_{x}^{(5)}(1)=0. \\ \end{matrix} \right.$

(2.3)

当 $t\ne x$,容易证明 ${{\text{R}}_{x}}\text{(t) }$ 是下面十阶微分方程的解

$-[R_{x}^{(10)}(t)+{{c}_{1}}p(t)+{{c}_{2}}{{q}^{''}}(t)]=0,$

(2.4)

边界条件为

$\left\{ \begin{matrix} {{R}_{x}}(0)-R_{x}^{(9)}(0)-{{c}_{1}}+R_{x}^{(9)}(1)+{{c}_{2}}{{q}^{'}}(0)-{{c}_{2}}{{q}^{'}}(1)=0,\\ R_{x}^{(8)}(0)-{{c}_{2}}q(0)=0,\\ {{R}_{{{x}^{''}}}}(0)-R_{x}^{(7)}(0)-{{c}_{2}}+R_{x}^{(7)}(1)=0,\\ R_{x}^{(6)}(0)=0,\\ R_{x}^{(4)}(0)-R_{x}^{(5)}(0)=0,\\ R_{x}^{(8)}(1)-{{c}_{2}}q(1)=0,\\ R_{x}^{(6)}(1)=0,\\ R_{x}^{(5)}(1)=0. \\ \end{matrix} \right.$

(2.5)

容易知道 (2.4)式 的特征方程为 ${{\lambda }^{10}}=0$,具有 10 重特征根$\lambda =0$,所以 (2.4)式 的通解为

${{\text{R}}_{x}}\text{(t)}=\left\{ \begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^{10}{{{a}_{i}}}{{t}^{i-1}}+\frac{{{c}_{1}}{{t}^{11}}}{11!}+{{c}_{2}}{{e}^{t}},& t\le x,\\ \sum\limits_{i=1}^{10}{{{b}_{i}}}{{t}^{i-1}}+\frac{{{c}_{1}}{{t}^{11}}}{11!}+{{c}_{2}}{{e}^{t}},& t>x. \\ \end{matrix} \right.$

(2.6)

因为

$-[R_{x}^{(10)}(t)+{{c}_{1}}p(t)+{{c}_{2}}{{q}^{''}}(t)]=\delta (t-x),$

(2.7)

所以

$\begin{align} & R_{x}^{(k)}(t+0)=R_{x}^{(k)}(t-0),k=0,1,2\cdots 8,\\ & R_{x}^{(9)}(t+0)-R_{x}^{(9)}(t-0)=1,\\ \end{align}$

(2.8)

又因为 ${{R}_{x}}(y)\in W_{2}^{5}[0,1]$,故

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{R}_{x}}(0)={{R}_{x}}(1),\\ {{R}_{x}}(0)=\int_{0}^{1}{p(t){{\text{R}}_{x}}\text{(t) }dt,} \\ {{R}_{{{x}^{''}}}}(0)={{R}_{{{x}^{''}}}}(1),\\ {{R}_{{{x}^{''}}}}(0)=\int_{0}^{1}{q(t){{R}_{{{x}^{''}}}}(t)dt}. \\ \end{array} \right.$

(2.9)

不难看出,(2.5),(2.7),(2.8)和 (2.9)式 提供了 22 个方程,这样容易计算出 ${{a}_{i}},{{b}_{i}}(i=1,2,\cdots )$ 和 c₁,c₂,这样便得到了再生核函数表达式 ${{\text{R}}_{x}}\text{(t) }$.

再生核空间 $W_{2}^{1}[0,1]$ 的构造在文献 ^[10] 中给出.且其再生核函数 Q_x(y) 的表达式为

${{Q}_{x}}(y)=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 1+x,& x\le y,\\ 1+y,& x>y. \\ \end{array} \right.$

(2.10)

引进一个线性算子$L:W_{2}^{5}[0,1]\to W_{2}^{1}[0,1]$,令 $L(u(x))={{u}^{(4)}}(x)$,则很明显的知道 L 是一个有界线性算子,则方程 (1.1) 等价转化为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} Lu=\lambda f(x,u(x)),0<x<1,\\ u(0)=u(1)=\int_{0}^{1}{p}(x)u(x)dx,\\ {{u}^{''}}(0)={{u}^{''}}(1)=\int_{0}^{1}{q}(x){{u}^{''}}(x)dx,\\ \end{array} \right.$

(3.1)

其中 $u(x)\in W_{2}^{5}[0,1],\lambda f(x,u(x))\in W_{2}^{1}[0,1]$.

令 $\{{{x}_{i}}\}_{i=1}^{\infty }$ 是 [0,1] 上的稠密点集,且 ${{\varphi }_{i}}(y)={{Q}_{{{x}_{i}}}}(y)$. 再令 ${{\psi }_{i}}(x)={{L}^{*}}{{\varphi }_{i}}(x)$ 其中 L^* 是 L 的共轭算子. 则 $\{{{\psi }_{i}}(x)\}_{i=1}^{\infty }$ 是$W_{2}^{5}[0,1]$中的完全系.

对完全系 $\{{{\psi }_{i}}(x)\}_{i=1}^{\infty }$ 进行 Gram-Schmidt 正交化,得到再生核空间$W_{2}^{5}[0,1]$的一组标准正交基

$\overline{{{\psi }_{i}}}(x)=\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}{{\psi }_{k}}(x),$

(3.2)

其中 ${{\beta }_{ik}}$ 是正交化系数,${{\beta }_{ii}}>0,i=1,2\cdots $.

利用配置法可以将非线性方程 (3.1) 的解设为

${{u}_{n}}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),$

(3.3)

其中 ${{a}_{i}}(i=1,2\cdots )$ 为待定的系数.

对 (3.3) 式左右两边同时用 $\overline{{{\psi }_{i}}}(x)$ 做内积

$\begin{align} & \langle {{u}_{n}}(x),\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle =\langle {{u}_{n}}(x),\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}{{\psi }_{k}}(x)\rangle \\ & =\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}{{\langle {{u}_{n}}(x),{{L}^{*}}{{\varphi }_{k}}(x)\rangle }_{W_{2}^{5}}} \\ & =\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}{{\langle L{{u}_{n}}(x),{{\varphi }_{k}}(x)\rangle }_{W_{2}^{1}}} \\ & =\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}{{\langle \lambda f(x,{{u}_{n}}(x)),{{\varphi }_{k}}(x)\rangle }_{W_{2}^{1}}} \\ & =\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n}}({{x}_{k}})). \\ & \langle \sum\limits_{i=1}^{n}{{{a}_{i}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle =\langle {{a}_{1}}\overline{{{\psi }_{1}}}(x)+{{a}_{2}}\overline{{{\psi }_{2}}}(x)+\cdots +{{a}_{n}}\overline{{{\psi }_{n}}}(x),\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle ={{a}_{i}}. \\ \end{align}$

进而

${{a}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n}}({{x}_{k}})).$

所以

${{u}_{n}}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n}}({{x}_{k}}))\overline{{{\psi }_{i}}}(x).$

(3.4)

下面构造一个迭代格式

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{n}}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\\ {{A}_{i}}=\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))(i=1,2,\cdots ,n),\\ \end{array} \right.$

(3.5)

其中 u₀(x)=0.

引理 3.1 (3.2) 式中的正交化系数 ${{\beta }_{ik}}$ 满足 $\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{\beta _{ik}^{2}}}<+\infty $ 成立.

证 设 $\hat{u}(x)\in W_{2}^{5}[0,1]$ ,且 $\hat{u}(x)$ 是关于 $x\in [0,1]$ 的连续函数. 在 $W_{2}^{5}[0,1]$ 中解微分方程

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} L\hat{u}(x)=1,\\ \hat{u}(0)=\hat{u}(1),\\ {\hat{u}}''(0)={\hat{u}}''(1),\\ \end{array} \right.$

则

$\begin{align} & \hat{u}(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\langle \hat{u}(}x),\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle \overline{{{\psi }_{i}}}(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}\langle \hat{u}(x),{{L}^{*}}{{\varphi }_{k}}(x)\rangle \overline{{{\psi }_{i}}}(x) \\ & =\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}\langle L\hat{u}(x),{{\varphi }_{k}}(x)\rangle \overline{{{\psi }_{i}}}(x)=\sum\limits_{i=1}^{\infty }{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}L\hat{u}({{x}_{k}})\overline{{{\psi }_{i}}}(x)= \\ & \sum\limits_{i=1}^{\infty }{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\\ \end{align}$

所以有

$\begin{align} & {{\left\| {\hat{u}} \right\|}^{2}}=\langle \hat{u}(x),\hat{u}(x)\rangle =\langle \sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle \\ & =\sum\limits_{k,{k}'=1}^{\infty }{\langle }\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{i={k}'}^{\infty }{{{\beta }_{i{k}'}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle ,\\ \end{align}$

又

$\begin{align} & \sum\limits_{k,{k}'=1}^{\infty }{\langle }\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{i={k}'}^{\infty }{{{\beta }_{i{k}'}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle \\ & \ge \sum\limits_{k,{k}'=1,k\le {k}'}^{\infty }{\langle }\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{i={k}'}^{\infty }{{{\beta }_{i{k}'}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle \\ & =\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\langle }\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{i=k}^{\infty }{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle \\ & =\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i,{i}'=k}^{\infty }{\langle {{\beta }_{ik}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),{{\beta }_{{i}'k}}\overline{{{\psi }_{{{i}'}}}}(x)\rangle }}=\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{\beta _{ik}^{2}}},\\ \end{align}$

因此有

$\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{\beta _{ik}^{2}}}\le \|\hat{u}{{\|}^{2}}$. 即 $\sum\limits_{k=1}^{\infty }{\sum\limits_{i=k}^{\infty }{\beta _{ik}^{2}}}<+\infty $.

引理 3.2 设 $\lambda f(x,u(x))$ 是有界函数,也是关于 $x\in [0,1]$ 的连续函数,则 $\left\| {{u}_{n}} \right\|\le M$.

证 因为

$\begin{align} & {{u}_{n}}(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))\overline{{{\psi }_{i}}}(x) \\ & =\sum\limits_{k=1}^{n}{\sum\limits_{i=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}})),\\ \end{align}$

则

$\begin{align} & {{\left\| {{u}_{n}} \right\|}^{2}}=\langle {{u}_{n}}(x),{{u}_{n}}(x)\rangle \\ & =\langle \sum\limits_{k=1}^{n}{\sum\limits_{i=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}})),\sum\limits_{k=1}^{n}{\sum\limits_{i=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))\rangle \\ & =\sum\limits_{k,{k}'=1}^{n}{\langle }\sum\limits_{i=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{i={k}'}^{n}{{{\beta }_{i{k}'}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle \lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))\lambda f({{x}_{{{k}'}}},{{u}_{n-1}}({{x}_{{{k}'}}})) \\ & =\sum\limits_{k=1}^{n}{\langle }\sum\limits_{i=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),\sum\limits_{i=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle {{[\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))]}^{2}} \\ & =\sum\limits_{k=1}^{n}{\langle }\sum\limits_{i,{i}'=k}^{n}{{{\beta }_{ik}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x),{{\beta }_{{i}'k}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)\rangle {{[\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))]}^{2}} \\ & =\sum\limits_{k=1}^{n}{\sum\limits_{i=k}^{n}{\beta _{ik}^{2}}}{{[\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n-1}}({{x}_{k}}))]}^{2}}. \\ \end{align}$

所以由引理 3.1 我们有 ${{\left\| {{u}_{n}} \right\|}^{2}}\le M$,即 $\left\| {{u}_{n}} \right\|\le \sqrt{M}$.

定理 3.1 (收敛性) 设 $\{{{x}_{i}}\}_{i=1}^{\infty }$是 [0,1] 上的密集点集,且 $f(x,u(x))\in W_{2}^{1}[0,1],u(x)\in W_{2}^{5}[0,1]$,则由 (3.4)式得到的 u_n(x) 一致收敛于方程 (3.1) 的真解 u(x),且 $u(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}{{{A}_{i}}}\overline{{{\psi }_{i}}}(x)$.

证 首先,我们将证明 u_n(x) 的收敛性.由 (3.5) 式有 ${{u}_{n}}(x)={{u}_{n-1}}(x)+{{A}_{n}}\overline{{{\psi }_{n}}}(x)$,因为 $\{\bar{\psi }(x)\}_{i=1}^{\infty }$ 是一组标准正交基,则${{\left\| {{u}_{n}} \right\|}^{2}}={{\left\| {{u}_{n-1}} \right\|}^{2}}+{{({{A}_{n}})}^{2}}={{\left\| {{u}_{n-2}} \right\|}^{2}}+{{({{A}_{n-1}})}^{2}}+{{({{A}_{n}})}^{2}}=\cdots ={{\left\| {{u}_{0}} \right\|}^{2}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{{{({{A}_{i}})}^{2}}}$. 由 $\left\| {{u}_{n}} \right\|$ 的有界性,有 $\sum\limits_{i=1}^{\infty }{{{({{A}_{i}})}^{2}}}<\infty $,即 $\{{{A}_{i}}\}\in {{l}^{2}}(i=1,2\cdots )$. 不妨令 m>n,则 $({{u}_{m}}-{{u}_{m-1}})\bot ({{u}_{m-1}}-{{u}_{m-2}})\bot \cdots \bot ({{u}_{n}}-{{u}_{n-1}})$,故

$\begin{align} & \left\| {{u}_{m}}-{{u}_{n}} \right\|_{w_{2}^{5}}^{2}=\left\| {{u}_{m}}-{{u}_{m-1}}+{{u}_{m-1}}-{{u}_{m-2}}+\cdots +{{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right\|_{w_{2}^{5}}^{2} \\ & \le {{\left\| {{u}_{m}}-{{u}_{m-1}} \right\|}^{2}}+\cdots +{{\left\| {{u}_{n}}-{{u}_{n-1}} \right\|}^{2}}=\sum\limits_{i=n+1}^{m}{{{({{A}_{i}})}^{2}}}\to 0. \\ \end{align}$

这样由空间 $W_{2}^{5}[0,1]$ 的完备性,存在$u(x)\in W_{2}^{5}[0,1]$,下式成立

${{u}_{n}}(x)\xrightarrow{\|\cdot {{\|}_{W_{2}^{5}}}}u(x),n\to \infty .$

其次证明 u(x) 即为 方程(3.1) 的解. 此部分定理证明见文献 ^[11].

定理 3.2假设 u(x) 是方程 (3.1) 的解,令 ${{\varepsilon }_{n}}$ 是近似解 u_n(x) 和真解 u(x) 间的误差,则 ${{\varepsilon }_{n}}$ 在 $\|.{{\|}_{W_{2}^{5}}}$ 下单调递减.

证 由 (3.4)式,得

$\begin{align} & {{\left\| {{\varepsilon }_{n}} \right\|}_{W_{2}^{5}}}={{\left\| u(x)-{{u}_{n}}(x) \right\|}_{W_{2}^{5}}}={{\left\| \sum\limits_{i=n+1}^{\infty }{\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n}}({{x}_{k}}))\overline{{{\psi }_{i}}}(x) \right\|}_{W_{2}^{1}}} \\ & =\sum\limits_{i=n+1}^{\infty }{[}\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n}}({{x}_{k}})){{]}^{2}}\le \sum\limits_{i=n}^{\infty }{[}\sum\limits_{k=1}^{i}{{{\beta }_{ik}}}\lambda f({{x}_{k}},{{u}_{n}}({{x}_{k}})){{]}^{2}} \\ & ={{\left\| {{\varepsilon }_{n-1}} \right\|}_{W_{2}^{5}}},\\ \end{align}$

这表明误差 ${{\varepsilon }_{n}}$ 在 $\|.{{\|}_{W_{2}^{5}}}$ 下单调递减.

在这部分内容中,所有数值结果均通过 Mathematica 5.0 计算所得.

例1 考虑下面的带有积分边值条件的四阶非线性微分方程问题

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}^{(4)}}(x)={{u}^{2}}(x)+f(x),0<x<1,\\ u(0)=u(1)=\int_{0}^{1}{xu(x)dx},\\ {u}''(0)={u}''(1)=\int_{0}^{1}{{{e}^{x}}{{u}^{''}}(x)dx},\\ \end{array} \right.$

其精确解为

$\begin{align} & u(x)=-\frac{17-6e}{5(-2+e)}-\frac{(20-7e)x}{-2+e}-\frac{6(-3+e){{x}^{2}}}{-2+e}-2{{x}^{3}}+{{x}^{4}}, \\ & f(x)=24-{{(-\frac{17-6e}{5(-2+e)}-\frac{(20-7e)x}{-2+e}-\frac{6(-3+e){{x}^{2}}}{-2+e}-2{{x}^{3}}+{{x}^{4}})}^{2}}. \\ \end{align}$

数值计算结果见表 4.1和 表 4.2.