在平面微分系统定性理论中,一个十分重要的问题是研究极限环的个数及其分布问题. Poincaré 分支是产生极限环的一个经典方法,即通过对系统中心的周期环域进行扰动,使其周期轨破裂,从而产生极限环^[1].

若中心附近轨线的周期函数为常数,则该中心称为等时中心. Loud在文献^[2]中研究了具有等时中心的二次微分系统. 通过坐标和时间变换,他将具有二次等时中心的微分系统分为以下四种类型

$ S_{1}:\dot{x}=-y+x^{2}-y^{2},\quad \dot{y}=x+2xy,$

$ S_{2}:\dot{x}=-y+x^{2},\quad \dot{y}=x+xy,$

$ S_{3}:\dot{x}=-y-\frac{4}{3}x^{2},\quad \dot{y}=x-\frac{16}{3}xy,$

$ S_{4}:\dot{x}=-y+\frac{16}{3}x^{2}-\frac{4}{3}y^{2},\quad \dot{y}=x+\frac{8}{3}xy,$

其中$\dot{x}$表示$x$关于时间变量$t$的导数.

近年来,随着人们对现实世界认识的日益深刻,越来越多的学者开始对不连续微分系统的分支现象进行研究,见文献^[3-4]及其参考文献. 在最近的文献^[5]中,作者们讨论了二次等时微分系统$S_{1}$和$S_{2}$在不连续二次多项式扰动下,从中心的周期环域分支出极限环的个数问题. 即考虑

$\left( \begin{matrix} {\dot{x}} \\ {\dot{y}} \\ \end{matrix} \right)=\left\{ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} -y+{{x}^{2}}+\varepsilon {{P}_{1}}\left( x,y \right) \\ x+xy+\varepsilon {{Q}_{1}}\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right) & y>0, \\ \left( \begin{matrix} -y+{{x}^{2}}+\varepsilon {{P}_{2}}\left( x,y \right) \\ x+xy+\varepsilon {{Q}_{2}}\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right) & y ＜0 \\ \end{matrix} \right.$

(1.1)

和

$\left( \begin{matrix} {\dot{x}} \\ {\dot{y}} \\ \end{matrix} \right)=\left\{ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} -y+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+\varepsilon {{P}_{1}}\left( x,y \right) \\ x+2xy+\varepsilon {{Q}_{1}}\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right) & y>0, \\ \left( \begin{matrix} -y+{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+\varepsilon {{P}_{2}}\left( x,y \right) \\ x+2xy+\varepsilon {{Q}_{2}}\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right) & y ＜0 \\ \end{matrix} \right.$

(1.2)

其中

$\begin{array}{ll} P_{1}(x,y)=a_{1}x+a_{2}y+a_{3}x^{2}+a_{4}xy+a_{5}y^{2},\\ Q_{1}(x,y)=b_{1}x+b_{2}y+b_{3}x^{2}+b_{4}xy+b_{5}y^{2},\\ P_{2}(x,y)=c_{1}x+c_{2}y+c_{3}x^{2}+c_{4}xy+c_{5}y^{2},\\ Q_{2}(x,y)=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}x^{2}+d_{4}xy+d_{5}y^{2}. \end{array}$

(1.3)

我们称$y=0$是不连续微分系统(1.1)和(1.2)的开关流形(Switching manifold),它将$xoy$平面分成上下两个半平面. 他们得到了系统(1.1)和(1.2)分别从原 点的周期环域至少可以分支出5和4 个极限环.

受文献^[5]的启发,本文研究了二次等时微分系统$S_{3}$的极限环分支问题,即考虑如下不连续微分系统

$\left( \begin{matrix} {\dot{x}} \\ {\dot{y}} \\ \end{matrix} \right)=\left\{ \begin{matrix} \left( \begin{matrix} -y-\frac{4}{3}{{x}^{2}}+\varepsilon {{P}_{1}}\left( x,y \right) \\ x-\frac{16}{3}xy+\varepsilon {{Q}_{1}}\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right) & x>0, \\ \left( \begin{matrix} -y-\frac{4}{3}{{x}^{2}}+\varepsilon {{P}_{2}}\left( x,y \right) \\ x-\frac{16}{3}xy+\varepsilon {{Q}_{2}}\left( x,y \right) \\ \end{matrix} \right) & x ＜0, \\ \end{matrix} \right.$

(1.4)

其中$P_{i}(x,y)$和$Q_{i}(x,y),i=1,2$由(1.3)式给出. 注意到为了满足定理2.1中的条件(iii),我们将开关流形$y=0$换成$x=0$.

本文的目标是讨论系统(1.4)从原点的周期环域分支出极限环的最大个数问题. 我们的方法是文献^[6]中的一阶平均法和文献^[7]中的ECT -系统方法.

定理1.1 当$|\varepsilon|>0$充分小. 记$H(2)$为利用一阶平均法,系统${\rm (1.4)}$从原点的周期环域分支出极限环的最大个数,则有$H(2)=4$.

注1.1 若$a_{i}=c_{i},b_{i}=d_{i},i=1,2,3,4,5$,则系统${\rm (1.4)}$为连续微分系统. 文献^[8-9]中已经证明了连续微分系统${\rm (1.4)}$从原点的周期环域最多可以分支出2个极限环. 通过对比,我们得到如下结论: 不连续微分系统${\rm (1.4)}$比其对应的连续微 分系统从原点的周期环域可以多产生2个极限环.

本文结构如下: 在第2节,我们介绍了文献^[6]中的不连续微分系统的一阶平均法. 第3节我们得到了不连续微分系统(1.4)的一阶平均函数. 然后在第4节给出定理1.1的证明. 最后,我们在第5节进行总结.

本节我们介绍文献^[6]中的不连续微分系统的平均法. 值得指出的是: 文献^[6]中介绍的是关于微分方程组的一阶平均法. 简单起见,本文仅给出系统是单个微分方程的情形. 有关平均法的一般介绍,可以参考专著^[10].

考虑如下不连续微分方程

$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta}=\varepsilon F(\theta,r)+\varepsilon^{2}R(\theta,r,\varepsilon),$

(2.1)

其中

$\begin{array}{ll} F(\theta,r)=F_{1}(\theta,r)+{\rm sign}(h(\theta,r))F_{2}(\theta,r),\\ R(\theta,r,\varepsilon)=R_{1}(\theta,r,\varepsilon)+{\rm sign}(h(\theta,r))R_{2}(\theta,r,\varepsilon). \end{array}$

(2.2)

假设$D$是${\Bbb R}$上的开区间. 函数 $F_{1},F_{2}: {\Bbb R}\times D\rightarrow {\Bbb R},$ $R_{1},R_{2}: {\Bbb R}\times D\times (-\varepsilon_{0},\varepsilon_{0})\rightarrow {\Bbb R}$和$h:{\Bbb R}\times D\rightarrow {\Bbb R}$均为$D$上的连续函数,且函数$h$以0为其正则值. 这些函数均关于变量$\theta$是周期为$T$的周期函数.

${\rm sign}(x)$为符号函数,即

${\rm{sign}}\left( x \right) = \left\{ {\matrix{ {1,} & {若x > 0,} \cr {0,} & {若x = 0,} \cr { - 1,} & {若x ＜ 0.} \cr } } \right.$

记${\cal M}=h^{-1}(0)$,$\Sigma=\{0\}\times D \nsubseteqq {\cal M}$,${{\Sigma }_{0}}=\Sigma \backslash \mathcal{M}\ne \varnothing ,r\equiv (0,r)\notin M$.

定义系统(2.1)的平均函数$f:D\rightarrow {\Bbb R}$如下

$f(r)=\displaystyle\int_{0}^{T}F(\theta,r){\rm d}\theta.$

(2.3)

不连续微分系统的一阶平均法如下:

定理2.1 假设系统${\rm (2.1)}$满足下面三个条件：

${\rm (i)}$~ 函数$F_{1},F_{2},R_{1},R_{2}$和$h$关于$r$满足局部Lipschitz条件.

${\rm (ii)}$~ $f(a)=0,a\in \Sigma_{0}$. 存在$a$的邻域$V$,使得 $f(r)\neq 0,r\in \bar{V}\setminus \{a\}$且$d_{B}(f,V,0)\neq 0$,其中$d_{B}(f,V,0)$表示$f$在$V$上的Brouwer度. 有关Brouwer度的定义见文献^[11].

${\rm (iii)}$~ 若$\frac{\partial h}{\partial\theta}\neq 0$,则对所有的$(\theta,r) \in {\cal M}$,有$\frac{\partial h}{\partial\theta}\neq 0$; 若 $\frac{\partial h}{\partial\theta}\equiv 0$,则对所有的$(\theta,r)\in [0,T]\times{\cal M}$,有$\left(\frac{\partial h}{\partial r}F_{1}\right)^{2}-\left(\frac{\partial h}{\partial r}F_{2}\right)^{2}>0$.

则当$|\varepsilon|>0$充分小,方程${\rm (2.1)}$存在一个周期为$T$的解$r(\theta,\varepsilon)$,使得当$\varepsilon\rightarrow 0$时,$r(0,\varepsilon)\rightarrow a$ (在Hausdorff度量意义下).

为了方便验证定理2.1中的假设(ii),我们给出下面的注记:

注2.1^[11] 假设$f: D\rightarrow {\Bbb R}$是$C^{1}$函数,其中$D$是${\Bbb R}$的开区间,$a\in D$. 若$f(a)=0$,${f}^{'}(a)\neq 0$,且存在$a$的邻域$V$,使得$f(r)\neq 0,r\in \bar{V}\setminus \{a\}$,则$d_{B}(f,V,0)\neq 0$.

由定理2.1和注2.1可知,若微分方程${\rm (2.1)}$满足定理2.1中的假设(i)和(iii),则${\rm (2.3)}$式定义的平均函数$f(r)$的简单零点对应微分方程(2.1)的极限环.

为了应用平均法定理2.1,我们需要将微分系统(1.4)转换为标准方程(2.1). 令

$x=\frac{3r\sin\theta}{8(1+r\cos\theta)}, y=\frac{3r(2\cos\theta+r\cos^{2}\theta+r)}{16(1+r\cos\theta)^{2}}.$

(3.1)

易知系统$S_{3}$有一条不变直线$y=\frac{3}{16}$,因此原点的周期环域外部边界和原点的距离是$\frac{3}{16}$. 由$y＜\frac{3}{16}$可得$r\in(0,1)$.

通过坐标变换(3.1),并且将$\theta$作为新的独立变量,系统(1.4)化为

$\frac{\text{d}r}{\text{d}\theta }=\left\{ \begin{matrix} \frac{-8\varepsilon {{H}_{1}}(\theta ,r)}{3r+8\varepsilon {{G}_{1}}(\theta ,r)}, & 若\sin \theta >0, \\ \frac{-8\varepsilon {{H}_{2}}(\theta ,r)}{3r+8\varepsilon {{G}_{2}}(\theta ,r)}, & 若\sin ＜0. \\ \end{matrix} \right.$

(3.2)

由于$|\varepsilon|>0$充分小,方程(3.2)可写成

$\frac{\text{d}r}{\text{d}\theta }=\left\{ \begin{matrix} \varepsilon {{X}_{1}}\left( \theta ,r \right)+{{\varepsilon }^{2}}{{Y}_{1}}\left( \theta ,r,\varepsilon \right), & 若\sin \theta >0, \\ \varepsilon {{X}_{2}}\left( \theta ,r \right)+{{\varepsilon }^{2}}{{Y}_{2}}\left( \theta ,r,\varepsilon \right), & 若\sin \theta >0, \\ \end{matrix} \right.$

(3.3)

其中

$\begin{matrix} {{X}_{i}}(\theta ,r)=\frac{-8{{H}_{i}}(\theta ,r)}{3r}, & {{Y}_{i}}(\theta ,r,\varepsilon )=\frac{64{{H}_{i}}(\theta ,r){{G}_{i}}(\theta ,r)}{3r(3r+8\varepsilon {{G}_{i}}(\theta ,r))}, \\ \end{matrix}$

(3.4)

以及

$ H_{i}(\theta,r)=(1-r^{2})r\sin\theta P_{i}(\theta,r)+r(r+\cos\theta)(1+r\cos\theta)Q_{i}(\theta,r),$

$ G_{i}(\theta,r)=\sin\theta(1+r\cos\theta)Q_{i}(\theta,r)-(r+\cos\theta)P_{i}(\theta,r),$

$ P_{i}(\theta,r)=P_{i}\left(\frac{3r\sin\theta}{8(1+r\cos\theta)},\frac{3r(2\cos\theta+r\cos^{2}\theta+r)}{16(1+r\cos\theta)^{2}}\right),$

$ Q_{i}(\theta,r)=Q_{i}\left(\frac{3r\sin\theta}{8(1+r\cos\theta)},\frac{3r(2\cos\theta+r\cos^{2}\theta+r)}{16(1+r\cos\theta)^{2}}\right),$

这里的$P_{i}(x,y),Q_{i}(x,y),i=1,2$见(1.3)式.

记

$ F_{1}(\theta,r)=\frac{1}{2}\left(X_{1}(\theta,r)+X_{2}(\theta,r)\right),$

$ F_{2}(\theta,r)=\frac{1}{2}\left(X_{1}(\theta,r)-X_{2}(\theta,r)\right),$

$ R_{1}(\theta,r,\varepsilon)=\frac{1}{2}\left(Y_{1}(\theta,r,\varepsilon)+Y_{2}(\theta,r,\varepsilon)\right),$

$ R_{2}(\theta,r,\varepsilon)=\frac{1}{2}\left(Y_{1}(\theta,r,\varepsilon)-Y_{2}(\theta,r,\varepsilon)\right),$

则方程(3.3)变为

$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}\theta}=\varepsilon F(\theta,r)+\varepsilon^{2}R(\theta,r,\varepsilon),$

(3.5)

其中

$\begin{array}{ll} F(\theta,r)=F_{1}(\theta,r)+{\rm sign}(\sin\theta)F_{2}(\theta,r),\\ R(\theta,r,\varepsilon)=R_{1}(\theta,r,\varepsilon)+{\rm sign}(\sin\theta)R_{2}(\theta,r,\varepsilon). \end{array}$

(3.6)

由于$X_{i}(\theta,r),Y_{i}(\theta,r,\varepsilon),i=1,2$在区间$(0,1)$ 上关于变量$r$是解析函数,容易验证方程(3.5)满足定理2.1中的条件(i). 注意到$h(\theta,r)$ $=\sin\theta$ 和${\cal M}=\{(\theta,r):\theta=0,\pi,r\in(0,1)\}$,从而方程(3.5)显然满足定理2.1中的条件(iii). 根据定理2.1,我们需要估计如 下平均函数的简单零点个数

$f(r)=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}F(\theta,r){\rm d}\theta =\displaystyle\int_{0}^{\pi}X_{1}(\theta,r){\rm d}\theta +\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}X_{2}(\theta,r){\rm d}\theta.$

(3.7)

为了计算平均函数(3.7),我们定义如下函数

$I_{i,j}=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^{j}\theta}{(1+r\cos\theta)^{i}}{\rm d}\theta, J_{i,j}=\displaystyle\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin^{j}\theta}{(1+r\cos\theta)^{i}}{\rm d}\theta.$

(3.8)

引理3.1 下面的结论成立

$\begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & {{I}_{1,0}}={{J}_{1,0}}=\frac{\pi }{\sqrt{1-{{r}^{2}}}}, \\ & {{I}_{2,0}}={{J}_{2,0}}=\frac{\pi }{{{(1-{{r}^{2}})}^{\frac{3}{2}}}}, \\ & {{I}_{3,0}}={{J}_{3,0}}=\frac{\pi (2+{{r}^{2}})}{2{{(1-{{r}^{2}})}^{\frac{5}{2}}}}, \\ & {{I}_{1,1}}=-{{J}_{1,1}}=-\frac{1}{r}\text{ln}\left( \frac{1-r}{1+r} \right), \\ & {{I}_{2,1}}=-{{J}_{2,1}}=\frac{2}{1-{{r}^{2}}}, \\ & {{I}_{3,1}}=-{{J}_{3,1}}=\frac{2}{{{(1-{{r}^{2}})}^{2}}}, \\ & {{I}_{4,1}}=-{{J}_{4,1}}=\frac{2(3+{{r}^{2}})}{3{{(1-{{r}^{2}})}^{3}}}. \\ \end{align} \\ \end{array}$

(3.9)

证 积分$I_{1,0}$可以通过直接计算得到. 接下来我们推导积分$I_{2,0}$. 对$I_{1,0}$关于$r$求导,我们得到 $I^{'}_{1,0}=-\frac{1}{r}\left(I_{1,0}-I_{2,0}\right)$,从而解得$I_{2,0}$. 其它积分可以类似可得.

注意到在区间$(0,1)$上,函数$f(r)$与$F(r)=-64rf(r)$具有相同的零点. 利用引理3.1中的这些积分,我们可以计算平均函数(3.7). 由于(3.7)式的计算过程比较繁琐,我们可以借助计算软件(比如mathematica或maple)对其进行计算和化简。

引理3.2 函数$F(r)$可以表示如下

$\begin{array}{ll} F(r)=g_{1}f_{1}(r)+g_{2}f_{2}(r)+g_{3}f_{3}(r)+g_{4}f_{4}(r)+g_{5}f_{5}(r),\end{array}$

(3.10)

其中生成函数

$\begin{array}{*{35}{l}} {{f}_{1}}(r)=1-\sqrt{1-{{r}^{2}}},{{f}_{2}}(r)={{r}^{2}}\sqrt{1-{{r}^{2}}}, \\ \begin{align} & {{f}_{3}}(r)={{r}^{2}},{{f}_{4}}(r)={{r}^{3}}, \\ & {{f}_{5}}(r)=2r+(1-{{r}^{2}})\ln \left( \frac{1-r}{1+r} \right) \\ \end{align} \\ \end{array}$

(3.11)

和系数

$\begin{array}{ll} g_{1}=4\pi\left(16(a_{1}+c_{1})+3(a_{4}+c_{4})-6(b_{3}+d_{3})-8(b_{2}+d_{2})-3(b_{5}+d_{5})\right),\\ g_{2}=\pi\left(64(a_{1}+c_{1})+6(a_{4}+c_{4})-32(b_{2}+d_{2})-24(b_{3}+d_{3})-15(b_{5}+d_{5})\right),\\ g_{3}=\pi(-64(a_{1}+c_{1})-12(a_{4}+c_{4})+80(b_{2}+d_{2})+36(b_{3}+d_{3})+21(b_{5}+d_{5})),\\ g_{4}=16\left(6(a_{3}-c_{3})+a_{5}-c_{5}+8(b_{1}-d_{1})\right),\\ g_{5}=-12\left(4(a_{3}-c_{3})-b_{4}+d_{4}\right). \end{array}$

(3.12)

并且上述系数$g_{i},i=1,2,3,4,5$是任意的.

证 由(3.12)式,雅可比行列式

$ {\rm det}\frac{D(g_{1},g_{2},g_{3},g_{4},g_{5})}{D(a_{1},a_{4},b_{2},a_{3},b_{4})}=-21233664\pi^{3}\neq0. $

由于$a_{1},a_{4},b_{2},a_{3},b_{4}$是相互独立系数,因此系数$g_{i},i=1,2,3,4,5$可以任意选取.

注3.1 若$a_{i}=c_{i},b_{i}=d_{i},i=1,2,3,4,5$,则$g_{4}=g_{5}=0$. 令$\rho=\sqrt{1-r^{2}}\in(0,1)$,由(3.10)式,我们有

$\begin{align} & \bar{F}(\rho )=\frac{1}{\pi (1-\rho )}F(\sqrt{1-{{\rho }^{2}}})= \\ & 6(16{{b}_{2}}+4{{b}_{3}}+3{{b}_{5}})-12({{a}_{4}}-8{{b}_{2}}-2{{b}_{3}}-{{b}_{5}})\rho \\ & +2(64{{a}_{1}}+6{{a}_{4}}-32{{b}_{2}}-24{{b}_{3}}-15{{b}_{5}}){{\rho }^{2}}. \\ \end{align}$

(3.13)

为了估计函数(3.10)简单零点的个数,我们需要用到下面的引理.

引理4.1^[12]考虑$k$个线性无关的解析函数$f_{i}: D \rightarrow {\Bbb R},i=1,2,\cdots,k$,其中开区间$D\subset {\Bbb R}$. 假设存在某个$j \in\{1,2,\cdots,k\}$,使得$f_{j}$ 在区间$D$上不变号,则一定存在$k$个常数$C_{i},i=1,2,\cdots,k$,使得函数$C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)+\cdots+C_{k}f_{k}(x)$ 在区间$D$上至少有$k-1$个简单零点.

定义4.1 令$f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots,f_{n}(x)$为在开区间$D\subset {\Bbb R}$上的$n$个解析函数. 称$\left(f_{1}(x),f_{2}(x),\right.$ $\left.\cdots,f_{n}(x)\right)$是区间$D$ 上的 Extended Complete Chebyshev系统(简称ECT -系统),若对所有的$k=1,2,\cdots,n$,任何线性组合

$\begin{array}{ll} \alpha_{1}f_{1}(x)+\alpha_{2}f_{2}(x)+\cdots+\alpha_{k}f_{k}(x) \end{array}$

(4.1)

在区间$D$上有至多$k-1$个零点(包括重次). 有关ECT -系统的详细介绍,请参考专著^[7].

为了证明$\left(f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots,f_{n}(x)\right)$在区间$D$上为ECT -系统,我们需要如下引理:

引理4.2^[7] $\left(f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots,f_{n}(x)\right)$在区间$D$上为ECT -系统,当且仅当 对所有的$k=1,2,$ $\cdots,n$和$x\in D$,朗斯基行列式$\left(f_{1}(x),f_{2}(x),\cdots,f_{k}(x)\right)$

$W\left[{{f}_{1}},{{f}_{2}},\cdots ,{{f}_{k}} \right]=\left| \begin{matrix} {{f}_{1}}\left( x \right) & {{f}_{2}}\left( x \right) & \cdots & {{f}_{k}}\left( x \right) \\ f_{1}^{'}\left( x \right) & f_{2}^{'}\left( x \right) & \cdots & f_{k}^{'}\left( x \right) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ f_{1}^{\left( k-1 \right)}\left( x \right)~ & ~f_{2}^{\left( k-1 \right)}\left( x \right) & \cdots & f_{k}^{\left( k-1 \right)}\left( x \right) \\ \end{matrix} \right|\ne 0.$

定理1.1的证明 我们将定理1.1的证明过程分成两部分. 首先,我们证明由(3.10)式给出的函数$F(r)$ 在区间$(0,1)$上简单零点个数的下界为4,即$H(2)\leqslant4$.

为了证明由(3.10)式给出的生成函数$f_{i}(r)$,$i=1,2,3,4,5$是线性无关的函数,我们将函数$f_{1}(r),f_{2}(r),f_{5}(r)$在$r=0$点进行泰勒展开

$\[\begin{array}{*{35}{l}} \begin{align} & {{f}_{1}}(r)=\frac{{{r}^{2}}}{2}+\frac{{{r}^{4}}}{8}+\frac{{{r}^{6}}}{16}+o({{r}^{7}}), \\ & {{f}_{2}}(r)={{r}^{2}}-\frac{{{r}^{4}}}{2}-\frac{{{r}^{6}}}{8}+o({{r}^{7}}), \\ & {{f}_{5}}(r)=\frac{4{{r}^{3}}}{3}+\frac{4{{r}^{5}}}{15}+o({{r}^{7}}). \\ \end{align} \\ \end{array}\]$

(4.2)

假设

$k_{1}f_{1}(r)+k_{2}f_{2}(r)+k_{3}f_{3}(r)+k_{4}f_{4}(r)+k_{5}f_{5}(r)\equiv 0,r\in(0,1),$

(4.3)

则

$\begin{array}{ll} k_{1}+2k_{2}+2k_{3}=0,\\ 3k_{4}+4k_{5}=0,\\ k_{1}-4k_{2}=0,\\ k_{5}=0,\\ k_{1}-2k_{2}=0. \end{array}$

(4.4)

由(4.4)式可知$k_{i}=0,i=1,2,3,4,5$. 因此生成函数$f_{i}(r),i=1,2,3,4,5$是线性无关的函数.

由于$F(r)$是线性无关函数$f_{i}(r),i=1,2,3,4,5$的线性组合,并且其系数是独立的. 显然函数$f_{3}(r)=r^{2}>0,r\in(0,1)$. 由引理4.1,我们可以断定函数$F(r)$在区间$(0,1)$ 上具有至少4个简单零点.

其次,我们证明由(3.10)式给出的函数$F(r)$在区间$(0,1)$上简单零点个数的上界为4,即$H(2)\geqslant4$.

容易证明,当$r\in(0,1)$时,

$ W[f_{1}]=1-\sqrt{1-r^{2}}>0,$

$ W[f_{1},f_{2}]=-\frac{r\left(1-\sqrt{1-r^2}\right)\left(-2\left(\sqrt{1-r^2}-1/4\right)^2+9/8\right)}{\sqrt{1-r^{2}}}＜0,$

$ W[f_{1},f_{2},f_{3}]=\frac{2r^{9}}{(1-r^{2})^{\frac{3}{2}}\left((4-r^2)\sqrt{1-r^2}+4-3r^2\right)}>0,$

$ W[f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}]=\frac{6r^{9}}{(1-r^{2})^{3}\left((4-r^2)\sqrt{1-r^2}+4-3r^2\right)}>0. $

通过直接计算,我们有

$W[f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5}]=-\frac{12r^{5}}{(1-r^{2})^{5}}\beta(r),$

(4.5)

其中

$\beta(r)=\frac{18r^{2}-16+(16-28r^{2})\sqrt{1-r^{2}}}{r(1-r^{2})}-9\ln\left(\frac{1-r}{1+r}\right).$

(4.6)

注意到

$\beta'(r)=\frac{4r^6}{r^{2}(1-r^{2})^{2}\left((4-r^2)\sqrt{1-r^2}+4-3r^2\right)}>0,\quad r\in(0,1)$

(4.7)

及$\lim\limits_{r->0^{+}}\beta(r)=0$,因此$\beta(r)>0$. 由(4.5)式,显然

$W[f_{1},f_{2},f_{3},f_{4},f_{5}] ＜0,r\in(0,1). $

由以上分析,我们证明了$\left(f_{1}(r),f_{2}(r),f_{3}(r),f_{4}(r),f_{5}(r)\right)$在区间$(0,1)$上为$ECT$-系统. 因此我们可以推导出由(3.10)式给出的函数 $F(r)$在区间$(0,1)$上至多有4个简单零点.

根据定理2.1,我们可以推断出不连续微分系统(1.4)从原点的周期环域最多可以分支出4个极限环. 并且,这个上界是可以达到的. 定理1.1的证明完毕.

由注3.1可知,$\bar{F}(\rho)$是关于变量$\rho$的3次多项式函数. 由于$\bar{F}(1)=0$,从而函数$\bar{F(\rho)}$在区间$(0,1)$上最多具有2个简单零点. 这一结果与文献^[8-9] 中的结论吻合.

本文讨论了二次等时中心$S_{3}$在不连续二次多项式扰动下,从原点的周期环域分支出极限环的个数问题. 我们的结果解决了文献^[5]中所提出的部分问题,见文献^[5]中的表 1.

值得指出的是: 为了应用平均法,我们需要将原始微分系统(1.4)转化为标准方程(2.1). 对于可积非哈密尔顿微分系统,一般说来,寻找合适的坐标变换是比较困难的,例如本文中的变换(3.1). 对于二次等时系统$S_{4}$,由于我们目前没有找到合适的坐标变换,因此在本文未能利用平均法讨论该系统在不连续多项式扰动下的极限环分支问题.