全文采用亚纯函数值分布理论的基本概念和通常记号(参见文献^[1]).

Toda N^[2]研究了复微分方程(1.1)的亚纯解

$ \Omega_1(z,w)^m=\sum\limits_{j=0}^{p}a_jw^j,$

(1.1)

其中 $\Omega_1(z,w)= \sum\limits_{(i)}a_{(i)}(z)w^{i_0}(w^{\prime})^{i_1}\cdots (w^{(n)})^{i_n},$ $ 0\leq p\leq m \max\{i_0+2i_1+\cdots+(n+1)i_n\},$ $ a_p\neq 0$.

他得到如下定理.

定理 A^[2] 当$0\leq p\leq m-1$时,复微分方程(1.1)除了如下形式

$\Omega_1(z,w)^m=a_p(w+b)^p $

外,没有允许解,其中 $b= \frac{a_{p-1}}{pa_p}$.

近来,复差分方程解的一些性质研究成为时下复分析的热点之一. 许多学者^[3-8]讨论了复差分方程解的存在性和增长级问题,并得到了许多理想的结论.

2014年,我们研究了如下复差分方程

$ [\Omega(z,w)]^m =\displaystyle\sum\limits_{j=0}^{p}a_j(z)w^j,\ \ \ \ 0\leq p\leq m\lambda,a_p\neq 0,$

(1.2)

其中 $\Omega(z,w)= \sum\limits_{(i)}a_{(i)}(z)w^{i_{0}} (w(z+c_1))^{i_{1}}\cdots(w(z+c_n))^{i_{n}}$,$(i)$是一有限指标集,系数 $\{a_i(z)\}$,$\{a_{(i)}(z)\}$ 是亚纯函数,$c_i\in {\bf C}\setminus \{0\},$ $ T(r,a_{(i)})=o(T(r,w)),$ $ T(r,a_{i})=o(T(r,w))$. 并得到如下结论.

定理 B^[9]当 $0\leq p\leq m-1$时,复差分方程(1.2)除了如下形式

$ [\Omega(z,w)]^m =a_p(z)[w+b(z)]^p $

外,没有有限级允许解,其中$b= \frac{a_{p-1}}{pa_p}$.

令$c_j\in {\bf C}$,$j=1,\cdots ,n.$ $I,J$分别是$(i_0,\cdots ,i_n)$,$(j_0,\cdots ,j_n)$的两有限指标集. 差分多项式$\Omega_1(z,w_1,w_2),\,\Omega_2(z,w_1,w_2)$可以表示为

$ \Omega_1(z,w_1,w_2)=\displaystyle\sum\limits_{(i)}a_{(i)}(z)\prod\limits_{k=1}^2 w_k^{i_{k0}}(w_k(z+c_1))^{i_{k1}}\cdots(w_k(z+c_n))^{i_{kn}},$

$ \Omega_2(z,w_1,w_2)=\displaystyle\sum\limits_{(j)}b_{(j)}(z)\prod\limits_{k=1}^2 w_k^{j_{k0}}(w_k(z+c_1))^{j_{k1}}\cdots(w_k(z+c_n))^{j_{kn}}. $

令

$ l_m=\max\limits_{0\leq m\leq n}\{i_{1m}\},\,\,\,\overline{l}_m=\max\limits_{0\leq m\leq n}\{i_{2m}\},\,\,\,q_r=\max\limits_{0\leq r\leq n}\{j_{1r}\},\,\,\,\overline{q}_r=\max\limits_{0\leq r\leq n}\{j_{2r}\},$

$ s_m=\min\limits_{0\leq m\leq n}\{i_{1m}\},\,\,\,\overline{s}_m=\min\limits_{0\leq m\leq n}\{i_{2m}\},\,\,\,t_r=\min\limits_{0\leq r\leq n}\{j_{1r}\},\,\,\,\overline{t}_r=\min\limits_{0\leq r\leq n}\{j_{2r}\},$

$\lambda_1=\max\limits_{(i)} \Big\{\sum^n_{m=0}l_{m}\Big\},\,\,\,\lambda_2=\max\limits_{(i)}\Big\{\sum^n_{m=0}\overline{l}_{m}\Big\},\,\,\,\overline{\lambda}_1=\max\limits_{(j)}\Big\{\sum^n_{r=0}q_{r}\Big\},\,\,\,\overline{\lambda}_2=\max\limits_{(j)}\Big\{\sum^n_{r=0}\overline{q}_{r}\Big\},$

$ \sigma_1=\min\limits_{(i)}\Big\{\sum^n_{m=0}s_m\Big\},\,\,\,\sigma_2=\min\limits_{(i)}\Big\{\sum^n_{m=0}\overline{s}_{m}\Big\},\,\,\,\overline{\sigma}_1=\min\limits_{(j)}\Big\{\sum^n_{m=0}t_{r}\Big\},\,\,\,\overline{\sigma}_2=\min\limits_{(j)}\Big\{\sum^n_{m=0}\overline{t}_{r}\Big\},$

其中 $\sigma_k\neq 0,\,\,\overline{\sigma}_k\neq 0,\,\,k=1,2$.

我们已经讨论了多类复差分方程组的解的存在性和增长级问题,并得到一些结论,见文献^[10-13]. 我们自然想到如果用如下的复差分方程组(1.3)去替代复差分方程(1.2),定理B中的条件或结论是否有所改变?

$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle [\Omega_1 (z,w_1,w_2)]^{m_1} = \displaystyle\sum\limits_{i=0}^pa_i(z)w_1^i,\\ [4mm] \displaystyle [\Omega_2 (z,w_1,w_2)]^{m_2} =\displaystyle\sum\limits_{j=0}^qb_j(z)w_2^j,\end{array} \right.$

(1.3)

其中$p\leq m_1\sigma_1,q\leq m_2\overline{\sigma_2}$,系数$\{a_{(i)}(z)\},\{b_{(j)} (z)\}$,$\{a_i(z)\},\{b_j(z)\}$是亚纯函数,并且

$T(r,a_{(i)} (z))=o(T(r,w_i(z))),~~ T(r,a_{i}(z))=o(T(r,w_i(z))),$

$ T(r,b_{(j)}(z))=o(T(r,w_i(z))),~~ T(r,b_{j}(z))=o(T(r,w_i(z))),~~ i=1,2,$

$ a_p(z)\neq 0,~~ b_q(z)\neq 0. $

本文主要目的是研究复差分方程组(1.3)存在允许解的形式.

定义1.1 设$(w_1(z),w_2(z))$是方程组(1.3)的亚纯解,$S(r)$是方程组(1.3)的所有系数的特征函数之和. 若 $w_1(z),w_2(z)$满足 $S(r)=o(T(r,w_k)),k=1,2,$ 除去一线测度为有限的例外值集,称$(w_1(z),w_2(z))$是方程组(1.3)的允许解.

方程组 (1.3)的亚纯解$(w_1(z),w_2(z))$的增长级定义为 $\rho=\rho(w_1,w_2)=\max\{\rho(w_1),\rho(w_2)\},\,\,\rho(w_k)=\limsup\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log T(r,w_k)}{\log r},k=1,2.$

定义1.2 若$\rho(w_1,w_2) ＜\infty$,称$(w_1(z),w_2(z))$为有限级亚纯解.

本文主要结果如下:

定理1.1 当$p ＜m_1,q＜m_2$时,复差分方程组(1.3)除了如下形式

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle [\Omega_1 (z,w_1,w_2)]^{m_1} = a_p[w_1+c(z)]^p ,\\ \displaystyle [\Omega_2 (z,w_1,w_2)]^{m_2} = b_q[w_2+d(z)]^q \end{array} \right. $

外,不存在有限级为$\rho(w_1,w_2),i=1,2$的允许解,其中 $c(z)= \frac{a_{p-1}}{pa_p},$ $d(z)= \frac{b_{q-1}}{qb_q}$.

注1.1 我们不能肯定定理$1.1$中排除的方程组形式里存在允许解.

例 1.1 $(w_1,w_2)=(z,z)$是如下复差分方程组的一非允许解

$ \displaystyle \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle [\Omega_1 (z,w_1,w_2)]^{5} = [w_1(z)-(z+1)]^2 ,\\ \displaystyle [\Omega_2 (z,w_1,w_2)]^{5} = [w_2(z)-(z+1)]^2 ,\end{array} \right. $

其中

$ \Omega_1 (z,w_1,w_2) = \displaystyle\frac{1}{z^2-1}w_1(z-1)w_2(z+1),$

$ \Omega_2 (z,w_1,w_2) = \displaystyle\frac{1}{z^2-1} w_1(z+1) w_2(z-1). $

此时

$ p=2,\,m_1=5,\,q=2,\,m_2=5. $

引理2.1^[2] 设$g_0(z)$和$g_1(z)$是$|z| ＜\infty$中的亚纯函数,且在${\bf C}$中是线性无关的,记

$g_0(z)+g_1(z)=\Phi,$

则有

$ T(r,g_0)\leq m(r,\Phi)+N(r,g_0)+\overline{N}(r,g_0)+\overline{N}(r,g_1) +\overline{N}(r,\frac{1}{g_0})+\overline{N}(r,\frac{1}{g_1})+S_1(r),$

其中当$ g_0,g_1 $是有理函数时,

$ S_1(r)=O(1); $

当$ g_0,g_1 $是有限级时,

$ S_1(r)=O(\log r); $

当$ g_0,g_1 $是其他情形时,

$ S_1(r)=O(\log T(r,g_0))+\log T(r,g_1))+O(\log r),r\to\infty,r\not\in I,$

其中$I$是一线测度为有限的例外值集.

引理2.2^[1] 令$w,a_0,\cdots ,a_k$是亚纯函数,则有

${\rm (i)}m(r,\displaystyle\sum\limits_{j=0}^ka_jw^j)\leq km(r,w)+\displaystyle\sum\limits_{j=0}^km(r,a_j) +O(1),$

${\rm (ii)} T(r,\displaystyle\sum\limits_{j=0}^ka_jw^j)\leq kT(r,w)+\displaystyle\sum\limits_{j=0}^kT(r,a_j) +O(1). $

引理2.3^[7] 设$T:[0,+\infty)\rightarrow [0,+\infty)$是非减连续函数,$\delta\in (0,1)$,$s\in (0,\infty)$. 若$T$是有限级,即

$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}\frac{\log T(r)}{\log r} ＜\infty,$

则,除去一对数测度为有限的例外值集,有

$T(r+s)=T(r)+o\Big(\frac{T(r)}{r^{\delta}}\Big).$

引理2.4 设$(w_1(z),w_2(z))$是方程组(1.3)的有限级亚纯允许解. 若$p ＜m_1,q＜m_2$,则复差分方程组(1.3)为下列三种情形之一:

$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle [\Omega_1 (z,w_1,w_2)]^{m_1} = a_p[w_1+c(z)]^p,\\ \displaystyle [\Omega_2 (z,w_1,w_2)]^{m_2} =b_q[w_2+d(z)]^q ; \end{array} \right.$

(2.1)

$\left\{ \begin{matrix} {{[{{\Omega }_{1}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})]}^{{{m}_{1}}}}=\sum\limits_{i=0}^{p}{{{a}_{i}}}(z)w_{1}^{i}, \\ {{[{{\Omega }_{2}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})]}^{{{m}_{2}}}}={{b}_{q}}[{{w}_{2}} \\ \end{matrix} \right.$

(2.2)

$\left\{ \begin{matrix} {{[{{\Omega }_{1}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})]}^{{{m}_{1}}}}={{a}_{p}}{{[{{w}_{1}}+c(z)]}^{p}}, \\ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{[{{\Omega }_{2}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})]}^{{{m}_{2}}}}=\sum\limits_{j=0}^{q}{{{b}_{j}}}(z)w_{2}^{j}. \\ \end{array} \right. \\ \end{matrix} \right.$

(2.3)

其中$c(z)= \frac{a_{p-1}}{pa_p},$ $d(z)= \frac{b_{q-1}}{qb_q}$.

证 设$(w_1(z),w_2(z))$为方程组(1.3)的有限级允许解. 反设方程组(1.3)不是(2.1),(2.2),(2.3)式的三种形式之一. 重新将方程组(1.3)改写如下

$ \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle [\Omega_1 (z,w_1,w_2)]^{m_1} =a_p[w_1+c(z)]^p +\displaystyle\sum\limits_{l=0}^ta_l(z)w_1^l ,\\ [4mm] \displaystyle [\Omega_2 (z,w_1,w_2)]^{m_2} = b_q[w_2+d(z)]^q+\displaystyle\sum\limits_{s_1=0}^sb_{s_1}(z)w_2^{s_1},\end{array} \right.$

(2.4)

其中 $t\leq p-2,\,s\leq q-2,\,c(z)= \frac{a_{p-1}}{pa_p},$ $d(z)= \frac{b_{q-1}}{qb_q}$.

令

$A_{0}=-a_p(z)[w_1+c(z)]^p,\,\,\Phi_0=\sum\limits_{l=0}^ta_l(z)w_1^l,\,B_{0}=[\Omega_1(z,w_1,w_2)]^{m_1},$

$A_{1}=-b_q(z)[w_2+d(z)]^q,\,\,\Phi_1=\sum\limits_{s_1=0}^sb_{s_1}(z)w_2^{s_1},\,B_{1}=[\Omega_2(z,w_1,w_2)]^{m_2},$

则有$A_0+B_0=\Phi_0,\,\,A_1+B_1=\Phi_1.$

类似于文献[12,定理1]的证明,易证$A_0$和$B_0$线性无关,$A_1$和$B_1$线性无关.

由引理2.1,引理2.2和 引理2.3得

$ \begin{array}[b]{rl} T(r,A_0)\leq & m(r,\Phi_0)+N(r,A_0)+\overline{N}(r,A_0)+\overline{N}(r,B_0)\\ [2mm] &+ \overline{N}(r,\displaystyle\frac{1}{A_0})+\overline{N}(r,\displaystyle\frac{1}{B_0})+S(r)+S(r,w_1)+S(r,w_2),\end{array}$

(2.5)

$T(r,A_0)=pT(r,w_1)+S(r),$

$ T(r,B_0) =m_1T(r,\Omega_1(z,w_1,w_2))\leq pT(r,w_1)+S(r),$

$T(r,\Omega_1(z,w_1,w_2))\leq \frac{p}{m_1}T(r,w_1)+S(r),$

$ N(r,A_0)\leq pN(r,w_1)+N(r,a_p)+N(r,c(z)),$

$ \overline{N}(r,A_0)\leq \overline{N}(r,w_1)+N(r,a_p)+N(r,c(z)),$

$\begin{align} & \bar{N}(r,{{B}_{0}})\le \sum\limits_{l=0}^{n}{\left[ {{\lambda }_{1}}N\left( r,{{w}_{1}}\left( z+{{c}_{l}} \right) \right)+{{\lambda }_{2}}N\left( r,{{w}_{1}}\left( z+{{c}_{l}} \right) \right) \right]+}\sum\limits_{\left( i \right)}{N}\left( r,{{a}_{\left( i \right)}}\left( z \right) \right) \\ & \le \sum\limits_{k=0}^{2}{{{\lambda }_{k}}}N\left( r,{{w}_{k}} \right)+\sum\limits_{\left( i \right)}{N\left( r,{{a}_{\left( i \right)}}\left( z \right) \right)}+S\left( r,{{w}_{1}} \right)+S\left( r,{{w}_{2}} \right) \\ \end{align}$

其中 $c_0=0$,

$ \displaystyle\overline{N}\Big(r,\frac{1}{A_0}\Big) = \overline{N}\Big(r,\displaystyle\frac{1}{w_1+c(z)}\Big)+S(r) \leq T(r,w_1)+S(r),$

$\begin{align} & \bar{N}(r,\frac{1}{{{B}_{0}}})=\bar{N}(r,\frac{1}{{{[{{\Omega }_{1}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})]}^{{{m}_{1}}}}}) \\ & =\bar{N}(r,\frac{1}{{{\Omega }_{1}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})}) \\ & \le T(r,{{\Omega }_{1}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})) \\ & \le \frac{p}{{{m}_{1}}}T(r,{{w}_{1}})+S(r), \\ \end{align}$

$m(r,\Phi_0)\leq (p-2)m(r,w_1)+\sum\limits_{l=0}^tm(r,a_l).$

将上述不等式代入(2.5)式得

$\Big(1-\frac{p}{m_1}\Big)T(r,w_1)\leq \sum_{k=1}^{2}\lambda_kN(r,w_k)+S(r)+S(r,w_1)+S(r,w_2).$

(2.6)

同理可得

$\Big(1-\frac{q}{m_2}\Big)T(r,w_2)\leq \sum_{k=1}^{2}\overline{\lambda}_kN(r,w_k)+S(r)+S(r,w_1)+S(r,w_2).$

(2.7)

下面证明$w_1(z)$,$w_2(z)$的极点由系数 $a_{(i)}(z),\,a_i(z),\,b_{(j)}(z),\,b_j(z)$的极点或零点控制.

情形(i)若$z_0$是$w_1(z)$的$\tau$重极点,而不是$w_2(z)$的极点,也不是复差分方程组(1.3)中系数$a_{(i)}(z),\,a_i(z),\,b_{(j)}(z),\,b_j(z)$的极点或零点,则知$z_0$应该是 $(w_1(z))^{i_{10}}$的$i_{10}\tau$重极点,$z_0-c_k$应该是$(w_1(z+c_k))^{i_{1k}}$的$i_{1k}\tau$重极点. 所以,方程组(1.3)的第一个方程的右边极点重数为$p\tau$.

对于复差分方程组(1.3)的第一个方程,有

$ n(r,[\Omega_1(z,w_1,w_2)]^{m_1}) = m_1n(r,\Omega_1(z,w_1,w_2)) \geq m_1\sigma_1n(r,w_1)+O(1). $

另一方面

$ n(r,[\Omega_1(z,w_1,w_2)]^{m_1}) = n\bigg(r,\displaystyle\sum\limits_{i=0}^{p}a_iw_1^j\bigg) = pn(r,w_1)+\displaystyle\sum n(r,a_{j}). $

故

$ pn(r,w_1)\geq m_1\sigma_1 n(r,w_1)+\sum n(r,a_{i}),$

即

$ [p-m_1\sigma_1]n(r,w_1)\geq \sum n(r,a_{i}). $

则有

$ p> m_1\sigma_1>m_1. $

矛盾.

情形(ii)若$z_0$是$w_2(z)$的$\tau$重极点,而不是$w_1(z)$的极点,也不是复差分方程组(1.3)中系数$a_{(i)}(z),\,a_i(z),\,b_{(j)}(z),\,b_j(z)$的极点或零点,类似于情形(i)的证明,易得

$ q> m_2\overline{\sigma}_2>m_2. $

矛盾.

情形(iii)若$z_0$是$w_1(z)$的$\tau$重极点,且是$w_2(z)$的$k$ 重极点,但不是复差分方程组(1.3)中系数$a_{(i)}(z),\,a_i(z),\,b_{(j)}(z),\,b_j(z)$的极点或零点,则

$ pn(r,w_1)\geq m_1(\sigma_1 n(r,w_1)+\sigma_2 n(r,w_2))+\sum n(r,a_{i}),$

$ qn(r,w_2)\geq m_2(\overline{\sigma}_1 n(r,w_1)+\overline{\sigma}_2 n(r,w_2))+\sum n(r,b_{j}). $

又因为 $p ＜m_1,\,q＜m_2$,$\sigma_k \neq 0,\overline{\sigma}_k\neq 0,k=1,2 $,故上式不成立.

即有

$\begin{align} & N(r,{{w}_{i}})\le \sum\limits_{(i)}{[}N(r,{{a}_{(i)}})+N(r,\frac{1}{{{a}_{(i)}}})]+\sum\limits_{i=1}^{p}{[}N(r,{{a}_{i}})+N(r,\frac{1}{{{a}_{i}}})] \\ & +\sum\limits_{(j)}{[}N(r,{{b}_{(j)}})+N(r,\frac{1}{{{b}_{(j)}}})]+\sum\limits_{j=1}^{q}{[}N(r,{{b}_{j}})+N(r,\frac{1}{{{b}_{j}}})], \\ \end{align}$

其中$i=1,2$.

故 (2.6),(2.7)式变形为

$ \Big(1-\displaystyle\frac{p}{m_1}+o(1)\Big)T(r,w_1)\leq S(r)+S(r,w_2).$

(2.8)

$\Big(1-\frac{q}{m_2}+o(1)\Big)T(r,w_2)\leq S(r)+S(r,w_1).$

(2.9)

由(2.8),(2.9)式得到

$ 1-\frac{p}{m_1}+o(1) \leq \frac{S(r)}{T(r,w_1)}+\frac{S(r,w_2)}{T(r,w_1)},$

(2.10)

$ 1-\frac{q}{m_2}+o(1) \leq \frac{S(r)}{T(r,w_2)}+\frac{S(r,w_1)}{T(r,w_2)}.$

(2.11)

由$p ＜m_1,q＜m_2$,(2.10),(2.11)式得到

$\begin{align} & (1-\frac{p}{{{m}_{1}}}+o(1))(1-\frac{q}{{{m}_{2}}}+o(1))\le (\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{1}})}+\frac{S(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{1}})})(\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{2}})}+\frac{S(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{2}})})\le \\ & \frac{S(r)}{T(r,{{w}_{1}})}\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{2}})}+\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{1}})}\frac{S(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{2}})}+ \\ & \frac{S(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{1}})}\frac{S(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{2}})}+\frac{S(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{1}})}\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{2}})}= \\ & \frac{S(r)}{T(r,{{w}_{1}})}\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{2}})}+\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{2}})}\frac{S(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{1}})}+ \\ & \frac{S(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{1}})}\frac{S(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{2}})}+\frac{S(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{2}})}\frac{S(r)}{T(r,{{w}_{1}})}. \\ \end{align}$

又因为$p ＜m_1,\,q＜m_2$,除去一线测度有穷的例外值集,得到

$1\leq 0,$

矛盾.

引理2.4证毕.

证 由引理2.4知,复差分方程组(1.3)除(2.1),(2.2),(2.3)式的形式外,不存在有限级允许解.

下面证明$(w_1(z),w_2(z))$是复差分方程组(1.3)的有限级允许解,但不具有(2.2),(2.3)式的形式. 不失一般性,证明不具有形式 (2.2).

将(2.2)式重新改写如下

$$\left\{ \begin{matrix} {{\left[ {{\Omega }_{1}}\left( z,{{w}_{1}},{{w}_{2}} \right) \right]}^{{{m}_{1}}}}={{a}_{p}}{{\left[ {{w}_{1}}+c\left( z \right) \right]}^{p}}+\sum\limits_{l=0}^{t}{{{a}_{l}}}\left( z \right)w_{1}^{l},t\le p-2, \\ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{\left[ {{\Omega }_{1}}\left( z,{{w}_{1}},{{w}_{2}} \right) \right]}^{{{m}_{2}}}}={{b}_{q}}{{\left[ {{w}_{2}}+d\left( z \right) \right]}^{q}}. \\ \end{array} \right. \\ \end{matrix} \right.$$

(3.1)

类似引理2.4的证明,易证

$\Big(1-\frac{p}{m_1}\Big)T(r,w_1)\leq S(r)+S(r,w_2).$

(3.2)

由(3.1)式的第二个方程得

$ qT(r,w_2)\geq m_2\overline{\sigma}_2T(r,w_2)+S(r,w_1)+S(r,w_2). $

即

$ (q-m_2\overline{\sigma}_2+o(1))T(r,w_2)\geq S(r,w_1).$

(3.3)

由(3.2),(3.3)式得

$ \Big(1-\frac{p}{m_1}\Big)\frac{T(r,w_1)}{T(r,w_2)}\leq \frac{S(r,w_2)}{T(r,w_2)}.$

(3.4)

$ (m_2\overline{\sigma}_2-q+o(1))\frac{T(r,w_2)}{T(r,w_1)} \leq \frac{S(r,w_1)}{T(r,w_1)}.$

(3.5)

(3.4),(3.5)式分别取上极限,又因为$(w_1,\,w_2)$是允许解,则有

$ \lim\sup\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{T(r,w_1)}{T(r,w_2)}=0,$

(3.6)

$ \lim\sup\limits_{r\rightarrow \infty}\frac{T(r,w_2)}{T(r,w_1)}=0.$

(3.7)

由(3.6),(3.7)式得

$\begin{align} & 1=\lim \underset{r\to \infty }{\mathop{\sup }}\,\frac{T(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{2}})}\frac{T(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{1}})} \\ & \le \lim \underset{r\to \infty }{\mathop{\sup }}\,\frac{T(r,{{w}_{1}})}{T(r,{{w}_{2}})}\lim \underset{r\to \infty }{\mathop{\sup }}\,\frac{T(r,{{w}_{2}})}{T(r,{{w}_{1}})}=0. \\ \end{align}$

即

$ 1\leq 0,$

矛盾.

同理可证不具有形式(2.3).

定理1.1证毕.

例4.1表明定理1.1成立.

例 4.1 $(w_1(z),w_2(z))=({\rm e}^{2z-2}+z-1,{\rm e}^{-3z-3}+z+1)$是如下复差分方程组的有限级允许解

$\left\{ \begin{matrix} {{\left[ {{\Omega }_{1}}\left( z,{{w}_{1}},{{w}_{2}} \right) \right]}^{2}}={{\text{e}}^{2}}\left[ {{w}_{1}}\left( z \right)-\left( z-1 \right) \right], \\ {{\left[ {{\Omega }_{2}}\left( z,{{w}_{1}},{{w}_{2}} \right) \right]}^{3}}={{\text{e}}^{-27}}\left[ {{w}_{2}}\left( z \right)-\left( z-1 \right) \right], \\ \end{matrix} \right.$

其中

$\begin{align} & {{\Omega }_{1}}\left( z,{{w}_{1}},{{w}_{2}} \right)=w_{1}^{2}\left( z+1 \right){{w}_{2}}\left( z-1 \right)-2z{{w}_{1}}\left( z+1 \right){{w}_{2}}\left( z-1 \right) \\ & +{{z}^{2}}{{w}_{2}}\left( z-1 \right)-zw_{1}^{2}\left( z+1 \right)+2{{z}^{2}}{{w}_{1}}\left( z+1 \right)-{{z}^{3}}, \\ & {{\Omega }_{2}}\left( z,{{w}_{1}},{{w}_{2}} \right)={{w}_{1}}\left( z-1 \right){{w}_{2}}\left( z+1 \right)-\left( z+2 \right){{w}_{1}}\left( z-1 \right) \\ & -\left( z-2 \right){{w}_{2}}\left( z+1 \right)+{{z}^{2}}-4. \\ \end{align}$

此时

$ p=1,\,m_1=2,\,q=1,\,m_2=3. $

例4.2表明定理1.1中“允许解”的条件不能去掉.

例 4.2 $(w_1(z),w_2(z))=({\rm e}^z+z,z^2)$是如下复差分方程组的有限级非允许解

$\left\{ \begin{matrix} {{\Omega }_{1}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})=\frac{{{z}^{2}}+2z+1}{\text{e}}[{{w}_{1}}(z)-z], \\ {{[{{\Omega }_{2}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})]}^{2}}={{P}_{3}}({{w}_{2}}), \\ \end{matrix} \right.$

其中

$ \Omega_1 (z,w_1,w_2)=w_1(z-1 )w_2(z+1 ) -(z-1 )w_2(z+1 ),$

$\begin{align} & {{\Omega }_{2}}(z,{{w}_{1}},{{w}_{2}})={{w}_{1}}(z-1){{w}_{2}}(z+1)-\frac{1}{{{\text{e}}^{2}}}{{w}_{1}}(z+1){{w}_{2}}(z+1) \\ & +\frac{z+1-{{\text{e}}^{2}}(z-1)}{{{\text{e}}^{2}}}{{w}_{2}}(z+1)+w_{2}^{2}(z+1) \\ & -{{w}_{1}}(z-1){{w}_{2}}(z-1)+\frac{1}{{{\text{e}}^{2}}}{{w}_{1}}(z+1){{w}_{2}}(z-1) \\ & -\frac{z+1-{{\text{e}}^{2}}(z-1)}{{{\text{e}}^{2}}}{{w}_{2}}(z-1)-{{w}_{2}}(z+1){{w}_{2}}(z-1), \\ \end{align}$

$P_3(w_2)$是$w_2$的多项式,且$\deg_{w_2} P_3(w_2) =3$.

此时

$ p=m_1=1,\,\,q=3>2=m_2. $