设$(X,\varrho)$为紧致度量空间,映射$T: X\to X$为连续映射,则称$(X,T)$为一动力系统. 动力系统研究的核心问题是点轨道的渐近形态或拓扑结构. 由于动力系统全体动力形态由其全部子系统决定,因此那些在某种性质下不可 "分解"的动力系统便成为重要的研究对象. 称动力系统$(X,T)$是极小的,如果它不真包含任何不变的闭子集. 如果子系统$(Y,T|_Y)$是极小的,则称 $Y$为$X$的极小集,并称$Y$中的点为极小点. 著名的Birkhoff定理^[1]表明每个 动力系统都存在极小集. 后来,Gottschalk^[2]证明了极小点等价于 几乎周期点. 1975年,Li和Yorke在其开创性论文^[3]中给出了"混沌(chaos)"的精确数学定义,即后来为大家所熟知的Li-Yorke混沌. 称动力系统$(X,T)$是Li-Yorke混沌的,如果存在 不可数子集$D\subset X$,使得对任意$(x,y)\in D\times D\setminus \Delta$,恒有

$ \liminf_{n\rightarrow \infty}\varrho(T^nx,T^ny)=0,\mbox{ 并且 } \limsup_{n\rightarrow \infty}\varrho(T^nx,T^ny)>0,$

其中$\Delta$为乘积空间$X\times X$的对角线.

Coven和Smítal^[4]于1993年引入了熵极小性的概念来描述动力系统在拓扑熵意义下的极小性. 动力系统$(X,T)$是熵极小的(entropy-minimal),如果非空不变闭子集$Y\subset X$,满足 $h_{top}(T,X)=h_{top}(T|_Y,Y),$ 则$Y=X$. 同时,他们得到了熵极小的动力系统 是拓扑传递的,并且拓扑传递的分段单调区间映射是熵极小的.

受Coven和Smítal工作^[4]的启发,王肖义和黄煜^[5]引入了混沌极小的概念来描述Li-Yorke混沌 意义下的极小性. 动力系统$(X,T)$是混沌极小的(chaos-minimal),如果$T$是Li-Yorke混沌的,并且对非空不变 闭子集$Y\subset X$,如果$(Y,T|_Y)$是Li-Yorke混沌的,则$Y=X$. 显然,极小的Li-Yorke混沌 系统是混沌极小的. 同时,他们证明了动力系统是混沌极小的当且仅当它是拓扑传递和Li-Yorke混沌的,并且$X\setminus {\rm Trans}(T)$中不含不可数混沌集. 区间映射混沌极小子系统的存在性等价于 该系统具有正拓扑熵.

近来,尹建东和周作领^[6]引入$P$ -极小性来统一处理上述极小性质. 同时,他们证明了 含真的(拟)弱几乎周期点的熵极小系统具有正拓扑熵,并且是Li-Yorke和Takens-Ruelle意义下 的混沌.

定义1.1 ^[6] 动力系统$(X,T)$是$P$ -极小的,如果$T$具有性质$P$,并且如果存在非空不变闭子集 $Y\subset X$,满足$(Y,T|_Y)$具有性质$P$,则$Y=X$.

特别地,如果分别取$P$ -性质为: (1) 拓扑传递性,(2) 与$(X,T)$具有相同的拓扑熵,(3) Li-Yorke混沌,则$P$ -极小性分别对应于极小性、熵极小性、混沌极小性.

本文以文献[4,6]为基础,首先证明熵极小的系统要么syndetic -敏感的,要么极小等度连续的. 同时,对任意自然数$n\geq 2$,存在熵极小和混沌极小的动力系统$(X,T)$,满足$(X,T^{n})$不是熵极小 和混沌极小的. 并且得到了存在熵极小和混沌极小的动力系统,其乘积系统既不是熵极小的,也不是混沌极小的.

${\Bbb N}=\{1,2,3,\cdots\}$,${\Bbb Z}_+=\{0,1,2,\cdots\}$. 设$(X,T)$ 为动力系统,$x\in X$. 称集合${\rm orb}(x,T):=\{x,Tx,T^2x,\cdots\}$ 为点$x$在$T$作用下的轨道. 如果$U,V\subset X$,定义回复时间集为

$ N_{T}(U,V):=\left\{n\in {\Bbb Z}_+: T^{n}(U)\cap V\neq \emptyset\right\}; $

对任意$\varepsilon\geq 0$,同时令

$ N_{T}(U,\varepsilon):=\{n\in {\Bbb Z}_+: (T^n(U))>\varepsilon\},$

其中 $(A)$ 表示集合 $ A$ 的直径.

集合$A=\left\{a_{1}＜a_{2}＜a_{3}＜\cdots\right\}\subset {\Bbb Z}_+$是syndetic的,如果它具有有界 的间距,即存在$N>0$,使得对任意$i\in {\Bbb N}$,恒有$|a_{i+1}-a_{i}|\leq N$.

对任意$A\subset {\Bbb Z}_+$,分别定义$A$的上密度和下密度为

$ \overline{{\rm d}}(A)=\limsup_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\left|A\cap \{0,1,\cdots,n-1\}\right|,$

$ \underline{{\rm d}}(A)=\liminf_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{n}\left|A\cap \{0,1,\cdots,n-1\}\right|. $

若$\overline{{\rm d}}(A)=\underline{{\rm d}}(A)=\xi$,则称$A$的密度为$\xi$,记为${\rm d}(A)=\xi$.

定义2.1 称动力系统$(X,T)$是

(1) 拓扑传递的,如果对任意非空开子集$U,V\subset X$,恒有$N_{T}(U,V)\neq \emptyset$;

(2) 全传递的,如果对任意自然数$n\in {\Bbb N}$,$(X,T^n)$是拓扑传递的;

(3) 拓扑弱混合的,如果$(X\times X,T\times T)$是拓扑传递的;

(4) syndetic -传递的,如果对任意非空开子集$U,V\subset X$,恒有$N_{T}(U,V)$为syndetic -集.

如果存在点$x\in X$,使得$\overline{{\rm orb}(x,T)}=X$,则称动力系统$(X,T)$ 是点传递的,并称$x$为传递点. 分别记$(X,T)$的全体传递点和周期点为${\rm Trans}(T)$ 和${\rm Per}(T)$. 不难验证,拓扑传递的系统的传递点集为稠密的$G_{\delta}$ -集.

如果映射族$\{T^{n}: n\in {\Bbb Z}_+\}$为等度连续的,则称动力系统$(X,T)$ 是等度连续的. 点$x\in X$是等度连续的,如果对任意$\varepsilon>0$,存在$\delta>0$,使得对任意$y\in B(x,\delta):=\{y\in X: \varrho(x,y)＜\delta\}$及任意$n\in {\Bbb Z}_+$,恒有$\varrho(T^{n}x,T^{n}y)＜\varepsilon$. 称动力系统$(X,T)$是几乎等度连续的,如果$(X,T)$是拓扑传递的并且至少有一个等度连续点. 由空间$X$的紧性,不难验证: $(X,T)$是等度连续的当且仅当$(X,T)$的每个点都是等度连续点. 与等度连续相对的一个概念是"初值敏感依赖性''. 称动力系统$(X,T)$是初值敏感依赖的,如果存在$\varepsilon>0$,使得对任意$x\in X$及任意$\delta>0$,存在$y\in B(x,\delta)$ 及$n\in {\Bbb Z}_+$,满足

$\varrho(T^{n}x,T^{n}y)>\varepsilon. $

Auslander-Yorke二分定理(参见文献^[7] [8,定理3.2.4] [9,定理3.1]) 表明拓扑传递系统要么是初值敏感依赖的要么是几乎等度连续的. 特别地,极小系统如果不是等度连续的,就是初值敏感依赖的.

定义2.2 称动力系统$(X,T)$是

(1) syndetic -敏感的,如果存在$\varepsilon>0$,使得对任意非空开子集$U\subset X$,有 $N_{T}(U,\varepsilon)$为syndetic集;

(2) 遍历敏感的,如果存在$\varepsilon>0$,使得对任意非空开子集$U\subset X$,有 $\overline{{\rm d}}(N_{T}(U,\varepsilon))>0$;

(3) multi -敏感的,如果存在$\varepsilon>0$,对任意自然数$k\in {\Bbb N}$及任意$k$个 非空开子集$U_1,\cdots,U_k\subset X$,有

$\bigcap\limits_{i=1}^{k}N_{T}(U_i,\varepsilon)\neq \emptyset. $

近来,Huang,Kolyada和Zhang^[10]证明了极小系统要么是multi -敏感的,要么是其最大等度连续因子几乎一对一的扩充. 关于初值敏感依赖性最近的研究成果,请参见文献^[10-17].

如果动力系统是拓扑传递并且初值敏感依赖的,则称它是Takens-Ruelle混沌的.

拓扑熵的最初定义是由Adler,Konheim和McAndrew^[18]于1965年提出的,后来Bowen^[19]又给出了 一种新的等价定义. 它是目前为止发现的一个重要的共轭不变量. 拓扑熵的具体定义如常,本文概不赘述,详见文献[8,18]. 同时记动力系统$(X,T)$的拓扑熵为$h_{top}(T,X)$. Blanchard,Glasner,Kolyada和Maas^[20]于2002年证明了具有正拓扑熵的动力系统是Li-Yorke混沌的. 最近,Downarowicz^[21]改进了该结果,得到正拓扑熵蕴含分布- II混沌. 拓扑熵有如下一些基本性质 (详细证明参见文献^[18]):

(1) $h_{top}(T^n,X)=n\cdot h_{top}(T,X)$,$\forall n\in {\Bbb Z}_+$;

(2) $h_{top}(T\times S,X\times Y)=h_{top}(T,X)+h_{top}(S,Y)$;

(3) 如果$X_{1},X_2,\cdots,X_{n}$为$(X,T)$的不变闭子集,满足

$\bigcup\limits_{i=1}^{n}X_i =X,$

则

$h_{top}(T,X)=\max\left\{h_{top}(T|_{X_i},X_i): 1\leq i\leq n\right\}. $

对一个紧致度量空间$(X,\varrho)$,有一个自然的$\sigma$ -代数与之对应,即Borel-$\sigma$ -代数 ${\cal B}(X)$. 记$M(X)$为${\cal B}(X)$上全体概率测度的集合. 记$M(X,T)\subset M(X)$ 为全体$T$不变的Borel -概率测度,而$E(X,T)\subset M(X,T)$为全体遍历测度.

设$\mu\in M(X)$. 定义$\mu$的支撑为

$ (\mu)=\left\{x\in X: ~\mbox{对$x$ 的任意邻域 } ~U,\ \mu(U)>0\right\}; $

子集$E\subset X$称为$(X,T)$的支撑,如果(1) $\overline{E}=E$; (2) $T(E)\subset E$; (3) $\mu(E)=1$,对任意$\mu\in M(X,T)$; 并且$E$无真子集也满足这些条件. 同时将$(X,T)$的支撑记为 $(X,T)$ (参见文献^[22]) (文献^[23]称其为测度中心). 不难验证

$ (X,T)=\overline{\bigcup\{(\mu): \mu\in M(X,T)\}}. $

周作领^[23]证明了

$h_{top}(T,X)=h_{top}(T|_{ (X,T)},(X,T)). $

称动力系统$(X,T)$为$E$ -系统,如果它是拓扑传递的,并且存在一个不变测度$\mu\in M(X,T)$,使得$(\mu)=X$.

本节致力于研究迭代系统和乘积系统的$P$ -极小性.

定理3.1 如果动力系统$(X,T)$是熵极小的,则 $(X,T)$为一个$E$ -系统. 特别地,$(X,T)$是syndetic -传递的.

证 注意到

$h_{top}(T|_{{\rm supp}(X,T)},{\rm supp}(X,T))=h_{top}(T,X),$

则有${\rm supp}(X,T)=X$. 由此结合文献[24,引理3.1]和 文献[4,定理1],自然得证.

引理3.1 [12,定理1] 如果动力系统$(X,T)$是非极小syndetic -传递的,则$(X,T)$是syndetic -敏感的.

引理3.2 [8,命题3.2.6] 如果动力系统$(X,T)$是几乎等度连续并且syndetic -传递的,则$(X,T)$是极小等度连续的.

结合定理3.1,引理3.1和引理3.2,由Auslander-Yorke二分定理,自然可得如下结果:

推论3.1 熵极小的系统要么是syndetic -敏感的,要么是极小等度连续的.

推论3.2 非极小的熵极小系统是syndetic -敏感的.

注1 由推论3.2自然可得,文献[4,定理3.2和定理3.3]显然成立.

定理3.2 设$(X,T)$为动力系统. 如果存在自然数$n\in {\Bbb N}$,使得 $(X,T^n)$是熵极小的,则$(X,T)$是熵极小的.

证 取$(X,T)$的非空不变闭子集$X_1$,满足

$h_{top}(T|_{X_1},X_1)=h_{top}(T,X). $

则有

$ h_{top}(T^n|_{X_1},X_1)=n\cdot h_{top}(T|_{X_1},X_1)= n\cdot h_{top}(T|_{X},X)=h_{top}(T^n,X). $

因此,$X_{1}=X$.

注意到如果存在自然数$n$,使得 $(X,T^n)$是Li-Yorke混沌的,则$(X,T)$也是Li-Yorke混沌的. 由此结合混沌极小性 的定义,我们自然有:

定理3.3 设$(X,T)$为动力系统. 如果存在自然数$n\in {\Bbb N}$,使得 $(X,T^n)$是混沌极小的,则$(X,T)$是混沌极小的. 定理3.4 对任意自然数$n\geq 2$,存在熵极小动力系统$(X,T)$,满足$(X,T^{n})$不是熵极小的.

证 取定$n\geq 2$. 首先取一个正熵的并且拓扑弱混合的 极小系统$(Y,S)$ (文献[25,定理9.3]表明这样的系统是存在的). 再令$Y_{0}=Y\times \{0\}$,$Y_{1}=Y\times \{1\}$,$\cdots$,$Y_{n-1}=Y\times \{n-1\}$,并且$X=\bigcup\limits_{i=0}^{n-1}Y_{i}$. 假设$Y$上的度量为$d$,同时赋予$X$如下度量

$ \varrho((x,i),(y,j))=\sqrt{d^{2}(x,y)+|i-j|^{2}},~\mbox{ 对任意 } (x,i),(y,j)\in X. $

容易验证: $(X,\varrho)$为一个紧致度量空间.

定义映射$T: X\to X$为$T(x,i)=(Tx,i+1 ({\rm mod} \ n))$,对任意$(x,i)\in X$. 显然,$T$是连续映射. 对任意$(x,i)\in X$,我们有

${\rm orb}((x,i),T)=\{(S^{j}x,j+i({\rm mod} \ n)): j\in {\Bbb Z}_+\}. $

由此结合$S$是弱混合极小映射则有$(X,T)$是极小系统. 因此,$(X,T)$是熵极小的.

同时注意到对任意$(x,i)\in X$,恒有

${\rm orb}((x,i),T^n) =\left\{(T^{jn}x,i): j\in {\Bbb Z}_+\right\} \subset Y_i. $

所以,每个$Y_i$都为$T^n$的不变闭子集. 因此,

$h_{top}(T^{n},X)=\max\left\{h_{top}(T^{n}|_{Y_i},Y_i): 0\leq i ＜n\right\}\\ =h_{top}(T^{n}|_{Y_0},Y_0)= \cdots = h_{top}(T^{n}|_{Y_{n-1}},Y_{n-1})\\ =h_{top}(S^{n},Y)=n\cdot h_{top}(S,Y).$

这说明$(X,T^{n})$不是熵极小的,并且

$h_{top}(T,X)=h_{top}(S,Y)>0. $

证毕.

注2 (1) 由于存在弱混合的零熵极小系统,所以我们也可以构造零熵极小系统满足定理3.4的条件.

(2) 容易验证: 定理3.4证明过程中构造的系统$(X,T)$是混沌极小的,并且$(X,T^n)$不是混沌极小的. 因此,对任意自然数$n\geq 2$,存在混沌极小动力系统$(X,T)$,满足$(X,T^{n})$不是混沌极小的.

(3) 文献^[5]利用子移位构造出一个非极小的混沌极小系统. 事实上,Downarowicz和Ye在文献^[26]得到了存在 非极小的传递系统$(X,T)$,满足$X={\rm Trans}(T)\cup {\rm Per}(T)$. 显然,这样的系统是 混沌极小的. 因此,非极小的混沌极小系统早已存在.

(4) 由文献^[4]知,对分段单调的区间映射,熵极小等价于拓扑传递性. 因此,存在非极小的熵极小系统.

定理3.5 设$(X,T)$和$(Y,S)$为动力系统. 如果$(X\times Y,T\times S)$是熵极小的,则$(X,T)$和$(Y,S)$都是熵极小的.

证 取$(X,T)$的非空不变闭子集$X_1$,满足$h_{top}(T|_{X_1},X_1)=h_{top}(T,X)$. 注意到$X_1\times Y$为$T\times S$的不变闭子集,并且

$h_{top}(T\times S|_{X_{1}\times Y},X_1\times Y)=h_{top}(T|_{X_1}\times S,X_{1}\times Y)\\ =h_{top}(T|_{X_1},X_1)+ h_{top}(S,Y)\\ =h_{top}(T\times S,X\times Y),$

因此,$X_{1}\times Y=X\times Y$. 自然得证$X_1=X$,即$(X,T)$是熵极小的. 同理可证$(Y,S)$ 是熵极小的.

注3 (1) 注意到定理3.4证明过程中构造的系统$(X,T)$是熵极小和混沌极小的,但是该系统不是全传递的,自然不是拓扑弱混合的. 因此,$(X\times X,T\times T)$既不是熵极小 也不是混沌极小的. 这说明定理3.5的逆命题不真.

(2) 任意取定混沌极小的极小系统$(X,T)$和平凡系统$(Y,S)$,显然$(X\times Y,T\times S)$ 也是混沌极小的. 这说明定理3.5对混沌极小性不成立,因为平凡系统不是混沌极小的.

(3) 令$I=[0,1]$. 映射$T_{1}: I\to I$和$T_2: I\to I$连续. 类似于文献[5,定理 5.5]的证明,不难验证: $(I\times I,T_1\times T_2)$不是 混沌极小的.