过去二十年里,齐次Moran集的维数被广泛地研究,主要是因为Moran集与数学其它分支的联系非常紧密. 在动力系统方面^[2],度量数论方面^[8-9],Lipschitz等价^[6],重分形(参见文献^{[4, 10]}),拟同胚^{[5, 11]}等很多方面都有重要的应用. 在这些应用中,齐次Moran集是重要的一部分,这也就决定了我们对齐次Moran 集的兴趣. 在文献^[3]中,丰德军等利用文献[1, 定理4.10]证明了介值定理. 但是除极端情形(偏齐次Cantor集的packing维数达到最小值,齐次Cantor集的packing维数达到最大值)外,packing维数达到中间值的齐次Moran集的结构并不清楚.

本文构造了一类特殊的齐次Moran集,称为$\{m_{k}\}$ -拟齐次Cantor集并讨论得到了它们的packing维数. 通过调整序列$\{m_{k}\}_{k\ge1}$的值,构造性证明了齐次Moran集packing维数的介值定理. 此外,还得到了齐次Moran集的packing维数取得最小值的一个充分条件,它表明偏齐次Cantor 集仅为packing维数达到最小值的齐次Moran集中的一小类.

本文结构安排如下: 第二节回顾一些预备知识并给出我们的主要结果; 第三节构造$\{m_{k}\}$-Moran集和$\{m_{k}\}$ -拟齐次Cantor集,并讨论它们的packing维数; 第四节给出主要结果的证明.

首先,我们给出齐次Moran集的定义. 令$\{n_{k}\}_{k\ge1}$为一个正整数序列,$\{c_{k}\}_{k\ge1}$为一个正数序列且$n_{k}\ge2$,$n_{k}c_{k}\leq1(k\ge1)$. 对任意$k\ge1$,记 $D_{k}=\{\sigma=\sigma_1 \sigma_2\cdots\sigma_k;\ 1 \leq \sigma_{j}\leq n_{j},\ 1\leq j\leq k\}$, $D=\bigcup\limits_{k\ge 0}D_{k}$, 这里$D_{0}=\{\emptyset\}$. 如果$\sigma=\sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_k\in D_k$, $\tau=\tau_1\tau_2 \cdots\tau_m\in D_m$, 它们的连接为$\sigma\tau=\sigma_1\sigma_2\cdots \sigma_k\tau_1 \tau_2 \cdots\tau_m$.

定义2.1 记$I=[0,\ 1]$. $I$的闭子集族 $I=\{I_{\sigma}; \sigma\in D\}$ 称为具有齐次Moran结构,如果它满足

(i) $I_{\emptyset}=I; $

(ii) $\forall$$k\ge 1$,$\sigma\in D_{k-1}$, $I_{\sigma1}$, $ I_{\sigma2}$, $\cdots$, $I_{\sigma n_{k}}$是$I_{\sigma}$的闭子区间,并且 ${\mathop{I}\limits^{\circ}}_{\sigma i}\bigcap {\mathop{I}\limits^{\circ}}_{\sigma j}=\emptyset\ (i\neq j)$, 这里${\mathop{A}\limits^{\circ}}$ 表示A的内部; (iii) 任给$k\ge 1$与$ \sigma\in D_{k-1}$, $1\le j\le n_{k}$, 有

$c_{k}=\frac{|I_{\sigma j}|}{|I_{\sigma}|},$

(2.1)

其中$|A|$表示集合A的直径.

我们称非空紧集$E=\bigcap\limits_{k\ge 1}\bigcup\limits_{\sigma\in D_{k}} I_{\sigma}$为齐次Moran集. 用${M}(\{n_{k}\}_{k\ge1},\ \{c_{k}\}_{k\ge1})$表示由上述齐次Moran结构生成的齐次Moran集所组成的集族,简记为${M}$. 称$E_{k}=\{I_{\sigma}; \sigma\in D_{k}\}$为$E$的k阶基本区间族,$I$称为$E$的初始区间.

如果$I_{\sigma1}$的左端点与$I_{\sigma}$的左端点一致,$I_{\sigma n_k}$的右端点与$I_{\sigma}$的右端点一致,且 $I_{\sigma i}$ $(1\le i\le n_k)$之间的间隔都相等,则称$E$为齐次Cantor 集,简记为$C$. 如果$I_{\sigma1}$的左端点与$I_{\sigma}$的左端点一致,且$I_{\sigma (i+1)}$的左端点与$I_{\sigma i}$ $(1\le i\le n_k-1)$的右端点一致,则称$E$ 为偏齐次Cantor 集,简记为$C^*$.

齐次Cantor 集$C$和偏齐次Cantor 集$C^*$是两类特殊但非常重要的齐次Moran集.

下面齐次Moran集的packing维数结果来自于文献^[3].

定理2.1 设$E\in {M}$,则有

$s^{\ast}\le\dim_{P}E\le t^{\ast},$

这里

$\dim_{P}C^{\ast}=s^{\ast},\ \ \ \ \dim_{P}C=t^{\ast}$

且

$s^{\ast}=\limsup_{k\rightarrow\infty} \frac{\ln n_{1}n_{2}\cdots n_{k}}{-\ln c_{1}c_{2}\cdots c_{k}}, t^{\ast}=\limsup_{k\rightarrow\infty} \frac{\ln n_{1}n_{2}\cdots n_{k+1}}{-\ln c_{1}c_{2}\cdots c_{k}+\ln n_{k+1}}.$

为了进一步得到packing维数达到中间值的齐次Moran集的结构,本文构造了一类特殊的齐次Moran集,称为$\{m_{k}\}$ -拟齐次Cantor集并证明了下面的定理.

定理2.2 若$s^\ast＜s＜ t^\ast$,则存在$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor 集${F}$使得

$\dim_{P}{F}=s.$

(2.2)

并且,我们注意到,对任意的$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor集$E$,如果将 $\bigcup\limits_{j=1}^{n_k}I_{\sigma j}$ 的连通分支的个数记为$m_{I_\sigma}$,则可得如下结果:

定理2.3 设${E}$是$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor 集,如果$\sup\limits_{\sigma\in D} \{m_{I_\sigma}\}＜\infty$,则

$\dim_{P}{E}=s^{\ast}.$

(2.3)

由此定理可知,偏齐次Cantor集仅为packing维数达到最小值的齐次Moran集中的一小类,但后面推论4.1将告诉我们$\sup\limits_{\sigma\in D} \{m_{I_\sigma}\}＜\infty$不是必要条件.

定义3.1 设$E\in {M}(\{n_{k}\},\ \{c_{k}\})$,$E_k$是$E$的$k$阶基本区间族,$\{m_k\}_{k\ge 1}$ 为一正整数序列且满足$1\le m_k\le n_k(k\ge1)$. 如果$I_\sigma\in E_{k-1}$ 所包含的$k$阶基本区间$I_{\sigma1},I_{\sigma2},\cdots ,I_{\sigma{n_k}}$任意相连而成$m_k$个连通分支,记作$J_{\sigma1},J_{\sigma2},\cdots ,J_{\sigma{m_k}}$,我们将这样的齐次Moran集$E$称为 $\{m_k\}$-Moran 集. 用${M}(\{n_{k}\},\{c_{k}\},\{m_k\})$ 表示$\{m_k\}$-Moran集类.

设$E\in{M}(\{n_{k}\},\ \{c_{k}\},\{m_k\})$,记$J_{\sigma}$为包含在${k-1}$阶基本区间中的连通分支,记${A}_{k}=\{J_{\sigma};\sigma\in \Sigma_{k}\}$,这里$\Sigma_{k}=\{\sigma=i_{1}i_2 \cdots i_{k-1}j_k;\ 1 \le i_{s}\le n_{s},\ 1\le s\le k-1,\ 1\le j_k\le m_k\}$. 显然$\sharp {A}_{k}= n_1n_2\cdots n_{k-1}m_k$.

为了得到我们的主要结果,下面介绍一类特殊的$\{m_k\}$-Moran集,称之为$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor集. 令$a_k=[\frac{n_k}{m_k}]+1$,其中$[a]$表示小于或等于$a$的最大整数. 记 $\delta_k=c_1c_2\cdots c_{k}$.

定义3.2 设${F}\in {M}(\{n_{k}\},\{c_{k}\},\{m_k\})$且$m_k>1(\forall k\ge1)$. 令$I$是${F}$的$k-1$阶基本区间,记$J_1,J_2,\cdots ,J_{m_k}$是包含在$I$中的连通分支. 如果连通分支$J_i(1\le i\le m_k)$间的间隔相等且$J_1$的左端点与$I$的左端点相同,$J_{m_k}$的右端点与$I$的右端点相同,且

$\max \{|{{J}_{i}}|-|{{J}_{j}}|:\forall 1\le i,\ j\le {{m}_{k}}\}={{\delta }_{k}},$

则称${F}$为$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor集.

注3.1 特殊情形,当$m_k\equiv n_k$时,${F}$ 就是齐次Cantor 集. 显然,偏齐次Cantor集的每一个$k-1$阶基本区间包含的$k$阶基本区间恰好形成一个连通分支.

注3.2 由$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor集${F}$的定义可知,对任意的$1\le i\le m_k$,$J_i$是由$a_k$或$a_k-1$个$k$阶基本区间相连而成,于是$|J_i|=\delta_ka_k$ 或 $\delta_k(a_k-1)$.

定理4.1 设${F}$是$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor 集,则

$ \dim_{P}{F}=l^{\ast},$

这里$l^{\ast}=\limsup\limits_ {k\rightarrow\infty} \frac{\ln n_1n_2\cdots n_{k}m_{k+1}}{-\ln c_1c_2\cdots c_k+\ln m_{k+1}}$.

证 仍记$\delta_k=c_1c_2\cdots c_{k}$. 由文献[7, 定理 1],有

$\overline{\dim}_{B}{F}={\inf}\bigg \{l>0;\sum_{k\ge1} n_1n_2\cdots n_{k}(m_{k+1}-1) \Big(\frac{\delta_k (1-c_{k+1}n_{k+1})}{m_{k+1}-1}\Big)^l＜\infty\bigg\},$

(4.1)

这里 $\overline{\dim}_{B}$表示上盒维数.

对任意$l>l^{\ast}=\limsup\limits_ {k\rightarrow\infty} \frac{\ln n_1n_2\cdots n_{k}m_{k+1}}{-\ln c_1c_2\cdots c_k+\ln m_{k+1}}$,存在 $\varepsilon>0$和$k_0>0$,使对任何 $k\ge k_0$,有

$h_k:=l-\frac{\ln n_1n_2\cdots n_{k}m_{k+1}}{-\ln \delta_k +\ln m_{k+1}}>\varepsilon.$

(4.2)

由 $n_{k+1}c_{k+1}\le1$,再由$m_{k+1}\ge2$,可推得 $m_{k+1}-1\ge\frac{m_{k+1}}{2}$,并注意到

$n_1n_2\cdots n_{k}m_{k+1}(\delta_k m_{k+1}^{-1})^l=(\delta_k m_{k+1}^{-1})^{h_k},$

有

$\sum_{k\ge k_0} n_1n_2\cdots n_{k}(m_{k+1}-1) \Big(\frac{\delta_k (1-c_{k+1}n_{k+1})}{m_{k+1}-1}\Big)^l \le2^l\sum_{k\ge k_0}n_1n_2\cdots n_{k}m_{k+1}(\delta_km_{k+1}^{-1})^l{}\\ =2^l\sum_{k\ge k_0} (\delta_km_{k+1}^{-1})^{h_k}{}\\ \le2^l\sum_{k\ge k_0}2^{-(k+1)\varepsilon}＜\infty.{}$

由式(4.1),我们有 $\overline{\dim}_{B}{F}\le l$. 由$l$的任意性,有$\overline{\dim}_{B}{F}\le l^{\ast}$.

又对任意$\delta>0$,用$N(\delta,F)$ 表示长度为$\delta$ 且覆盖$F$的闭区间的最小个数. 对任意 $A\in F_k$,我们将它均匀地分分成$m_{k+1}$个闭区间. 由$\{m_k\}$ -拟齐次Cantor集的构造,每个区间都与$F$相交,即含有$F$中的点. 所以,$N(\frac{c_1c_2\cdots c_k}{m_{k+1}},F)\ge\frac{1}{2}n_1n_2\cdots n_km_{k+1}$. 因此

$ \overline{\dim}_{B}{F} \ge\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln \frac{1}{2}n_1n_2\cdots n_{k}m_{k+1}}{-\ln c_1c_2\cdots c_k+\ln m_{k+1}} = l^{\ast}. $

结合前面的讨论,$ \overline{\dim}_{B}{F}=l^{\ast}. $

另一方面,由$F$的构造,对任意与$F$相交的开集 $V$,$\overline{\dim}_{B}{(F \bigcap V)}=\overline{\dim}_{B}{F}$. 故由文献[1, 推论3.9],$\dim_{P}{F}=\overline{\dim}_{B}{F}=l^{\ast}$.

推论4.1 如果$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln m_{k+1}}{-\ln \delta_k}=0$,则对任意的 $\{m_{k}\}$ -拟齐次Cantor集 ${F}$,都有

$\dim_{P}{F}=s^{\ast},$

(4.3)

这里$s^{\ast}$ 与定理2.1中定义相同.

证 如果 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln m_{k+1}}{-\ln \delta_k}=0$,则

$\dim_{P}{F}=l^{\ast}{} =\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln (n_1n_2\cdots n_k m_{k+1})}{-\ln\delta_k+\ln m_{k+1}}{}\\ =\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{\ln n_1n_2\cdots n_k}{-\ln \delta_k}+\frac{\ln m_{k+1}}{-\ln \delta_k}}{1+\frac{\ln m_{k+1}}{-\ln \delta_k}}{}\\ =\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln n_1n_2\cdots n_k}{-\ln \delta_k}=s^{\ast}.$

很容易构造满足条件$\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln m_{k+1}}{-\ln \delta_k}=0$的$\{m_{k}\}$ -拟齐次Cantor集. 例如,令 $m_k\equiv2$,由于$\delta_k=c_1c_2\cdots c_{k}\rightarrow 0(k\rightarrow\infty)$,所以 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln m_{k+1}}{-\ln \delta_k}=0$.

引理4.1 设$s^\ast＜s＜t^\ast$,则存在大于1的正整数序列$\{m_k\}_{k\ge1}$ 使得

$l^\ast=s.$

(4.4)

证 记$\delta_k=c_1c_2\cdots c_{k},N_{k+1}=n_1n_2\cdots n_{k+1}$. 由$\{m_{k}\}$ -拟齐次Cantor集的定义,对任意 $k\geq1$,我们需要$1＜m_k\leq n_k$. 因为 $s＜t^\ast=\limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln N_{k+1}}{-\ln \delta_k+\ln n_{k+1}}$,所以存在$N>0$使得对任意$k\geq N$,有$s＜\frac{\ln N_{k+1}}{-\ln\delta_k+\ln n_{k+1}}$,即 $N_{k+1}(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}})^s>1$. 又因为$s＜1$,有

$n_{k+1}\bigg(N_{k+1}\Big(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}}\Big)^s\bigg)^\frac{1}{s-1}＜ n_{k+1}.$

(4.5)

当$k＜N$,取$m_{k+1}\equiv2$;

当$k\geq N$且$n_{k+1}(N_{k+1}(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}})^s)^\frac{1}{s-1}＜ 1$,取$m_{k+1}=[n_{k+1}(N_{k+1}(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}})^s)^\frac{1}{s-1}]+2$;

当$ k\geq N$且$n_{k+1}(N_{k+1}(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}})^s)^\frac{1}{s-1}\geq 1$,取 $m_{k+1}=[n_{k+1}(N_{k+1}(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}})^s)^\frac{1}{s-1}]+1$.

由上面的选择,我们构造的序列$\{m_k\}_{k\ge1}$总是一个正整数序列,且满足$1＜ m_{k+1}\le n_{k+1}(\forall k\ge0)$. 并且,当$k\geq N$时

$\bigg|n_{k+1}\bigg(N_{k+1} \Big(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}}\Big)^s\bigg)^\frac{1}{s-1}-m_{k+1}\bigg|\le2.$

所以

$l^\ast=\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln N_k m_{k+1}}{-\ln\delta_{k}+\ln m_{k+1}}{}\\ =\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln N_k n_{k+1}\big(N_{k+1} \big(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}}\big)^s\big)^\frac{1}{s-1}}{-\ln\ {\delta_{k}} \cdot{n_{k+1}}^{-1}\big(N_{k+1}\big(\frac{\delta_{k}}{n_{k+1}}\big)^s\big)^\frac{1}{1-s}}{}\\ =\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln {N_{k+1}{N_{k+1}}^\frac{1}{s-1}{\delta_k}^\frac{s}{s-1}{n_{k+1}}^\frac{s}{1-s}}}{-\ln {\delta_k{\delta_k}^\frac{s}{1-s}{N_{k+1}}^\frac{1}{1-s}n_{k+1}}^{-1}{n_{k+1}}^\frac{s}{s-1}}{}\\ =\limsup_{k\rightarrow\infty}\frac{\frac{s}{s-1}\ln N_{k+1}\cdot\delta_k\cdot(n_{k+1})^{-1}}{\frac{1}{s-1}\ln N_{k+1}\cdot\delta_k\cdot(n_{k+1})^{-1}} =s.$

由定理4.1和引理4.1,我们可得对任意$s^\ast＜s＜ t^\ast$,存在正整数序列 $\{m_k\}_{k\ge 1}(1＜ m_{k}\le n_{k})$. 由此序列我们可以构造相应的 $\{m_k\}$ -拟齐次Cantor集${F}$使得

$\dim_{P}{F}=l^{\ast}=s.$

(4.6)

由此我们证明了定理2.2.

最后,我们给出定理2.3的证明.

定理2.3的证明 由定理2.1,有$\dim_{P}E\ge s^\ast$,故只需证明 $\dim_{P}E\le s^\ast$. 由文献[7, 定理1],有

$\overline{\dim}_{B}{E}={\inf} \bigg\{s>0;\sum_{k\ge1} n_1n_2\cdots n_{k}(m_{k+1}-1)\Big(\frac{\delta_k (1-c_{k+1}n_{k+1})}{m_{k+1}-1}\Big)^s＜\infty\bigg\},$

(4.7)

对任意$s>s^{\ast}=\limsup\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{\ln n_1n_2\cdots n_{k}}{-\ln c_1c_2\cdots c_k}$,存在 $\varepsilon>0$,$k_1>0$,使对任何 $k\ge k_1$,有

$g_k:=s-\frac{\ln n_1n_2\cdots n_{k}}{-\ln \delta_k }>\varepsilon.$

(4.8)

由 $n_{k+1}c_{k+1}\le1$,$c_{k+1}\le\frac{1}{2}$,有 $\delta_k=c_1c_2\cdots c_{k}\le2^{-k}$. 由 $m_{k+1}\ge2$,得 $m_{k+1}-1\ge\frac{m_{k+1}}{2}$,再由上面 $g_k$的定义,有 $ n_1n_2\cdots n_{k}(\delta_k)^s=(\delta_k)^{g_k}. $

由上面的讨论,我们有

$ \sum_{k\ge k_1}n_1n_2\cdots n_{k}(m_{k+1}-1) \Big(\frac{\delta_k (1-c_{k+1}n_{k+1})}{m_{k+1}-1}\Big) ^s\\ \le m\sum_{k\ge k_1}n_1n_2\cdots n_{k}\Big(\frac{\delta_k}{m_{k+1}-1}\Big) ^s \le 2^sm\sum_{k\ge k_1}n_1n_2\cdots n_{k}(\delta_km_{k+1}^{-1})^s{}\\ \le2^sm\sum_{k\ge k_1}n_1n_2\cdots n_{k}{\delta_k}^s(m_{k+1}^{-1})^s = 2^sm\sum_{k\ge k_1}(\delta_k)^{g_k}(m_{k+1}^{-1})^s{}\\ \le2^sm\sum_{k\ge k_1}2^{-k\varepsilon}2^{-s} =m\sum_{k\ge k_1}2^{-k\varepsilon}＜\infty,$

这里 $m=\sup\limits_{\sigma\in D} \{m_{I_\sigma}\}＜\infty$. 因此,我们有 $\overline{\dim}_{B}{E}\le s$. 由$s$的任意性,有$\overline{\dim}_{B}{E}\le s^{\ast}$. 因为 $\dim_{P}E\le\overline{\dim}_{B}{E}$,所以$\dim_{P}E\le s^\ast$.