经典的 Brunn-Minkowski 理论在最近的几十年被推广到 $L_p$-Brunn-Minkowski 理论,最近由 Lutwak,Yang 和 Zhang^[1-2]和 Gardner,Hug 和 Weil^[3] 和其他作者^[4-7]推广到了 Orlicz-Brunn-Minkowski 理论,对偶的 Orlicz-Brunn-Minkowski 理论由周家足等^[8]和 Gardner,Hug,Weil 和 Ye^[9]和其他作者^[10-11]建立.

文献 ^[10] 给出了关于星体的调和 Orlicz 组合的定义,结合调和 Orlicz 组合,他们展示了 Orlicz 对偶混合体积的概念,积分表达式和一系列不等式. 文献 ^[11] 介绍了 Orlicz 对偶混合均质积分的概念,证明了关于 Orlicz 对偶混合均质积分的对偶 Orlicz-Minkowski 不等式和对偶均质积分关于调和 Orlicz 组合的对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski 不等式. 本文继续研究 Orlicz 对偶混合均质积分,得到了几个新的结论.

本文中,$\{e_1,\cdots,e_n\}$ 和 $o$ 分别表示 $n$ 维欧式空间 ${\Bbb R}^n$ 的标准正交基和原点. 记 $\Phi_{n},n\in N^*$ 为所有满足条件 $\varphi(o)=0$ 和 $\varphi(e_j)=1 (j=1,\cdots,n)$ 并且在每个变量上严格单调递增的连续的凸函数 $\varphi:[0,\infty)^n\rightarrow [0,\infty)$ 的集合. 当 $n=1$ 时,我们用 $\Phi$ 代替 $\Phi_1$. $(f)'_{l}$ 和 $(f)'_{r}$ 分别表示为实函数 $f$ 的左导数与右导数.

对于集合 $A\subseteq{\Bbb R}^n$,如果原点 $o\in A$ 以及每一条经过原点的直线都与集合 $A$ 相交成一条闭曲线,则集合 $A$ 称为关于原点的星形. 一个紧的星形(关于原点) $K$ 的径向函数 $\rho(K,\cdot):{\Bbb R}^n\setminus\{o\}\rightarrow[0,\infty)$ 定义为

$\rho(K,x)=\max\{\lambda\geq0,\lambda x \in K\}, \forall x\in{\Bbb R}^n\setminus\{o\}.$

当 $\rho(K,\cdot)$ 是正的连续函数时,称 $K$ 是一个星体(关于原点). 我们记 ${\cal S}_{o}^{n}$ 为 ${\Bbb R}^n$ 中星体 (关于原点)的集合. 如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 且 $\rho(K,u)/\rho(L,u)$ 与 $u\in S^{n-1}$ 无关,则称 $K$ 和 $L$ 互为膨胀,其中 $S^{n-1}$ 表示 ${\Bbb R}^n$ 中的单位球面.

文献 ^[12] 中给出了关于星体 $K,L \in {\cal S}_{o}^{n}$,$p\geq1$,$\alpha,\beta\geq0$ (不全为零)的 $L_{p}$ 调和径向组合 $\alpha\cdot K{\tilde{+}}_{-p}\beta\cdot L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 的径向函数定义为

$\rho(\alpha\cdot K{\tilde{+}}_{-p}\beta\cdot L,\cdot)^{-p}=\alpha\rho(K,\cdot)^{-p}+\beta\rho(L,\cdot)^{-p},$

(1.1)

其中 $\alpha\cdot K$ 表示为 $\alpha\cdot_{p}K:= \alpha^{-1/p}K$.

结合 $L_{p}$ 调和径向组合,文献 ^[13] 引入了 $L_{p}$ 对偶混合均质积分的概念如下: 如果 $K,L \in {\cal S}_{o}^{n},$ $\varepsilon>0$ 且实数 $i\neq n$,则 $K$ 和 $L$ 的 $L_{p}$ 对偶混合均质积分定义为

${\tilde{W}}_{-p,i}(K,L):=\frac{-p}{n-i}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{{\tilde{W}}_{i}(K{\tilde{+}}_{-p}\varepsilon\cdot L)-{\tilde{W}}_{i}(K)}{\varepsilon},$

(1.2)

其中

${\tilde{W}}_{i}(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho(K,u)^{n-i}{\rm d}S(u)$

(1.3)

表示 $K\in{\cal S}_{o}^{n}$ 的对偶均质积分^[14],${\rm d}S(u)$ 是 $S^{n-1}$ 的球面 Lebesgue 测度.

由 (1.2) 式,$L_{p}$ 对偶混合均质积分的积分表达式可以给出如下: 若 $K,L \in {\cal S}_{o}^{n},p\geq1$,且实数 $i\neq n$,则

${\tilde{W}}_{-p,i}(K,L)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho(K,u)^{n+p-i}\rho(L,u)^{-p}{\rm d}S(u).$

(1.4)

当 $i=0$ 时,(1.4) 式就是 Lutwak 给出的 $L_{p}$ 对偶混合体积 ${\tilde{V}}_{-p}(K,L)$ 的积分表达式,即

${\tilde{V}}_{-p}(K,L)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho(K,u)^{n+p}\rho(L,u)^{-p}{\rm d}S(u).$

(1.5)

文献 ^[13] 证明了关于 $L_{p}$ 对偶混合均质积分的对偶 $L_{p}$-Minkowski 不等式.

若 $K,L \in {\cal S}_{o}^{n},p\geq1$,且实数 $i\neq n$,则当 $i ＜n+p$ 时

$\frac{{\tilde{W}}_{-p,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\geq \left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(K)}{{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{p}{n-i}},$

(1.6)

当 $i>n+p$ 时,则不等式 (1.6) 是逆向的. 在每一个不等式中,等号成立当且仅当 $K$ 和 $L$ 互为膨胀.

和对偶均质积分关于 $L_{p}$ 调和径向组合的对偶 $L_{p}$-Brunn-Minkowski 不等式

若 $K,L \in {\cal S}_{o}^{n},p\geq1$,且实数 $i\neq n$,则当 $i＜n+p$ 时

$1\geq \alpha \left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(\alpha\cdot K{\tilde{+}}_{-p}\beta\cdot L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right)^{\frac{p}{n-i}} +\beta \left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(\alpha\cdot K{\tilde{+}}_{-p}\beta\cdot L)}{{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{p}{n-i}},$

(1.7)

当 $i>n+p$ 时,则不等式 (1.7) 是逆向的. 在每一个不等式中,等号成立当且仅当 $K$ 和 $L$ 互为膨胀.

文献 ^[10] 中给出了关于星体 $K,L \in {\cal S}_{o}^{n}$,$\alpha,\beta\geq0$ (不全为零) 的调和 Orlicz 组合 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)\in {\cal S}_{o}^{n}$ 的定义

$\alpha\varphi_{1}\left(\frac{\rho(\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta),x)}{\rho(K,x)}\right) +\beta\varphi_{2}\left(\frac{\rho(\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta),x)}{\rho(L,x)}\right) =1, \forall x \in {\Bbb R}^n \setminus \{o\},$

(1.8)

其中 $\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$. 为了简便起见,我们记 $K\hat{+}_{\varphi,\varepsilon}L:=\hat{+}_{\varphi}(K,L,1,\varepsilon).$

结合调和 Orlicz 组合 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$,我们引入 Orlicz 对偶混合均质积分的概念如下: 令 $\varphi\in \Phi_{2}$ 满足 $\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{1},\varphi_{2}\in\Phi$,如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ 则 $K$ 和 $L$ 的 Orlicz 对偶混合均质积分定义为

${\tilde{W}}_{\varphi_{2},i}(K,L):=-\frac{(\varphi_{1})'_{l}(1)}{n-i}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{{\tilde{W}}_{i}(K\hat{+}_{\varphi,\varepsilon}L)-{\tilde{W}}_{i}(K)}{\varepsilon},$

(1.9)

文献 [11,定理 3.2] 给出了 (1.9) 式左端极限的积分表达式

$-\frac{(\varphi_{1})'_{l}(1)}{n-i}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{{\tilde{W}}_{i}(K\hat{+}_{\varphi,\varepsilon}L)-{\tilde{W}}_{i}(K)}{\varepsilon}= \frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi_{2}\left(\frac{\rho_{ K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u).$

(1.10)

由 (1.9) 式和 (1.10) 式,用 $\varphi$ 代替 $\varphi_{2}$,文献 ^[11] 给出了 Orlicz 对偶混合均质积分的积分表达式的定义: 假定 $\varphi\in\Phi$,$K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ 则

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{ L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u).$

(1.11)

当 $\varphi(t)=t^{p},p\geq1$ 时,可以得到 $L_{p}$ 对偶混合均质积分 ${\tilde{W}}_{-p,i}(K,L)$.

当 $i=0$ 时,(1.11)式 就是文献 ^[10] 给出的 Orlicz 对偶混合体积 ${\tilde{V}}_{\varphi}(K,L)$ 的积分表达式,即

${\tilde{V}}_{\varphi}(K,L)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{ L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n}{\rm d}S(u).$

(1.12)

文献 ^[11] 证明了关于 Orlicz 对偶混合均质积分的对偶 Orlicz-Minkowski 不等式.

令 $\varphi\in\Phi$,如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ 则

$\frac{{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\geq \varphi\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(K)}{{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right),$

(1.13)

如果 $\varphi$ 是严格凸的,等号成立当且仅当 $K$ 与 $L$ 互为膨胀.

和对偶均质积分关于调和 Orlicz 组合的对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski 不等式

令 $\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$,如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ 则

$1\geq \alpha \varphi_{1}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta))}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right) +\beta \varphi_{2}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta))}{{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right),$

(1.14)

如果 $\varphi$ 是严格凸的,等号成立当且仅当 $K$ 与 $L$ 互为膨胀.

本文主要讨论了 Orlicz 对偶混合均质积分的定义,得到了以下几个主要定理.

结合文献 ^[15] 中的证明方法,我们得到 Orlicz 对偶混合均质积分在一般线性变换下的性质.

定理1.1 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$,$i=0,1,\cdots,n-1$. 若 $\phi\in GL(n)$,则对所有的 $u\in S^{n-1}$,有

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(\phi K,\phi L)=|\det \phi|\parallel\phi^{-1}u\parallel^{i}{\tilde{W}}_{\varphi,i}( K,L),$

(1.15)

这里,$GL(n)$ 表示一般线性变换群且 $\det\phi$ 表示矩阵 $\phi$ 的行列式.

当 $\varphi(t)=t^{p},p\geq1 $ 时,定理 1.1 为文献 ^[15] 中的定理 1.1.

在定理 1.1 中取 $i=0$,有

推论1.1 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$. 若 $\phi\in GL(n)$,则对所有的 $u\in S^{n-1}$,有

${\tilde{V}}_{\varphi}(\phi K,\phi L)=|\det \phi|{\tilde{V}}_{\varphi}( K,L).$

(1.16)

当 $\varphi(t)=t^{p},p\geq1 $,且 $\phi \in SL(n)$ 时,推论 1.1 为文献 ^[12] 中的命题 1.8.

Orlicz 对偶混合均质积分的唯一性

定理1.2 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$,$i=0,1,\cdots,n-1$. 若对任意的 $Q\in{\cal S}^{n}_{o}$ 有

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(Q,K)={\tilde{W}}_{\varphi,i}(Q,L)$

(1.17)

或

$\frac{{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,Q)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}=\frac{{\tilde{W}}_{\varphi,i}(L,Q)}{{\tilde{W}}_{i}(L)},$

(1.18)

则 $K=L$.

在定理 1.2 中取 $i=0$,有

推论1.2 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$. 若对任意的 $Q\in{\cal S}^{n}_{o}$ 有

${\tilde{V}}_{\varphi}(Q,K)={\tilde{V}}_{\varphi}(Q,L) \mbox{或} \frac{{\tilde{V}}_{\varphi}(K,Q)}{{\tilde{V}}(K)}=\frac{{\tilde{V}}_{\varphi}(L,Q)}{{\tilde{V}}(L)},$

(1.19)

则 $K=L$.

当 $\varphi(t)=t^{p},p\geq1 $ 时,推论 1.2 为文献 ^[12] 中的命题 1.11.

Orlicz 对偶混合均质积分的循环不等式

定理1.3 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$. 实数 $i,j,k\neq n$ 且 $i＜j＜k$,则

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)^{k-j}{\tilde{W}}_{\varphi,k}(K,L)^{j-i}\geq {\tilde{W}}_{\varphi,j}(K,L)^{k-i}.$

(1.20)

等号成立当且仅当 $K$ 是一个中心在原点的球.

当 $\varphi(t)=t^{p},p\geq1 $ 时,由定理 1.3 可以得到 $L_{p}$ 对偶混合均质积分的循环不等式^[15].

关于 Orlicz 对偶混合均质积分的对偶 Orlicz-Minkowski 不等式与对偶均质积分关于调和 Orlicz 径向组合的对偶 Orlicz-Brunn-Minkowski 不等式是等价的.

定理1.4 如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi(x_{1},x_{2}) =\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$. 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ 则

$\frac{{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\geq \varphi_{j} \left(\bigg(\frac{{\tilde{W}}_{i}(K)}{{\tilde{W}}_{i}(L)}\bigg)^{\frac{1}{n-i}}\right) \Leftrightarrow 1\geq \alpha \varphi_{1}\left(\bigg(\frac{{\tilde{W}}_{i}({\tilde{K}})} {{\tilde{W}}_{i}(K)}\bigg)^{\frac{1}{n-i}}\right) +\beta \varphi_{2}\left(\bigg(\frac{{\tilde{W}}_{i}({\tilde{K}})} {{\tilde{W}}_{i}(L)}\bigg)^{\frac{1}{n-i}}\right).$

(1.21)

其中 ${\tilde{K}}=\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$.

如果 $\varphi$ 是严格凸的,则两个不等式的等号同时成立的条件是``$K$ 与 $L$互为膨胀".

对于星体 $K\in{\cal S}_{o}^{n}$ 的对偶均质积分还可以定义为

${\tilde{W}}_{n-i}(K) =\frac{\omega_{n}}{\omega_{i}}\int_{\xi\in G(n,i)} V_{i}(K\cap \xi){\rm d}\xi, i=1,\cdots,n-1,$

(1.22)

补充定义 ${\tilde{W}}_{0}(K)=V(K)$,${\tilde{W}}_{n}(K)=\omega_{n}$,其中 $V(K)$ 表示为星体 $K$ 的体积,$\omega_{n}$ 表示为 ${\Bbb R}^{n}$ 中单位球 $B$ 的体积. $G(n,i),V_{i}$ 和 $K\cap\xi$ 分别表示 ${\Bbb R}^{n}$ 中的 Grassmann 流形的 $i$ 维线性子空间,$i$ 维体积,星体 $K$ 与子空间 $\xi$ 的交集.

对偶的 Cauchy-Kubota 公式在 Orlicz 空间中有如下的自然推广.

定理1.5 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$. 实数 $i,j=1,\cdots,n-1$ 且 $1\leq j \leq i \leq n-1$,则

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)=\frac{\omega_{n}}{\omega_{n-j}}\int_{\xi\in G(n,n-j)} {\tilde{W}}_{\varphi,i-j}^{(n-j)}(K\cap \xi,L\cap \xi){\rm d}\xi,$

(1.23)

其中 ${\tilde{W}}_{\varphi,j-q}^{(n-q)}(K\cap \xi,L\cap \xi)$ 为在子空间 $\xi$ 中的 $(n-q)$ 维星体 $K\cap \xi$ 和 $L\cap \xi$ 的 Orlicz 对偶混合均质积分.

设 $\varphi_{j},\varphi \in \Phi,j\in {\Bbb N}$,如果对于每一个紧区间 $I\in {\Bbb R}$,有

$|\varphi_{j}-\varphi|_{I}:=\max\limits_{t\in I}|\varphi_{j}(t)-\varphi(t)|\rightarrow 0,$

则称序列 $\{\varphi_{j}\}$ 收敛到 $\varphi$,即 $\varphi_{j}\rightarrow \varphi \in \Phi$.

从径向函数的定义知^[16-17]: 对于 $A\in GL(n),K$ 的像 $AK=\{Ay:y\in K\}$ 的径向函数为

$\rho(AK,x)=\rho(K,A^{-1}x), \forall x\in {\Bbb R}^{n},$

(2.1)

其中 $A^{-1}$ 表示为变换 $A$ 的逆. 如果 $c>0$,则有

$\rho(K,cx)=\frac{1}{c}\rho(K,x).$

(2.2)

如果 $K,L\in {\cal S}^{n}_{o}$,则

$K\subset L \mbox{当且仅当} \rho_{K}\leq\rho_{L}.$

(2.3)

对于星体 $K,L\in {\cal S}^{n}_{o}$ 的径向 Hausdorff 度量 ${\tilde{\delta}}_{H}(K,L)$ (参见文献^[16-17]) 定义为

${\tilde{\delta}}_{H}(K,L)=\max\limits_{u\in S^{n-1}}|\rho_{K}(u)-\rho_{L}(u)|.$

星体 $K\in {\cal S}^{n}_{o}$ 的体积 $V(K)$ 的极坐标公式为

$V(K)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\rho_{K}(u)^{n}{\rm d}S(u).$

对所有的 $x\in {\Bbb R}^{n}\setminus\{0\}$,星体 $K_{j}\in {\cal S}^{n}_{o}(j=1,\cdots,m)$ 的调和 Orlicz 和 $\hat{+}_{\varphi}(K_{1},\cdots,K_{m})$ 定义为

$\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K_{1},\cdots,K_{m})} =\sup\left\{\lambda>0:\varphi \bigg(\frac{\lambda}{\rho_{K_{1}}(x)},\cdots,\frac{\lambda}{\rho_{K_{m}}(x)}\bigg)\leq1\right\},$

(2.4)

其中 $\varphi\in\Phi_{m}$,正整数 $m\geq2$. 因为函数 $z\rightarrow \varphi(\frac{z}{\rho_{K_{1}}(x)},\cdots,\frac{z}{\rho_{K_{m}}(x)})$ 在 $[0,+\infty)^{m}$ 上是严格递增的. 因此,有

$\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K_{1},\cdots,K_{m})}(x)=\tau_{x}\Leftrightarrow \varphi\bigg(\frac{\tau_{x}}{\rho_{K_{1}}(x)},\cdots,\frac{\tau_{x}}{\rho_{K_{m}}(x)}\bigg)=1.$

(2.5)

定义 2.1 设 $\alpha_{j}\geq0$,$\varphi_{j}\in\Phi,j=1,\cdots,m$ 满足 $\varphi_{1}(1)=\cdots=\varphi_{m}(1)=1$. 对于星体 $K_{j} \in {\cal S}^{n}_{o},j=1,\cdots,m$ 的调和 Orlicz 线性组合^[10] $\hat{+}_{\varphi}(K_{1},\cdots,K_{m},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m})$ 可以定义为: 对所有的 $x\in {\Bbb R}^{n}\setminus\{0\}$

$\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K_{1},\cdots,K_{m},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m})}(x) =\sup\left\{\lambda>0: \sum \limits_{j=1}^{m} \alpha_{j}\varphi_{j} \bigg(\frac{\lambda}{\rho_{K_{j}}(x)}\bigg)\leq1\right\}$

(2.6)

或者

$\sum \limits_{j=1}^{m} \alpha_{j}\varphi_{j} \bigg(\frac{\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K_{j},\cdots,K_{m},\alpha_{1},\cdots,\alpha_{m})}(x)} {\rho_{K_{1}}(x)}\bigg)=1,$

(2.7)

其中 $\varphi(x_{1},\cdots,x_{m})= \sum \limits_{j=1}^{m} \alpha_{j}\varphi_{j}(x_{j})$.

定义 2.2 假定 $\varphi\in\Phi$,$K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$ 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ $K$ 和 $L$ 的 Orlicz 对偶混合均质积分^[11]定义为

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)=\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{ L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u).$

(2.8)

下面一些性质是显然的.

(1) ${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,K)={\tilde{W}}_{\varphi,i}(K)$.

(2) 当 $i=0$ 时,${\tilde{W}}_{\varphi,0}(K,L)={\tilde{V}}_{\varphi}(K,L)$.

(3) 如果 $\varphi(t)=t^{p},p\geq1$,则 ${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)={\tilde{W}}_{-p,i}(K,L)$.

(4) 如果 $L_{1}\subset L_{2}$,则 ${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L_{1})\geq{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L_{2})$.

(5) 令 $\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$. 则对任意的 $\alpha,\beta>0$,有

${\tilde{W}}_{i}(\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta))=\alpha{\tilde{W}}_{\varphi_{1},i} (\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta),K)+ \beta{\tilde{W}}_{\varphi_{2},i}(\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta),L).$

(2.9)

定理 1.1 的证明 由 (1.11),(2.1) 和 (2.2)式,有

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(\phi K,\phi L)\\ =\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{\phi K}(u)}{\rho_{\phi L}(u)}\right)\rho_{\phi K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\\ =\frac{1}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{ K}(\phi^{-1}u)}{\rho_{L}(\phi^{-1}u)}\right)\rho_{K}(\phi^{-1}u)^{n-i} {\rm d}S(\phi(\phi^{-1}u))\\ =\frac{|\det \phi|}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{ K}(\|\phi^{-1}u\|\frac{\phi^{-1}u}{\|\phi^{-1}u\|})} {\rho_{L}(\|\phi^{-1}u\|\frac{\phi^{-1}u}{\|\phi^{-1}u\|})}\right) \rho_{ K}\bigg(\|\phi^{-1}u\|\frac{\phi^{-1}u}{\|\phi^{-1}u\|}\bigg)^{n-i} {\rm d}S\bigg (\|\phi^{-1}u\|\frac{\phi^{-1}u}{\|\phi^{-1}u\|}\bigg)\\ =\frac{|\det \phi|}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{ K}(v)}{\rho_{L}(v)}\right)\|\phi^{-1}u\|^{-(n-i)}\rho_{K}(v)^{n-i}\|\phi^{-1}u\|^{n}{\rm d}S(v)\\ =\frac{|\det \phi|\|\phi^{-1}u\|^{i}}{n}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{ K}(v)}{\rho_{L}(v)}\right)\rho_{K}(v)^{n-i}{\rm d}S(v)\\ =|\det \phi|\|\phi^{-1}u\|^{i}{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L),$

其中 $v=\frac{\phi^{-1}u}{\|\phi^{-1}u\|}$. 由此得到 (1.15) 式. 定理 1.1 证毕.

定理 1.2 的证明 在 (1.17) 式中,令 $Q=K$,再结合对偶 Orlicz-Minkowski 不等式 (1.13) 及函数 $\varphi$ 的严格递增性得 ${\tilde{W}}_{i}(L)\geq{\tilde{W}}_{i}(K)$,等号成立当且仅当 $K$ 和 $L$ 互为膨胀. 同样在 (1.17) 式中,令 $Q=L$ 得 ${\tilde{W}}_{i}(L)\leq{\tilde{W}}_{i}(K)$,等号成立当且仅当 $K$ 和 $L$ 互为膨胀. 因此,${\tilde{W}}_{i}(L)={\tilde{W}}_{i}(K)$,等号成立当且仅当 $K$ 和 $L$ 互为膨胀,即 $K=L$. 当 $K,L$ 满足 (1.18) 式时,同理可证. 定理 1.2 证毕.

定理 1.3 的证明 因为实数 $i,j,k\neq n$ 且 $i＜j＜k$,所以 $0＜k-j＜k-i$,$0＜j-i＜k-i$,由 Hölder 不等式,得

$\begin{align} & {{{\tilde{W}}}_{\varphi ,i}}{{(K,L)}^{\frac{k-j}{k-i}}}{{{\tilde{W}}}_{\varphi ,k}}{{(K,L)}^{\frac{j-i}{k-i}}} \\ & ={{\left[ \frac{1}{n}\int_{{{S}^{n-1}}}{\varphi }\left( \frac{{{\rho }_{K}}(u)}{{{\rho }_{L}}(u)} \right){{\rho }_{K}}{{(u)}^{n-i}}\text{d}u \right]}^{\frac{k-j}{k-i}}}{{\left[ \frac{1}{n}\int_{{{S}^{n-1}}}{\varphi }\left( \frac{{{\rho }_{K}}(u)}{{{\rho }_{L}}(u)} \right){{\rho }_{K}}{{(u)}^{n-k}}\text{d}u \right]}^{\frac{j-i}{k-i}}} \\ & ={{\left[ \frac{1}{n}\int_{{{S}^{n-1}}}{{{\left[ \varphi {{\left( \frac{{{\rho }_{K}}(u)}{{{\rho }_{L}}(u)} \right)}^{\frac{k-j}{k-i}}}{{\rho }_{K}}{{(u)}^{\frac{(n-i)(k-j)}{k-i}}} \right]}^{\frac{k-i}{k-j}}}}\text{d}u \right]}^{\frac{k-j}{k-i}}} \\ & \cdot {{\left[ \frac{1}{n}\int_{{{S}^{n-1}}}{{{\left[ \varphi {{\left( \frac{{{\rho }_{K}}(u)}{{{\rho }_{L}}(u)} \right)}^{\frac{j-i}{k-i}}}{{\rho }_{K}}{{(u)}^{\frac{(n-k)(j-i)}{k-i}}} \right]}^{\frac{k-i}{j-i}}}}\text{d}u \right]}^{\frac{j-i}{k-i}}} \\ & \ge \frac{1}{n}\int_{{{S}^{n-1}}}{\varphi }\left( \frac{{{\rho }_{K}}(u)}{{{\rho }_{L}}(u)} \right){{\rho }_{K}}{{(u)}^{n-j}}\text{d}u \\ & ={{{\tilde{W}}}_{\varphi ,j}}(K,L), \\ \end{align}$

根据 Hölder不等式等号成立的条件,不等式 (1.20) 等号成立当且仅当对任意的 $u\in S^{n-1}$,

$\varphi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)\rho_{K} (u)^{n-i}/\varphi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n-k}$

是一常数,即 $\rho_{K}(u)$ 是一常数. 这表明不等式 (1.20) 等号成立当且仅当 $K$ 是标准单位球 $B$ 的一个膨胀,即 $K$ 是中心在原点的球.

定理 1.4 的证明需要下面的引理.

引理3.1 设$K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,令 $\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$.

(1) 若 $K$ 与 $L$ 互为膨胀,则对任意的 $\alpha,\beta>0$,$K$ 与 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$ 互为膨胀.

(2) 令 $\alpha,\beta>0$,若 $K$ 与 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$ 互为膨胀,则 $K$ 与 $L$ 互为膨胀.

证 (1) 设存在一个正实数 $\lambda>0$,使得 $L=\lambda K$. 令集合 ${\tilde{C}}=\{\rho_{K}|_{{\Bbb R}^{n}\setminus\{o\}}: K\in {\cal S}^{n}_{o}\}$. 根据调和 Orlicz 组合的定义 (1.8) 式易知函数 $\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)}(x)$ 是下面方程的唯一解

$\alpha\varphi_{1}\left(\frac{f(x)}{\rho_{K}(x)}\right) +\beta\varphi_{2}\left(\frac{f(x)}{\lambda\rho_{K}(x)}\right) =1, f(x)\in {\tilde{C}}.$

易证存在唯一的 $\delta>0$,使得

$\alpha\varphi_{1}\left(\delta\right) +\beta\varphi_{2}\left(\frac{\delta}{\lambda}\right) =1,$

这就意味着

$\alpha\varphi_{1}\left(\frac{\delta\rho_{K}(x)}{\rho_{K}(x)}\right) +\beta\varphi_{2}\left(\frac{\delta\rho_{K}(x)}{\lambda\rho_{K}(x)}\right) =1,$

因此,$\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)}(x)=\delta\rho_{K}(x)$,(1)得证.

(2) 设存在一个正实数 $\lambda>0$,使得 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)=\lambda K$. 则,对所有的 $x\in {\Bbb R}^{n}\setminus\{o\}$,有

$\alpha\varphi_{1}\left(\lambda\right)+\beta\varphi_{2}\left(\frac{\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)}(x)}{\rho_{L}(x)}\right)=1,$

这意味着

$\varphi_{2}\left(\frac{\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)}(x)}{\rho_{L}(u)}\right)$

是一常数对所有的 $x\in {\Bbb R}^{n}\setminus\{o\}$. 再结合函数 $\varphi$ 的单调性知 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$ 与 $L$ 互为膨胀. 因此,$K$ 与 $L$ 互为膨胀. 引理证毕.

定理 1.4 的证明 $''\Rightarrow''$: 由 (2.9) 式和对偶 Orlicz-Minkowski 不等式 (1.13),得

${\tilde{W}}_{i}({\tilde{K}}) =\alpha{\tilde{W}}_{\varphi_{1},i}({\tilde{K}},K)+ \beta{\tilde{W}}_{\varphi_{2},i}({\tilde{K}},L)\\ geq {\tilde{W}}_{i}({\tilde{K}})\left[\alpha\varphi_{1}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i} ({\tilde{K}})}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right)+ \beta \varphi_{2}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}({\tilde{K}})} {{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right)\right].$

(3.1)

由对偶 Orlicz-Minkowski 不等式等号成立的条件和引理 3.1,可以得到 (3.1) 式等号成立的条件.

$''{\Leftarrow }''$: 令 $K_{\varepsilon}=\hat{+}_{\varphi}(K,L,1,\varepsilon)$,则

${\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})-{\tilde{W}}_{i}(K)= \left({\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})^{\frac{1}{n-i}}-{\tilde{W}}_{i}(K)^{\frac{1}{n-i}}\right) \sum \limits_{j=0}^{n-i}{\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})^{\frac{j}{n-i}} {\tilde{W}}_{i}(K)^{\frac{n-i-1-j}{n-i}}.$

(3.2)

假设 $g:[0,+\infty)$ 是一凸函数,且 $x>y>0$,则

$g'_{l}(x)(x-y)\leq g(x)-g(y)\leq g'_{l}(y)(x-y).$

(3.3)

由 (1.14),(3.2) 和 (3.3)式,我们得到

${\tilde{W}}_{\varphi_{2},i}(K,L) =-\frac{(\varphi_{1})'_{l}(1)}{n-i}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\frac{{\tilde{W}}_{i}(K\hat{+}_{\varphi,\varepsilon}L)-{\tilde{W}}_{i}(K)}{\varepsilon},\\ =-(\varphi_{1})'_{l}(1){\tilde{W}}_{i}(K)^{\frac{n-i-1}{n-i}}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^{+}} \frac{{\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})^{\frac{1}{n-i}}-{\tilde{W}}_{i}(K)^{\frac{1}{n-i}}}{\varepsilon}\\ =(\varphi_{1})'_{l}(1){\tilde{W}}_{i}(K)\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^{+}}\frac{1}{\varepsilon} \left(1-\frac{{\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})^{\frac{1}{n-i}}}{{\tilde{W}}_{i}(K)^{\frac{1}{n-i}}}\right)\\ \geq{\tilde{W}}_{i}(K)\liminf\limits_{\varepsilon\rightarrow0^{+}}\frac{1}{\varepsilon} \left[1-\varphi_{1}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})} {{\tilde{W}}_{i}(K)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right)\right]\\ \geq{\tilde{W}}_{i}(K)\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^{+}} \varphi_{2}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(K_{\varepsilon})} {{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right)\\ ={\tilde{W}}_{i}(K)\varphi_{2}\left(\left(\frac{{\tilde{W}}_{i}(K)} {{\tilde{W}}_{i}(L)}\right)^{\frac{1}{n-i}}\right).$

(3.4)

如果 $\varphi$ 是严格凸的,则两个不等式的等号同时成立的条件是 $K$ 与 $L$互为膨胀.

当 $i=0$ 时

推论3.1 如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$. 则

$\frac{{\tilde{V}}_{\varphi}(K,L)}{{\tilde{V}}(K)}\geq \varphi_{j}\left(\left(\frac{{\tilde{V}}(K)}{{\tilde{V}}(L)}\right)^{\frac{1}{n}}\right)\\ \Leftrightarrow 1\geq \alpha \varphi_{1}\left(\left(\frac{{\tilde{V}}({\tilde{K}})}{{\tilde{V}}(K)}\right)^{\frac{1}{n}}\right) +\beta \varphi_{2}\left(\left(\frac{{\tilde{V}}({\tilde{K}})}{{\tilde{V}}(L)}\right)^{\frac{1}{n}}\right),$

(3.5)

其中 ${\tilde{K}}=\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$. 如果 $\varphi$ 是严格凸的,则两个不等式的等号同时成立的条件是 $K$ 与 $L$ 互为膨胀.

当 $\varphi_{1}(t)=\varphi_{2}(t)=t^{p},p>1$ 时,可以得到

推论3.2 如果 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n},p>1$ 且 $i=0,1,\cdots,n-1,$ 则

$\begin{align} & \frac{{{{\tilde{W}}}_{-p,i}}(K,L)}{{{{\tilde{W}}}_{i}}(K)}\ge {{\left( \frac{{{{\tilde{W}}}_{i}}(K)}{{{{\tilde{W}}}_{i}}(L)} \right)}^{\frac{p}{n-i}}} \\ & \Leftrightarrow \ge \alpha {{\left( \frac{{{{\tilde{W}}}_{i}}(\alpha \cdot K{{{\tilde{+}}}_{-p}}\beta \cdot L)}{{{{\tilde{W}}}_{i}}(K)} \right)}^{\frac{p}{n-i}}}+\beta {{\left( \frac{{{{\tilde{W}}}_{i}}(\alpha \cdot K{{{\tilde{+}}}_{-p}}\beta \cdot L)}{{{{\tilde{W}}}_{i}}(L)} \right)}^{\frac{p}{n-i}}}, \\ \end{align}$

(3.6)

等号成立的条件当且仅当 $K$ 与 $L$互为膨胀.

Orlicz 对偶混合均质积分的连续性.

定理3.1 设 $K_{j},L_{j},K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$\varphi\in \Phi$,且 $j\in {\Bbb N},i=0,1,\cdots,n-1$.

(1) 若 $K_{j}\rightarrow K$,则 ${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K_{j},L)\rightarrow {\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)$;

(2) 若 $L_{j}\rightarrow L$,则 ${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L_{j})\rightarrow {\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)$;

(3) 令 $\varphi_{j},\varphi \in \Phi$. 若 $\varphi_{j}\rightarrow \varphi$,则 ${\tilde{W}}_{\varphi_{j},i}(K,L)\rightarrow {\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)$.

证 因为序列

$\varphi(\frac{\rho_{K_{j}(u)}}{\rho_{L}(u)})\rho_{K_{j}}(u)^{n-i}\rightarrow\varphi(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)})\rho_{K}(u)^{n-i} $

和

$ \varphi(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L_{j}}(u)})\rho_{K}(u)^{n-i}\rightarrow\varphi(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)})\rho_{K}(u)^{n-i} $

在 $S^{n-1}$ 上一致收敛,则 (1) 和 (2) 就得到了.

令

$r_{m}=\min\limits_{u\in S^{n-1}} \frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}, r_{M}=\max\limits_{u\in S^{n-1}} \frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}. $

注意 $\varphi_{j}\rightarrow \varphi$ 意味着 $\varphi_{j}\mid_{[r_{m},r_{M}]}\rightarrow \varphi\mid_{[r_{m},r_{M}]}$ 一致收敛. 则 $\varphi_{j}(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)})\rightarrow \varphi(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)})$ 在 $S^{n-1}$ 上一致收敛,这就证明了 (3).

定理3.2 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$i=0,1,\cdots,n-1$,且 $\varphi,\psi \in \Phi$. 令 $H(t)=(\varphi \circ \psi^{-1})(t)$. 如果 $H(t)$ 是凹函数,则

$\varphi^{-1}\left(\frac{{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right) \leq \psi^{-1}\left(\frac{{\tilde{W}}_{\psi,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right),$

(3.7)

如果 $H(t)$ 是严格凹函数,等号成立当且仅当 $K$ 与 $L$ 互为膨胀.

如果 $H(t)$ 是凸函数,则不等式 (3.7) 是逆向的.

证 令 $\psi^{-1}(t)$ 表示为函数 $\psi(t)$ 的反函数,函数 $H(t)=(\varphi\circ \psi^{-1})(t)$ 表示为函数 $\varphi(t)$ 和 $\psi^{-1}(t)$ 的复合. 因为 $K$ 是 ${\Bbb R}^{n}$ 中的包含原点的星体,所以 ${\tilde{W}}_{i}(K)> 0$. 这样,测度

$\frac{\rho_{K}(u)^{n-i}}{n{\tilde{W}}_{i}(K)}{\rm d}S(u)$

在 $S^{n-1}$ 上是一概率测度. 根据函数 $H(t)$ 的凸性,结合 Jensen 不等式,我们有

$\frac{{\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)} =\frac{1}{n{\tilde{W}}_{i}(K)}\int_{S^{n-1}}\varphi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\\ =\frac{1}{n{\tilde{W}}_{i}(K)}\int_{S^{n-1}}H\left(\psi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)\right)\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\\ \geq H\left(\frac{1}{n{\tilde{W}}_{i}(K)}\int_{S^{n-1}}\psi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)\rho_{K}(u)^{n-i}{\rm d}S(u)\right)\\ =H\left(\frac{{\tilde{W}}_{\psi,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right),$

注意 $K,L\in {\cal S}_o^n$ 具有正的连续的径向函数. 因此,如果函数 $H(t)$ 是严格的凸函数,上面不等式等号成立的条件是当且仅当存在一常数 $\lambda> 0$,使得

$\psi\left(\frac{\rho_{K}(u)}{\rho_{L}(u)}\right)=\psi(\lambda)\Rightarrow \rho_{K}(u)=\lambda\rho_{L}(u), \forall u\in S^{n-1}.$

这也就是说凸体 $K$ 与 $L$ 互为膨胀.

当 $\varphi(t)=t^{p},\psi(t)=t^{q}$,并且 $1\leq p ＜q$ 时,不等式 (3.7) 为

$\left[\frac{{\tilde{W}}_{-p,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right]^{\frac{1}{p}} \leq \left[\frac{{\tilde{W}}_{-q,i}(K,L)}{{\tilde{W}}_{i}(K)}\right]^{\frac{1}{q}}.$

(3.8)

这就是文献 ^[15] 中的定理 1.3.

定理 1.5 的证明需要下面的一些引理和定理.

引理3.2 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$i=1,\cdots,n-1$,且 $\varphi\in \Phi$. 则对任意的 $\xi \in G(n,i)$ 和 $\alpha,\beta>0$,有

$\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)\cap \xi=\hat{+}_{\varphi}(K\cap \xi,L\cap \xi ,\alpha,\beta).$

证 令 $\xi \in G(n,i)$ 是任意的,但是固定. 令

$S^{i-1}=S^{n-1}\cap\xi.$

对任意的 $u\in S^{i-1}$ 和 $K\in {\cal S}_o^n$,有

$\rho_{K}(u)=\rho_{K\cap\ \xi}(u).$

根据径向 Orlicz 组合 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)$ 的定义,我们得到

$\alpha\varphi_{1}\left(\frac{\rho_{K\cap\ \xi}(u)}{\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)\cap\ \xi}(u)}\right)+ \beta\varphi_{2}\left(\frac{\rho_{L\cap\ \xi}(u)}{\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)\cap\ \xi}(u)}\right)=1.$

另一方面,由 $\hat{+}(K\cap \xi,L\cap \xi,\alpha,\beta)$ 在子空间 $\xi$ 中的定义,有

$\alpha\varphi_{1}\left(\frac{\rho_{K\cap\ \xi}(u)} {\rho_{\hat{+}_{\varphi} (K\cap\ \xi,L\cap\ \xi,\alpha,\beta)}(u)}\right)+ \beta\varphi_{2}\left(\frac{\rho_{L\cap\ \xi}(u)}{\rho_{\hat{+}_{\varphi} (K\cap\ \xi,L\cap\ \xi,\alpha,\beta)}(u)}\right)=1.$

因此,$\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)\cap\ \xi}(u) =\rho_{\hat{+}_{\varphi}(K\cap\ \xi,L\cap\ \xi,\alpha,\beta)}(u)$,即 星体 $\hat{+}_{\varphi}(K,L,\alpha,\beta)\cap\ \xi$ 和 $\hat{+}_{\varphi}(K\cap\ \xi,L\cap\ \xi,\alpha,\beta)$ 是 $\xi$ 中的同一个星体.

定理3.3 设 $K,L\in{\cal S}_{o}^{n}$,$i=1,\cdots,n-1$,且 $\varphi\in \Phi$. 则

${\tilde{W}}_{\varphi,i}(K,L)=-\frac{\omega_{n}}{\omega_{n-i}} \int_{\xi\in G(n,n-i)}V^{n-i}_{\varphi}(K\cap\xi,L\cap\xi){\rm d}\xi,$

(3.9)

其中 $V^{n-i}_{\varphi}(K\cap\xi,L\cap\xi)$ 表示为 Orlicz 在子空间 $\xi$ 中的 $(n-i)$ 维星体 $K\cap \xi$ 和 $L\cap \xi$ 的 Orlicz 对偶混合体积^{[3, 5]}.

证 令 $\varphi(x_{1},x_{2})=\alpha\varphi_{1}(x_{1})+\beta\varphi_{2}(x_{2}),\varphi_{j}\in\Phi,x_{j}\in{\Bbb R},j=1,2$. 由 Orlicz 对偶混合均质积分的定义 (1.9) 式 和引理 3.2,有

${\tilde{W}}_{\varphi_2,i}(K,L)=-\frac{(\varphi_1)'_{l}(1)}{n-i} \frac{\omega_{n}}{\omega_{n-i}}\left.\frac{\rm d}{{\rm d}\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0^{+}} \left[\int_{\xi\in G(n,n-i)}V_{n-i} (\hat{+}_{\varphi}(K\cap \xi,L\cap \xi,1,\varepsilon)){\rm d}\xi\right].$

(3.10)

由文献 [11,定理 3.2],上面的积分表达式关于 $\varepsilon$ 是光滑的,再结合文献 [3,定理 8.5],有

${\tilde{W}}_{\varphi_2,i}(K,L) =-\frac{(\varphi_1)'_{l}(1)}{n-i} \frac{\omega_{n}}{\omega_{n-i}} \int_{\xi\in G(n,n-i)}\left. \frac{\rm d}{{\rm d}\varepsilon}\right|_{\varepsilon=0^{+}}V_{n-i} (\hat{+}_{\varphi}(K\cap \xi,L\cap \xi ,1,\varepsilon)){\rm d}\xi\\ =-\frac{(\varphi_1)'_{l}(1)}{n-i}\frac{\omega_{n}}{\omega_{n-i}} \int_{\xi\in G(n,n-i)} \frac{n-i}{(\varphi_1)'_{l}(1)} V^{n-i}_{\varphi_2} (K\cap\xi,L\cap\xi){\rm d}\xi\\ =-\frac{\omega_{n}}{\omega_{n-i}} \int_{\xi\in G(n,n-i)}V^{n-i}_{\varphi_2} (K\cap\xi,L\cap\xi){\rm d}\xi.$

证毕.

在定理 3.3 中,令 $\varphi(t)=t^{p},p \geq 1$,我们得到

$ {\tilde{W}}_{-p,i}(K,L)=-\frac{\omega_{n}}{\omega_{n-i}} \int_{\xi\in G(n,n-i)}V^{n-i}_{p}(K\cap\xi,L\cap\xi){\rm d}\xi, i=1,\cdots,n-1. $

关于星体 $K\in {\cal S}_{o}^{n}$ 的对偶 Cauchy-Kubota 公式

${\tilde{W}}_{n-q}(K)=\frac{\omega_{n}}{\omega_{k}} \int_{\xi\in G(n,k)}{\tilde{W}}_{k-q}(K\cap\xi){\rm d}\xi,$

(3.11)

其中 $q$ 是任意的实数,$k=1,\cdots,n-1$.

对 (3.11) 式,用在定理 3.3 中相似的讨论,我们得到下面的定理.

定理3.4 令$K,L\in {\cal S}_o^n,\varphi \in \Phi$. 则对于 $k=1,\cdots,n-1$ 和任意的实数 $q$,有

${\tilde{W}}_{\varphi,n-q}(K,L)=\frac{\omega_{n}} {\omega_{k}}\int_{\xi\in G(n,k)} {\tilde{W}}_{\varphi,k-q}^{k}(K\cap \xi,L\cap \xi){\rm d}\xi,$

(3.12)

其中 ${\tilde{W}}_{\varphi,k-q}^{k}(K\cap \xi,L\cap \xi)$ 是在子空间 $\xi$ 上的 $k$ 维星体 $K\cap \xi$ 和 $L\cap \xi$ 的 Orlicz 对偶混合均质积分.

在定理 3.4 中,令 $(k,q)\rightarrow(n-j,n-i)$,我们得到定理 1.5.