框架的概念是由Duffin和Schaeffer^[1]在1952年研究非调和Fourier分析时引入Hilbert空间的, 然而当时学者们并没有给以足够的重视. 直到1986年,Daubechies等人^[2]发现使用框架可以将$L^2(\mathbb{R})$中的函数展开成 类似于在标准正交基下展开的级数后,学者们才开始关注框架的研究. 多年来,学者们对小波理论方面的研究主要集中于两大类函数系: Gabor系和小波(仿射)系. 其中,Gabor系是由$L^2(\mathbb{R}^d)$中有限个函数通过调制和平移两种运算生成的; 而小波系则是由$L^2(\mathbb{R}^d)$中有限个函数通过伸缩和平移两种运算生成的. 目前,针对Gabor系和小波系的研究已经有了丰富的成果^[3-6]. 在实际应用中,这两类函数系各有所长短. 如Gabor系比较适用于对平稳信号的处理,而小波系则更适用于对突变信号的处理. 因此,国内外学者们希望能够找到一类新的函数系 来统一Gabor系和小波系, 其做法通常是将$L^2(\mathbb{R}^d)$中有限个函数通过伸缩、调制和平移三种运算生成,并 称该函数系为波包系. 目前关于该类函数系的研究结果还非常少, 因此丰富和发展波包理论体系就成为一件非常有意义的工作.

1978年,Córdoba和 Fefferman^[7]首次提出了波包系的概念, 并给出了Fourier积分算子把波包映射为波包这一基本原理. 由于该类函数系是 由高斯函数通过伸缩、调制和平移三种运算生成, 故而也称为高斯波包系. 2003年,Labate等人^[8]改进了高斯波包系中的高斯函数, 并给出了更广泛意义下波包系连续和离散形式的概念,统称为波包系. 接下来, Hernández,Labate,Weiss和 Christensen等人^[9-10]刻画了$L^2(\mathbb{R}^d)$上波包 系的一些框架性质. 2006年, Czaja等人^[11]证明了波包系的参数集合需要满足的几何条件. 在应用方面, 波包系也有了一些突破,如 Candès 和 Demanet^[12] 利用波包系构造出了曲波, Guo和 Labate^[13]利用波包系构造出了剪切波, Lacey和 Thiele^[14]使用高斯波包系有效地解决了双线性Hilbert变换的有界性问题.

由于Sobolev空间是一类特殊而又重要的Hilbert空间,因此本文将在该函 数空间中讨论波包系的框架性质. 在理论和应用方面, Sobolev空间中Gabor系和 小波系已经有了丰富的结果: 如2000年, 李登峰等人^[15]对Sobolev空间中多尺度分析的性质进行了研究; 2009年,Han和 Shen^[16]给出了Sobolev空间中对偶小波框架的构造方案, 通过该方案可以把Sobolev空间中的函数展成对偶小波框架级数, 从而可以使用此类对偶小波框架去刻画Sobolev空间中的函数; 2011年, 鲁大勇和李登峰^[17]对$H^s(\mathbb{R})$空间中更一般的标准正交小波族进行了刻画. 因为Gabor系和小波系都是波包系的特例, 所以对Sobolev空间中波包系的研究就显得非常有意义.

通过简单的计算可知,波包系是广义平移函数系的一种特殊形式. 2002年, Labate等人^[18]给出了研究广义平移函数系的主要技巧, 使得对波包系的研究成为可能. 同年, Hernández等人^[19]对广义平移函数系做了更深入的研究. 本文将利用前者的技巧,通过研究Sobolev空间中广义平移函数系的框架性质, 得到波包系的相关结果.

本节将给出后面使用到的一些符号和定义.

文中$d$是一个给定的正整数,$\mathbb{R} $表示实数集合,$\mathbb{Z} $表示整数集合. 设$s\in \mathbb{R}$. 缓增分布函数$f\in H^s(\mathbb{R}^d)$ 当且仅当

$$ \|f\|^2_s:=\int_{\mathbb{R}^d}|\hat{f}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s{\rm d}\xi＜\infty, $$

(2.1)

其中$\|\cdot\|_s$表示$H^s(\mathbb{R}^d)$上的范数. 定义$\mathbb{R}^d$上可积函数$f$的Fourier变换为

$\hat{f}(\xi )=\int_{{{\mathbb{R}}^{d}}}{f}(x){{\text{e}}^{-2\pi \text{i}x\cdot \xi }}\text{d}x,\quad \xi \in {{\mathbb{R}}^{d}},$

(2.2)

其中$x\cdot\xi$表示$\mathbb{R}^d$上向量$x$和$\xi$的内积. $H^s(\mathbb{R}^d)$上的内积定义为

${{\langle f,g\rangle }_{s}}:=\int_{{{\mathbb{R}}^{d}}}{{\hat{f}}}(\xi )\overline{\hat{g}(\xi )}{{(1+|\xi {{|}^{2}})}^{s}}\text{d}\xi ,\quad f,g\in {{H}^{s}}({{\mathbb{R}}^{d}}).$

(2.3)

任取$x,y\in\mathbb{R}^d$和实$d\times d$矩阵$C$,作用于$f\in H^s(\mathbb{R}^d)$的平移算子$T_y$定义为$(T_yf)(x)=f(x-y)$; 调制算子$E_y$定义为$(E_yf)(x)={\rm e}^{2\pi{\rm i}y\cdot x}f(x)$; 伸缩算子$D_C$定义为$(D_Cf)(x)=|\det C|^{1/2}f(Cx)$.

设$\mathbb{Z}$为一个可分的Hilbert空间,$J$为一个可数指标集,$\{f_j\}_{j\in J}$为$\mathbb{Z}$中的一个点列. 如果存在常数$B>0$,使得对$\forall f\in \mathbb{Z}$,有

$\sum\limits_{j\in J}{|}\langle f,{{f}_{j}}\rangle {{|}^{2}}\le B\|f{{\|}^{2}},$

(2.4)

其中$\|\cdot\|:=\langle\cdot,\cdot\rangle^{1/2}$为$\mathbb{Z}$中的范数,那么称$\{f_j\}_{j \in J}$为$\mathbb{Z}$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在常数$A>0$,使得对$\forall f\in \mathbb{Z}$,有

$A\|f{{\|}^{2}}\le \sum\limits_{j\in J}{|}\langle f,{{f}_{j}}\rangle {{|}^{2}},$

(2.5)

那么称$\{f_j\}_{j\in J}$为$\mathbb{Z}$的一个界为$A$和$B$的框架. 如果$A=B=1$,那么称该框架为规范紧框架.

定义2.1 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵$C\in GL_d(\mathbb{R})$. 则称函数系

$$ \{T_{C^jk}g_j: j\in J,k\in \mathbb{Z}^d\} $$

(2.6)

为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(\{g_j\}_{j\in J},C)$相关的广义平移不变系.

定义2.1 设矩阵$A,F\in GL_d(\mathbb{R})$,$C$为一个非零实$d\times d$矩阵. 如果$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,那么称函数系

$$ \{D_{A^j}T_{Fk}E_{Cm}g: j\in \mathbb{Z},k,m\in \mathbb{Z}^d\} $$

(2.7)

为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(g;A,F,C)$相关的波包系.

推广定义2.1和2.2可得如下两个定义:

定义2.3 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵集合$\{C_j\}_{j\in J}\subset GL_d(\mathbb{R})$. 则称函数系

$$ \{T_{C_jk}g_j: j\in J,k\in \mathbb{Z}^d\} $$

(2.8)

为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(\{g_j\}_{j\in J},\{C_j\}_{j\in J})$相关的广义平移不变系.

定义2.4 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in\mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$. 如果$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,那么称函数系

$$ \{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g: j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d\} $$

(2.9)

为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(g;\{A_j\}_{j\in\mathbb{Z}},F,\{c_m\}_{m\in\mathbb{Z}})$相关的波包系.

在(2.9)式中,改变伸缩、平移和调制算子的顺序可以得到其它五种形式的波包系,读者可参见文献^[8].

如果记$C^\ast$为矩阵$C$的转置矩阵,那么容易计算$D_CE_y=E_{C^\ast y}D_C,D_CT_y=T_{C^{-1}y}D_C.$ 进一步,又如果$C$是可逆矩阵,为方便起见记$C^\sharp=(C^\ast)^{-1}$,那么易知

$$ D_{A^j}T_{Fk}E_{Cm}g=T_{A^{-j}Fk}D_{A^j}E_{Cm}g,\quad D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g=T_{A_j^{-1}Fk}D_{A_j}E_{c_m}g. $$

(2.10)

本节将给出(2.6)--(2.9)式中函数系成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个框架的充分条件.

定理3.1 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵集合$\{C_j\}_{j\in J}\subset GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在

$$ B:=\sup\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\sum_{j\in J}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\frac{1}{|\det C_j|}\left|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C_j^\sharp k)(1+|\xi-C_j^\sharp k|^2)^s\right|＜\infty, $$

那么广义平移不变系$\{T_{C_jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在

$\begin{eqnarray*} & A:=\inf\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\Bigg( & \sum_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}|\widehat{g_j}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s\\ & & -\sum_{j\in J}\sum_{0\neq k\in\mathbb{Z}^d}\frac{1}{|\det C_j|}\Big|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C_j^\sharp k)(1+|\xi-C_j^\sharp k|^2)^s\Big|\Bigg)>0, \end{eqnarray*}$

那么$\{T_{C_jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.

为了证明定理3.1,需要如下结果:

引理3.2 设矩阵$A\in GL_d(\mathbb{R})$,$y,z\in \mathbb{R}^d$,$f\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 则以下几条成立

(1) $(T_yf)^{\hat{}}=E_{-y}\hat{f},\quad (E_zf)^{\hat{}}= T_{z}\hat{f},\quad (D_Af)^{\hat{}}=D_{A^\sharp} \hat{f}$;

(2) $T_yE_zf={\rm e}^{-2\pi{\rm i}z\cdot y}E_zT_yf$;

(3) $(T_yE_zf)^{\hat{}}={\rm e}^{-2\pi{\rm i}z\cdot y}T_zE_{-y}\hat{f}$;

(4) $(D_AT_yf)^{\hat{}}(\xi)=E_{-A^{-1}y}D_{A^\sharp}\hat{f}(\xi)=|\det A|^{-\frac{1}{2}}\hat{f}(A^\sharp\xi){\rm e}^{-2\pi{\rm i}(A^{-1}y)\cdot \xi}$;

(5) $(D_AT_yE_zf)^{\hat{}}=D_{A^\sharp}E_{-y}T_z\hat{f}$.

对任意的$f\in L^\infty(\mathbb{R}^d)$,$\|f\|_\infty$表示$\mathbb{R}^d$上$f$的无穷范数. 定义Schwartz函数类$S(\mathbb{R}^d)$如下

$\begin{equation} S(\mathbb{R}^d)=\{f\in C^\infty(\mathbb{R}^d):\|(1+|\cdot|)^lf^{(k)}(\cdot)\|_\infty＜\infty, \ \mbox{对任意整数 }\ k,l>0\}. \end{equation}$

(3.1)

引理3.3 ^[17] 设$D=\{f\in S(\mathbb{R}^d): \hat{f} $紧支且 $\mbox{supp}(\hat{f})\subset\mathbb{R}^d\setminus\{0\}\}$,则$D$ 在$H^s(\mathbb{R}^d)$ 中稠密.

引理3.4 ^[20] 设$\{e_j:j=1,2,\cdots\}$为Hilbert空间$\mathbb{Z}$的一个点列, $D$是$\mathbb{Z}$的一个稠密子集. 如果存在常数$0＜A\leq B＜\infty$,使得对任意的$f\in D$,有

$\begin{equation} A\|f\|^2\leq\sum\limits_{j=1}^{+\infty}|\langle f,e_j\rangle|^2\leq B\|f\|^2, \end{equation}$

(3.2)

那么$\{e_j:j=1,2,\cdots\}$为$\mathbb{Z}$的一个界为$A$和$B$的框架.

证 由引理3.3和3.4可知,只需证明

$$ A\|f\|^2_s\leq\sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}|\langle f,T_{C_jk} g_j\rangle_s|^2\leq B\|f\|^2_s $$

对任意的$f\in D$成立即可.由引理3.2(1)可知

$$ (T_{C_jk}g_j)^{\hat{}}(\xi)=E_{-C_jk}\widehat{g_j}(\xi)={\rm e}^{-2\pi{\rm i}(C_jk)\cdot \xi}\widehat{g_j}(\xi). $$

设$T^d=[0,1)^d$. 利用$\mathbb{R}^d=\bigcup\limits_{l\in\mathbb{Z}^d}\{C^\sharp(T^d-l)\}$可得

$\begin{eqnarray*} I: & = & \sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}|\langle f,T_{C_jk}g_j\rangle_s|^2\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}\left|\int_{\mathbb{R}^d}\hat f(\xi)\overline{\widehat{g_j}(\xi)}(1+|\xi|^2)^s{\rm e}^{2\pi{\rm i}(C_jk)\cdot \xi}{\rm d}\xi\right|^2\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}\left|\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}^d}\int_{C^\sharp_j(T^d-l)}\hat f(\xi)\overline{\widehat{g_j}(\xi)}(1+|\xi|^2)^s{\rm e}^{2\pi{\rm i}(C_jk)\cdot \xi}{\rm d}\xi\right|^2\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}\left|\int_{C^\sharp_jT^d}\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi-C^\sharp_jl)\overline{\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jl)}(1+|\xi-C^\sharp_jl|^2)^s{\rm e}^{2\pi{\rm i}(C_jk)\cdot \xi}{\rm d}\xi\right|^2. \end{eqnarray*}$

由于$\{\sqrt[]{|\det C_j|}{\rm e}^{2\pi{\rm i}(C_jk)\cdot \xi}: k\in\mathbb{Z}^d\}$为$L^2(C^\sharp_jT^d)$的标准正交基, 再利用$u=l+k$可得

$\begin{eqnarray*} I & = & \sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{C^\sharp_jT^d}\left|\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi-C^\sharp_jl)\overline{\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jl)}(1+|\xi-C^\sharp_jl|^2)^s\right|^2{\rm d}\xi\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{C^\sharp_jT^d}\sum\limits_{l,u\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi-C^\sharp_jl)\overline{\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jl)}(1+|\xi-C^\sharp_jl|^2)^s\overline{\hat f(\xi-C^\sharp_ju)}\\ & & \times\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_ju)(1+|\xi-C^\sharp_ju|^2)^s{\rm d}\xi\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{C^\sharp_jT^d}\sum\limits_{l,k\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi-C^\sharp_jl)\overline{\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jl)}(1+|\xi-C^\sharp_jl|^2)^s\overline{\hat f(\xi-C^\sharp_jl-C^\sharp_jk)}\\ & & \times\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jl-C^\sharp_jk)(1+|\xi-C^\sharp_jl-C^\sharp_jk|^2)^s{\rm d}\xi\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}\sum\limits_{l\in \mathbb{Z}^d}\int_{C^\sharp_j(T^d-l)}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi)\overline{\widehat{g_j}(\xi)}(1+|\xi|^2)^s\\ & & \times\overline{\hat f(\xi-C^\sharp_jk)}\widehat{g_j} (\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s{\rm d}\xi\\ & = & \sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{\mathbb{R}^d}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi)\overline{\widehat{g_j}(\xi)}(1+|\xi|^2)^s\overline{\hat f(\xi-C^\sharp_jk)}\widehat{g_j} (\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s{\rm d}\xi\\ : & = & I_1+I_2, \end{eqnarray*}$

其中

$\begin{equation} I_1=\int_{\mathbb{R}^d}|\hat f(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s\left[\sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}|\widehat{g_j}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s\right]{\rm d}\xi, \end{equation}$

(3.3)

$\begin{equation} I_2=\sum\limits_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{\mathbb{R}^d}\sum\limits_{0\neq k\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi)\overline{\widehat{g_j}(\xi)}(1+|\xi|^2)^s\overline{\hat f(\xi-C^\sharp_jk)}\widehat{g_j} (\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s{\rm d}\xi. \end{equation}$

(3.4)

由Cauchy-Schwarz不等式及$2|ab|\leq a^2+b^2$可得

$\begin{eqnarray} I_2 & \leq & \displaystyle\sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{0\neq k\in \mathbb{Z}^d}\frac{1}{|\det C_j|}\left(\int_{\mathbb{R}^d}|\hat f(\xi)|^2\cdot|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi|^2)^s(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s |{\rm d}\xi\right)^{\frac{1}{2}}\\ & & \times\left(\displaystyle\int_{\mathbb{R}^d}|\hat f(\xi-C^\sharp_jk)|^2\cdot|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi|^2)^s(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s |{\rm d}\xi\right)^{\frac{1}{2}}\\ & \leq & \displaystyle\sum\limits_{j\in J}\sum\limits_{0\neq k\in \mathbb{Z}^d}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{\mathbb{R}^d}|\hat f(\xi)|^2\cdot|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi|^2)^s(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s |{\rm d}\xi. \end{eqnarray}$

(3.5)

由(3.3)和(3.5)式可知结论成立.

推论3.5 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 如果存在

$$ B:=\frac{1}{|\det F|}\sup\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\sum_{j,m\in \mathbb{Z}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\left|\overline{\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m)}\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m-F^\sharp k)(1+|\xi-A_j^\ast F^\sharp k|^2)^s\right|＜\infty, $$

那么波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在

$\begin{eqnarray*} A & := & \frac{1}{|\det F|}\inf\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\Bigg(\sum\limits_{j,m\in \mathbb{Z}}|\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m)|^2(1+|\xi|^2)^s\\ & & -\sum\limits_{0\neq k\in\mathbb{Z}^d}\sum\limits_{j,m\in \mathbb{Z}}\left|\overline{\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m)}\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m-F^\sharp k)(1+|\xi-A_j^\ast F^\sharp k|^2)^s\right|\Bigg)>0, \end{eqnarray*}$

那么$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.

证 如果记

$$ C_jk=A_j^{-1}Fk,\quad g_j=D_{A_j}E_{c_m}g, $$

那么

$$ \widehat{g_j}(\xi)=D_{A_j^\sharp}T_{c_m}\hat{g}(\xi)=|\det A_j|^{-\frac{1}{2}}\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m). $$

结合(2.10)式,并应用定理3.1于波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$,即知结论成立.

在实际应用中,我们常取$C_j=C^j$,即由某一个矩阵的幂生成,从而有如下结论:

推论3.6 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵$C\in GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在

$$ B:=\sup\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\sum_{j\in J}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\frac{1}{|\det C|^j}\Big|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C^{\sharp j}k)(1+|\xi-C^{\sharp j}k|^2)^s\Big|＜\infty, $$

那么广义平移不变系$\{T_{C^jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在

$\begin{eqnarray*} & A:=\inf\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\Bigg( & \sum_{j\in J}\frac{1}{|\det C|^j}|\widehat{g_j}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s\\ & & -\sum_{j\in J}\sum_{0\neq k\in\mathbb{Z}^d}\frac{1}{|\det C|^j}\Big|\overline{\widehat{g_j}(\xi)}\widehat{g_j}(\xi-C^{\sharp j}k)(1+|\xi-C^{\sharp j}k|^2)^s\Big|\Bigg)>0, \end{eqnarray*}$

那么$\{T_{C^jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.

推论3.7 设矩阵$A,F\in GL_d(\mathbb{R})$,$C$为一个非零实$d\times d$矩阵,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 如果存在

$$ B:=\frac{1}{|\det F|}\sup\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\sum_{j,m\in \mathbb{Z}}\sum_{k\in\mathbb{Z}^d}\Big|\overline{\hat g(A^{\sharp j}\xi-Cm)}\hat g(A^{\sharp j}\xi-Cm-F^\sharp k)(1+|\xi-A^{\ast j}F^\sharp k|^2)^s\Big|＜\infty, $$

那么波包系$\{D_{A^j}T_{Fk}E_{Cm}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在

$\begin{eqnarray*} A & := & \frac{1}{|\det F|}\inf\limits_{\xi\in\mathbb{R}^d}\Bigg(\sum\limits_{j,m\in \mathbb{Z}}|\hat g(A^{\sharp j}\xi-Cm)|^2(1+|\xi|^2)^s\\ & & -\sum\limits_{0\neq k\in\mathbb{Z}^d}\sum\limits_{j,m\in \mathbb{Z}}\Big|\overline{\hat g(A^{\sharp j}\xi-Cm)}\hat g(A^{\sharp j}\xi-Cm-F^\sharp k)(1+|\xi-A^{\ast j}F^\sharp k|^2)^s\Big|\Bigg)>0, \end{eqnarray*}$

那么$\{D_{A^j}T_{Fk}E_{Cm}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.

设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 下面一个结果将阐明: 如果存在一个开球$U\subset\mathbb{R}^d$,使得对给定的$\varepsilon_0>0$,有

$$ |\hat{g}(\xi)|^2(1+|A_j^\ast(\xi+c_m)|^2)^s>\varepsilon_0,\quad \xi\in U, $$

(3.6)

那么由$g$生成的波包系不能成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个框架.

定理3.8 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$ 满足

$$ \bigcup\limits_{m\in\mathbb{Z}}(c_m+B(r,0))=\mathbb{R}^d, $$

(3.7)

其中,$B(r,0)=\{x\in\mathbb{R}^d: \|x-0\|＜r,r＞0\}$. 如果存在常数$C>0$和无限集合$I\subseteq\mathbb{Z}$,使得

$$ \|A_j\|\leq C,\quad j\in I, $$

(3.8)

那么不存在满足(3.6)式的$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,使得由其生成的波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$ 成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个Bessel点列.

为了证明定理3.8,需要如下几个结果:

引理3.9 ^[10] 设$\mathbb{Z}$为一个可分的Hilbert空间. 如果$\mathbb{Z}$中点列$\{f_k\}_{k=1}^\infty$满足$f_k\longrightarrow\varphi$,其中$\varphi\neq0$, 那么$\{f_k\}_{k=1}^\infty$不能生成$\mathbb{Z}$的Bessel点列.

引理3.10 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵集合$\{C_j\}_{j\in J}\subset GL_d(\mathbb{R})$. 如果广义平移不变系$\{T_{C_jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$是$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列,那么

$$ (1+|\xi|^2)^s\sum_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}|\widehat{g_j}(\xi)|^2\leq B,\quad {\rm a.e.} \quad \xi\in\mathbb{R}^d. $$

(3.9)

证 在该引理的实际应用中,$J$往往取$\mathbb{Z}^r$的某个子集,$r\in\mathbb{N}$. 不失一般性,该引理的证明就讨论这种情况. 由定理3.1的证明过程可知,对任意的$f\in D$和$M\in\mathbb{N}$都有

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j\in J,|j|\leq M}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}|\langle f,T_{C_jk} g_j\rangle_s|^2 & = & \sum\limits_{j\in J,|j|\leq M}\frac{1}{|\det C_j|}\int_{\mathbb{R}^d}\sum\limits_{k\in \mathbb{Z}^d}\hat f(\xi)\overline{\widehat{g_j}(\xi)}(1+|\xi|^2)^s\\ & & \times\overline{\hat f(\xi-C^\sharp_jk)}\widehat{g_j}(\xi-C^\sharp_jk)(1+|\xi-C^\sharp_jk|^2)^s{\rm d}\xi\\ & \leq & B\|f\|^2_s. \end{eqnarray*}$

如果记

$$ h_{0,M}=(1+|\xi|^2)^s\sum\limits_{j\in J,|j|\leq M}\frac{1}{|\det C_j|}|\widehat{g_j}(\xi)|^2, $$

那么易知$h_{0,M}\in L^1(\mathbb{R}^d)$. 取$\xi_0$为$h_{0,M}$的任意Lebesgue点,$0＜\varepsilon＜\delta＜\frac{1}{3}|\xi_0|$. 定义函数$f_{\delta,\varepsilon}$为

$$ \widehat{f_{\delta,\varepsilon}}(\xi) =\left\{ \begin{array}{llll} & |B(\delta,\xi_0)|^{-\frac{1}{2}}(1+|\xi|^2)^{-\frac{s}{2}},\quad & \quad \xi\in B(\delta-\varepsilon,\xi_0);\\ & \mbox{无限次光滑连接},\quad & \quad \xi\in B(\delta,\xi_0)\setminus B(\delta-\varepsilon,\xi_0);\\ & 0,\quad & \quad\mbox{其它}. \end{array} \right. $$

(3.10)

从而易得函数$f_{\delta,\varepsilon}\in D$,且有

$$ \lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\|f_{\delta,\varepsilon}\|^2_s=\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\int_{B(\delta,\xi_0)}|\widehat{f_{\delta,\varepsilon}}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s{\rm d}\xi=\int_{B(\delta,\xi_0)}\frac{1}{|B(\delta,\xi_0)|}{\rm d}\xi=1. $$

设

$$ \Lambda_{0,M}=\bigcup\limits_{j\in J,|j|\leq M}C_j^\sharp(\mathbb{Z}^d\backslash\{0\}),\quad \delta_M=\inf\{|C_j^\sharp k|: C_j^\sharp k\in \Lambda_{0,M}\}. $$

易知$\delta_M>0$. 不失一般性,取$\delta＜\delta_M/2$,那么

$$ |\xi-C_j^\sharp k-\xi_0|=|C_j^\sharp k-(\xi-\xi_0)|\geq|C_j^\sharp k|-|\xi-\xi_0|\geq\delta_M-\delta>\delta_M-\frac{\delta_M}{2}=\frac{\delta_M}{2}>\delta. $$

所以$\xi-C_j^\sharp k-\xi_0\notin B(\delta,\xi_0)$,从而对任意的$k\neq 0$, $\widehat{f_{\delta,\varepsilon}}(\xi-C^\sharp_jk)=0$. 因此只需讨论$k=0$的情况. 从而只需证明

$$ \lim\limits_{M\rightarrow\infty}\lim\limits_{\delta\rightarrow0^+}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^{+}} \int_{B(\delta,\xi_0)}\sum \limits_{j\in J,|j|\leq M}\frac{1}{|\det C_j|}|\widehat{f_{\delta,\varepsilon}}(\xi)|^2\cdot|\widehat{g_j}(\xi)|^2(1+|\xi|^2)^{2s}{\rm d}\xi\leq B\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow0^{+}}\|f_{\delta,\varepsilon}\|^2_s, $$

即

$$ \lim\limits_{M\rightarrow\infty}\lim\limits_{\delta\rightarrow0^+}\frac{1}{|B(\delta,\xi_0)|}\int_{B(\delta,\xi_0)}h_{0,M}(\xi){\rm d}\xi\leq B. $$

由Lebesgue点的定义可知

$$ \lim\limits_{\delta\rightarrow0^+}\frac{1}{|B(\delta,\xi_0)|}\int_{B(\delta,\xi_0)}h_{0,M}(\xi){\rm d}\xi=h_{0,M}(\xi_0), $$

其中$B(\delta,\xi_0)\subset\mathbb{R}^d\backslash\{0\}$. 因此

$$ \lim\limits_{M\rightarrow\infty}h_{0,M}(\xi_0)\leq B, $$

即

$$ (1+|\xi|^2)^s\sum_{j\in J}\frac{1}{|\det C_j|}|\widehat{g_j}(\xi)|^2\leq B. $$

则引理3.10证明完毕.

利用波包系是广义平移函数系的一个特殊情况,可以直接得到下面结果.

推论3.11 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in\mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq\mathbb{R}^d$,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 如果波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g:j,m\in \mathbb{Z},k \in \mathbb{Z}^d\}$是$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列,那么

$$ \sum_{j,m\in \mathbb{Z}}|\hat g(A_j^\sharp\xi-c_m)|^2(1+|\xi|^2)^s\leq B|\det F|,\quad {\rm a.e.} \quad \xi\in\mathbb{R}^d. $$

(3.11)

证 由(3.8)式可知,一定存在矩阵$A$和$A_j$的一个子列(为了方便仍记为$A_j,j=1,2,\cdots$),使得$A_j\longrightarrow A$,即

$$ \|A_j-A\|\longrightarrow 0,\quad j\longrightarrow\infty. $$

如果$A\neq0$,那么对固定的$k\in\mathbb{Z}^d,m\in\mathbb{Z}$,有

$$ D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\longrightarrow D_AT_{Fk}E_{c_m}g,\quad j\longrightarrow\infty. $$

结合引理3.9可知结论成立.

下面考虑$A=0$的情况.

由(3.8)式可知,一定存在$A_j$的一个递减子列(为了方便仍记为$A_j,j=1,2,\cdots$),使得

$$ \|A_1\|>\|A_2\|>\cdots>\|A_j\|\searrow 0,\quad j\longrightarrow\infty, $$

其中“$\searrow$”表示子列递减趋于0. 进一步,又由(3.6)式可知,存在一个开球$B(s_0,r_0)$,其中$s_0>0,r_0\in\mathbb{R}^d$,使得对给定的$\varepsilon_0>0$,$g$ 满足

$$ |\hat{g}(r)|^2(1+|A_j^\ast(r+c_m)|^2)^s>\varepsilon_0,\quad r\in B(s_0,r_0). $$

(3.12)

对任意的$r\in\mathbb{R}^d$,都有$\|r-r_0\|=\|A_j^\ast A_j^\sharp(r-r_0)\|\leq\|A_j^\ast\|\cdot\|A_j^\sharp(r-r_0)\|$,即

$$ \|A_j^\sharp r-A_j^\sharp r_0\|\geq\|A_j\|^{-1}\cdot\|r-r_0\|. $$

断言开球$B(s_0,r_0)$在映射$A_j^\sharp$下的像包含球$B(s_0\|A_j\|^{-1},A_j^\sharp r_0)$,即

$$ B(s_0\|A_j\|^{-1},A_j^\sharp r_0)\subseteq A_j^\sharp B(s_0,r_0). $$

(3.13)

事实上,对任意的$r\in B(s_0\|A_j\|^{-1},A_j^\sharp r_0)$,易知$\|r-A_j^\sharp r_0\|＜s_0\|A_j\|^{-1}$. 因此

$\begin{eqnarray*} s_0 & > & \|A_j\|\cdot\|r-A_j^\sharp r_0\|=\|A_j\|\cdot\|A_j^\sharp(A_j^\ast r-r_0)\|\\ & \geq & \|A_j^\ast A_j^\sharp(A_j^\ast r-r_0)\|=\|A_j^\ast r-r_0\|. \end{eqnarray*}$

从而$A_j^\ast r\in B(s_0,r_0)$,即$r\in A_j^\sharp B(s_0,r_0)$.

接下来取$j_1\in\mathbb{N}$,使得$\|A_{j_1}\|\leq s_0/r$. 由(3.7)式的对称性可知 $\bigcup\limits_{m\in\mathbb{Z}}(B(r,0)-c_m)=\mathbb{R}^d$. 如果设$x\in \mathbb{R}^d$, 那么存在一个$m_1\in\mathbb{Z}$,使得

$$ x-A_{j_1}^\sharp r_0\in B(r,0)-c_{m_1}. $$

从而

$\begin{eqnarray*} x\in B(r,A_{j_1}^\sharp r_0)-c_{m_1}\subseteq B(s_0\|A_{j_1}\|^{-1},A_{j_1}^\sharp r_0)-c_{m_1} \subseteq A_{j_1}^\sharp B(s_0,r_0)-c_{m_1}, \end{eqnarray*}$

这里取$x=r_0$,易知存在一个$r_1\in B(s_0,r_0)$,使得$A_{j_1}^\sharp r_1-c_{m_1}=r_0$. 因此存在一个开球$B(s_1,r_1)\subset B(s_0,r_0)$,其中$s_1>0,r_1\in\mathbb{R}^d$,使得

$$ A_{j_1}^\sharp B(s_1,r_1)-c_{m_1}\subset B(s_0,r_0). $$

从而由(3.12)式可知

$$ \sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}|\hat{g}(A_{j_1}^\sharp r-c_m)|^2(1+|r|^2)^s>\varepsilon_0,\quad r\in B(s_1,r_1). $$

(3.14)

重复上面证明过程,可找到一个$j_2>j_1$和开球$B(s_2,r_2)\subset B(s_1,r_1)$,其中$s_2>0,r_2\in\mathbb{R}^d$,使得

$$ \sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}|\hat{g}(A_{j_2}^\sharp r-c_m)|^2(1+|r|^2)^s>\varepsilon_0,\quad r\in B(s_2,r_2). $$

(3.15)

因此对任意的$r\in B(s_2,r_2)$,由(3.14)和(3.15)式可以得到

$\begin{eqnarray*} & & \sum\limits_{n=1}^2\sum\limits_{j_n,m\in\mathbb{Z}}|\hat{g}(A_{j_n}^\sharp r-c_m)|^2(1+|r|^2)^s\\ & = & \sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}|\hat{g}(A_{j_1}^\sharp r-c_m)|^2(1+|r|^2)^s+\sum\limits_{m\in\mathbb{Z}}|\hat{g}(A_{j_2}^\sharp r-c_m)|^2(1+|r|^2)^s\\ & > & 2\varepsilon_0. \end{eqnarray*}$

继续归纳可知结果与(3.11)式矛盾. 从而结论成立.

引理3.12 ^[19] 设矩阵$A\in GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在$\alpha,\beta\in \mathbb{R}^d$,使得$A$的所有本征值$\lambda$ 满足$0＜\alpha＜|\lambda|＜\beta＜\infty$, 那么存在$C=C(A,\alpha,\beta)\geq1$,使得

$$ \frac{1}{C}\alpha^j|x|\leq|A^jx|\leq C\beta^j|x|,\quad x\in\mathbb{R}^d,j\in \mathbb{Z},j\geq0. $$

推论3.13 设矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq\mathbb{R}^d$,$A$为一个可延拓矩阵(即$A$的所有本征值的模都大于1). 则不存在满足(3.6)式的$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,使得由其生成的波包系$\{D_{A^j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$ 成为$H^s(\mathbb{R}^d)$ 的一个Bessel点列.

证 任取常数$\alpha,\beta>1$,使得$A$的所有本征值$\lambda$满足$1＜\alpha＜|\lambda|＜\beta＜\infty$. 由引理3.12可知,存在$C=C(A,\alpha,\beta)\geq1$,使得

$$ \frac{1}{C}\alpha^j\|x\|\leq\|A^jx\|\leq C\beta^j\|x\|,\quad x\in\mathbb{R}^d,j\in \mathbb{N}. $$

特别地,取$x=A^{-j}y$,由上式左不等式可以得到

$$ \|A^{-j}y\|\leq C\alpha^{-j}\|y\|,\quad y\in\mathbb{R}^d,j\in \mathbb{N}. $$

令$j\longrightarrow\infty$可得,$\|A^{-j}\|\longrightarrow0$. 结合定理3.8的证明过程可知结论成立.

推论3.14 设矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}} \subset GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在常数$C,D>0$和无限指标集$I\subseteq\mathbb{Z}$,使得$C\leq\|A_j\|\leq D$,$j\in I$, 那么无论如何选取点列$\{c_m\}_{m\in\mathbb{Z}}$,都不存在满足(3.6)式的$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$, 使得由其生成的波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g: j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d\}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个Bessel点列.

证 由定理3.8的证明过程可以直接得到.

本节将通过实例来阐明我们的结果. 为了方便起见,仅考虑一维Sobolev空间$H^s(\mathbb{R})$上的事例.

设$\{V_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$是Sobolev空间$H^s(\mathbb{R})$的一个闭子空间列. 如果满足

(A1) $V_j\subset V_{j+1},\quad j\in\mathbb{Z};$

(A2) $\overline{\bigcup\limits_{j\in\mathbb{Z}}V_j}=H^s(\mathbb{R});$

(A3) $\bigcap\limits_{j\in\mathbb{Z}}V_j=\{0\};$

(A4) 存在函数$\varphi^{(j)}\in V_j$,使得$\{\varphi_{j,k}(\cdot): k\in\mathbb{Z}\}$构成$V_j$的标准正交基,其中

$$ \varphi_{j,k}(x)=2^\frac{j}{2}\varphi^{(j)}(2^jx-k),\quad j,k\in\mathbb{Z}, $$

(4.1)

那么称$\{V_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$为$H^s(\mathbb{R})$的一个正交多分辨分析,简记为MRA,称函数$\varphi^{(j)}$是该正交MRA的尺度函数.

易知条件$(A_1)$等价于存在$2\pi$ -周期函数$m_0^{(j)}\in L^2_{loc}(\mathbb{R})$,使得下面双尺度方程成立

$$ \hat{\varphi}^{(j)}(2\xi)=m_0^{(j+1)}(\xi)\hat{\varphi}^{(j+1)}(\xi). $$

(4.2)

因此称$m_0^{(j)}$为与尺度函数$\varphi^{(j)}$相关的低通滤波器. 如果

$$ \hat{\psi}^{(j)}(2\xi)=-{\rm e}^{-{\rm i}\xi}\overline{m_0^{(j+1)}(\xi+\pi)}\hat{\varphi}^{(j+1)}(\xi),\quad j\in\mathbb{Z}, $$

(4.3)

那么函数系$\{\psi_{j,k}\}_{j,k\in\mathbb{Z}}$构成$H^s(\mathbb{R})$的一个标准正交基,其中

$$ \psi_{j,k}(x)=2^{\frac{j}{2}}\psi^{(j)}(2^jx-k),\quad j,k\in\mathbb{Z}. $$

(4.4)

称$\{\psi^{(j)}\}_{j\in\mathbb{Z}}$为标准正交小波族.

定理4.1 设$\{\psi^{(j)}\}_{j\in\mathbb{Z}}\subset H^s(\mathbb{R})$. 如果满足

$$ \sup\limits_{\xi\in\mathbb{R}}\sum\limits_{j,k\in\mathbb{Z}}\Big|\overline{\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)}\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi-k)(1+|\xi-2^jk|^2)^s\Big|=1 $$

和

$\begin{eqnarray*} & \inf\limits_{\xi\in\mathbb{R}}\Bigg( & \sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}|\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s \\ & & -\sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}\sum\limits_{0\neq k\in\mathbb{Z}} \Big|\overline{\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)}\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi-k)(1+|\xi-2^jk|^2)^s\Big|\Bigg)=1, \end{eqnarray*}$

那么由(4.4)式定义的函数族构成$H^s(\mathbb{R})$的一个标准正交小波族.

证由(4.4)式可知

$$ \psi_{j,k}(x)=2^{\frac{j}{2}}\psi^{(j)}(2^jx-k)=D_{2^j}T_k\psi^{(j)}(x)=T_{2^{-j}k}D_{2^j}\psi^{(j)}(x). $$

如果记

$$ C^jk=2^{-j}k,\quad g_j=D_{2^j}\psi^{(j)}, $$

那么

$$ \widehat{g_j}(\xi)=D_{2^{-j}}\hat{\psi}^{(j)}(\xi)=2^{-\frac{j}{2}}\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi). $$

因此应用推论3.6于(4.4)式定义的函数族,即知结论成立.

设函数$\phi$为来自MRA的实标准正交小波,其频域支集$\text{supp}\ \hat{\phi }\subset \left[ 0,1 \right]$. 则$\phi\in L^2(\mathbb{R})$且

$$ \sum_{j\in\mathbb{Z}}|\hat{\phi}(2^{-j}\xi)|^2=1,\quad {\rm a.e.} \quad \xi\in\mathbb{R}. $$

(4.5)

例4.2 设$s$为一个给定的实数,函数$\phi$满足上述条件. 定义函数族

$$ \hat{\psi}^{(j)}(\xi)=\hat{\phi}(\xi)(1+|2^j\xi|^2)^{-\frac{s}{2}},\quad j\in\mathbb{Z}. $$

(4.6)

易知$\psi^{(j)}\in H^s(\mathbb{R})$. 因为$\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)$的支集长度为$2^j$, 所以只有当$k\neq0$时

$$\overline{\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)}\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi-k)=0. $$

故

$\begin{eqnarray*} & & \sum\limits_{j,k\in\mathbb{Z}}\Big|\overline{\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)} \hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi-k)(1+|\xi-2^jk|^2)^s\Big|\\ & = & \sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}|\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s\\ & = & \sum_{j\in\mathbb{Z}}|\hat{\phi}(2^{-j}\xi)|^2\\ & = & 1. \end{eqnarray*}$

因此存在函数族$\{\psi^{(j)}\}_{j\in\mathbb{Z}}$满足

$$ \sup\limits_{\xi\in\mathbb{R}}\sum\limits_{j,k\in\mathbb{Z}}\Big|\overline{\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)}\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi-k)(1+|\xi-2^jk|^2)^s\Big|=1 $$

和

$\begin{eqnarray*} & \inf\limits_{\xi\in\mathbb{R}}\Bigg( & \sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}|\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)|^2(1+|\xi|^2)^s \\ & & -\sum\limits_{j\in\mathbb{Z}}\sum\limits_{0\neq k\in\mathbb{Z}} \Big|\overline{\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)}\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi-k)(1+|\xi-2^jk|^2)^s\Big|\Bigg)=1. \end{eqnarray*}$