框架的概念是由Duffin和Schaeffer[1]在1952年研究非调和Fourier分析时引入Hilbert空间的, 然而当时学者们并没有给以足够的重视. 直到1986年,Daubechies等人[2]发现使用框架可以将$L^2(\mathbb{R})$中的函数展开成 类似于在标准正交基下展开的级数后,学者们才开始关注框架的研究. 多年来,学者们对小波理论方面的研究主要集中于两大类函数系: Gabor系和小波(仿射)系. 其中,Gabor系是由$L^2(\mathbb{R}^d)$中有限个函数通过调制和平移两种运算生成的; 而小波系则是由$L^2(\mathbb{R}^d)$中有限个函数通过伸缩和平移两种运算生成的. 目前,针对Gabor系和小波系的研究已经有了丰富的成果[3-6]. 在实际应用中,这两类函数系各有所长短. 如Gabor系比较适用于对平稳信号的处理,而小波系则更适用于对突变信号的处理. 因此,国内外学者们希望能够找到一类新的函数系 来统一Gabor系和小波系, 其做法通常是将$L^2(\mathbb{R}^d)$中有限个函数通过伸缩、调制和平移三种运算生成,并 称该函数系为波包系. 目前关于该类函数系的研究结果还非常少, 因此丰富和发展波包理论体系就成为一件非常有意义的工作.
1978年,Córdoba和 Fefferman[7]首次提出了波包系的概念, 并给出了Fourier积分算子把波包映射为波包这一基本原理. 由于该类函数系是 由高斯函数通过伸缩、调制和平移三种运算生成, 故而也称为高斯波包系. 2003年,Labate等人[8]改进了高斯波包系中的高斯函数, 并给出了更广泛意义下波包系连续和离散形式的概念,统称为波包系. 接下来, Hernández,Labate,Weiss和 Christensen等人[9-10]刻画了$L^2(\mathbb{R}^d)$上波包 系的一些框架性质. 2006年, Czaja等人[11]证明了波包系的参数集合需要满足的几何条件. 在应用方面, 波包系也有了一些突破,如 Candès 和 Demanet[12] 利用波包系构造出了曲波, Guo和 Labate[13]利用波包系构造出了剪切波, Lacey和 Thiele[14]使用高斯波包系有效地解决了双线性Hilbert变换的有界性问题.
由于Sobolev空间是一类特殊而又重要的Hilbert空间,因此本文将在该函 数空间中讨论波包系的框架性质. 在理论和应用方面, Sobolev空间中Gabor系和 小波系已经有了丰富的结果: 如2000年, 李登峰等人[15]对Sobolev空间中多尺度分析的性质进行了研究; 2009年,Han和 Shen[16]给出了Sobolev空间中对偶小波框架的构造方案, 通过该方案可以把Sobolev空间中的函数展成对偶小波框架级数, 从而可以使用此类对偶小波框架去刻画Sobolev空间中的函数; 2011年, 鲁大勇和李登峰[17]对$H^s(\mathbb{R})$空间中更一般的标准正交小波族进行了刻画. 因为Gabor系和小波系都是波包系的特例, 所以对Sobolev空间中波包系的研究就显得非常有意义.
通过简单的计算可知,波包系是广义平移函数系的一种特殊形式. 2002年, Labate等人[18]给出了研究广义平移函数系的主要技巧, 使得对波包系的研究成为可能. 同年, Hernández等人[19]对广义平移函数系做了更深入的研究. 本文将利用前者的技巧,通过研究Sobolev空间中广义平移函数系的框架性质, 得到波包系的相关结果.
本节将给出后面使用到的一些符号和定义.
文中$d$是一个给定的正整数,$\mathbb{R} $表示实数集合,$\mathbb{Z} $表示整数集合. 设$s\in \mathbb{R}$. 缓增分布函数$f\in H^s(\mathbb{R}^d)$ 当且仅当
其中$\|\cdot\|_s$表示$H^s(\mathbb{R}^d)$上的范数. 定义$\mathbb{R}^d$上可积函数$f$的Fourier变换为
其中$x\cdot\xi$表示$\mathbb{R}^d$上向量$x$和$\xi$的内积. $H^s(\mathbb{R}^d)$上的内积定义为
任取$x,y\in\mathbb{R}^d$和实$d\times d$矩阵$C$,作用于$f\in H^s(\mathbb{R}^d)$的平移算子$T_y$定义为$(T_yf)(x)=f(x-y)$; 调制算子$E_y$定义为$(E_yf)(x)={\rm e}^{2\pi{\rm i}y\cdot x}f(x)$; 伸缩算子$D_C$定义为$(D_Cf)(x)=|\det C|^{1/2}f(Cx)$.
设$\mathbb{Z}$为一个可分的Hilbert空间,$J$为一个可数指标集,$\{f_j\}_{j\in J}$为$\mathbb{Z}$中的一个点列. 如果存在常数$B>0$,使得对$\forall f\in \mathbb{Z}$,有
其中$\|\cdot\|:=\langle\cdot,\cdot\rangle^{1/2}$为$\mathbb{Z}$中的范数,那么称$\{f_j\}_{j \in J}$为$\mathbb{Z}$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在常数$A>0$,使得对$\forall f\in \mathbb{Z}$,有
那么称$\{f_j\}_{j\in J}$为$\mathbb{Z}$的一个界为$A$和$B$的框架. 如果$A=B=1$,那么称该框架为规范紧框架.
定义2.1 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵$C\in GL_d(\mathbb{R})$. 则称函数系
为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(\{g_j\}_{j\in J},C)$相关的广义平移不变系.
定义2.1 设矩阵$A,F\in GL_d(\mathbb{R})$,$C$为一个非零实$d\times d$矩阵. 如果$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,那么称函数系
为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(g;A,F,C)$相关的波包系.
推广定义2.1和2.2可得如下两个定义:
定义2.3 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵集合$\{C_j\}_{j\in J}\subset GL_d(\mathbb{R})$. 则称函数系
为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(\{g_j\}_{j\in J},\{C_j\}_{j\in J})$相关的广义平移不变系.
定义2.4 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in\mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$. 如果$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,那么称函数系
为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个与$(g;\{A_j\}_{j\in\mathbb{Z}},F,\{c_m\}_{m\in\mathbb{Z}})$相关的波包系.
在(2.9)式中,改变伸缩、平移和调制算子的顺序可以得到其它五种形式的波包系,读者可参见文献[8].
如果记$C^\ast$为矩阵$C$的转置矩阵,那么容易计算$D_CE_y=E_{C^\ast y}D_C,D_CT_y=T_{C^{-1}y}D_C.$ 进一步,又如果$C$是可逆矩阵,为方便起见记$C^\sharp=(C^\ast)^{-1}$,那么易知
本节将给出(2.6)--(2.9)式中函数系成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个框架的充分条件.
定理3.1 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵集合$\{C_j\}_{j\in J}\subset GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在
那么广义平移不变系$\{T_{C_jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在
那么$\{T_{C_jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.
为了证明定理3.1,需要如下结果:
引理3.2 设矩阵$A\in GL_d(\mathbb{R})$,$y,z\in \mathbb{R}^d$,$f\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 则以下几条成立
(1) $(T_yf)^{\hat{}}=E_{-y}\hat{f},\quad (E_zf)^{\hat{}}= T_{z}\hat{f},\quad (D_Af)^{\hat{}}=D_{A^\sharp} \hat{f}$;
(2) $T_yE_zf={\rm e}^{-2\pi{\rm i}z\cdot y}E_zT_yf$;
(3) $(T_yE_zf)^{\hat{}}={\rm e}^{-2\pi{\rm i}z\cdot y}T_zE_{-y}\hat{f}$;
(4) $(D_AT_yf)^{\hat{}}(\xi)=E_{-A^{-1}y}D_{A^\sharp}\hat{f}(\xi)=|\det A|^{-\frac{1}{2}}\hat{f}(A^\sharp\xi){\rm e}^{-2\pi{\rm i}(A^{-1}y)\cdot \xi}$;
(5) $(D_AT_yE_zf)^{\hat{}}=D_{A^\sharp}E_{-y}T_z\hat{f}$.
对任意的$f\in L^\infty(\mathbb{R}^d)$,$\|f\|_\infty$表示$\mathbb{R}^d$上$f$的无穷范数. 定义Schwartz函数类$S(\mathbb{R}^d)$如下
引理3.3 [17] 设$D=\{f\in S(\mathbb{R}^d): \hat{f} $紧支且 $\mbox{supp}(\hat{f})\subset\mathbb{R}^d\setminus\{0\}\}$,则$D$ 在$H^s(\mathbb{R}^d)$ 中稠密.
引理3.4 [20] 设$\{e_j:j=1,2,\cdots\}$为Hilbert空间$\mathbb{Z}$的一个点列, $D$是$\mathbb{Z}$的一个稠密子集. 如果存在常数$0<A\leq B<\infty$,使得对任意的$f\in D$,有
那么$\{e_j:j=1,2,\cdots\}$为$\mathbb{Z}$的一个界为$A$和$B$的框架.
证 由引理3.3和3.4可知,只需证明
对任意的$f\in D$成立即可.由引理3.2(1)可知
设$T^d=[0,1)^d$. 利用$\mathbb{R}^d=\bigcup\limits_{l\in\mathbb{Z}^d}\{C^\sharp(T^d-l)\}$可得
由于$\{\sqrt[]{|\det C_j|}{\rm e}^{2\pi{\rm i}(C_jk)\cdot \xi}: k\in\mathbb{Z}^d\}$为$L^2(C^\sharp_jT^d)$的标准正交基, 再利用$u=l+k$可得
其中
由Cauchy-Schwarz不等式及$2|ab|\leq a^2+b^2$可得
由(3.3)和(3.5)式可知结论成立.
推论3.5 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 如果存在
那么波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在
那么$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.
证 如果记
那么
结合(2.10)式,并应用定理3.1于波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$,即知结论成立.
在实际应用中,我们常取$C_j=C^j$,即由某一个矩阵的幂生成,从而有如下结论:
推论3.6 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵$C\in GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在
那么广义平移不变系$\{T_{C^jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在
那么$\{T_{C^jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.
推论3.7 设矩阵$A,F\in GL_d(\mathbb{R})$,$C$为一个非零实$d\times d$矩阵,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 如果存在
那么波包系$\{D_{A^j}T_{Fk}E_{Cm}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列. 进一步,如果存在
那么$\{D_{A^j}T_{Fk}E_{Cm}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$A$和$B$的框架.
设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 下面一个结果将阐明: 如果存在一个开球$U\subset\mathbb{R}^d$,使得对给定的$\varepsilon_0>0$,有
那么由$g$生成的波包系不能成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个框架.
定理3.8 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq \mathbb{R}^d$ 满足
其中,$B(r,0)=\{x\in\mathbb{R}^d: \|x-0\|<r,r>0\}$. 如果存在常数$C>0$和无限集合$I\subseteq\mathbb{Z}$,使得
那么不存在满足(3.6)式的$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,使得由其生成的波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$ 成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个Bessel点列.
为了证明定理3.8,需要如下几个结果:
引理3.9 [10] 设$\mathbb{Z}$为一个可分的Hilbert空间. 如果$\mathbb{Z}$中点列$\{f_k\}_{k=1}^\infty$满足$f_k\longrightarrow\varphi$,其中$\varphi\neq0$, 那么$\{f_k\}_{k=1}^\infty$不能生成$\mathbb{Z}$的Bessel点列.
引理3.10 设$J$为一个可数指标集,函数族$\{g_j\}_{j\in J}\subset H^s(\mathbb{R}^d)$,矩阵集合$\{C_j\}_{j\in J}\subset GL_d(\mathbb{R})$. 如果广义平移不变系$\{T_{C_jk}g_j\}_{j\in J,k\in \mathbb{Z}^d}$是$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列,那么
证 在该引理的实际应用中,$J$往往取$\mathbb{Z}^r$的某个子集,$r\in\mathbb{N}$. 不失一般性,该引理的证明就讨论这种情况. 由定理3.1的证明过程可知,对任意的$f\in D$和$M\in\mathbb{N}$都有
如果记
那么易知$h_{0,M}\in L^1(\mathbb{R}^d)$. 取$\xi_0$为$h_{0,M}$的任意Lebesgue点,$0<\varepsilon<\delta<\frac{1}{3}|\xi_0|$. 定义函数$f_{\delta,\varepsilon}$为
从而易得函数$f_{\delta,\varepsilon}\in D$,且有
设
易知$\delta_M>0$. 不失一般性,取$\delta<\delta_M/2$,那么
所以$\xi-C_j^\sharp k-\xi_0\notin B(\delta,\xi_0)$,从而对任意的$k\neq 0$, $\widehat{f_{\delta,\varepsilon}}(\xi-C^\sharp_jk)=0$. 因此只需讨论$k=0$的情况. 从而只需证明
即
由Lebesgue点的定义可知
其中$B(\delta,\xi_0)\subset\mathbb{R}^d\backslash\{0\}$. 因此
则引理3.10证明完毕.
利用波包系是广义平移函数系的一个特殊情况,可以直接得到下面结果.
推论3.11 设矩阵集合$\{A_j\}_{j\in\mathbb{Z}}\subset GL_d(\mathbb{R})$,矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq\mathbb{R}^d$,$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$. 如果波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g:j,m\in \mathbb{Z},k \in \mathbb{Z}^d\}$是$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个界为$B$的Bessel点列,那么
证 由(3.8)式可知,一定存在矩阵$A$和$A_j$的一个子列(为了方便仍记为$A_j,j=1,2,\cdots$),使得$A_j\longrightarrow A$,即
如果$A\neq0$,那么对固定的$k\in\mathbb{Z}^d,m\in\mathbb{Z}$,有
结合引理3.9可知结论成立.
下面考虑$A=0$的情况.
由(3.8)式可知,一定存在$A_j$的一个递减子列(为了方便仍记为$A_j,j=1,2,\cdots$),使得
其中“$\searrow$”表示子列递减趋于0. 进一步,又由(3.6)式可知,存在一个开球$B(s_0,r_0)$,其中$s_0>0,r_0\in\mathbb{R}^d$,使得对给定的$\varepsilon_0>0$,$g$ 满足
对任意的$r\in\mathbb{R}^d$,都有$\|r-r_0\|=\|A_j^\ast A_j^\sharp(r-r_0)\|\leq\|A_j^\ast\|\cdot\|A_j^\sharp(r-r_0)\|$,即
断言开球$B(s_0,r_0)$在映射$A_j^\sharp$下的像包含球$B(s_0\|A_j\|^{-1},A_j^\sharp r_0)$,即
事实上,对任意的$r\in B(s_0\|A_j\|^{-1},A_j^\sharp r_0)$,易知$\|r-A_j^\sharp r_0\|<s_0\|A_j\|^{-1}$. 因此
从而$A_j^\ast r\in B(s_0,r_0)$,即$r\in A_j^\sharp B(s_0,r_0)$.
接下来取$j_1\in\mathbb{N}$,使得$\|A_{j_1}\|\leq s_0/r$. 由(3.7)式的对称性可知 $\bigcup\limits_{m\in\mathbb{Z}}(B(r,0)-c_m)=\mathbb{R}^d$. 如果设$x\in \mathbb{R}^d$, 那么存在一个$m_1\in\mathbb{Z}$,使得
从而
这里取$x=r_0$,易知存在一个$r_1\in B(s_0,r_0)$,使得$A_{j_1}^\sharp r_1-c_{m_1}=r_0$. 因此存在一个开球$B(s_1,r_1)\subset B(s_0,r_0)$,其中$s_1>0,r_1\in\mathbb{R}^d$,使得
从而由(3.12)式可知
重复上面证明过程,可找到一个$j_2>j_1$和开球$B(s_2,r_2)\subset B(s_1,r_1)$,其中$s_2>0,r_2\in\mathbb{R}^d$,使得
因此对任意的$r\in B(s_2,r_2)$,由(3.14)和(3.15)式可以得到
继续归纳可知结果与(3.11)式矛盾. 从而结论成立.
引理3.12 [19] 设矩阵$A\in GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在$\alpha,\beta\in \mathbb{R}^d$,使得$A$的所有本征值$\lambda$ 满足$0<\alpha<|\lambda|<\beta<\infty$, 那么存在$C=C(A,\alpha,\beta)\geq1$,使得
推论3.13 设矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,点列$\{c_m\}_{m\in \mathbb{Z}}\subseteq\mathbb{R}^d$,$A$为一个可延拓矩阵(即$A$的所有本征值的模都大于1). 则不存在满足(3.6)式的$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$,使得由其生成的波包系$\{D_{A^j}T_{Fk}E_{c_m}g\}_{j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d}$ 成为$H^s(\mathbb{R}^d)$ 的一个Bessel点列.
证 任取常数$\alpha,\beta>1$,使得$A$的所有本征值$\lambda$满足$1<\alpha<|\lambda|<\beta<\infty$. 由引理3.12可知,存在$C=C(A,\alpha,\beta)\geq1$,使得
特别地,取$x=A^{-j}y$,由上式左不等式可以得到
令$j\longrightarrow\infty$可得,$\|A^{-j}\|\longrightarrow0$. 结合定理3.8的证明过程可知结论成立.
推论3.14 设矩阵$F\in GL_d(\mathbb{R})$,矩阵集合$\{A_j\}_{j\in \mathbb{Z}} \subset GL_d(\mathbb{R})$. 如果存在常数$C,D>0$和无限指标集$I\subseteq\mathbb{Z}$,使得$C\leq\|A_j\|\leq D$,$j\in I$, 那么无论如何选取点列$\{c_m\}_{m\in\mathbb{Z}}$,都不存在满足(3.6)式的$g\in H^s(\mathbb{R}^d)$, 使得由其生成的波包系$\{D_{A_j}T_{Fk}E_{c_m}g: j,m\in \mathbb{Z},k\in \mathbb{Z}^d\}$成为$H^s(\mathbb{R}^d)$的一个Bessel点列.
证 由定理3.8的证明过程可以直接得到.
本节将通过实例来阐明我们的结果. 为了方便起见,仅考虑一维Sobolev空间$H^s(\mathbb{R})$上的事例.
设$\{V_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$是Sobolev空间$H^s(\mathbb{R})$的一个闭子空间列. 如果满足
(A1) $V_j\subset V_{j+1},\quad j\in\mathbb{Z};$
(A2) $\overline{\bigcup\limits_{j\in\mathbb{Z}}V_j}=H^s(\mathbb{R});$
(A3) $\bigcap\limits_{j\in\mathbb{Z}}V_j=\{0\};$
(A4) 存在函数$\varphi^{(j)}\in V_j$,使得$\{\varphi_{j,k}(\cdot): k\in\mathbb{Z}\}$构成$V_j$的标准正交基,其中
那么称$\{V_j\}_{j\in\mathbb{Z}}$为$H^s(\mathbb{R})$的一个正交多分辨分析,简记为MRA,称函数$\varphi^{(j)}$是该正交MRA的尺度函数.
易知条件$(A_1)$等价于存在$2\pi$ -周期函数$m_0^{(j)}\in L^2_{loc}(\mathbb{R})$,使得下面双尺度方程成立
因此称$m_0^{(j)}$为与尺度函数$\varphi^{(j)}$相关的低通滤波器. 如果
那么函数系$\{\psi_{j,k}\}_{j,k\in\mathbb{Z}}$构成$H^s(\mathbb{R})$的一个标准正交基,其中
称$\{\psi^{(j)}\}_{j\in\mathbb{Z}}$为标准正交小波族.
定理4.1 设$\{\psi^{(j)}\}_{j\in\mathbb{Z}}\subset H^s(\mathbb{R})$. 如果满足
和
那么由(4.4)式定义的函数族构成$H^s(\mathbb{R})$的一个标准正交小波族.
证由(4.4)式可知
因此应用推论3.6于(4.4)式定义的函数族,即知结论成立.
设函数$\phi$为来自MRA的实标准正交小波,其频域支集$\text{supp}\ \hat{\phi }\subset \left[ 0,1 \right]$. 则$\phi\in L^2(\mathbb{R})$且
例4.2 设$s$为一个给定的实数,函数$\phi$满足上述条件. 定义函数族
易知$\psi^{(j)}\in H^s(\mathbb{R})$. 因为$\hat{\psi}^{(j)}(2^{-j}\xi)$的支集长度为$2^j$, 所以只有当$k\neq0$时
故
因此存在函数族$\{\psi^{(j)}\}_{j\in\mathbb{Z}}$满足