对于给定的正整数 $n$,记 ${\Bbb C}^{n}$ 为 $n$ 维复平面,

$\langle z,w\rangle ={{z}_{1}}\overline{{{w}_{1}}}+{{z}_{2}}\overline{{{w}_{2}}}+\cdots +{{z}_{n}}\overline{{{w}_{n}}},\ \ \ |z|=\sqrt{\langle z,z\rangle },$

其中 $z=(z_{1},z_{2},\cdots,z_{n})$,$w=(w_{1},w_{2},\cdots,w_{n})\in{\Bbb C}^{n}$.令 ${\Bbb B}_{n}$为 ${\Bbb C}^{n}$ 中的单位球,即 ${\Bbb B}_{n}:=\{z\in {\Bbb C}^{n}:|z|＜1\}$, 其边界为单位球面 $\partial {\Bbb B}_{n}:=\{z\in {\Bbb C}^{n}:|z|=1\}$. 用 $H({\Bbb B}_{n})$ 表示 ${\Bbb B}_{n}$ 上的解析函数全体. 若 $\varphi$ 为${\Bbb B}_{n}$ 上的解析自映射且 $u\in H({\Bbb B}_{n})$, 则由 $u$ 和 $\varphi$ 诱导的加权复合算子 $uC_{\varphi}$ 定义为

$$ (uC_{\varphi})f(z)=u(z)f(\varphi(z)), $$

其中 $f\in H({\Bbb B}_{n})$,$z\in {\Bbb B}_n.$ 当 $u\equiv1$ 时,$uC_{\varphi}$ 即为由 $\varphi$ 诱导的复合算子 $C_{\varphi}.$ 当 $\varphi(z)=z$ 时,$uC_{\varphi}$ 即为由 $u$ 诱导的乘法算子 $M_{u}$. 如今关于各种空间上的复合算子得到了广泛研究,相关结论可参考专著^{[4, 10-11]}.

我们用 $dv(z)$ 表示 ${\Bbb B}_{n}$ 上规范化的体积测度,即 $v({\Bbb B}_{n})=1.$ 当 $\alpha>-1$ 时,令

$$dv_{\alpha}(z)=c_{\alpha}(1-|z|^{2})^{\alpha}dv(z),$$

其中 $c_{\alpha}>0$ 是使得 $v_{\alpha}({\Bbb B}_{n})=1$ 的并且仅与 $\alpha$ 和 $n$ 有关的一个常数. Bergman 空间 $A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ ($0＜p ＜\infty$) 定义为

$$ A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n}):=\bigg\{f\in H({\Bbb B}_{n}):\|f\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}}=\int_{{\Bbb B}_{n}}|f(z)|^{p}dv_{\alpha}(z)＜\infty \bigg\}.$$

当 $1\leq p＜\infty$ 时,$A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 是 Banach 空间. 当 $0＜p＜1$ 时,$A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 在度量 $d(f,g) =\|f-g\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}}$ 下是完备的度量空间.

当 $n=1$,即 ${\Bbb B}_{1}:={\Bbb D}$ 为单位圆盘时,由 Littlewood 从属原理可知, ${\Bbb D}$ 上的任意解析自映射 $\varphi$ 诱导的复合算子 $C_{\varphi}$ 都是空间 $A^{p}_{\alpha}({\Bbb D})$ 上的有界算子. 进一步地,MacCluer 和 Shapiro^[8] 证明了 $C_{\varphi}:A^{p}_{\alpha}({\Bbb D})\rightarrow A^{p}_{\alpha}({\Bbb D})$ 为紧算子的充要条件是 $\varphi$ 在 $\partial{\Bbb D}$ 上任一点处都不存在有限角导数. 此外,Moorhouse^[9]完全刻画了 $A^{2}_{\alpha}({\Bbb D})$ 上复合算子的紧差性.

众所周知,当 $n>1$ 时,并非所有的解析自映射 $\varphi$ 所诱导的复合算子都是 $A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 上的有界算子. 借助于 Carleson 测度,Zhu^[13] 给出了如下结论.

定理1.1设 $\alpha>\beta>-1$ 和 $0＜p,q＜\infty$,并且 $\varphi$ 是 ${\Bbb B}_{n}$ 到自身的解析映射. 则下述论断成立:

(1) $C_{\varphi}$ 是 $A^p_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子 (或紧算子) 当且仅当 $C_{\varphi}$ 是 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子 (或紧算子);

(2) $C_{\varphi}$ 是 $A^p_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子 (或紧算子) 蕴含着 $C_{\varphi}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子 (或紧算子).

此外,若 $C_{\varphi}$ 为 $A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 上的紧算子,则解析自映射 $\varphi$ 在 $\partial {\Bbb B}_{n}$ 上任一点处都不存在有限角导数. Choe,Koo 和Park^[2] 将Moorhouse^[9] 的结果推广到了多维情形. 近年来,关于紧差的研究文章也很多,如文献^{[1, 3, 5-6]}. 本文将沿着文献^[2] 继续讨论 $A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 上的加权复合算子的紧差性.

本文第二部分包含了后文所需的一些预备知识; 第三部分给出了 $A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 上的加权复合算子的差为紧算子的一些充分和必要判据; 最后,我们在第四部分得到了某个加权复合算子与有限个加权复合算子之和的差为紧算子的一个判别准则.

下文,我们用 $C$ 表示非负常数且不同处的 $C$ 可以取值不同. 对于两个非负量 $X$ 和 $Y$, 用 $X\lesssim Y$ 或 $Y\gtrsim X$ 表示存在常数 $C>0$ 使得 $X\leq CY$. 如果 $X\lesssim Y$ 和 $X\gtrsim Y$,则记 $X\thickapprox Y$.

对于 $\xi\in\partial {\Bbb B}_{n},$ 称连续函数 $\Lambda(t):[0,1)\rightarrow {\Bbb B}_{n}$ 为限制 $\xi$ -曲线,若 $\lim\limits_{t\rightarrow1}\Lambda(t)=\xi$ 且

$$\lim\limits_{t\rightarrow1}\frac{|\Lambda(t)-\langle\Lambda(t),\xi\rangle\xi|^{2}}{1-|\langle\Lambda(t),\xi\rangle|^{2}}=0 \ \mbox{和} \ \sup_{0\leq t＜1}\frac{|\xi-\langle\Lambda(t),\xi\rangle\xi|}{1-|\langle\Lambda(t),\xi\rangle|}＜\infty.$$

称 $f : {\Bbb B}_n\rightarrow {\Bbb C}$ 在 $\xi$ 处存在限制极限,并记此极限为 $f(\xi),$ 若对于任意的限制 $\xi$-曲线 $\Lambda(t)$,当 $t\rightarrow1$ 时,$f(\Lambda(t))$ 均趋于 $f(\xi)$. 此时,我们记 $R \lim\limits_{z\rightarrow\xi}f(z)=f(\xi)$. 称解析自映射 $\varphi: {\Bbb B}_{n}\rightarrow {\Bbb B}_{n}$ 在 $\xi$ 处存在有限角导数,并记为 $A_{\varphi}(\xi)$, 若存在 $\eta\in \partial {\Bbb B}_{n}$ 使得 $\frac{1-\langle\varphi(z),\eta\rangle}{1-\langle z,\xi\rangle}$ 在 $\xi$ 处存在限制极限,即

$$A_{\varphi}(\xi):=R \lim\limits_{z\rightarrow\xi}\frac{1-\langle\varphi(z),\eta\rangle}{1-\langle z,\xi\rangle}.$$

易知若 $\varphi$ 在 $\xi$ 处存在有限角导数, 则 $\varphi$ 在 $\xi$ 处必存在限制极限且 $\varphi(\xi)=\eta.$ 对于 $\xi\in\partial{\Bbb B}_{n}$,令

$$d_{\varphi}(\xi):=\liminf_{z\rightarrow\xi}\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{1-|z|^{2}}.$$

由文献 [4,定理 2.81] 可知, 若 $\varphi$ 在 $\xi$ 处存在有限角导数,则 $d_{\varphi}(\xi)＜\infty$ 且有 $|A_{\varphi}(\xi)|=d_{\varphi}(\xi).$ 若 $\varphi$ 在 $\xi$ 处不存在有限角导数, 则 $d_{\varphi}(\xi)=\infty.$ 由 Schwarz-Pick 引理可知,对任意的 $z\in {\Bbb B}_{n}$ 均有

$$\frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{1-|z|^{2}}\geq\frac{1-|\varphi(0)|}{1+|\varphi(0)|},$$

因此 $|A_{\varphi}(\xi)|=d_{\varphi}(\xi)>0.$ 记 $F(\varphi):=\{\xi\in\partial {\Bbb B}_n: d_{\varphi}(\xi) ＜\infty\}.$ 并且当 $\varphi$ 在 $\xi\in\partial {\Bbb B}_n$ 处存在有限角导数时, 记 ${\cal D}_{\varphi}(\xi)=(\varphi(\xi),d_{\varphi}(\xi)).$

此外,若 $u$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数,由文献 [ ^[4],定理 2.79] 可知,$u$在任意 $\xi\in\partial {\Bbb B}_{n}$ 处均存在限制极限. 对 $t>1$,$\xi\in\partial {\Bbb B}_{n}$,记

$$\Gamma_{t,\xi}:=\{\lambda\xi\in {\Bbb B}_{n}:|1-\lambda |=t(1-|\lambda|^{2}),\ \lambda\in {\Bbb D}\}.$$

显然 $\Gamma_{t,\xi}$ 是限制 $\xi$-曲线. 若 $\varphi$ 在 $\xi\in\partial {\Bbb B}_n$ 处存在有限角导数,则由[4,引理 2.77]可知

$$\lim\limits_{t\rightarrow\infty}\lim\limits_{ z\rightarrow\xi \atop z\in\Gamma_{t,\xi}} \frac{1-|\varphi(z)|^{2}}{1-|z|^{2}} =d_{\varphi}(\xi). $$

记 $z,w\in {\Bbb B}_{n}$ 之间的伪双曲距离为 $\rho(z,w)=|\delta_{z}(w)|$, 其中 $\delta_{z}(w)$ 是 ${\Bbb B}_{n}$ 上交换 $0$ 和 $z$ 的对合自同构. 此外,众所周知

$$1-\rho(z,w)^{2}=\frac{(1-|z|^{2})(1-|w|^{2})}{|1-\langle z,w\rangle|^{2}},\ \ \ 0\leq\rho(z,w)\leq1.$$

以 $z\in {\Bbb B}_{n}$ 为球心,以 $r\in(0,1)$ 为半径的伪双曲球定义为

$$E_{r}(z):=\{w\in {\Bbb B}_n:\rho(z,w)＜r\}.$$

显然有 $E_{r}(0)=r{\Bbb B}_n.$ 由于 $\rho(z,w)$ 对 ${\Bbb B}_{n}$ 上任意的解析自同构是不变的, 所以 $E_{r}(z)=\delta_{z}(r{\Bbb B}_n).$ 当 $0＜r＜1$ 和 $w,z\in {\Bbb B}_{n}$ 时, 有 $v_{\alpha}[E_{r}(z)]\approx( 1-|z|^{2})^{n+1+\alpha}$ 和

$\frac{1-\rho (z,w)}{1+\rho (z,w)}\le \frac{1-|z{{|}^{2}}}{1-|w{{|}^{2}}}\le \frac{1+\rho (z,w)}{1-\rho (z,w)},\ \ \ w\in {{E}_{r}}(z).$

(2.1)

当 $\alpha>-1,0＜p＜\infty $ 且 $0＜r＜1$ 时,有如下次均值不等式: 对 $f\in H({\Bbb B}_{n})\ \mbox{和} \ z\in {\Bbb B}_{n}$ 有

$|f(z){{|}^{p}}\le \frac{C}{{{(1-|z{{|}^{2}})}^{n+\alpha +1}}}\int_{{{E}_{r}}(z)}{|}f(w){{|}^{p}}d{{v}_{\alpha }}(w),$

其中 $C=C(\alpha,r)>0$. 关于伪双曲距离和次均值不等式,可参考文献^[12-13].

对任意的 Borel 函数 $h\geq0$ 和 ${\Bbb B}_n$ 上的解析自映射 $\varphi,$

$\int_{{{\mathbb{B}}_{n}}}{(h{}^\circ \varphi )}d{{v}_{\alpha }}=\int_{{{\mathbb{B}}_{n}}}{h}d({{v}_{\alpha }}{}^\circ {{\varphi }^{-1}}),$

其中 $v_{\alpha}\circ\varphi^{-1}$ 为拉回测度,即对任意的 Borel 集合 $E\subseteq {\Bbb B}_n$, 有 $(v_{\alpha}\circ\varphi^{-1})(E)=v_{\alpha}[\varphi^{-1}(E)].$ 进一步地,若 $u$ 是 ${\Bbb B}_n$ 上的非负有界 Borel 函数,此时令 $du_\alpha=udv_\alpha$,并且对任意 Borel 集合 $E\subseteq {\Bbb B}_n,$ 定义

$$(u_\alpha\circ\varphi^{-1})(E)=u_\alpha[\varphi^{-1}(E)].$$

Choe,Koo 和 Park^[2] 给出了如下的关键引理.

引理2.1 设 $\alpha>\beta>-1$ 和 $0＜p,q＜\infty$, 并设 $C_{\varphi}$ 为 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子且 $u$ 为 ${\Bbb B}_n$ 上的有界非负 Borel 函数. 如果

$$\lim\limits_{|z|\rightarrow 1}u(z)\frac{1-|z|^2}{1-|\varphi(z)|^2}=0,$$

则 $C_{\varphi}:A^p_\alpha({\Bbb B}_n)\rightarrow L^p(du_\alpha)$ 为紧算子.

对于 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数 $u$ 和解析自映射 $\varphi$,令

$$F_{u}(\varphi):=\left\{\xi\in\partial {\Bbb B}_{n}:\liminf _{z\rightarrow\xi}|u(z)|\frac{1-|z|^2}{1-|\varphi(z)|^2}\neq0\right\}.$$

注当 $u$ 有界时,显然有 $F_{u}(\varphi)\subseteq F(\varphi).$ 此外由 Schwarz-Pick 引理我们注意到 $\frac{1-|z|^2}{1-|\varphi(z)|^2}$ 也是有界的, 所以 $\lim\limits_{|z|\rightarrow 1}|u(z)|\frac{1-|z|^2}{1-|\varphi(z)|^2}=0$ 当且仅当 $\lim\limits_{|z|\rightarrow 1}|u(z)|^p\frac{1-|z|^2}{1-|\varphi(z)|^2}=0,\forall 0＜＜p＜\infty$. 因此由引理 2.1 可知,当 $F_{u}(\varphi)=\emptyset$ 时,$uC_{\varphi}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子. 为了避免出现平凡情形,我们约定 $F_{u}(\varphi)\neq\emptyset.$

我们首先给出如下的紧算子判别法则,该法则可由 Montel 论断例行证明,此处我们略去其证明(参见文献 [4,命题 3.11]).

引理3.1 设 $\alpha>-1,0＜p＜\infty$,$T$ 为 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上有限个加权复合算子的线性组合,则下述两个条件等价:

(1) $T$ 为 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子;

(2) 如果 $\{f_k\}\subseteq A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 有界且 $f_k$ 在 ${\Bbb B}_n$ 的任一紧子集上一致收敛于 0,

则当 $k\rightarrow\infty$ 时,$\|Tf_{k}\|_{A^{p}_{\alpha}}\rightarrow0$. 我们也需要下述重要估计,其证明可参考文献 [^[2],命题3.2] 和文献[^[5],定理 2.1].

引理3.2 若 $\varphi_{1},\varphi_{2}$ 都是 ${\Bbb B}_n$ 上的解析自映射,则对任一 $\xi\in F(\varphi_{1})$ 均有

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{t\rightarrow\infty}\lim\limits_{ z\rightarrow\xi \atop z\in\Gamma_{t,\xi}} \frac{1-|\varphi_{1}(z)|^{2}}{1-\langle\varphi_{1}(z),\varphi_{2}(z)\rangle} = \left\{\begin{array}{ll} \ 1, & \mbox{若}\ \xi\in F(\varphi_{2})~\mbox{且}~{\cal D}_{\varphi_{1}}(\xi)={\cal D}_{\varphi_{2}}(\xi), \\ \ 0, & \mbox{其他}. \end{array}\right. \end{eqnarray*}$

线性算子 $T: A^p_\alpha({\Bbb B}_n)\rightarrow A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 的本性范数 $|||T|||_{A^p_\alpha}$ 定义为

$$ |||T|||_{A^p_\alpha}: =\inf_{K\in {\cal K}}\|T-K\|, $$

其中 ${\cal K}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子全体. 我们现在给出有限个加权复合算子和的本性范数的一个下界.

引理3.3 设 $\alpha>\beta>-1,0＜p,q＜\infty$,并且 $u_{i},\varphi_{i}$ 分别为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数和解析自映射,其中 $i=1,2,\cdots,N$. 若 $C_{\varphi_{i}}$ 为 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子,则 $u_{i}C_{\varphi_{i}}$ 为 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子,且

$$ \bigg| \bigg| \bigg|\sum^{N}_{i=1}u_{i}C_{\varphi_{i}} \bigg| \bigg| \bigg|_{A^p_\alpha}^{p} \geq \max_{1\leq j\leq N}\sup_{\xi\in F(\varphi_{j})} \bigg|\sum_{{\cal D}_{\varphi_{i}}(\xi)={\cal D}_{\varphi_{j}}(\xi)}u_{i}(\xi)\bigg|^{p}\frac{1}{{d_{\varphi_{j}}(\xi)}^{n+\alpha+1}}. $$

证 由定理 1.1 可知,$u_{i}C_{\varphi_{i}}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子. 记 $T=\sum\limits^{N}_{i=1} u_{i}C_{\varphi_{i}}$,并考虑函数

$$g_{w}(z)=(1-|w|^2)^{\frac{1}{p}} (1-\langle z,w\rangle)^{-\frac{n+\alpha+2}{p}}.$$

当 $|w|\rightarrow1$ 时,$g_{w}$ 在 ${\Bbb B}_{n}$ 的任一紧子集上一致收敛于 0. 由文献 [12,命题 1.12] 可知, $\sup\limits_{w\in {\Bbb B}_{n}}\|g_{w}\|^{p}_{A^p_\alpha}＜\infty.$ 另外,当 $0＜p＜1$ 时,对 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的任一紧算子 $K$,有

$$ \left\| T-K \right\|^{p}\gtrsim\left\|(T-K) g_{\varphi_{j}(w)} \right\|^p_{A^p_\alpha} \geq\left\|T g_{\varphi_{j}(w)}\right\|^{p}_{A^p_\alpha}- \left\|K g_{\varphi_{j}(w)}\right\|^p_{A^p_\alpha}. $$

任取 $\xi\in F(\varphi_{j})$,则对任意的 $t>1$,当 $w$ 沿着 $\Gamma_{t,\xi}$ 趋于 $\xi$ 时, 由引理 3.1 可知 $\|K g_{\varphi_{j}(w)}\|\rightarrow0$. 而且由次均值不等式可知

$\begin{eqnarray*} \left\|T g_{\varphi_{j}(w)}\right\|^{p}_{A^p_\alpha} & \geq & \int_{E_{r}(w)}\left|\sum^{N}_{i=1}u_{i}(z)g_{\varphi_{j}(w)}(\varphi_{i}(z))\right|^pdv_{\alpha}(z)\\ & \gtrsim & (1-|w|^{2})^{n+\alpha+1}\left| \sum^{N}_{i=1}u_{i}(w)\frac{[1-|\varphi_{j}(w)|^{2}]^{\frac{1}{p}}}{[1-\langle\varphi_{i}(w),\varphi_{j}(w)\rangle]^{\frac{n+\alpha+2}{p}}}\right|^p \\ & = & \left[\frac{1-|w|^{2}}{1-|\varphi_{j}(w)|^{2}}\right]^{n+\alpha+1}\left|\sum^{N}_{i=1}u_{i}(w)\bigg[\frac{1-|\varphi_{j}(w)|^{2}}{1-\langle\varphi_{i}(w),\varphi_{j}(w)\rangle}\right]^{\frac{n+\alpha+2}{p}}\bigg|^{p}. \end{eqnarray*}$

结合引理 3.2,可知

$\begin{eqnarray*} \left|\left|\left|T\right|\right|\right|_{A^p_\alpha}^{p} \gtrsim \max_{1\leq j\leq n} \sup_{\xi\in F(\varphi_{j})} \bigg|\sum_{{\cal D}_{\varphi_{i}}(\xi)={\cal D}_{\varphi_{j}}(\xi)} u_{i}(\xi) \bigg|^{p}\frac{1}{{d_{\varphi_{j}}(\xi)}^{n+\alpha+1}}. \end{eqnarray*}$

类似地,当 $1\le p＜\infty$ 时,上式仍成立. 从而结论得证.

特别地,对于两个加权复合算子的差,有下述结论成立.

推论3.1 设 $\alpha>-1,0＜p＜\infty$,并且 $u_{i},\varphi_{i}$ 分别为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数和解析自映射,其中 $i=1,2$. 若 $u_{1}C_{\varphi_{1}}-u_{2}C_{\varphi_{2}}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子,则下述结论成立:

(1) $F(\varphi_{1})= F(\varphi_{2})$;

(2) 当 $\xi\in F(\varphi_{1})$ 时,$u_{1}(\xi)= u_{2}(\xi)$,其中 $u_i(\xi)=R\lim\limits_{z\rightarrow \xi}u_i(z), \ i=1,2$.特别地,若 $u_{1},u_{2}$ 在 $F(\varphi_{1})$ 上连续,则 $ F_{u_{1}}(\varphi_{1})=F_{u_{2}}(\varphi_{2})$.

证 由引理 3.3 易知,(1) 和(2)成立.

进一步地,假设 $u_{1},u_{2}$ 在 $F(\varphi_{1})$ 上连续. 为证 $ F_{u_{1}}(\varphi_{1})=F_{u_{2}}(\varphi_{2})$,我们采用反证法. 不失一般性,我们假设存在 $\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})$ 且 $\xi\notin F_{u_{2}}(\varphi_{2}).$ 因为 $u_{1}$ 是有界的,所以 $\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})\subseteq F(\varphi_{1})$. 从而由 (1) 可得 $\xi\in F(\varphi_{2}).$ 故存在 $\{z_{j}\}\subseteq{\Bbb B}_{n}$ 使得$\lim\limits_{j\rightarrow\infty}z_{j}=\xi$ 且

$$\lim\limits_{j\rightarrow\infty}u_{2}(z_{j})=0.$$

结合(2) 可知 $\lim\limits_{j\rightarrow\infty}u_{1}(z_{j})=0,$ 从而 $\xi\notin F_{u_{1}}(\varphi_{1})$. 这与假设矛盾,故结论得证.

下面是两个加权复合算子的差为紧的一个必要条件.

定理3.1 设 $\alpha>-1,0＜p＜\infty$,并且 $u_{i},\varphi_{i}$ 分别为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数和解析自映射,其中 $i=1,2$. 令 $\rho(z)=\rho(\varphi_{1}(z),\varphi_{2}(z))$ $(z\in {\Bbb B}_{n})$. 若 $u_{1}C_{\varphi_{1}}-u_{2}C_{\varphi_{2}}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子,则

$\begin{equation}\label{gj} \lim\limits_{|z|\rightarrow1} \rho(z)\bigg(|u_{1}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z)|^{2}}+|u_{2}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{2}(z)|^{2}}\bigg)=0. \end{equation}$

(3.1)

证 设 $T:=u_{1}C_{\varphi_{1}}-u_{2}C_{\varphi_{2}}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子,并假设 (3.1) 式不成立. 对任一 $\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})$,由 (3.1)式中诸项的有界性和推论 3.1 中结论 (2), 不妨设存在 $\{z_{j}\}\subseteq {\Bbb B }_{n}$ 使得 $z_{j}\rightarrow\xi$ 且

(a) $\lim\limits_{j\rightarrow\infty}\rho(z_{j})=a_{1}$;

(b) $ \lim\limits_{ j\rightarrow\infty}|u_{1}(z_{j})| =\lim\limits_{\ j\rightarrow\infty}|u_{2}(z_{j})|= a_{2}$;

(c) $\lim\limits_{ j\rightarrow\infty}\frac{1-| z_{j}|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z_{j})|^{2}}=a_{3}$;

(d) $1-|\varphi_{2}(z_{j})|^{2}\geq 1-|\varphi_{1}(z_{j})|^{2}$ 对所有的 $j\geq1$ 均成立.

其中 $a_{1},a_{2},a_{3}>0$ 且 $0＜a_{1}\leq1.$ 由 (d) 可知

$1-\rho {{({{z}_{j}})}^{2}}\ge {{\left| \frac{1-|{{\varphi }_{1}}({{z}_{j}}){{|}^{2}}}{1-\langle {{\varphi }_{1}}({{z}_{j}}),{{\varphi }_{2}}({{z}_{j}})\rangle } \right|}^{2}}.$

(3.2)

考虑函数

$$g_{\varphi_{1}(z_{j})}(w)=(1-|\varphi_{1}(z_{j})|^2)^{\frac{1}{p}} (1-\langle w,\varphi_{1}(z_{j})\rangle)^{-\frac{n+\alpha+2}{p}}.$$

由文献[^[12],命题 1.12] 可知 $\sup_{j}\|g_{\varphi_{1}(z_{j})}\|^{p}_{A^p_\alpha}＜\infty.$ 当 $j\rightarrow\infty$ 时,$g_{\varphi_{1}(z_{j})}$ 在 ${\Bbb B}_{n}$ 的任一紧子集上一致收敛于 0. 因此

$\begin{eqnarray*} \|Tg _{\varphi_{1}(z_{j})}\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}} & \geq & \int_{E_{r}(z_{j})}|u_{1}(w)g _{\varphi_{1}(z_{j})}(\varphi_{1}(w))-u_{2}(w)g _{\varphi_{1}(z_{j})}(\varphi_{2}(w))|^pdv_{\alpha}(w)\\ & \gtrsim & \bigg(\frac{ 1-|z_{j}|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z_{j})|^{2}}\bigg)^{n+\alpha+1} \bigg|u_{1}(z_{j})-u_{2}(z_{j})\bigg(\frac{1-|\varphi_{1}(z_{j})|^{2}}{1-\langle\varphi_{1}(z_{j}),\varphi_{2}(z_{j})\rangle}\bigg)^{\frac{n+\alpha+2}{p}}\bigg|^{p }\\ & \geq & \bigg(\frac{ 1-|z_{j}|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z_{j})|^{2}}\bigg)^{n+\alpha+1} \bigg||u_{1}(z_{j})|-|u_{2}(z_{j})| \left| \frac{1-|\varphi_{1}(z_{j})|^{2}}{1-\langle\varphi_{1}(z_{j}),\varphi_{2}(z_{j})\rangle} \right|^{\frac{n+\alpha+2}{p}}\bigg|^{p}. \end{eqnarray*}$

从而由结论 (a),(b),(c) 和 (3.2) 式可得

$$\liminf_{j\rightarrow\infty}\|Tg _{\varphi_{1}(z_{j})}\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}}\gtrsim a_{3}^{n+\alpha+1}a_{2}\bigg(1-(1-a_{1}^{2})^{\frac{n+\alpha+2}{2p}}\bigg)^{p}>0.$$

这与 $T$ 为紧算子矛盾,从而命题得证.

下面给出 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上两个加权复合算子的差为紧算子的一个充分条件,为 此我们需要如下不等式[2,命题 4.5]:当 $\alpha>-1,0＜p＜\infty$ 时,存在常数 $C=C(\varphi_{1},\varphi_{2})>0$ 使得

$\begin{equation}\label{ci} \int_{\{z\in {\Bbb B}_{n}: \rho(z)\leq\varepsilon\} }|f(\varphi_{1})-f(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}\leq C\varepsilon^{p}\|f\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}} \end{equation}$

(3.3)

对任意的 $f\in A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 均成立,其中 $0＜\varepsilon\leq1$.

定理3.2 设 $\alpha>\beta>-1,0＜p,q＜\infty$,并且 $\varphi_{i}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的解析自映射, $u_{i}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数且在 $ F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2})$ 内任一点处都连续,其中 $i=1,2$. 若 $C_{\varphi_{1}},C_{\varphi_{2}}$ 为 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子且以下条件成立:

(1) $u_{1}(\xi)=u_{2}(\xi)$,其中 $\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2})$;

(2) $\lim\limits_{|z|\rightarrow1} \rho(z)\Big(|u_{1}(z)|^{p} \frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z)|^{2}}+|u_{2}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{2}(z)|^{2}}\Big)=0$.

则 $u_{1}C_{\varphi_{1}}-u_{2}C_{\varphi_{2}}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子.

证 显然 $u_{1}C_{\varphi_{1}}$ 和 $u_{2}C_{\varphi_{2}}$ 都是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子. 假设 $\{f_{j}\}\subseteq A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_n)$ 有界且当 $j\rightarrow\infty$ 时,$f_{j}$ 在 ${\Bbb B}_{n}$ 的任一紧子集上一致收敛于 0. 给定 $ \varepsilon >0,$ 令

$$Q:=\{z\in {\Bbb B}_{n}: \rho(z)\leq\varepsilon \},\ \ Q':={\Bbb B}_{n}\backslash Q.$$

因为 $u_{1},u_{2}$ 是 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数,所以

$\begin{eqnarray}\label{jf} & & \|(u_{1}C_{\varphi_{1}}-u_{2}C_{\varphi_{2}})f_{j}\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}}\\ & = & \int_{Q}|u_{1}f_{j}(\varphi_{1})-u_{2}f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{Q'}|u_{1}f_{j}(\varphi_{1})-u_{2}f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}\\ & \lesssim & \int_{Q}|u_{1}-u_{2}|^{p}|f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{Q}|f_{j}(\varphi_{1})-f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}\\ & & +\int_{Q'}|u_{1}f_{j}(\varphi_{1})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{Q'}|u_{2}f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}. \end{eqnarray}$

(3.4)

令 $\chi_{Q'}$ 为 $Q'$ 的特征函数,则由条件 (2) 可知

$$\lim\limits_{|z|\rightarrow1} \bigg(\chi_{Q'}|u_{1}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z)|^{2}}+\chi_{Q'}| u_{2}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{2}(z)|^{2}}\bigg)=0.$$

由引理 2.1 即得,当 $j\rightarrow\infty$ 时,(3.4)式中最后一行的两项都趋于 0.对于 (3.4)式 中倒数第二行的第二项,由不等式(3.3)式 可知,对所有的 $j$ 有

$$\int_{Q}|f_{j}(\varphi_{1})-f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}\lesssim\varepsilon^{p}. $$

下面估计 (3.4) 式中倒数第二行的第一项

$$\int_{Q}|u_{1}-u_{2}|^{p}|f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}.$$

由条件 (1) 可知,对任意的 $\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2}),$ 都存在 $\delta(\xi)>0 $ 使得当 $|z-\xi|＜\delta(\xi)$ 时,有

$\begin{eqnarray*} |u_{1}(z)-u_{2}(z)|＜\varepsilon. \end{eqnarray*}$

现将 $Q$ 分为 $Q=H_{1}+H_{2}$, 其中 $H_{1}:=Q\bigcap \bigcup\limits_ {\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2})}\{z\in {\Bbb B}_{n}:|z-\xi|＜\delta(\xi)\}$, $H_{2}:=Q\backslash H_{1}$. 因此

$\begin{eqnarray}\label{deri1} & & \int_{Q}|u_{1}-u_{2}|^{p}|f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}\\ & = & \int_{ H_{1}}|u_{1}-u_{2}|^{p}|f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{ H_{2}}|u_{1}-u_{2}|^{p}|f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}\\ & \lesssim & \varepsilon^{p}\|f_{j}\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}}+\int_{ H_{2}}|u_{1}f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{ H_{2}}|u_{2}f_{j}(\varphi_{2})|^{p}dv_{\alpha}. \end{eqnarray}$

(3.5)

由 $H_{2}$ 的定义易知

$\underset{\left| z \right|\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{\chi }_{{{H}_{2}}}}{{\left| {{u}_{1}}(z) \right|}^{p}}\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{1-{{\left| {{\varphi }_{1}}(z) \right|}^{2}}}=0\text{和}\underset{\left| z \right|\to 1}{\mathop{\lim }}\,{{\chi }_{{{H}_{2}}}}{{\left| {{u}_{2}}(z) \right|}^{p}}\frac{1-{{\left| z \right|}^{2}}}{1-{{\left| {{\varphi }_{2}}(z) \right|}^{2}}}=0$

下证

$\begin{equation}\label{gou12} \lim\limits_{|z|\rightarrow1}\chi_{H_{2}}|u_{1}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{2}(z)|^{2}}=0. \end{equation}$

(3.6)

假设 (3.6) 式不成立,则存在 $z_{k}\in H_{2},\xi\in \partial{\Bbb B}_{n}$ 使得 $z_{k}\rightarrow\xi$ 且有

$\underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,|{{u}_{1}}({{z}_{k}}){{|}^{p}}={{a}_{1}}\text{ 和}\ \underset{k\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1-|{{z}_{k}}{{|}^{2}}}{1-|{{\varphi }_{2}}({{z}_{k}}){{|}^{2}}}={{a}_{2}},$

其中 $a_{1},a_{2}>0.$ 又因为 $z_{k}\in H_{2},$ 由 (2.1) 式可得

$$\frac{1-|z_{k}|}{1-|\varphi_{1}(z_{k})|^{2}}\geq\frac{1-\varepsilon}{1+\varepsilon}\frac{1-|z_{k}|}{1-|\varphi_{2}(z_{k})|^{2}}.$$

则

$$\liminf_{k\rightarrow\infty}|u_{1}(z_{k})|^{p}\frac{1-|z_{k}|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z_{k})|^{2}}>0.$$

从而,$\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})$. 这与 $ H_{2}$ 的定义矛盾,故 (3.6)式 成立. 再由引理 2.1 可知,(3.5) 式中最后一行的第二项和第三项都趋于 0. 由 $\varepsilon$ 的任意性可知,命题得证.

由推论 3.1 和定理 3.1,3.2 即可给出如下结论.

定理3.3 设 $\alpha>\beta>-1,0＜p,q＜\infty$,并且 $\varphi_{i}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的解析自映射, $u_{i}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数且在 $ F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2})$ 内任一点处都连续,其中 $i=1,2$. 若 $C_{\varphi_{1}},C_{\varphi_{2}}$ 为 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子, 则 $u_{1}C_{\varphi_{1}}-u_{2}C_{\varphi_{2}}:A^p_\alpha({\Bbb B}_n)\rightarrow A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 为紧算子的充要条件是下述两条件同时成立:

(1) $u_{1}(\xi)=u_{2}(\xi)$,其中 $\xi\in F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2})$; \vspace{0.2cm}

(2) $\lim\limits_{|z|\rightarrow1} \rho(z)\Big(|u_{1}(z)|^{p} \frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z)|^{2}}+|u_{2}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{2}(z)|^{2}}\Big)=0$.

注 此定理中,若将 $F_{u_{1}}(\varphi_{1})\cup F_{u_{2}}(\varphi_{2})$ 改为 $F(\varphi_{1})\cup F(\varphi_{2})$,结论仍然成立.

以下推论即为文献 ^[2] 中的命题 4.1.

推论3.2 设 $\alpha>\beta>-1,0＜p,q＜\infty$,并且 $\varphi_{1},\varphi_{2}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的解析自映射. 若 $C_{\varphi_{1}},C_{\varphi_{2}}$ 为 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子且 $a,b\in {\Bbb C}\backslash \{0\}$, 则 $aC_{\varphi_{1}}+bC_{\varphi_{2}}$ 是 $A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 上的紧算子当且仅当以下两条件同时成立:

(1) $a+b=0$;

(2) $\lim\limits_{|z|\rightarrow1} \rho(z)\Big( \frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{1}(z)|^{2}}+\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{2}(z)|^{2}}\Big)=0$.

推论3.3 设 $\alpha>-1,0＜p＜\infty$,并且 $u_{1},u_{2}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数, 则 $M_{u_{1}}-M_{u_{2}}: A^p_\alpha({\Bbb B}_n) \rightarrow A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 是紧算子当且仅当 $u_{1}=u_{2}.$

本节我们将前面的结果推广到如下有限个加权复合算子的和, 从而拓展了 Kriete-Moor- house 在单位圆上的相应结果 (参见文献^{[7, 9]}).

定理4.1 设 $\alpha>\beta>-1,0＜p,q＜\infty$,并且 $\varphi,\varphi_{i}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的解析自映射, $u,u_{i}$ 为 ${\Bbb B}_{n}$ 上的有界解析函数且在 $F(\varphi_{i})$ 处连续,其中 $i=1,\cdots,N$. 假设对任意的 $i,$ $F(\varphi_{i})\neq\emptyset,$ 且当 $i\neq j$ 时 $F(\varphi_{i})\cap F(\varphi_{j})=\emptyset.$ 令 $\rho_{i}(z)=\rho(\varphi(z),\varphi_{i}(z))$ $(z\in {\Bbb B}_{n})$. 若 $C_{\varphi},C_{\varphi_{i}}$ 为 $A^q_\beta({\Bbb B}_n)$ 上的有界算子, 则 $uC_{\varphi}-\sum\limits^{N}_{i=1}u_{i}C_{\varphi_{i}}:A^p_\alpha({\Bbb B}_n)\rightarrow A^p_\alpha({\Bbb B}_n)$ 是紧算子当且仅当以下三条件同时成立:

(1) $F_{u}(\varphi)= \bigcup^{N}\limits_{i=1}F_{u_{i}}(\varphi_{i})$;

(2) $u(\xi)=u_{i}(\xi)$,当 $\xi\in F_{u_{i}}(\varphi_{i})$ 时,其中 $i=1,\cdots,N$;

(3) $\lim\limits_{z\rightarrow\xi}\rho_{i}(z)\Big(|u(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}} {1-|\varphi(z)|^{2}}+|u_{i}(z)|^{p}\frac{1-| z|^{2}}{1-| \varphi_{i}(z)|^{2}}\Big)=0,$ 其中 $\xi\in F_{u_{i}}(\varphi_{i})$,$i=1,\cdots,N$.

证 为了简化记号,我们记 $T:=uC_{\varphi}-\sum\limits^{N}_{i=1}u_{i}C_{\varphi_{i}}$. 先证充分性. 令

$$B_{n}^{i}:=\left\{z\in {\Bbb B}_{n}:|u_{i}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{i}(z)|^{2}} \geq|u_{k}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{k}(z)|^{2}}~\mbox{ 对所有的}\ k\neq i\right\},$$

其中 $i=1,2,\cdots,N.$ 取 $\varepsilon>0,$ 令 $E_{i}:=\{z\in B_{n}^{i}: \rho_{i}(z)\leq\varepsilon\}$ 和 $E'_{i}:=B_{n}^{i}\backslash E_{i}.$ 设 $\{f_{j}\}\subseteq A^{p}_{\alpha}({\Bbb B}_{n})$ 有界且当 $j\rightarrow\infty$ 时,$f_{j}$ 在 ${\Bbb B}_{n}$ 的任一紧子集上一致收敛于 0. 对任一 $i$ 有

$\begin{eqnarray}\label{44} \int_{B_{n}^{i}}|Tf_{j}|^{p}dv_{\alpha} & \lesssim & \int_{B_{n}^{i}}|uf_{j}(\varphi)-u_{i}f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\sum_{k\neq i}\int_{B_{n}^{i}}|u_{k}f_{j}(\varphi_{k})|^{p}dv_{\alpha}\\ & \lesssim & \int_{E_{i}}|uf_{j}(\varphi)-u_{i}f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{E'_{i}}|uf_{j}(\varphi)|^{p}dv_{\alpha}\\ & & +\int_{E'_{i}}|u_{i}f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+ \sum_{k\neq i}\int_{B_{n}^{i}}|u_{k}f_{j}(\varphi_{k})|^{p}dv_{\alpha}. \end{eqnarray}$

(4.1)

令 $\chi_{B_{n}^{i}},\chi_{E'_{i}}$ 分别为 $B_{n}^{i},E'_{i}$ 的特征函数,由条件 (3) 可知

$$\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\chi_{E'_{i}}|u_{i}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{i}(z)|^{2}}=\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\chi_{E'_{i}}|u(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi(z)|^{2}}=0,$$

结合引理 2.1 即知 (4.1) 式中最后一个不等式的第二项和第三项均收敛于 0. 下证对给定的 $i,$ 当 $k\neq i$ 时

$\begin{equation}\label{42} \lim\limits_{|z|\rightarrow1}\chi_{B_{n}^{i}}|u_{k}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{k}(z)|^{2}}=0. \end{equation}$

(4.2)

事实上,如果 (4.2) 式不成立,即存在 $z_{m}\in B_{n}^{i},\eta\in \partial{\Bbb B}_{n}$ 使得 $z_{m}\rightarrow\eta$ 且

$$\lim\limits_{m\rightarrow\infty}|u_{k}(z_{m})|^{p}\frac{1-|z_{m}|^{2}}{1-|\varphi_{k} (z_{m})|^{2}}>0, $$

则 $\eta\in F_{u_{k}}(\varphi_{k}).$ 由 $B_{n}^{i}$ 的定义可知

$$\liminf_{m\rightarrow\infty}|u_{i}(z_{m})|^{p}\frac{1-|z_{m}|^{2}}{1-|\varphi_{i}(z_{m})|^{2} }>0, $$

则 $\eta\in F_{u_{i}}(\varphi_{i})$. 这与已知条件矛盾. 从而由引理 2.1 可知,当 $j\rightarrow\infty$ 时,(4.1) 式中最后一个不等式的和式趋于0.

当 $\xi\in F_{u_{i}}(\varphi_{i}),$ 由条件 (2) 可知存在 $\delta(\xi)>0 ,$ 使得当 $|z-\xi|＜\delta(\xi)$ 时有

$$ |u(z)-u_{i}(z)|＜\varepsilon. $$

令 $E_{i}=H_{i1}+H_{i2}$, 其中 $H_{i1}:=E_{i}\bigcap \Big(\bigcup\limits_{\xi\in F_{u_{i}}(\varphi_{i})}\{z\in {\Bbb B}_{n}:|z-\xi|＜\delta(\xi)\}\Big)$ 且 $H_{i2}:=E_{i}\backslash H_{i1}$,则 (4.1) 式中的第一项为

$\begin{eqnarray}\label{411} & & \int_{E_{i}}|uf_{j}(\varphi)-u_{i}f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}\\ & \lesssim & \int_{E_{i}}|f_{j}(\varphi)-f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{E_{i}}|u-u_{i}|^{p}|f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}\\ & \lesssim & \int_{E_{i}}|f_{j}(\varphi)-f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{H_{i1}}|u-u_{i}|^{p}|f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}\\ & & +\int_{H_{i2}}|u|^{p}|f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{H_{i2}}|u_{i}|^{p}|f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}\\ & \lesssim & \int_{E_{i}}|f_{j}(\varphi)-f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\varepsilon^{p} +\int_{H_{i2}}|u|^{p}|f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}+\int_{H_{i2}}|u_{i}|^{p}|f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}. \end{eqnarray}$

(4.3)

对于 (4.3)式 中最后一行的第一项,由 (3.3) 式可知,对所有的 $j$ 有

$$\int_{E_{i}}|f_{j}(\varphi)-f_{j}(\varphi_{i})|^{p}dv_{\alpha}\lesssim\varepsilon^{p}. $$

由 $H_{i2}$ 的定义易知

$$\lim\limits_{|z|\rightarrow1}\chi_{H_{i2}}|u_{i}(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{i}(z)|^{2}}=0.$$

下证

$\begin{equation}\label{i20} \lim\limits_{|z|\rightarrow1}\chi_{H_{i2}}|u(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi_{i}(z)|^{2}}=0. \end{equation}$

(4.4)

为此,我们假设 (4.4)式 不成立. 故存在 $\zeta\in \partial{\Bbb B}_{n}$ 和 $\{z_{\ell}\}\subseteq H_{i2}$ 使得 $\lim\limits_{\ell\rightarrow\infty}z_{\ell}= \zeta$ 且

$$ \lim\limits_{\ell\rightarrow\infty}|u(z_{\ell})|^{p}\frac{1-|z_{\ell}|^{2}}{1-|\varphi_{i}(z_{\ell})|^{2}}>0. $$

从而由 $H_{i2}\subseteq E_{i}$ 和 (2.1) 式可知

$$ \liminf_{\ell\rightarrow\infty}|u(z_{\ell})|^{p}\frac{1-|z_{\ell}|^{2}}{1-|\varphi(z_{\ell})|^{2}}>0, $$

这就意味着 $\zeta\in F_{u}(\varphi)$. 又 $F_{u}(\varphi)= \bigcup\limits^{N}_{j=1}F_{u_{j}}(\varphi_{j})$, 所以由 $H_{i1}$ 和 $H_{i2}$ 的定义可知存在 $j_{0}\in \{1,\cdots,i-1,i+1,\cdots,N\}$ 使得 $\zeta\in F_{u_{j_{0}}}(\varphi_{j_{0}})$. 再由 $E_{i}\subseteq B_{n}^{i}$ 可知 $\zeta\in F_{u_{i}}(\varphi_{i})$. 因此 $\zeta\in F_{u_{i}}(\varphi_{i})\cap F_{u_{j_{0}}}(\varphi_{j_{0}})$ ($j_{0}\neq i$), 而这与题设条件矛盾. 从而 (4.4) 式得证.

由 $\varepsilon$ 的任意性可知 (4.3) 式最后一行趋于 0. 从而对所有的 $i=1,\cdots,N$ 均有

$$ \lim\limits_{j\rightarrow\infty} \int_{B_{n}^{i}}|Tf_{j}|^{p}dv_{\alpha}=0. $$

注意到

$$ \|Tf_{j}\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}}\leq\sum_{i=1}^{N}\int_{B_{n}^{i}}|Tf_{j}|^{p}dv_{\alpha}, $$

从而充分性得证.

下证必要性. 因为当 $i\neq j$ 时 $F(\varphi_{i})\cap F(\varphi_{j})=\emptyset$, 故由引理 3.3 和推论 3.1 易知,条件 (1) 和 (2) 成立,下证条件 (3) 成立. 反证法,假设条件 (3) 不成立,即存在 $1\leq i_{0} \leq N,\ \xi\in F_{u_{i_{0}}}(\varphi_{i_{0}})$ 使得

$$ \lim\limits_{z\rightarrow\xi}\rho_{i_{0}}(z)\bigg(|u(z)|^{p}\frac{1-|z|^{2}}{1-|\varphi(z)|^{2}}+|u_{i_{0}}(z)|^{p}\frac{1-| z|^{2}}{1-| \varphi_{i_{0}}(z)|^{2}}\bigg)>0. $$

因为 $\xi\in F_{u_{i_{0}}}(\varphi_{i_{0}})$,所以 $u(\xi)=u_{i_{0}}(\xi).$由上式中诸项的有界性可设存在 $\{z_{k}\}\subseteq {\Bbb B}_n$ 使得 $z_{k}\rightarrow\xi,$ 并且

(a) $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\rho_{i_{0}}(z_k)=a_{0}$;

(b) $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|u(z_k)|=\lim\limits_{k\rightarrow\infty}|u_{i_{0}}(z_k)|=a_{1}$;

(c) $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1-|z_k|^{2}}{1-|\varphi(z_k)|^{2}}=a_{2}$ 和 $\lim\limits_{k\rightarrow\infty}\frac{1-|z_k|^{2}}{1-|\varphi_{i_0}(z_k)|^{2}}=a_{3}$.

其中 $0＜a_0\leq1,\ a_{1},a_{2},a_{3}>0.$ 取 $f_{k}=g_{\varphi_{i_0}(z_k)},$ 其中 $g$ 为引理 3.3 中给定的函数. 从而 $\{f_{k}\}\subseteq A^{p}_{\alpha}$ 有界,且当 $k\rightarrow\infty$ 时,$f_{k}$ 在 ${\Bbb B}_n$ 中的任一紧子集上一致收敛于 0. 注意到

$\begin{equation}\label{agg} \|Tf_{k}\|^{p}_{A^{p}_{\alpha}} \gtrsim \int_{E_{r}(z_{k})}|(uC_{\varphi}-u_{i_{0}}C_{\varphi_{i_{0}}})f_k|^{p}dv_{\alpha} -\int_{E_{r}(z_{k})}\bigg|\sum_{i\neq i_{0}}u_{i}C_{\varphi_{i}}f_k\bigg|^{p}dv_{\alpha}. \end{equation}$

(4.5)

记 $\chi_{E_{r}(z_{k})}$ 是 $E_{r}(z_{k})$ 的特征函数. 由于 $u_{i}C_{\varphi_{i}}$ 是有界的,所以 $\chi_{E_{r}(z_{k})}u_{i}C_{\varphi_{i}}f_k$ 是 $L^{p}(dv_{\alpha})$ -可积的. 另外易证 $\chi_{E_{r}(z_{k})}u_{i}C_{\varphi_{i}}f_k$ 几乎处处收敛于 $0$. 从而由控制收敛定理可得

$$ \lim\limits_{k\rightarrow\infty}\int_{{\Bbb B}_{n}}\left|\chi_{E_{r}(z_{k})}u_{i}C_{\varphi_{i}}f_k\right|^{p}dv_{\alpha}=0. $$

又因为

$$ \int_{E_{r}(z_{k})}\bigg|\sum_{i\neq i_{0}}u_{i}C_{\varphi_{i}}f_k\bigg|^{p}dv_{\alpha} \lesssim \sum_{i\neq i_{0}}\int_{{\Bbb B}_{n}}\left|\chi_{E_{r}(z_{k})}u_{i}C_{\varphi_{i}}f_k\right|^{p}dv_{\alpha}, $$

所以 (4.5)式 右手边的第二项趋于 $0$. 此外,可采用类似于定理 3.1 的证明方法推出 (4.5)式 右手边的第一项不趋于 $0$. 事实上,若存在子列 $k_{\ell}$ 使得 $1-|\varphi_{i_0}(z_{k_{\ell}})|^{2}\geq 1-|\varphi(z_{k_{\ell}})|^{2}$,则有

$$\lim\limits_{\ell\rightarrow\infty}\int_{E_{r}(z_{k_{\ell}})}\left|(uC_{\varphi}-u_{i_{0}}C_{\varphi_{i_{0}}})f_{k_{\ell}}\right|^{p}dv_{\alpha} \gtrsim a_{2}^{n+\alpha+1}a_{1}\left(1-(1-a_{0}^{2})^{\frac{n+\alpha+2}{2p}}\right)^{p}>0.$$

若存在子列 $k_{\ell}$ 使得 $1-|\varphi(z_{k_{\ell}})|^{2}\geq 1-|\varphi_{i_0}(z_{k_{\ell}})|^{2}$,则有

$$\lim\limits_{\ell\rightarrow\infty}\int_{E_{r}(z_{k_{\ell}})}\left|(uC_{\varphi}-u_{i_{0}}C_{\varphi_{i_{0}}})f_{k_{\ell}}\right|^{p}dv_{\alpha} \gtrsim a_{3}^{n+\alpha+1}a_{1}\left(1-(1-a_{0}^{2})^{\frac{n+\alpha+2}{2p}}\right)^{p}>0.$$

因此 $Tf_{k} \nrightarrow 0\ (k\rightarrow\infty),$ 即导出矛盾. 从而定理得证.