本文始终假设$H_1$和$H_2$为赋有内积$\langle\cdot, \cdot\rangle$以及相应范数$\|\cdot\|$的实Hilbert空间, $C$和$Q$分别为$H_1$和$H_2$的非空闭凸子集.设$f: C\times C\rightarrow{\Bbb R}^1$和$h: Q\times Q\rightarrow{\Bbb R}^1$为两个二元函数.由何振华^[1]提出的, 关于$f$和$h$的分裂均衡问题是指寻求一点$x^*\in C$且$Ax^*\in Q$, 使得

$ \begin{eqnarray} f(x^*, x)\geq0, \ \forall x\in C\ \mbox{且}\ h(Ax^*, y)\geq0, \ \forall y\in Q, \end{eqnarray} $

(1.1)

其中$A:H_1\rightarrow H_2$为一有界线性算子.显然分裂均衡问题包含两个均衡问题, 并且其中一个的解在该有界线性算子映照之下的像恰为另一个的解.由于许多物理, 优化以及经济问题均可归结为寻求解均衡问题的解^[2-3], 其在应用数学领域中的地位尤为重要.以往, 某些均衡问题的公共解常被认为处于同一空间的同一子集中^[4-6].然而, 一般而言, 不同均衡问题的解应属于不同空间的子集, 于是便产生分裂均衡问题.该问题的一个特殊情形便是分裂变分不等式问题^[7].

例1.1^[1]  设$H_1=H_2={\Bbb R}^1$, $C=[1, \infty)$且$Q=(-\infty, -4]$.设$A(x)=-4x$, $x\in{\Bbb R}^1$, 则$A$为一有界线性算子.定义$g:C\times C\rightarrow{\Bbb R}^1$和$h:Q\times Q\rightarrow{\Bbb R}^1$分别为$g(x, y)=y-x, \ h(u, v)=2(u-v)$.显然有$(EP)_g=\{1\}$且$A(1)=-4\in(EP)_h$, 其中$(EP)_f$表示关于二元函数$f$的均衡问题.于是$\Omega_{g, h}:=\{x^*\in(EP)_g:Ax^*\in(EP)_h\}\neq\emptyset$.

2012年, 何振华^[1]构造迭代算法求解实Hilbert空间中的分裂均衡问题并获得弱收敛及强收敛定理.然而, 其研究结果局限于仅有有限多个均衡问题组成的情形.受此启发, 本文提出一类新的研究对象, 即:分裂均衡问题系统.设$\{f_i\}^{\infty}_{i=1}:C\times C\rightarrow{\Bbb R}^1$和$\{h_i\}^{\infty}_{i=1}:Q\times Q\rightarrow{\Bbb R}^1$为两列二元函数, 关于$\{f_i\}$和$\{h_i\}$的分裂均衡问题系统是指寻求一点$x^*\in C$且$Ax^*\in Q$, 使得

$ \begin{eqnarray} f_i(x^*, x)\geq0, \ \forall x\in C\ \mbox{且}\ h_i(Ax^*, y)\geq0, \ \forall y\in Q, \ i=1, 2, \cdots, \end{eqnarray} $

(1.2)

其解集以$\Omega:=\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}\Omega_{f_i, h_i}$表示, 其中$A:H_1\rightarrow H_2$为一有界线性算子.

例1.2  设$H_1={\Bbb R}^2$, $H_2={\Bbb R}^1$, 分别赋有标准范数$\|\cdot\|$和$|\cdot|$; $C=\{(x_1, x_2)\in{\Bbb R}^2:x_2-x_1\geq1\}$及$Q=[1, \infty)$.定义一列二元函数$\{f_i\}^{\infty}_{i=1}:C\times C\rightarrow{\Bbb R}^1$为

$ {f_i}(x,y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{({x_1} - {x_2})}^i} + \sqrt[i]{{{y_2} - {y_1}}},\;\;\;i = 2k - 1,\;k = 1,2, \cdots ,}\\ {\sqrt[i]{{{y_2} - {y_1}}} - {{({x_1} - {x_2})}^i},\;\;i = 2k,\;\;\;\;\;\;k = 1,2, \cdots ,} \end{array}} \right. $

其中$x=(x_1, x_2)$, $y=(y_1, y_2)$.显然有$\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{f_i}=\{(p_1, p_2)\in{\Bbb R}^2:p_2-p_1=1\}$.设$Ax=x_2-x_1$, $x=(x_1, x_2)\in{\Bbb R}^2$, 则$A$为$H_1$到$H_2$的有界线性算子且有$\|A\|=\sqrt{2}$.再定义一列二元函数$\{h_i\}^{\infty}_{i=1}:Q\times Q\rightarrow{\Bbb R}^1$为

$ {h_i}(u,v) = \sqrt[i]{v} - \frac{u}{i},\;i = 1,2, \cdots . $

则显然有$\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{h_i}=\{1\}$, 且对任一$x^*\in\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{f_i}$, $Ax^*=1\in\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{h_i}$, 即$\Omega\neq\emptyset$.

本文旨在求解一类关于两列二元函数的分裂均衡问题系统.该问题可转换为:以迭代算法逼近关于两族非线性算子的分裂公共不动点问题的解.文中于Hilbert空间背景下建立了强收敛定理.该结果推广了相关研究中均衡问题仅为有限多个的情形.

为获得本文主要结果, 我们首先回顾如下定义, 记号以及结论.

设$K$为实Hilbert空间$H$的一非空闭凸子集. $H$到$K$上的度量投影$P_K : H \rightarrow K$定义为:对任一$x \in H$, 存在唯一点$z = P_K(x)$, 使得

$ ||x - z|| = \mathop {\inf }\limits_{y \in K} {\mkern 1mu} x - y = d(x,K). $

引理2.1  对任意的$x \in H$及$z \in K$, 我们有

(1)   $z = P_K(x)$当且仅当如下关系式成立

$ \langle x - z,y - z\rangle \le 0,\;\forall y \in K. $

(2)

$ \langle {P_K}(x) - {P_K}(y),x - y\rangle \ge {P_K}(x) - {P_K}(y){^2},\;\forall x,y \in H. $

这表明$P_K : H\rightarrow K$是非扩张映射.

(3)

$ \|y-{{P}_{K}}(x){{\|}^{2}}+\|x-{{P}_{K}}(y){{\|}^{2}}\le \|x-y{{\|}^{2}},\ \forall x,y\in H. $

设$E$为一Banach空间.称映射$T:E\rightarrow E$半闭于原点, 若对任一序列$\{x_n\}\subset E$满足$x_n\rightharpoonup x^*$和$\|x_n-Tx_n\|\rightarrow0$, 则有$x^*=Tx^*$, 其中$x_n\rightharpoonup x^* $表示$\{x_n\}$弱收敛于$x^*$.

称Banach空间$E$满足Opial条件, 若对$E$中的任一序列$\{x_n\}$满足$x_n\rightharpoonup x^* $, 则有

$ \begin{eqnarray*} \liminf_{n\rightarrow\infty}\|x_n-x^*\|<\liminf_{n\rightarrow\infty}\|x_n-y\|, \ \forall y\in E, y\neq x^*. \end{eqnarray*} $

众所周知, 每一Hilbert空间均满足Opial条件.

引理2.2^[8]  设$K$为实Hilbert空间$H$的一非空闭凸子集, $f: K\times K\rightarrow {\Bbb R}^1$为一满足如下条件的二元函数:

($A_1$)  $f(x, x)=0$;

($A_2$)  $f$是单调的, 即$f(x, y)+f(y, x)\leq0$;

($A_3$)  $\limsup\limits_{t\downarrow0}f(x+t(z-x), y)\leq f(x, y)$;

($A_4$)  映射$y\mapsto f(x, y)$是凸且下半连续的.

设$r>0$且$x\in H$.定义映射$T^{f}_r:H\rightarrow K$如下

$ \begin{eqnarray} T^{f}_r(x)=\left\{z\in K:f(z, y)+\frac{1}{r}\langle y-z, z-x\rangle\geq0, \forall y\in K\right\}. \end{eqnarray} $

(2.1)

于是有

(1)  $T^{f}_r$是单值的;

(2)  $T^{f}_r$是固定非扩张的, 即对任意的$x, y\in H$,

$ {{\left\| T_{r}^{f}(x)-T_{r}^{f}(y) \right\|}^{2}}\le \left\langle T_{r}^{f}(x)-T_{r}^{f}(y),x-y \right\rangle ; $

(3)  $F\left(T^{f}_r\right)=(EP)_{f}$, $\forall r>0$;

(4)  $(EP)_{f}$是闭且凸的.

引理2.3^[9]  设$H$为一Hilbert空间.则对所有$x, y\in H$及满足$\sum\limits^{n}_{i=0}\alpha_i=1$的$\alpha_i\in[0,1] $, $i = 0, 1, 2, \cdots, n$, 有如下等式成立

$ \begin{eqnarray} \left\|\sum^{n}_{i=0}\alpha_ix_i\right\|^2=\sum^{n}_{i=0}\alpha_i\left\|x_i\right\|^2-\sum_{0\leq i, j\leq n}\alpha_i\alpha_j\left\|x_i-x_j\right\|^2. \end{eqnarray} $

(2.2)

引理2.4  设$H$为一实Hilbert空间.对任意的$x, y\in H$, 有如下关系式成立

$ \|x+y{{\|}^{2}}\le \|y{{\|}^{2}}+2\langle x,x+y\rangle $

且

$ \|x-y{{\|}^{2}}=\|x{{\|}^{2}}+\|y{{\|}^{2}}-2\langle x,y\rangle . $

引理2.5^[10]  正整数方程

$ \begin{eqnarray} n=i_n+\frac{(m_n-1)m_n}{2}, \ m_n\geq i_n, n=1, 2, 3, \cdots \end{eqnarray} $

(2.3)

的唯一解为

$ \begin{eqnarray} i_n=n-\frac{(m_n-1)m_n}{2}, \ m_n=-\left[\frac{1}{2}-\sqrt{2n+\frac{1}{4}}\right], \ n=1, 2, 3, \cdots, \end{eqnarray} $

(2.4)

其中$[x]$代表不超过$x$的最大整数.

引理2.6^[11]  设$E$为一光滑, 严格凸且自反的Banach空间, $C$为$E$的非空闭凸子集.我们有如下结论成立

$ \begin{eqnarray} \mbox{若}\ x\in E\ \mbox{且}\ z\in C, \ \mbox{则}\ z=\Pi_{C}x\Leftrightarrow\langle z-y, Jx-Jz\rangle\geq0, \ \forall y\in C, \end{eqnarray} $

(2.5)

其中$\Pi_{C}:E\rightarrow C$表示由下式定义的广义投影

$ {\Pi _C} = \arg \mathop {\inf }\limits_{y \in C} {\mkern 1mu} \left\{ {y{^2} - 2\langle y,Jx\rangle + x{^2}} \right\},\;\forall x \in E. $

本节将求解满足条件$(A_1)-(A_4)$的分裂均衡问题系统.

定理3.1  设$C$和$Q$分别为实Hilbert空间$H_1$和$H_2$的非空闭凸子集.设$\{f_i\}:C\times C\rightarrow{\Bbb R}^1$和$\{h_i\}:Q\times Q\rightarrow{\Bbb R}^1$为两列二元函数, 且有$\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{f_i}\neq\emptyset$及$\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{h_i}\neq\emptyset$.设$A : H_1\rightarrow H_2$为一有界线性算子, $A^*$为其对偶算子.迭代序列$\{x_n\}$定义如下

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}\in {{C}_{1}}=:C, \\ {{f}_{{{i}_{n}}}}({{u}_{n}},y)+\frac{1}{{{r}_{{{i}_{n}}}}}\langle y-{{u}_{n}},{{u}_{n}}-{{x}_{n}}\rangle \ge 0,\forall y\in C, \\ {{h}_{{{i}_{n}}}}({{w}_{n}},z)+\frac{1}{{{r}_{{{i}_{n}}}}}\langle z-{{w}_{n}},{{w}_{n}}-A{{u}_{n}}\rangle \ge 0,\forall z\in Q, \\ {{y}_{n}}={{P}_{C}}\left( {{u}_{n}}+\mu {{A}^{*}}({{w}_{n}}-A{{u}_{n}}) \right), \\ {{C}_{n+1}}=\{v\in {{C}_{n}}:\|{{y}_{n}}-v\|\le \|{{u}_{n}}-v\|\le \|{{x}_{n}}-v\|\}, \\ {{x}_{n+1}}={{P}_{{{C}_{n+1}}}}{{x}_{1}},\ \forall n\in \mathbb{N}, \\ \end{array} \right. $

(3.1)

其中$\{r_i\}$为$(0, \infty)$中的一列实数, $\mu\in\big(0, \frac{1}{\|A^*\|^2}\big)$, $ $P_{C_{n+1}}$为$H_1$到$C_{n+1}$上的投影算子; $i_n$为正整数方程$n=i_n+\frac{(m_n-1)m_n}{2}\ (m_n\geq i_n, n=1, 2, \cdots)$的解, 即对每一$n\geq1$, 存在唯一的$i_n$, 使得

$ {{i}_{1}}=1,{{i}_{2}}=1,{{i}_{3}}=2,{{i}_{4}}=1,{{i}_{5}}=2,{{i}_{6}}=3,{{i}_{7}}=1,{{i}_{8}}=2,{{i}_{9}}=3,{{i}_{10}}=4,{{i}_{11}}=1,\cdots . $

若$\Omega:=\{x^*\in\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{f_i}:Ax^*\in\bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{h_i}\}\neq\emptyset$, 则$\{x_n\}$强收敛于一点$x^*\in\Omega$.

证  由引理2.2, 对所有$ n\in{\Bbb N}$, $u_n=T^{f_{i_n}}_{r_{i_n}}x_n$且$w_n=T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}Au_n$, 其中, 对任一满足条件$(A_1)-(A_4)$的二元函数$\varphi$及任一常数$r>0$, $T^{\varphi}_{r}$按(2.1)式定义.先证对所有$n\in{\Bbb N}$, $\Omega\subset C_{n+1}$.由引理2.2和引理2.4可得

$ \|{{u}_{n}}-p{{\|}^{2}}={{\left\| T_{{{r}_{{{i}_{n}}}}}^{{{f}_{{{i}_{n}}}}}{{x}_{n}}-T_{{{r}_{{{i}_{n}}}}}^{{{f}_{{{i}_{n}}}}}p \right\|}^{2}} \\ \text{ }\le \left\langle T_{{{r}_{{{i}_{n}}}}}^{{{f}_{{{i}_{n}}}}}{{x}_{n}}-T_{{{r}_{{{i}_{n}}}}}^{{{f}_{{{i}_{n}}}}}p,{{x}_{n}}-p \right\rangle \\ \text{ }=\frac{1}{2}\left( \|{{u}_{n}}-p{{\|}^{2}}+\|{{x}_{n}}-p{{\|}^{2}}-\|{{u}_{n}}-{{x}_{n}}{{\|}^{2}} \right),\text{ } $

于是有

$ \begin{equation} \|u_n-p\|^2\leq\|x_n-p\|^2-\|u_n-x_n\|^2. \end{equation} $

(3.2)

又由引理2.2得到

$ \begin{equation} \|w_n-Ap\|^2=\left\|T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}Au_n-Ap\right\|^2\leq\|Au_n-Ap\|^2. \end{equation} $

(3.3)

由引理2.4和(3.3)式可得

$ \begin{eqnarray} && 2\mu\left\langle u_n-p, A^*\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\rangle \nonumber\\ &=&2\mu\left\langle A(u_n-p)+\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n-\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n, \left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\rangle\nonumber\\ &=&2\mu\left(\left\langle T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}Au_n-Ap, \left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\rangle-\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2\right)\nonumber\\ &=&2\mu\left(\frac{1}{2}\left\|T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}Au_n-Ap\right\|^2-\frac{1}{2}\|Au_n-Ap\|^2-\frac{1}{2}\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2\right)\nonumber\\ &\leq&-\mu\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2 \end{eqnarray} $

(3.4)

且

$ \begin{eqnarray} \left\|A^*\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2\leq\|A^*\|^2\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2. \end{eqnarray} $

(3.5)

由(3.1), (3.4)及(3.5)式可得

$ \begin{eqnarray} \|y_n-p\|^2&\leq&\left\|u_n+\mu A^*\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n-p\right\|^2\nonumber\\ &=&\|u_n-p\|^2+\left\|\mu A^*\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2+2\mu\left\langle u_n-p, A^*\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\rangle\nonumber\\ &\leq&\|u_n-p\|^2+\mu^2\|A^*\|^2\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2-\mu\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2\nonumber\\ &=&\|u_n-p\|^2-\mu\left(1-\mu\|A^*\|^2\right)\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2\nonumber\\ &\leq&\|x_n-p\|^2-\mu\left(1-\mu\|A^*\|^2\right)\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2. \end{eqnarray} $

(3.6)

注意到$\mu\in\left(0, \frac{1}{\|A^*\|^2}\right)$, 则有$\mu\big(1-\mu\|A^*\|^2\big)>0$.于是由(3.6)式得到

$ \begin{eqnarray} \|y_n-p\|\leq\|u_n-p\|\leq\|x_n-p\|, \end{eqnarray} $

(3.7)

这表明$p\in C_{n+1}$, 即对所有$n\in{\Bbb N}$, $\Omega\subset C_{n+1}$.

再证$C_{n+1}$为一闭凸集.其闭性无须赘述, 只证凸性.事实上, 对任意的$v_1, v_2\in C_{n+1}$及$t\in(0, 1)$, 由引理2.3可得

$ \begin{eqnarray*} \|y_n-(tv_1+(1-t)v_2)\|^2&=&\|t(y_n-v_1)+(1-t)(y_n-v_2)\|^2 \nonumber\\ &=&t\|y_n-v_1\|^2+(1-t)\|y_n-v_2\|^2-t(1-t)\|v_1-v_2\|^2\nonumber\\ &\leq&t\|u_n-v_1\|^2+(1-t)\|u_n-v_2\|^2-t(1-t)\|v_1-v_2\|^2\nonumber\\ &=&\|u_n-(tv_1+(1-t)v_2)\|^2. \end{eqnarray*} $

类似有$ \|u_n-(tv_1+(1-t)v_2)\|^2\leq\|x_n-(tv_1+(1-t)v_2)\|^2$.这表明$tv_1+(1-t)v_2\in C_{n+1}$, 因此, 对所有$n\in{\Bbb N}$, $C_{n+1}$均为凸集.

现往证$x_n\rightarrow x^*\in H$ $(n\rightarrow\infty)$.根据引理2.2 (4), $\Omega$为一闭凸集, 于是存在唯一一点$\omega\in\Omega\subset C_{n}$使得$\omega=P_{\Omega}x_1$.由$x_{n}=P_{C_{n}}x_1$可得, 对所有$n\in{\Bbb N}$, $\|x_{n}-x_1\|\leq\|\omega-x_1\|$.这表明$\{x_n\}$有界, $\{u_n\}$及$\{y_n\}$亦然.此外, 由$x_{n}=P_{C_{n}}x_1$及$x_{n+1}\in C_{n+1}\subset C_{n}$可得

$ \begin{eqnarray} \|x_{n}-x_1\|\leq\|x_{n+1}-x_1\|, \ \forall n\in{\Bbb N}. \end{eqnarray} $

(3.8)

因此, 极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-x_1\|$存在.由引理2.1 (3)及$x_{m}=P_{C_{m}}x_1\subset C_n$, 对任意的正整数$m$和$n$, $m >n$, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \|x_{n}-x_m\|^2+\|x_{1}-x_m\|^2&=&\left\|x_{n}-P_{C_{m}}x_1\right\|^2+\left\|x_{1}-P_{C_{m}}x_1\right\|^2\\ &\leq&\|x_{n}-x_1\|^2, \end{eqnarray*} $

亦即

$ \begin{eqnarray} \|x_{n}-x_m\|^2\leq\|x_{n}-x_1\|^2-\|x_{m}-x_1\|^2. \end{eqnarray} $

(3.9)

由极限$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|x_{n}-x_1\|$的存在性可知$\{x_n\}$为一Cauchy列, 于是存在一点$x^*\in H$使得

$ \begin{eqnarray} x_{n}\rightarrow x^*\ (n\rightarrow\infty). \end{eqnarray} $

(3.10)

最后, 我们证明$x^*\in\Omega$.由(3.1)和(3.10)式可得

$ \begin{eqnarray} \|y_n-x_n\|&\leq&\|y_n-x_{n+1}\|+\|x_{n+1}-x_{n}\|\nonumber\\ &\leq&2\|x_{n+1}-x_{n}\|\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty), \end{eqnarray}$

(3.11)

$ \begin{eqnarray} \|u_n-x_n\|&\leq&\|u_n-x_{n+1}\|+\|x_{n+1}-x_{n}\|\nonumber\\ &\leq&2\|x_{n+1}-x_{n}\|\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty) \end{eqnarray} $

(3.12)

及

$ \begin{equation} \|y_n-u_n\|\leq\|y_n-x_{n}\|+\|x_{n}-u_{n}\|\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty). \end{equation} $

(3.13)

又由(3.6)式得到

$ \begin{eqnarray} \left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|^2&\leq&\frac{1}{\mu\left(1-\mu\|A^*\|^2\right)}\left(\|x_n-p\|^2-\|y_{n}-p\|^2\right)\nonumber\\ &\leq&\frac{1}{\mu\left(1-\mu\|A^*\|^2\right)}\|x_n-y_n\|(\|x_n-p\|-\|y_{n}-p\|), \end{eqnarray} $

(3.14)

于是有

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left\|\left(T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}-I\right)Au_n\right\|=0. \end{equation} $

(3.15)

由(3.12)式可得

$ \begin{equation} \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left\|T^{f_{i_n}}_{r_{i_n}}x_n-x_n\right\|=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\|u_{n}-x_n\|=0. \end{equation} $

(3.16)

置${\Bbb N}_i=\left\{k\in{\Bbb N}:k=i+\frac{(m-1)m}{2}, m\geq i, m\in{\Bbb N}\right\}$, $i\in{\Bbb N}$.例如, 根据引理2.5及${\Bbb N}_1$的定义.我们有$ {\Bbb N}_1=\{1, 2, 4, 7, 11, 16, \cdots\} $且$ i_1=i_2=i_4=i_7=i_{11}=i_{16}=\cdots=1$.注意到只要$k\in {\Bbb N}_i$, 便有$T^{f_{i_n}}_{r_{i_n}}=T^{f_{i}}_{r_{i}}$.于是由(3.16)式得到

$ \begin{eqnarray} \lim\limits_{{\Bbb N}_i\ni k\rightarrow\infty}\left\|T^{f_{i}}_{r_{i}}x_k-x_k\right\|=0, \forall i\in{\Bbb N}. \end{eqnarray} $

(3.17)

由于$\{x_k\}_{k\in {\Bbb N}_i}$是$\{x_n\}$的子列, 则由(3.10)式可得$x_k\rightarrow x^{*}$ $({\Bbb N}_i\ni k\rightarrow\infty)$.由(3.17)式及$T^{f_{i}}_{r_{i}}$的连续性立刻得到:对每一$i\in{\Bbb N}$, $x^{*}\in F\left(T^{f_{i}}_{r_{i}}\right)$, 于是有$x^{*}\in \bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{f_i}$.

根据(3.15)式, 且注意到只要$k\in {\Bbb N}_i$, 便有$T^{h_{i_n}}_{r_{i_n}}=T^{h_{i}}_{r_{i}}$, 我们亦有

$ \begin{eqnarray} \lim\limits_{{\Bbb N}_i\ni k\rightarrow\infty}\left\|T^{h_{i}}_{r_{i}}Au_k-Au_k\right\|=0, \forall i\in{\Bbb N}, \end{eqnarray} $

(3.18)

这意味着$Ax^{*}\in \bigcap\limits^{\infty}_{i=1}(EP)_{h_i}$, 于是有$x^{*}\in\Omega$.这显然是由于

$ \begin{eqnarray} \|u_n-x^*\|\leq\|u_n-x_{n}\|+\|x_{n}-x^*\|\rightarrow0\ (n\rightarrow\infty) \end{eqnarray} $

(3.19)

以及每一$T^{h_{i}}_{r_{i}}$和$A$的连续性.证毕.

例3.2  设$H_1=H_2={\Bbb R}^1$且赋有标准范数$\|\cdot\|=|\cdot|$; $C=Q=[0,1]$.设$\{f_i\}:C\times C\rightarrow {\Bbb R}^1$和$\{h_i\}:Q\times Q\rightarrow{\Bbb R}^1$为两列二元函数, 分别定义为$ f_i(x, y)=\frac{1}{{1+i}}(y-x), \ h_i(u, v)=\frac{i-1}{{i}}(uv-u^2)$.设$Ax=A^*x=\frac{x}{2}$ $(x\in C)$, $\mu=3\in\big(0, \frac{1}{\|A^*\|^2}\big)=(0, 4)$, 以及$r_i=i\ (i=1, 2, \cdots)$.于是迭代序列(3.1)可重写为

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}\in {{C}_{1}}=:C, \\ \left\langle y-{{u}_{n}},{{u}_{n}}-\left( {{x}_{n}}-\frac{{{i}_{n}}}{1+{{i}_{n}}} \right) \right\rangle \ge 0,\forall y\in C, \\ \left\langle z-{{w}_{n}},{{w}_{n}}-\frac{{{u}_{n}}}{2{{i}_{n}}} \right\rangle \ge 0,\forall z\in Q, \\ {{y}_{n}}={{P}_{C}}\left( {{u}_{n}}+\frac{3}{2}\left( {{w}_{n}}-\frac{{{u}_{n}}}{2} \right) \right), \\ {{C}_{n+1}}=\{v\in {{C}_{n}}:\|{{y}_{n}}-v\|\le \|{{u}_{n}}-v\|\le \|{{x}_{n}}-v\|\}, \\ {{x}_{n+1}}={{P}_{{{C}_{n+1}}}}{{x}_{1}},\ \forall n\in \mathbb{N}, \\ \end{array} \right. $

(3.20)

其中$i_n$为正整数方程$n=i_n+\frac{(m_n-1)m_n}{2}\ (m_n\geq i_n, n=1, 2, \cdots)$的解.不难得出:对所有$n\in{\Bbb N}$, $C_{n+1}=\left[0, \frac{x_n+y_n+u_n}{3}\right]$.由${\Bbb R}^1$为Hilbert空间可知$J=I$及$\Pi_C=P_C$.于是, 根据引理2.6, (3.20)式转化为

$ \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{1}}\in {{C}_{1}}=:[0,1], \\ {{u}_{n}}={{P}_{C}}\left( {{x}_{n}}-\frac{{{i}_{n}}}{1+{{i}_{n}}} \right), \\ {{w}_{n}}={{P}_{C}}\left( \frac{{{u}_{n}}}{2{{i}_{n}}} \right), \\ {{y}_{n}}={{P}_{C}}\left( {{u}_{n}}+\frac{3}{2}\left( {{w}_{n}}-\frac{{{u}_{n}}}{2} \right) \right), \\ {{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}+{{y}_{n}}+{{u}_{n}}}{3},\ \forall n\in \mathbb{N}. \\ \end{array} \right. $

(3.21)

显然, $\{f_i\}$和$\{h_i\}$满足条件$(A_1)-(A_4)$且有$\Omega=\{0\}$.于是由定理3.1可知$\{x_n\}$强收敛到零点.利用MATLAB 7.10.0.499所得的数值实验结果表明, 当$x_1=1$时, $x_{10}, \ x_{15}$和$x_{20}$的计算结果分别为0.00015241579, 0.00000062722547和2.5811748e-9.这一例子验证了本文所设算法用于解决分裂均衡问题系统的有效性.