鉴于磁流体方程(MHD)在科学研究中的重要性, 无论是从理论还是数值计算方面, 都受到了越来越多的重视.在欧拉坐标下, 可压缩磁流体方程为

$ \partial_{t}\rho+{\rm div}(\rho u)=0, \label{eq:1.1} $

(1.1)

$ \partial_{t}(\rho u)+{\rm div}(\rho u\otimes u)+\nabla P={\rm div}T+{\rm curl}H\times H, \label{eq:1.2} $

(1.2)

$ {\partial _t}E + {\rm{div}}(uE + uP) = {\rm{div}}(\tau (\rho, \theta )\nabla \theta ) + {\rm{div}}(Tu) + {\rm{div}}((u \times H) \times H + \nu (\rho, \theta )H \times {\rm{curl}}H), $

(1.3)

$ {\partial _t}H - {\rm{curl}}(u \times H) = 0,5pt{\rm{div}}H = 0, $

(1.4)

其中$(x, t)\in{\Bbb R}^N\times{\Bbb R}_+ $, $\rho=\rho (x, t)$, $u=(u_1, u_2, \cdots, u_N)$, $\theta$, $p$, $H=(H_1, H_2, \cdots, H_N)$分别代表密度, 速度, 温度, 压力以及磁通量.柯西张量$T$是牛顿黏性张力的总和, 它的表达式为

$ T = 2\mu (\rho ,\theta )D(u) + \lambda (\rho ,\theta ){\rm{div}}uI, D(u) = \frac{1}{2}(\nabla u + {\nabla ^t}u), $

其中$I$是单位张量.系统总能量$E$的表达式为

$ E = E + \frac{1}{2}|H{|^2},5ptE = \rho (e + \frac{1}{2}|u{|^2}), $

其中$e$是位势能, $\frac{1}{2}\rho|u|^2$是动能并且$\frac{1}{2}|H|^2$是磁场能量.黏性系数$\mu, \lambda$, 热传导系数$\tau$和磁扩散系数$\nu$都是依赖于$\rho$和$\theta$.因为我们假设流体是牛顿流, 所以这两个Lamé黏性系数符合下面的物理条件

$ \mu (\rho ,\theta ) > 0,5pt2\mu (\rho ,\theta ) + N\lambda (\rho ,\theta ) \ge 0. $

(1.5)

方程(1.1)-(1.3)分别表示的是质量守恒, 动量守恒和能力守恒.众所周知, 电磁场是由Maxwell方程控制.所以在MHD中, 方程(1.4)被称为诱导方程.为了使系统闭合, 我们需要增加状态方程.在本论文中, 因为我们主要考虑流体在正压情形下, 所以状态方程为

$ P = R\rho \theta ,5pte = {C_v}\theta ,5ptP = A{e^{S/c}}{\rho ^\gamma }, $

(1.6)

其中$R$, $A$都是正数, $\gamma$是比热容的比率, $C_{v}=R/(\gamma-1)$, $S$是熵.此外我们要求, $\bar{\rho}, \bar{\theta}\geq0$

$ \mu (0,0) > 0,5pt2\mu (0,0) + N\lambda (0,0) \ge 0,5pt\tau (\bar \rho ,\bar \theta ) \ge 0,5pt\nu (\bar \rho ,\bar \theta ) \ge 0. $

(1.7)

近几年在流体力学领域中, 许多研究者都比较关注解的存在性, 唯一性和爆破现象等内容, 其中流体爆破现象的结果非常丰富.例如, Sideris^[8]在初始条件具有紧支集的条件下, 证明可压缩欧拉方程光滑解的有限时刻爆破现象; 辛周平^[10]用另外一种方法证明了可压缩Navier-Stokes方程的有限时刻爆破现象.他假设了两个条件：密度的紧支集是次线性增长并且熵是有下界.最近, 辛周平和闫伟^[11]引入孤质量群的概念, 从而去除初始密度需要有紧支集的假设, 得到一个新的爆破结果.都大鹏等^[2]证明等温可压缩Navier-Stokes方程在二维情形下的爆破现象.

近些年, 许多物理学家和数学家都在研究MHD方程, 因为它具有重要的物理意义, 丰富的物理现象和复杂的数学分析.与Navier-Stokes方程相比, 在研究MHD方程过程中, 我们会遇到更多的困难.因为流体运动过程中动力场和电磁场相互耦合, 导致磁场在导体的运动过程中产生诱导电流, 而这个诱导电流反过来又能对磁场产生影响.因此, 将Navier-Stokes方程相关的结果推广到MHD方程不是那么简单.尽管如此, 最近还是有不少关于可压缩MHD方程爆破准则的结果.有兴趣的读者可以参考文献[3, 6, 9, 12-13]以及其他相关文献.但是据作者所知, 除了文献[1, 7, 14]之外, 关于MHD方程爆破现象的文献很少.具体来说, 文献[1]和[7]讨论的是等熵MHD方程, 而文献[14]则讨论的是下面的系统

$ \partial_{t}\rho+{\rm div}(\rho u)=0, $

$ \partial_{t}(\rho u)+{\rm div}(\rho u\otimes u)+\nabla P={\rm div}T+{\rm curl}H\times H, $

$ \partial_{t}(\rho e)+{\rm div}(\rho ue)+p{\rm div}u=\kappa\Delta\theta +2\mu|D(u)|^2+\lambda({\rm div}u)^2, $

$ {\partial _t}H - {\rm{curl}}(u \times H) = 0, {\rm{div}}H = 0. $

但是上述的结果考虑的都是MHD方程的系数是常数的情形.而当系数不是常数时候, 目前已有的方法不能处理.在本论文中, 我们将研究在一般情形下MHD方程的爆破现象, 即黏性系数, 热传导系数和磁扩散系数都依赖于密度和温度.而这样的问题更符合实际物理情形, 更有物理意义.因为系数不再是常数, 我们不能再像文献[1, 7, 14]那样轻松的计算, 这给我们带来新的困难.为了克服这些困难, 受到文献[5]的启发, 我们引进了一些新的物理量.这些新的物理量将在证明中简化以及避免复杂的计算.我们引进的物理量如下

$ m(t) = \int_{{\mathbb{R}N}} \rho (x, t){\rm{d}}x, $

(1.8)

$ M(t)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho(x, t)x {\rm d}x, $

(1.9)

$ F(t)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho(x, t)u(x, t){\rm d}x. $

(1.10)

这些物理量分别代表整体质量, 整体质量的径向分量以及整体动量.

在整篇文章中, 我们总是假设$m(0)>0$和$F(0)\neq0$.另外我们假设MHD方程的初值为

$ (\rho, u, S, H)\big|_{t=0}=\big(\rho_{0}(x), u_{0}(x), S_{0}(x), H_{0}(x)\big)\in H^{m}({\Bbb R}^{N}), \ \ \Big(m>\Big[\frac{N}{2}\Big]+4\Big). $

(1.11)

此外, 我们还假设初始密度$\rho_{0}$和初始磁通量$H_0$都有紧支集, 即存在两个正常数$R$和$R'$使得下列式子成立

$ {\rm{supp}}{\rho _0} \cap {\rm{supp}}{H_0} \subseteq {B_R}, \\{\rm supp}\rho_{0}\cup{\rm supp}H_{0}\subseteq B_{R'}, $

(1.12)

其中$B_R:=\{x\in{\Bbb R}^N||x|\leq R\}$并且$B_R':=\{x\in{\Bbb R}^N||x|\leq R'\}$.由连续方程以及波速度的传播性, 我们可得密度$\rho(x, t)$和磁场$H(x, t)$在空间里总是有紧支集.因此我们可以在$t\in[0, T]$定义

$ R(t)\equiv\inf\{r|{\rm supp}\rho(x, t)\cup{\rm supp}H(x, t)\subset B_{r}\}. $

(1.13)

本文的定理如下.

定理1.1 我们假设系数$(\mu, \lambda, \tau, \nu)$满足(1.5)-(1.7)式, 并且$(\rho, u, S, H)\in C^{1}(0, T;$$H^{m}({\Bbb R}^{N}))$是可压缩MHD方程的一个解, 并且初值(1.11)满足(1.12)式.此外, 我们还假设存在两个独立于$T$正常数$\beta < 1$, $C>0$使得

$ R(t)\leq C(1+t)^{\beta}, \ \ \forall\ t\in[0, T]. $

(1.14)

则解的生命跨度是有限的, 即

$ m(0)C(1+t)^{\beta}\geq|M_{i}(0)+F_{i}(0)t|, \ \ \ i=1, \cdots, N. $

(1.15)

此外, 我们还可以证明下面的定理.

定理1.2 我们假设系数$(\mu, \lambda, \tau, \nu)$满足(1.5)-(1.6)式, 并且要求$2\mu(0, 0)+N\lambda(0, 0)>0$.则对任意可压缩MHD方程的柯西问题的解$(\rho, u, S, H)\in C^{1}\big(0, T;H^{m}({\Bbb R}^{N})\big)$, 其密度$\rho$和磁通量$H$的支撑集将不会随着时间发生改变, 具体来说就是

$ R(t)=C_{1}, \ \ \ \forall\ t\in[0, T], $

(1.16)

并且

$ C_{1}=R(0)=\inf\{r|{\rm supp}\rho_{0}\cup{\rm supp}H_0\subset B_{r}\}. $

(1.17)

因此, 当$\beta=0$估计式(1.15)仍然成立.

在本节, 我们将证明定理1.1.首先, 由连续方程我们得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}{m(t)}=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho {\rm d}x=0. $

(2.1)

类似地, 对质量方程乘以$x_{i}$并且使用分部积分, 我们就可以得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}{M_{i}(t)}=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho x_{i}{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho u_{i}{\rm d}x. $

(2.2)

直接对动量方程进行积分, 我们得到

$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}{F(t)}=\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho u {\rm d}x=0. $

(2.3)

事实上, 从$u\in H^{m}({\Bbb R}^{N})$和引理3.1, 我们可以得到

$ \int_{{\Bbb R}^{N}}{\rm div}T{\rm d}x=0. $

(2.4)

然后, 对方程(2.1)-(2.3)在$[0, t]$上进行积分, 我们有

$ m(t)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho_{0}{\rm d}x=m_{0}, $

(2.5)

$ M_{i}(t)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho_{0} x_{i}{\rm d}x+\int_0^t\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho u_{i}{\rm d}x{\rm d}s \label{eq:2.6} =M_{i}(0)+\int_0^tF_{i}{\rm d}s, $

(2.6)

$ F(t)=\int_{{\Bbb R}^{N}}\rho_{0} u_{0}{\rm d}x=F(0). $

(2.7)

从式子(2.6)-(2.7)我们可以得到下面等式

$ M_{i}(t)=M_{i}(0)+F_{i}(0)t. $

(2.8)

另外一方面, 我们可以得到$M_{i}(t)$的上界

$ |{M_i}(t)| = |\int_{\mathbb{R}{^N}} \rho {x_i}{\rm{d}}x| \le |\int_{|x| \le R(t)} \rho {x_i}{\rm{d}}x| \\\le R(t)|\int_{\mathbb{R}{^N}} \rho {\rm{d}}x| = R(t)|\int_{\mathbb{R}{^N}} {{\rho _0}} {\rm{d}}x| \\= m(0)R(t). $

(2.9)

最后, 结合式子(2.8), (2.9)和假设(1.14), 我们有

$ |F_{i}(0)t+M_{i}(0)|\leq m(0)C(1+t)^{\beta}, \label{eq:2.10} \ \ \ i=1, \cdots, N. $

(2.10)

因为$\beta < 1$, 所以解的生命跨度是有限的.这就完成了定理1.1的证明.

定理1.2的证明是基于下面这个重要的引理.这个引理是对辛周平^[10]结果的一个推广.

引理3.1 我们假设系数$(\mu, \lambda, \tau, \nu)$和定理1.1中的要求一样, 但是不再要求$2\mu(0, 0)+N\lambda(0, 0)>0$.此外我们还假设$(\rho, u, S, H)\in C^{1}(0, T;H^{m}({\Bbb R}^{N}))$是可压缩MHD方程(1.1)-(1.4)的一个解, 初值(1.11)满足(1.12)式.则有

$ u(x, t) \equiv 0, \;\;\;x \in B_{R(t)}^c. $

(3.1)

此外, 当$C_{1}=R(0)=\inf\{r|{\rm supp}\rho_{0}\cup{\rm supp}H_0\subset B_{r}\}$, 我们有$R(t)=C_{1}$对所有$t\in[0, T]$.

证 首先在$t=0$时, 我们令$X(t, \alpha)$表示粒子轨道起始于$\alpha$, 即

$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}X(t, \alpha ) = u(X(t, \alpha ), t), \;\;\;X(0, \alpha ) = \alpha . $

(3.2)

同时令闭区域$\Omega(t)$为球$B_R$在映射(3.2)下的映像

$ \Omega(t)=\{ (x, t)|x=X(t, \alpha), \alpha\in B_R\}. $

(3.3)

我们注意到在粒子轨道$X(t, \alpha)$上, 密度$\rho$和磁场$H$都满足齐次常微分方程.因此, 如果$\rho$和$H$在某个位置$\alpha$时为零, 则从$\alpha$开始, 在粒子轨道上$\rho$和$H$都将为零.由(1.12)式, 我们得到

$ \rho = H \equiv 0, \;\;\;\forall \;x \in \Omega {(t)^c}. $

(3.4)

由热力学定律我们知道当密度$\rho$为零的时候, 温度$\theta$也为零, 同时黏性系数也为常数.因此从状态方程(1.6), 我们得

$ P=\theta(x, t)=e(x, t)=0, \ \ \ \forall\ x\in\Omega(t)^{c}. $

(3.5)

类似在动量和能量方程中, 我们可得到在区域$\Omega(t)^{c}$磁场为零.所以, 我们易得下面式子

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{div}}T \equiv 0, \\ {\rm{div}}(uT) \equiv 0, \;\;\;\;\forall \;(x, t) \in \Omega {(t)^c}. \end{array} \right. $

(3.6)

直接进行计算, 易得

$ 0 = {\rm{div}}(uT) - u{\rm{div}}T \\= \frac{{\mu (0, 0)}}{2}|\nabla u + {\nabla ^ \top }u{|^2} + \lambda (0, 0){({\rm{div}}u)^2} \\= 2\mu (0, 0)\sum\limits_{i = 1}^N {{{({\partial _i}{u_i})}^2}} + \lambda (0, 0){({\rm{div}}u)^2} + \mu (0, 0)\sum\limits_{i \ne j} {{{({\partial _i}{u_j})}^2}} + 2\mu (0, 0)\sum\limits_{i > j} {{\partial _i}} {u_j}{\partial _j}{u_i}. $

(3.7)

当$\lambda\leq0$, 从(3.6), (3.7)式和柯西不等式, 我们有

$ \frac{{\mu (0, 0)}}{2}|\nabla u + {\nabla ^ \top }u{|^2} + \lambda (0, 0){({\rm{div}}u)^2} \\\ge (2\mu (0, 0) + N\lambda (0, 0))\sum\limits_{i = 1}^N {{{({\partial _i}{u_i})}^2}} + \mu (0, 0)\sum\limits_{i \ne j} {{{({\partial _i}{u_j})}^2}} + 2\mu (0, 0)\sum\limits_{i > j} {{\partial _i}} {u_j}{\partial _j}{u_i} \\= (2\mu (0, 0) + N\lambda (0, 0))\sum\limits_{i = 1}^N {{{({\partial _i}{u_i})}^2}} + \mu (0, 0)\sum\limits_{i \ne j} {{{({\partial _i}{u_j} + {\partial _j}{u_i})}^2}} . $

(3.8)

当$\lambda>0$, 我们也能得到

$ \frac{{\mu (0, 0)}}{2}|\nabla u + {\nabla ^ \top }u{|^2} + \lambda (0, 0){({\rm{div}}u)^2}2\mu (0, 0)\sum\limits_{i = 1}^N {{{({\partial _i}{u_i})}^2}} \\+ \mu (0, 0)\sum\limits_{i \ne j} {{{({\partial _i}{u_j} + {\partial _j}{u_i})}^2}} . $

(3.9)

因此, 不等式$(3.8)$和$(3.9)$暗示了对所有的$\lambda$, 每一个$i, j=1, \cdots, N$和任意$x\in\Omega(t)^{c}$, 我们都有

$ {\partial _i}{u_i}(x, t) = 0, \\\partial_{i}u_{j}(x, t)=-\partial_{j}u_{i}(x, t), \ i\neq j. $

(3.10)

从式子(3.10)和$u\in H^{m}({\Bbb R}^{N})$ $(m\geq[\frac{N}{2}]+4$), 我们能直接得到

$ u\equiv0, \ \ \ \forall\ (x, t)\in \Omega(t)^{c}. $

(3.11)

从$\Omega(t)$的定义, 我们可知, 如果$\alpha\in\Omega^{c}(0)$, 则

$ u(X(t, \alpha), t)=0. $

(3.12)

所以有

$ X(t, \alpha)=\alpha+\int_0^tu(X(s, \alpha), s){\rm d}s=\alpha $

(3.13)

和

$ \Omega(0)=\Omega(t), \ \ \ \forall\ 0\leq t\leq T. $

(3.14)

从上述式子, 我们可以推测出$R(t)=C_{1}$, 其中$C_{1}=R(0)$.我们这就完成了对引理3.1的证明.

定理1.2的证明 由于定理1.1和引理3.1, 我们易得定理1.2的证明.