$n$维可压缩的等熵的Euler方程组为

$ \begin{equation}\label{1}\left\{\begin{array}{ll}\rho_t+\nabla\cdot(\rho {\bf u})=0, \\ (\rho{\bf u})_t+\nabla\cdot(\rho{\bf u}\otimes{\bf u})+\nabla P=0, \end{array}\right. \end{equation} $

(1.1)

其中${\bf x}=(x_1, \cdots, x_n)^T\in{\Bbb R}^n$是空间变量, $t\geqslant0$表示时间, $\rho(t, \bf x)$是流体密度, ${\bf u}=(u_1(t, {\bf x}), \cdots, u_n(t, {\bf x}))^T$表示流体速度, $\otimes$是Kronecker张量积, $P$是流体压力.本文我们研究由Euler方程组(1.1)所描述的Chaplygin气体的平面波解, 而Chaplygin气体的状态方程由下式给出

$ \begin{equation}\label{2}P=a^2\left(\frac{1}{\rho_0}-\frac{1}{\rho}\right), \end{equation} $

(1.2)

这里$a, \rho_0$是正的常数.状态方程(1.2)相当于在多方气体状态方程$P=\rho^{\gamma}\gamma^{-1}$($\gamma\geqslant1$)中令绝热指数$\gamma=-1$而得到.通常, 称绝热指数$\gamma=-1$的气体为Chaplygin气体或者Karman-Tsien气体^{[2, 17-18]}.

近年来, Chaplygin气体的研究吸引了很多数学家和物理学家的兴趣.航空动力学中计算飞机机翼上的提升力时, 该模型被认为是合适的数学近似^[17].同时, Chaplygin气体模型也被用来作为宇宙模型研究暗能量^[6].从数学角度看, Chaplygin气体方程组(1.1)最显著的特点之一是:在Lax意义下, 它是线性退化的^[15]. Brenier^[1]给出了一维Chaplygin气体方程组的黎曼问题的求解, 他考虑了质量的集中效应. Serre^[16]研究了二维Chaplygin气体方程组的黎曼问题以及激波的反射问题. Chen和Qu^[3-4]得到了二维等熵和无旋Chaplygin气体方程组的黎曼问题的自相似解.对于三维非等熵的Chaplygin气体, Godin^[5]证明了如果初值仅仅是常状态附近的小扰动, 且扰动具有紧支集, 那么柯西问题的光滑球对称解是整体存在的. Godin证明的关键之处在于利用了问题的线性退化和广义能量估计的工具.

最近, Huang和Wang^[7]研究了高维Chapygin气体的球对称解.利用平面相图和李雅普诺夫函数方法, 他们定性地得到了若干解的整体存在性和爆破的结果.当初值是常状态附近的小扰动, 且初始速度的涡度为零时, Kong, Liu和Wang^[11]证明了二维等熵Chaplygin气体的柯西问题存在整体光滑解. Kong, Wei和Zhang^[9-10]研究了一维Chaplygin气体的奇性形成和传播, 系统分析了质量集中现象和$\delta$激波的形成.同时, 他们通过构造成功得到了包含$\delta$激波的物理解.在爆破点附近, Kong, Wei和Zhang详尽地给出了光滑解的定性行为.在他们的讨论中, 很重要的一个方面是一维Chaplygin气体方程组可以对角化为$2\times2$的拟线性双曲型方程组, 而有关的研究已经有比较丰富和漂亮的结果^[12].

到目前为止, 已有不少研究一维Chaplygin气体的工作.然而, 关于高维Chaplygin气体方程组的适定性问题的工作仍然不多.众所周知, 高维拟线性双曲型方程组的适定性问题至今仍然是一个巨大挑战.本文将研究高维Chaplygin气体方程组的平面波解, 给出它们所具有的有趣性质.特别地, 我们发现平面波解所满足的微分方程组可以被对角化.基于这个观察, 我们可以得到Chaplygin气体方程组光滑平面波解的整体存在性.与此同时, 利用Kong, Wei和Zhang^[9-10]研究一维Chaplygin气体的方法, 我们可以得到若干平面波解爆破的结果.

文章结构如下:第二节讨论高维Chaplygin气体方程组的性质.在此基础上, 第三节研究高维Chaplygin气体方程组平面波解的整体存在性以及不存在性.

在这一节, 我们给出Chaplygin气体的平面波解所满足的微分方程组以及平面波解所具有的若干性质.

考虑如下形式的平面波解

$ \begin{equation}\label{3}\rho=\rho(t, \theta), \; {\bf u}={\bf u}(t, \theta), \end{equation} $

(2.1)

其中

$ \begin{equation}\label{4}\theta=\sum_{i=1}^n\zeta_ix_i, \;{\bf\zeta}=(\zeta_1, \cdots, \zeta_n)^T, \;|{\bf \zeta}|=1.\end{equation} $

(2.2)

不失一般性, 我们设$\zeta_1\neq0$.注意到Chaplygin气体的状态方程(1.2), 为了保持压力为正, 平面波解所存在的区域必须满足

$ \begin{equation}\label{5}\rho>\rho_0, \quad\forall\, (t, \theta)\in{\Bbb R}_{+}\times{\Bbb R}.\end{equation} $

(2.3)

将(2.1)-(2.2)式带入到(1.1)式, 并引入新的未知量

$ \begin{equation}\label{6}{\bf U}=(\rho, {\bf u}^T)^T, \end{equation} $

(2.4)

则方程组(1.1)可化为如下一阶拟线性双曲型方程组

$ \begin{equation}\label{7}{\bf U}_t+A({\bf U}){\bf U}_{ \theta}=0, \end{equation} $

(2.5)

其中

$ A(\mathbf{U})=\left( \begin{matrix} \mathbf{u}\cdot \zeta & ~\rho {{\zeta }_{1}}~~ & \rho {{\zeta }_{2}} & ~\cdots ~~ & \rho {{\zeta }_{n}} \\ \frac{{{a}^{2}}}{{{\rho }^{3}}}{{\zeta }_{1}} & \mathbf{u}\cdot \zeta & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{{{a}^{2}}}{{{\rho }^{3}}}{{\zeta }_{2}} & 0 & \mathbf{u}\cdot \zeta & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ \frac{{{a}^{2}}}{{{\rho }^{3}}}{{\zeta }_{n}} & 0 & 0 & \cdots & \mathbf{u}\cdot \zeta \\ \end{matrix} \right). $

平面波解相应的初值为

$ \begin{equation}\label{8} t=0: \; {\bf U}= (\mathop{\rho}\limits^{\circ}({\theta}), {\mathop{u}\limits^{\circ}}_1(\theta), \cdots, {\mathop{u}\limits^{\circ}}_n(\theta))^T\triangleq {\bf\phi}(\theta). \end{equation} $

(2.6)

直接计算, $A({\bf U})$的特征值为

$ \begin{equation}\label{9}\lambda_{1}({\bf U})\equiv\lambda_2({\bf U})\equiv\cdots\equiv\lambda_{n-1}({\bf U})\equiv{\bf u} \cdot\zeta\triangleq\lambda_0 \end{equation} $

(2.7)

以及

$ \begin{equation}\label{10}\lambda_n({\bf U})\equiv{\bf u}\cdot\zeta+\frac{a}{\rho}\triangleq\lambda_{+}, \; \lambda_{n+1}({\bf U})\equiv{\bf u}\cdot\zeta-\frac{a}{\rho}\triangleq\lambda_{-}.\end{equation} $

(2.8)

相应于特征值$\lambda_i({\bf U})\, (i=1, 2, \cdots, n+1)$的右特征向量可选取为

$ \begin{equation}\label{11}r_1({\bf U})=\left(0, -\frac{\zeta_2}{\zeta_1}, e_1\right)^T, \; r_2({\bf U})=\left(0, -\frac{\zeta_3}{\zeta_1}, e_2\right)^T, \;\cdots, \; r_{n-1}({\bf U})=\left(0, -\frac{\zeta_n}{\zeta_1}, e_{n-1}\right)^T, \end{equation} $

(2.9)

$ \begin{equation}\label{12}r_{n}({\bf U})=\left(\frac{\rho^2}{a}, \zeta_1, \cdots, \zeta_n\right)^T, \quad r_{n+1}({\bf U})=\left(-\frac{\rho^2}{a}, \zeta_1, \cdots, \zeta_n\right)^T, \end{equation} $

(2.10)

其中,

$ \begin{equation}\label{13}e_i=(0, \cdots, 0, \mathop{1}\limits^{(i)} , 0, \cdots, 0)\;\;(i=1, 2, \cdots, n-1);\end{equation} $

(2.11)

同时, 相应于特征值$\lambda_i({\bf U})\, (i=1, 2, \cdots, n+1)$的左特征向量可选取为

$ \begin{equation}\label{14}l_i({\bf U})=r_i({\bf U})^T \;\;(i=1, 2, \cdots, n-1), \end{equation} $

(2.12)

$ \begin{equation}\label{15} l_{n}({\bf U})= \left(\frac{a}{\rho^2}, \zeta_1, \zeta_2, \cdots, \zeta_n\right), l_{n+1}({\bf U})= \left(-\frac{a}{\rho^2}, \zeta_1, \zeta_2, \cdots, \zeta_n\right).\end{equation} $

(2.13)

由以上讨论可得

命题 2.1  在假设(2.3)下, 双曲型方程组(2.5)是非严格双曲型的, 具有$(n-1)$重的常特征值以及另外两个互异的特征值(见(2.7)-(2.8)式); 同时, 右特征向量可由(2.9)-(2.10)式给出, 左特征向量可由(2.12)-(2.13)式表示.

注 2.1  若在(2.2)式中令$\zeta_1=1, \;\zeta_{i}=0\;(i=2, \cdots, n)$, 则方程组(2.5)化约为刻画一维Chaplygin气体运动的方程组.

命题 2.2  在假设(2.3)下, 双曲型方程组(2.5)在Lax^[15]意义下是完全线性退化的, 即成立

$ \begin{equation}\label{16}\nabla\lambda_i({\bf U})\, r_i({\bf U})\equiv0 (i=1, 2, \cdots, n+1).\end{equation} $

(2.14)

证  计算不变量$\nabla\lambda_0\cdot r_i({\bf U})\;(i=1, 2, \cdots, n-1)$, $\nabla\lambda_{+}\cdot r_n({\bf U})$和$\nabla\lambda_{-}\cdot r_{n+1}({\bf U})$.

直接计算可知, 对每一个$i\in\{1, 2, \cdots, n-1\}$,

$ \begin{equation}\label{17}\nabla\lambda_0\cdot r_i({\bf U})=\left(0, \zeta_1, \zeta_2, \cdots, \zeta_n\right)\cdot\left(0, -\frac{\zeta_{i+1}}{\zeta_1}, e_i \right)=-\zeta_{i+1}+\zeta_{i+1}\equiv0.\end{equation} $

(2.15)

此外,

$ \begin{equation}\label{18}\nabla\lambda_{+}\cdot r_n({\bf U})=\left(-\frac{a}{\rho^2}, \zeta_1, \cdots, \zeta_n\right) \cdot\left(\frac{\rho^2}{a}, \zeta_1, \cdots, \zeta_n\right)\equiv0.\end{equation} $

(2.16)

类似可得

$ \begin{equation}\label{19}\nabla\lambda_{-}\cdot r_{n+1}({\bf U})\equiv0.\end{equation} $

(2.17)

从而结论成立.证毕.

现在引入对应于特征值$\lambda_i({\bf U})\;(i=1, \cdots, n+1)$的向量场

$ \begin{equation}\label{20}V={\rm span}\{r_1({\bf U}), r_2({\bf U}), \cdots, r_{n+1}({\bf U})\}.\end{equation} $

(2.18)

在空间$V$中, 定义如下的Lie括号

$ \begin{equation}\label{21}[r_i({\bf U}), r_j({\bf U})]=\nabla r_i({\bf U})\cdot r_j({\bf U})- \nabla r_j({\bf U})\cdot r_i({\bf U}), \;\;\forall \;i, j\in\{1, 2, \cdots, n+1\}.\end{equation} $

(2.19)

下面给出双曲型方程组(2.5)的一个很重要的性质.

命题 2.3  双曲型方程组(2.5)的李括号全部为零, 即

$ \begin{equation}\label{22}[r_i({\bf U}), r_j({\bf U})]\equiv0, \;\; \forall \;i, j=1, \cdots, n+1.\end{equation} $

(2.20)

证 仅考虑Lie括号$[r_n({\bf U}), r_{n+1}({\bf U})]$, 其它情形类似可证.通过计算

$ [{{r}_{n}}(\mathbf{U}), {{r}_{n+1}}(\mathbf{U})]=\nabla {{r}_{n}}(\mathbf{U})\cdot {{r}_{n+1}}(\mathbf{U})-\nabla {{r}_{n+1}}(\mathbf{U})\cdot {{r}_{n}}(\mathbf{U}) \\ ={{\left( -\frac{2{{\rho }^{3}}}{{{a}^{2}}}, 0, \cdots, 0 \right)}^{T}}-{{\left( -\frac{2{{\rho }^{3}}}{{{a}^{2}}}, 0, \cdots, 0 \right)}^{T}}\equiv 0. $

证毕.

我们知道, 一维拟线性双曲型方程组一般不可能被对角化.但是, 我们仍然有不少准则去判断拟线性双曲型方程组是否可以被对角化. Kong^[8]给出一个充分必要条件去判断高维的一阶拟线性双曲型方程组的对角化.下面的引理来自于Kong^[8]的定理2.2.

引理 2.1  双曲型方程组(2.5)可以被对角化, 当且仅当

$ \begin{equation}\label{23}L_1({\bf U})\wedge\cdots\wedge L_{n-1}({\bf U})\wedge {\rm d}L_{\alpha}({\bf U})=0\;\;(\alpha=1, \cdots, n-1), \end{equation} $

(2.21)

$ \begin{equation}\label{24}L_{\beta}\wedge {\rm d}L_{\beta}({\bf U})=0\;\;(\beta=n, n+1), \end{equation} $

(2.22)

其中$L_i({\bf U})=l_i({\bf U}){\rm d}{\bf U} \;(i=1, 2, \cdots, n+1)$, $l_i({\bf U})$是$A({\bf U})$的左特征向量.

由引理2.1可得

命题 2.4  双曲型方程组(2.5)可以被对角化.

证 只需要验证(2.21)和(2.22)式.对每一个$i\in\{1, 2, \cdots, n-1\}$, 我们有

$ \begin{equation}\label{25}L_i({\bf U})=\left(0, -\frac{\zeta_{i+1}}{\zeta_1}, e_i\right)\cdot({\rm d}\rho, {\rm d}u_1, \cdots, {\rm d}u_n)=-\frac{\zeta_{i+1}}{\zeta_1}{\rm d}u_1+{\rm d}u_{i+1}, \end{equation} $

(2.23)

且对$i=n, n+1$, 分别有

$ {{L}_{n}}(\mathbf{U})=\left( \frac{a}{{{\rho }^{2}}}, {{\zeta }_{1}}, {{\zeta }_{2}}, \cdots, {{\zeta }_{n}} \right)\cdot (\text{d}\rho, \text{d}{{u}_{1}}, \cdots, \text{d}{{u}_{n}}) \\ =\frac{a}{{{\rho }^{2}}}\text{d}\rho +{{\zeta }_{1}}\text{d}{{u}_{1}}+{{\zeta }_{2}}\text{d}{{u}_{2}}+\cdots +{{\zeta }_{n}}\text{d}{{u}_{n}} $

(2.24)

以及

$ {{L}_{n+1}}(\mathbf{U})=\left(-\frac{a}{{{\rho }^{2}}}, {{\zeta }_{1}}, {{\zeta }_{2}}, \cdots, {{\zeta }_{n}} \right)\cdot (\text{d}\rho, \text{d}{{u}_{1}}, \cdots, \text{d}{{u}_{n}}) \\ =-\frac{a}{{{\rho }^{2}}}\text{d}\rho +{{\zeta }_{1}}\text{d}{{u}_{1}}+{{\zeta }_{2}}\text{d}{{u}_{2}}+\cdots +{{\zeta }_{n}}\text{d}{{u}_{n}}. $

(2.25)

容易看到

$ \text{d}{{L}_{i}}(\mathbf{U})\equiv 0\ \ (i=1, 2, \cdots, n-1), $

(2.26)

和

$ \begin{equation}\label{29}{\rm d}L_n({\bf U})=-\frac{2a}{\rho^3}{\rm d}\rho\wedge {\rm d}\rho\equiv0, \quad {\rm d}L_{n+1}({\bf U})=\frac{2a}{\rho^3}{\rm d}\rho\wedge {\rm d}\rho\equiv0. \end{equation} $

(2.27)

联合(2.26)和(2.27)式立得结论.证毕.

由命题2.4, 通过计算$A({\bf U})$的左特征向量的首次积分, 可以得到如下的严格黎曼不变量

$ \begin{equation}\label{30}R_i=-\frac{\zeta_{i+1}}{\zeta_1}u_1+u_{i+1} \;\;(i=1, 2, \cdots, n-1), R_n=\lambda_{-}, \quad R_{n+1}=\lambda_{+}.\end{equation} $

(2.28)

利用上述黎曼不变量, 双曲型方程组(2.5)可以化为如下的对角型方程组

$ \begin{equation}\label{31}\frac{\partial R_i}{\partial t}+\frac{1}{2}(\lambda_{+}+\lambda_{-})\frac{\partial R_i}{ \partial\theta}=0 \;\;(i=1, 2, \cdots, n-1) \end{equation} $

(2.29)

以及

$ \begin{equation}\label{32}\frac{\partial\lambda_{-}}{\partial t}+\lambda_{+}\frac{\partial\lambda_{-}}{\partial\theta}=0, \quad \frac{\partial\lambda_{+}}{\partial t}+\lambda_{-}\frac{\partial\lambda_{+}}{\partial\theta}=0.\end{equation} $

(2.30)

方程组(2.29)和(2.30)在讨论中具有非常重要的作用.

注 2.2  对于平面波解, 如果取$\zeta_1=1, \zeta_i=0 \ (i=2, \cdots, n)$, 那么黎曼不变量$R_i $ $(i=1, 2, \cdots, n-1)$等于零, 从而只剩下两个黎曼不变量$\lambda_+$和$\lambda_-$.这与一维Chaplygin气体运动方程组的相关结果一致, 见文献[10]中相应的讨论.

本节我们将研究Chaplygin气体光滑平面波解的整体存在性以及解的奇性的形成.正如以上所讨论, 关键之处在于求解关于$\lambda_+$和$\lambda_{-}$的线性退化方程组(2.30).一旦$\lambda_+$和$\lambda_{-}$被求解出来, 方程组(2.29)就化为线性方程组, 从而可以容易求解.

利用(2.6)式, 方程组(2.29)和(2.30)的初值可分别写为

$ \begin{equation}\label{33}t=0: R_i= -\frac{\zeta_{i+1}}{\zeta_1} {\mathop{u}\limits^{\circ}}_1 (\theta)+ {\mathop{u}\limits^{\circ}}_{i+1} (\theta) \triangleq {\mathop{R}\limits^{\circ}}_i (\theta)\quad (i=1, 2, \cdots, n-1) \end{equation} $

(3.1)

以及

$ \begin{equation}\label{34}t=0: \lambda_{\pm}= {\mathop{\bf u}\limits^{\circ}} (\theta)\cdot\zeta \pm\frac{a}{ {\mathop{\rho }\limits^{\circ}} (\theta)}\triangleq \Lambda_{\pm}(\theta).\end{equation} $

(3.2)

为保证由(1.2)式给出的压力初始时为正, 我们假设

$ \begin{equation}\label{35} {\mathop{\rho }\limits^{\circ}} (\theta)>\rho_0\;(>0), \forall\;\theta\in{\Bbb R}, \end{equation} $

(3.3)

这意味着

$ \begin{equation}\label{36}0 <\Lambda_+(\theta)-\Lambda_-(\theta) <\frac{2a}{\rho_0}, \forall\;\theta\in{\Bbb R}.\end{equation} $

(3.4)

现在给出Chaplygin气体方程组平面波解的整体存在性结果, 它是本文的主要结果.

定理 3.1  设条件(3.3)成立, 且进一步假设

$ \begin{equation}\label{37}\sup_{\theta_1\leq\theta_2}(\Lambda_+(\theta_2)-\Lambda_-(\theta_1))<\frac{2a}{\rho_0}, \end{equation} $

(3.5)

则柯西问题(2.5)-(2.6)存在唯一的定义在${\Bbb R}^+\times{\Bbb R}$上, 且满足

$ \begin{equation}\label{38}\rho(t, \theta)>\rho_0\end{equation} $

(3.6)

的整体$C^1$解${\bf U}={\bf U}(t, \theta)$, 当且仅当对每一个$\theta_2\in{\Bbb R}$子式成立

$ \begin{equation}\label{39}\Lambda_-(\theta_1)<\Lambda_+(\theta_2), \forall \;\theta_1<\theta_2.\end{equation} $

(3.7)

注 3.1  假设(3.7)式是保证方程组(2.30)整体光滑解存在的充分必要条件, 参见Kong和Tsuji^[12]的有关讨论.

注 3.2  正如Kong和Tsuji^[12]所指出, 条件(3.7)蕴含着方程组(2.30)总是严格双曲型的.而且, 在下面的讨论中, 我们将看到该条件保证流体的密度不会发生爆破.这揭示了严格双曲性失去与Chaplygin气体的爆破之间的关系.

注 3.3  容易看出, 由公式(3.5)可得到(3.4)式右端的不等式.而且, (3.5)式是保证$\lambda_+(t, \theta)-\lambda_-(t, \theta)<\frac{2a}{\rho_0}$的必要条件, 详见下面的证明.除此之外, 条件(3.7)确保了$\lambda_+(t, \theta)-\lambda_-(t, \theta)>0$.从而我们可得$0<{{\lambda }_{+}}(t, \theta )-{{\lambda }_{-}}(t, \theta )<\frac{2a}{{{\rho }_{0}}}$, 这就证明了不等式(3.6)以及压力保持为正.

证  证明的方法是构造性的.由Kong和Tsuji^[12], 柯西问题(2.30)和(3.2)存在唯一的定义在${\Bbb R}^+\times{\Bbb R}$的整体$C^1$解$\lambda_{\pm}(t, \theta)$, 当且仅当条件(3.7)成立.同时, 我们总有

$ \begin{equation}\label{40}\lambda_+(t, \theta)-\lambda_-(t, \theta)>0, \forall\;(t, \theta)\in{\Bbb R}^+\times{\Bbb R}.\end{equation} $

(3.8)

此外, 类似于Kong和Zhang^[13]或者Kong, Zhang和Zhou^[14]的讨论, 柯西问题(2.30)和(3.2)的显式的精确解公式可以求得.定义

$ \begin{equation}\label{41}\sigma=f(\theta)=\int_0^{\theta}\frac{2}{\Lambda_+(\eta)-\Lambda_-(\eta)}{\rm d}\eta, \end{equation} $

(3.9)

并令$\theta=g(\sigma)$为$\sigma=f(\theta)$的反函数.类似地, 定义

$ \begin{equation}\label{42}\Theta(t, \sigma)=\frac12\int_0^{\sigma+t}\Lambda_+(g(\eta)){\rm d}\eta- \frac12\int_0^{\sigma-t}\Lambda_-(g(\eta)){\rm d}\eta, \end{equation} $

(3.10)

令$\sigma=\Phi(t, \theta)$表示$\theta=\Theta(t, \sigma)$的反函数.于是, 柯西问题(2.30)和(3.2)的解可以表示为

$ \begin{equation}\label{43}\lambda_{\pm}(t, \theta)=\Lambda_{\pm}(g(\Phi(t, \theta)\pm t)).\end{equation} $

(3.11)

此外, 引入下面的变量变换

$ \begin{equation}\label{44}(t, \theta)\rightarrow (t, \sigma): \theta=\Theta(t, \sigma), \end{equation} $

(3.12)

柯西问题(2.30)和(3.2)可以化为

$ \begin{equation}\label{45}\frac{\partial\tilde{\lambda}_+}{\partial t}-\frac{\partial\tilde{\lambda}_+}{\partial \sigma}=0, \quad \frac{\partial\tilde{\lambda}_-}{\partial t}+\frac{\partial\tilde{\lambda}_-}{\partial \sigma}=0\end{equation} $

(3.13)

以及

$ \begin{equation}\label{46}t=0: \tilde{\lambda}_{\pm}=\Lambda_{\pm}(g(\sigma)), \end{equation} $

(3.14)

其中$\tilde{\lambda}_{\pm}=\tilde{\lambda}_{\pm}(t, \sigma)=\lambda_{\pm}(t, \Theta(t, \sigma))$.注意到, 条件(3.7)确保了映射(3.12)是$C^1$微分同胚的.从而由线性双曲型方程组基本理论, 在假设(3.4)-(3.5)下, 即如下条件

$ {{\Lambda }_{+}}(g(\sigma ))-{{\Lambda }_{-}}(g(\sigma ))\frac{2a}{{{\rho }_{0}}},\quad \forall \ \sigma \in \mathbb{R},\quad \underset{{{\sigma }_{1}}\le {{\sigma }_{2}}}{\mathop{\sup }}\,({{\Lambda }_{+}}(g({{\sigma }_{2}}))-{{\Lambda }_{-}}(g({{\sigma }_{1}})))\frac{2a}{{{\rho }_{0}}}, $

(3.15)

我们总可以得到

$ \begin{equation}\label{48}0<\tilde{\lambda}_+(t, \sigma)-\tilde{\lambda}_-(t, \sigma)<\frac{2a}{\rho_0}, \end{equation} $

(3.16)

也就是说成立

$ \begin{equation}\label{49}0<\lambda_+(t, \theta)-\lambda_-(t, \theta)<\frac{2a}{\rho_0}.\end{equation} $

(3.17)

注意到(2.8)式, 我们有

$ \begin{equation}\label{50}\rho=\frac{2a}{\lambda_+(t, \theta)-\lambda_-(t, \theta)}.\end{equation} $

(3.18)

于是, 由(3.18)式可知, 公式(3.17)蕴含着(3.6)式是成立的.

当$\lambda_{\pm}$被求解出来, 我们可以得到密度$\rho$的表达式(3.18).与此同时, 我们可以利用特征线方法求解柯西问题(2.29)和(3.1).利用文献[14]相同的方法, 我们引入下面常微分方程的初值问题

$ \begin{equation}\label{51}\frac{{\rm d}\xi}{{\rm d}\tau}=\frac12(\lambda_+(\tau, \xi(\tau))+\lambda_-(\tau, \xi(\tau))), \quad \xi(t)=\theta.\end{equation} $

(3.19)

记相应的解为$\xi=\xi(\tau;t, \theta)$.令

$ \begin{equation}\label{52}\alpha(t, \theta)=\xi(0;t, \theta).\end{equation} $

(3.20)

于是, 利用特征线方法, 柯西问题(2.29)和(3.1)的解为

$ \begin{equation}\label{53}R_i(t, \theta)= {\mathop{R}\limits^{\circ}}_i (\alpha(t, \theta)), \;(i=1, 2, \cdots, n-1).\end{equation} $

(3.21)

最后, 由(2.28)式可得

$ \begin{equation}\label{54}B{\bf u}={\bf R}, \end{equation} $

(3.22)

其中${\bf u}=(u_1(t, \theta), \cdots, u_n(t, \theta))^T, {\bf R}=(R_1, R_2, \cdots, R_{n-1}, \frac12(\lambda_++\lambda_-))^T$, 矩阵$B$为

$ B=\left( \begin{matrix} -\frac{{{\zeta }_{2}}}{{{\zeta }_{1}}} & 1~~ & 0 & ~~0~~ & \cdots & ~0 \\ -\frac{{{\zeta }_{3}}}{{{\zeta }_{1}}} & 0 & 1 & 0 & \cdots & ~0 \\ -\frac{{{\zeta }_{4}}}{{{\zeta }_{1}}} & 0 & 0 & 1 & \cdots & ~~0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & ~~\vdots \\ -\frac{{{\zeta }_{n}}}{{{\zeta }_{1}}} & 0 & 0 & 0 & \cdots & ~~1 \\ {{\zeta }_{1}} & {{\zeta }_{2}} & {{\zeta }_{3}} & {{\zeta }_{4}} & \cdots & ~{{\zeta }_{n}} \\ \end{matrix} \right). $

由于${\rm det}(B)=(-1)^{1+n}\frac{1}{\zeta_1}$, 所以常数矩阵$B$是非奇异的.于是, 流体速度${\bf u}$可求解如下

$ \begin{equation}\label{55}{\bf u}=B^{-1}{\bf R}.\end{equation} $

(3.23)

到此为止, 我们求得柯西问题(2.5)-(2.6)的唯一解, 它由(3.18)和(3.23)式给出.证毕.

在文献[10]中, Kong, Wei和Zhang研究了一维等熵的Chaplygin气体的奇性形成和传播, 并得到了$\delta$解, 这是一个新的广义函数解.讨论的关键之一是一维的Chaplygin气体方程组可以对角化为类似于方程组(2.30)的形式.由此, 我们可以采用文献[10]的方法去得到Chaplygin平面波解相应的爆破结果.

为此, 我们首先假设初值(3.2)是适当光滑的, 且满足假设(3.3), 而$\Lambda_-(\theta)$和$\Lambda_+(\theta)$满足

$ \begin{equation}\label{56}\Lambda'_+(\theta)<0, \Lambda'_-(\theta)<0, \;\forall \;\theta\in{\Bbb R}.\end{equation} $

(3.24)

引入

$ \begin{equation}\label{57}\Xi=\{(\alpha, \beta)|\alpha<\beta\;\; \mbox{且}\;\; \Lambda_-(\alpha)=\Lambda_+(\beta)\}\end{equation} $

(3.25)

以及

$ \begin{equation}\label{58}F(\alpha)=\frac{\Lambda'_-(\alpha)}{\Lambda_+(\beta(\alpha))-\Lambda_-(\beta(\alpha))}-\frac{\Lambda'_+(\beta(\alpha))} {\Lambda_+(\alpha)-\Lambda_-(\alpha)}.\end{equation} $

(3.26)

进一步, 设存在$(\alpha_0, \beta_0)\in\Xi$使得

$ \begin{equation}\label{59}\Lambda_-(\alpha_0)=\Lambda_+(\beta_0), F(\alpha_0)=0 \quad\mbox{和} F'(\alpha_0)<0.\end{equation} $

(3.27)

于是, 我们得到高维Chaplygin气体方程组平面波解的如下爆破结果.

定理 3.2  在假设(3.3), (3.24)和(3.27)下, 柯西问题(2.5)-(2.6)经典解的一阶导数将在某点$(t_0, x_0)$趋于无穷大, 而解本身保持有界.此外, 爆破点$(t_0, x_0)$可由下式给出

$ \begin{equation}\label{60}t_0=\int_{\alpha_0}^{\beta_0}\frac{1}{\Lambda_+(\zeta)-\Lambda_-(\zeta)}{\rm d}\zeta, \quad x_0=\frac{1}{2}\left\{\alpha_0+\beta_0+\int_{\alpha_0}^{\beta_0}\frac{\Lambda_+(\zeta)+\Lambda_-(\zeta)} {\Lambda_+(\zeta)-\Lambda_-(\zeta)}{\rm d}\zeta\right\}.\end{equation} $

(3.28)

证  证明方法与文献[10]中定理3.1的证明方法类似, 为简洁起见, 具体细节略去.

注 3.4  定理3.2所讨论的高维Chaplygin气体的爆破结果可视为一维Chaplygin气体爆破现象的平行结果, 见文献[10]相应的讨论.此外, 我们还可以利用Kong, Wei和Zhang^[10]的方法进一步分析Chaplygin气体平面波解在爆破点$(t_0, x_0)$附近的渐近行为.