该文考虑如下初边值问题

$ \begin{equation}\label{eq-2.1} \left\{ \begin{array}{ll} u_t-\Delta u={\rm e}^{av}, &(x, t)\in\Omega\times(0, T), \\ v_t-\Delta v={\rm e}^{bu}, &(x, t)\in \Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=v(x, t)=0, &(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=\rho \phi(x), v(x, t)=\rho\psi(x), &(x, t)\in\Omega\times \{t=0\}. \end{array} \right. \end{equation} $

(1.1)

初边值问题(1.1)的古典解$(u, v)$的最大存在时间记作$T(\rho)$, 称为$(u, v)$的生命周期.这就是说

$ T(\rho):=\sup\left\{T>0: \sup_{0\le t\le T}\left(\|u(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}+\|v(\cdot, t)\|_{L^\infty(\Omega)}<\infty\right)\right\}. $

从定义可知, $T(\rho)$要么取有限值要么无穷大, 如果$T(\rho)<\infty$, 我们有

$ \begin{matrix} \lim \\ t\to T(\rho ) \\ \end{matrix}\left( {{\left\| u\left( \cdot ,t \right) \right\|}_{{{L}^{\infty }}\left( \Omega \right)}}+{{\left\| v\left( \cdot ,t \right) \right\|}_{{{L}^{\infty }}\left( \Omega \right)}} \right)=\infty $

该文的目的是得到初边值问题(1.1)解的生命周期$T(\rho)$的渐近表达式.初边值问题(1.1)可以描述很多物理现象, 如描述多孔介质流和双组份连续介质的燃烧, 扩散过程和种群变化规律.

近年来, 很多学者研究了与问题(1.1)相似的偏微分方程组和单个偏微分方程.这方面的文献可以参见文献[1-2, 4-8]以及这些文献中所引用的文献.在给出该文的主要结果之前, 我们首先回顾一些已有的与该文所考虑的问题相近的结果. Chen在文献[1]中以及Dicksteina和Escobedob在文献[2]中分别研究了如下带有齐次Dirichlet边界条件的非线性反应扩散方程组初边值问题的适定性问题

$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t-\Delta u=f(u, v), &(x, t)\in\Omega\times(0, T), \\ v_t-\Delta v=g(u, v), &(x, t)\in \Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=v(x, t)=0, &(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=\rho \phi(x), v(x, t)=\rho\psi(x), &(x, t)\in\Omega\times \{t=0\}. \end{array} \right. $

Chen在文献[1]中考虑了$f(u, v)=u^{m_1}v^{n_1}, $ $g(u, v)=u^{m_2}v^{n_2}$, 其中$m_2>m_1-1$, $n_1>n_2-1$的情形. Dicksteina和Escobedob则在文献[2]中研究了一般的$f(u, v), g(u, v)$情形.

Sato在文献[6]中研究了如下非线性反应扩散方程组初边值问题解的生命周期

$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t-\Delta u=v^p, {\ }v_t-\Delta v=u^q, &(x, t)\in \Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=v(x, t)=0, &(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=\rho \phi(x), v(x, t)=\rho\psi(x), &(x, t)\in\Omega\times \{t=0\}. \end{array} \right. $

利用比较原理和Kaplan方法^[3], 他们得到了如下关于解的生命周期的渐近表达式

$ \lim\limits_{\rho\to+\infty}\rho^{\frac{pq-1}{p+1}}T(\rho) =M(\phi)^{-\frac{pq-1}{p+1}}\left(\frac{q+1}{p+1}\right)^{\frac{p}{p+1}} \int^\infty_1 \frac{{\rm d}z}{\left(z^{q+1}-1\right)^{\frac{p}{p+1}}}, $

如果$\phi \neq 0$以及$q>p\ge 1$,

$ \lim\limits_{\rho\to+\infty}\rho^{\frac{pq-1}{q+1}}T(\rho) =M(\psi)^{-\frac{pq-1}{q+1}}\left(\frac{p+1}{q+1}\right)^{\frac{q}{q+1}} \int^\infty_1 \frac{{\rm d}w}{\left(w^{p+1}-1\right)^{\frac{q}{q+1}}}, $

如果$\phi = 0$以及$q>p\ge 1$.

这里$p\geq 1, q\ge1$, $pq>1$

$ M(\phi)=\|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}, \ M(\psi)=\|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}. $

最近Xu和Ye在文献[7]中将以上结果推广到下面更一般的初边值问题

$ \left\{ \begin{array}{ll} u_t-\Delta u=u^pv^q, {\ }v_t-\Delta v=v^\alpha u^\beta, &(x, t)\in \Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=v(x, t)=0, &(x, t)\in\partial\Omega\times(0, T), \\ u(x, t)=\rho \phi(x), v(x, t)=\rho\psi(x), &(x, t)\in\Omega\times \{t=0\}, \end{array} \right. $

其中$p+\alpha\ge 1, {\ }p+\beta\ge 1$, $q\beta>(1-p)(1-\alpha)$.由于需要大初值来保证解的爆破, 目前所有关于非线性反应扩散方程组解的生命周期的结果, 都关注$T(\rho)$在$\rho$很大时的渐近展开.我们注意到, 文献[6]和文献[7]中的非线性项都是多项式型的.于是, 我们可以自然地问:如果非线性项是指数函数, 我们能否得到与文献[6]和[7]类似的结果?该文的主要目标就是对初边值问题(1.1)回答以上问题, 下面的定理就是我们的主要结果.

定理1.1  $a>0$, $b$ $>0$是常数, 假设$(\phi(x), \psi(x))\in C(\overline{\Omega})$满足如下条件

$\bullet$ $\phi(x)\geq 0$, $\psi(x)\ge 0$, $\forall x\in \Omega$, 且$\phi(x)$与$\psi(x)$不全为0;

$\bullet$ $\phi(x)=\psi(x)=0$, $\forall x\in \partial\Omega$.

那么初边值问题(1.1)解的生命周期$T(\rho)$有如下形式

$ \begin{matrix} \lim \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\frac{b\exp \left( a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)-a\exp \left( b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)}{\ln b-\ln a+a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}-b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}T(\rho )=1. $

注1.1  关于$\phi(x)$和$\psi(x)$的第二个条件是相容性条件.

注1.2  在我们考虑的问题中, 扩散项是指数函数.从以上定理很容易看到, 问题(1.1)解的生命周期关于$\rho$是指数衰减的.而在文献[6]和[7]的结果中, $T(\rho)$是代数衰减的, 这是因为他们的扩散项是一类多项式型的.由此可以看出, 生命周期的衰减率和扩散项的类型是密切相关的.

在本章结束前, 我们给出定理1.1证明的主要框架.该定理的证明受到了文献[6-7]的启发, 证明包括两部分:首先, 通过解一个常微分方程组, 我们可以得到一个上解, 并由此得到生命周期的渐近下界.然后, 该文将利用比较原理和Kaplan方法^[3]证明, 这个下界还是生命周期的渐近上界.于是, 我们就得到了生命周期的渐近表达式.

该文组织如下.在第2部分中, 我们给出定理1.1的证明过程要用到的两个引理.第3部分则是定理1.1的详细证明.

在本章, 我们首先建立一个重要的常微分方程组, 并得到它的解的生命周期.然后我们会证明一个不等式, 以供定理1.1证明之用.

引理2.1  设$\mu$, $\nu\in{\Bbb R}$, 则如下常微分方程组

$ \begin{equation}\label{KeyODE} \left\{ \begin{array}{ll} U_t={\rm e}^{aV}, \qquad t>0, \\ V_t={\rm e}^{aU}, \qquad t>0, \\ U(0)=\mu, \ V(0)=\nu \end{array} \right. \end{equation} $

(2.1)

的解$(U(t), V(t))$有如下形式

$ U(t;\mu, \nu)=F^{-1}\left(F(\mu;\mu, \nu)-t;\mu, \nu\right), \\ V(t;\mu, \nu)=G^{-1}\left(G(\mu;\mu, \nu)-t;\mu, \nu\right), $

其中

$ F(\mu;\mu, \nu)=\int_\mu^\infty \frac{{\rm d}S}{\frac{a}{b}{\rm e}^{bS} -\frac{a}{b}{\rm e}^{b\mu}+{\rm e}^{a\nu}}, \\ G(\mu;\mu, \nu)=\int_\nu^\infty \frac{{\rm d}S}{\frac{b}{a}{\rm e}^{bS} -\frac{b}{a}{\rm e}^{a\nu}+{\rm e}^{b\mu}}. $

$F^{-1}\left(F(\mu;\mu, \nu);\mu, \nu\right)$和$G^{-1}\left(G(\mu;\mu, \nu);\mu, \nu\right)$分别表示$F(\mu;\mu, \nu)$和$G(\mu;\mu, \nu)$关于第一个变量的反函数.

并且, 解$(U(t), V(t))$的生命周期$T(\mu, \nu)$有如下形式

$ T(\mu, \nu)=F(\mu;\mu, \nu)=G(\nu;\mu, \nu). $

证   令(2.1)式的第一个方程除以第二个方程, 有

$ {\rm e}^{bU}U_t={\rm e}^{aV}V_t. $

关于变量$t$在$(0, t)$上积分可得

$ \frac{1}{b}\left({\rm e}^{bU}-{\rm e}^{b\mu}\right)=\frac{1}{a}\left({\rm e}^{aV}-{\rm e}^{a\nu}\right). $

由这个等式, 我们可以分别解出$U$和$V$

$ U=\frac{1}{b}\ln\left(\frac{b}{a}{\rm e}^{aV}-\frac{b}{a}{\rm e}^{a\nu}+{\rm e}^{b\mu}\right), \\ V=\frac{1}{a}\ln\left(\frac{a}{b}{\rm e}^{aU}-\frac{a}{b}{\rm e}^{b\mu}+{\rm e}^{a\nu}\right). $

把以上两个等式代入(2.1)式, 我们得到

$ U_t=\frac{a}{b}{\rm e}^{aU}-\frac{a}{b}{\rm e}^{b\mu}+{\rm e}^{a\nu}, \\ V_t=\frac{b}{a}{\rm e}^{aV}-\frac{b}{a}{\rm e}^{a\nu}+{\rm e}^{b\mu}. $

以上两个等式分别在区间$(0, t)$上关于变量$t$积分可得

$ \int_\mu^{U(t)} \frac{{\rm d}S}{\frac{a}{b}{\rm e}^{bS}-\frac{a}{b}{\rm e}^{b\mu}+{\rm e}^{a\nu}}=t, \\ \int_\nu^{V(t)} \frac{{\rm d}S}{\frac{b}{a}{\rm e}^{bS}-\frac{b}{a}{\rm e}^{a\nu}+{\rm e}^{b\mu}}=t, $

这就是说

$ F(\mu;\mu, \nu)-F(U(t);\mu, \nu)=t, \\ G(\mu;\mu, \nu)-G(V(t);\mu, \nu)=t. $

由这两个等式, 我们可知

$ U(t;\mu, \nu)=F^{-1}(F(\mu;\mu, \nu)-t;\mu, \nu), \\ V(t;\mu, \nu)=G^{-1}(G(\mu;\mu, \nu)-t;\mu, \nu). $

从上面的表达式可以得出

$ T(\mu, \nu)=\min\left\{F(\mu;\mu, \nu), G(\mu;\mu, \nu)\right\}. $

作如下变量替换

$ {\rm e}^{bS}=\frac{b}{a}\left({\rm e}^{aZ}-{\rm e}^{a\nu}\right)+{\rm e}^{b\mu}, $

简单计算后可得

$ F(\mu;\mu, \nu) =\int_\mu^\infty \frac{{\rm d}S}{\frac{a}{b}{\rm e}^{bS}-\frac{a}{b}{\rm e}^{b\mu}+{\rm e}^{a\nu}} =\int_\nu^\infty \frac{{\rm d}Z}{\frac{b}{a}{\rm e}^{aZ}-\frac{b}{a}{\rm e}^{a\nu}+{\rm e}^{b\mu}} =G(\nu;\mu, \nu). $

这表明$T(\mu, \nu)=F(\mu;\mu, \nu)=G(\nu;\mu, \nu)$.证毕.

注2.1  作变量替换后, 经过简单计算, 我们可以得到$F(\mu;\mu, \nu)$和$G(\mu;\mu, \nu)$的精确表达式.然后, 我们不难发现引理2.1中的反函数确实存在.

在定理1.1的证明中, 我们要用到如下加权的Jensen不等式.

引理2.2  设$D\subset{\Bbb R}^N$是一个有界区域, $f(x)$和$w(x)$是定义在$D$内的非负连续函数.如果$\int _D f(x){\rm d}x\neq 0$这, 则下面的不等式

$ g\left(\frac{\int_D f(x)w(x){\rm d}x} {\int_D f(x){\rm d}x}\right)\le\frac{\int_D f(x)g(w(x)) {\rm d}x}{\int_D f(x){\rm d}x} $

对满足$g^{\prime\prime}(x)>0$, $\forall x\in {\Bbb R}$的任意函数$g:{\Bbb R}\rightarrow{\Bbb R}$成立.

由于在很多教材上都能找到上面引理的证明, 这里我们略去它的证明.

这一章我们给出定理1.1的详细证明.在这部分, 我们将证明两个引理, 从这两个引理可知:当$\rho$足够大时, $T(\rho)$有相同的下界和上界.于是, 联合这两个引理, 我们就得到了$T(\rho)$的渐近表达式.

引理3.1  在定理1.1的假设下, 我们有

$ \begin{matrix} \lim \inf \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\frac{b\exp \left( a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)-a\exp \left( b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)}{\ln b-\ln a+a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}-b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}T(\rho )\ge 1. $

证  在引理2.1中, 令$\mu=\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}$, $\nu=\rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}$.由比较原理(参见文献[2]中的引理2.2及其推论)可知

$ u(x, t)\le U(t;\mu, \nu), \\ v(x, t)\le V(t;\mu, \nu), $

其中$x\in\Omega $, $0\le t\le \min(T(\rho), T(\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}, \rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}))$.不难看出

$ \begin{equation} T(\rho)\ge T(\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}, \rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}). \end{equation} $

(3.1)

另一方面, 经过简单计算, 从引理2.1中我们可以得出

$ \begin{eqnarray} T(\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}, \rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}) &=&\int_{\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}}^\infty \frac{{\rm d}S}{\frac{a}{b}{\rm e}^{bS}-\frac{a}{b}{\rm e}^{b\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}}+{\rm e}^{a\rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}}}\nonumber \\ &=&\frac{\ln(b)-\ln(a)+a\rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}-b\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}}{b{\rm e}^{a\rho \|\psi\|_{L^\infty(\Omega)}} -a{\rm e}^{b\rho \|\phi\|_{L^\infty(\Omega)}}}. \end{eqnarray} $

(3.2)

联立(3.1)和(3.2)式即得

$ \begin{matrix} \lim \inf \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\frac{b\exp \left( a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)-a\exp \left( b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)}{\ln b-\ln a+a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}-b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}T(\rho )\ge 1. $

证毕.

引理3.2  在定理1.1的条件下, $T(\rho)$有如下估计

$ \begin{matrix} \lim \sup \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\frac{b\exp \left( a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)-a\exp \left( b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)}{\ln b-\ln a+a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}-b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}T(\rho )\le 1. $

证  受文献[6]中引理5证明的启发, 我们引入如下特征值问题

$ \begin{equation}\label{eq-3.3} \left\{ \begin{array}{ll} -\triangle\eta_R(x)=\lambda_R\eta_R(x), ~~ &x\in B_R:\equiv\left\{x\in{\Bbb R}^N:\left|x\right| <R \right\}, \\ \eta_R(x)=0, &x\in \partial B_R, \end{array} \right. \end{equation} $

(3.3)

其中$\lambda_R>0$是常数, $\eta_R(x)$是(3.3)式对应于第一特征值$\lambda_R$的特征函数.我们还可以要求$\int_{B_R}\eta_R(x){\rm d}x=1$.不失一般性, 我们假设$\phi(0)=M(\phi)$.对于$B_R\subset\Omega$, 定义

$ \overline{U}(t)=\int_{B_R}u(x, t)\eta_R(x){\rm d}x, \quad\overline{V}(t)=\int_{B_R}v(x, t)\eta_R(x){\rm d}x, \\ \overline{\mu}(R)=\int_{B_R}\phi(x)\eta_R(x){\rm d}x, \qquad\overline{\nu}(R)=\int_{B_R}\psi(x)\eta_R(x){\rm d}x. $

不难看出, $\overline{U}(0)=\rho\overline{\mu}(R)$, $\overline{V}(0)=\rho\overline{\nu}(R)$.由$\phi$和$\psi$的连续性可知

$ \begin{matrix} \lim \\ R\to 0 \\ \end{matrix}\bar{\mu }(R)=\|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}},\begin{matrix} \lim \\ R\to 0 \\ \end{matrix}\bar{\nu }(R)=\|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}. $

在(1.1)式第一个方程两端乘上$\eta_R(x)$, 然后在$B_R $上关于空间变量分部积分可得

$ \begin{eqnarray} \overline{U}_t(t)&=&\int_{B_R}\eta_R(x)\triangle u(x, t){\rm d}x+\int_{B_R}{\rm e}^{av}\eta_R(x){\rm d}x \nonumber\\ &=&\int_{B_R}u(x, t)\triangle\eta_R(x){\rm d}x-\int_{\partial B_R}u(x, t)\frac{\partial\eta_R}{\partial \overrightarrow{n}}{\rm d}x+\int_{B_R}{\rm e}^{av}\eta_R(x){\rm d}x \nonumber\\ &\ge & -\lambda_R\int_{B_R}u(x, t)\eta_R(x){\rm d}x+\int_{B_R}{\rm e}^{av}\eta_R(x){\rm d}x \nonumber\\ &\ge & -\lambda_R\overline{U}(t)+\int_{B_R}{\rm e}^{av}\eta_R(x){\rm d}x. \end{eqnarray} $

(3.4)

在第一个不等式中, 我们用到了事实

$ \frac{\partial\eta_R}{\partial \overrightarrow{n}}(x)\le 0, {\ \ }\forall x\in\partial B_R, $

其中$\overrightarrow{n}$是球面$\partial B_R $上点$x$的外单位法向量.

事实上, 由于$\eta_R(x)$在球面$\partial B_R$上各点都取到其最小值0, $\eta_R(x)$的梯度$\nabla\eta_R$在每一个这样的点处都是指向内法线方向的, 而$\overrightarrow{n}$是外单位法向量, 所以我们有$\frac{\partial\eta_R}{\partial \overrightarrow{n}}(x)\le 0$.

在引理$2.2$中, 令$D=B_R$, $g(x)={\rm e}^{ax}$, $f(x)=\eta_R(x)$, $w(x)=v(x)$可得

$ \begin{eqnarray*} \exp\left(a\left(\frac{\int_{B_R}\eta_R(x)v(x){\rm d}x}{\int_{B_R}\eta_R(x){\rm d}x} \right) \right) \le\frac{\int_{B_R}\eta_R(x){\rm e}^{av}{\rm d}x}{\int_{B_R}\eta_R(x){\rm d}x}. \end{eqnarray*} $

利用$\int_{B_R}\eta_R(x){\rm d}x=1$, 我们有

$ \begin{eqnarray*} \int_{B_R}{\rm e}^{av}\eta_R(x){\rm d}x\ge \exp\left(a\int_{B_R}\eta_R(x)v(x) \right){\rm d}x, \end{eqnarray*} $

也就是说

$ \begin{equation} \int_{B_R}{\rm e}^{av}\eta_R(x){\rm d}x\ge {\rm e}^{a\overline{V}(t)}. \end{equation} $

(3.5)

由(3.4)式和(3.5)式可得

$ \begin{equation} \overline{U}_t(t)\ge-\lambda_R\overline{U}(t)+{\rm e}^{a\overline{V}(t)}. \end{equation} $

(3.6)

用同样的方法, 我们还可以证明

$ \begin{equation} \overline{V}_t(t)\ge-\lambda_R\overline{V}(t)+{\rm e}^{b\overline{U}(t)}. \end{equation} $

(3.7)

在(3.6)式和(3.7)式的两端分别乘上${\rm e}^{\lambda_R t}$得到,

$ \left(\overline{U}{\rm e}^{\lambda_R t}\right)_t\ge {\rm e}^{a\overline{V}(t)+\lambda_R t}, \\ \left(\overline{V}{\rm e}^{\lambda_R t}\right)_t\ge {\rm e}^{b\overline{U}(t)+\lambda_R t}. $

上面的两个不等式在$(0, t)$上积分可得

$ \overline{U}(t)\ge\rho\overline{\mu}(R){\rm e}^{-\lambda_R t}+{\rm e}^{-\lambda_R t}\int_0^t{\rm e}^{a\overline{V}(\tau)+\lambda_R\tau}{\rm d}\tau, \\ \overline{V}(t)\ge\rho\overline{\nu}(R){\rm e}^{-\lambda_R t}+{\rm e}^{-\lambda_R t} \int_0^t{\rm e}^{b\overline{U}(\tau)+\lambda_R\tau}{\rm d}\tau. $

上面的第二个不等式代入到第一个不等式, 我们得到

$ \overline U (t) \ge \rho \bar \mu (R){{\rm e}^{ - {\lambda _R}t}} + {{\rm e}^{ - {\lambda _R}t}}\int_0^t {\exp \left( {a\rho \bar {\nu} (R){{\rm e}^{ - {\lambda _R}\tau }} + a{{\rm e}^{ - {\lambda _R}\tau }}\int_0^{{\tau}} {{{\rm e}^{b\overline U (s) + {\lambda _R}s}}{\rm d} s + {\lambda _R}\tau } } \right)} {\rm d} \tau. $

由此, 我们得到

$ \begin{matrix} \bar{U}(t)\text{ }\ge \rho \bar{\mu }(R){{\text{e}}^{-{{\lambda }_{R}}t}}+\int_{0}^{t}{{{\text{e}}^{{{\lambda }_{R}}(\tau -t)}}{{\left\{ \exp \left( a\rho \bar{\nu }(R)+a\int_{0}^{\tau }{{{\text{e}}^{b\bar{U}(s)+{{\lambda }_{R}}s}}\text{d}s} \right) \right\}}^{{{\text{e}}^{-{{\lambda }_{R}}\tau }}}}}\text{d}\tau \\ \text{ }\ge \rho \bar{\mu }(R){{\text{e}}^{-{{\lambda }_{R}}t}}+\exp \left( a\rho \bar{\nu }(R){{\text{e}}^{-{{\lambda }_{R}}t}}-{{\lambda }_{R}}t \right)\cdot \int_{0}^{t}{{{\left\{ \exp \left( a\int_{0}^{\tau }{{{\text{e}}^{b\bar{U}(s)+{{\lambda }_{R}}s}}\text{d}s} \right) \right\}}^{{{\text{e}}^{-{{\lambda }_{R}}t}}}}}\text{d}\tau , \\ \end{matrix}\text{ } $

其中, 我们用到了事实

$ {\rm e}^{-\lambda_R \tau}\ge {\rm e}^{-\lambda_R t}, \ \forall \tau\in [0, t]. $

给定$0 < \epsilon < 1$, 选取$T_R>0$, 使得${\rm e}^{-T_R\lambda_R}>1-\epsilon$.则对任意$t\in (0, T_R)$, 下面的不等式成立

$ \overline U (t)\, \ge \rho \bar \mu (R)(1 - \varepsilon ) + (1 - \varepsilon ){{\rm e}^{a\rho \bar{ \nu} (R)(1 - \varepsilon )}} \cdot {\int_0^t {\left\{ {\exp \left( {a\int_0^{{\tau}} {{{\rm e}^{b\overline U (s)}} {\rm d} s} } \right)} \right\}} ^{(1 - \varepsilon )}} {\rm d} \tau. $

令上式右端等于$Q(t)$, 即

$ Q(t):\equiv \rho \bar \mu (R)(1 - \varepsilon ) + (1 - \varepsilon ) {{\rm e}^{a\rho \bar {\nu} (R)(1 - \varepsilon )}} \cdot {\int_0^t {\left\{ {\exp \left( {a\int_0^\tau {{{\rm e}^{b\bar{U}(s)}}{\rm d} s} } \right)} \right\}} ^{(1 - \varepsilon )}}{\rm d} \tau. $

经过简单计算, 我们有

$ {Q_t}(t)= (1 - \varepsilon ){{\rm e}^{a\rho \overline{\nu} (R)(1 - \varepsilon )}} {\left\{ {\exp \left( {a\int_0^t {{{\rm e}^{b\overline U (s)}}{\rm d} s} } \right)} \right\}^{1 - \varepsilon }}, \\ {Q_{tt}}(t) = a{(1 - \varepsilon )^2}{{\rm e}^{a\rho \bar{\nu} (R)(1 - \varepsilon )}} {\left\{ {\exp \left( {a\int_0^t {{{\rm e}^{b\overline U (s)}}{\rm d} s} } \right)} \right\}^{1 - \varepsilon }}{{\rm e}^{b\overline U (t)}}. $

注意到$\overline{U}(t)\ge Q(t)$, 从上面的不等式不难得到

$ {Q_{tt}}(t) = a(1 - \varepsilon ){Q_t}(t){{\rm e}^{b\overline U (t)}} \ge a(1 - \varepsilon ){Q_t}(t){{\rm e}^{bQ(t)}} = \frac{a}{b}(1 - \varepsilon ){\left\{ {{{\rm e}^{bQ(t)}}} \right\}_t}. $

上面的不等式在$(0, t)$积分给出

$ \frac{{{Q_t}(t)}}{{{\textstyle{a \over b}}(1 - \varepsilon ){{\rm e}^{bQ(t)}} - {\textstyle{a \over b}}(1 - \varepsilon ){{\rm e}^{b(1 - \varepsilon )\rho \bar \mu (R)}} + (1 - \varepsilon ){{\rm e}^{a\rho \bar \nu (R)(1 - \varepsilon )}}}} \ge 1. $

以上不等式在$(0, t)$上再积分一次可以得到

$ \int_{(1 - \varepsilon )\rho \bar \mu (R)}^{Q(t)} {\frac{{{\rm d} S}}{{{\textstyle{a \over b}}(1 - \varepsilon ){{\rm e}^{bS}} - {\textstyle{a \over b}}(1 - \varepsilon ){{\rm e}^{b(1 - \varepsilon )\rho \bar \mu (R)}} + (1 - \varepsilon ){{\rm e}^{a\rho \bar \nu (R)(1 - \varepsilon )}}}}}\ge t. $

令

$ \Theta_{R, \varepsilon}(\rho):=\int_{(1 - \varepsilon )\rho \bar \mu (R)}^{\infty} {\frac{{{\rm d} S}}{{{\textstyle{a \over b}}(1 - \varepsilon ){{\rm e}^{bS}} - {\textstyle{a \over b}}(1 - \varepsilon ){{\rm e}^{b(1 - \varepsilon )\rho \bar \mu (R)}} + (1 - \varepsilon ){{\rm e}^{a\rho \bar \nu (R)(1 - \varepsilon )}}}}}, $

则我们有

$ \begin{equation}\label{eq-3.8} \Theta_{R, \varepsilon}(\rho)\ge t, {\ \ } \forall{\ }t\in (0, T_R). \end{equation} $

(3.8)

由于$\lim\limits_{\rho\rightarrow\infty}\Theta_{R, \varepsilon}(\rho)=0$, 我们可以选取足够大的$\rho$, 使得$\Theta_{R, \varepsilon}(\rho)<T_R$.这个事实连同(3.8)式表明, $Q(t)$必须在有限时间爆破.又由于$\overline{U}(t)\ge Q(t)$, $\overline{U}(t)$也必须在有限时间爆破. (3.8)式还表明, 当$\rho$足够大时, $T(\rho)\le\Theta_{R, \varepsilon}(\rho)$, 即有

$ T(\rho )\text{ }\le \int_{\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}^{\infty }{\frac{\text{d}S}{\frac{a}{b}{{\text{e}}^{bS}}-\frac{a}{b}{{\text{e}}^{b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}}+{{\text{e}}^{a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}}}}=\frac{\ln b-\ln a+a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}-b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}{b{{\text{e}}^{a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}}-a{{\text{e}}^{b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}}}. $

这也就是说

$ \begin{matrix} \lim \sup \\ \rho \to \infty \\ \end{matrix}\frac{b\exp \left( a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)-a\exp \left( b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}} \right)}{\ln b-\ln a+a\rho \|\psi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}-b\rho \|\phi {{\|}_{{{L}^{\infty }}(\Omega )}}}T(\rho )\le 1. $

引理3.2证毕

最后, 联合引理3.1和引理3.2, 定理1.1得证.