记$C_{0}^{\infty }(\mathbb{R}N)$为${{\mathbb{R}}^{N}}$上具有紧支集的光滑函数全体.当N ≥ 3时, 有如下的Hardy不等式

$ \int_{{{\mathbb{R}}^{N}}}{|}\nabla f{{|}^{2}}\text{d}x\ge \frac{{{(N-2)}^{2}}}{4}\int_{{{\mathbb{R}}^{N}}}{\frac{{{f}^{2}}}{|x{{|}^{2}}}}\text{d}x, \ \ \ \ f\in C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{N}}). $

(1.1)

不等式(1.1)内的常数$\frac{{{(N-2)}^{2}}}{4}$是最佳的, 但是等号无法取得.这是因为使得该不等式等号成立的函数$|x{{|}^{2-n}}$不能被$C_{0}^{\infty }({{\mathbb{R}}^{N}})$的函数所逼近.因此, 一个想法是在不等式(1.1)的右边增添非负项.例如, 1997年Brezis和Vázquez^[3]证明了, 如果Ω是包含原点的一个有界区域, 则存在仅仅依赖于Ω的正常数C_Ω, 使得下述不等式成立

$ \int_{\Omega }{|}\nabla f{{|}^{2}}\text{d}x\ge \frac{{{(N-2)}^{2}}}{4}\int_{\Omega }{\frac{{{f}^{2}}}{|x{{|}^{2}}}}\text{d}x+{{C}_{\Omega }}\int_{\Omega }{{{f}^{2}}}\text{d}x, \ \ \ f\in C_{0}^{\infty }(\Omega ). $

(1.2)

然而, 若将不等式(1.2)中的Ω替换为${{\mathbb{R}}^{N}}$, 则上述不等式不再成立.受此启发, 许多学者将此工作推广到各种各样的情形.这些加强版的Hardy不等式有着各式各样的应用, 详情可参考[1-9]等文献.

最近Kombe和Özaydin^[10]在双曲空间${{\mathbb{B}}^{n}}=\{x=({{x}_{1}}, \cdots, {{x}_{n}})\in {{\mathbb{R}}^{n}}||x|<1\}$上建立了如下带Brezis-Vázquez型余项的Hardy不等式

$ \int_{{{\mathbb{B}}^{n}}}{|}{{\nabla }_{\mathbb{H}}}f{{|}^{2}}\text{d}V\ge \frac{{{(n-2)}^{2}}}{4}\int_{{{\mathbb{B}}^{n}}}{\frac{{{f}^{2}}}{{{\rho }^{2}}}}\text{d}V+C\int_{{{\mathbb{B}}^{n}}}{{{f}^{2}}}{{\left( \frac{1-|x{{|}^{2}}}{2} \right)}^{n}}\text{d}V, $

(1.3)

其中${{\nabla }_{\mathbb{H}}}=\frac{1-{{\left| x \right|}^{2}}}{2}(\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}, \cdots, \frac{\partial }{\partial {{x}_{n}}})$, $\rho (x)=\log \frac{1+|x|}{1-|x|}$以及$\text{d}V={{(\frac{2}{1-|x{{|}^{2}}})}^{n}}\text{d}x$(详细的符号介绍可参阅第三节).然而, 由于文献[10]中所用方法的限制, 不等式(1.3)中所出现的因子${{(\frac{1-|x{{|}^{2}}}{2})}^{n}}$无法去掉.

本文主要的目的之一就是证明上述所说的因子是可以去掉的, 从而我们将得到全空间带Brezis-Vázquez型余项的Hardy不等式.这显示了双曲空间和欧式空间的某种差异性.为此, 我们考虑更为一般的Jacobi算子

$ {{\Delta }_{\alpha, \beta }}=\frac{{{\text{d}}^{2}}}{\text{d}{{r}^{2}}}+\left[(2\alpha +1)\coth r+(2\beta +1)\tanh r \right]\frac{\text{d}}{\text{d}r}=\frac{1}{A(r)}\frac{\text{d}}{\text{d}r}\left( A(r)\frac{\text{d}}{\text{d}r} \right), $

其中$\alpha \ge \beta \ge -1/2$, $\alpha>-1/2$以及

$ A(r)={{(\sinh r)}^{2\alpha +1}}{{(\cosh r)}^{2\beta +1}}. $

(1.4)

Jacobi算子既可以视为双曲Laplace算子的径向部分, 也可以看作更为一般的AN群上Laplace算子的径向部分.有关这方面的详细介绍可参考文献[11-12].

与Jacobi算子相关的Hardy不等式主要有如下两个定理.

定理 1.1  设$1 < p <2\alpha+2$, $\beta\geq-1/2$.则对任意$f\in C_{0}^{\infty }([0, +\infty ))$, 有如下不等式

$ \int_{0}^{+\infty }{A}(r){{\left| \frac{\text{d}f}{\text{d}r} \right|}^{p}}\text{d}r\ge {{\left( \frac{2\alpha +2-p}{p} \right)}^{p}}\int_{0}^{+\infty }{A}(r)\frac{|f{{|}^{p}}}{{{r}^{p}}}\text{d}r, $

(1.5)

并且常数${{(\frac{2\alpha +2-p}{p})}^{p}}$$是最佳的.这里的$A(r)$由式(1.4)所定义.

定理 1.2 设$ 2\leq p<2\alpha+2$, $\beta\geq-1/2$.则存在常数$C_{p}>0$, 使得对任意$f\in C_{0}^{\infty }([0, +\infty ))$, 满足如下的加强Hardy不等式

$ \int_{0}^{+\infty }{A}(r){{\left| \frac{\text{d}f}{\text{d}r} \right|}^{p}}\text{d}r\ge {{\left( \frac{2\alpha +2-p}{p} \right)}^{p}}\int_{0}^{+\infty }{A}(r)\frac{|f{{|}^{p}}}{{{r}^{p}}}\text{d}r+{{C}_{p}}\int_{0}^{+\infty }{A}(r)|f{{|}^{p}}\text{d}r. $

(1.6)

作为上述定理的一个应用, 我们证明了双曲空间上的一类Hardy不等式可以整体的增添Brezis-Vázquez型余项, 详情如下:

定理 1.3  设$2\leq p < n$.则存在常数$C'_{p}>0$, 使得对任意$f\in C^{\infty}_{0}({\Bbb B}^{n})$, 满足如下不等式

$ \int_{{{\mathbb{B}}^{n}}}{|}{{\nabla }_{\mathbb{H}}}f{{|}^{p}}\text{d}V\ge {{\left( \frac{n-p}{p} \right)}^{p}}\int_{{{\mathbb{B}}^{n}}}{\frac{|f{{|}^{p}}}{{{\rho }^{p}}}}\text{d}V+{{{C}'}_{p}}\int_{{{\mathbb{B}}^{n}}}{|}f{{|}^{p}}\text{d}V. $

(1.7)

在证明主要定理之前, 我们先需要如下的引理(可参阅文献[8, 13]).

引理 2.1  设$N\geq1$.则存在常数$D_{p}>0$, 使得对所有$\xi_{1}$, $\xi_{2}\in {\Bbb R}^{N}$, 下述不等式成立

(1) $1 < p < 2$时,

$ |\xi_{1}+\xi_{2}|^{p}-|\xi_{1}|^{p}-p|\xi_{1}|^{p-2}\langle\xi_{1}, \xi_{2}\rangle\geq D_{p}\frac{|\xi_{2}|^{2}}{\left(|\xi_{1}|+|\xi_{2}|\right)^{2-p}}; $

(2) $p\geq 2$时,

$ |\xi_{1}+\xi_{2}|^{p}-|\xi_{1}|^{p}-p|\xi_{1}|^{p-2}\langle\xi_{1}, \xi_{2}\rangle\geq D_{p}|\xi_{2}|^{p}. $

由引理 2.1不难看出, 对所有的$p>1$,

$ |{{\xi }_{1}}+{{\xi }_{2}}{{|}^{p}}\ge |{{\xi }_{1}}{{|}^{p}}+p|{{\xi }_{1}}{{|}^{p-2}}\langle {{\xi }_{1}}, {{\xi }_{2}}\rangle . $

(2.1)

现在我们可以证明定理1.1.

定理 1.1的证明  做变换$f=r^{\frac{p-2\alpha-2}{p}}g$, 有

$ \left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|=\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}r^{-\frac{2\alpha+2}{p}}g+r^{\frac{p-2\alpha-2}{p}}\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|. $

利用不等式(2.1)可得

$ \begin{eqnarray*} \left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}&\geq &\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}\right|^{p}r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p}+p\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}\right|^{p-2} r^{-\frac{p-2}{p}(2\alpha+2)}|g|^{p-2} \\ &&\times \frac{p-2\alpha-2}{p}r^{-\frac{2\alpha+2}{p}}g\cdot r^{\frac{p-2\alpha-2}{p}}\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\\ &= &\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p} -p\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p-1}r^{-1-2\alpha}|g|^{p-2}g\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\\ &=&\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p} -\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p-1}r^{-1-2\alpha}\frac{{\rm d}|g|^{p}}{{\rm d}r}. \end{eqnarray*} $

两边同时乘以$A(r)$积分可得

$ \begin{eqnarray*} \int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r &\geq & \left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p}{\rm d}r\\ &&-\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p-1}\int^{+\infty}_{0}A(r) r^{-1-2\alpha}\frac{{\rm d}|g|^{p}}{{\rm d}r}{\rm d}r. \end{eqnarray*} $

注意到函数$g$也具有紧支集, 故

$ \begin{eqnarray*} &&-\int^{+\infty}_{0}A(r) r^{-1-2\alpha}\frac{{\rm d}|g|^{p}}{{\rm d}r}{\rm d}r\\ &=&\int^{+\infty}_{0}A(r)|g|^{p} r^{-2-2\alpha}\left[(2\alpha+1)r\coth r+(2\beta+1)r\tanh r-2\alpha-1\right]{\rm d}r\\ &\geq &(2\alpha+1)\int^{+\infty}_{0}A(r)|g|^{p} r^{-2-2\alpha}\left(r\coth r-1\right){\rm d}r\\ &=&(2\alpha+1)\int^{+\infty}_{0}A(r)|g|^{p} r^{-2-2\alpha}\sinh^{-1}r\left(r\cosh r-\sinh r\right){\rm d}r\\ &=&(2\alpha+1)\int^{+\infty}_{0}A(r)|g|^{p} r^{-2-2\alpha}\sinh^{-1}r\left(\sum^{\infty}_{n=0}\frac{r^{2n+1}}{(2n)!}-\sum^{\infty}_{n=0}\frac{r^{2n+1}}{(2n+1)!}\right){\rm d}r\geq0, \end{eqnarray*} $

我们有

$ \begin{eqnarray*} \int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r &&\geq & \left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p}{\rm d}r\\ &=&\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)\frac{|f|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r. \end{eqnarray*} $

下面我们证明常数$\big(\frac{2\alpha+2-p}{p}\big)^{p}$是最佳的.设$\phi(r)$是满足如下条件的光滑截断函数

$ \phi(r)=\left\{ \begin{array}{ll} 1, & \hbox{$r\leq1$;} \\ 0, & \hbox{$r\geq2$.} \end{array} \right. $

对充分小的正数$\varepsilon$, 取

$ g_{\varepsilon}(r)=\left\{ \begin{array}{ll} \varepsilon^{-(2\alpha+2-p)/p}, & \hbox{$r\leq \varepsilon$ ;} \\ r^{-(2\alpha+2-p)/p}, & \hbox{$r> \varepsilon$ .} \end{array} \right. $

我们用$\phi g_{\varepsilon}$作为测试函数.容易验证

$ \int^{+\infty}_{0}A(r)\frac{|\phi g_{\varepsilon}(r)|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r \geq \int^{1}_{\varepsilon}A(r)\frac{|\phi g_{\varepsilon}(r)|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r=\int^{1}_{\varepsilon}A(r)r^{-2\alpha-2}{\rm d}r; \\ \begin{eqnarray*} && \int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{ {\rm d}(\phi g_{\varepsilon})}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r \\ &=& \int^{1}_{\varepsilon}A(r)\left|\frac{{\rm d} g_{\varepsilon}}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r+\int^{2}_{1}A(r)\left|\frac{ {\rm d}(\phi r^{-(2\alpha+2-p)/p} )}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r \\ &=&\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{1}_{ \varepsilon}A(r)r^{-2\alpha-2}{\rm d}r+\int^{2}_{1}A(r)\left|\frac{ {\rm d}(\phi r^{-(2\alpha+2-p)/p} )}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r. \end{eqnarray*} $

因此

$ \begin{eqnarray*} &&\inf_{f\in C^{\infty}_{0}([0, +\infty))\backslash\{0\}}\frac{\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r}{\int^{+\infty}_{0}A(r) \frac{|f|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r} \\ &\leq & \frac{\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d} (\phi g_{\varepsilon})}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r}{\int^{+\infty}_{0}A(r) \frac{|\phi g_{\varepsilon}|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r} \leq \left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}+\frac{\int^{2}_{1}A(r)\left|\frac{ {\rm d}(\phi r^{-(2\alpha+2-p)/p} )}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r}{\int^{1}_{\varepsilon}A(r)r^{-2\alpha-2}{\rm d}r}. \end{eqnarray*} $

注意到当$r>0$时, $\sinh r>r$, 且

$ \int^{1}_{\varepsilon}A(r)r^{-2\alpha-2}{\rm d}r>\int^{1}_{\varepsilon}r^{2\alpha+1}r^{-2\alpha-2}{\rm d}r=-\ln\varepsilon\rightarrow+\infty, \;\;\varepsilon\rightarrow 0+, $

我们有

$ \begin{eqnarray*} && \inf_{f\in C^{\infty}_{0}([0, +\infty))\backslash\{0\}}\frac{\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r}{\int^{+\infty}_{0}A(r) \frac{|f|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r}\\ &\leq & \left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}+\lim_{\varepsilon\rightarrow0+} \frac{\int^{2}_{1}A(r)\left|\frac{{\rm d} (\phi r^{-(2\alpha+2-p)/p} )}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r}{\int^{1}_{\varepsilon}A(r)r^{-2\alpha-2}{\rm d}r} = \left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}. \end{eqnarray*} $

定理 1.1证毕.

定理 1.2的证明  类似于定理1.1的证明, 我们同样做变换$f=r^{\frac{p-2\alpha-2}{p}}g$.由于$p\geq2$, 利用引理2.1(2)可得

$ \begin{eqnarray}\label{1.9} \int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r &=&\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}r^{-\frac{2\alpha+2}{p}}g+ r^{\frac{p-2\alpha-2}{p}}\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r\nonumber\\ &\geq &\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}\right|^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p}{\rm d}r \nonumber\\ &&+ p\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}\right|^{p-2} \int^{+\infty}_{0}A(r)r^{-\frac{p-2}{p}(2\alpha+2)}|g|^{p-2}\nonumber\\ &&\times \frac{p-2\alpha-2}{p}r^{-\frac{2\alpha+2}{p}}g\cdot r^{\frac{p-2\alpha-2}{p}}\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}{\rm d}r \nonumber\\ &&+ D_{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r. \end{eqnarray} $

(2.2)

由定理 1.1的讨论知, 不等式(2.2)右边的第二项是非负的, 因此

$ \begin{eqnarray}\label{1.10} &&\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r\ \\ &\geq &\left|\frac{p-2\alpha-2}{p}\right|^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{-(2\alpha+2)}|g|^{p}{\rm d}r +D_{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r\nonumber\\ &=&\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)\frac{|f|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r+D_{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r. \end{eqnarray} $

(2.3)

注意到当$r>0$时,

$ \begin{eqnarray*} \frac{(A(r)r^{p-2\alpha-2})'}{A(r)r^{p-2\alpha-2}}&=&\frac{p-2\alpha-2}{r}+(2\alpha+1)\coth r+(2\beta+1)\tanh r \\ &\geq & \frac{p-1}{r}+(2\alpha+1)\left(\coth r-\frac{1}{r}\right)\\ &\geq & \frac{p-1}{r}+(p-1)\left(\coth r-\frac{1}{r}\right) =(p-1)\coth r\geq p-1, \end{eqnarray*} $

我们有

$ \begin{eqnarray*} &&(p-1)\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|g\right|^{p}{\rm d}r\\ &\leq &\int^{+\infty}_{0}(A(r)r^{p-2\alpha-2})'\left|g\right|^{p}{\rm d}r =-p\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|g\right|^{p-2}gg'{\rm d}r\\ &\leq &p\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|g\right|^{p-1}|g'|{\rm d}r\\ &\leq &p\left(\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|g\right|^{p}{\rm d}r\right)^{\frac{p-1}{p}} \left(\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r\right)^{\frac{1}{p}}. \end{eqnarray*} $

从而

$ \begin{eqnarray}\label{1.11} \left(\frac{p-1}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|g\right|^{p}{\rm d}r \leq\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|\frac{{\rm d}g}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r. \end{eqnarray} $

(2.4)

联立(2.3)和(2.4)式可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}r}\right|^{p}{\rm d}r \\ &\geq &\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)\frac{|f|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r+ D_{p}\left(\frac{p-1}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)r^{p-2\alpha-2}\left|g\right|^{p}{\rm d}r\\ &=&\left(\frac{2\alpha+2-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)\frac{|f|^{p}}{r^{p}}{\rm d}r+ D_{p}\left(\frac{p-1}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}A(r)\left|f\right|^{p}{\rm d}r. \end{eqnarray*} $

定理1.2证毕.

在定理证明之前, 我们先简单介绍一下双曲空间的Poincaré圆盘, 详细介绍可参考书籍[14].记${\Bbb B}^{n}=\{x=(x_{1}, \cdots, x_{n})\in {\Bbb R}^{n}| |x| < 1\}$.若$x\in {\Bbb B}^{n}$, 则从原点到$x$的双曲距离为

$ \rho(x)=\log\frac{1+|x|}{1-|x|}. $

对应的双曲Laplace算子

$ \Delta_{{\Bbb H}}=\frac{1-|x|^{2}}{4}\left\{(1-|x|^{2})\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}_{i}}+2(n-2)\sum^{n}_{i=1}x_{i}\frac{\partial}{\partial x_{i}}\right\} $

以及双曲梯度为

$ \nabla_{{\Bbb H}}=\frac{1-|x|^{^{2}}}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x_{1}}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_{n}}\right). $

在距离$\rho$下, 双曲Laplace算子可改写为

$ \begin{eqnarray*} \Delta_{{\Bbb H}}=\frac{\partial^{2} }{\partial \rho^{2}}+(n-1)\coth\rho\frac{\partial }{\partial \rho}+\frac{1}{\sinh^{2}\rho }\Delta_{{\Bbb S}^{n-1}}. \end{eqnarray*} $

梯度也可以改成为

$ \begin{eqnarray}\label{1.12} |\nabla_{{\Bbb H}} f|^{2}=\left|\frac{\partial f}{\partial \rho}\right|^{2}+\frac{1}{\sinh^{2}\rho }|\nabla_{{\Bbb S}^{n-1}}f|^{2}. \end{eqnarray} $

(3.1)

这里的$\Delta_{{\Bbb S}^{n-1}}$和$\nabla_{{\Bbb S}^{n-1}}$分别为球面${\Bbb S}^{n-1}$上的Laplace-Beltrami算子以及相应梯度.

此外, 双曲空间上的体积元${\rm d}V=\big(\frac{2}{1-|x|^{2}}\big)^{n}{\rm d}x$.并且, 在该体积元下有下面的极坐标公式

$ \begin{eqnarray}\label{1.13} \int_{{\Bbb B}^{n}}f{\rm d}V=\int^{+\infty}_{0}\int_{{\Bbb S}^{n-1}}f\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho {\rm d}\theta. \end{eqnarray} $

(3.2)

定理1.3的证明  在定理1.2中取$\alpha=n/2-1$和$\beta=-1/2$可得

$ \begin{eqnarray*} \int^{+\infty}_{0}\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}\rho}\right|^{p}\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho\geq\left(\frac{n-p}{p}\right)^{p}\int^{+\infty}_{0}\frac{|f|^{p}}{\rho^{p}}\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho+ C_{p}\int^{+\infty}_{0}|f|^{p}\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho. \end{eqnarray*} $

不等式两边同时在${\Bbb S}^{n-1}$上积分可得

$ \begin{eqnarray*} &&\int_{{\Bbb S}^{n-1}}\left(\int^{+\infty}_{0}\left|\frac{{\rm d}f}{{\rm d}\rho}\right|^{p}\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho\right){\rm d}\theta\\ &\geq &\left(\frac{n-p}{p}\right)^{p}\int_{{\Bbb S}^{n-1}}\left(\int^{+\infty}_{0}\frac{|f|^{p}}{\rho^{p}}\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho\right){\rm d}\theta+ C_{p}\int_{{\Bbb S}^{n-1}}\left(\int^{+\infty}_{0}|f|^{p}\sinh^{n-1} \rho {\rm d}\rho\right){\rm d}\theta. \end{eqnarray*} $

利用极坐标(3.2)式可得

$ \int_{{\Bbb B}^{n}}|\partial_{\rho}f|^{p}{\rm d}V\geq\left(\frac{n-p}{p}\right)^{p}\int_{{\Bbb B}^{n}}\frac{| f|^{p}}{\rho^{p}}{\rm d}V+C_{p}\int_{{\Bbb B}^{n}}| f|^{p}{\rm d}V. $

最后由(3.1)式可得

$ \left(\frac{n-p}{p}\right)^{p}\int_{{\Bbb B}^{n}}\frac{| f|^{p}}{\rho^{p}}{\rm d}V+C_{p}\int_{{\Bbb B}^{n}}| f|^{p}{\rm d}V\leq\int_{{\Bbb B}^{n}}|\partial_{\rho}f|^{p}{\rm d}V\leq\int_{{\Bbb B}^{n}}|\nabla_{{\Bbb H}}f|^{p}{\rm d}V. $

定理1.3证毕.