在过去的二三十多年里,由张传义教授^{[1, 2, 3]}提出的伪概周期函数理论很好地推广了Bochner意义下的概周期函数理论和Frechet意义下的弱概周期函数理论^{[4, 5]}. 在此基础上,许多学者研究了大量生物数学模型和人口动力学模型伪概周期解的存在性和稳定性,相应结果可参见文献 ^{[6, 7, 8, 9, 10, 11]}.

最近,文献[12, 13, 14]等分别考察了如下的具反馈控制的离散飞和连续飞蝇方程模型

$\left\{\begin{array}{rcl}x(n+1)&=&x(n)\exp\{-\delta(n)+\beta(n) e ^{-\alpha(n)x(n)} -c(n)u (n)\},\\\Delta u(n)&=&-a(n)u (n)+b(n)x(n-m)\end{array}\right.$

(1.1)

和

$\left\{\begin{array}{rcl}x_{1} '(t)&=& -a(t) x_{1}(t)+ \beta(t)x_{1}(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)x_{1}(t-\tau(t))}-c(t)x_{1}(t)x_2(t-\eta(t)), \\x_{2} '(t)&=& -\lambda(t) x_{2}(t)+ b(t) x_{1}(t-\delta(t)),\end{array}\right. {(1.2 )}$

(1.2)

其中$a(t),\beta(t),\gamma(t),\lambda(t),b(t),c(t),\tau(t),\eta(t),\delta(t)$为连续函数. 特别地,文献[14]给出了系统(1.2)伪概周期正解存在和局部稳定的新的充分条件. 然而,据我们所知,至今为止尚未发现关于带反馈控制飞蝇方程模型伪概周期正解全局指数稳定的相应结果.

根据上述讨论,本文的主要目的是建立系统(1.2)的正伪概周期解的全局指数稳定的充分条件. 为方便考虑,记$ g^{+}=\sup\limits_{t\in R}|g(t)|,g^{-}=\inf\limits_{t\in R}|g(t)|.$ 此外假定 $r_1=\max\{\tau^+,\delta^+\}$,$r_2=\eta^+$,$r =\max\{r_1,\ r_2\}>0$,和 $\gamma^{-} \geq1$. 如文献[15]所示,我们选取常数$\kappa\in (0,\ 1)$和$\widetilde {\kappa} \in (1,\ +\infty)$使得

$\frac{1-\kappa}{e^{\kappa}}=\frac{1}{e^{2}} =\sup\limits_{x\geq \kappa}|\frac{1-x}{e^{x}}|$

(1.3)

且

$\kappa e^{-\kappa}=\widetilde{\kappa} e^{-\widetilde{\kappa}}.$

(1.4)

相空间和解的符号完全类似于文献[14]. 本文考虑的相应初值问题如下

$x_{t_0}=\varphi,~~\varphi=(\varphi_1,\varphi_2)\in C_+ ~~\mbox{且} ~~\varphi_i(0)>0,\ i\in I=\{1,\ 2 \}.$

(1.5)

记$BC(R,R^{n})$ 为映$R$到 $R^{n}$的有界连续函数集.易见 $BC(R,R^{n})$ 在范数$\|\cdot\|_{\infty}:=\sup\limits_{t\in R}\|\cdot\|$意义下为巴拿赫空间.

记$AP(R,R^{n})$ 为映 $R$ 到 $R^{n}$的概周期函数集. 进一步定义 $PAP_{0}(R,R^{n})$如下: $$\big\{f\in BC(R,R^{n})|\lim\limits_{\varpi\rightarrow+\infty} \frac{1}{2\varpi}\int_{-\varpi}^{\varpi}|f(t)|{\rm d}t=0 \big\}. $$函数 $f\in{BC(R,R^{n})}$ 被称作是伪概周期函数,如果其可以分解为 $f=h+\varphi,$ 其中 $h\in{AP(R,R^{n})}$ 且$\varphi\in{PAP_{0}(R,R^{n})} $ (参见文献[11]). 一般地,伪概周期函数集记为$PAP(R,R^{n}).$此外,我们总假定 $a,\lambda: R\to (0,\ +\infty)$是概周期函数,$\beta $,$\gamma ,b,c:R\to (0,\ +\infty)$ 和 $ \tau,\delta,\eta:R\to[0,\ + \infty)$ 为伪概周期函数,并且$a(t)$ 和$\lambda(t) $ 有正的上下界.

引理2.1^[14] 带初值条件(1.5)的系统 (1.2)的任意解 $x(t; t_{0},\varphi)$在$t\in [t_0,\eta(\varphi))$上是正的且有界,其中 $\eta(\varphi)=+\infty$.

引理2.2 假设存在正数 $M,l$ 和 $L$ 使得

$\begin{align} & M>\kappa ,\ \underset{t\in R}{\mathop{\inf }}\,\left[-a(t)\kappa +\frac{\beta (t)}{\gamma (t)}\kappa {{e}^{-\kappa }}-c(t)ML \right]>0,\\ & \underset{t\in R}{\mathop{sup}}\,\left\{ -a(t)M+\frac{1}{e}\frac{\beta (t)}{\gamma (t)} \right\}\text{}0 \\ \end{align}$

(2.1)

且

${{\gamma }^{+}}\le \frac{{\tilde{\kappa }}}{M},\ \underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,\left\{ -\lambda (t)L+b(t)M \right\}<0,\ \underset{t\in R}{\mathop{\inf }}\,\left\{ -\lambda (t)l+b(t)\kappa \right\}>0.$

(2.2)

则存在 $t _{\varphi}>t_{0}$ 使得 对任意的 $ t \geq t _{\varphi}$

$\kappa < x _{1}(t; t_{0},\varphi) < M,\ l < x _{2}(t;t_{0},\varphi) < L .$

(2.3)

证 设 $x(t)=x(t;t_0,\varphi)$,$t\in [t_0,\ +\infty)$. 由引理2.1可知对任意 $t\in [t_0,\ +\infty)$和$i\in I$有$x_i(t)>0$.

下面分五步来完成我们的证明.

首先,我们将证明存在$t_1\in [t_0,+\infty)$使得 对任意的$t\in [t_1,\ +\infty) $

$x_{1}(t_1)<M ,~~ x_{1}(t)<M.$

(2.4)

若 对所有的$t\in [t_0,\ +\infty )$,有$x_{1}(t)\ge M$,则由(1.2) 和 (2.1)式,对所有的 $t\in [t_{0},\ +\infty)$ 我们有 $$x_{1}'(t ) \leq - a(t )M +\frac{1}{e} \frac{\beta (t )}{\gamma (t ) } < 0 . $$进而,当 $t\to+\infty$时 $$x_{1}(t) \le x_{1}(t_0)+\sup \limits_{t\in R}\left\{-a(t)M+\frac{1}{e}\frac {\beta (t)}{\gamma (t)}\right\}(t-t_0) \to -\infty, $$这与 $x_{1}(t)>0$矛盾.因此,存在某个$t_1\in [t_0,\ +\infty)$,使得$x_{1}(t_{1})<M$.

为证(2.4)式,我们只需说明$x_{1}(t)<M$,对任意的$t\in [t_1,\ +\infty)$.反设存在$t_1^{*}\in (t_{1},\ +\infty)$ 使得对任意的 $t\in[t_1,\ t_1^{*})$

$\mbox{$x_{1}(t_1^{*})=M$ 且 $x_{1}(t)<M$ .}$

则 $x_{1}'(t_{1}^{*})\ge 0$. 又根据 $\sup\limits_{x\in R}xe^{-x}=\frac{1}{e}$,由(2.1)式 可得 $$0 \leq x_{1}'(t_{1}^{*}) \leq - a(t_1^{*})M +\frac{1}{e} \frac{\beta(t_1^{*})}{\gamma (t_1^{*}) } < 0, $$该矛盾说明(2.4) 式成立.

下面将证明存在$t_2\in [t_1+r ,\ +\infty)$ 使得 对任意的$t\in [t_2,\ +\infty) $

${{x}_{2}}({{t}_{2}})\text{}L且{{x}_{2}}(t)\text{}L$

(2.5)

假定 $x_{2}(t)\ge L$,对所有的 $t\in [{{t}_{1}}+r,\infty )$. 由(1.2)和 (2.2)式,可得对所有的 $t\in [t_1+r,\ +\infty) $ $$x_{2}'(t ) \leq - \lambda(t )L+ b(t ) M < 0, $$且当 $t\to+\infty$时 $$x_{2}(t) \le x_{2}( t_1+r )+\sup \limits_{t\in R}\left\{- \lambda(t )L+b(t ) M\right\}(t-(t_1+r )) \to -\infty . $$这与 $x_{2}(t)$为正矛盾. 由此可得存在某$t_2\in [t_1+r_{1},\ +\infty)$,使得$x_{2}(t_2)<L$ .

接下来,我们断言 $$\mbox{对所有的 $t\in [t_2,\ +\infty)$, 有 $x_{2}(t)<L$ .} $$否则,存在$t_{2}^{*}\in ({{t}_{2}},\ \ +\infty )$ 使得对所有的 $t\in{{t}_{2}},\text{ }t_{2}^{*})$

$\mbox{$x_{2}(t_2^{*})=L$ 且 $x_{2}(t)<L$}.$

由此可得 $x_{2}'(t_{2}^{*})\ge 0$. 另一方面,由 (2.2)式可得 $$0\leq x_{2}'(t_{2}^{*}) \leq -\lambda(t_2^{*})x_{2}(t_2^{*})+b(t_2^{*})M = -\lambda(t_2^{*})L+b(t_2^{*})M < 0, $$该矛盾说明 (2.5) 式成立.

下一步要说明的是 $ \liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)>0.$ 我们采用反证法说明.反设 $\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)=0.$ 对任意的 $t\geq t_{0} $,定义$m(t)=\max \{\xi |\xi \le t,{{x}_{1}}(\xi )=\underset{{{t}_{0}}\le s\le t}{\mathop{\min }}\,{{x}_{1}}(s)\}.$ 由 $\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)=0$得 当 $t\to+\infty $ 时,$m(t)\to +\infty$并且$ \lim\limits_{t\to+\infty}x _{1}(m(t))=0.$ 由 $m(t)$的定义,可知 $x_{1}'(m(t))\le0$ 且

$\begin{array}[b]{rl} a(m(t))x_{1}(m(t)) \ge & \beta (m(t))x_{1}(m(t)-\tau (m(t))e^{-\gamma(m(t))x_{1}(m(t)-\tau(m(t)))}\\ & -c(m(t))x_{1}(m(t))L,\ \mbox{当 }m(t)>t_{2}+r. \end {array}$

(2.6)

进而$ 0 = \lim\limits_{t\to+\infty} a(m(t))x_{1}(m(t)) \ge \lim\limits_{t\to+\infty} \beta ^-x_{1}(m(t)-\tau(m(t)))e^{-\widetilde{\kappa}} \ge 0,$ 由此可得

$\lim\limits_{t\to+\infty}x_{1}(m(t)-\tau(m(t)))=0 .$

(2.7)

据$a,\ c$和 $\beta $的连续性和有界性,选取数列 $\{t_n \} _{n\geq 1}$ 满足 $ \lim\limits_{n\to+\infty} t_n=+\infty $,并使得$\lim\limits_{n\to\infty}\frac {c (m(t_n))}{a(m(t_n))}$和$\lim\limits_{n\to+\infty}\frac {\beta (m(t_n))}{a(m(t_n))}$ 存在.由 (2.6)式,可得

$\begin {eqnarray*}a(m(t_n)) & \ge & \beta (m(t_n))\frac {x_{1}(m(t_n)-\tau(m(t_n)))}{x_{1}(m(t_n))}e^{-\gamma (m(t_n))x_{1}(m(t_n)-\tau(m(t_n)))}-c (m(t_n))L\\& \ge & \beta (m(t_n)) e^{-\gamma (m(t_n))x_{1}(m(t_n)-\tau(m(t_n)))}-c (m(t_n))L.\end {eqnarray*}$

从而对所有的 $m(t_{n})>t_{2}+r$有

$1\ge \frac{\beta (m(t_n))} {a(m(t_n))}e^{-\gamma(m(t_n))x_{1}(m(t_n)-\tau (m(t_n)))}-\frac{c (m(t_n))L} {a(m(t_n))}.$

(2.8)

进一步,由(2.1)式可知

$\inf\limits_{t\in R} a(t )\bigg[-1+ \frac{\beta (t )}{a (t)}-\frac{c(t)L}{a(t )} \bigg] \geq \frac{1}{\kappa}\inf\limits_{t\in R}\bigg[-a(t)\kappa+ \frac{\beta (t )}{\gamma (t )}\kappa e^{-\kappa}-c(t)ML\bigg] > 0.$

(2.9)

再由(2.7) 和 (2.8)式,取极限得$ 1 \ge \inf \limits_{t \in R} [\frac {\beta (t)}{a(t)}-\frac {c(t)L}{a(t)}],$ 这显然与(2.9)式矛盾. 因此,$\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)>0$成立.

第四步将说明 $\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)> \kappa.$ 否则,$\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)\le \kappa.$ 由波动引理[16,引理 A.1],存在 $\{t_k\} _{k\geq 1}$ 使得 $k\to+\infty$时

$t_k\to+\infty,x_{1}(t_k)\to\liminf\limits_{t\to+\infty}x_{1}(t),x_{1}'(t_k)\to 0.$

因$\{x_{1_{t_k}} \}$ 有界且连续,由Ascoli-Arzelá定理,存在子列,为简单考虑仍记为其本身,使得

$\mbox{当 $k\to+\infty$,$x_{1_{t_k}} \to \varphi^*$ 对某 $\varphi^*\in C([-r_1,\ 0],\ {\Bbb R}_+ )$}.$

进一步,对任意的$\theta\in [-r_{1},\ 0)$有

$\varphi^*(0)=\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)\le\varphi^*(\theta)\le M.$

不失一般性,由函数的伪概周期性,我们假定$a(t_k)$,$\beta(t_k)$,$c (t_k)$,$\tau (t_k)$,和$\gamma (t_k)$分别收敛到 $a ^* $,$\beta ^*$,$c ^*$,$\tau ^*$,and $\gamma ^*$,故有$\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)\leq \gamma ^* \varphi^*(-\tau^*) \leq \gamma ^* M\leq \widetilde{\kappa},$ 再结合$\kappa$ 和$\widetilde{\kappa}$的定义,有

$\gamma ^* \varphi^*(-\tau ^*)e^{-\gamma ^*\varphi^*(-\tau ^*)}\geq \liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)e^{-\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)}.$

由 (2.1)式和 $x_{1}'(t_k) \geq -a(t_k)x_{1}(t_k)+ \frac{\beta(t_k)}{\gamma (t_k)}\gamma (t_k) x_{1 _{t_k}}(-\tau (t_k))e^{-\gamma(t_k)x_{1 _{t_k}} (-\tau (t_k))} -c(t_k)x_{1}(t_k)L$,可得(取极限)

$\begin {eqnarray*}0 & \geq & -a^*\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t)+ \frac {\beta^*}{\gamma ^*} \gamma ^* \varphi^*(-\tau ^*)e^{-\gamma ^*\varphi^*(-\tau ^*)}- c^*L\liminf\limits_{t\to+\infty} x_{1}(t) \\ &\geq&\liminf\limits_{t\to+\infty}x_{1}(t)\frac{1}{\kappa}\inf\limits_{t\in R}\left[-a(t )\kappa+\frac{\beta (t )}{\gamma (t )}\kappa e^{-\kappa}-c(t)M L\right] > 0,\end {eqnarray*}$

产生矛盾.从而证得 $\liminf\limits_{t\to+\infty}x_{1}(t)>\kappa$,再由(2.4)式可知存在 $t_{3}>t_2+r$使得

$\mbox{对任意的 $t\in [t_{3},\ +\infty)$,}~~ \kappa< x_{1}(t)<M.$

(2.10)

最后,我们将证明存在 ${{t}_{4}}\in [{{t}_{3}}+r,\infty )$使得 对任意的$t\in [{{t}_{4}},\ +\infty )$有

${{x}_{2}}({{t}_{4}})>l\ 和{{x}_{2}}(t)>l.$

(2.11)

假设$x_{2}(t)\leq l$ 对任意的 $t\in [{{t}_{3}}+r,\ +\infty )$. 由 (1.2) 和(2.2)式,可得 $$ \mbox{对任意的 $t\in [t_{3}+r,\ +\infty)$,} \ x_{2}'(t ) \geq - \lambda(t )l+ b(t ) \kappa > 0 $$且 $$ \mbox{当 $t\to+\infty$,}\ x_{2}(t) \geq x_{2}( t_3+r )+\inf \limits_{t\in R}\left\{- \lambda(t )l+b(t ) \kappa\right\}(t-(t_3+r )) \to +\infty, $$这与 $x_{2}(t)$的有界性矛盾. 从而证得$x_{2}(t )>l$ 对某 $t_4\in [t_3+r ,\ +\infty)$成立.

我们断言 $$\mbox{ 对任意的}\ t\in [t_4,\ +\infty),\ x_{2}(t)>l. $$如若不然,存在 $t\in [{{t}_{4}},\ +\infty )$ 使得对任意的$t\in[t_4,\ t_4^{*})$\[x_{2}(t_4^{*})=l \ \mbox{且} \ x_{2}(t)>l.\]从而 $x_{2}'(t_{4}^{*})\leq 0$. 进一步,由(1.2)和(2.2) 式有 $$0\geq x_{2}'(t_{4}^{*}) \geq -\lambda(t_4^{*})l+b(t_4^{*}) \kappa \geq \inf \limits_{t\in R}\left\{- \lambda(t )l+ b(t )\kappa\right\} > 0 , $$这与$x_{2}'(t_4^{*})\leq 0$矛盾. 因此 (2.11)式成立.

综上所述,由 (2.5),(2.10) 和 (2.11)式,可知 (2.3)式成立. 引理 2.2得证.

本节我们将给出方程(1.2)伪概周期正解存在性、唯一性、全局指数稳定的一些充分条件.

引理3.1 (参见文献[10,引理2.8]) 设

$B^{*}=\{\varphi|\varphi \in PAP(R,R) \ \mbox{ 在 $R$上一致连续 } ,K_{1}\leq\varphi(t)\leq K_{2},\ \mbox{ 对任意的} \ t\in R \}.$

(3.1)

则$B^* $ 是$PAP(R,R)$中的闭子集.

注3.1 对于

$B =\left\{\begin{array}{ll}(\varphi,\psi)|(\varphi,\psi) \in (R,R^{2}),\ \mbox{$\varphi $ 和 $ \psi $ 在 $R$上一致连续 } ,\\ \kappa\leq \varphi(t) \leq M,\ l\leq \psi(t) \leq L,\ \mbox{ 对任意的 } \ t\in R\end{array}\right\},$

(3.2)

由引理3.1易得 $B $ 是$PAP(R,R^{2})$的闭子集.

定理3.1 假设(2.1)-(2.2)式成立. 进一步假定

$\sup\limits_{t\in R }\bigg\{-a(t) + \beta (t)\frac{1}{e^{2}}+c(t)(L+M) \bigg \} < 0 ,\ \ \sup\limits_{t\in R }\bigg\{- \lambda(t) +b(t) \bigg \} < 0 .$

(3.3)

则方程(1.2)在$B$中存在唯一的伪概周期正解.

证 设$ \phi =( \phi_{1},\phi_{2}) \in B $,$f_{i}(t,z)= \phi_{i}(t-z) (i=1,2).$ 对 $i\in I,$ 由文献 [11,p58,定理5.3]和文献[11,p59,定义5.7],以及 $ \phi_{i}$的一致连续性,可得对于所有的紧集$K\subseteq\Omega$ 和 $\Omega \subseteq R$,$f_{i}\in PAP(R\times \Omega)$ 且 $f_{i}$关于 $z\in K$连续并且关于 $t\in R$ 是一致的. 再结合 $\tau,\eta,\delta\in PAP(R,R)$ 和文献[11,p60,定理5.11],可得 $$ \phi_{1} (t-\tau (t)),\phi_{2} (t-\eta (t)),\phi _{1}(t-\delta (t))\in PAP(R,R). $$ 由文献[11,p58,注5.4],我们有 $$\phi_{1}(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)\phi_{1}(t-\tau(t))},c(t)\phi_{1}(t)\phi_2(t-\eta(t)),\ b(t)\phi_{1}(t-\delta(t))\in PAP(R,R). $$ 接下来我们考虑如下的系统

$\left\{\begin{array}{rcl}x_{1} '(t)&=& -a(t) x_{1}(t)+ \beta(t)\phi_{1}(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)\phi_{1}(t-\tau(t))}-c(t)\phi_{1}(t)\phi_2(t-\eta(t)), \\x_{2} '(t)&=& -\lambda(t) x_{2}(t)+ b(t) \phi_{1}(t-\delta(t)).\end{array}\right.$

(3.4)

再结合$ M[a]>0 $ 和 $ M[\lambda]>0 $,据文献[7,引理8]可知如下线性系统

$\left\{\begin{array}{rcl}x_{1} '(t)&=& -a(t) x_{1}(t) ,\\x_{2} '(t)&=& -\lambda(t) x_{2}(t) .\end{array}\right.$

(3.5)

在 ${\Bbb R}$上满足指数二分性. 因此,由文献[7,引理7]可得 系统(3.4) 存在唯一的伪概周期解

$\left(\begin{array}{c}x_{1}^{\phi}(t)\\x_{2}^{\phi}(t)\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}a(u){\rm d}u}[\beta (s)\phi _{1}(s-\tau (s) )e^{-\gamma (s)\phi_{1}(s-\tau (s))} -c(s)\phi_{1}(s)\phi_2(s-\eta(s))]{\rm d}s\\ \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}\lambda(u){\rm d}u}b(s) \phi_{1}(s-\delta (s) ){\rm d}s\end{array}\right) .$

(3.6)

定义映射 $T:B \rightarrow PAP({\Bbb R},{\Bbb R}^{2})$ 如下 $$T(\phi(t))=x^{\phi}(t),\ \forall \ \phi\in B. $$

对任意的$ \phi \in B $,由 (2.1),(2.2)和(3.6)式,再结合 $ \sup\limits_{u\geq 0} ue^{-\gamma (t) u}=\frac{1}{\gamma(t)e}$,可得

$x_{1}^{\phi}(t) \leq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}a(u){\rm d}u}\frac{1}{\gamma(s)e}\beta (s){\rm d}s \leq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}a(u){\rm d}u}[a(s)M] {\rm d}s \leq M,\ \ \forall \ t\in R$

(3.7)

且

$x_{2}^{\phi}(t) \leq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}\lambda(u){\rm d}u}b (s)M{\rm d}s \leq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}\lambda(u){\rm d}u}\lambda(s)L {\rm d}s \leq L,\ \ \forall \ t\in R .$

(3.8)

由 (2.1),(2.2),(3.6)式和 $$\mbox{ 对任意的 } \ s\in R,\ \min\limits_{\kappa\leq u \leq\widetilde{\kappa} } ue^{- u}= \kappa e^{ - \kappa} ,\\kappa\leq\gamma (s) \phi_{1} (s-\tau (s))\leq \gamma ^{+}M \leq \widetilde{\kappa}, $$ 我们有,对任意的$ t\in R $

$ x_{1}^{\phi}(t) \geq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}a(u){\rm d}u}a(s)\kappa{\rm d}s \geq \kappa$

(3.9)

且

$x_{2}^{\phi}(t) \geq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}\lambda(u){\rm d}u}b (s)\kappa{\rm d}s \geq \int_{-\infty}^{t}e^{-\int_{s}^{t}\lambda(u){\rm d}u}\lambda(s)l {\rm d}s \geq l.$

(3.10)

再结合(3.7) 和(3.8)式,可得对任意的$ t\in R $ $$ \kappa\leq x_{1}^{\phi}(t) \leq M,\ l\leq x_{2}^{\phi}(t)\leq L. $$接下来,由(3.4)式,可知$ \Big((x_{1}^{\phi}(t))',(x_{2}^{\phi}(t) )'\Big)$ 在任意的 $ t\in R$上有界,且

$(x_{1}^{\phi},x_{2}^{\phi} ) \in(R,R^{2}) \ \mbox{ 在 $R$ 上一致连续} .$

(3.11)

因而,$ x ^{\phi}=(x_{1}^{\phi},x_{2}^{\phi} )\in B$,故映射$T$ 为 $B$ 到 $ B $的自映射.

定义$\Pi_{1} (\cdot) $ 和 $\Pi_{2}(\cdot) $ 如下 $$ \Pi_{1} (u) = \sup\limits_{t\in R }\bigg\{- \frac{a(t)}{e^{u r}} + \beta (t)\frac{1}{e^{2}} +c(t)(M+L) \bigg\} $$ 和 $$ \Pi_{2} (u) = \sup\limits_{t\in R }\bigg\{- \frac{\lambda(t)}{e^{u r}} + b (t) \bigg\}, $$ 其中 $ u\in [0,\ 1].$则由(3.3)式 可知存在$ \eta>0 $ 和 $\varsigma\in (0,\ 1]$ 使得

$\Pi_{1}(\varsigma) = \sup\limits_{t\in R }\bigg\{-\frac{a(t)}{e^{\varsigma r}} + \beta (t)\frac{1}{e^{2}} +c(t)(M+L) \bigg\}< -\eta <0$

(3.12)

且

$\Pi_{2} (\varsigma) = \sup\limits_{t\in R }\bigg\{- \frac{\lambda(t)}{e^{\varsigma r}} + b (t) \bigg\} < -\eta <0 .$

(3.13)

接下来我们将证明 $T$为 $B $上的压缩映射.

事实上,对任意的 $ \varphi,\psi \in B $,我们有

$\begin{align} & \underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,|{{(T(\varphi )(t)-T(\psi )(t))}_{1}}|= \\ & \underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,|\int_{-\infty }^{t}{{{e}^{-\int_{s}^{t}{a}(u)\text{d}u}}}[\frac{\beta (s)}{\gamma (s)}(\gamma (s){{\varphi }_{1}}(s-\tau (s)){{e}^{-\gamma (s){{\varphi }_{1}}(s-\tau (s))}} \\ & -\gamma (s){{\psi }_{1}}(s-\tau (s)){{e}^{-\gamma (s){{\psi }_{1}}(s-\tau (s))}})- \\ & c(s)({{\varphi }_{1}}(s){{\varphi }_{2}}(s-\eta (s)-{{\psi }_{1}}(s){{\psi }_{2}}(s-\eta (s)))]\text{d}s|. \\ \end{align}$

(3.14)

再结合 $\sup\limits_{\kappa\leq u\leq\widetilde{\kappa}}|\frac{1-u}{e^{u}}|=\frac{1}{e^{2}}$ 和不等式

$\begin{align} & |x{{e}^{-x}}-y{{e}^{-y}}|=|\frac{1-(x+\theta (y-x))}{{{e}^{x+\theta (y-x)}}}||x-y| \\ & \le \frac{1}{{{e}^{2}}}|x-y|,\ 其中x,y\in [\kappa ,\infty ),\ 0<\theta <1,\\ \end{align}$

(3.15)

由(3.11)-(3.14) 式可知 $$ \underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,|{{(T(\varphi )(t)-T(\psi )(t))}_{1}}|\le \|\varphi -\psi {{\|}_{\infty }}\underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,\int_{-\infty }^{t}{{{e}^{-\int_{s}^{t}{a}(u)\text{d}u}}}a(s)\frac{1}{{{e}^{\varsigma r}}}\text{d}s\le \frac{1}{{{e}^{\varsigma r}}}\|\varphi -\psi {{\|}_{\infty }} $$且 $$ \underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,|{{(T(\varphi )(t)-T(\psi )(t))}_{2}}|\le \|\varphi -\psi {{\|}_{\infty }}\underset{t\in R}{\mathop{\sup }}\,\int_{-\infty }^{t}{{{e}^{-\int_{s}^{t}{\lambda }(u)\text{d}u}}}b(s)\text{d}s\le \frac{1}{{{e}^{\varsigma r}}}\|\varphi -\psi {{\|}_{\infty }}. $$注意到 $\frac{1}{e ^{\varsigma r}}<1$,易知$T$为$B$上的压缩映射.再根据文献[17]中的引理3.1和定理0.3.1,可得$T$ 存在唯一的 不动点$\varphi^{*}\in B $并满足 $T\varphi^{*}=\varphi^{*}$. 由(3.4)式,$\varphi^{*}$ 满足 系统(1.2).故 $\varphi^{*}$ 为$B$中的系统(1.2)的伪概周期正解. 定理得证.

定理3.2 假设定理3.1中的所有条件都满足. 设$x^{*}(t)$为定理3.1所得的方程(1.2)的伪概周期正解,则$x^{*}(t)$ 全局指数稳定,也即,满足初始条件(1.5)的方程(1.2)的解$x(t; t_{0},\varphi)$ 当$t\rightarrow+\infty$时指数收敛到$ x ^{* }(t )$.

证 设 $x(t)= x(t; t_{0},\varphi) $,$y_{i}(t)= x_{i}(t)-x_{i}^{*}(t)$,其中 $t\in [t_{0}-r_{i},+\infty),\ i\in I$. 则

$\begin{equation}\left\{\begin{array}{rcl}y_{1} '(t)&=& -a(t) y_{1}(t)\\& &+ \beta(t)x_{1}(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)x_{1}(t-\tau(t))}-\beta(t)x_{1}^*(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)x_{1}^*(t-\tau(t))}\\& &-c(t)x_{1}(t)x_2(t-\eta(t))+c(t)x_{1}^*(t)x_2^*(t-\eta(t)),\\y_{2} '(t)&=& -\lambda(t) y_{2}(t)+ b(t) y_{1}(t-\delta(t)).\end{array}\right. \end{equation}$

(3.16)

设 $$ \Gamma _{1}(u) =\sup\limits_{t\in R}\bigg\{(u- a(t)) +\frac{\beta(t)}{e^2} e^{u r} +c(t)M e^{u r} +c(t)L\bigg\} ,~~ u\in [0,\ 1] $$和 $$\Gamma _{2}(u) =\sup\limits_{t\in R}\{u- \lambda(t)+b(t)e^{u r }\} ,~~ u\in[0,\ 1]. $$显然有,$\Gamma _{i}(u),i = 1,2 ,$在$[0,\ 1]$上连续. 由 (3.3)式,可选取常数 $\overline{\eta}>0$和$\zeta\in (0,\ 1]$使得

$\begin{equation} \Gamma _{1}(\zeta) =\sup\limits_{t\in R} \bigg\{(\zeta- a(t)) +\frac{\beta(t)}{e^2} e^{\zeta r} +c(t)M e^{\zeta r} +c(t)L\bigg\}<-\overline{\eta}<0\end{equation}$

(3.17)

且 \begin{equation}\Gamma _{2}(\zeta) =\sup\limits_{t\in R}\{\zeta- \lambda(t)+b(t)e^{\zeta r }\}<0. \end{equation} 令 $ V_{i} (t) = |y _{i}(t)|e^{\zeta t},\ i \in I.$ 沿(3.16)式的解$y(t)$计算$V_{i} (t) (i \in I)$的左上导数,有

$\begin{eqnarray} D^-(V_{1} (t)) & \leq & [(\zeta -a(t))|y_{1}(t)|+\beta(t)|x_{1}(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)x_{1}(t-\tau(t))}\\& &-x_{1}^*(t-\tau(t))e^{-\gamma(t)x_{1}^*(t-\tau(t))}|\\&&+c(t)|x_{1}(t)x_2(t-\eta(t))-x_{1}^*(t)x_2^*(t-\eta(t))|]e^{\nabla},\end{eqnarray} $

(3.19)

${{D}^{-}}({{V}_{2}}(t))\le [(\zeta -\lambda (t))|{{y}_{2}}(t)|+b(t)|{{y}_{1}}(t-\nabla (t))|]{{e}^{t}},~~对任意的\text{ }\ t>{{t}_{0}}.$

(3.20)

由引理2.2可知存在$t_{\varphi}>t_{0}+r$ 使得

$\kappa < x _{1}(t ) < M,\ l < x _{2}(t ) < L,\ \mbox{ 对任意的 }\ t \geq t_{\varphi}-r.$

(3.21)

设 $\underset{i=1,2}{\mathop{\max }}\,\{{{e}^{{{\nabla }_{\varphi }}}}(\underset{t\in [{{t}_{0}}-{{r}_{i}}{{,}_{\varphi }}]}{\mathop{\max }}\,|{{\varphi }_{i}}(t)-x_{i}^{*}(t)|+1)\}:={{\Omega }^{*}}$. 我们断言

${{V}_{i}}(t)=|{{y}_{i}}(t)|{{e}^{t}}\text{}{{\Omega }^{*}}\ for\ all\ t>{{t}_{\varphi }},\ i\in I.$

(3.22)

如若不然,则有下面的情况发生.

情形1 存在 $T_{1}>t_{\varphi}$ 使得

$V _{1}(T_{1})=\Omega^{*} \ \mbox{ 且}\ V _{i}(t)<\Omega ^{*}\ \mbox{ 对任意的 } \ \ t\in [t_{0}-r_{i},\ T_{1}),i=1,2.$

(3.23)

情形2 存在 $T_{2}>t_{\varphi}$ 使得

$V _{2}(T_{2})=\Omega^{*} \ \mbox{且}\ V _{i}(t)<\Omega^{*}\ \mbox{ 对任意的 } \ \ t\in [t_{0}-r_{i},\ T_{2}),i=1,2.$

(3.24)

若情形1 成立,结合 $(3.15)$,$(3.19)$,(3.21) 和(3.23) 式可得\begin{eqnarray*} 0 & \leq & D^-(V_{1} (T_{1})-\Omega^{*} ) \\& \leq & (\zeta- a(T_{1}))|y_{1} (T_{1})|e^{\zeta T_1}+\frac{\beta(T_{1})}{e^2}|y_1(T_1-\tau(T_1))|e^{\zeta(T_1-\tau(T_1))}e^{\zeta \tau(T_1)} \\& &+c(T_{1})M|y_2(T_1-\eta(T_1))|e^{\zeta (T_1-\eta(T_1))}e^{\zeta \eta(T_1)} +c(T_{1})L|y_1(T_1)|e^{ \zeta T_1}\\ & \leq & \bigg[(\zeta- a(T_{1})) +\frac{\beta(T_{1})}{e^2} e^{\zeta r} +c(T_{1})M e^{\zeta r} +c(T_{1})L\bigg]\Omega^{*} ,\end{eqnarray*}且 $$0 \leq (\zeta- a(T_{1})) +\frac{\beta(T_{1})}{e^2} e^{\zeta r} +c(T_{1})M e^{\zeta r} +c(T_{1})L, $$ 这与 (3.17)式矛盾. 因此,(3.23)式不成立.

若 情形2 成立,结合$(3.19)$,(3.21) 和 (3.24) 式可得 $$0 \leq D^-(V_{2} (T_{2})-\Omega^{*} ) = D^-(V_{2} (T_{2})) \leq [\zeta- \lambda(T_{2})+b(T_{2})e^{\zeta r }]\Omega^{*},\ 0 \leq \zeta- \lambda(T_{2})+b(T_{2})e^{\zeta r }, $$ 这与(3.18)式矛盾. 因此,(3.24)式 不成立. 从而 (3.22) 式成立,且有$ |y _{i}(t)|<\Omega^{*} e^{-\zeta t} \ \forall t>t_{\varphi},\ i\in I .$ 定理得证.

例4.1 考虑如下具反馈控制的时滞飞蝇方程模型

$\left\{\begin{array}{rl} x_{1} '(t) = & - 0.4040326x_{1}(t) + \frac{100+ \frac{\cos t}{1+t^{2}}}{100+ \sin t} x_{1}(t-2e^{ \sin ^{4 }t }) e^{ -x_{1}(t-2e^{ \sin ^{4} t })} \\[2mm]& -0.00001e^{-1+\sin \sqrt{5}t}x_1(t)x_2(t-2e^{\cos \sqrt{5}t}),\\[2mm] x_{2} '(t) =& -( 5+\sin^{2}t)x_{2}(t)+(3+\cos ^{2} t)x_{1}(t-e^{ \sin\sqrt{3}t}).\end{array}\right.$

(4.1)

显然,$c(t)=0.00001e^{-1+\sin \sqrt{5}t},\ b(t)=3+\cos ^{2} t,\ \lambda(t)= 5+\sin^{2}t,$ $r=r_{1}=r_{2}=2e,$ $ a = 0.4040326,$ $ \beta^-\geq\frac{99}{101},$ $\beta ^+\leq \frac{101}{99},$ $\gamma ^-=\gamma ^+=1 .$ 注意到 $\kappa\approx 0.7215355$ 和 $\tilde{\kappa}\approx1.342276$.设$M=1.203432,L=5$ ,$ l=0.3$. 则容易验证系统(4.1) 满足定理3.2的所有条件.因此,系统(4.1)存在唯一的指数稳定的伪概周期正解$x^*(t)$,其指数收敛速率约为$\lambda\approx 0.01$. 由数值模拟的给出的图形1-2有力地说明了相应结论的正确性.

注4.1 据我们所知,至今为止尚未有文献考虑带反馈控制项的飞蝇方程的伪概周期正解的全局指数稳定性. 值得指出的是,文献 ^{[12, 13, 14, 15, 18]}等中的相应方法不能证明本文所研究系统伪概周期正解的全局指数稳定性. 因此,本文的结果完善了飞蝇方程的相关研究.