考虑如下快扩散方程解的熄灭性质

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{t}}=\Delta {{u}^{m}}+a{{u}^{p}}\int_{\Omega }{{{u}^{q}}}(y,t)\text{d}y,\ \ \ & x\in \Omega ,t>0,\\ u(x,t)=0,\ \ & x\in \partial \Omega ,t>0,\\ u(x,0)={{u}_{0}}(x),\ \ \ & x\in \Omega ,\\ \end{array} \right.$

(1.1)

其中 0<m<1,p,q>0. $\Omega$ 是 ${{\mathbb{R}}^{N}}$ 中的有界光滑区域,非负非平凡函数$u_0(x)\in L^\infty(\Omega)\cap W_0^{1,1+m}(\Omega)$. 所谓有限时刻熄灭,是指存在 $T>0$ 使得对 0<t<T,解 $u(x,t)$ 是非平凡的,对$(x,t)\in\Omega\times[T,\infty)$ 成立 $u(x,t)\equiv0$.此时 $T$ 称为熄灭时刻.

物理学家建立了许多非局部数学模型用来描述不同的物理现象,并且有大量的文献研究具有非局部项或者非局部边界条件的反应扩散方程,如文献[1, 2, 3, 27, 33].对于发展方程,很多学者关心解的局部或者整体存在性、有限时刻爆破、爆破速率估计、局部化等性质,参见文献[4, 5, 6, 7]. 此外,反应扩散方程还有一个显著的性质,就是有限时刻熄灭. 在过去的几十年里,有大量的文献研究扩散方程的熄灭性质. 快扩散方程的熄灭性质最早被Sabinina在文献[8]中证明,自此以后被越来越多的学者关注,如文献[9, 10, 11]等. 很多学者研究了如下形式的非线性反应扩散方程

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{t}}=\Delta u+f(u),\ \ \ & x\in \Omega ,t>0,\\ u(x,t)=0,\ \ & x\in \partial \Omega ,t>0,\\ u(x,0)={{u}_{0}}(x),\ \ \ & x\in \Omega . \\ \end{array} \right.$

(1.2)

例如,Kalashnikov在文献[12]中研究了$f(u)=-u^p$的情形. 1994年,Gu在文献[13]中改进了Kalashnikov的结果,证明了当且仅当$0<q<1$ 时,方程(1.2)的非平凡解在有限时刻熄灭,这表明强吸收会导致解在有限时刻熄灭. 在文献[14, 15, 16]中,熄灭的结果被推广到一些其他具有或者没有吸收项的情形.

下述拟线性抛物型方程

$\label{eq:a3}\left\{\begin{array}{lll}u_t=\Delta u^m+au^q,\ \ \ &x\in\Omega,t>0,\\u(x,t)=0,\ \ &x\in\partial\Omega,t>0,\\u(x,0)=u_0(x),\ \ \ &x\in\Omega\end{array}\right.$

(1.3)

也有很长时间的研究历史和结果,可参见文献[17, 18, 19]. 需要特别指出的是Li和Wu在文献[17]中讨论了0<m<1且a,p>0的情形,证明了当p>m时,问题的唯一解在小初值条件下是有限时刻熄灭的,当p<m时,最大解恒是正的. 对于临界的情形p=m,第一特征值$\lambda_1$起到重要的作用

$-\Delta \psi (x)=\lambda \psi (x),\ \ \ x\in \Omega ;\ \ \ \psi {{|}_{\partial \Omega }}=0.$

(1.4)

Tian和Mu在文献[20]中也得到类似的结果. 更多关于退化抛物型方程的结果可以参阅文献[21, 22, 23, 24, 25, 31].

一般地,当$a<0$时,初边值问题(1.2)和(1.3)的解可能在有限时刻熄灭,这决定于扩散项和吸收项的比较. 当$a>0$时,问题(1.3)的非线性项称为“热源”. 文献[17]和^[20]的结果表明了如果扩散地足够快,问题的解仍然有可能在有限时刻熄灭,只要初值比较小.

在文献[26]中,Liu等考虑了如下的问题

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{t}}-d\Delta u+k{{u}^{p}}=\int_{\Omega }{{{u}^{q}}}(x,t)\text{d}x,\ \ \ & x\in \Omega ,t>0,\\ u(x,t)=0,\ \ & x\in \partial \Omega ,t>0,\\ u(x,0)={{u}_{0}}(x),\ \ \ & x\in \Omega ,\\ \end{array} \right.$

(1.5)

其中的参数$p,q\in(0,1)$,证明了$p=q$是临界熄灭指数,并且给出了解的熄灭的衰退估计. Wang等在文献[27]中考虑了参数$p,q\in[1,\infty)$的条件下的解的爆破结果. 在另一文献[28]中,Liu在齐次Dirichlet条件下研究了方程

$u_t-\mbox{div}(|\nabla u|^{p-2}\nabla u)+\beta u^q=\lambda u^r,\ \ \ x\in\Omega,\ \ t>0.$

最近,Han和Gao等在文献[30]中研究了下述方程

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{u}_{t}}=\Delta {{u}^{m}}+a\int_{\Omega }{{{u}^{p}}}\text{d}x,\ \ \ & x\in \Omega ,t>0,\\ u(x,t)=0,\ \ & x\in \partial \Omega ,t>0,\\ u(x,0)={{u}_{0}}(x),\ \ \ & x\in \Omega ,\\ \end{array} \right.$

(1.6)

给出了解在有限时刻熄灭的条件,指出第一特征值$\lambda_1$不再起到关键的作用. 对于临界情形$p=m$,解在有限时刻熄灭与否依赖于$a\mu$,其中$\mu=\int_{\Omega}\varphi(x){\rm d}x$,$\varphi(x)$是下述椭圆问题

$-\Delta\varphi(x)=1,\ \ \ x\in\Omega;\ \ \ \ \ \varphi(x)=0,\ \ \ x\in\partial\Omega$

(1.7)

的唯一解.

值得指出的是,在文献[5]中,Li和Xie在$m>1$的条件下,研究了问题(1.1),证明了古典解的局部存在性和唯一性,并且给出了解的爆破速率估计.受以上结果的启发,问题(1.1)的解的熄灭性质值得研究,该文将给出解在有限时刻熄灭的条件.

本文组织如下: 第二节给出一些预备知识,第三节给出并证明主要结果,在第四节讨论了所得的结果,同时还给出了数值解以演示解的熄灭性质.

初边值问题(1.1)在$m>1$时是退化的,0<m<1时是奇异的,所以一般情形下,问题(1.1)没有古典解而有弱解. 为了定义弱解,记$Q_T=\Omega\times(0,T)$,试验函数集

${\cal F}=\{\xi: \xi\in C(\bar{Q}_T)\cap C^{2,1}(Q_T),\xi_t,\Delta\xi\in L^2(Q_T); \xi\geq 0,\xi|_{\partial\Omega\times (0,T)}=0\}.$

定义2.1 函数$u(x,t)\in L^\infty(Q_T)$称为初边值(1.1) 的上解(下解),如果它满足

(i)~ $u(x,0)\leq(\geq)u_0(x),\ \ x\in\Omega$;

(ii)~ $u(x,t)\leq(\geq)0,\ \ (x,t)\in\partial\Omega\times(0,T)$;

(iii)~ 对任意$t\in(0,T)$和$\xi\in{\cal F}$,有

$\begin{eqnarray*} \int_\Omega u(x,t)\xi(x,t){\rm d}x &\leq& (\geq)\int_\Omega u_0(x)\xi(x,0){\rm d}x\\ &&+ \int_0^t\int_\Omega\{u\xi_t +u^m\Delta\xi+\xi(x,s)u^p\int_\Omega u^q(y,s){\rm d}y\}{\rm d}x{\rm d}s.\end{eqnarray*}$

如果函数$u(x,t)$既是上解又是下解,则$u(x,t)$是问题(1.1)的解.

利用标准的正则化方法可以得到问题(1.1)的解的局部存在性,解的正则性的讨论可以参考文献[4]的方法. 为了阅读的方便,将大体步骤写出如下.考虑问题

$\label{eq:b1}\left\{\begin{array}{lll} u_t=\Delta u^m+u^p\int_{\Omega}u^q{\rm d}x,\ \ \ &x\in\Omega,0<t<T,\\ u(x,t)=\frac{1}{k},\ \ &x\in\partial\Omega,0<t<T,\\u(x,0)=u_0(x)+\frac{1}{k},\ \ \ &x\in\Omega,\end{array}\right.$

(2.1)

$T$是适当小的正数. 对任意的$k\in\mathbb{N}$,上述问题的解是局部存在的,并且$\parallel u_k\parallel_\infty$一致有界. 根据比较原理(参见文献[32]),有$\frac{1}{l}\leq u_l\leq u_k$,$k<l$. 记$U(x,t)=\lim\limits_{k\to\infty}u_k(x,t)$,显然$U(x,t)$是问题(1.1)的解. 经过细致的计算,如果$u(x,t)$是问题(1.1)的解,可得

$\begin{eqnarray*}&& \int_{\Omega}(u-u_k)\xi(x,t){\rm d}x\\ &=& \int_0^t\int_{\Omega}\bigg\{(u-u_k)\xi_s+(u^m-u_k^m)\Delta\xi + u^p\int_{\Omega}(u^q(y,s)-u_k^q(y,s)){\rm d}y\xi(x,s) \\&& +(u^q-u_k^q)\xi(x,s)\int_{\Omega}u_k^q(y,s){\rm d}y\bigg\}{\rm d}x{\rm d}s+ \frac{1}{k^m}\int_0^t\int_{\partial\Omega}\frac{\partial\xi}{\partial n}{\rm d}S{\rm d}s -\frac{1}{k}\int_{\Omega}\xi(x,0){\rm d}x\\ &\leq& \int_0^t\int_{\Omega}\bigg\{(u-u_k)\xi_s+(u^m-u_k^m)\Delta\xi +u^p\xi(x,s)\int_{\Omega}(u^q(y,s)-u_k^q(y,s)){\rm d}y\\ &&+ (u^p-u_k^p)\xi(x,s)\int_{\Omega}u_k^q(y,s){\rm d}y\bigg\}{\rm d}x{\rm d}s.\end{eqnarray*}$

记$\Phi_k$,$\Psi_k$和$F_k$分别为

$(u-u_k)\Phi_k = u^m-u_k^m, (u-u_k)\Psi_k = u^p-u_k^p, (u-u_k)F_k = u^q-u_k^q,$

则有

$\begin{eqnarray*} \int_{\Omega}(u-u_k)\xi(x,t){\rm d}x &\leq& \int_0^t\int_{\Omega}(u-u_k)\bigg\{\xi_s+\Phi_k\Delta\xi +\xi(x,s)\Psi_k\int_{\Omega}u_k^q(y,s){\rm d}y\bigg\}{\rm d}x{\rm d}s\\ &&+ \int_0^t\int_{\Omega}u^p\xi(x,s)\int_{\Omega}(u-u_k)F_k(y,s){\rm d}y{\rm d}x{\rm d}s.\end{eqnarray*}$

仿照文献[32,pp118-123]选取合适的试验函数$\xi$,可得$u\leq u_k$.从上述过程还可得到,如果$u$是问题(1.1)的下解,则有$u\leq u_k$,这说明$U(x,t)$是问题(1.1)的最大解,并且满足下解比较原理. 根据文献[32,定理2.1]和[30,推论2.2]可知: 若$q=0,p>m$或者$q=0,p=m$且$\lambda_1\geq1$又或者$p=0,q=m$,问题(1.1)有唯一解.

下面的两个引理在主要结果的证明中起到关键的作用,其证明可参考文献[32, 33].

引理2.1 假设$\tilde{u}(x,t)$和$\hat{u}(x,t)$是问题(1.1)的非负有界的下解和上解,并且对某一正数$\delta$,有$\hat{u}(x,t)\geq\delta$.如果$\tilde{u}(x,0)\leq\hat{u}(x,0)$,则有$\tilde{u}(x,t)\leq\hat{u}(x,t)$,$(x,t)\in Q_T$.

下述众所周知的不等式结果对于研究解的熄灭行为至关重要,细节可参阅文献[20, 24, 26, 31]: 如果$y(t)$是$[0,+\infty)$上的绝对连续函数,满足

$\begin{eqnarray*}y'(t)+\alpha y^l\leq0,\ \ \ \ t\geq 0;\ \ \ \ \ \ y(0)=y_0\geq0,\end{eqnarray*}$

其中$\alpha>0$,$l\in(0,1)$,则必存在$T_*$使得当$t\in[0,T_*)$时,$y>0$,当$t\in[T_*,+\infty)$,$y\equiv0$.

由于初边值问题(1.1)中方程形式的特殊性,需要改进上述的结果并给出下面的引理.

引理2.2 假设$0<l<r\leq1$,如果非负函数$y(t)$是问题

$\begin{eqnarray*} y'(t)+\alpha y^l\leq\beta y^r\ (t\geq 0),\ \ \ y(0)=y_0>0\end{eqnarray*}$

的解,其中$\alpha,\beta$是两个非负常数且$\beta y_0^{r-l}<\alpha$,则存在$T_*$使得当$t\in[0,T_*)$时,$y>0$,当$t\in[T_*,+\infty)$,$y\equiv0$.

证 将不等式重新写为$ y'(t)\leq-\alpha y^l\big(1-\frac{\beta}{\alpha}y^{r-l}\big).$ 因为$\beta y_0^{r-l}<\alpha$,故存在适当小的常数$\delta$满足$t\in[0,\delta]$,$\beta y^{r-l}<\alpha$. 于是$y$在区间$[0,\delta]$上递减,注意到$r-l>0$,有$\alpha>\beta y(\delta)^{r-l}>0$,重复上述过程可得$ y'(t)\leq-\alpha_0y^l,\ t>0,$ 其中$\alpha_0=\alpha-\beta y_0^{r-l}$. 根据熟知的结果可知引理结论成立.

注2.1 该引理改进了文献[29,引理1]的结果.

为了给出主要结果的证明,还需要下列Gagliado-Nirenberg嵌入定理.

引理2.3^[34] 假设$v\in W_0^{1,p}(\Omega)$,$p\geq1$. 对于$r\geq1$,存在只依赖于$N$,$p$和$r$的常数$C$满足$ \|v\|_{\mu,\Omega}\leq C\|\nabla v\|_{p,\Omega}^\theta\|v\|_{r,\Omega}^{1-\theta},$ 其中$\theta\in[0,1]$,$\mu\geq1$适合

$\theta=\left(\frac{1}{r}-\frac{1}{\mu}\right)\left(\frac{1}{N}-\frac{1}{p}+\frac{1}{r}\right)^{-1},$

且各参数的取值范围为

(i)~ 当$N=1$时,$\mu\in[r,+\infty]$,并且$\theta\in\left[0,\frac{p}{p+r(p-1)}\right]$;

(ii)~ 当$1\leq p<N$时,$\theta\in[0,1]$,$\mu\in\left[r,\frac{Np}{N-p}\right]$,若$r\leq\frac{Np}{N-p}$; 或者$\mu\in\left[\frac{Np}{N-p},r\right]$,若$r\geq\frac{Np}{N-p}$;

(iii)~ 当$<1<N\leq p$时,$\mu\in[r,+\infty]$,$\theta\in\left[0,\frac{Np}{Np+r(p-N)}\right)$.

本节利用比较原理和积分估计的方法给出初边值问题(1.1)的解在有限时刻熄灭或者非熄灭的几个充分条件. 记$\lambda_1$为方程(1.5)的第一特征值,$\psi(x)$是相应的特征函数,满足$\max\limits_{x\in\bar{\Omega}}\psi(x)=1$,再记$\mu_{m,q}=\int_{\Omega}\psi^{\frac{q}{m}}(x){\rm d}x$.

定理3.1 假设$p+q<m$. 对任何非负初值$u_0$,初边值问题(1.1)的最大解$U(x,t)$不会在有限时刻熄灭.

证 记$\tilde{u}(x,t)=g(t)\psi^{\frac{1}{m}}(x)$,期望找到正函数$g(t)$使得$\tilde{u}(x,t)$是问题(1.1)的下解. 仔细计算,可得 $$\tilde{u}_t=g'(t)\psi^{\frac{1}{m}}(x), $$ $$\Delta\tilde{u}^m+a\tilde{u}^p\int_{\Omega}\tilde{u}^q{\rm d}x=-g^m(t)\lambda_1\psi(x)+ag^{p+q}(t)\psi^{\frac{p}{m}}(x)\int_{\Omega}\psi^{\frac{p}{m}}(x)^q{\rm d}x. $$如果选择$g(t)$满足下列常微分方程\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{ll}g'(t)=-\lambda_1g^m(t)+a\mu_{m,q}g^{p+q}(t),\\g(0)=0,\ \ g(t)>0\ \ \ \mbox{对}\ \ t>0,\end{array}\right.\end{eqnarray*}则$\tilde{u}(x,t)$是问题(1.1)的下解. 故根据下解比较原理可知$U(x,t)>0$.

定理3.2 假设$p+q=m$,$a\mu_{m,q}>\lambda_1$. 对任意非负初值$u_0$,初边值问题(1.1)的最大解$U(x,t)$不会在有限时刻熄灭.

证 记$\tilde{u}(x,t)=g(t)\psi^{\frac{1}{m}}(x)$,直接计算可得 $$\tilde{u}_t=g'(t)\psi^{\frac{1}{m}}(x), $$ $$\Delta\tilde{u}^m+a\tilde{u}^p\int_{\Omega}\tilde{u}^q{\rm d}x=g^m(t)\left(-\lambda_1\psi(x)+a\psi^{\frac{p}{m}}(x)\int_{\Omega}\psi^{\frac{p}{m}}(x)^q{\rm d}x\right). $$令$g(t)$是常微分方程\begin{eqnarray*}\left\{\begin{array}{ll}g'(t)=(a\mu_{m,q}-\lambda_1)g^m(t),\\g(0)=0,\ \ g(t)>0,\ \ t>0\end{array}\right.\end{eqnarray*}的解,则$\tilde{u}(x,t)$也是问题(1.1)的一个下解. 由下解比较原理可得$U(x,t)>0$.

接下来给出问题(1.1)的解的熄灭结果.

定理3.3 假设$p+q>m$.

(i)~ 如果$N>2$,则在初值$u_0$适当小的条件下,初边值问题(1.1)的解在有限时刻熄灭. 此外还有,当$\frac{N-2}{N+2}<m<1$时,

$ \left\{ \begin{array}{ll} \|u(\cdot,t)\|_{1+m}\leq\|u_0\|_{1+m} \left[1-\frac{C_1(1-m)t}{\|u_0\|^{1-m}_{1+m}}\right]^{\frac{1}{1-m}},&0\leq t\leq T_{1*},\\[2mm] \|u(\cdot,t)\|_{1+m}\equiv0,&T_{1*}\leq t\leq+\infty,\end{array} \right.$

当$0<m<\frac{N-2}{N}$时,

$ \left\{ \begin{array}{ll} \|u(\cdot,t)\|_{\frac{N(1-m)}{2}}\leq\|u_0\|_{\frac{N(1-m)}{2}} \left[1-\frac{C_2(1-m)t}{\|u_0\|^{1-m}_{\frac{N(1-m)}{2}}}\right]^{\frac{1}{1-m}},&0\leq t\leq T_{2*},\\[2mm] \|u(\cdot,t)\|_{\frac{N(1-m)}{2}}\equiv0,&T_{2*}\leq t\leq+\infty,\end{array} \right.$

其中$C_1,C_2$是(3.15),(3.18)式确定的常数.

(ii)~ 如果$N=1,2$,则在初值$u_0$适当小的条件下,初边值问题(1.1)的解在有限时刻熄灭. 此外还有

$ \left\{ \begin{array}{ll} \|u(\cdot,t)\|_{1+m}\leq\|u_0\|_{1+m} \left[1-\frac{C_3(1-m)t}{\|u_0\|^{1-m}_{1+m}}\right]^{\frac{1}{1-m}},&0\leq t\leq T_{3*},\\[2mm] \|u(\cdot,t)\|_{\frac{N(1-m)}{2}}\equiv0,&T_{3*}\leq t\leq+\infty,\end{array} \right.$

其中$C_3$是由(3.22)式确定的常数.

注3.1 仔细检查证明的过程,可以看出当$p+q\leq1$时,$C_1,C_2,C_3$由(3.15),(3.18)和 (3.22)式确定,当$p+q>1$时,$C_1,C_2,C_3$需稍作改动.

证 (i)~ 将方程(1.1)两边同时乘以$u^{s-1}$ ($s>1$是待定常数),在$\Omega$上积分,得到

$\label{eq:c0} \frac{1}{s}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^s{\rm d}x+\frac{4m(s-1)}{(m+s-1)^2} \int_{\Omega}|\nabla u^{\frac{m+s-1}{2}}|^2{\rm d}x =a\int_{\Omega}u^{p+s-1}{\rm d}x\int_{\Omega}u^q{\rm d}x.$

(3.1)

下面分两种情形$p+q\leq1$和$p+q>1$来证明.

情形1 $p+q\leq1$. 再将此分为两种情形.当$\frac{N-2}{N+2}\leq m<1$时,在(3.1)式中令$s=1+m$. 根据Hölder不等式和嵌入定理,有 $$ \| u(\cdot,t)\|^m_{1+m,\Omega} \leq |\Omega|^{\frac{m}{1+m}-\frac{N-2}{2N}} \|u^m(\cdot,t)\|_{\frac{2N}{N-2},\Omega} \leq\gamma\mid\Omega\mid^{\frac{m}{1+m}-\frac{N-2}{2N}} \|\nabla u^m(\cdot,t)\|_{2,\Omega}, $$$\gamma$为嵌入常数. 为了书写的简便,下文将略去范数的$\Omega$下标.将上述不等式代入(3.1)式可得下列微分不等式

$\label{eq:c2} \frac{1}{1+m}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(\cdot,t)\|^{1+m}_{1+m} +\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}}\|u(\cdot,t)\|^{2m}_{1+m} \leq a|\Omega|^{2-\frac{p+q+m}{1+m}}\|u(\cdot,t)\|^{p+q+m}_{1+m}.$

(3.2)

记$H(t)=\|u(\cdot,t)\|_{1+m}$,则(3.2)式变为

$\label{eq:c3} H'(t)+\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}}H^m(t) \leq a|\Omega|^{2-\frac{p+q+m}{1+m}}H^{p+q}(t).$

(3.3)

注意到$p+q>m$,选取$u_0$足够小满足

$\label{eq:c4} \gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}} -a|\Omega|^{2-\frac{p+q+m}{1+m}} H^{p+q-m}(0)>0.$

(3.4)

由于$p+q>m$,根据引理2.3可知$H(t)$在有限时刻熄灭,从而方程(1.1)的解$u(x,t)$也在有限时刻熄灭.

当$0<m<\frac{N-2}{N}$时,选取$s=\frac{N}{2}(1-m)>1$,根据嵌入定理,得到

$\begin{eqnarray*}\|u(\cdot,t)\|_s^{\frac{m+s-1}{2}}=\|u^{\frac{m+s-1}{2}}(\cdot,t)\|_\frac{2N}{N-2}\leq\gamma\|\nabla u^{\frac{m+s-1}{2}}(\cdot,t)\|_2.\end{eqnarray*}$

记$H(t)=\|u(\cdot,t)\|_s$,根据Hölder不等式,有

$\label{eq:c5} H'(t)+\frac{4m(s-1)}{(m+s-1)^2}\gamma^{-2}H^m(t) \leq a|\Omega|^{\frac{s-p-q+1}{s}}H^{p+q}(t).$

(3.5)

取$u_0(x)$足够小满足

$\label{eq:c6} \frac{4m(s-1)}{(m+s-1)^2}\gamma^{-2}-a|\Omega|^{\frac{s-p-q+1}{s}}H^{p+q-m}(0)>0,$

(3.6)

根据引理2.3可知$H(t)$在有限时刻熄灭,从而问题(1.1)的解$u(x,t)$也在有限时刻熄灭.

情形2 $p+q>1$. 令$\Omega_1$是有界区域满足$\Omega\subset\subset\Omega_1$,$\psi_1(x)$是下述问题

$\label{eq:c7} -\Delta\psi(x)=\lambda\psi(x),\ \ \ x\in\Omega_1;\ \ \ \psi|_{\partial\Omega_1}=0$

(3.7)

的特征函数,且$\max\limits_{x\in\bar{\Omega}}\psi_1(x)=1$. 容易验证,对于足够小的正数$k$,$k\psi^{\frac{1}{m}}_1(x)$是(1.1)的一个上解,只要$u_0(x)\leq k\psi^{\frac{1}{m}}_1(x)$,$x\in\Omega$.根据引理2.2,有

$\label{eq:c8} u(x,t)\leq k\psi^{\frac{1}{m}}(x)\leq k,\ \ \ t>0.$

(3.8)

接下来,估计%(3.1)的右端. 如果$p-1\geq0$ 或者$q\geq s$,由不等式(3.8)可得

$\label{eq:c9} a\int_{\Omega}u^{p+s-1}{\rm d}x\int_{\Omega}u^q{\rm d}x \leq ak^{p+q-1}|\Omega|\int_{\Omega}u^s{\rm d}x.$

(3.9)

如果$p-1<0$且$q<s$,根据Hölder不等式,有

$\label{eq:c10} a\int_{\Omega}u^{p+s-1}{\rm d}x\int_{\Omega}u^q{\rm d}x \leq a|\Omega|^{\frac{s-p-q+1}{s}} \left(\int_{\Omega}u^s{\rm d}x\right)^{\frac{p+q+s-1}{s}}.$

(3.10)

再将此种情形细分为两种子情形.当$\frac{N-2}{N+2}\leq m<1$时,令$s=1+m$,根据Hölder不等式和嵌入定理,得到 $$ \|u(\cdot,t)\|^m_{1+m} \leq |\Omega|^{\frac{m}{1+m}-\frac{N-2}{2N}}\|u^m(\cdot,t)\|_{\frac{2N}{N-2}} \leq \gamma\Omega^{\frac{m}{1+m}-\frac{N-2}{2N}}\|\nabla u^m(\cdot,t)\|_2, $$记$H(t)=\|u(\cdot,t)\|_{1+m}$,联合(3.1),(3.9)和(3.10)式可得

$\label{eq:c11} H'(t)+\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}}H^m(t) \leq ak^{p+q-1}|\Omega|H^{1-m}(t)$

(3.11)

或者

$\label{eq:c12} H'(t)+\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}}H^m(t) \leq a|\Omega|^{\frac{2+m-p-q}{1+m}}H^{p+q}(t),$

(3.12)

注意到$p+q>m$,只要$u_0$足够小满足

$\label{eq:c13} \gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}} -ak^{p+q-1}|\Omega|H^{1-m}(0)>0$

(3.13)

或者

$\label{eq:c14} \gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}} -a|\Omega|^{\frac{2+m-p-q}{1+m}}H^{p+q-m}(0)>0.$

(3.14)

根据引理2.3可知$H(t)$在有限时刻熄灭,从而问题(1.1)的解$u(x,t)$也在有限时刻熄灭.

当$0<m<\frac{N-2}{N}$时,只要选取$s=\frac{N}{2}(1-m)>1$,采用类似的过程可以证明结果,此处不再重复.

接下来讨论解的衰退估计和熄灭时刻$T_*$. 首先考虑$p+q\leq 1$的情形.当$\frac{N-2}{N+2}\leq m<1$时,由(3.3) 和(3.4)式可得

$\begin{eqnarray*} H'(t) &\leq& -\left(\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}} -a|\Omega|^{2-\frac{p+q+m}{1+m}}H^{p+q-m}(t)\right)H^m(t)\\ &\leq& -C_1H^m(t),\end{eqnarray*}$

其中

$\label{eq:c15} C_1=\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}} -a|\Omega|^{2-\frac{p+q+m}{1+m}} H^{p+q-m}(0).$

(3.15)

由此,计算得到

$\begin{eqnarray*} H^{1-m}(t)-H^{1-m}(0)\leq-C_1(1-m)t,\end{eqnarray*}$

这意味着

$\label{eq:c16} \|u(\cdot,t)\|_{1+m}\leq\|u_0\|_{1+m} \left[1-\frac{C_1(1-m)t}{\|u_0\|^{1-m}_{1+m}}\right]^{\frac{1}{1-m}}_{+}.$

(3.16)

由此可知$u(x,t)$在有限时刻熄灭,且熄灭时刻$T_{1*}$满足$T_{1*}\leq T_1=\frac{\|u_0\|^{1-m}_{1+m}}{C_1(1-m)}$.

当$0<m<\frac{N-2}{N}$时,由(3.5)和 (3.6)式,采用类似的技巧,可得

$\label{eq:c17} \|u(\cdot,t)\|_{\frac{N(1-m)}{2}}\leq\|u_0\|_{\frac{N(1-m)}{2}} \left[1-\frac{C_2(1-m)t}{\|u_0\|^{1-m}_{\frac{N(1-m)}{2}}}\right]^{\frac{1}{1-m}}_{+},$

(3.17)

其中

$\label{eq:c18} C_2=\frac{4m(s-1)}{(m+s-1)^2}\gamma^{-2}-a|\Omega|^{\frac{s-p-q+1}{s}}H^{p+q-m}(0),$

(3.18)

熄灭时刻$T_{2*}$满足$T_{2*}\leq T_2=\frac{1}{C_2(1-m)}\|u_0\|^{1-m}_{\frac{N}{2}(1-m)}$.

$p+q>1$的情形类似,这里略去其证明过程.

(ii)~ 对于低维情形,仍然在式(3.1)中令$s=1+m$,则有

$\label{eq:c19}\frac{1}{1+m}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^{1+m}{\rm d}x+\int_{\Omega}|\nabla u^m|^2{\rm d}x=a\int_{\Omega}u^{p+m}{\rm d}x\int_{\Omega}u^q{\rm d}x.$

(3.19)

根据引理2.5,选取合适的参数,可得

$\|{{u}^{m}}{{\|}_{\frac{m+1}{m}}}\le C\|\nabla {{u}^{m}}\|_{2}^{\frac{2m}{5m+1}}\|{{u}^{m}}\|_{\frac{m+1}{2m}}^{\frac{3m+1}{5m+1}},$

这意味着

$\left(\int_\Omega u^{1+m}{\rm d}x\right)^{\frac{m}{1+m}}\leq C\left(\int_\Omega|\nabla u^m|^2{\rm d}x\right)^{\frac{m}{1+5m}}\left(\int_\Omega u^{\frac{1+m}{2}}{\rm d}x\right)^{\frac{2m(1+3m)}{(1+m)(1+5m)}},$

利用Hölder不等式可以得到下列估计式

$\left(\int_\Omega u^{1+m}{\rm d}x\right)^{\frac{m}{1+m}}\leq C|\Omega|^{\frac{m(1+3m)}{(1+m)(1+5m)}} \left(\int_\Omega|\nabla u^m|^2{\rm d}x\right)^{\frac{m}{1+5m}} \left(\int_\Omega u^{1+m}{\rm d}x\right)^{\frac{m(1+3m)}{(1+m)(1+5m)}},$

从而有

$C^{-\frac{1+5m}{m}}|\Omega|^{-\frac{1+3m}{1+m}}\left(\int_\Omega u^{1+m}{\rm d}x\right)^{\frac{2m}{1+m}}\leq\int_\Omega|\nabla u^m|^2{\rm d}x.$

将上面的不等式代入(3.19)式,得到

$\label{eq:c20}\frac{1}{1+m}\frac{\rm d}{{\rm d}t}\int_{\Omega}u^{1+m}{\rm d}x+C^{-\frac{1+5m}{m}}|\Omega|^{-\frac{1+3m}{1+m}}\left(\int_\Omega u^{1+m}{\rm d}x\right)^{\frac{2m}{1+m}}=a\int_{\Omega}u^{p+m}{\rm d}x\int_{\Omega}u^q{\rm d}x.$

(3.20)

接下来分两种情形$p+q\leq1$,$p+q>1$以便处理(3.20)式的右端.因为过程和(i)类似,这里只大体写出证明的框架.记$H(t)=\|u(\cdot,t)\|_{1+m}$,当$p+q\leq1$时,由Hölder不等式可得

$\begin{align} & {H}'(t)\le -\left( {{C}^{-\frac{1+5m}{m}}}|\Omega {{|}^{-\frac{1+3m}{1+m}}}-a|\Omega {{|}^{2-\frac{p+q+m}{1+m}}}{{H}^{p+q-m}}(t) \right){{H}^{m}}(t) \\ & \le -{{C}_{3}}{{H}^{m}}(t),\\ \end{align}$

(3.21)

只要初值$u_0$适当小满足

$\label{eq:c22}C_3:=C^{-\frac{1+5m}{m}}|\Omega|^{-\frac{1+3m}{1+m}} -a|\Omega|^{2-\frac{p+q+m}{1+m}}H^{p+q-m}(0)>0.$

(3.22)

于是根据(3.21)式和引理2.3可知$H(t)$在有限时刻熄灭,从而$u(x,t)$也在有限时刻熄灭,同时可以得到估计式

$\begin{eqnarray*} \|u(\cdot,t)\|_{1+m}\leq\|u_0\|_{1+m} \left[1-\frac{C_3(1-m)t}{\|u_0\|^{1-m}_{1+m}}\right]^{\frac{1}{1-m}}_{+}.\end{eqnarray*}$

对于情形$p+q>1$的证明可按照证明$N>2$的思路类似证明.

注3.2 对于特殊的情形$p+q=1$,可以得到当$t\in[0,T_{3*})$时$u$的更好的估计

$\label{eq:c23} \|u(\cdot,t)\|_{1+m}\leq\|u_0\|_{1+m} \left[C_4-(C_4-1){\rm e}^{a(1-m)|\Omega|t}\right]^{\frac{1}{1-m}},$

(3.23)

其中$C_4=\left(a\gamma^2|\Omega|^{\frac{2}{N}+\frac{2m}{1+m}}\|u_0\|^{1-m}_{1+m}\right)^{-1}$.

事实上,当$p+q=1$时(3.3)式可以写成

$\begin{eqnarray*} H'(t)\leq -\gamma^{-2}|\Omega|^{\frac{N-2}{N}-\frac{2m}{1+m}}H^{m}(t) +a|\Omega|H(t),\end{eqnarray*}$

积分得

$\begin{eqnarray*} {\rm e}^{a(m-1)|\Omega|t}H^{1-m}(t)-H^{1-m}(0) \leq\frac{1}{a\gamma^2|\Omega|^{\frac{2}{N}+\frac{2m}{1+m}}} \left({\rm e}^{a(m-1)|\Omega|t}-1\right),\end{eqnarray*}$

这意味着

$\begin{eqnarray*} \|u(\cdot,t)\|^{1-m}_{1+m} \leq\|u_0\|^{1-m}_{1+m} \left[\frac{1}{a\gamma^2|\Omega|^{\frac{2}{N}+\frac{2m}{1+m}}} -\left(\frac{1}{a\gamma^2|\Omega|^{\frac{2}{N}+\frac{2m}{1+m}}}-H^{1-m}(0)\right) {\rm e}^{a(1-m)|\Omega|t}\right]_{+}.\end{eqnarray*}$

由此易知

$\begin{eqnarray*} T_{3*}\leq T_3=\frac{1}{a(m-1)|\Omega|} \ln\left(1-a\gamma^2|\Omega|^{\frac{2}{N}+\frac{2m}{1+m}}\|u_0\|^{1-m}_{1+m}\right).\end{eqnarray*} $

由定理3.1-3.3可知,$p+q<m$或者$p+q=m$,$a\mu_{m,q}>1$时,问题(1.1)的最大解$U(x,t)$是正的,这意味着此时反应项的影响强于扩散项,当$p+q>m$时,非线性反应项的影响变小,再加上小初值的条件,于是扩散项使问题(1.1)的解的熄灭现象得以发生. 但是$p+q=m$且$a\mu_{m,q}<1$还无法确定问题(1.1)的解是否在有限时刻熄灭. 下面的数值解演示了问题(1.1) 的解$u(x,t)$的熄灭行为.