基于变分方法的奇异脉冲方程弱解的存在性


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	刘健

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基于变分方法的奇异脉冲方程弱解的存在性

刘健¹, 赵增勤²

1 山东财经大学数学与数量经济学院济南 250014;
2 曲阜师范大学数学科学学院山东曲阜 273165

收稿日期: 2015-09-27; 修订日期: 2016-04-02

基金项目: 国家自然科学基金（11571197）、山东省自然科学基金（ZR2012AQ024，ZR2014AM007）、山东财经大学杰出青年项目培育计划和高等学校博士学科点专项科研基金（20133705110003）资助

作者简介: 刘健,kkword@126.com;赵增勤,zqzhaoy@163.com

摘要: 该文研究了一类具有扰动项的非线性奇异脉冲微分方程边值问题，利用变分方法结合临界点理论得到了弱解的存在性定理.

关键词: 变分方法奇异脉冲山路引理

Variational Approach to Existence of Weak Solutions to Second-Order Singular Impulsive Problems

Liu Jian¹, Zhao Zengqin²

1 School of Mathematics and Quantitative Economics, Shandong University of Finance and Economics, Jinan 250014;
2 School of Mathematical Sciences, Qufu Normal University, Shandong Qufu 273165

Foundation Item: Supported by the NSFC (11571197), the Shandong Provincial Natural Science Foundation(ZR2012AQ024, ZR2014AM007), the Project of Training Distinguished Young Scholarsof SDUFE and the SRFDP (20133705110003)

Abstract: In this paper, we consider the existence of weak solutions for a class of nonlinear singular impulsive boundary value problems with disturbance term. We obtain some new existence theorems of solutions by using variational methods combing with some critical-point theorems.

Key words: Variational method Singular Impulsive Mountain pass theorem

1 引言

近年来,有关奇异边值问题的研究用到的主要方法是拓扑方法(见文献[1, 2, 3, 4]),也有一些工作利用变分方法来研究奇异边值问题(见文献[5, 6, 7]),另外,有许多论文利用变分方法研究脉冲微分方程边值问题古典解或弱解的个数(见文献[8, 9, 10, 11, 12, 13, 14]). 但是,利用变分方法研究具有脉冲的奇异微分方程的结论较少. 利用变分方法研究奇异脉冲边值问题解的存在性是一个较为新颖的思路. 本文研究具有奇异性和脉冲项的非线性微分方程边值问题弱解的存在性,利用变分方法结合临界点理论得到了一些新的结论.以往论文的结论并不能包含本文的结果,本文的研究结果具有一定的意义.

在文献[5]中,Agarwal 等人利用变分方法研究了非线性项在 $t=0,1; y=0$ 处具有奇异性的微分方程

$\left\{\begin{array}{lll}-y"(t)=f(t,y),\ \ \ \ \ \ t\in(0,1),\\y(0)=y(1)=0,\end{array}\right.$

其中$f\in C((0,1)\times(0,\infty),[0,\infty))$ 满足

$\begin{array}{lll}2\varepsilon\leq f(t,y)\leq C y^{-\gamma},\ (t,y)\in(0,1)\times(0,\varepsilon),\end{array}$

对于任意的 $\varepsilon,C>0$ 和 $\gamma\in (0,1),$这应该是较早的利用变分方法研究奇异边值问题的论文.

受以上文献的启发,本文研究如下带有扰动项的奇异脉冲微分方程边值问题

$\left\{ \begin{align} & -u\text{''}(t)=f(t,u)+e(t),\ \ \ \ t\in (0,1),\\ & -\vartriangle {u}'({{t}_{i}})={{I}_{i}}(u({{t}_{i}})),\ \ \ i=1,2,\cdots ,p,\\ & u(0)=u(1)=0,\\ \end{align} \right.$

(1.1)

其中,$ f\in C((0,1)\times(0,\infty),[0,\infty)),e(t)\in L^{1}(0,1)$,$0=t_{0}< t_{1}<\cdots<t_{p}<t_{p+1}=T,\triangle u'(t_{i})=u'(t_{i}^{+})-u'(t_{i}^{-})=\lim\limits_{t\rightarrow t_{i}^{+}}u'(t)-\lim\limits_{t\rightarrow t_{i}^{-}}u'(t),$ 且存在 $\varepsilon,C>0,$ $\gamma\in (0,1),$ 使得

$2\varepsilon-e(t)\leq f(t,u)\leq Cu^{-\gamma},(t,u)\in(0,1)\times(0,\varepsilon).$

(1.2)

我们首先建立了奇异脉冲微分方程边值问题(1.1)的变分结构,在非线性项和脉冲项均有界或在非线性项和脉冲项均满足次线性增长的情况下利用最小作用原理得到了至少一个非平凡弱解的存在性,接下来在脉冲项有界且非线性项满足一定的条件时利用山路引理得到了至少两个非平凡弱解的存在性.

接下来的内容安排如下：首先给出一些预备知识和引理,接着给出本文的三个定理,最后针对三个定理举出相应的例子.

2 预备知识

定义Hilbert空间 $H$: $u:(0,1)\to {\Bbb R}$ 使得 ${u}'\in {{L}^{2}}(0,1)$ 且 $u(0)=u(1)=0$.

对于Hilbert空间 $H$,其内积及相应的范数定义如下

$(u,v)=\int_{0}^{1}u'(t)v'(t){\rm d}t,$

$\|u\|=\bigg(\int_{0}^{1}(u'(t))^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}.$

(2.1)

$\phi_{\varepsilon}(t)=\varepsilon t(1-t)$ 是如下方程的解

$\left\{ \begin{align} & -u''(t)=2\varepsilon ,\ \ \ \ \ \ t\in (0,1),\\ & u(0)=u(1)=0. \\ \end{align} \right.$

(2.2)

设函数 $f_{\varepsilon}\in C((0,1)\times{\Bbb R},[0,\infty))$ 满足

$f_{\varepsilon}(t,u)=f(t,(u-\phi_{\varepsilon}(t))^{+}+\phi_{\varepsilon}(t)),$

(2.3)

其中,$u^{\pm}=\max\{\pm u,0\}$.

考虑如下微分方程

$\left\{ \begin{align} & -u''(t)={{f}_{\varepsilon }}(t,u)+e(t),\ \ \ t\in (0,1),\\ & -\vartriangle {u}'({{t}_{i}})={{I}_{i}}(u({{t}_{i}})),\ \ i=1,2,\cdots ,p,\\ & u(0)=u(1)=0. \\ \end{align} \right.$

(2.4)

由(1.2)和(2.3)式,可知

$2\varepsilon-e(t)\leq f_{\varepsilon}(t,u)\leq C \phi_{\varepsilon}^{-\gamma},\ \ (t,u)\in(0,1)\times(-\infty,\varepsilon),$

(2.5)

以及

$f_{\varepsilon}(t,u)= f(t,u),\ \ (t,u)\in(0,1)\times[\varepsilon,\infty).$

(2.6)

下面证明,如果 $u$ 是方程(2.4)的一个解,则有 $u \geq \phi_{\varepsilon}(t)$,因此 $u$ 也是方程(1.1)的一个解.

设存在某个 $t\in(0,1) $使得

$u(t) < \phi_{\varepsilon}(t),$

(2.7)

由于

$u(t)\geq t(1-t)\|u\|_{\infty},\ t\in(0,1),$

其中$\|u\|_{\infty}=\max\limits_{t\in[0,1]}|u(t)|,$ 这蕴含着 $\|u\|_{\infty}< \varepsilon,$但是由(2.5)式可知,$-u"\geq 2\varepsilon=-\phi"_{\varepsilon}$,则有 $u \geq \phi_{\varepsilon}(t),$ 这与(2.7)式矛盾.

在方程(2.4)第一个式子的两端同时乘以 $v\in H$,然后区间(0,1)上对两端同时积分,结合边界条件 $ u(0)=u(1)=0$ 可得

$\int_{0}^{1}u' (t)v' (t){\rm d}t=\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u)v(t){\rm d}t +\int_{0}^{1}e(t)v(t){\rm d}t+\sum\limits_{i=1}^{p} I_{i}(u(t_{i}))v(t_{i}).$

(2.8)

我们定义方程(2.4)的弱解是指满足(2.8)式的 $u$,其中 $v$ 是$H$中任意元素.

令

$F_{\varepsilon}(t,u)=\int_{\varepsilon}^{u}f_{\varepsilon}(t,s){\rm d}s,$

对于 $\forall u\in H,$ 注意到 $u(0)=u(1)=0<\varepsilon$,有

$\begin{eqnarray*}\int_{0}^{1}|F_{\varepsilon}(t,u)|{\rm d}t&=& \int_{u\geq \varepsilon} \bigg|\int_{\varepsilon}^{u}f_{\varepsilon}(t,s){\rm d}s\bigg|{\rm d}t+\int_{u<\varepsilon} \bigg|\int_{\varepsilon}^{u}f_{\varepsilon}(t,s){\rm d}s\bigg|{\rm d}t\\&\leq & \int_{u\geq \varepsilon}\bigg|\int_{\varepsilon}^{u}f_{\varepsilon}(t,s){\rm d}s\bigg|{\rm d}t+C\max_{t\in[0,1]}(\varepsilon-u(t)) \int_{0}^{1}|\phi_{\varepsilon}^{-\gamma}(t)|{\rm d}t\\&\leq& \int_{u\geq \varepsilon}\bigg|\int_{\varepsilon}^{u}f_{\varepsilon}(t,s){\rm d}s\bigg|{\rm d}t+C(\varepsilon+\|u\|_{\infty}) \int_{0}^{1}|\phi_{\varepsilon}^{-\gamma}(t)|{\rm d}t.\end{eqnarray*}$

因此,存在常数 $C_{1}>0$,使得

$\int_{u\geq \varepsilon}\bigg|\int_{\varepsilon}^{u}f_{\varepsilon}(t,s){\rm d}s\bigg|{\rm d}t\leq C_{1},$

且有

$|\phi_{\varepsilon}^{-\gamma}|=\phi_{\varepsilon}^{-\gamma}\in L^{1}(0,1),$

则

$\int_{0}^{1}|F_{\varepsilon}(t,u)|{\rm d}t<+\infty. $

因此,易知方程(2.4)的弱解就是下面$C^{1}$泛函的临界点

$\varphi(u) =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}|u' (t)|^{2}{\rm d}t-\int_{0}^{1}F_{\varepsilon}(t,u){\rm d}t- \sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{u(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u(t){\rm d}t.$

(2.9)

下面给出本文需要的定义和引理.

定义2.1 (见文献[15]) 设 $E$是一个赋范空间,如果$x_{k}\rightharpoonup x \Rightarrow \lim\limits_{k\rightarrow+\infty}\inf\varphi(x_{k})\geq \varphi(x),$ 则称 $\varphi:E\rightarrow R$ 是弱下半连续的.

定义2.2 (见文献[15]) 设 $E$ 是一个实自反 Banach 空间,对于任意序列 ${u_{k}} \subset E,$ 若 ${\varphi(u_{k})}$ 有界且 ${\varphi(u'_{k})}\rightarrow 0~ (k\rightarrow +\infty)$,则${u_{k}}$ 有收敛子列,那么称 $\varphi$ 满足 Palais-Smale 条件.

引理2.1 (见文献[16]) 对于泛函 $F: M\subseteq X\to[-\infty,+\infty]$其中 $M\neq \emptyset$,当下列条件成立时,$\min\limits_{u\in M}F(u)=\alpha$ 有一个解

(i)~ $X$ 是一个实自反 Banach 空间;

(ii)~ $M$ 有界且弱序列闭,即对于 $M$中的任意一个序列 ${u_n},$ 如果当 $n\to\infty$时,有$u_n\rightharpoonup u,$ 那么$u\in M$;

(iii)~ $F$ 在$M$上是弱下半连续的.

引理2.2^[15](山路引理) 设 $E$是一个 Banach 空间且 $\varphi\in C^1(E,R)$ 满足Palais-Smale 条件. 若存在 $x_0,x_1\in E$,和一个 $x_0$的有界开邻域 $\Omega$ 使得$x_1\not\in \overline{\Omega}$ 且\[\max\{\varphi(x_0),\varphi(x_1)\}<\inf\limits_{x\in \partial\Omega}\varphi(x),\]则 $\varphi$ 有一个临界点,即存在 $u\in E$ 使得 $\varphi'(u)=0$且$\varphi(u)>\max\{\varphi(x_0),\varphi(x_1)\}$.

引理2.3 若 $u\in H,$ 则$\|u\|_{\infty} \leq\|u\|,$其中 $\|u\|_{\infty}= \max\limits_{t\in[0,1]} |u(t)|.$

证由 Hölder 不等式可知 $$|u(t)|=\bigg|\int_{0}^{t}u'(s){\rm d}s\bigg|\leq \int_{0}^{t}|u'(s)|{\rm d}s\leq \int_{0}^{1}|u'(t)|{\rm d}t\leq\bigg(\int_{0}^{1}|u'(t)|^{2}{\rm d}t\bigg)^{\frac{1}{2}}=\|u\|. $$ 证毕.

引理2.4 泛函 $\varphi$ 是连续的,连续可微的且是弱下半连续的.

证由 $f$ 的连续性易证泛函 $\varphi$ 连续的,连续可微的,且 $\varphi' (u)$ 定义为 $$\langle\varphi' (u),v\rangle=\int_{0}^{1}u' (t)v' (t){\rm d}t-\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u)v(t){\rm d}t -\sum\limits_{i=1}^{p} I_{i}(u(t_{i}))v(t_{i})-\int_{0}^{1}e(t)v(t){\rm d}t.(2.10) $$ 下面证明$\varphi$ 是弱下半连续的.

令 $\{u_{n}\}$ 弱收敛于$H$中某元素 $u$,则 $\|u\|\leq \underline{\lim}_{n\rightarrow \infty}\|u_{n}\|,$ 且 $\{u_{n}\}$ 在$[0,1]$上一致收敛于 $u$,则当 $n\rightarrow\infty$时,有\begin{eqnarray*}&&\underline{\lim}_{n\rightarrow \infty}\varphi(u_{n})\\&=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}|u_{n}' (t)|^{2}{\rm d}t-\int_{0}^{1}F_{\varepsilon}(t,u_{n}){\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{u_{n}(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u_{n}(t){\rm d}t\\&\geq & \frac{1}{2}\int_{0}^{1}|u' (t)|^{2}{\rm d}t-\int_{0}^{1}F_{\varepsilon}(t,u){\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{u(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u(t){\rm d}t\\&=&\varphi(u),\end{eqnarray*}因此 $\varphi$ 是弱下半连续的. 证毕.

下面列出本文所需要的 Ambrosetti-Rabinowitz 条件:

存在 $\mu>2$ 和 $r>0$ 使得

$<\mu F(t,u)\le f(t,u)u,\ \forall u\in \mathbb{R}\backslash \{0\},t\in [0,T].$

(2.11)

引理2.5 假定$f(t,u)$满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件,且$I_{i}(u)~(i=1,2,\cdots,p)$ 有界,则泛函 $\varphi$ 满足 Palais-Smale 条件.

证设 $\{u_{k}\}$ 是$H$中一个使得 $\{\varphi(u_{k})\}$有界且满足 ${\varphi'(u_{k})}\rightarrow 0~(k\rightarrow +\infty)$ 的序列,下面证明 $\{u_{k}\}$ 有一收敛子列.

首先证明 $\{u_{k}\}$ 有界.

根据 $I_{i}(u)~ ( i=1,2,\cdots,p)$的有界性可知,存在 $ M>0$ 使得 $$|I_{i}(u)|\leq M,\ \forall u\in {\Bbb R}, $$ 因此,由 Ambrosetti-Rabinowitz 条件,有

$\begin{eqnarray*}&&\mu \varphi(u_{k})-\langle\varphi' (u_{k}),u_{k}\rangle\\&=&\frac{\mu}{2}\int_{0}^{1}|u' _{k}|^{2}{\rm d}t-\mu\int_{0}^{1}F_{\varepsilon}(t,u_{k}){\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{u_{k}(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t-\mu\int_{0}^{1}e(t)u_{k}{\rm d}t\\&& -\int_{0}^{1}u_{k}' u_{k}' {\rm d}t+\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}{\rm d}t+\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}(t_{i})+\int_{0}^{1}e(t)u_{k}{\rm d}t\\&\geq& (\frac{\mu}{2}-1)\|u_{k}\|^{2}-\int_{0}^{1} (\mu F_{\varepsilon}(t,u_{k})-f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}){\rm d}t+(1-\mu)\|u_{k}\|_{\infty}\|e\|_{L^{1}}\\&&-\sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{u_{k}(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t+\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}(t_{i})\\& \geq& (\frac{\mu}{2}-1)\|u_{k}\|^{2}-\int_{u_{k}<\varepsilon} (\mu F_{\varepsilon}(t,u_{k})-f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}){\rm d}t\\&&-\int_{\varepsilon\leq u_{k}\leq r} (\mu F_{\varepsilon}(t,u_{k})-f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}){\rm d}t\\&& -\int_{u_{k}>r} (\mu F_{\varepsilon}(t,u_{k})-f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}){\rm d}t-2pM\|u_{k}\|_{\infty}+(1-\mu)\|u_{k}\|_{\infty}\|e\|_{L^{1}}\\&\geq& (\frac{\mu}{2}-1)\|u_{k}\|^{2}-C\int_{u_{k}<\varepsilon}\varphi_{\varepsilon}(t)^{-\gamma}|u_{k}|{\rm d}t-\mu\int_{\varepsilon\leq u_{k}\leq r}F_{\varepsilon}(t,u_{k}){\rm d}t\\&&-2pM\|u_{k}\| +(1-\mu)\|u_{k}\|\|e\|_{L^{1}}\\&\geq & (\frac{\mu}{2}-1)\|u_{k}\|^{2}-C\|u_{k}^{-}\|_{\infty}\int_{0}^{1}\varphi_{\varepsilon}(t)^{-\gamma}{\rm d}t-2pM\|u_{k}\| +(1-\mu)\|u_{k}\|\|e\|_{L^{1}} -C_{2},\end{eqnarray*}$

其中 $C_{2}=\mu\int_{\varepsilon\leq u_{k}\leq r}F_{\varepsilon}(t,u_{k}){\rm d}t.$

下面我们只需证明 $\|u_{k}^{-}\|_{\infty}$ 有界即可. 事实上,由(2.10)式可知

$\begin{eqnarray*}&& \langle\varphi' (u_{k}),u_{k}^{-}\rangle\\&=&\int_{0}^{1}u_{k}' (u_{k}^{-})'{\rm d}t-\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}^{-}{\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u_{k}^{-}{\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}^{-}(t_{i})\\&=&\int_{u_{k}<0}u_{k}' (u_{k}^{-})'{\rm d}t+\int_{u_{k}\geq0}u_{k}' (u_{k}^{-})'{\rm d}t-\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}^{-}{\rm d}t\\&& -\int_{0}^{1}e(t)u_{k}^{-}{\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}^{-}(t_{i})\\&=&\int_{u_{k}<0}u_{k}' (u_{k}^{-})'{\rm d}t -\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}^{-}{\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u_{k}^{-}{\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}^{-}(t_{i})\\&=& -\int_{0}^{1}(u_{k}^{-})'(u_{k}^{-})'{\rm d}t -\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}^{-}{\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u_{k}^{-}{\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}^{-}(t_{i}),\end{eqnarray*}$

因此

$\begin{eqnarray*}\|u_{k}^{-}\|^{2}&=&-\langle\varphi' (u_{k}),u_{k}^{-}\rangle-\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}^{-}{\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u_{k}^{-}{\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}I_{i}(u_{k}(t_{i}))u_{k}^{-}(t_{i})\\&\leq & -\langle\varphi' (u_{k}),u_{k}^{-}\rangle+\int_{0}^{1}f_{\varepsilon}(t,u_{k})u_{k}^{-}{\rm d}t+\int_{0}^{1}e(t)u_{k}^{-}{\rm d}t+pM\|u_{k}^{-}\|_{\infty}\\&\leq& \|\varphi' (u_{k})\|\|u_{k}^{-}\|+C\|u_{k}^{-}\|_{\infty}\int_{u_{k}<0}f_{\varepsilon}(t,u_{k}){\rm d}t+\|u_{k}^{-}\|_{\infty}\|e\|_{L^{1}}+pM\|u_{k}^{-}\|_{\infty}\\&\leq & \|\varphi' (u_{k})\|\|u_{k}^{-}\|+C\|u_{k}^{-}\| \int_{0}^{1}\varphi_{\varepsilon}(t)^{-\gamma}{\rm d}t+\|u_{k}^{-}\|\|e\|_{L^{1}}+pM\|u_{k}^{-}\|,\end{eqnarray*}$

则有

$\|u_{k}^{-}\|\leq o(1)+C\int_{0}^{1}\varphi_{\varepsilon}(t)^{-\gamma}{\rm d}t+\|e\|_{L^{1}},$

这意味着 $\|u_{k}^{-}\|$ 有界,由引理 2.3 可知 $\|u_{k}^{-}\|_{\infty}$ 亦有界,至此我们证明了 $\{u_{k}\}$ 有界.

由于 $H$ 是一个自反 Banach 空间,存在 $\{u_{k}\}$ 的一个子序列 (简便起见,依然用 $\{u_{k}\}$ 表示) 使得 $\{u_{k}\}$ 弱收敛于$H$中某元素 $u$,于是子序列 $\{u_{k}\}$ 在[0,1]上一致收敛于 $u$. 因此,当 $k\rightarrow +\infty$时,有 $$(\varphi'(u_{k})-\varphi'(u))(u_{k}-u)\rightarrow 0, $$ $$\int_{0}^{1}(f_{\varepsilon}(t,u)-f_{\varepsilon}(t,u_{k}))(u_{k}-u){\rm d}t\rightarrow 0, $$ $$[I_{i}(u_{k}(t_{i}))-I_{i}(u(t_{i}))](u_{k}(t_{i})-u(t_{i}))\rightarrow 0, $$因此\begin{eqnarray*}&&(\varphi'(u_{k})-\varphi'(u))(u_{k}-u)\\& =&\varphi'(u_{k})(u_{k}-u)-\varphi'(u)(u_{k}-u)\\& =&\int_{0}^{1}(u'_{k}-u')^{2}{\rm d}t+\int_{0}^{1}(f_{\varepsilon}(t,u)-f_{\varepsilon}(t,u_{k}))(u_{k}-u){\rm d}t\\&& -\sum\limits_{i=1}^{p}[I_{i}(u_{k}(t_{i}))-I_{i}(u(t_{i}))](u_{k}(t_{i})-u(t_{i}))\\& =&\|u_{k}-u\|^{2}+\int_{0}^{1}(f_{\varepsilon}(t,u)-f_{\varepsilon}(t,u_{k}))(u_{k}-u){\rm d}t\\&& -\sum\limits_{i=1}^{p}[I_{i}(u_{k}(t_{i}))-I_{i}(u(t_{i}))](u_{k}(t_{i})-u(t_{i})),\end{eqnarray*}这意味着在$k\rightarrow+\infty$时,$\|u_{k}-u\|\rightarrow 0,$ 即 $\{u_{k}\}$ 强收敛于$H$中的 $u$.

3 主要结果

定理3.1 假定 $I_{i}(u)(i=1,2,\cdots,p)$ 有界,且存在 $L>0$ 使得

$f(t,u)\leq L,\ \ (t,u)\in (0,1)\times [\varepsilon,\infty) $

(3.1)

成立,则微分方程 (1.1) 至少存在一个正的弱解.

证由 $I_{i}(u)$知,存在 $ M>0,i=1,2,\cdots,p,$ 使得 $$|I_{i}(u)|\leq M,\ \forall u\in {\Bbb R},i=1,2,\cdots,p. $$由 (1.2) 和 (3.1)式可知 $$F_{\varepsilon}(t,u)\leq\left\{\begin{array}{lll}0,& u<\varepsilon,\\L(u-\varepsilon),\ & u\geq\varepsilon.\end{array}\right. $$对于任意 $u\in H$,有\begin{eqnarray*}\varphi(u) &=&\frac{1}{2}\int_{0}^{1}|u' (t)|^{2}{\rm d}t-\int_{0}^{1}F_{\varepsilon}(t,u){\rm d}t -\sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{u(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)u(t){\rm d}t\\&\geq& \frac{1}{2}\|u\|^{2}-\int_{u\geq\varepsilon}^{}F_{\varepsilon}(t,u){\rm d}t-pM\|u\|_{\infty}-\|u\|_{\infty}\|e\|_{L^{2}}\\&\geq& \frac{1}{2}\|u\|^{2}-L\|u\|-pM\|u\|-\|u\|\|e\|_{L^{2}},\end{eqnarray*}这蕴含着 $\underline{\lim}_{\|u\|\rightarrow \infty}\varphi(u)=+\infty,$ 即泛函 $\varphi$ 是强制的. 由引理 2.4 和文献[15,定理 1.1] 可知 $\varphi$ 有一个最小值点,即 $\varphi$ 有一个临界点,因此微分方程(1.1)至少存在一个正的弱解.

定理3.2 假定 $I_{i}(u)(i=1,2,\cdots,p)$ 具有次线性增长,且存在 $a,b>0 $ 和 $\theta\in (0,1)$ 使得

$f(t,u)\leq au^{\theta}+b,\ \ (t,u)\in [0,1)\times [\varepsilon,\infty),$

(3.2)

则微分方程(1.1) 至少存在一个正的弱解.

证取 $a_{i},b_{i}>0,$ $\gamma_{i}\in [0,1)(i=1,2,\cdots,p)$ 使得 $$|I_{i}(u)|\leq a_{i}+b_{i}|u|^{\gamma_{i}},\forall u\in {\Bbb R}. $$根据定理 3.1 相同的方法可知存在 $\alpha,\beta>0$ 使得 $$\varphi(u)\geq \frac{1}{2}\|u\|^{2}-a\|u\|^{\theta+1}-\alpha\|u\|^{\gamma_{i}+1}-\beta\|u\|, $$ 这意味着$\underline{\lim}_{\|u\|\rightarrow \infty}\varphi(u)=+\infty,$因此,泛函 $\varphi$ 是强制的. 因此,由引理 2.4 及文献[15,定理 1.1] 可知,$\varphi$ 有一个最小值点,即 $\varphi$ 有一个临界点,因此微分方程(1.1)至少存在一个正的弱解.

定理3.3 假定$f(t,u)$满足 Ambrosetti-Rabinowitz 条件,$I_{i}(u)~(i=1,2,\cdots,p)$ 有界,且存在 $\delta>0,\ \alpha>2$使得$F_{\varepsilon}(t,u)\leq \delta u^{\alpha},(t,u)\in (0,1)\times [\varepsilon,\infty),$则微分方程(1.1) 至少存在两个正的弱解.

证首先证明存在 $\rho >0$(其取值在下文给出),使得泛函 $\varphi$有一个局部最小值 $u_{0}\in B_{\rho}=\{u\in H:\|u\|<\rho\}.$ 利用和文献[11]相同的方法可证明 $\overline{B}_{\rho}$是有界的且是弱序列闭的.注意到 $\varphi $ 在$\overline{B}_{\rho}$上是若下半连续的,且$H$ 是自反的 Banach 空间. 由引理 2.1 可知$\varphi$ 有一个局部最小值 $u_{0}\in B_{\rho},$ 即$\varphi {(u_{0})}=\min\limits_{u\in B_{\rho}}\varphi(u).$

下面我们证明 $\varphi {(u_{0})}<\inf\limits_{u\in \partial B_{\rho}}\varphi(u).$

选取 $\rho>0$使得

$\frac{1}{2}\rho^{2}-\delta\rho^{\alpha}-\rho\|e\|_{L^{1}}-pM\rho>-2\varepsilon^{2}.$

(3.3)

取$\omega\in H$ 使得 $\|\omega\|=1,$ 对于$\forall u=\rho \omega$,有 $\|u\|=\|\rho \omega\|=\rho \|\omega\|=\rho,$ 因此 $u\in\partial B_{\rho}.$

由引理 2.3 和 $F_{\varepsilon}(t,u)\leq \delta u^{\alpha},(t,u)\in (0,1)\times [\varepsilon,\infty)$ 可知\begin{eqnarray*}\varphi(u)&=& \varphi(\rho \omega)\\&=& \frac{1}{2}\rho^{2}-\int_{0}^{1}F_{\varepsilon}(t,\rho\omega){\rm d}t-\int_{0}^{1}e(t)\rho \omega(t){\rm d}t-\sum\limits_{i=1}^{p}\int_{0}^{\rho \omega(t_{i})}I_{i}(t){\rm d}t\\&\geq& \frac{1}{2}\rho ^{2}-\int_{u\geq\varepsilon}^{}F_{\varepsilon}(t,\rho \omega){\rm d}t-\rho \|\omega\|_{\infty}\|e\|_{L^{1}}-pM\rho\\&\geq& \frac{1}{2}\rho ^{2}-\int_{u\geq\varepsilon}^{}F_{\varepsilon}(t,\rho \omega){\rm d}t-\rho\| \omega\|\|e\|_{L^{1}}-pM\rho\\&\geq& \frac{1}{2}\rho ^{2}-\delta\int_{0}^{1}|\rho \omega|^{\alpha}{\rm d}t-\rho\| \omega\|\|e\|_{L^{1}}-pM\rho\\&\geq& \frac{1}{2}\rho^{2}-\delta\rho^{\alpha}-\rho\|e\|_{L^{1}}-pM\rho>-2\varepsilon^{2}.\end{eqnarray*}由 (2.5) 式可知 $$F_{\varepsilon}(t,u)=\int_{\varepsilon}^{u}f(t,s){\rm d}s\geq \int_{\varepsilon}^{u}(2\varepsilon-e(t)){\rm d}s=(2\varepsilon-e(t))(u-\varepsilon), $$ 于是 $$F_{\varepsilon}(t,0)\geq-\varepsilon(2\varepsilon-e(t))\geq-2\varepsilon^{2}, $$ 且对于$u\in\partial B_{\rho},$ 有 $$\varphi(u)>-2\varepsilon^{2}\geq\varphi(0)=-F_{\varepsilon}(t,0)\geq \varphi(u_{0}), $$ 这意味着 $\varphi ({u_{0}})<\inf\limits_{u\in \partial B_{\rho}}\varphi(u).$

其次,我们证明存在 $u_{1}$ 满足 $\|u_{1}\|>\rho$,使得 $\varphi ({u_{1}})<\inf\limits_{u\in \partial B_{\rho}}\varphi(u).$ 根据 (2.5) 式且注意到 $(0,\infty)\ni\xi\rightarrow F_{\varepsilon}(t,\frac{u}{\xi})\xi^{\mu}$在$u\neq 0$时是非减的,可知 $$F_{\varepsilon}(t,u)\geq F_{\varepsilon}(t,r)(\frac{u}{r})^{\mu},\ \ u\geq r, $$因此,可以选取 $u_{1}$ 使得 $\|u_{1}\|$ 足够大来保证 $\varphi(u_{1})<-2\varepsilon^{2},$ 由此可得 \[\max\{\varphi(u_0),\varphi(u_1)\}<\inf\limits_{x\in \partial B_{\rho}}\varphi(x),\] 引理 2.5 已经证明 $\varphi$ 满足 Palais-Smale 条件. 所以,由引理 2.1 可知泛函 $\varphi$ 存在一个临界点 $\hat{u}.$ 因此,$u_{0}$ 和 $\hat{u}$ 是泛函 $\varphi$ 的两个临界点,它们也是脉冲奇异微分方程(1.1)的两个正的弱解.

4 例子

例 4.1 取 $ \varepsilon=1,f(t,u)=2(1+|\sin\frac{1}{t(1-t)}|)u^{-\frac{1}{3}},e(t)=2\sin t,I_{1}(u)=\cos u,t_{1}=\frac{1}{2}.$对于奇异脉冲微分方程(1.1),容易验证满足定理 3.1 的条件,因此方程(1.1)至少存在一个正的弱解.

例 4.2 取 $ \varepsilon=1,f(t,u)=2(1+|\sin\frac{1}{t(1-t)}|)u^{-\frac{1}{3}},e(t)=2\sin t,$ $I_{1}(u)=\sqrt[3]{u}+\cos u,t_{1}=\frac{1}{2}.$对于奇异脉冲微分方程(1.1),容易验证满足定理 3.2 的条件,因此方程(1.1)至少存在一个正的弱解.

例 4.3 取 $ \varepsilon=1,e(t)=2\sin t,I_{1}(u)=\cos u,t_{1}=\frac{1}{2},$ $$f(t,u)=\left\{ \begin{align} & 2(1+|\sin \frac{1}{t(1-t)}|){{u}^{-\frac{1}{3}}},0\text{}u\text{}1, \\ & 2(1+|\sin \frac{1}{t(1-t)}|){{u}^{2}},u\ge 1 \\ \end{align} \right. $$对于奇异脉冲微分方程(1.1),容易验证定理 3.3 的条件成立,因此方程(1.1)至少存在两个正的弱解.

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