本文研究全空间${\Bbb R}^N$上带权的半线性椭圆型方程

$ \begin{equation}\label{1.1} -{\Delta}u=|x|^{\alpha}|u|^{p-1}u,x\in {\Bbb R}^N\end{equation}$

(1.1)

与半空间${\Bbb R}^N_+=\{x\in {\Bbb R}^N: x_N>0\}$上带权的半线性椭圆型问题

$\begin{equation}\label{11.2} -{\Delta}u=|x|^{\alpha}|u|^{p-1}u,x\in {\Bbb R}^N_+,u|_{\partial {\Bbb R}^N_+}=0\end{equation}$

(1.2)

的Liouville型定理,其中$N\geq 3,\alpha>-2$.我们证明,当$1<p<\frac{N+2\alpha+2}{N-2}$时,问题(1.1)和问题(1.2)的Morse指数有限的有界解只能是零解.

众所周知,Liouville型定理可以用于非线性椭圆方程解的先验界的估计.更确切地说,为了得到非线性椭圆方程解的先验界,常常采用爆破法.而爆破以后,为了导出矛盾,需要用到全空间或半空间上的Liouville型定理.对于拉普拉斯方程,正解的Liouville型定理已经文献[2, 3]中得到,也可参考文献[1].即在适当的假设条件下,所论方程没有正解.然而,更进一步的问题是,既然方程没有正解,那么有没有变号解呢?一般来说这个问题更为复杂.为了证明方程不存在变号解,通常需要附加额外的条件.在文献[4]中,作者研究了方程\begin{equation}\label{1.2} -{\Delta}u=|u|^{p-1}u,x\in {\Bbb R}^N\end{equation}的Liouville型定理,他们证明了当$1<p<\frac{N+2}{N-2}$时,方程(1.3)不存在Morse指数有限的有界解.该结果在研究非线性椭圆方程解的存在性和渐进性方面有着重要的应用.例如,利用这类Liouville型定理,在文献[5]中,作者证明了一类具有变号权的椭圆方程解的存在性;在文献[6]中,作者证明了一类不满足(PS)条件的非线性椭圆方程解的存在性.对于其他应用,可参考文献[7, 8].

本文研究带权的非线性椭圆问题(1.1)和(1.2)的Liouville型定理.当$\alpha=0$的时候,方程(1.1)就是方程(1.3).如果$-2<\alpha<0$,通常称方程(1.1)为Hardy型方程,而当$\alpha>0$的时候,称方程(1.1)为H\'{e}non型方程.对于Hardy型方程,正解的非存在性结果可以利用移动平面法得到,详情见文献[1].但是,对于H\'{e}non型方程来说,因为$|x|^\alpha$关于$|x|$单调递增,因此不能应用移动平面法,也就不能采用文献[1]中的方法研究解的非存在性.对于H\'{e}non型方程正解的Liouville型定理,目前只对一些特殊的情况建立了Liouville型定理,比如解是径向对称的,一般的结果尚未见到.然而,对于问题(1.1)和(1.2),我们注意到文献[4]中的方法可以用来研究的Morse指数有限解的Liouville型定理.值得指出的是,当$\alpha >0$时,方程(1.1)和(1.2)是H\'{e}non型方程;而当$-2<\alpha<0$时,它们是Hardy型方程.我们将考虑一般情形$-2<\alpha$时的Liouville型定理.对于全空间上的问题(1.1)和半空间上的问题(1.2),我们有如下Liouville型定理.

定理1 假设$1<p<\frac{N+2\alpha+2}{N-2},N\geq 3$且$-2<\alpha$.那么,

(i)全空间上的方程(1.1)的Morse指数有限的有界解只能是零解;

(ii)半空间上的问题(1.2)的Morse指数有限的有界解只能是零解.

我们将在第2节和第3节中分别证明定理1的(i)和(ii).证明的方法是先利用Morse指数的有限性,证明解$u$满足一定的可积性,再利用Pohozaev恒等式证明$u\equiv 0$.

在这一节中,我们证明全空间上的Liouville型定理,即定理1的结论(i).假设$u$是方程(1.1)的解,$u$的Morse指数定义为算子

$$ -\Delta-p|x|^\alpha |u|^{p-1} $$

的最大负定空间的维数.对于Morse指数的有限的解,文献[5,引理6]给出了下面结论.

引理2.1 假设$u$是方程(1.1)的Morse指数有限的解.那么,存在$R_0>0$,使得对任意的$\varphi\in H^1_0({\Bbb R}^N\setminus B_{R_0}(0))$都有

$\begin{equation}\label{2.0} p \int_{{\Bbb R}^N}|x|^{\alpha}|u|^{p-1}\varphi^2{\rm d}x\leq \int_{{\Bbb R}^N} |\nabla \varphi|^2{\rm d}x.\end{equation}$

(2.1)

利用引理2.1,我们在下面引理中证明Morse指数有限解的可积性.

引理2.2 假设$1<p<\frac{N+2\alpha+2}{N-2},N\geq 3$且$-2<\alpha$.若有界函数$u$是方程(1.1)的Morse指数有限的解,那么下面两式成立

$ \begin{equation}\label{2.1} \int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x<\infty,\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha|u|^{p+1}{\rm d}x<\infty.\end{equation}$

(2.2)

证 因为方程(1.1)的解$u$的Morse指数是有限的,根据引理2.1,存在$R_0>0$,使得对任意的$\varphi\in H^1_0({\Bbb R}^N\setminus B_{R_0}(0))$,都有

$$ p \int_{{\Bbb R}^N}|x|^{\alpha}|u|^{p-1}\varphi^2{\rm d}x\leq \int_{{\Bbb R}^N} |\nabla \varphi|^2{\rm d}x.$$

对于任意的$R>2R_0$,选取截断函数$\phi\in[0, 1]$,使得$\phi$满足

$\begin{equation}\label{2.2} \phi=\left\{\begin{array}{ll} 0,&x\in B_{R_0}\cup(B_{2R})^c,\\1,&2R_0\leq |x|\leq R\end{array}\right.\end{equation}$

(2.3)

以及

$ \begin{equation}\label{2.3}\left\{\begin{array}{ll} |\nabla \phi|\leq \frac C{R_0},&R_0\leq |x|\leq 2{R_0},\\[3mm] |\nabla \phi|\leq \frac C{R},&R\leq |x|\leq 2{R}.\end{array}\right.\end{equation}$

(2.4)

这样的截断函数可以用标准的方法构造.由此可知

$${\rm spt}\{\phi u\}\subset {\Bbb R}^N\setminus B_{R_0},$$

其中spt${f}=\overline{\{x|f(x)\neq 0\}}$表示$f$的支集.因此,由解$u$的Morse指数有限可以得到

$\begin{eqnarray}\label{2.4} p\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha|u|^{p+1}\phi^2{\rm d}x & \leq &\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla(u\phi)|^2{\rm d}x \\&=&\int_{{\Bbb R}^N}(|\nabla u|^2\phi^2+|\nabla\phi|^2 u^2+2u\phi\nabla u\nabla \phi){\rm d}x.\end{eqnarray} $

(2.5)

另一方面,将方程(1.1)两边同时乘以$u\phi^2$并分部积分得到

$ \begin{equation}\label{2.5}\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha|u|^{p+1}\phi^2{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^N}(|\nabla u|^2 \phi^2+2u\phi\nabla u\nabla \phi){\rm d}x.\end{equation} $

(2.6)

由式(2.5),(2.6)以及$u$是有界解可以得到

$\begin{eqnarray}\label{99}(p-1)\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha|u|^{p+1}\phi^2{\rm d}x &\leq& \int_{{\Bbb R}^N} u^2|\nabla \phi|^2{\rm d}x \\ &=&\frac C{R_0^2}\int_{\{R_0\leq |x|\leq 2R_0\}} u^2{\rm d}x+\frac C{R^2}\int_{\{R\leq |x|\leq 2R\}} u^2{\rm d}x.\\ &\leq& C+\frac C{R^2}\int_{\{R\leq |x|\leq 2R\}} u^2{\rm d}x.\end{eqnarray}$

(2.7)

从(2.7)式和Hölder不等式可以得到

$\begin{eqnarray} \label{7}& &(p-1)\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha|u|^{p+1}\phi^2{\rm d}x \\ &\leq& C+\frac C{R^{2+\frac{2\alpha}{p+1}}}\int_{\{R\leq |x|\leq 2R\}}|x|^{\frac{2\alpha}{p+1}}u^2{\rm d}x \\ &\leq& C+\frac C{R^{2+\frac{2\alpha}{p+1}}} \bigg(\int_{\{R\leq |x|\leq 2R\}}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac 2{p+1}}\bigg(\int_{\{R\leq |x|\leq 2R\}} 1{\rm d}x\bigg)^{\frac {p-1}{p+1}}.\end{eqnarray}$

(2.8)

因此

$\begin{equation}\label{8} \int_{B_R}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\leq C+\frac C{R^{2+\frac{2\alpha}{p+1}}} \bigg(\int_{B_{2R}}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac 2{p+1}}R^{N\frac{p-1}{p+1}}.\end{equation}$

(2.9)

如果存在与$R>0$无关的常数$C>0$,使得

$\begin{equation}\label{8a}\frac 1{R^{2+\frac{2\alpha}{p+1}}}\bigg(\int_{B_{2R}}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac 2{p+1}}R^{N\frac{p-1}{p+1}}\leq C,\end{equation}$

(2.10)

那么根据(2.9)式就有

$ \begin{equation}\label{8b} \int_{B_R}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\leq C.\end{equation} $

(2.11)

由此可以得到

$$ \int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\leq C.$$

如果(2.10)式不成立,由(2.9)式我们得到

$\begin{equation}\label{8c} \int_{B_R}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\leq \frac C{R^{2+\frac{2\alpha}{p+1}}}\bigg(\int_{B_{2R}}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x\bigg)^{\frac 2{p+1}}R^{N\frac{p-1}{p+1}}.\end{equation}$

(2.12)

记

$$ J(R)=\int_{B_R}|x|^\alpha |u|^{p+1}\phi^2{\rm d}x,$$ $$ \lambda=-2-\frac{2\alpha}{p+1}+N\frac{p-1}{p+1} $$

以及$\beta=\frac 2{p+1}$.由假设可知$\lambda<0,\beta<1$.迭代不等式(2.12)就得到

$\begin{equation}\label{112} J(R)\leq R^{\lambda(1+\beta+\beta^2+,\cdots,+\beta^n)}J(2^{n+1}R)^{\beta^{n+1}}.\end{equation} $

(2.13)

因为$u$是有界的,所以上式右端项的指数为

$$ \lambda\frac{1-\beta^{n+1}}{1-\beta}+(\alpha+N)\beta^{n+1}\to \frac \lambda{1-\beta}<0.$$

因此,如果选取$n$充分大,就可以从式(2.13)推出

$$ \int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x<\infty.$$

最后,将方程(1.1)两边同时乘以$u$,并做分部积分就得到

$\begin{equation}\label{11} \int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x<\infty.\end{equation}$

(2.14)

证毕.

现在我们建立Pohozaev恒等式.

引理2.3 如果$u$是方程(1.1)的解,那么它满足下面的Pohozaev恒等式

$ \begin{eqnarray} \label{12}& &-\frac{(N-2)}2\int_{B_R}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac 12\int_{\partial B_R} |\nabla u|^2\langle x,\nu\rangle{\rm d}S- \int_{\partial B_R}\langle x,\nabla u\rangle\langle \nabla u,\nu\rangle{\rm d}S \\ &=&-\frac {N+\alpha}{p+1}\int_{B_R}|x|^\alpha|u|^{p+1}{\rm d}x{\rm d}y+\frac 1{p+1}\int_{\partial B_R} |x|^\alpha |u|^{p+1}\langle x,\nu\rangle{\rm d}S.\end{eqnarray}$

(2.15)

证 将方程(1.1)两边同时乘以$\langle x,\nabla u\rangle$并在$B_R$上积分得到

$\begin{equation}\label{13}-\int_{B_R} {\Delta}u \langle x,\nabla u\rangle {\rm d}x=\int_{B_R}|x|^\alpha|u|^{p-1}u \langle x,\nabla u\rangle{\rm d}x.\end{equation}$

(2.16)

方程(2.16)的左边等于

$\begin{eqnarray} \label{14}-\int_{B_R}\Delta u\langle x,\nabla u\rangle{\rm d}x &=&\int_{B_R}\nabla u\nabla(\langle x,\nabla u\rangle){\rm d}x -\int_{\partial B_R}\langle x,\nabla u\rangle\langle \nabla u,\nu\rangle{\rm d}S \\ &=&\int_{B_R}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac 12\int_{B_R}\langle x,\nabla(|\nabla u|^2){\rm d}x\rangle{\rm d}x \\ && -\int_{\partial B_R}\langle x,\nabla u\rangle\langle \nabla u,\nu\rangle{\rm d}S \\ &=&\frac{2-N}2\int_{B_R}|\nabla u|^2{\rm d}x+\frac 12\int_{\partial B_R}\langle x,\nu\rangle |\nabla u|^2{\rm d}S \\&& -\int_{\partial B_R}\langle x,\nabla u\rangle\langle \nabla u,\nu\rangle{\rm d}S.\end{eqnarray} $

(2.17)

另一方面,计算方程(2.16)的右边可得

$\begin{eqnarray} \label{15}&&\int_{B_R}|x|^\alpha|u|^{p-1}u \langle x,\nabla u\rangle{\rm d}x \\& =&\frac 1{p+1}\int_{B_R}\langle |x|^\alpha x,\nabla(|u|^{p+1})\rangle{\rm d}x \\ &=&-\frac{N+\alpha}{p+1}\int_{B_R}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x+\frac 1{p+1}\int_{\partial B_R}|x|^{\alpha}\langle x,\nu\rangle |u|^{p+1}{\rm d}S.\end{eqnarray}$

(2.18)

最后,由式(2.16),(2.17)和(2.18)即可得到式(2.15),证毕.

定理1(i)的证明 由引理2.2可知,存在序列$R_n\to \infty$,使得

$$\int_{\partial B_{R_n}}|x|^\alpha|u|^{p+1} \langle x,\nu\rangle{\rm d}S\to 0,$$ $$\int_{\partial B_{R_n}} \langle x,\nabla u\rangle \langle\nabla u,\nu\rangle{\rm d}S\to 0$$

以及

$$ \int_{\partial B_R} |\nabla u|^2\langle x,\nu\rangle{\rm d}S\to 0.$$

因此,在区域$B_{R_n}$上利用式(2.15),并令$n\to \infty$,我们得到

$\begin{equation}\label{16} \frac{(N-2)}2\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x=\frac {N+\alpha}{p+1}\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha|u|^{p+1}{\rm d}x.\end{equation}$

(2.19)

另一方面,将方程(1.1)两边同时乘以$u$并分部积分得到

$\begin{equation}\label{17}\int_{{\Bbb R}^N}|\nabla u|^2{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x.\end{equation}$

(2.20)

由于$p<\frac{N+2\alpha+2}{N-2}$,从(2.19)和(2.20)式可推出

$$ \int_{{\Bbb R}^N}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x=0,$$

即$ u\equiv 0.$

在这一节中,我们证明半空间上的Liouville型定理,即定理1(ii)的证明.由于定理1(ii)的证明与(i)的证明类似,我们只给出证明的梗概.首先,利用解的Morse指数的有限性,通过迭代可以得到下面结论,其证明与引理2.2的证明类似,故从略.

引理3.1 设$u$是问题(1.2)的Morse指数有限的有界解,那么下面两个不等式成立

$ \begin{equation}\label{2.19} \int_{{\Bbb R}^N_+}|\nabla u|^2{\rm d}x<\infty,\int_{{\Bbb R}^N_+}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x{\rm d}y<\infty.\end{equation}$

(3.1)

同理,对于问题(1.2),如同引理2.3一样,我们可以得到下面的Pohozaev恒等式.

引理3.2 如果$u$是问题(1.2)的解,那么它满足下面的Pohozaev恒等式

$ \begin{eqnarray}\label{21}& &-\frac{(N-2)}2\int_{B_R^+}|\nabla_x u|^2{\rm d}x+\frac 12\int_{\partial B_R^+} |\nabla u|^2\langle x,\nu\rangle{\rm d}S- \int_{\partial B_R^+}\langle x,\nabla u\rangle \langle \nabla u,\nu\rangle{\rm d}S \\ &=&-\frac {N+\alpha}{p+1}\int_{B_R^+}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x{\rm d}y+\frac 1{p+1}\int_{\partial B_R^+} |x|^\alpha |u|^{p+1}\langle x,\nu\rangle{\rm d}S,\end{eqnarray}$

(3.2)

其中$B_R^+=\{x\in {\Bbb R}^N_+||x|<R\},\partial B_R^+=\{x\in {\Bbb R}^N_+||x|=R\}$.

现在我们证明定理1的(ii).

定理1(ii)的证明 由引理3.1可以知道,存在序列$R_n\to \infty$,使得

$$ \int_{\partial B_{R_n}^+}|x|^\alpha |u|^{p+1}\langle x,\nu\rangle{\rm d}S\to 0,$$ $$ \int_{\partial B_{R_n}^+}\langle x,\nabla u\rangle \langle \nabla u,\nu\rangle{\rm d}S \to 0$$

和

$$ \int_{\partial B_{R_n}^+} |\nabla_x u|^2\langle x,\nu\rangle {\rm d}S\to 0.$$

因此,在区域$B_{R_n}^+$上利用Pohozaev恒等式,并令$n\to \infty$,我们得到

$$ \frac{(N-2)}2\int_{{\Bbb R}^N_+}|\nabla u|^2{\rm d}x=\frac {N+\alpha}{p+1}\int_{{\Bbb R}^N_+}|x|^\alpha |u|^{p+1}{\rm d}x.$$

另一方面,在方程(1.2)两边乘以$u$并分部积分可以得到

$$\int_{{\Bbb R}^N_+}|\nabla u|^2{\rm d}x=\int_{{\Bbb R}^N_+}|x|^\alpha|u|^{p+1}{\rm d}x.$$

因为$p<\frac{N+2\alpha+2}{N-2}$,从上述两个方程可直接推出$u\equiv 0$.