所谓的变分不等式$VI(T,K)$是指:求$x \in K$,使得存在$x^* \in T(x)$满足

$$\langle x^*,y-x\rangle \geq 0,\ \forall y \in K,$$

其中$(X,\|\cdot\|)$为实Banach空间,$X^*$为$X$的对偶空间,$K \subset X$为非空闭凸子集,$T : K\mapsto 2^{X^*}$为非空集值映射,$\langle\cdot,\cdot\rangle$表示对偶集$X^*$,$X$上的数量积.

研究扰动变分不等式的解集性质已经成为数学规划的一个主要内容之一,见文献 [1, 2, 3, 4, 5].本文主要研究了一个扰动变分不等式$VI(T-\varepsilon q,K)$,其中$\varepsilon>0$,$q\in X^*$为一常量,$q$称为$VI(T-\varepsilon q,K)$的扰动方向.当改变$\varepsilon$的取值时,对应的变分不等式$VI(T-\varepsilon q,K)$也相应发生改变.本文使用$SOL(T,K)$和$SOL(T-\varepsilon q,K)$分别表示$VI(T,K)$与$VI(T-\varepsilon q,K)$的解集.最近,Li和He^[5]证明了下面的定理.

定理1.1 设$K \subset {\Bbb R}^n$为非空闭凸集,$T : K \mapsto 2^{{\Bbb R}^n}$为上半连续且具有非空紧凸值的映射.如果$int(barr(K))$非空和满足下面的条件

(B) $\exists r>0 : $使得$\forall x \in K\backslash K_{r},\exists y \in K_{r},$满足

$$\inf\limits_{ x^* \in T(x)}\langle x^*,x-y\rangle \geq 0.$$

则对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k>r$,使得

$$SOL(T-\varepsilon q,K)\cap \overline B(0,1/\varepsilon)\neq \emptyset,\forall \varepsilon \in(0,1/k),$$

其中,$barr(K)$表示$K$的闸锥,$int(barr(K))$表示$barr(K)$的内部.

定理1.1第一次以$K$闸锥的内部的元素作为一个扰动方向,并且证明了扰动变分不等式的解集非空.本文在定理1.1条件不变的情况下得到了一个更强的结论(见定理3.1).定理3.1证明了对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k>r$,使得

$$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset \overline B(0,1/\varepsilon),\forall \varepsilon \in(0,1/k).$$

条件(B)成立仅意味着$SOL(T,K)$非空,但是也可能是无界集.然而定理3.1说明当映射$T$沿扰动方向做一定扰动后,扰动变分不等式的解集是非空有界集.定理3.1不仅加强了定理1.1的结论,同时也将定理1.1推广到了无限维空间.若增强定理3.1中的强制性条件,本文在条件(F)的作用下得到了一个新的结论(见定理3.3).对任意$\varepsilon \in(0,1/k)$,定理3.3不仅说明扰动变分不等式的解集非空有界,并且也说明扰动变分不等式的解集都包含在闭球$\overline B(0,k)$中.定理3.4以$K$的负极锥的元素作为一个新的扰动方向.特别地,当$K$为闭凸锥时,$barr(K)=K^{-}$.此时新的扰动方向包含了定理1.1的扰动方向.如果强制性条件(F)成立,本文证明了新的扰动方向也具有定理3.3相似的性质.

设$X$是实Banach空间,$K$是$X$的非空闭凸子集.符号"$\rightarrow$"和"$\rightharpoonup$"表示强收敛和弱收敛.本文使用$K_{\infty}$和$barr(K)$表示$K$的回收锥和闸锥.

$$K_{\infty}:=\{d\in X: \mbox{存在}\ t_{n}\rightarrow 0^{+}\ \mbox{和}\ x_{n}\in K,\mbox{使得}\ t_{n}x_{n}\rightharpoonup d\},$$ $$barr(K):=\{x^*\in X^* : \sup_{x\in K}\langle x^*,x\rangle<\infty\}.$$

对一个非空集合$D\subset X$,$D^{-}$表示集合$D$的负极锥,$D^{-}:=\{x^*\in X^* : \langle x^*,x\rangle\leq 0,\forall x\in D\}$.$co\{D\}$表示集合$D$的凸包.对于$r>0$,

$$K_{r}=\{x\in K : \|x\|\leq r \},~~\overline B(0,r)=\{x\in X : \|x\|\leq r\}.$$

定义2.1 \label{2.1.}设集值映射$T:K\rightarrow 2^{X^*}\backslash\{\emptyset\}$.

(i) $T$被称为在$K$上是上半连续的,如果对任意$x_{0}\in K$和任意包含$T(x_{0})$的开集$N$,存在点$x_{0}$的邻域$M$,使得对任意$x\in M\cap K$,都有$T(x)\in N$;

(ii) $T$被称为在$K$沿线结上半连续的,如果映射$T$在集合$K$的每一个线结都是上半连续映射;

(iii) $T$被称为在$K$上的单调映射,如果对任意$x,y \in K$和所有$x^*\in T(x),y^* \in T(y)$,

$$\langle x^*-y^*,x-y\rangle\geq 0;$$

(iv) $T$被称为在$K$上的伪单调映射,如果对任意$x,y \in K$和$x^*\in T(x)$,

$$\langle x^*,y-x\rangle \geq 0 \Rightarrow \langle y^*,y-x\rangle \geq0,~~ \forall y^* \in T(y);$$

(v) $T$被称为在$K$上的拟单调映射,如果对任意$x,y \in K$和$x^*\in T(x)$,

$$\langle x^*,y-x\rangle>0 \Rightarrow \langle y^*,y-x\rangle \geq0,~~ \forall y^* \in T(y).$$

定义2.2 \label{2.2.}设$K\subset X$为非空子集,$X$是一线性空间.集值映射$G:K\rightarrow 2^X$被称为是$KKM$映射,如果对任意有限集$\{x_1,\cdots,x_n\}\subset K$,有

$$ co\{x_1,\cdots,x_n\}\subset \bigcup_{i=1}^{n}G(x_i).$$

下面的引理是著名的$KKM$定理(见文献[7]).

引理2.1 设$K\subset X$为非空子集,$X$是Hausdorff拓扑线性空间.设$G:K\rightarrow 2^X$为一$KKM$映射.再设对每一$x\in K$,$G(x)$为$X$中的闭集且至少存在一点$x_{0}\in K$,使得$G(x_{0})$是$X$中的紧集,则

$$\bigcap_{x\in K}G(x)\neq\emptyset.$$

定理2.1 ^[8] 设$K$是$X$中的非空弱紧凸子集,$X$为实Banach空间.如果$T:K\rightarrow 2^{X^*}\backslash\{\emptyset\}$为沿线结上半连续且具有弱$*$紧凸值的拟单调映射.则有$SOL(T,K)\neq \emptyset.$

定理2.2 ^[9] 设$K$是$X$中的非空弱紧凸子集,$X$为实Banach空间.如果$T:K\rightarrow 2^{X^*}\backslash\{\emptyset\}$为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有紧凸值的映射.则有$SOL(T,K)\neq \emptyset.$

命题2.1 ^[13] 设$K\subset X$为非空闭凸子集,$X$为实Banach空间.若$int(barr(K))$非空,则不存在序列$\{x_{m}\}\subset K$,使得$\|x_{m}\|\rightarrow\infty$时,$\frac{x_{m}}{\|x_{m}\|} \rightharpoonup 0$.特别地,若$K$是一个锥和$int(barr(K))$非空,则不存在序列$\{d_{m}\}\subset K$,使得$\|d_{m}\|=1$时,$d_{m}\rightharpoonup 0$.

命题2.2 设$K\subset X$是一个锥,$X$是一个线性空间.则有$barr(K)=K^{-}$.

证 由$K^{-}$和$barr(K)$的定义知,$K^{-}\subset barr(K)$.假设存在$q\in barr(K)$,使得$q\not\in K^{-}$.则存在$x\in K$,使得$\langle q,x\rangle >0$.又由于$K$是一个锥,则对任意$\lambda>0$,都有$\lambda x \in K$.从而$\langle q,\lambda x\rangle \rightarrow \infty$,当$\lambda\rightarrow\infty$时.因此$q\not\in barr(K)$,这与假设矛盾.所以有$barr(K)\subset K^{-}$.

集值映射$T:K\rightarrow 2^{X^*}\setminus\{\emptyset\}$,我们考虑如下强制性条件:

(A) $\exists r>0,$使得$\forall x \in K\backslash K_{r},\exists y \in K$且$\|y\|<\|x\|$,满足$\inf\limits_{ x^* \in T(x)}\langle x^*,x-y\rangle \geq 0$;

(B) $\exists r>0,$使得$\forall x \in K\backslash K_{r},\exists y \in K_{r},$满足$\inf\limits_{ x^* \in T(x)}\langle x^*,x-y\rangle \geq 0$;

(C) $\exists r>0,$使得$\forall x \in K\backslash K_{r},\exists y \in K_{r},$满足$\inf\limits_{ x^* \in T(x)}\langle x^*,x-y\rangle > 0$;

(D) $\exists r>0,$使得$\forall x \in K\backslash K_{r},\exists y \in K_{r},$满足$\sup\limits_{y^* \in T(y)}\langle y^*,x-y\rangle > 0$;

(E) 存在$y_{0}\in K$,使得集合$\{x\in K : \sup\limits_{x^*\in T(x)}\langle x^*,y_{0}-x\rangle \geq 0 \}$为有界集;

(F) 存在$y_{0}\in K$,使得$\liminf\limits_{\|x\|\rightarrow\infty,x\in K}\inf\limits_{x^*\in T(x)}\langle x^*,x-y_{0}\rangle> 0$.

显然有(E)$\Rightarrow$(C)$\Rightarrow$(B)$\Rightarrow$(A).如果$T$为伪单调映射,则有(D)$\Rightarrow$(C).我们仅仅证明(F)$\Rightarrow$(E).

如果(F)成立,假设存在序列$\{x_{k}\}$包含在集合$\{x\in K : \sup\limits_{x^*\in T(x)}\langle x^*,y_{0}-x\rangle \geq 0 \}$,并且$\{x_{k}\}$为无界集.则有

$$\sup\limits_{x^*\in T(x_{k})}\langle x^*,y_{0}-x_{k}\rangle \geq 0.$$

因此有

$$\liminf\limits_{\|x_{k}\|\rightarrow\infty}\inf\limits_{x^*\in T(x_{k})}\langle x^*,x_{k}-y_{0}\rangle\leq 0.$$

这与条件(F)矛盾.从而(F)$\Rightarrow$(E).

定理3.1 设$K \subset X$为非空闭凸集,$X$为自反的实Banach空间.设$T : K \mapsto 2^{X^*}$为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有非空紧凸值的映射.如果$int(barr(K))$非空和条件$(B)$成立,则对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k>r$,使得

$$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset \overline B(0,1/\varepsilon),\forall \varepsilon \in(0,1/k).$$

证 (1)首先我们证明对任意$q\in int(barr(K))$,存在$m>r$,使得对任意$\varepsilon\in(0,1/m)$,有$SOL(T-\varepsilon q,K)\neq \emptyset$.假设存在$q\in int(barr(K))$,对任意$m>r$,都存在$\varepsilon _{m}\in(0,1/m)$,使得$SOL(T-\varepsilon_{m}q,K)=\emptyset$.

设$K_{m}:=\{x\in K,\|x\|\leq \varepsilon _{m}^{-1}\}$,则$K_{m}$为非空弱紧凸集.由平移不变性知$T-\varepsilon_{m} q$为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有非空紧凸值的映射.故根据定理2.2得$SOL(T-\varepsilon _{m} q,K_{m})\neq\emptyset$.任取$x_{m}\in SOL(T-\varepsilon _{m} q,K_{m})$,则$\|x_{m}\|\leq \varepsilon _{m}^{-1}$.

若存在$m>r$,使得$\|x_{m}\|<\varepsilon _{m}^{-1}$,则易证$x_{m}\in SOL(T-\varepsilon_{m}q,K)$.

若对所有$m>r$,都有$\|x_{m}\|=\varepsilon _{m}^{-1}>m$.根据条件$(B)$,则存在$y_{m}\in K_{r}$,使得

$$\sup_{\xi\in T(x_{m})}\langle \xi,y_{m}-x_{m}\rangle \leq 0.$$

由于在自反的实Banach空间中有界序列必然有弱收敛子列.不失一般性,设$\frac{x_{m}}{\|x_{m}\|} \rightharpoonup d$.由于$int(barr(K))$非空,由命题3.1知$d\neq0$.由文献[6,命题2.1]得$K_{\infty}=barr(K)^{-}$.因此$\langle q,d\rangle\leq0$.假设$\langle q,d\rangle=0$.因为$q\in int(barr(K))$,则对任意$x^* \in X^*$,存在$t\in(0,1)$,使得$tq+(1-t)x^* \in barr(K)$.从而有$\langle tq+(1-t)x^*,d \rangle\leq 0$,由于$\langle q,d\rangle=0$,所以$\langle x^*,d\rangle\leq 0$.同理可得$\langle -x^*,d\rangle\leq 0$,因此$\langle x^*,d \rangle=0$,这与$d\neq0$矛盾.故假设不成立,则有$\langle q,d\rangle<0$.

对任意$y\in K\backslash K_{m}$,由于$m>r$和$y_{m}\in K_{r}$,则存在$t\in(0,1)$,使得$y_{m}+t(y-y_{m})\in K_{m}$.因为$x_{m}\in SOL(T-\varepsilon q,K_{m})$,所以

$\begin{eqnarray}\label{4.1}0&\leq& \sup_{\xi \in T(x_{m})} \langle \xi-\varepsilon_{m} q,y_{m}+t(y-y_{m})-x_{m}\rangle\\ &\leq& \sup_{\xi \in T(x_{m})} \langle \xi-\varepsilon_{m} q,ty-tx_{m}\rangle+(1-t)\sup_{\xi \in T(x_{m})}\langle\xi-\varepsilon_{m} q,y_{m}-x_{m}\rangle\\ &=& t\sup_{\xi \in T(x_{m})} \langle \xi-\varepsilon_{m} q,y-x_{m}\rangle+(1-t)\sup_{\xi \in T(x_{m})}\langle\xi,y_{m}-x_{m}\rangle+\varepsilon_{m}(1-t)(\langle q,x_{m}\rangle-\langle q,y_{m}\rangle)\\ &\leq& t\sup_{\xi \in T(x_{m})} \langle \xi-\varepsilon_{m} q,y-x_{m}\rangle+\varepsilon_{m}(1-t)(\langle q,x_{m}\rangle-\langle q,y_{m}\rangle).\end{eqnarray}$

(3.1)

由于$\|x_{m}\|=\varepsilon _{m}^{-1}$,则有$\varepsilon_{m}\langle q,x_{m}\rangle=\langle q,\frac{x_{m}}{\|x_{m}\|}\rangle \rightarrow \langle q,d\rangle <0$.由极限的保号性知,存在$M>0$,使得$m>M$时,有$\varepsilon_{m}\langle q,x_{m}\rangle <\frac{1}{2}\langle q,d\rangle <0$.因为$\{y_{m}\}\in K_{r}$,则$\{y_{m}\}$有界,故易得$\varepsilon_{m}\langle q,y_{m}\rangle \rightarrow 0$.因此,当$m$充分大时,有$\varepsilon_{m}(\langle q,x_{m}\rangle-\langle q,y_{m}\rangle)<0$.故存在充分大的$m$($m$与$y$无关),使得

$$\sup_{\xi \in T(x_{m})} \langle \xi-\varepsilon_{m} q,y-x_{m}\rangle \geq 0,\forall y\in K.$$

则有,$x_{m}\in SOL(T-\varepsilon_{m} q,K)$.

两种情况我们都得出矛盾,故假设不成立.

(2) 现在我们证明对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k\geq m>r$,使得对任意$\varepsilon\in(0,1/k)$,有$SOL(T-\varepsilon q,K)\subset \overline B(0,1/\varepsilon)$.由(1)知,存在$m>r$,使得对任意$k\geq m$和任意$\varepsilon \in(0,1/k)$,有$SOL(T-\varepsilon q,K)\neq \emptyset$.假设存在$q\in int(barr(K))$,对任意$k\geq m$,都存在$\varepsilon_{k}\in(0,1/k)$和$x_{k}\in SOL(T-\varepsilon_{k} q,K)$,使得$x_{k}\not\in \overline B(0,1/\varepsilon_{k})$.由于$\|x_{k}\|>1/\varepsilon_{k}>k$,根据条件$(B)$,则存在$y_{k}\in K_{r}$,使得

$$\sup_{\xi\in T(x_{k})}\langle \xi,y_{k}-x_{k}\rangle \leq 0.$$

又因为$x_{k}\in SOL(T-\varepsilon_{k} q,K)$,所以

$\begin{eqnarray}\label{3.1}0&\leq& \sup_{\xi \in T(x_{k})} \langle \xi-\varepsilon_{k} q,y_{k}-x_{k}\rangle\\ &=& \sup_{\xi \in T(x_{k})} \langle \xi,y_{k}-x_{k}\rangle+\varepsilon_{k}(\langle q,x_{k}\rangle-\langle q,y_{k}\rangle)\\ &\leq& \varepsilon_{k}(\langle q,x_{k}\rangle-\langle q,y_{k}\rangle).\end{eqnarray}$

(3.2)

运用类似(1)的证明方法可证:存在$e\in X$,使得$\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rightharpoonup e$且$\langle q,\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rangle \rightarrow \langle q,e\rangle<0$.由极限的保号性知,存在$N>0$,使得$k>N$时,有$\langle q,\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rangle< \frac{1}{2}\langle q,e\rangle < 0$.由于$\|x_{k}\| >\varepsilon _{k}^{-1}$,则有$\|x_{k}\|\varepsilon _{k}>1$.故有$k>N$时,

$\varepsilon_{k}\langle q,x_{k}\rangle=\|x_{k}\|\varepsilon_{k}\langle q,\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rangle<\langle q,\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rangle<\frac{1}{2}\langle q,e\rangle <0.$

运用类似(1)的证明方法可证$k$充分大时,$\varepsilon_{k}(\langle q,x_{k}\rangle-\langle q,y_{k}\rangle)<0$.这与(3.2)式产生了矛盾.因此证明了结论.

注3.1 如果$X={\Bbb R}^n$,文献[5]已经证明了定理3.1(1).定理3.1不仅将文献[5]的定理3.3推广到了无限维空间,同时也加强了结论.

定理3.2 设$K \subset X$为非空闭凸集,$X$为自反的实Banach空间.设$T : K \mapsto 2^{X^*}$为沿线结上半连续且具有非空弱$*$紧凸值的单调映射.如果$int(barr(K))$非空和条件$(B)$成立,则对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k>r$,使得

$$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset\overline B(0,1/\varepsilon),\forall \varepsilon \in(0,1/k).$$

证 由于$T$为单调映射,则映射$T$与一个常量之和也是单调映射.结合定理2.1,用类似证明定理3.1的方法易得结论.

推论3.1 设$K \subset X$为非空闭凸集,$X$为自反的实Banach空间.设$T : K \mapsto 2^{X^*}$为沿线结上半连续且具有非空弱$*$紧凸值的单调映射.如果$int(barr(K))$非空和$K_{\infty}\cap T(K)^{-}=\{0\}$,则对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k>r$,使得

$$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset \overline B(0,1/\varepsilon),\forall \varepsilon \in(0,1/k).$$

证由文献[13,定理3.1]知,如果$int(barr(K))$非空,则有$K_{\infty}\cap T(K)^{-}=\{0\} \Rightarrow(D)$.由于$T$为单调映射,则有$(D)\Rightarrow(C)$.显然有$(C)\Rightarrow(B)$.因此由定理3.2知结论成立.

定理3.3 设$K \subset X$为非空闭凸集,$X$为自反的实Banach空间.设$T : K \mapsto 2^{X^*}$为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有非空紧凸值的映射.如果$int(barr(K))$非空和条件$(F)$成立,则对任意$q\in int(barr(K))$,存在$k>0$,使得

$$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset\overline B(0,k),\forall \varepsilon \in(0,1/k).$$

证 由于条件$(F)\Rightarrow(E)\Rightarrow(B)$.我们不妨令$K_{r}\supset\{x\in K : \sup\limits_{x^*\in T(x)}\langle x^*,y_{0}-x\rangle \geq 0 \}$.因此由定理3.1得对任意$q\in int(barr(K))$,存在$m>r$,使得对任意$k\geq m$和任意$\varepsilon \in(0,1/k)$,有$SOL(T-\varepsilon q,K)\neq \emptyset$.假设存在$q\in int(barr(K))$,对任意$k\geq m$,都存在$\varepsilon_{k}\in(0,1/k)$和$x_{k}\in SOL(T-\varepsilon_{k} q,K)$,使得$x_{k}\not\in \overline B(0,k)$.因为$x_{k}\in SOL(T-\varepsilon_{k} q,K)$,所以

$\begin{array}{l} 0 \le \mathop {\sup }\limits_{x_k^* \in T({x_k})} \langle x_k^* - {\varepsilon _k}q,{y_0} - {x_k}\rangle \\ = \mathop {\sup }\limits_{x_k^* \in T({x_k})} \langle x_k^*,{y_0} - {x_k}\rangle + {\varepsilon _k}(\langle q,{x_k}\rangle - \langle q,{y_0}\rangle ). \end{array}$

(3.3)

不失一般性,设$\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rightharpoonup a$.同定理3.1的证明可得$\langle q,\frac{x_{k}}{\|x_{k}\|}\rangle \rightarrow \langle q,a\rangle <0 $.因此,存在$N>0$,使得$k>N$时,$\varepsilon_{k}\langle q,x_{k}\rangle <0$.则由(3.3)式可得

$$\inf\limits_{x_{k}^*\in T(x_{k})}\langle x_{k}^*,x_{k}-y_{0}\rangle <-\varepsilon_{k}\langle q,y_{0}\rangle.$$

然而,

$$\liminf_{\|x_{k}\|\rightarrow\infty}\inf_{x_{k}^*\in T(x_{k})}\langle x_{k}^*,x_{k}-y_{0}\rangle\leq\lim_{k\rightarrow \infty}-\varepsilon_{k}\langle q,y_{0}\rangle=0.$$

这与条件$(F)$矛盾,因此假设不成立.

对任意$\varepsilon>0$,设$A_{\varepsilon} \subset X$,$X$为实Banach空间.我们定义

$\begin{eqnarray}\label{5.6}\omega\mbox{-}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\sup A_{\varepsilon} :=\{x\in X : \exists \varepsilon_{k}\rightarrow 0^{+}\ \mbox{和}\ x_{k}\in A_{\varepsilon_{k}},\ \mbox{使得}\ x_{k}\rightharpoonup x\}.\end{eqnarray}$

(3.4)

推论3.2 \label{3.2}设$K \subset X$为非空闭凸集,$X$为自反的实Banach空间.设$T : K \mapsto 2^{X^*}$为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有非空紧凸值的映射.如果$int(barr(K))$非空和条件$(F)$成立,则对任意$q\in int(barr(K))$,有

$$\emptyset \neq \omega\mbox{-}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\sup SOL(T-\varepsilon q,K)\subset SOL(T,K).$$

证 从定理3.3知,对任意$q \in int(barr(K))$,存在$k>0$,使得任意$\varepsilon \in(0,1/k)$,都有$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset\overline B(0,k)$.对任意$\varepsilon \in(0,1/k)$,取任意$x_{\varepsilon}\in SOL(T-\varepsilon q,K)$,则序列$\{x_{\varepsilon}\}$为有界序列.由于$X$为自反的实Banach空间,则序列$\{x_{\varepsilon}\}$有收敛的子序列.因此,集合$\omega \mbox{ -}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^+}\sup SOL(T-\varepsilon q,K)\neq \emptyset$.任意取$x \in \omega \mbox{ -}\lim\limits_{\varepsilon\rightarrow 0^{+}}\sup SOL(T-\varepsilon q,K)$,则存在一序列$\varepsilon_{k}\rightarrow 0^{+}$和$x_{k} \in SOL(T-\varepsilon_{k}q,K)$,使得$x_{k}\rightharpoonup x$.因此存在$x_{k}^* \in T(x_{k})$,使得

$\begin{eqnarray}\label{3.5}\langle x_{k}^* - \varepsilon_{k}q,y-x_{k}\rangle\geq0,y\in K.\end{eqnarray}$

(3.5)

由于$T$为(弱拓扑到范数拓扑)上半连续且具有非空紧值的集值映射,则$\{x_{k}^*\}$为紧集和$T$为闭图像映射.不失一般性,设$\lim\limits_{\varepsilon_{k}\rightarrow 0}x_{k}^*=x^*$,其中$x^* \in T(x)$.因此,对任意$y \in K$,则有

$\begin{eqnarray}\label{3.6}\langle x_{k}^* - \varepsilon_{k}q,y-x_{k}\rangle &=& \langle x_{k}^*,y-x_{k}\rangle - \varepsilon_{k}\langle q,y-x_{k}\rangle \\&\rightarrow& \langle x^*,y-x\rangle \mbox{当}\ \varepsilon_{k}\rightarrow 0^{+}.\end{eqnarray}$

(3.6)

根据(3.5)式得,$\langle x^*,y-x\rangle \geq 0$.因此,$x \in SOL(T,K)$.

定理3.4 \label{3.4}设$K \subset {\Bbb R}^n$为非空闭凸集,$T : K \mapsto 2^{{\Bbb R}^n}$为上半连续且具有非空紧凸值的映射.如果条件$(F)$成立,则对任意$q\in K^{-}$,存在$k>0$,使得

$$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset\overline B(0,k),\forall \varepsilon \in(0,1/k).$$

证 (1)首先我们证明对任意$q\in K^{-}$,存在$m>0$,使得对任意$\varepsilon\in(0,1/m)$,$SOL(T-\varepsilon q,K)\neq \emptyset$.假设存在$q\in K^{-}$,对任意$m>0$,都存在$\varepsilon _{m}\in(0,1/m)$,使得$SOL(T-\varepsilon_{m} q,K)=\emptyset.$定义如下集值映射$G_{m} : K \mapsto K$,

$$G_{m}(y):=\Big\{x\in K : \sup_{x^*\in T(x)}\langle x^*-\varepsilon _{m}q,y-x\rangle\geq 0\Big\}.$$

① 易证$G_{m}$是一个$KKM$映射.若不是,则存在$\{y_{1},\cdots,y_{n}\}\subset K$和$x_{0}\in co\{y_{1},\cdots,y_{n}\}$,使得$x_{0}\not\in \bigcup\limits _{i=1}^{n} G_{m}(y_{i})$.从而存在$\lambda_{i}\geq 0$,$i=1,\cdots,n$,其中$\Sigma_{i=1}^{n}\lambda_{i}=1$,使得$x_{0}=\Sigma_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}$.则有

$\begin{eqnarray}\label{3.7}0&=& \sup_{x_{0}^* \in T(x_{0})}\langle x_{0}^*-\varepsilon _{m}q,\Sigma_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}-x_{0}\rangle\\ &=& \Sigma_{i=1}^{n}\lambda_{i}\Big[\sup_{x_{0}^* \in T(x_{0})}\langle x_{0}^*-\varepsilon _{m}q,y_{i}-x_{0}\rangle\Big]<0.\end{eqnarray} $

(3.7)

(3.7)式得出了一个矛盾,故$G_{m}$是一个$KKM$映射.

② 对任意$y\in K$,易证$G_{m}(y)$为闭集.设序列$\{x_{i}\}\in G_{m}(y)$和$x_{i}\rightarrow x$.则存在$x_{i}^*\in T(x_{i})$,使得$\langle x_{i}^* -\varepsilon _{m}q,y-x_{i}\rangle\geq 0$.由于$T$为上半连续且具有非空紧凸值的映射,则$T$为闭图像映射和$\{x_{i}^*\}$为紧集.从而,不失一般性,设$\lim\limits_{i \rightarrow\infty}x_{i}^*=x^*$,其中$x^*\in T(x)$.故易得

$$\langle x^*-\varepsilon _{m}q,y-x\rangle\geq 0.$$

因此$G_{m}(y)$为闭集.

③ 假设对任意$m>0$,$G_{m}(y_{0})$为无界集.则对任意$m>0$,都存在$x_{m}\in K$和$\|x_{m}\|\geq m$,使得

$\begin{eqnarray}\label{3.8}0&\leq& \sup_{x_{m}^*\in T(x_{m})}\langle x_{m}^*-\varepsilon _{m}q,y_{0}-x_{m}\rangle\\ &=& \sup_{x_{m}^*\in T(x_{m})}\langle x_{m}^*,y_{0}-x_{m} \rangle-\varepsilon _{m}\langle q,y_{0}\rangle+\varepsilon _{m}\langle q,x_{m}\rangle.\end{eqnarray}$

(3.8)

由于$q\in K^{-}$,$\langle q,x_{m}\rangle\leq 0$,则(3.8)式可得

$$\inf_{x_{m}^*\in T(x_{m})}\langle x_{m}^*,x_{m}-y_{0}\rangle\leq -\varepsilon _{m}\langle q,x_{m}\rangle.$$

然而

$$\liminf_{\|x_{m}\|\rightarrow\infty}\inf_{x_{m}^*\in T(x_{m})}\langle x_{m}^*,x_{m}-y_{0}\rangle\leq\lim_{m\rightarrow \infty}-\varepsilon_{m}\langle q,y_{0}\rangle=0.$$

这与条件$(F)$矛盾,因此假设不成立.从而存在$m>0$,使得$G_{m}(y_{0})$为有界集,则$G_{m}(y_{0})$为紧集.

综合①②③,由引理2.2得$\bigcap\limits_{y\in K}G_{m}(y)\neq\emptyset$.故$SOL(T-\varepsilon_{m} q,K)\neq\emptyset$.

(2) 运用类似定理3.3的证明方法易得存在$k\geq m>0$,使得对任意$\varepsilon \in(0,1/k)$,$\emptyset \neq SOL(T-\varepsilon q,K)\subset\overline B(0,k)$.

注3.2 定理3.4的扰动方向可能不同于定理1.1的扰动方向.特别地,当$K$为闭凸锥时,$barr(K)=K^{-}$,此时新的扰动方向包含了定理1.1的扰动方向.