在统计中,很多统计量,如最小二乘估计、水手刀法统计、密度核估计、递归密度核估计、非线性回归核估计等等,都表现为随机变量序列加权和形式,因此对随机变量序列加权和极限性质的研究是有必要的.
最近Sung[1]对同分布NA随机变量序列加权和获得了如下完全收敛性结果.
定理A 设$1<\alpha\leq 2$,$\gamma>0$,$\{X,X_{n},n\ge 1\}$为同分布的NA随机变量序列,$\{a_{nk},n\geq1,$ $ 1\leq k\leq n\}$为常数序列满足
|
\[\mathop {\sup }\limits_{n \ge 1} \sum\limits_{k = 1}^n | {a_{nk}}{|^\alpha } < \infty .\]
| (1.1) |
如果$EX=0$且
|
$\left\{\begin{array}{ll}
E|X|^\alpha<\infty,&\ \ \mbox{如果}\ \alpha>\gamma,\\
E|X|^\alpha\log(1+|X|)<\infty,&\ \ \mbox{如果}\ \alpha=\gamma,\\
E|X|^\gamma<\infty,&\ \ \mbox{如果}\ \alpha<\gamma,
\end{array}\right.$
| (1.2) |
则对任意$\varepsilon>0$有
|
\[\sum\limits_{n = 1}^\infty {{n^{ - 1}}} P(\mathop {\max }\limits_{1 \le j \le n} |\sum\limits_{k = 1}^j {{a_{nk}}} {X_k}| > \varepsilon {\log ^{1/\gamma }}n) < \infty .\]
| (1.3) |
完全收敛性的概念是由Hsu和Robbins[2]最先提出并加以研究的. 从那时开始就已吸引了众多学者的关注,至今已取得了丰富的成果.
(1.3)式最先由Wang等[3]对NOD随机变量序列在很强的指数阶矩条件$E\exp(h|X|^\gamma)<\infty$下获得的,其中$h>0$.Sung[1]在NA情形下获了比较完美的结果,也即是上面的定理A. Zhou等[4],Sung[5],Wu等[6]把定理A推广到了$\rho^*$ -混合随机变量序列情形. Huang等[7],Shen[8],Zhang等[9]在NOD情形下获得了部分和的完全收敛性,但比部分和最大值的完全收敛性,即(1.3)式,要弱. Sung[1]的证明方法本质上用到了NA序列部分和最大值的指数不等式. Zhou等[4],Sung[5],Wu等[6]则是用到了$\rho^*$ -混合序列部分和最大值的Rosenthal型矩不等式,且Wu等[6]在其文中指出只要某种序列具有部分和最大值的Rosenthal型矩不等式,那么定理A总是成立的. Huang等[7],Shen[8],Zhang等[9]等使用的工具是NOD序列部分和的Rosenthal型矩不等式,同样只要某种序列满足部分和的Rosenthal型矩不等式,相应的结果也是成立的.
那么一个具有挑战性的问题是,如果只知道某序列满足部分和的Rosenthal型矩不等式,是否能得到(1.3)式这样的结果？
本文的目的是在更广泛的END随机变量序列情形下,利用部分和的Rosenthal型矩不等式,部分获得最大值的完全收敛性结果. 先来介绍END的概念.
定义1.1 称随机变量序列$\{X_n,n\geq1\}$是END(extended negatively dependent)的,如果存在$M>0$(称$M$为控制常数),使对任意$n\geq2$及任意实数$ x_1,x_2,\cdots,x_n$有
$$P(X_k>x_i,k=1,2,\cdots,n)\leq M\prod^n_{k=1}P(X_k>x_k)
$$及
$$P(X_k\leq x_i,k=1,2,\cdots,n)\leq M\prod^n_{k=1}P(X_k\leq x_k).
$$END这一概念是由Liu
[10]在2009年引入的,当$M=1$时即为NOD序列的定义. 因此RND是包含NOD序列和NA序列在内的非常广泛的随机序列,在金融、保险、可靠性分析、多元统计分析和时间序列分析中有广泛的应用,因此已越来越引起关注. 如Chen等
[11]获得了随机变量END序列的Kolomogorov强大数定律,Chen等
[12],Liu
[13],Cheng等
[14],Wang等
[15]等,在END结构下讨论了风险模型的破产概率问题,Shen
[16]获得了END随机变量序列部分和的Rosenthal型矩不等式,Wang等
[17]和Qiu等
[18]讨论了在其它条件下的完全收敛性,等等.
下面来介绍本文的主要结果,必要的引理及定理的证明放到第2节.
定理1.1 $1<\alpha<2$,$\alpha<\gamma$,$\{X,X_{n},n\ge 1\}$为同分布的END随机变量序列满足$EX=0$及$E|X|^\gamma<\infty$,又设常数序列$\{a_{nk},n\geq1,1\le k\le n\}$满足(1.1)式. 则对任意$\varepsilon>0$,(1.3)式成立.
推论1.1 设$1<\alpha<2$,$\alpha<\gamma$,$\{X,X_{n},n\ge 1\}$为同分布的END随机变量序列满足$EX=0$及$E|X|^\gamma<\infty$.
(1) 若常序列$\{b_n,n\geq1\}$满足$\sum\limits^n_{k=1}|b_k|^\alpha=O(n)$,则对任意$\varepsilon>0$,
|
$\sum^\infty_{n=1}n^{-1}P\bigg\{\max_{1\leq m\leq n}\bigg|\sum^m_{k=1}b_kX_k\bigg|>\varepsilon n^{1/\alpha}(\log n)^{1/\gamma}\bigg\}<\infty.$
| (1.4) |
进而有
|
$\frac{\sum\limits^n_{k=1}b_kX_k}{n^{1/\alpha}(\log n)^{1/\gamma}}\rightarrow 0,\ \ {\rm a.s..}$
| (1.5) |
(2) 若常序列$\{b_n,n\geq1\}$满足$\sum\limits^\infty_{n=1}|b_n|^\alpha<\infty$,则对任意$\varepsilon>0$,
$$\sum^\infty_{n=1}n^{-1}P\bigg\{\max_{1\leq m\leq n}\bigg|\sum^m_{k=1}b_kX_k\bigg|>\varepsilon (\log n)^{1/\gamma}\bigg\}<\infty.
$$进而有
$$\frac{\sum\limits^n_{k=1}b_kX_k}{(\log n)^{1/\gamma}}\rightarrow 0,\ \ {\rm a.s..}
$$
本文约定,$C$总代表正常数,在不同的地方可以代表不同的值.
定理的证明需要下面的引理.
引理2.1 (参见文献[10]) 设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是END序列,$f_1,f_2,\cdots,f_n$全部是单调增(或单调减)函数. 则$f_1(X_1),f_2(X_2),\cdots,f_n(X_n)$是END的.
注2.1 引理2.1中$f_1(X_1),f_2(X_2),\cdots,f_n(X_n)$的控制常数可以与$X_1,X_2,\cdots,X_n$的控制常数相同.这一点在定理的证明中至关重要.
下面的引理就是END序列的Rosenthal不等式,可参见文献[16].
引理2.2 对任意$s\geq 2$,存在正常数$C_s$使得对任意END序列$\{X_n,n\geq1\}$均有
$$E\bigg|\sum_{k=1}^{n}(X_k-EX_k)\bigg |^s \le C_s\bigg\{\sum_{k=1}^{n}E|X_k|^s+ \bigg(\sum_{k=1}^{n }E|X_k|^2\bigg)^{s/2}\bigg\},\ \ \forall\ n\geq1.
$$
由引理2.2及类似文献 [19,定理2.3.1]的讨论有下面结论.
引理2.3 对任意$s\geq 2$,存在正常数$C_s$使得对任意END序列$\{X_n,n\geq1\}$均有
$$E\max_{1\le m\le n}\bigg|\sum_{k=1}^m(X_k-EX_k)\bigg|^s \le C_s(\log n)^s\bigg\{\sum_{k=1}^{n}E|X_k|^s+ \bigg(\sum_{k=1}^{n }E|X_k|^2\bigg)^{s/2}\bigg\},\ \ \forall\ n\geq1.
$$
注2.2 引理2.2中常数$C_s$不但与$s$有关，还与控制常数$M$有关. 引理2.3中常数$C_s$同样如此.
定理1.1的证明 不妨设$a_{nk}>0$,$\sum\limits_{i=1}^n |a_{ni}|^\alpha\le 1.$对$1\le k\le n$及$n\ge 1$,令
\begin{eqnarray*}X_{nk}(1)&=&a_{ni} X_kI\left(|a_{ni}X_k|\le (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)+(\log n)^{1/\gamma-\beta}I\left(a_{nk}X_k> (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\\&&-(\log n)^{1/\gamma-\beta}I\left(a_{nk}X_k<- (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right),\end{eqnarray*}
$${X_{nk}}(2) = \left( {{a_{nk}}{X_k} - {{(\log n)}^{1/\gamma - \beta }}} \right)I\left( {{{(\log n)}^{1/\gamma - \beta }} < {a_{nk}}{X_k} \le \varepsilon {{(\log n)}^{1/\gamma }}/(4N)} \right),
$$
$${X_{nk}}(3) = \left( {{a_{nk}}{X_k} + {{(\log n)}^{1/\gamma - \beta }}} \right)I\left( { - \varepsilon {{(\log n)}^{1/\gamma }}/(4N) \le {a_{nk}}{X_k} < - {{(\log n)}^{1.\gamma - \beta }}} \right),
$$\begin{eqnarray*}X_{n4}(4)&=&\left(a_{nk}X_k-(\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)I\left(a_{nk}X_k>\varepsilon(\log n)^{1/\gamma}/(4N) \right)\\&& +\left(a_{nk}X_k+(\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)I\left(a_{nk}X_k<-\varepsilon(\log n)^{1/\gamma}/(4N) \right),\end{eqnarray*}其中$0<\beta<1/\gamma$,$N$是一正整数(其值将在后面确定). 则
$$a_{nk}X_k=X_{nk}(1)+X_{nk}(2)+X_{nk}(3)+X_{nk}(4)
$$且由引理2.1,$\{X_{nk}(1),1\le k\le n\}$也是END的. 令$b_n=(\log n)^{1/\gamma}$,注意到\begin{eqnarray*}&&\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} P\bigg( \max_{1\le m \le n}\bigg|\sum_{k=1}^m a_{nk}X_k\bigg|>b_n \varepsilon \bigg)\\&\le& \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} P\bigg( \max_{1\le m \le n}\bigg|\sum_{k=1}^m X_{nk}(1)\bigg|>b_n \varepsilon/4 \bigg) +\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} P\bigg( \max_{1\le m \le n} \bigg|\sum_{k=1}^m X_{nk}(2) \bigg|>b_n \varepsilon/4 \bigg)\\&& + \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} P\bigg( \max_{1\le m \le n}\bigg|\sum_{k=1}^m X_{nk}(3) \bigg|>b_n \varepsilon/4 \bigg)+\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} P\bigg( \max_{1\le m \le n} \bigg|\sum_{k=1}^m X_{nk}(4) \bigg|>b_n \varepsilon/4 \bigg)\\&:=&I_1+I_2+I_3+I_4.\end{eqnarray*}因此要证(1.3)式成立,只须证$I_l<\infty$,$l=1,2,3,4$.
先证$I_1<\infty$. 由$EX_i=EX=0$及$E|X|^\alpha\leq (E|X|^\gamma)^{\alpha/\gamma}<\infty$,有
\begin{eqnarray*}&&b_n^{-1} \max_{1\le m\le n} \bigg|\sum_{k=1}^m EX_{nk}(1)\bigg|\\&\le& b_n^{-1} \max_{1\le m\le n} \bigg|\sum_{k=1}^m a_{nk} EX_k I\left(|a_{nk}X_k|\le (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\bigg|\\&& +(\log n)^{-\beta}\sum_{k=1}^n P\left(|a_{nk}X_k|> (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\\&=&b_n^{-1} \max_{1\le m\le n} \bigg|\sum_{k=1}^m a_{nk} EX_k I\left(|a_{nk}X_k|> (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\bigg|\\&& +(\log n)^{-\beta}\sum_{k=1}^n P\left(|a_{nk}X_k|> (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\\&\le& 2 b_n^{-1} \sum_{k=1}^n |a_{nk}| E|X_k|I\left(|a_{nk}X_k|> (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\\&\le& 2 b_n^{-1} (\log n)^{(1/\gamma-\beta)(1-\alpha)}\sum_{k=1}^n |a_{nk}|^\alpha E|X_k|^\alpha I\left(|a_{nk}X_k|> (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\\&\le& 2 E|X|^\alpha (\log n)^{\beta(\alpha-1)-\alpha/\gamma}\to 0.\end{eqnarray*}因此要证$I_1<\infty$,只须证
$$J=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} P\bigg( \max_{1\le m \le n} \bigg|\sum_{k=1}^m (X_{nk}(1)-EX_{nk}(1)) \bigg|>b_n \varepsilon/8\bigg)<\infty.
$$对$n\ge 1$,$t>0$ (其值将在后面确定),令
$$A_n=\left\{1\le k\le n:~ |a_{nk}|\le (\log n)^{-t}\right\},~~ B_n=\left\{1\le k\le n:~ |a_{nk}|> (\log n)^{-t}\right\}.
$$注意到
$$1\ge \sum_{k=1}^n |a_{nk}|^\alpha\ge \sum_{k\in B_n} |a_{nk}|^\alpha\ge (\log n)^{-t\alpha} \sharp B_n,
$$于是有
|
$\sharp B_n\le (\log n)^{t\alpha}.$
| (2.1) |
我们将分别在$\gamma<2$和$\gamma\ge 2$情形下来证明$J<\infty$. 先设$\alpha<\gamma<2$,由引理2.2及(2.1)式有\begin{eqnarray*}J&\le& 64 \varepsilon^{-2} \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-2} E\max_{1\le m \le n} \bigg|\sum_{k=1}^m (X_{nk}(1)-EX_{nk}(1))\bigg|^2\\&\le &C\sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-2} E\max_{1\le m \le n} \bigg\{\bigg|\sum_{k\le m,k\in A_n} (X_{nk}(1)-EX_{nk}(1))\bigg|^2 \\&& +\bigg|\sum_{k\le m,k\in B_n} (X_{nk}(1)-EX_{nk}(1))\bigg|^2 \bigg\}\\&\le& C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-2} (\log n)^2 \sum_{k\in A_n} EX^2_{nk}(1)+C\sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-2} (\log \log n)^2 \sum_{k\in B_n} EX^2_{nk}(1)\\&:=&J_1+J_2.\end{eqnarray*}因$\alpha<\gamma<2$,可取$t$足够大使得$t(\gamma-\alpha)+\beta(2-\gamma)>2$,于是有\begin{eqnarray*}J_1&=&C\sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-2} (\log n)^2 \sum_{k\in A_n}\Big\{a_{nk}^2EX_k^2I\left(|a_{nk}X_k|\le (\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\\&& +b_n^2(\log n)^{-2\beta}P\left(|a_{nk}X_k|>(\log n)^{1/\gamma-\beta}\right)\Big\}\\&\le& C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-\gamma} (\log n)^{2-\beta(2-\gamma)}\sum_{k\in A_n} |a_{nk}|^\gamma E|X_k|^\gamma\\&\le& C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-\gamma} (\log n)^{2-\beta(2-\gamma)-t(\gamma-\alpha)}\sum_{k\in A_n} |a_{nk}|^\alpha E|X_k|^\gamma\\&\le &C E|X|^\gamma \sum_{n=1}^\infty n^{-1}(\log n)^{1-\beta(2-\gamma)-t(\gamma-\alpha)}<\infty.\end{eqnarray*}类似地有\begin{eqnarray*}J_2&\le& C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-\gamma} (\log \log n)^2 (\log n)^{-\beta(2-\gamma)}\sum_{k\in B_n} |a_{nk}|^\gamma E|X_k|^\gamma\\&\le &C E|X|^\gamma \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-\gamma} (\log \log n)^2 (\log n)^{-\beta(2-\gamma)}\\&=&C E|X|^\gamma \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (\log \log n)^2 (\log n)^{-1-\beta(2-\gamma)}<\infty.\end{eqnarray*}
下面来考虑情形$\gamma\ge 2$. 取$q>\max\{2,\gamma\}$,由引理2.3及(2.1)式有
\begin{eqnarray*}J&\le &C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-q} (\log n)^q \bigg\{ \sum_{k\in A_n} E\left|X_{nk}(1)\right|^q+ \bigg(\sum_{k\in A_n} EX_{nk}^2(1)\bigg)^{q/2}\bigg\}\\&& +C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-q} (\log \log n)^q \bigg\{ \sum_{k\in B_n} E\left|X_{nk}(1)\right|^q+ \bigg(\sum_{k\in B_n} EX_{nk}^2(1)\bigg)^{q/2}\bigg\}\\&:=&J_3+J_4+J_5+J_6.\end{eqnarray*}类似于$J_1<\infty$的证明,取$t$足够大,使$t(\gamma-\alpha)+\beta(q-\gamma)>q$,有\begin{eqnarray*}J_3&\le& C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-\gamma} (\log n)^{q-\beta(q-\gamma)}\sum_{k\in A_n} |a_{nk}|^\gamma E|X_k|^\gamma\\&\le &C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-\gamma} (\log n)^{q-\beta(q-\gamma)-t(\gamma-\alpha)}\sum_{k\in A_n} |a_{nk}|^\alpha E|X_k|^\gamma\\&\le &C E|X|^\gamma \sum_{n=1}^\infty n^{-1}(\log n)^{-1+q-\beta(q-\gamma)-t(\gamma-\alpha)}<\infty.\end{eqnarray*}同样,取$t$足够大,使$t(2-\alpha)q/2+q/\gamma-q>1$,有\begin{eqnarray*}J_4&\le& C \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-q} (\log n)^q \bigg( \sum_{k\in A_n} a_{nk}^2 EX_k^2\bigg)^{q/2}\\&\le &C \left(EX^2\right)^{q/2} \sum_{n=1}^\infty n^{-1} b_n^{-q} (\log n)^q \bigg( (\log n)^{-t(2-\alpha)} \sum_{k\in A_n} |a_{nk}|^\alpha\bigg)^{q/2}\\&\le &C \left(E|X|^\gamma\right)^{q/\gamma} \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (\log n)^{q-q/\gamma-t(2-\alpha)q/2}.\end{eqnarray*}同样有
$$J_5\le C E|X|^\gamma \sum_{n=1}^\infty n^{-1} (\log \log n)^q (\log n )^{-1-\beta(q-\gamma)}<\infty,
$$
$$J_6\le C \left(E|X|^\gamma\right)^{q/\gamma} \sum_{n=1}^\infty n^{-1}(\log \log n)^q (\log n)^{-q/\gamma}<\infty.
$$
现在来证明$I_2<\infty$. 因$0\le X_{nk}(2)\le b_n\varepsilon/(4N),$ $\sum\limits_{k=1}^n X_{nk}(2)>b_n \varepsilon/4$,这就意味着$\{X_{nk}(2),1\leq k\leq n\}$中至少有$N$个$X_{nk}(2)$不为零. 于是
\begin{eqnarray*}&&P\bigg( \max_{1\le m \le n} \bigg|\sum_{k=1}^m X_{nk}(2) \bigg|>b_n \varepsilon/4\bigg)\\&=&P\bigg( \sum_{k=1}^n X_{nk}(2)>b_n \varepsilon/4 \bigg)\\&\le&\sum_{1\le k_1<\cdots < k_N\le n} P\left( a_{n,k_1}X_{k_1}>b_n (\log n)^{-\beta},\cdots,a_{n,k_N}X_{k_N}>b_n (\log n)^{-\beta}\right)\\&\le &M\sum_{1\le k_1<\cdots < k_N\le n} P\left( a_{n,k_1}X_{k_1}>b_n (\log n)^{-\beta}\right)\cdots P\left(a_{n,k_N}X_{k_N}>b_n (\log n)^{-\beta}\right)\\&\le &M\bigg( \sum_{k=1}^n P\left( a_{nk}X_k >b_n (\log n)^{-\beta}\right)\bigg)^N\\&\le &M\bigg( b_n^{-\gamma} E|X|^\gamma (\log n)^{\beta\gamma} \sum_{k=1}^n |a_{nk}|^\gamma \bigg)^N\\&\le& M\left(E|X|^\gamma\right)^N (\log n)^{(-1+\beta\gamma)N}.\end{eqnarray*}
取$N$足够大使得$(1-\beta\gamma)N>1$,就有$I_2<\infty$.
$I_3<\infty$的证明与$I_2<\infty$类似.
最后来证$I_4<\infty$. 由Chebyshev不等式,(1.1)式及标准的计算有
\begin{eqnarray*}I_4&\le& \sum_{n=1}^\infty n^{-1} \sum_{k=1}^n |a_{nk}|^\alpha E|X_k|^\alpha I(|a_{nk}X_k|>b_n\varepsilon/(4N))\\&\le &\sum^\infty_{n=1}n^{-1}E|X|^\alpha I(|X|>b_n\varepsilon/(4N))\\&\le &CE|X|^\gamma<\infty.\end{eqnarray*}这就完成了定理的证明.
2016, Vol. 36 
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