设${\Bbb R}$表示所有实数组成的集合. ${{\Bbb R}}^{m}(m\geq1)$是$m$维Euclid空间. 若集合$\Omega \subset{{\Bbb R}}^{m}$,则$\partial{\Omega }$和$\overline{\Omega }$分别表示$\Omega$的边界和闭包.

引入球面坐标系$(r,\Theta)\in {{\Bbb R}}^{n}~(n\geq2)$,其中$\Theta=(\theta_1,\theta_2,\cdots,\theta_{n-1})$且

$$0\leq r<\infty,~~~~-\frac{\pi}{2}\leq \theta_{n-1}< -\frac{3}{2}\pi~(n\geq2),~~~~0\leq \theta_{j}\leq \pi~(1\leq j\leq n-2,n\geq3), $$它与Descartes坐标 $Y=(y_1,y_2,\cdots,y_n)\in {{\Bbb R}}^{n}$相对应,其中 $$|Y|=r=\sqrt{y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2},~~~~~y_1=r\cos\theta_1,~~~~~y_n=r(\Pi_{j=1}^{n-1}\sin\theta_j)(n\geq2), $$ $$y_l=r(\Pi_{j=1}^{l-1}\sin\theta_j)\cos\theta_{l-1}~(2\leq l\leq n-1,n\geq3). $$

令$u^{+}=\max\{u,0\},$ 其中$u$是定义在${{\Bbb R}}^{n}~(n\geq3)$中的函数.记${\rm d}Y={\rm d}y_1{\rm d}y_2\cdots {\rm d}y_{n}$,$S^{n-1}$为${{\Bbb R}}^{n}$中的单位球 (若$n=2$,则$S^{1}$为单位圆),${\rm d}S_{\Theta}$是在点$(1,\Theta)\in S^{n-1}$的曲面面积元素. 记$S_{\frac{n}{2}-1}~(n\geq2)$和$T_{\frac{n}{2}-1}~(n\geq2)$表示级为$\frac{n}{2}-1$的第三类Bessel函数(见文献[1,p78]).

注 1 函数

$$ \left\{\begin{array}{ll}-(\log t)^{-1}T_{0}(t),& \ \ \ n=2 ,\\t^{\frac{n}{2}-1}T_{\frac{n}{2}-1}(t),& \ \ \ n\geq3,\end{array}\right. $$ 在$t\rightarrow 0^+$时存在有限的正极限(见文献[1,p80,式(12)-(15)]).

Aronzajn在文献[2]中首次定义了一个广义的带型区域${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)=\Omega\times {{\Bbb R}}^{n},$其中$\Omega$为定义在${{\Bbb R}}^{m}$上的有界区域.Brawn在文献[3]中利用Hardy不等式证明了定义在${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中一类次调和函数的最小调和控制函数.Armitage-Fugard在文献[4]中讨论了定义在${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中径向次调和函数的凸性.Aikawa在文献[5]中给出了${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中关于次调和函数的Phragmén-Lindelöf定理.最近,通过修改Poisson核的构造,我们又得到了${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中Dirichlet问题解的具体表示形式(详见文献[6]).本文,我们将继续深入探讨${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的Phragmén-Lindelöf型定理.

针对Dirichlet问题(见文献[7,p41])

$$(\Delta_{m}+\lambda)f=0,\hspace {3mm} \hspace {2mm}\Omega, $$ $$\hspace {17mm}f=0,\hspace {2mm}\partial{\Omega}, $$其中Laplace算子 $$\Delta_{m}=\left\{\begin{array}{ll} \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} ,& \ \ \ m=1,\\[4mm] \sum_{i=1}^{m}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2},& \ \ \ m\geq2. \end{array}\right. $$记上述边界值问题最小正的特征值$\lambda$,其所对应正规化后正的特征函数记为$f(X)$且 $$\int_{\Omega}f^2(X){\rm d}X=1. $$

例 若$m=1$且$\Omega=(0,1)$.则上述Dirichlet问题就变为寻找解$f(x)(0\leq x\leq 1),$使得

$$\frac{{\rm d}^2f(x)}{{\rm d}x^2}+\lambda f(x)=0~(0< x<1)~~\textrm{且}~~~f(0)=f(1)=0. $$

易知$\lambda=\pi^2$且$f(x)=\sqrt{2}\sin \pi x.$

将定义在${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中由次调和函数的全体组成的集合称之为${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的次调和函数类,简记为$Sub_{m+n}(\Omega)$. 若无特殊说明,文中出现的$u(X,Y)\in Sub_{m+n}(\Omega)$,其中$Y=(r,\Theta)$. 同时,假定若$m\geq3,$ 则$\Omega\subset{{\Bbb R}}^{m}$是$C^{2,\varsigma}$ -区域$(0<\varsigma<1)$,它能被有穷个互不相交的闭超曲面所覆盖(关于$C^{2,\varsigma}$ -区域的定义,读者可参看文献[8,p88-89]).

令

$$N(u)(r)=\int_{\Omega}u(X,Y)f(X){\rm d}X~~~~\textrm{和}~~~~P_u(X,Y)=\int_0^1t^{n-1}\left(\int_{S^{n-1}}u(X,(rt,\Theta)){\rm d}S_{\Theta}\right){\rm d}t $$ $$Q_u(X,Y)=\int_{S^{n-1}}u(X,(r,\Theta)){\rm d}S_{\Theta}~~~~\textrm{和}~~~~M_u(X,Y)=\max_{|Y|=r}u(X,Y), $$则由文献[5,引理7]知,$P_u(X,Y)\in Sub_{m+n}(\Omega)$,$Q_u(X,Y)\in Sub_{m+n}(\Omega)$且 $M_u(X,Y)\in Sub_{m+n}(\Omega)$.

设常数$c\in {\Bbb R}$. 若

$$\limsup_{(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),(X,Y)\rightarrow (X_0,Y_0)\in \partial {\Bbb E}_{m+n}(\Omega)=\partial \Omega\times {{\Bbb R}}^{n}}u(X,Y)\leq c, $$则称$u(X,Y)$满足Phragmén-Lindelöf型边界条件PL(c).

通过构造${\Bbb E}_{1+1}(\Omega)$中的调和函数,邓冠铁证明了一系列定义在${\Bbb E}_{1+1}(\Omega)$中关于次调和函数的Phragmén-Lindelöf定理(详见文献[9,p135-138]).关于${\Bbb E}_{1+n}(\Omega)$中的Phragmén-Lindelöf定理,读者可参看文献[10].通过对上密度函数的构造和Hausdorff测度的计算与估计,Aikawa证明了${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的Phragmén-Lindelöf定理(详见文献[5,定理1]或者[11,定理4.6.3]).

定理 A设$u(X,Y)(Y=(r,\Theta))$满足Phragmén-Lindelöf型边界条件PL(0).且

\begin{eqnarray}\label{eq:1.1}\liminf_{r\rightarrow\infty}r^{\frac{n-1}{2}}\exp(-\sqrt{\lambda}r)N(Q_{u^+})(r)=0~(n\geq2),\end{eqnarray}

(1.1)

则对任意的$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$ 有

\begin{eqnarray}\label{eq:1.2}u(X,Y)\leq 0.\end{eqnarray}

(1.2)

设$\tau>0$,$0 $$\left|\begin{array}{ccc}p(t) &~~~ t^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t) ~~~&t^{1-\frac{n}{2}}T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\\p(t_1) &t_1^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1) &t_1^{1-\frac{n}{2}}T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1)\\p(t_2) &t_2^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)&t_2^{1-\frac{n}{2}}T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)\end{array}\right| $$记为$\Psi(t;p,\tau,t_1,t_2)$.若$\Psi(t;p,\tau,t_1,t_2)\geq0~(t_1\leq t\leq t_2),$则称$p(t)$是${\Bbb R}^{+}$上的$CON(\tau,n)$ -凸函数(见文献[4, 5, 12]).

注 2 若函数$u(X,Y)$满足Phragmén-Lindelöf型边界条件PL(0),则由文献[5,定理2]可知,$N(u)(r)< \infty$且$N(u)(r)$是${\Bbb R}^{+}$上的$CON(\sqrt{\lambda},n)$ -凸函数.

定义

$$U_{\frac{n}{2}-1}(t)=\frac{T_{\frac{n}{2}-1}(t)}{S_{\frac{n}{2}-1}(t)}~(0< t <\infty), $$则$U_{\frac{n}{2}-1}(t)$在${\Bbb R}^{+}$上严格递减(见文献[4,引理A (iv)]).

注 3 设$\tau>0$,$p(t)$是${\Bbb R}^{+}$上的$CON(\tau,n)$ -凸函数. 若$t_1\leq t\leq t_2,$ 因为

\begin{eqnarray*}&&\left|\begin{array}{ccc}p(t) &~~~ t^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)~~ &t^{1-\frac{n}{2}}T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\\p(t_1) &t_1^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1) &t_1^{1-\frac{n}{2}}T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1)\\p(t_2) &t_2^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)&t_2^{1-\frac{n}{2}}T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)\end{array}\right| \\&=&-(tt_1t_2)^{1-\frac{n}{2}}S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1)S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)\left|\begin{array}{ccc} \frac{t^{\frac{n}{2}-1}p(t)}{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)} &~~~ U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)~~ &1\\[4mm] \frac{t_1^{\frac{n}{2}-1}p(t_1)}{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1)} &U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1) &1\\[4mm] \frac{t_2^{\frac{n}{2}-1}p(t_2)}{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)}&U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2) &1\end{array}\right|\\&\geq & 0,\end{eqnarray*} 故$p(t)$是${{\Bbb R}}^{+}$上的$CON(\tau,n)$ -凸函数当且仅当$\{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1}{t^{\frac{n}{2}-1}p(t)}$是${{\Bbb R}}^{+}$上关于$U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)$的凸函数.同理可知$p(t)$是${{\Bbb R}}^{+}$上的$CON(\tau,n)$ -凸函数当且仅当$\{T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1} $$\cdot {t^{\frac{n}{2}-1}p(t)}$是${{\Bbb R}}^{+}$上关于$\{U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1}$的凸函数.

利用定义在${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的次调和函数的凸性性质(详见文献[4, 5]),我们给出本文的主要结论-- ${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的Phragmén-Lindelöf型定理.关于锥中的Phragmén-Lindelöf型定理,读者可参见文献[13, 14]. 关于锥中次调和函数的其他性质,读者可参见文献[15, 16].

定理 1 设$u(X,Y)$满足Phragmén-Lindelöf型边界条件PL(c). 若

\begin{equation}\label{eq:1.3}\lim_{r\rightarrow\infty}\{S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}r)\}^{-1}r^{\frac{n}{2}-1}N(u^{+})(r)=0,\end{equation}

(1.3)

则对于任意的$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$有

\begin{equation}\label{eq:1.4} u(X,Y)\leq c^{+}.\end{equation}

(1.4)

注 4 在定理1证明的最后,我们将举例说明(1.4)式中的$c^{+}$不能换成$c$. 也就是说,若$c<0$,则对于任意的$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$由条件(1.3)就可得(1.2)式.

对$Q_u(X,Y)$应用定理1,即得

推论 1若定理1中的条件(1.3)用定理A中的条件(1.1)替代,则定理1的结论成立.

注 5 若令$c\leq0$,则由注4和推论1直接可得定理A.

对$P_u(X,Y)$应用定理1,即得

推论 2 若定理1中的条件(1.3)用下面的条件

\begin{equation}\label{eq:1.5}\liminf_{r\rightarrow\infty}r^{\frac{n-1}{2}}\exp(-\sqrt{\lambda}r)N(P_{u^{+}})(r)=0\end{equation}

(1.5)

替代,则定理1的结论仍成立.

注 6因为$\{S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}r)\}^{-1}r^{\frac{n}{2}-1}N(Q_{u^{+}})(r)$是关于$r$的非减函数. 设$r$充分大,对于任意的$\rho(\leq r)$,有

\begin{eqnarray*}&&\int_{\Omega}\left(\int_{S^{n-1}}u^+(X,(\rho,\Theta)){\rm d}S_{\Theta}\right)f(X){\rm d}X \\&\leq&S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}\rho)\rho^{1-\frac{n}{2}}\{S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}r)r^{1-\frac{n}{2}}\}^{-1} \int_{\Omega}\left(\int_{S^{n-1}}u^+(X,(r,\Theta)){\rm d}S_{\Theta}\right)f(X){\rm d}X.\end{eqnarray*}

故存在与$r$无关的正常数$c_1$,使得对于$\rho(\leq r)$,有

$$S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}\rho)\rho^{1-\frac{n}{2}}\{S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}r)r^{1-\frac{n}{2}}\}^{-1}\leq c_1. $$

再由文献[3,引理A (ⅱ)和(ⅲ)]知 正极限$\lim\limits_{\rho\rightarrow0^+}S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda}\rho)\rho^{1-\frac{n}{2}}$存在且

$$\lim_{t\rightarrow +\infty}(2\pi t)^{\frac{1}{2}}{\rm e}^{-t}S_{\frac{n}{2}-1}(t)=1. $$

故对于充分大的$r$,有$N(P_{u^{+}})(r)\leq c_1N(Q_{u^{+}})(r).$ 从而,可知推论1中的条件(1.5)比定理A中的条件(1.1)弱.再令$c=0$,则推论1事实上是推广了定理A.

对$M_u(X,Y)$应用定理1,即得

推论 3 若定理1中的条件(1.3)可以用下面的条件

$$\liminf_{r\rightarrow\infty}r^{\frac{n-1}{2}}\exp(-\sqrt{\lambda}r)N(M_{u^{+}})(r)=0 $$替代,则定理1的结论仍成立.

引理 若$\tau>0$且$p(t)$是$ {\Bbb R}^{+}$上的$CON(\tau,n)$ -凸函数. 令

$$\mu(\tau,p)= \lim_{t\rightarrow\infty}\{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1}t^{\frac{n}{2}-1}p(t)~\textrm{和}~~\eta(\tau,p)= \lim_{t\rightarrow0}\{T_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1}t^{\frac{n}{2}-1}p(t), $$则

(Ⅰ) 极限$\mu(\tau,p)$和 $\eta(\tau,p)$ 存在$(-\infty< \mu(\tau,p)\leq\infty,-\infty<\eta(\tau,p)\leq\infty)$.

(Ⅱ) 若$\eta(\tau,p)\leq 0$,则$\{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1}t^{\frac{n}{2}-1}p(t)$是${\Bbb R}^{+}$上的非减函数.

证 由注3知,函数

$$\left(\frac{t_2^{\frac{n}{2}-1}p(t_2)}{T(\tau t_2)}-\frac{t_1^{\frac{n}{2}-1}p(t_1)}{T(\tau t_1)}\right) \left(\frac{1}{U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)}-\frac{1}{U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1)}\right)^{-1}~~(t_1\textrm{固定}) $$和函数

\begin{eqnarray}\label{eq:2.17}\left(\frac{t_2^{\frac{n}{2}-1}p(t_2)}{S(\tau t_2)}-\frac{t_1^{\frac{n}{2}-1}p(t_1)}{S(\tau t_1)}\right)\Bigg(U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_2)-U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t_1)\Bigg)^{-1}~~(t_2\textrm{固定})\end{eqnarray}

(2.1)

分别是关于$t_2$的非减函数和$t_1$的非增函数,其中$t_1\neq t_2$.

又因为(见文献[4,引理A (ⅲ)])

$$\lim_{t\rightarrow\infty}U_{\frac{n}{2}-1}^{-1}(\tau t)=\infty~~~\textrm{和}~~~\lim_{t\rightarrow0}U_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)=\infty, $$故极限$\mu(p)$和极限$\eta(\tau,p)$存在. 若$\eta(\tau,p)\leq 0$,则对于任意的$t_1(\neq t_2)$,式(2.1)非正.

从而可知$\{S_{\frac{n}{2}-1}(\tau t)\}^{-1}t^{\frac{n}{2}-1}p(t)$非减. 引理证毕.

因为在$c\neq 0$的时候,可以考虑$u(X,Y)-c$,故首先假定$c=0.$

由注2知,$N(u)(r)$是${\Bbb R}^{+}$上的$CON(\sqrt{\lambda},n)$ -凸函数.设$c_2>0$,定义"截断的"广义带型区域

$$TE_{m+n}(\Omega; c_2)=\Omega\times \{Y\in {{\Bbb R}}^{n};0< |Y|< c_{2}\}. $$

因为$u(X,Y)$在$TE_{m+n}(\Omega,c_2)$中有上界,故

$$\eta(\sqrt{\lambda},N(u)(r))=\lim_{r\rightarrow0^+}\{T_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda} r)\}^{-1}r^{\frac{n}{2}-1}N(u)(r)\leq 0. $$

由注1和引理知 $\{S_{\frac{n}{2}-1}(\sqrt{\lambda} r)\}^{-1}r^{\frac{n}{2}-1}N(u^{+})(r)$是个关于$r$的非减函数.并由条件(1.3) 得$N(u^{+})(r)\equiv 0$. 故对于任意的$Y$且$|Y|>0$,知$u^{+}(X,Y)$在$\Omega$上几乎处处为零. 从而由$u^{+}(X,Y)$的体积中值定理知,对于任意的$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$ 有$ u(X,Y)\leq 0.$

最后,证明若$c<0,$ 则条件(1.4)变成$u(x)\leq c$是错误的.

下面,构造${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的调和函数$h(X,Y)$,使得当$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$时,有$-1

设$R >0,$ 因为"截断的"广义带型区域$TE_{m+n}(\Omega; R)$是正则区域,故边界值问题

$$\left\{\begin{array}{ll}\Delta_{m+n} v(X,Y)=0,& \ \ \ (X,Y)\in TE_{m+n}(\Omega; R),\\v(X,Y)=-1,& \ \ \ (X,Y)\in \partial TE_{m+n}(\Omega; R) \end{array}\right. $$有解,记为$h_R(X,Y).$ 它在$TE_{m+n}(\Omega;R)$内部没有非负的最大值,但在边界上可以取到(负的)最小值. 故对于任意的$(X,Y)\in TE_{m+n}(\Omega;R)$,有$-1< h_R(X,Y)<0.$ 若$0< R_1< R_2<\infty$,则对于任意的$(X,Y)\in \Omega \times \{Y\in {{\Bbb R}}^{n};|Y|=R_{1}\}$,有$h_{R_1}(X,Y)=-1.$ 而此时,$h_{R_2}(X,Y)>-1.$故对于任意的$(X,Y)\in TE_{m+n}(\Omega;R_1)$,有 $$-1另外,$\lim\limits_{R\rightarrow\infty}h_{R}(X,Y)=h(X,Y).$则$h(X,Y)$是${\Bbb E}_{m+n}(\Omega)$中的调和函数.另由最大模原理知,对于任意的$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$ 有$-1

显然,对于任意的$(X,Y)\in \partial {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$ 有$h(X,Y)=-1$. 但是,对于任意的$(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega),$$h(X,Y)$不为常数. 若令

$$\beta=\sup\limits_{(X,Y)\in{\Bbb E}_{m+n}(\Omega)}h(X,Y), $$ 则$-1<\beta\leq 0.$ 定义函数 $$h_0(X,Y)=\frac{c}{\beta+1}(\beta-h(X,Y)). $$

若$c<0,$ 则$h_0(X,Y)|_{\partial {\Bbb E}_{m+n}(\Omega)}=c<0,$ 但是

$$\sup\limits_{(X,Y)\in {\Bbb E}_{m+n}(\Omega)}h_0(X,Y)=0. $$故条件(1.4)中的$c^{+}$不能用$c$来替代. 综上,定理1证毕.