杨乐和张广厚的重大成果之一,是构造了具有给定奇异方向的亚纯函数^[1]. 本文希望将此结果做到代数体函数,经过努力,只对无限级代数体函数做出类似结果. 本文先研究了圆盘内的$k$-值代数体函数,证明了一些定理.然后利用这些定理构造了具有给定Borel方向的无穷级代数体函数.本文使用的术语,符号,一般与文献[1, 2, 3, 4]中相同.

定义1.1 设$A_k(z),A_{k-1}(z),\cdots,A_0(z)$是区域$D$内一组没有公共零点的解析函数,我们称由二元复方程

\[\Psi (z,W) = {A_k}(z){W^k} + {A_{k - 1}}(z){W^{k - 1}} + \cdots + {A_0}(z) = 0\]

(1.1)

所确定的$k$值函数$W=W(z)$为$D$上的$k$值代数体函数^[5].

若$\Psi(z,W)$是不可约的,则称$W(z)$是$D$上的$k$值不可约代数体函数,即通常的$k$值代数体函数.

若$\Psi(z,W)$在亚纯函数环上是没有非亚纯函数重因子的多项式,则结式$R(\Psi,\Psi_W)$不会恒等于零^{[3, 4]},则称$W(z)$是$D$上的无重因子$k$值代数体函数.

注1.1 1) 显然,不可约代数体函数一定是无重因子代数体函数,无重因子代数体函数一定是代数体函数;

2) 通常的代数体函数$W(z)$,即不可约代数体函数,有良好的性质,它是连通黎曼曲面上的单值函数,即不可能有二个相同的正则函数元素,极元素,代数元素. 它的缺点是,$\Psi(z,W)$在局部区域上可能是可约的,即$W(z)$在局部可能不是不可约代数体函数,故不便运用通常代数体函数的定理,而且验证二元复方程(1.1)是否可约有相当的难度;

3) 无重因子代数体函数$W(z)$也是黎曼曲面上的单值函数,并且Nevanlinna的二个基本定理也成立(见文献[4]).但它的黎曼曲面可能是不连通的,可能分成几个不同的连通分支. $\Psi(z,W)$在局部区域上也可能可约,但$W(z)$在局部区域上也一定是无重因子代数体函数,而且对 $\Psi(z,W)$和它的导函数 $\Psi_W$使用辗转相除的办法,容易判断它是否有重因子;

4) 代数体函数$W(z)$在局部区域上也一定是代数体函数,无须判定 $\Psi(z,W)$是否可约,是否有重因子.它的缺点是$W(z)$在黎曼曲面上可能不是单值,即可能出现一些完全相同的连通分支.但对奇异方向等仅关注区域内值点个 数的研究,针对代数体函数,并无不妥.

在通常不可约代数体函数的基础上,证明代数体函数的两个Nevanlinna基本定理,并没有什么困难.在文献[4]中,对复平面或单位圆盘上的代数体函数,已经说明了Nevanlinna第一基本定理成立；对无重因子代数体函数,在文献[4]中,也证明了Nevanlinna第二基本定理成立.下面将证明在复平面及单位圆盘,对代数体函数,Nevanlinna第二基本定理也是正确的.

定义2.1 设$W(z)$是$\{z:|z|< R\}$上非常数的$k$值代数体函数,若有变量$X$满足

(1) 若$R=+\infty$,$W(z)$是有限级代数体函数,则

$$ X=O\{\log T(r,W)\}+O\{\log r\}=O\{\log r\}. $$ 在$r\rightarrow+\infty$的过程中,$r$可以取任何正实数.

(2) 若$R=+\infty$,$W(z)$是无限级代数体函数,则

$$ X=O\{\log T(r,W)\}+O\{\log r\}=O\{\log [rT(r,W)]\}, $$ 在$r\rightarrow +\infty$的过程中,$r$至多除去一个测度为有限的例外点集$E_0$.

(3) 若$R\in (0,+\infty)$,则

$$ X=O\Big\{\log ^+ T(r,W) +\log\frac{1}{R-r}\Big\}. $$ 在$r\rightarrow R$的过程中,$r$的取值要除去一个例外集合$E_0$. 在这个例外集上的积分满足$\int_{E_0}\frac{{\rm d}r}{R_0-r}\leq 2$.并且对任意$\rho \in (r_0,R_0)$,$\rho^\prime\in(R_0-\frac{R_0-\rho}{{\rm e}^2},R_0)$,在区间$(\rho,\rho^\prime)$内,必存在不属于$E_0$的点.

则称变量$X$对$W(z)$满足余项条件,记为$S(r,W)$.

定理2.1 设$W(z)$是圆盘$\{z:|z|< R\}$(或复平面)内由二元复方程

$\Psi(z,W)= A_k(z)W^k+A_{k-1}(z)W^{k-1}+\cdots+A_0(z)=0$

(2.1)

确定的$k$值代数体函数,设$a_t\ (t=1,2,\cdots,p)$ 是$p$个不同的复数(有穷或否),则对任意$r\in(0,R)$,恒有

$$(p-2k)T(r,W)<\sum\limits_{t=1}^pN(r,W=a_t)-N_1(r,W)+S(r,W), $$ 这里$N_1(r,W)$ 是有限及无限重值点的密指量,$\tau$重值点计算$\tau-1$ 次.

证 设$\Psi(z,W)$可分解成$s$ ($s\geq 1$)个不可约因子

$$\Psi(z,W)=\Psi_1(z,W)\cdot \Psi_2(z,W)\cdot \cdots \cdot \Psi_{s}(z,W), $$ 其中$\Psi_j(z,W)$ ($j=1,2,\cdots,s$)决定的不可约$k_j$ ($k=k_1+k_2+\cdots+k_s$)值代数体函数记为$W_j(z)$.对每一个$j$,结合通常不可约代数体函数的第二基本定理可得 $$(p-2)k_jT(r,W_j)<\sum\limits_{t=1}^pk_jN(r,W_j=a_t)-k_jN_1(r,W_j)+k_jN_x(r,W_j)+S(r,W_j). $$ 于是我们有\begin{eqnarray*}(p-2)\sum\limits_{j=1}^{s}k_jT(r,W_j)&<&\sum\limits_{t=1}^p\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN(r,W_j=a_t)-\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN_1(r,W_j)\\&&+\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN_x(r,W_j)+\sum\limits_{j=1}^{s}S(r,W_j).\end{eqnarray*}故结合通常不可约代数体函数的分支点定理可得\begin{eqnarray*}(p-2)\sum\limits_{j=1}^{s}k_jT(r,W_j)&<&\sum\limits_{t=1}^p\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN(r,W_j=a_t)-\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN_1(r,W_j)\\&&+\sum\limits_{j=1}^{s}k_j(2k_j-2)T(r,W_j)+\sum\limits_{j=1}^{s}S(r,W_j)\\&\leq & \sum\limits_{t=1}^p\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN(r,W_j=a_t)-\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN_1(r,W_j)\\&&+(2k-2)\sum\limits_{j=1}^{s}k_jT(r,W_j)+\sum\limits_{j=1}^{s}S(r,W_j).\end{eqnarray*}即 $$(p-2k)\sum\limits_{j=1}^{s}k_jT(r,W_j)<\sum\limits_{t=1}^p\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN(r,W_j=a_t)-\sum\limits_{j=1}^{s}k_jN_1(r,W_j)+\sum\limits_{j=1}^{s}S(r,W_j). $$ 注意对任意 $r\in(0,R)$,容易用定义验证 $$kN(r,W=b)=k_1N(r,W_1=b)+k_2N(r,W_2=b)+\cdots+ k_sN(r,W_s=b). $$ $$kT(r,W)= k_1T(r,W_1)+ k_2T(r,W_2)+\cdots+k_sT(r,W_s). $$ $$kN_1(r,W)=k_1N_1(r,W_1)+ k_2N_1(r,W_2)+\cdots+ k_sN_1(r,W_s). $$ 于是有 $$(p-2k)kT(r,W)<\sum\limits_{t=1}^pkN(r,W=a_t)-kN_1(r,W)+\sum\limits_{j=1}^{s}S(r,W_j). $$ 再结合$ T(r,W_j)\leq T(r,W)$,即得 $$(p-2k)T(r,W)<\sum\limits_{t=1}^pN(r,W=a_t)-N_1(r,W)+S(r,W). $$ 证毕.

定理2.2 设$W(z)$是圆盘$G=\{z:|z|< R\}$内由二元复方程(2.1)定义的$k$值代数体函数,则

$$\begin{gathered} T(r,W) = \frac{1}{{2k\pi }}\int_0^{2\pi } N (r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0){\text{d}}\alpha \hfill \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; + \frac{1}{k}\sum\limits_{j = 1}^t {{{\log }^ + }} |{d_j}(0)| + \frac{1}{k}\log |{A_t}(0)| - \frac{1}{k}\log |{c_k}|,\hfill \\ \end{gathered} $$ 其中$d_1(0),d_2(0),\cdots,d_t(0)$是$\Psi(0,W)=0$的$t\ (1\leq t\leq k)$个有穷复数根,$c_k$表示$A_k(z)$在原点的罗朗展式中的第一个非零系数.

定理2.2的证明需要下述引理.

引理2.1^[2] 设$a$是有限复数,则

$$\frac{1}{2\pi}\int^{2\pi}_0\log |a-{\rm e}^{{\rm i}\theta}|{\rm d}\theta =\log^+|a|. $$

定理2.2的证明 设$t\in\{1,\cdots,k\}$满足

$$A_k(0)=A_{k-1}(0)=\cdots=A_{t+1}(0)=0,~~ A_{t}(0)\ne 0, $$ 则由方程(2.1)和韦达定理得

\[\begin{gathered} \Psi (0,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = {A_t}(0){{\text{e}}^{{\text{i}}t\alpha }} + {A_{t - 1}}(0){{\text{e}}^{{\text{i}}(t - 1)\alpha }} + \cdots + {A_0}(0) \\ = {A_t}(0)({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {d_1}(0))({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {d_2}(0)) \cdots ({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {d_t}(0)),\\ \end{gathered} \]

(2.2)

其中$d_1(0),d_2(0),\cdots,d_t(0)$是$\Psi(0,{\rm e}^{{\rm i}\alpha})=0$的$t$个有穷复数根.

用经过所有临界点的连续曲线将圆盘$G$割开成单连通区域$G^-$,设$W(z)$在$G^-$上分离成$k$个单值分支$\{W_j(z)\}^k_{j=1}$,则对任意$z\in G^-$,

\[\begin{gathered} \Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = {A_k}(z){{\text{e}}^{{\text{i}}k\alpha }} + {A_{k - 1}}(z){{\text{e}}^{{\text{i}}(k - 1)\alpha }} + \cdots + {A_0}(z) \\ = {A_k}(z)({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {W_1}(z))({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {W_2}(z)) \cdots ({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {W_k}(z)). \\ \end{gathered} \]

(2.3)

由(2.3)式和引理2.1得

\[\begin{gathered} \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})|{\text{d}}\alpha = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |{A_k}(z)|{\text{d}}\alpha + \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{j = 1}^k {\int_0^{2\pi } {\log } } |{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {W_j}(z)|{\text{d}}\alpha \\ = \log |{A_k}(z)| + \sum\limits_{j = 1}^k {{{\log }^ + }} |{W_j}(z)|. \\ \end{gathered} \]

(2.4)

令$z=r{\rm e}^{{\rm i}\theta}$,由亚纯函数$\Psi(z,{\rm e}^{{\rm i}\alpha})$的Jensen公式,(2.2)式和引理2.1得

\[\begin{gathered} \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\left\{ {\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\Psi (r{{\text{e}}^{{\text{i}}\theta }},{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})|{\text{d}}\theta } \right\}} {\text{d}}\alpha \hfill \\ = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |{A_t}(0)\prod\limits_{j = 1}^t {({{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {d_j}(0))} |{\text{d}}\alpha + \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } N (r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0){\text{d}}\alpha \hfill \\ = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |{A_t}(0)|{\text{d}}\alpha + \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{j = 1}^t {\int_0^{2\pi } {\log } } |{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {d_j}(0)|{\text{d}}\alpha \hfill \\ + \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } N (r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0){\text{d}}\alpha = \log |{A_t}(0)| + \sum\limits_{j = 1}^t {{{\log }^ + }} |{d_j}(0)| + \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } N (r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) \hfill \\ = \log |{A_t}(0)| + \sum\limits_{j = 1}^t {{{\log }^ + }} |{d_j}(0)| + \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } N (r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0){\text{d}}\alpha . \hfill \\ \end{gathered} \]

(2.5)

另一方面,对(2.4)式两边关于$\theta$积分,并交换积分顺序得

\[\begin{gathered} \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\left\{ {\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\Psi (r{{\text{e}}^{{\text{i}}\theta }},{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})|{\text{d}}\theta } \right\}} {\text{d}}\alpha \hfill \\ = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |{A_k}(r{{\text{e}}^{{\text{i}}\theta }})|{\text{d}}\theta + \frac{1}{{2\pi }}\sum\limits_{j = 1}^k {\int_0^{2\pi } {{{\log }^ + }} } |{W_j}(r{{\text{e}}^{{\text{i}}\theta }})|{\text{d}}\theta \hfill \\ = \log |{c_k}| + N(r,{A_k} = 0) + \sum\limits_{j = 1}^k m (r,{W_j}) \hfill \\ = \log |{c_k}| + kT(r,W). \hfill \\ \end{gathered} \]

(2.6)

再结合(2.5)和(2.6)式即得定理2.2.

定义2.2 设$A_j(z) (j=0,1,\cdots,k)$为方程(2.1)中的一组无公共零点的解析函数,令$A(z)=\max\{|A_j(z)|:j=0,1,\cdots,k \}$,定义

$$ \mu(r,A)=\frac{1}{2k\pi}\int^{2\pi}_0 \log A(r{\rm e}^{{\rm i}\theta}){\rm d}\theta. $$

定理2.3 设$W(z)$是圆盘$G=\{z:|z|< R\}$内由二元复方程(2.1)定义的$k$值代数体函数,则

$$\left|T(r,W) - \mu(r,A) + \frac{1}{k} \log |c_k|\right|\leq \log2, $$ 其中$c_k$表示$A_k(z)$在原点的罗朗展式中第一个非零系数.

证 ⅰ) 由于

\[\begin{gathered} \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})|{\text{d}}\alpha = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\sum\limits_{j = 0}^k {\left( {{A_j}(z){{\text{e}}^{{\text{i}}j\alpha }}} \right)} |{\text{d}}\alpha \\ \leqslant \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } (\sum\limits_{j = 0}^k | {A_j}(z)){\text{d}}\alpha \\ = \log \sum\limits_{j = 0}^k | {A_j}(z)| \\ \leqslant \log (k + 1)A(z) \\ = \log A(z) + \log (k + 1). \\ \end{gathered} \]

(2.7)

令$z=r{\rm e}^{{\rm i}\theta}$,由亚纯函数$\Psi(z,{\rm e}^{{\rm i}\alpha})$的Jensen公式和(2.2)式得

\[\begin{gathered} \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\Psi (r{{\text{e}}^{{\text{i}}\theta }},{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})|{\text{d}}\theta \hfill \\ = \log |\Psi (0,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})| + N(r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0) \hfill \\ = \log |{A_t}(0)| + \sum\limits_{j = 1}^t {\log } |{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }} - {d_j}(0)| + N(r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0). \hfill \\ \end{gathered} \]

(2.8)

对(2.8)式两边关于$\alpha$积分,再由引理2.1和定理2.2得

\[\begin{gathered} \frac{1}{{2k\pi }}\int_0^{2\pi } {\left\{ {\frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |\Psi (r{{\text{e}}^{{\text{i}}\theta }},{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }})|{\text{d}}\theta } \right\}} {\text{d}}\alpha \hfill \\ = \frac{1}{k}\log |{A_t}(0)| + \frac{1}{k}\sum\limits_{j = 1}^t {{{\log }^ + }} |{d_j}(0)| + \frac{1}{{2k\pi }}\int_0^{2\pi } N (r,\Psi (z,{{\text{e}}^{{\text{i}}\alpha }}) = 0){\text{d}}\alpha \hfill \\ = T(r,W) + \frac{{\log |{c_k}|}}{k}. \hfill \\ \end{gathered} \]

(2.9)

再结合(2.7)和(2.9)式得

\begin{eqnarray*}T(r,W)+\frac{\log |c_k|}{k}&\leq& \frac{1}{2k\pi}\int^{2\pi}_0 \log A(z){\rm d}\theta + \frac{1}{2k\pi}\int^{2\pi}_0 \log (k+1) {\rm d}\theta\\&=&\mu (r,A) + \frac{1}{k} \log (k+1).\end{eqnarray*} 即 $$T(r,W)-\mu(r,A)+\frac{\log |c_k|}{k}\leq \frac{1}{k} \log (k+1)\leq \log2. $$

ⅱ) 设$x\geq 0,$ 记$x^+=\max \{x,1\}$. 对任意$j\in\{0,1,\cdots,k-1\}$,由韦达定理得

\begin{eqnarray*}\left|\frac{A_j(z)}{A_k(z)}\right|&=&|(-1)^{k-j}\sum(W_{t_1}(z)W_{t_2}(z)\cdots W_{t_{k-j}}(z))|\\&\leq & \sum|W_{t_1}(z)W_{t_2}(z)\cdots W_{t_{k-j}}(z)|\\&\leq & \sum|W_{1}(z)|^+|W_{2}(z)|^+\cdots |W_{k-j}(z)|^+\cdots |W_k(z)|^+\\&=&\frac{k(k-1)\cdots (k-j+1)}{1\cdot 2\cdots j}\prod\limits_{j=1}^k|W_j(z)|^+\\& <& 2^k\prod\limits_{j=1}^k|W_j(z)|^+ .\end{eqnarray*} 故有 $$\log |A_j(z)|\leq \log|A_k(z)|+ \sum^k_{j=1}\log^+|W_j(z)|+k\log 2 . $$ 由$j$的任意性得

\[\log A(z) \leqslant \log |{A_k}(z)| + \sum\limits_{j = 1}^k {{{\log }^ + }} |{W_j}(z)| + k\log 2.\]

(2.10)

令$z=r{\rm e}^{{\rm i}\theta}$,对(2.10)式两边关于$\theta$积分,再结合亚纯函数$A_k(z)$的Jensen公式得 \begin{eqnarray*}\mu(r,A)&=& \frac{1}{2k\pi}\int^{2\pi}_0 \log A(z){\rm d}\theta\\ &\leq&\frac{1}{2k\pi}\int^{2\pi}_0 \log |A_k(z)|{\rm d}\theta+\frac{1}{2k\pi}\int^{2\pi}_0 \sum^k_{j=1}\log^+|W_j(z)|{\rm d}\theta + \log 2 \\&\leq & \frac{\log|c_k|}{k}+\frac{1}{k}N(r,A_k(z)=0)+m(r,W) + \log 2 \\&=&\frac{\log|c_k|}{k}+T(r,W) + \log 2.\end{eqnarray*} 证毕.

定义3.1 (1) 设$s(r)$是$(0,1)$内的非负且非减实函数,定义$s(r)$的级为

$$\rho(s(r))=\limsup\limits_{r\rightarrow 1} \frac{\log s(r) }{-\log (1-r)}. $$

(2) 设$s(r)$是$(0,\infty)$内的非负且非减实函数,定义$s(r)$的级为

$$\rho(s(r))=\limsup\limits_{r\rightarrow \infty} \frac{\log s(r) }{\log r}. $$

(3) 设$W(z)$为单位圆盘内或复平面上的$k$值代数体函数,则分别定义其特征函数$T(r,W)$在$(0,1)$或$(0,\infty)$内的级为$W(z)$的级.

定义3.2 (1) 设$W(z)$是单位圆盘内$k$值代数体函数(包括圆内亚纯函数),若对任意$b\in \mathbb{C}_\infty$(至多有$2k$个例外值)和任意$\epsilon>0$,$n(r,\theta-\epsilon,\theta+\epsilon,W=b)$的级恒为$\rho$,则称${\rm e}^{{\rm i}\theta}$是$W(z)$的$\rho$级Borel点.若$n(r,\theta-\epsilon,\theta+\epsilon,W=b)$的级至少为$\rho$,则称${\rm e}^{{\rm i}\theta}$是$W(z)$的至少为$\rho$级的Borel点,其中$n(r,\theta-\epsilon,\theta+\epsilon,W=b)$表示$W(z)-b$在区域$\{z:|z|< r\}\cap\{z: |\arg z-\theta|< \epsilon\}$内零点个数.

(2) 设$W(z)$是复平面上的$k$值代数体函数(包括复平面上的亚纯函数),若对任意$b\in \mathbb{C}_\infty$(至多有$2k$个例外值)和任意$\epsilon>0$,$n(r,\theta-\epsilon,\theta+\epsilon,W=b)$的级恒为$\rho$,则称$\arg z=\theta$是$W(z)$的$\rho$级Borel方向.特别地,当$\rho=+\infty$时,称$\arg z=\theta$是$W(z)$的无穷级Borel方向.若$n(r,\theta-\epsilon,\theta+\epsilon,W=b)$的级至少为$\rho$,则称$\arg z=\theta$是$W(z)$的至少为$\rho$级的Borel方向.

引理3.1^[7] 设$W(z)$为$k$值代数体函数或亚纯函数,$a\in\mathbb{C}_\infty,$ $ r \in (0,1)$,若$n(r,W=a)$的级$\rho(n(r,W=a))\geq1$,则有

$$\rho(n(r,W=a))=1+\rho(N(r,W=a)). $$

引理3.2^[7] 设$\eta \in[0,2\pi),$ $ t\in (0,\pi]$,

$$ \omega(z)=\frac{(z{\rm e}^{-{\rm i}\eta })^\frac{\pi }{2t}-1}{(z{\rm e}^{-{\rm i}\eta })^\frac{\pi}{2t}+1}, $$ 则$\omega(z)$将角域$\Omega (\eta -t,\eta +t)=\{z:\eta-t<\arg z<\eta+t\}$映射到单位圆盘$|\omega |<1$,且

(1) 对任意的$\sigma\in (0,t)$和充分大的$r$,有

$$\omega\left(\Omega (\eta-t+\sigma,\eta +t-\sigma)\cap \Big\{\frac{1}{2}\leq |z|\leq r\Big\}\right)\subset \left\{\omega : |\omega|<\sqrt{1-\frac{2\sigma}{t}r^{-\frac{\pi }{2t}}}\right\}. $$

(2) 对$r>1$,有

$$\Big\{\omega:|\omega|<\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{2t}}}\Big\}\subset\omega \Big(\Omega (\eta -t,\eta +t)\cap \{ 0\leq |z|\leq r\}\Big). $$

定理A^[6] 设$h(r)$是$[a,\infty)$上的一个非减的正值函数,$\lim\limits_{r\rightarrow\infty}h(r)=\infty$,$E$是任意非空闭实数集(mod $2\pi$),$\rho(\theta)$是$E$上的上半连续函数满足$0\leq \rho (\theta)\leq \infty$.令

$$\rho_0=\max\{\rho(\theta); \theta\in E\}, $$ 则存在复平面上关于$h(r)$的$\rho_0$级亚纯函数$f(z)$,使得所有的射线$\arg z=\theta\in E$是$f(z)$的关于$h(r)$的$\rho(\theta)$级Borel方向,且$f(z)$没有其它的奇异方向.

由定理A可得

引理3.3 设$E$是任意非空闭实数集(mod $2\pi$),则存在复平面上的无穷级亚纯函数$f(z)$,使得所有的射线$\arg z=\theta\in E$是$f(z)$的无穷级Borel方向,且$f(z)$没有其它的奇异方向.

定理3.1设$E$是任意非空闭实数集(mod $2\pi),$则存在复平面上的无穷级代数体函数$W(z)$,使得所有的射线arg $z=\psi\in E$是$W(z)$的无穷级Borel方向,且$W(z)$没有其它的无穷级Borel方向.

证 由引理3.3,存在复平面上的无穷级亚纯函数$f(z)$,使得所有的射线$\arg z=\psi\in E$是$f(z)$的无穷级Borel方向,且$f(z)$没有其它的奇异方向.又由Hadamard的分解定理得

$$f(z)=\frac{B(z)}{G(z)}, $$ 其中$B(z),G(z)$为整函数满足 $$\rho(f)=\max\{\rho(G),\rho(B)\}. $$ 任取$K-1$个多项式$P_0(z),P_1(z),\cdots,P_{k-2}(z)$,使得$B(z),G(z),P_0(z),P_1(z),\cdots,P_{k-2}(z)$在复平面上无公共零点,则由方程

\[\begin{gathered} \hfill \Psi (z,W) = G(z){W^k} + B(z){W^{k - 1}} + G(z){P_{k - 2}}(z){W^{k - 2}} \\ \hfill + G(z){P_{k - 3}}(z){W^{k - 3}} + \cdots + G(z){P_0}(z) = 0 \\ \end{gathered} \]

(3.1)

确定了复平面上的$k$值代数体函数$W(z)$.下面我们分两步证明方程(3.1)确定的$k$值代数体函数$W(z)$满足定理的结论.

第一步 我们证明每一条射线$\arg z=\psi\in E$都是$W(z)$的无穷级Borel方向.

任取$\psi\in E$,由于$\arg z=\psi$为$f(z)$的无穷级Borel方向,所以对充分小的$\sigma>0$和任意的$p>\frac{\pi}{4\sigma}$,有

\[\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\log n(r,\psi - \sigma ,\psi + \sigma ,f(z) = b)}}{{\log r}} > p,\]

(3.2)

其中$b$为某一不是例外值的复数.令

\[\omega (z) = \frac{{{{(z{{\text{e}}^{ - {\text{i}}\psi }})}^{\frac{\pi }{{4\sigma }}}} - 1}}{{{{(z{{\text{e}}^{ - {\text{i}}\psi }})}^{\frac{\pi }{{4\sigma }}}} + 1}},\]

(3.3)

则$\omega(z)$将角域$\Omega(\psi -2\sigma ,\psi +2\sigma)$映射到单位圆盘$|\omega |<1$.记其逆变换为$z(\omega)$,由引理3.2和(3.2)式得 \begin{eqnarray*} p&<&\limsup\limits_{r\to\infty}\frac{\log n(r,\psi -\sigma,\psi+\sigma,f(z)=b)}{\log r}\\&\leq& \limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n\Big(\sqrt{1- r^{-\frac{\pi}{4\sigma }}},f(z(\omega))=b\Big)}{\log r}\\&=& \limsup\limits_{r\to \infty} \Bigg\{\frac{\log n\Big(\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}},f(z(\omega))=b\Big)}{-\log (1-\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})} \cdot\frac{-\log (1-\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}{\log r}\Bigg\}\\&=& \frac{\pi }{4\sigma} \limsup\limits_{r\to \infty} \frac{\log n\Big(\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}},f(z(\omega))=b\Big)}{-\log (1-\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}.\end{eqnarray*} 因此我们得 $$\rho\Big(n(t,f(z(\omega))=b)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi }>1. $$ 再结合引理3.1得

\[\rho (N(t,f(z(\omega )) = b)) > \frac{{4\sigma p}}{\pi } - 1 > 0.\]

(3.4)

因此由(3.4)式和亚纯函数的Nevanlinna第一基本定理得

\[\rho (f(z(\omega ))) > \frac{{4\sigma p}}{\pi } - 1.\]

(3.5)

令 $$g(z(\omega))=\max\{|G(z(\omega))|,|B(z(\omega))|\}, $$ 则

\[g(z(\omega )) = |\frac{{B(z(\omega ))}}{{G(z(\omega ))}}{|^ + } \cdot |G(z(\omega ))|,\]

(3.6)

其中$|x|^+=\max\{1,x\}$.从而由(3.6)式,定义2.2和亚纯函数的Jensen公式得

\[\begin{gathered} k\mu (t,g(z(\omega ))) = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log g} (z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }})){\text{d}}\vartheta \\ = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\log }^ + }} |\frac{{B(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))}}{{G(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))}}|{\text{d}}\vartheta + \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |G(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))|{\text{d}}\vartheta \\ = m(t,\frac{{B(z(\omega ))}}{{G(z(\omega ))}}) + N(t,G(z(\omega )) = 0) + O(1) \\ \geqslant T(t,\frac{{B(z(\omega ))}}{{G(z(\omega ))}}) + O(1). \\ \end{gathered} \]

(3.7)

因此由(3.1),(3.5),(3.7)式和定理2.3得

$\rho(W(z(\omega)))\geq \rho(\mu (t,g(z(\omega)))\geq \rho\bigg(\frac{B(z(\omega))}{G(z(\omega))}\bigg)=\rho(f(z(\omega)))\geq\frac{4\sigma p}{\pi}-1.$

(3.8)

又由定理2.1和(3.8)式得:对任意复数$d$ (至多除去$2k$个例外值),有

$\rho\Big(N(t,W(z(\omega))=d)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi}-1.$

(3.9)

再结合引理3.1和(3.9)式得:对任意复数$d$ (至多除去$2k$个例外值),有

$\rho\Big(n(t,W(z(\omega))=d)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi}.$

(3.10)

从而由引理3.2和(3.10)式得:对任意复数$d$ (至多除去$2k$个例外值),有 \begin{eqnarray*}\frac{4\sigma p}{\pi }&<&\limsup\limits_{t\to 1}\frac{\log n(t,W(z(\omega))=d)}{-\log(1- t)} \\&=&\limsup\limits_{r\to\infty}\frac{\log n(\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma}}},W(z(\omega))=d)}{-\log(1-\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}\\&\leq &\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi -2\sigma,\psi +2\sigma ,W(z)=d)}{-\log(1-\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma}}})} \\&=&\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi-2\sigma ,\psi +2\sigma ,W(z)=d)}{\log r}\cdot \frac{\log r}{-\log(1-\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})} \\&=&\frac{4\sigma}{\pi }\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi -2\sigma,\psi +2\sigma ,W(z)=d)}{\log r}.\end{eqnarray*} 因此由上式和$p$的任意性可得射线$\arg z=\psi\in E$是$W(z)$的无穷级Borel方向.

第二步 我们证明如果$\psi \not\in E$,则射线$\arg z=\psi$不是$W(z)$的无穷级Borel方向.

假设$\arg z=\psi\not\in E$是$W(z)$的无穷级Borel方向,则对充分小的$\sigma>0$和任意的$p>\frac{\pi}{4\sigma}$,有

$\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi-\sigma,\psi+\sigma ,W(z)=b)}{\log r}>p,$

(3.11)

其中$b$为某一不是例外值的复数. 再结合(3.3),(3.11)式和引理3.2得 \begin{eqnarray*}p&<&\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi -\sigma,\psi+\sigma,W(z)=b)}{\log r}\\&\leq& \limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n\Big(\sqrt{1-r^{-\frac{\pi}{4\sigma }}},W(z(\omega))=b\Big)}{\log r}\\&=&\limsup\limits_{r\to \infty} \frac{\log n\Big(\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}},W(z(\omega))=b\Big)}{-\log(1-\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})} \cdot\frac{-\log(1-\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}{\log r}\\&=& \frac{\pi}{4\sigma } \limsup\limits_{r\to \infty} \frac{\log n\Big(\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}},W(z(\omega))=b\Big)}{-\log(1-\sqrt{1-r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}.\end{eqnarray*} 因此我们得 $$\rho\Big(n(t,W(z(\omega))=b)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi }>1. $$ 再结合引理3.1得

$\rho\Big(N(t,W(z(\omega))=b)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi }-1>0.$

(3.12)

因此由(3.12)式得

$\rho\Big(W(z(\omega))\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi}-1.$

(3.13)

令 \begin{eqnarray*}A(z(\omega))&=&\max\Big\{|G(z(\omega))|,|B(z(\omega))|,|G(z(\omega))P_{k-2}(z(\omega))|,\\&&\qquad ~ |G(z(\omega))P_{k-3}(z(\omega))|,\cdots,|G(z(\omega))P_0(z(\omega))|\Big\},\end{eqnarray*} 则

$A(z(\omega))=\max\bigg\{\bigg|\frac{B(z(\omega))}{G(z(\omega))}\bigg|^+,|P_{k-2}(z(\omega))|^+,|P_{k-3}(z(\omega))|^+,\cdots,|P_0(z(\omega))|^+\bigg\}\cdot|G(z(\omega))|.$

(3.14)

从而由(3.14)式和定义2.2得

\[\begin{gathered} k\mu (t,A(z(\omega ))) = \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log A} (z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }})){\text{d}}\vartheta \hfill \\ \leqslant \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {{{\log }^ + }} |\frac{{B(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))}}{{G(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))}}|{\text{d}}\vartheta + \sum\limits_{j = 0}^{k - 2} {\frac{1}{{2\pi }}} \int_0^{2\pi } {{{\log }^ + }} |{P_j}(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))|{\text{d}}\vartheta \hfill \\ + \frac{1}{{2\pi }}\int_0^{2\pi } {\log } |G(z(t{{\text{e}}^{{\text{i}}\vartheta }}))|{\text{d}}\vartheta + \log (k + 1) \hfill \\ \leqslant m(t,f(z(\omega ))) + \sum\limits_{j = 0}^{k - 2} m (t,{P_j}(z(\omega ))) + m(t,G(z(\omega ))) + \log (k + 1). \hfill \\ \end{gathered} \]

(3.15)

因此由(3.1),(3.13),(3.15)式和定理2.3得

\[\rho (f(z(\omega ))) > \rho (\mu (t,A(z(\omega )))) = \rho (W(z(\omega ))) > \frac{{4\sigma p}}{\pi } - 1.\]

(3.16)

又由(3.16)式和单位圆盘内的亚纯函数的第二基本定理得:对任意复数$d$ (至多除去2个例外值),有

$\rho\Big(N(t,f(z(\omega))=d)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi}-1.$

(3.17)

再结合引理3.1和(3.17)式得:对任意复数$d$ (至多除去2个例外值),有

$\rho\Big(n(t,f(z(\omega))=d)\Big)>\frac{4\sigma p}{\pi}.$

(3.18)

从而由引理3.2和(3.18)式得:对任意复数$d$ (至多除去2个例外值),有 \begin{eqnarray*}\frac{4\sigma p}{\pi }&<&\limsup\limits_{t\to 1}\frac{\log n(t,f(z(\omega))=d)}{-\log(1- t)} \\&=&\limsup\limits_{r\to\infty}\frac{\log n(\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma}}},f(z(\omega))=d)}{-\log(1-\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}\\&\leq &\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi -2\sigma ,\psi +2\sigma ,f(z)=d)}{-\log(1-\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}\\&=&\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi -2\sigma ,\psi +2\sigma ,f(z)=d)}{\log r}\cdot \frac{\log r} {-\log(1-\sqrt{1-4r^{-\frac{\pi }{4\sigma }}})}\\&=&\frac{4\sigma }{\pi }\limsup\limits_{r\to \infty}\frac{\log n(r,\psi -2\sigma ,\psi +2\sigma ,f(z)=d)}{\log r}.\end{eqnarray*} 因此由上式和$p$的任意性可得射线$\arg z=\psi\not\in E$是$f(z)$的一条无穷级Borel方向. 这与$f(z)$在$\arg z=\psi\not\in E$时,没有奇异方向矛盾.定理得证.