离去过程也称输出过程,是评估排队系统性能的主要随机特征之一,能有效反映一个系统的运行效率. 在排队网络中,一个排队系统的离去过程可能是下一个排队系统的到达过程,因此我们可以借助离去过程来近似研究非乘积形式的一般排队网络的性能指标. 此外,分析离去过程还有助于简化排队系统在某些方面的研究. 例如,在排队网络中,端到端 (end-to-end) 的性能分析是非常重要的,而且处理起来较为复杂. 但是,利用离去过程却能够很好地简化端到端的性能研究. Ferng 和 Chang 分别在文献[1]和文献[2]中成功地利用离去过程讨论了一些排队网络的端到端性能. 另外,Giambene^[3] 指出,电信网络中的任何一个节点都可以用一个排队系统来刻画. 因此,离去过程能为衡量一个通讯网络中的某一部分或某个节点的工作效率提供有用的信息. 可见,研究排队系统的离去过程是很有实际意义的.

排队系统离去过程的研究始于Burke^[4],其结论表明对于一个有无限容量的连续时间 $M/M/1/\infty$ 排队,其离去过程是一个泊松过程,且与输入过程服从相同的参数. 然而,对于服务时间为一般分布的 $M/G/1$ 连续时间排队系统,Finch 在文献[5] 中证明了在平稳状态下,顾客的相继离去时间间隔序列并不相互独立. 后来,Daley^[6] 借助协方差也证明了在 $M/G/1$ 连续时间排队中,顾客的相继离去时间间隔序列之间的相互依赖性. 作为对单个到达的推广,一些学者研究了到达过程更为一般的排队系统的离去过程,如 Kempa^[7] 考虑了成批到达的 $M^X/G/1$ 排队系统的离去过程. Lim 等在文献[8] 中研究了具有 Markov 到达过程的 $MAP/G/1$ 排队系统的输出过程,得到了相继离去时间间隔的分布函数. Ferng 和 Chang^[9] 分析了 $BMAP/G/1$ 排队系统的离去过程.

在前面的文献中,关于离去过程的讨论主要集中在相继离去间隔时间的概率性质,而很少考虑顾客的离去数量. 最近,唐应辉^{[10, 11, 12, 13]} 首先运用全概率分解技术和更新过程理论,从在一段时间 $(0,t]$ 内的顾客离去数的角度研究了排队系统的离去过程，所得的研究成果清晰和直观地给出了系统离去过程的特殊结构. 平行于连续时间排队,有关离散时间排队的离去过程也出现了一些研究成果,如 Ferng 和 Chang 在文献[14] 中运用矩阵分析法研究了具有 Markov 到达过程的 $D-MAP/G/1/\infty$ 和 $D-MAP/G/1/K$ 离散时间排队的离去过程. 骆川义在文献[15] 中考虑了具有可变到达率的多重休假 $Geo/G/1$ 离散时间排队的输出过程. 本文考虑具有单重休假和 Min($N,V$) -策略控制的 $Geo/G/1$ 离散时间排队的离去过程. 运用更新过程理论,全概率分解方法和概率母函数技术,不仅讨论了服务员在任意时刻点 $n^+$ 处于忙的概率,而且还讨论了系统从任意初始状态出发,在任意时间 $\left( {{0^ + },{n^ + }} \right]$ 内的平均离去顾客数问题. 此外,我们还给出了便于计算的近似表达式. 值得注意的是,本文得到的离去过程的结构和连续时间休假排队系统的离去过程^{[10, 12, 13]}的结构极为相似.

文章剩余部分的结构安排如下: 在第二节中,我们详细描述了本文所研究的排队模型. 第三节分析了该排队系统的离去过程,包括服务员在任意时刻点 $n^+$ 处于忙的瞬态概率和稳态概率,以及在时间段 $\left( {{0^ + },{n^ + }} \right]$ 内的平均离去顾客数. 在第四节中,我们给出了一些特殊排队系统的离去过程结果. 在第五节里,我们推导出了便于计算平均离去顾客数的渐近表达式. 最后,我们在第六节中总结了本文.

考虑一个具有单重休假和Min$(N,V)$ -策略的 $Geo/G/1$ 离散时间排队系统,顾客相继到达的间隔时间和顾客的服务时间都是非负整数值随机变量,时间轴被分割成间隔时间相等的时隙序列,表示为 $0,1,2,\cdots,n,\cdots$. 进一步假设

(1) 本文讨论的模型是晚到达延迟进入系统 (LAS-DA),即顾客到达只能发生在 $\left( {n^-,n} \right)$ 内,$n=0,1,2,\cdots$,顾客服务的开始和结束都只能发生在 $\left( {n,n^+} \right)$ 内,$n=1,2,\cdots$,在 $\left( {n^-,n} \right)$ 内到达的顾客即使遇到空闲的服务台也不能立即接受服务,需延迟到 $\left( {n,n^+} \right)$ 才开始接受服务 (见图 1).

(2) 顾客相继到达的间隔时间序列 $\tau _k ,~k=1,2,\cdots$,相互独立且服从同一个几何分布 $P\left\{ {\tau _k =j} \right\}=p\left( {1-p} \right)^{j-1},~j=1,2,\cdots,~0<p<1$,即在 $\left( {n^-,n} \right)$ 内以概率 $p$ 到达一个顾客,以概率 $1-p$ 无到达,并且不同时刻的到达行为是相互独立的.

(3) 系统中只有一个服务台且服务规则是先到先服务. 顾客所需服务时间序列 $\chi_k,~k=1,2,\cdots$ 相互独立且服从同一个一般的离散分布 $P\left\{ {\chi _k =j} \right\}=g_j,~j=1,2,\cdots$,其概率母函数记为 $G\left( z \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {{g_j}{z^j}},\left| z \right|<1$,平均服务时间为 $\mu \left( {1\le \mu <\infty } \right)$ 且 $E\left[{\chi _k^2 } \right]<+\infty $.

(4) 服务员采取单重休假规则和系统采取 Min($N,V$) -策略控制,即每当系统变空时,服务员马上开始一次休假,休假长度 $V$ 服从任意分布,其分布律为 $P\left\{ {V=k} \right\}=v_k,(k=0,1,2,\cdots)$,其概率母函数记为 $V\left( z \right) = \sum\limits_{j = 0}^\infty {{v_j}{z^j}}$,平均休假时间 $E\left[V \right]$ 和 $E\left[{V^2} \right]$ 均有限. 在服务员的休假期间,如果系统中到达的顾客数到达了 $N(N\geq1)$ 个,则服务员马上结束休假并立即开始服务; 如果在服务员的休假期间系统中到达的顾客数没有达到 $N$ 个,则服务员等到此次休假结束后才回到系统并开始服务; 如果服务员此次休假结束时系统中没有顾客,则服务员进入通常的空闲期,直到第一个顾客到达并立即开始服务.

(5) 到达间隔时间 $\tau $、服务时间 $\chi $ 和休假时间 $V$ 是相互独立的.

(6) 如果在初始时刻 $n^+=0^+$,系统是空的,则不采取该策略休假,服务员待在系统中等待第一个顾客的到达 (这样的假设更符合实际情况).

为了便于后面讨论,我们先引入一些记号和定义. 本文用 $N\left( {n^+} \right)$ 表示任意时刻 $n^+$ 系统中的顾客数,即在时刻 $n^+$ 的队长. $\rho =p\mu $ 表示系统的交通强度. 对于任意的实数 $p$ 有 $\bar {p}=1-p$. $f\left( z \right)=\frac{pz}{1-\bar {p}z}$ 表示到达间隔时间的概率母函数.

定义3.1 系统闲期是指从系统刚变空的时刻起,直到其后第一个顾客到达的时刻为止这一段时间. 显然地,系统闲期是顾客的剩余到达间隔时间. 令 $\tilde {\tau }_k~(k=1,2,\cdots )$ 表示系统的第 $k$ 个系统闲期长度,则由几何分布的 "无记忆" 性质知,系统闲期长度服从几何分布 $P\left\{ {\tilde {\tau }_k =j} \right\}=p\left( {1-p}\right)^{j-1}$,$j=1,2,\cdots $,$0<p<1$.

定义3.2 服务员忙期是指从服务员开始为顾客服务的时刻起,直到系统再次变空为止的这一段时间.

令 $b$ 表示从一个顾客开始的服务员忙期长度,有如下引理 (见文献[16]).

引理3.1 令$B\left( z \right)= \sum\limits_{j=1}^\infty {P\left\{ {b=j} \right\}z^j,\left| z \right|<1}$,则 $B\left( z \right)$ 满足方程 $B( z )=G[{( {\bar {p}+pB( z } )z}]$,并且有均值

$$ E\left[b \right]=\left\{ {\begin{array}{ll} \frac{\rho }{p\left( {1-\rho } \right)},~~&\rho <1,\\[2mm] \infty,&\rho \ge 1. \\ \end{array}} \right. $$

再令 $b^{\left\langle i \right\rangle }$ 表示由 $i$ 个顾客开始的 "服务员忙期" 长度,则由几何分布的 "无记忆" 性质,$b^{\left\langle i \right\rangle }$ 可表示为 $b^{\left\langle i \right\rangle }=b_1 +b_2 +\cdots +b_i $,$i=1,2,\cdots $,这里 $b_1,b_2,\cdots,b_i $ 相互独立,且与 $b$ 同分布,所以有

$$ \sum\limits_{j=i}^\infty {P\left\{ {b^{\left\langle i \right\rangle }=j}\right\}z^j=B^i\left( z \right),~\left| z \right|<1}. $$

有了前面的准备,我们现在开始讨论服务员在任意时刻点 $n^+$ 处于忙的概率. 令 $\xi \left( {n^+} \right)=-1$、$\xi \left( {n^+} \right)=0$ 和 $\xi \left( {n^+} \right)=1$ 分别表示服务员在时刻点 $n^+$ 处于闲、休假和忙的状态,条件概率 $A_i \left( {n^+} \right)=P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1\left| {N\left( {0^+} \right)=i} \right.} \right\}$ 表示系统从任意初始状态 $N\left( {0^+} \right)=i~\left( {i=0,1,\cdots } \right)$ 出发,在任意时刻 $n^+$ 处服务员忙的瞬态概率,其概率母函数记为

$$a_i \left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^\infty {A_i\left( {n^+} \right)z^n} ,~~\left| z \right|<1. $$

定理3.1 对于 $\left| z \right|<1$,$i\ge 1$,有

\begin{equation} a_0 \left( z \right)=\frac{f\left( z \right)}{1-z}\left\{ {1+\frac{B\left( z\right)\left[{f\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)-\Delta _2 \left(z \right)} \right]}{\Delta _1 \left( z \right)}} \right\},\label{one}\end{equation}

(3.1)

\begin{equation}a_i \left( z \right)=\frac{1}{1-z}\left\{ {1+\frac{B^i\left( z \right)\left[{f\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)-\Delta _2 \left( z \right)}\right]}{\Delta _1 \left( z \right)}} \right\},\label{two}\end{equation}

(3.2)

且对所有的 $i=0,1,2,\cdots $,有

\begin{equation}\label{twooo}\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i \left( {n^+} \right)=\left\{{\begin{array}{ll}p\mu,~~ &\rho <1,\\ 1,&\rho \ge 1,\end{array}} \right.\end{equation}

(3.3)

其中

$$\Delta _1 \left( z \right)=1-B^N\left( z\right)\sum\limits_{u=N}^\infty {P\left\{ {V=u} \right\}\sum\limits_{m=N}^u{z^m\left( {\begin{array}{l} m-1 \\ N-1 \\ \end{array}} \right)p^N\bar {p}^{m-N}} } \\ -\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{u=r}^\infty {P\left\{ {V=u}\right\}z^u\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)\left[{pB\left( z \right)} \right]^r\bar {p}^{u-r}-} }f\left( z \right)B\left( z \right)V(z\bar {p}),\\\Delta _2 \left( z \right)=1-\sum\limits_{u=N}^\infty {P\left\{ {V=u}\right\}\sum\limits_{m=N}^u {\left( {z^u-z^m} \right)\left({\begin{array}{l} m-1 \\ N-1 \\ \end{array}} \right)p^N\bar {p}^{m-N}} } -V\left( z \right)+V\left( {z\bar{p}} \right).$$

证 注意到顾客的到达间隔时间服从几何分布,因此由几何分布的 "无记忆性" 可知,服务员忙期的开始和结束时刻点均为更新时刻点. 当初始状态为 $N\left( {0^+} \right)=0$ 时,系统的可能进程如图 2所示 (图中的服务员实际假期 $H_V $ 是指系统刚变空的时刻起,直到系统中有 $N$ 个顾客或休假时间 $V$ 结束为止的这段时间). 结合模型的假设以及注意到顾客的离去发生在服务员忙期,运用更新过程和全概率分解技术可得

\begin{eqnarray}\label{thr} A_0 \left( {n^+} \right)&=&P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1\left| {N\left({0^+} \right)=0} \right.} \right\} \\&=&P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_1 \le n^+<\tilde {\tau}_1 +b} \right\}+P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_1 +b\le n^+} \right\}\\&=&\sum\limits_{t=1}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 =t} \right\}} P\left\{{b>\left( {n-t} \right)^+} \right\}+P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_2 >V;\tilde {\tau }_1+b+\tilde {\tau }_2 \le n^+} \right\}\\&&+P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_2 \le V;\tilde {\tau}_1 +b+\tilde {\tau }_2 \le n^+} \right\}\\&=&\sum\limits_{t=1}^n {p\bar {p}^{t-1}\left[{1-P\left\{ {b\le \left( {n-t}\right)^+} \right\}} \right]}\\&&+\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t}\right\}\sum\limits_{m=1}^{n-t} {p\bar {p}^{m-1}\sum\limits_{u=1}^{m-1}{P\left\{ {V=u} \right\}A_1 \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} } }\\&&+P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_2 \le V;\tilde {\tau}_1 +b+\tilde {\tau }_2 \le n^+} \right\}.\end{eqnarray}

(3.4)

上面 (3.4) 式中的第三项可进一步分解为

\begin{eqnarray}\label{fou}&&P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_2 \le V;\tilde {\tau }_1+b+\tilde {\tau }_2 \le n^+} \right\}\\&=&P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau }_2 \le V;\tilde {\tau}_1 +b+\tilde {\tau }_2 +\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s } \le n^+;\tilde{\tau }_2 +\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s \le V} } \right\}\\&&+\sum\limits_{r=1}^{N-1} {P\left\{ {\xi \left( {n^+} \right)=1;\tilde {\tau}_1 +b+V\le n^+;\tilde {\tau }_2 +\sum\limits_{s=1}^{r-1} {\tau _s \le V<\tilde {\tau }_2 +\sum\limits_{s=1}^r {\tau _s } } } \right\}}\\&=&\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t}\right\}\sum\limits_{m=N}^{n-t} {P\left\{ {\tilde {\tau }_2+\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s =m} } \right\}P\left\{ {V\ge m}\right\}A_N \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} }\\&&+\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1+b=t} \right\}\sum\limits_{u=r}^{n-t} {P\left\{ {V=u} \right\}\left({\begin{array}{c} u \\ r \\ \end{array}} \right)p^r\bar {p}^{u-r}A_r \left( {\left( {n-t-u} \right)^+}\right)} } }.\end{eqnarray}

(3.5)

将 (3.5) 式代入 (3.4) 式,可得到

\begin{eqnarray}\label{fiv}A_0 \left( {n^+} \right)&=&\sum\limits_{t=1}^n {p\bar {p}^{t-1}\left[{1-P\left\{ {b\le \left( {n-t}\right)^+} \right\}} \right]}\\&&+\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t}\right\}\sum\limits_{m=1}^{n-t} {p\bar {p}^{m-1}\sum\limits_{u=1}^{m-1}{P\left\{ {V=u} \right\}A_1 \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} } }\\&&+\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t}\right\}\sum\limits_{m=N}^{n-t} {P\left\{ {\tilde {\tau }_2+\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s =m} } \right\}P\left\{ {V\ge m}\right\}A_N \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} }\\&&+\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1+b=t} \right\}\sum\limits_{u=r}^{n-t} {P\left\{ {V=u} \right\}\left({\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)p^r\bar {p}^{u-r}A_r \left( {\left( {n-t-u} \right)^+}\right)} } }.\end{eqnarray}

(3.6)

对于 $i\ge 1$,结合图 3,经过类似地分析得到

\begin{eqnarray}\label{six}A_i \left( {n^+} \right)&=&1-\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i \right\rangle }=t}\right\}}\\&&+\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i \right\rangle }=t}\right\}\sum\limits_{m=N}^{n-t} {P\left\{ {\tilde {\tau }_1+\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s =m} } \right\}P\left\{ {V\ge m}\right\}A_N \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} }\\&&+\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i\right\rangle }=t} \right\}\sum\limits_{u=r}^{n-t} {P\left\{ {V=u}\right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)p^r\bar {p}^{u-r}A_r \left( {\left( {n-t-u} \right)^+}\right)} } }\\&&+\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i \right\rangle }=t}\right\}\sum\limits_{m=1}^{n-t} {p\bar {p}^{m-1}\sum\limits_{u=1}^{m-1}{P\left\{ {V=u} \right\}A_1 \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} } }.\end{eqnarray}

(3.7)

在 (3.6) 式和 (3.7) 式两边分别同时乘以 $z^n$ 并对 $n$ 求和,可得

\begin{eqnarray}a_0 \left( z \right)&=&\frac{f\left( z \right)\left[{1-B\left( z \right)}\right]}{1-z}+f\left( z \right)B\left( z \right)\sum\limits_{u=N}^\infty{P\left\{ {V=u} \right\}} \sum\limits_{m=N}^u {z^mP\left\{ {\tilde {\tau }_2+\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s =m} } \right\}a_N \left( z \right)}\\&&+f\left( z \right)B\left( z \right)\sum\limits_{r=1}^{N-1}{\sum\limits_{u=r}^\infty {P\left\{ {V=u} \right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)\left( {zp} \right)^r\left( {z\bar {p}}\right)^{u-r}a_r \left( z \right)} }\\&&+f^2\left( z \right)B\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)a_1 \left( z\right).\label{sev}\\a_i \left( z \right)&=&\frac{1-B^i\left( z \right)}{1-z}+B^i\left( z\right)\sum\limits_{u=N}^\infty {P\left\{ {V=u} \right\}}\sum\limits_{m=N}^u {z^mP\left\{ {\tilde {\tau }_1 +\sum\limits_{s=1}^{N-1}{\tau _s =m} } \right\}a_N \left( z \right)}\\&&+B^i\left( z \right)\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{u=r}^\infty{P\left\{ {V=u} \right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)\left( {zp} \right)^r\left( {z\bar {p}}\right)^{u-r}a_r \left( z \right)} }\\ &&+f\left( z \right)B^i\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)a_1 \left( z \right).\label{egh} \end{eqnarray}

(3.8)

联立 (3.8) 式和 (3.9) 式,可得到 $a_i \left( z \right)$ 和 $a_0 \left( z \right)$ 的关系式如下

\begin{eqnarray}\label{nin} a_i \left( z \right)=\frac{1-B^{i-1}\left( z \right)}{1-z}+\frac{B^{i-1}\left( z \right)}{f\left( z \right)}a_0 \left( z \right),~i=1,2,\cdots . \end{eqnarray}

(3.10)

将 (3.10) 式代入 (3.8) 式得到 (3.1) 式. 进一步,将 (3.1) 式代入 (3.10) 式后可得到 (3.2) 式. 最后,由终值定理^[17],有

$$ \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i \left( {n^+} \right)=\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} \left( {1-z} \right)\cdot a_i \left( z \right),~i=0,1,\cdots . $$ 利用引理 3.1 和洛必达法则,我们可以完成定理 3.1 的证明.

首先,考虑一个更新过程 $\left\{ {\chi _k ,k\ge 1} \right\}$,其更新间隔时间 $\chi _k $ 服从一般离散分布 $P\left\{ {\chi _k =j} \right\}=g_j$,$j=1,2,\cdots $ (与本文中顾客的服务时间同分布),其概率母函数记为 $G(z)=\sum\limits_{j=1}^\infty {g_jz^j}$,均值为 $E[\chi _k]=\mu$. 令 $D\left( {n^+} \right)$ 表示在 $\left( {0^+,n^+} \right]$ 内的更新次数,其更新函数为 $M\left( {n^+} \right)=E\left[{D\left( {n^+} \right)} \right]$,再记 $M\left( {n^+} \right)$ 的概率母函数为 $m\left( z \right)=\sum\limits_{n=1}^\infty {M\left( {n^+} \right)z^n} $,则有如下的引理.

引理3.2 当 $\left| z \right|<1$ 时,有

$$ m\left( z \right)=\frac{G\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]},~\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M\left( {n^+}\right)}{n}=\frac{1}{\mu }. $$

证 由 $M\left( {n^+} \right)$ 和 $D\left( {n^+} \right)$ 的定义,有

$$ M\left( {n^+} \right)=E\left[{D\left( {n^+} \right)} \right] =\sum\limits_{k=0}^\infty {kP\left\{ {D\left( {n^+} \right)=k} \right\}}\\ =\sum\limits_{k=1}^\infty {kP\left\{ {\chi _1 +\chi _2 +... +\chi _k \le n^+<\chi _1 +\chi _2 +... +\chi _{k+1} } \right\}}\\ =\sum\limits_{k=1}^\infty {\sum\limits_{i=k}^n {kP\left\{ {\chi _1 +\chi _2 +... +\chi _k =i} \right\}} } P\left\{ {\chi _{k+1} >\left( {n-i} \right)^+} \right\}. $$ 上式两边同时乘以 $z^n$ 并对 $n$ 求和即可得到 $m(z)$ 的表达式. 再根据基本更新定理 ^[18],可得

$$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{M\left( {{n^ + }} \right)}}{n} = \frac{1}{{E\left[{{\chi _k}} \right]}} = \frac{1}{\mu }. $$ 证毕.

接下来,我们讨论时间间隔 $\left( {0^+,n^+} \right]$ 内的平均离去顾客数. 令 $M_i \left( {n^+} \right)$ 表示初始状态 $N\left( {0^+} \right)=i~\left( {i=0,1,\cdots } \right)$ 下,时间段 $\left( {0^+,n^+} \right]$ 内离去顾客的平均数,其概率母函数记为 $m_i \left( z \right)=\sum\limits_{n=1}^\infty {M_i \left( {n^+} \right)z^n} $.

定理3.2 对于 $\left| z \right|<1$,有

\begin{equation}m_0 \left( z \right)=\frac{G\left( z \right)f\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]}\left\{ {1+\frac{B\left( z \right)\left[{f\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)-\Delta _2 \left( z \right)} \right]}{\Delta _1 \left( z \right)}} \right\},\qquad \label{ten}\end{equation}

(3.11)

\begin{equation}m_i \left( z \right)=\frac{G\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]}\left\{ {1+\frac{B^i\left( z \right)\left[{f\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)-\Delta _2 \left( z \right)} \right]}{\Delta _1 \left( z \right)}} \right\},~i\ge 1,\label{ele} \end{equation}

(3.12)

且对所有的 $i=0,1,\cdots $,有

\begin{equation} m_i \left( z \right)=m\left( z \right)\cdot \left( {1-z} \right)a_i \left( z \right),\label{twe}\end{equation}

(3.13)

\begin{equation}\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M_i \left( {n^+} \right)}{n}=\left\{ {\begin{array}{ll} p,&\rho <1,\\[2mm] \frac{1}{\mu },~~ &\rho \ge 1,\end{array}} \right.\label{thir}\end{equation}

(3.14)

其中 $\Delta _1 \left( z \right)$ 和 $\Delta _2 \left( z \right)$ 由定理 3.1 给出.

证 令

$$ T_i \left( {n^+} \right)=E{\{}\mbox{在$ \big( {0^+,b^{\left\langle i \right\rangle }} \big] $ 内离去的顾客数; } b^{\left\langle i \right\rangle }\le n^+{\}}, $$ $$ W_i \left( {n^+} \right)=E{\{}\mbox{在$ \big( {0^+,n^+} \big] $ 内离去的顾客数; } b^{\left\langle i \right\rangle }>n^+{\}},~i=1,2,\cdots. $$ 并记 $T_i \left( {n^+} \right)$ 和 $W_i \left( {n^+}\right)$ 的概率母函数为

$$ t_i \left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^\infty {T_i \left( {n^+} \right)} z^n,~w_i \left( z \right)=\sum\limits_{n=0}^\infty {W_i \left( {n^+} \right)} z^n. $$ 由于顾客的离去只发生在服务员忙期中,且服务员忙期中的服务时间序列 $\left\{ {\chi _k ,k=1,2,\cdots } \right\}$ 构成一个更新过程,于是用 $b^{\left\langle i \right\rangle }$ 对 $M\left( {n^+} \right)$ 进行全概率分解 (见图 4),得到

$$ M\left( {n^+} \right)=E\left[{D\left( {n^+} \right)} \right]=E\{\mbox{在}\ \left( {0^+,n^+} \right]\mbox{内离去的顾客数}\}\\ =E{\{}\mbox{在}\ \left( {0^+,n^+} \right]\mbox{内离去的顾客数};b^{\left\langle i \right\rangle }>n^+{\}}\\ +E{\{}\mbox{在}\ \left( {0^+,n^+} \right]\mbox{内离去的顾客数};b^{\left\langle i \right\rangle }\le n^+{\}}\\ =W_i \left( {n^+} \right)+E{\{}\mbox{在}\ \big( {0^+,b^{\left\langle i \right\rangle }} \big]\mbox{内离去的顾客数};b^{\left\langle i \right\rangle }\le n^+{\}}\\ +E\{\mbox{在}\ \big( {b^{\left\langle i \right\rangle },n^+} \big]\mbox{内离去的顾客数};b^{\left\langle i \right\rangle }\le n^+\}\\ =W_i \left( {n^+} \right)+ T_i \left( {n^+} \right) +\sum\limits_{k=i}^n {P\{b^{\left\langle i \right\rangle }=k\}M\left( {\left( {n-k} \right)^+} \right)} . $$ 因此有

\begin{eqnarray}\label{fout} W_i \left( {n^+} \right)+T_i \left( {n^+} \right)= M\left( {n^+} \right)-\sum\limits_{k=i}^n {P\{b^{\left\langle i \right\rangle }=k\}M\left( {\left( {n-k} \right)^+} \right)} ,~i\ge 1. \end{eqnarray}

(3.15)

在 (3.15) 式两边同时乘以 $z^n$ 并对 $n$ 求和,结合引理 3.2 可得

\begin{eqnarray}\label{fift} t_i \left( z \right)+w_i \left( z \right)=\frac{\left[{1-B^i\left( z \right)} \right]G\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]}. \end{eqnarray}

(3.16)

注意到顾客的离去只发生在服务员忙期. 运用定理 3.1 的分析方法,对于 $M_0 \left( {n^+} \right)$,有

\begin{eqnarray}\label{sixt} M_0 \left( {n^+} \right)&=&E\{\mbox{在}\left( {0^+,n^+} \right]\mbox{内离去的顾客数}\vert N\left( {0^+} \right)=0\}\\ &=&E\{\mbox{在}\left( {0^+,n^+} \right]\mbox{内离去的顾客数};\tilde {\tau }_1 \le n^+<\tilde {\tau }_1 +b\}\\ &&+E\{\mbox{在}\left( {0^+,n^+} \right]\mbox{内离去的顾客数};\tilde {\tau }_1 +b\le n^+\}\\ &=&\sum\limits_{t=1}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 =t} \right\}} \left[{W_1 \left( {\left( {n-t} \right)^+} \right)+T_1 \left( {\left( {n-t} \right)^+} \right)} \right]\\ &&+\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t} \right\}\sum\limits_{m=1}^{n-t} {p\bar {p}^{m-1}\sum\limits_{u=1}^{m-1} {P\left\{ {V=u} \right\}M_1 \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} } }\\ &&+\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t} \right\}\sum\limits_{u=r}^{n-t} {P\left\{ {V=u} \right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)p^r\bar {p}^{u-r}M_r \left( {\left( {n-t-u} \right)^+}\right)} } }\\&&+\sum\limits_{t=2}^n {P\left\{ {\tilde {\tau }_1 +b=t}\right\} \sum\limits_{m=N}^{n-t} {P\left\{ {\tilde {\tau }_2+ \sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s =m} } \right\}P\left\{ {V\ge m}\right\}M_N \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} }.\\\end{eqnarray}

(3.17)

经过同样地分析,对于 $i\ge 1$,有

\begin{eqnarray}\label{svet}M_i \left( {n^+} \right)&=&W_i \left( {n^+} \right)+T_i \left( {n^+}\right)\\&&+\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i \right\rangle }=t}\right\}\sum\limits_{m=1}^{n-t} {p\bar {p}^{m-1}\sum\limits_{u=1}^{m-1}{P\left\{ {V=u} \right\}M_1 \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} } }\\&&+\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i \right\rangle }=t}\right\}\sum\limits_{m=N}^{n-t} {P\left\{ {\tilde {\tau }_1+\sum\limits_{s=1}^{N-1} {\tau _s =m} } \right\}P\left\{ {V\ge m}\right\}M_N \left( {\left( {n-t-m} \right)^+} \right)} }\\&&+\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{t=i}^n {P\left\{ {b^{\left\langle i\right\rangle }=t} \right\}\sum\limits_{u=r}^{n-t} {P\left\{ {V=u}\right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)p^r\bar {p}^{u-r}M_r \left( {\left( {n-t-u} \right)^+}\right)} } }.\end{eqnarray}

(3.18)

在 (3.17) 式和 (3.18) 式两边分别乘以 $z^n$ 并对 $n$ 从$0$ 到 $\infty $ 求和,得到

\begin{eqnarray}m_0 \left( z \right)&=&f\left( z \right)\left[{t_1 \left( z \right)+w_1\left( z \right)} \right]\\&&+f\left( z \right)B\left( z\right)\sum\limits_{u=N}^\infty {P\left\{ {V=u} \right\}}\sum\limits_{m=N}^u {z^mP\left\{ {\tilde {\tau }_2 +\sum\limits_{s=1}^{N-1}{\tau _s =m} } \right\}m_N \left( z \right)}\\&&+f\left( z \right)B\left( z \right)\sum\limits_{r=1}^{N-1}{\sum\limits_{u=r}^\infty {P\left\{ {V=u} \right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)\left( {zp} \right)^r\left( {z\bar {p}}\right)^{u-r}m_r \left( z \right)} }\\&&+f^2\left( z \right)B\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)m_1 \left( z\right).\label{eght}\\m_i \left( z \right)&=&t_i \left( z \right)+w_i \left( z \right)+B^i\left( z\right)\sum\limits_{u=N}^\infty {P\left\{ {V=u} \right\}}\sum\limits_{m=N}^u {z^mP\left\{ {\tilde {\tau }_1 +\sum\limits_{s=1}^{N-1}{\tau _s =m} } \right\}m_N \left( z \right)}\\&&+B^i\left( z \right)\sum\limits_{r=1}^{N-1} {\sum\limits_{u=r}^\infty{P\left\{ {V=u} \right\}\left( {\begin{array}{l} u \\ r \\ \end{array}} \right)\left( {zp} \right)^r\left( {z\bar {p}}\right)^{u-r}m_r \left( z \right)} }\\& &+f\left( z \right)B^i\left( z \right)V\left( {z\bar {p}} \right)m_1 \left( z \right).\label{nint} \end{eqnarray}

(3.19)

结合 (3.16) 式、 (3.19) 式和 (3.20) 式,有如下关系式

\begin{eqnarray}\label{twot} m_i \left( z \right)=m\left( z \right)+B^{i-1}\left( z \right)\left[{\frac{m_0 \left( z \right)}{f\left( z \right)}-m\left( z \right)} \right],~i\ge 1. \end{eqnarray}

(3.21)

将 (3.21) 式代入 (3.19) 式经整理可得 (3.11) 式,进而可得 (3.12) 式. 再联立定理 3.1、 引理 3.2、 (3.11) 式 和 (3.12)式 即可得 (3.13) 式. 最后,由 (3.3) 式和引理 3.2,有

$$ \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M_i \left( {n^+} \right)}{n}=\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} \left( {1-z} \right)^2m_i \left( z \right) \\ =\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} \left( {1-z} \right)^2m\left( z \right)\cdot \mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} \left( {1-z} \right)a_i \left( z \right)\\ =\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M\left( {n^+} \right)}{n}\cdot \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i \left( {n^+} \right)\\ =\left\{ {\begin{array}{ll} \frac{1}{\mu }\cdot p\mu=p,\rho <1,\\[3mm] \frac{1}{\mu }\cdot1=\frac{1}{\mu },~~ \rho \ge 1. \end{array}} \right.$$ 至此,完成了定理 3.2 的证明.

注3.1 从定理 3.2 可以看出,该排队系统的离去过程有独特的分解结构: 即在服务员的忙期中嵌入了一个服务更新过程.稳态结果 $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M_i \left({n^+} \right)}{n}$ 等于相应的稳态结果 $\mathop {\lim}\limits_{n\to \infty } \frac{M\left( {n^+} \right)}{n}$ 与 $\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i \left( {n^+}\right)$ 之积,即

$$\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M_i \left( {n^+}\right)}{n}=\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{M\left( {n^+}\right)}{n}\cdot \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i \left( {n^+}\right).$$ 另外,对于 $\rho <1$,表达式 $\mathop {\lim }\limits_{n\to\infty } \frac{M_i \left( {n^+} \right)}{n}=p$ 表明,在稳态下,系统在单位时间内离去顾客的平均数只与到达强度 $p$ 有关,与服务强度和是否休假无关. 对于 $\rho \ge 1$,$\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty }\frac{M_i \left( {n^+} \right)}{n}=\frac{1}{\mu }$ 表明系统在单位时间内离去顾客的平均数只与服务强度有关,而与到达强度和是否休假无关.

下面我们通过本文所获得的结果,直接导出一些特殊离散时间排队模型的相关结论.

推论4.1 当 $P\left\{ {V=0} \right\}=1$ 或者 $N=1$ 时,则本文所讨论的系统退化为无休假的经典 $Geo/G/1$ 离散时间排队系统,对于 $\left| z \right|<1$,$i=0,1,2,\cdots $,此时有

$$m_i \left( z \right)=\frac{G\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]}\left\{ {1+\frac{B^i\left( z \right)\left[{f\left( z \right)-1} \right]}{1-B\left( z \right)f\left( z \right)}} \right\}. $$

推论4.2 当 $P\left\{ {V=\infty } \right\}=1$时,则本文所讨论的系统回归到经典的 $N$ -策略 $Geo/G/1$ 离散时间排队系统,对于 $\left| z \right|<1$,此时有

$$m_0 \left( z \right)=\frac{G\left( z \right)f\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]}\left\{ {1+\frac{B\left( z \right)\left[{f^N\left( z \right)-1} \right]}{1-B^N\left( z \right)f^N\left( z \right)}} \right\}, $$ $$ m_i \left( z \right)=\frac{G\left( z \right)}{\left( {1-z} \right)\left[{1-G\left( z \right)} \right]}\left\{ {1+\frac{B^i\left( z \right)\left[{f^N\left( z \right)-1} \right]}{1-B^N\left( z \right)f^N\left( z \right)}} \right\},~i\ge 1. $$

推论4.3 当 $N\to \infty $ 时,则本文所讨论的系统退化为单重休假策略下的 $Geo/G/1$ 离散时间排队系统,对于 $\left| z \right|<1$,有

$${m_0}\left( z \right) = \frac{{G\left( z \right)f\left( z \right)}}{{\left( {1 - z} \right)\left[{1 - G\left( z \right)} \right]}}\left\{ {1 + \frac{{B\left( z \right)\left\{ {\left[{f\left( z \right) - 1} \right]V\left( {z\bar p} \right) + V\left( z \right) - 1} \right\}}}{{1 + V\left( {z\bar p} \right)\left[{1 - B\left( z \right)f\left( z \right)} \right] - V\left( {\left( {pB\left( z \right) + \bar p} \right)z} \right)}}} \right\}, $$ $${m_i}\left( z \right) = \frac{{G\left( z \right)}}{{\left( {1 - z} \right)\left[{1 - G\left( z \right)} \right]}}\left\{ {1 + \frac{{{B^i}\left( z \right)\left\{ {\left[{f\left( z \right) - 1} \right]V\left( {z\bar p} \right) + V\left( z \right) - 1} \right\}}}{{1 + V\left( {z\bar p} \right)\left[{1 - B\left( z \right)f\left( z \right)} \right] - V\left( {\left( {pB\left( z \right) + \bar p} \right)z} \right)}}} \right\},~i\ge 1. $$

虽然定理 3.2 给出了任意时间段 $(0^+,n^+]$ 内的平均离去顾客数的概率母函数表达式,但是由于表达式过于复杂,我们不能直接通过作逆变换来计算时间段 $(0^+,n^+]$ 内的平均离去顾客数. 为了更为方便地计算 $M_i \left( {n^+} \right)$,我们有必要寻求 $M_i \left( {n^+} \right)$ 的渐近表达式. 首先,给出下面的引理.

引理5.1 对于 $E\left[{\chi _k^2 } \right]<+\infty $,当 $n\to \infty $ 时,有

\begin{eqnarray}\label{wuyi} M\left( {n^+} \right)-\frac{n}{\mu }\approx \frac{E\left[{\chi _k^2 }\right]+\mu }{2\mu ^2}-1.\end{eqnarray}

(5.1)

证 令 $S_{D(n^+)+1} $ 表示第 $\left( {D(n^+)+1} \right)$ 次更新时刻点,即 $S_{D(n^+)+1} =\sum\limits_{k=1}^{D(n^+)+1} {\chi _k } $. 再令 $\gamma (n^+)$ 表示在 $n^+$ 时刻处,正在服务的顾客的剩余服务时间,其极限为 $\gamma =\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \gamma (n^+)$,且 $\gamma $ 的概率母函数记为 $R(z)=\sum\limits_{k=1}^\infty {P\{\gamma =k\}z^k} $. 由文献[19] 可知

$$ R(z)=\frac{z[1-G(z)]}{\mu (1-z)},~E[\gamma]=\frac{E[\chi _k^2]+\mu }{2\mu }. $$ 由于 $S_{D(n^+)+1} =n+\gamma (n^+)$,所以

\begin{eqnarray}\label{wuer} E\left[{S_{D(n^+)+1} } \right]=n+E\left[{\gamma (n^+)} \right]. \end{eqnarray}

(5.2)

又易知 $D(n^+)+1$ 是 $\chi _1 ,\chi _2 ,\cdots ,\chi _k ,\cdots $ 的停时,故由 Wald 等式得

\begin{eqnarray}\label{wusan} E\left[{S_{D(n^+)+1} } \right]=E\left[{\sum\limits_{k=1}^{D(n^+)+1} {\chi _k } } \right]=E[\chi _k]\left\{ {E\left[{D(n^+)} \right]+1} \right\}=\mu \left[{M(n^+)+1} \right]. \end{eqnarray}

(5.3)

联立 (5.2) 和 (5.3) 式得

$$ M(n^+)-\frac{n}{\mu }=\frac{E[\gamma (n^+)]}{\mu }-1. $$ 进而有

\begin{eqnarray} \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } M(n^+)-\frac{n}{\mu }=\frac{E[\gamma]}{\mu }-1=\frac{E[\chi _k^2]+\mu }{2\mu ^2}-1,\end{eqnarray}

(5.4)

此即当 $E\left[{\chi _k^2 } \right]<+\infty $,$n\to \infty $ 时,(5.1) 式成立.

定理5.1 当 $E\left[{\chi _k^2 } \right]<+\infty $,$n\to \infty $ 时,有如下的渐近展式

\begin{eqnarray}\label{wuwu} M_i (n^+)\approx \left\{ {\begin{array}{ll} pn+\rho \left[{\frac{E[\chi _k^2]+\mu }{2\mu ^2}-1} \right],~~&\rho <1,\\[3mm] \frac{n}{\mu }+\frac{E[\chi _k^2]+\mu }{2\mu ^2}-1,&\rho\ge 1. \end{array}} \right.\end{eqnarray}

(5.5)

证 令 $q(z)=Z[Q(n^+)]$ 表示 $Q(n^+)$ 的 $z$ -变换,$Z^{-1}[q(z)]=Q(n^+)$ 表示 $q(z)$ 的 $z$ -逆变换,则由定理 3.2,我们有

\begin{eqnarray}\label{wuliu} &&\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \left\{ {M_i (n^+)-A_i (n^+)\ast Z^{-1}\left[{(1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right]} \right\}\\ &=&\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)Z\left[{M_i (n^+)-A_i (n^+)\ast Z^{-1}\left[{(1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right]} \right]\\& =&\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)\left[{m_i (z)-Z\left[{A_i (n^+)} \right](1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right]\\& =&\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)a_i \left( z \right)\cdot \mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} \left[{m\left( z \right)\cdot \left( {1-z} \right)-(1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right]\\ &=&\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i (n^+)\cdot \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \left[{M(n^+)-\frac{n}{\mu }} \right],\end{eqnarray}

(5.6)

其中的 $\ast $ 表示卷积. 进一步,我们有

\begin{eqnarray}\label{wuqi} &&\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{A_i (n^+)\ast Z^{-1}\left[{(1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right]}{n}\\ &=&\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)^2Z\left[{A_i (n^+)\ast Z^{-1}\left[{(1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right]} \right]\\ &=&\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)a_i \left( z \right)(1-z)^2Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)\\ &=&\mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)a_i \left( z \right)\cdot \mathop {\lim }\limits_{z\to 1^-} (1-z)^2Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)\\ &=&\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i (n^+)\cdot \frac{1}{\mu }. \end{eqnarray}

(5.7)

所以,当 $n\to \infty $ 时,结合 (5.6) 式、 (5.7) 式、 定理 3.1 以及引理 5.1,有

\begin{eqnarray} M_i (n^+)&\approx &A_i (n^+)\ast Z^{-1}\left[{(1-z)Z\left( {\frac{n}{\mu }} \right)} \right] +\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i (n^+)\cdot \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \left[{M(n^+)-\frac{n}{\mu }} \right]\\ &\approx &\frac{n}{\mu }\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i (n^+) +\mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } A_i (n^+)\cdot \mathop {\lim }\limits_{n\to \infty } \left[{M(n^+)-\frac{n}{\mu }} \right]\\ &\approx &\left\{ {\begin{array}{ll} pn+\rho \left[{\frac{E[\chi _k^2]+\mu }{2\mu ^2}-1} \right],~~&\rho <1,\\[3mm] \frac{n}{\mu }+\frac{E[\chi _k^2]+\mu }{2\mu ^2}-1,&\rho\ge 1. \end{array}} \right.\end{eqnarray}

(5.8)

至此,完成了定理 5.1 的证明.

本文分析了具有单重休假和 Min($N,V$) -策略控制的 $Geo/G/1$ 离散时间排队的离去过程. 通过使用全概率分解方法,更新过程理论以及概率母函数技术,我们得到了服务员在任意时刻 $n^+$ 处于忙的概率以及任意初始状态下,在时间段 $\left( {0^+,n^+} \right]$ 内的平均离去顾客数的概率母函数表达式. 所得结果表明离去过程有着独特的分解结构: 服务员的忙期中嵌入了一个服务更新过程,这使得我们更能清晰地理解离去过程的结构. 此外,我们还推导出了便于计算平均离去顾客数的近似表达式.