2008年国际金融危机已经过去了7年,但是它的后果及教训至今依然影响着人们. 在这次危机中许多商业帝国(如雷曼兄弟,华盛顿互惠银行及桑恩柏格房贷公司)轰然倒塌. 除此之外,还有大量的金融机构也濒临破产.例如,当时世界保险和金融服务的领导者美国国际集团,其在金融危机中也损失惨重. 要不是美国政府对其提供援助,他也将遭受同雷曼兄弟同样的命运. 那么金融危机是如何导致的呢?这一点大家众说纷纭.一些人将金融危机的原因归结为对金融模型(如copula模型)的使用. 而另一些人则认为不准确的信用评级是造成金融危机的罪魁祸首.事实上,随着金融市场的发展,越来越多的金融产品及金融衍生产品被创造出来,我们的金融市场也变得越来越纷繁复杂.从积极的意义上说,这些金融产品为我们提供了更多的投资及避险机会,在一定程度上提升了金融市场的流动性.但从负面的意义上说,这些金融衍生品本身及他们之间错综复杂的关系,提升了市场的系统性风险,使我们面临着比以往更多的不确定性.在这种背景下,如何选择一个稳健的低风险投资策略变得尤为重要.

在过去的十几年中,数学作为一种工具对金融市场产生了重大影响. 他提升了我们的投资方法,改变了我们对金融市场的看法.经济学家Merton作为连续时间投资组合问题^{[1, 2]}的先驱,告诉我们应如何配置资产从而可以最大化我们的财富.另一个金融巨匠Markowitz,以其有效投资的理论研究而闻名. 他提出了均值方差效用模型及有效前沿理论(见文献[3]). 这些理论可以有效地帮助投资者去决策他们的投资组合配置. 在他们的工作基础之上,人们对一系列的最优投资问题进行了深入研究, 创造出了许多更新的模型及方法来处理投资组合问题. 文献[4]考虑了连续时间的均值方差投资组合问题,在他们的文章中, 他们把此问题归结为一个求解随机LQ问题. 在文献[5]中,作者考虑了长期投资问题. 作者假设投资者可以在金融市场中投资四种资产: 无风险资产(银行账户)、股票、滚动债券和滚动物价指数债券,并且考虑了通胀风险及利率风险对投资的影响. 文献[6]研究了随机波动率模型并给出了一个比Heston随机波动率模型更广泛的验证定理. 在文献[7] 中,作者研究了终端现金流的分位数函数问题. 分位数函数是一个综合变量,它囊括了效用模型,均值方差模型及对偶模型等等.

以上这些工作及结论的准确性都基于这样一个事实,即所有这些用到的金融模型都是准确无误的,也就是说,我们所假设的模型必须可以精确描述金融市场的运行.但是,就像大家知道的那样,无论是在数据的收集还是参数的估计上都避免不了发生一定的误差,从而导致模型不能准确的刻画资产真实的运行轨道,进而必然会影响我们的最优投资策略.正是由于这些不足,许多学者开始研究具有模型不确定性的最优投资组合问题. 文献[8]通过随机微分博弈的方法研究了带有模型不确定性的保险公司的投资与再保险问题. 相似的,在文献[9]中,作者加入了无风险资产. 文献[10]也讨论了具有模型不确定性的最优投资组合问题,他们假设金融市场是随一个马尔科夫链不断变化的.具有Henston随机波动率模型的鲁棒最优控制问题在文献[11]中得到了研究.

我们也考虑了具有如上所述的模型参数不确定性的问题,并且从零和博弈的角度对问题进行了求解.我们允许股票模型,可违约债券模型及保险公司的盈余过程与真实的模型具有一定偏差. 这种偏差在数学上我们用一族等价概率测度来刻画.最后我们给出鲁棒最优策略.

最近几年我们可以看到,由于其较高的收益,可违约债券已经吸引了越来越多投资者的兴趣. 越来越多的学者开始关注这一领域. 在文献[12]中,作者研究了投资具有违约风险市场的最优投资组合问题.文献[13] 着眼于无穷投资期限下,投资于可违约市场的投资消费问题. 对于在马尔科夫体制转换下的类似问题,在文献[14]中进行了详细研究.

我们的文章也将考虑投资于可违约金融市场的情况. 我们假设市场中包含三种资产: 银行账户(无风险资产)、股票和可违约债券.通过零和博弈的思想,运用动态规划准则的方法,我们求出了鲁棒最优投资策略及相应的值函数.

在这一节中,我们将给出一些模型和假设. 这里我们假设金融市场没有摩擦,也就是说不考虑交易费用和税收并且所有资产可以被连续交易. 进一步我们假设在金融市场中有三种可投资资产: 银行账户,股票和可违约债券.

首先,我们令$(\Omega,{\cal D},{\cal P})$为现实世界的完备概率空间,$\tau$为此概率空间上的一个非负随机变量. 对 $t\geq0$,我们定义指标过程 $\{H(t)\}_{t\geq0}$ 如下

\begin{eqnarray}\label{1}H(t)={\Bbb I}_{\{\tau\leq t\}}.\end{eqnarray}

(2.1)

令${\cal H}_t=\sigma(H(u);0\leq u\leq t)$,${\cal F}=\{{\cal F}_t\}_{t\geq0}$ 为 $(W(t),\widetilde W(t))$ 生成的完备自然过滤,其中$W(t)$,$\widetilde W(t)$为 $(\Omega,{\cal D},{\cal P})$上相互独立的布朗运动. 现在我们通过下式来在概率空间上定义一个过滤

$${\cal G}_t={\cal F}_t\vee{\cal H}_t, $$ 此时$\tau$ 为一个 ${\cal G}=\{{\cal G}_t\}_{t\geq0}$ -停时.

在这篇文章中,我们选择简约形式的模型来描述可违约债券. 在基于违约强度的方法下,我们将定义一个所谓的风险率过程.具体地说,我们假设$\tau$代表违约时刻,相应地$H(t)$ 表示一个违约指标过程. 同时,对于$\tau$ 我们记

$$F(t)={\cal P}(\tau\leq t|{\cal F}_t), $$ 于是$\tau$ 的关于${\cal F}$ 的生存过程为

$$\bar F(t)=1-F(t)={\cal P}(\tau> t|{\cal F}_t). $$ 现在我们定义在测度${\cal P}$ 下关于停时 $\tau$ 的${\cal F}$ -风险率过程

$$\Gamma(t):=-\ln \bar F(t). $$ 通常来讲,如同文献[15]中处理的那样,我们可以假设风险率过程具有如下表达

$$\Gamma(t)=\int_0^th^{{\cal P}}(s){\rm d}s, $$ 其中$h^{{\cal P}}(t)$为测度${{\cal P}}$下$\tau$的随机强度(也称为风险率). 进一步,由文献[15]我们可见

\begin{eqnarray}\label{2}M^{{\cal P}}(t):=H(t)-\int_0^t(1-H(s))h^{{\cal P}}(s){\rm d}s\end{eqnarray}

(2.2)

是一个$({\cal P},{\cal G})$ -鞅. 为简单起见,我们一般假设$h^{{\cal P}}(s)$为常数.

令$T_1$为违约债券的到期日. 又令 $\Delta\leq1$ 为违约的风险溢价,$\xi$ 为违约的损失率并且令$\delta$ 表示债券息差. 于是,我们得到在真实世界概率测度 ${\cal P}$下,可违约债券价格的动态方程(具体推导见附录)

\begin{eqnarray}\label{3}{\rm d}P(t,T_1)=P(t-,T_1)\big\{[r+(1-H(t))\delta]{\rm d}t-(1-H(t-))\xi {\rm d}H(t)\big\}.\end{eqnarray}

(2.3)

下面为简单起见我们改记 $P(t,T_1)$ 为$P(t)$.

假设银行存款的价格过程$B(t)$由如下方程决定

\begin{eqnarray}\label{4}{\rm d}B(t)= rB(t){\rm d}t,\end{eqnarray}

(2.4)

且$B(0)=1$. 另外,我们假设股票价格过程由如下方程给出

\begin{eqnarray} \label{5}{\rm d}S(t)=S(t)\big[\mu {\rm d}t+\sigma {\rm d}W(t)\big],\end{eqnarray}

(2.5)

其中$S(0)=S_0$. 这里我们假设$\mu$,$r$ 和 $\sigma$ 为常数,并且有$\mu>r$.

在我们的文章中,我们考虑跳扩散风险模型. 令$N(t)$为具有常数强度$\lambda$ 的泊松过程,他表示在时间区间$[0,t]$上的索赔次数,令$Y_i$表示第$i$次索赔额的大小,这里$t\in[0,T]$ 且 $i=1,2,3,\cdots $. 则到$t$时刻的累计索赔为

$$J(t)=\sum_{i=1}^{N(t)}Y_i. $$ 进一步,我们假设{$Y_i$}为相互独立同分布的非负随机变量序列并且他们的分布为$\hat F(y)$,又令$\mu_1$ 与 $\mu_2$ 分别为$Y_i$的一阶矩及二阶矩. 从而$J(t)$可以写为

$$J(t)=\int_0^t\int_{R^+}yN({\rm d}t,{\rm d}y),$$ 其中$N(\cdot,\cdot)$为泊松随机测度,其补偿为

$$\nu({\rm d}t,{\rm d}y)=\lambda \hat F({\rm d}y){\rm d}t,$$ 从而我们定义如下补偿泊松过程

$$\widetilde N({\rm d}t,{\rm d}y)=N({\rm d}t,{\rm d}y)-\lambda \hat F({\rm d}y){\rm d}t.$$

令${\cal F}^\nu$为由泊松随机测度$N({\rm d}t,{\rm d}y)$生成的自然${\cal P}$ -完备过滤,则对任意$A\in{\cal B}(R^+)$,$\{\widetilde N(A\times(0,t])|t\in[0,T]\} $为一个$ ({\cal P},{\cal F}^\nu)$ -鞅.

设$c$为单位时间的保费收入,$\eta$为相对安全负荷. 由风险理论知识,我们有

$$c=(1+\eta)E[J(1)]=(1+\eta)\lambda \mu_1, $$ 这里$E[\cdot]$为概率测度${\cal P}$下的期望. 现在我们考虑如下跳扩散风险过程

\begin{eqnarray} \label{6} {\rm d}R(t)&=&(1+\eta)\lambda \mu_1{\rm d}t+\beta {\rm d}\widetilde W(t)-\int_{R^+}yN({\rm d}t,{\rm d}y)\\&=&c{\rm d}t+\beta {\rm d}\widetilde W(t)-\int_{R^+}yN({\rm d}t,{\rm d}y),\end{eqnarray}

(2.6)

其中$\beta$为常数. 注意,在此篇文章中我们用复合泊松过程来描述保险公司所面临的较大索赔,具体地说,即索赔额将满足如下假设

$${\rm (H1):} Y>L, {\rm a.s. },$$ 其中$L:=\frac{1}{p}\ln[1+\frac{1}{\lambda}(\frac{\mu-r}{\sigma}+p\beta {\rm e}^{rT}-1)]$. 在后面我们将看到$p$表示CARA效用函数的风险厌恶系数,$T$为投资期限. 另一方面,对于那些小的索赔额度(即$Y\leq L$),我们可以将他们考虑为波动(或噪声),这里用布朗运动 $\widetilde W(t)$来描述.

现在我们假设保险公司可以将他的盈余投资在金融市场中. 令$\pi_1(t)$,$\pi_2(t)$分别为投资在股票和可违约债券资产上的财富,而余下的财富将投资在银行账户上. 若我们令 $ X(t)$为保险公司在 $t$ 时刻的财富. 则我们有

\begin{eqnarray} \label{7} {\rm d}X(t)&=&(X(t)-\pi_1(t)-\pi_2(t))\frac{{\rm d}B(t)}{B(t)}+\pi_1(t)\frac{{\rm d}S(t)}{S(t)}+\pi_2(t)\frac{{\rm d}P(t)}{P(t-)}+{\rm d}R(t)\\ &=&\big\{rX(t)+(\mu-r)\pi_1(t)+(1-H(t))\delta\pi_2(t) +c\big\}{\rm d}t+\sigma \pi_1(t){\rm d}W(t)+\beta {\rm d}\widetilde W(t)\\&&-\pi_2(t)(1-H(t-))\xi {\rm d}H(t)-\int_{R^+}yN({\rm d}t,{\rm d}y).\end{eqnarray}

(2.7)

对每一个$t\in[0,T]$,定义扩展的$\sigma$ -域 $ {\cal \widetilde G}_t:={\cal G}_t\vee{\cal F}_t^\nu$且记${\cal \widetilde G}:=\{{\cal \widetilde G}_t|t\in[0,T]\}$. 则我们称策略 $\widetilde \pi=(\pi_1,\pi_2)$ 为可允许策略,若他是${\cal \widetilde G}$ -循序可测的并且对所有的$t>0$满足 $E[\int_0^t\pi^2_i(s){\rm d}s]<\infty$,$i=1,2$. 我们不妨令${\cal A}$表示可允许策略集. 在以下内容中,我们令$X^{\widetilde\pi}$表示在策略$\widetilde\pi$下的财富过程.

在这一节中我们将尝试求解一个具有模型不确定性的最优投资问题. 为了得到一个鲁棒决策法则,我们不妨考虑一族扰动模型.在我们的文章中假设模型不确定性由一族关于真实世界的概率测度绝对连续的概率测度所刻画. 事实上,这些模型只是在漂移项上有所改变.

首先我们定义过程$\{\theta(t)| t\in[0,T]\}$,满足如下条件:

1. 对每个 $t\in[0,T]$,$\theta(t)$为${\cal \widetilde G}_t$ -可测;

2. 对 a.a. $(t,\omega)\in[0,T]\times\Omega$,$\theta(t)=\theta(t,\omega)\leq1$;

3. $\int_0^T\theta^2(t){\rm d}t<\infty$,${\cal P}$-a.s.

又令$\Theta$表示所有满足上述条件的$\theta(t)$所生成的空间. 其次,对每个 $\theta(t)\in\Theta$,我们定义${\cal \widetilde G}$ -适应过程$\{Z^\theta(t)|t\in[0,T]\}$

\begin{eqnarray}\label{8} Z^\theta(t)&=&\exp\bigg\{-\int_0^t\theta(s){\rm d}W(s)-\int_0^t\theta(s){\rm d}\widetilde W(t)-\int_0^t\theta^2(s){\rm d}s\bigg\}\\ &&\times\exp\bigg\{\int_0^t\int_{R^+}\ln(1-\theta(s))N({\rm d}s,{\rm d}y)+\int_0^t\int_{R^+}\theta(s)\nu({\rm d}s,{\rm d}y)\bigg\}\\&&\times\exp\bigg\{\int_0^t\ln(1-\theta(s)){\rm d}H(s)+h^{{\cal P}}\int_0^{t\wedge\tau}\theta(s){\rm d}s\bigg\}.\end{eqnarray}

(3.1)

由Itô公式有

\begin{eqnarray}\label{9}{\rm d}Z^\theta(t)=Z^\theta(t-)\bigg\{-\theta(t){\rm d}W(t)-\theta(t){\rm d}\widetilde W(t)-\int_{R^+}\theta(t)\widetilde N({\rm d}t,{\rm d}y)-\theta(t){\rm d}M^{{\cal P}}(t) \bigg \},\end{eqnarray}

(3.2)

其中$Z^\theta(0)=1$,${\cal P}$-a.s.很显然,$Z^\theta(t)$是一个 $({\cal \widetilde G},{\cal P})$ -局部鞅. 我们不妨假设$Z^\theta(t)$ 为一个$({\cal \widetilde G},{\cal P})$ -鞅. 于是

$$E[Z^\theta(T)]=1.$$ 对每个$\theta\in\Theta$,我们可以定义一个在${\cal \widetilde G}_T$上与${\cal P}$绝对连续的新的概率测度${\cal P}^\theta$如下

$$\frac{{\rm d}{\cal P}^\theta}{{\rm d}{\cal P}}\bigg|_{{\cal \widetilde G}_T}:=Z^\theta(T).$$

以上我们构造了一个概率测度族{${\cal P}^\theta$: $\theta\in\Theta$}. 下面我们将考虑一个如何最大化极小终端财富的期望指数效用问题.事实上,我们可以将问题看做一个有两个参与者的零和随机微分博弈问题. 在这一博弈问题中我们可以将金融市场和保险公司分别看做两个博弈者,保险公司的目的是通过选择最优策略 $\widetilde\pi^*$来最大化最坏情景下的终端财富,同时金融市场作为第二个博弈参与者通过选取“最优”情景 $\theta^*$来最小化期望效用.

令$U(\cdot):(0,\infty)\mapsto R$表示指数效用函数,定义如下

$$U(x)=-\frac{1}{p}{\rm e}^{-px},$$ 其中$p$为正常数,表示绝对风险厌恶系数. 从而我们可以定义值函数

\begin{eqnarray}\label{10} V(t,x,z,v)&=&\sup_{\widetilde\pi\in{\cal A}} \inf_{\theta\in\Theta} E_{ {\cal P}^\theta} \big[U(X^{\widetilde\pi}(T))|X(t)=x,Z(t)=z,H(t)=v \big]\\&=&\sup_{\widetilde\pi\in{\cal A}} \inf_{\theta\in\Theta} E\big [Z^\theta(T) U(X^{\widetilde\pi}(T))|X(t)=x,Z(t)=z,H(t)=v \big].\end{eqnarray}

(3.3)

设函数$ \psi(\cdot,\cdot,\cdot,\cdot) \in {\cal C}^{1,2,2,2} $,则我们定义偏微分算子$\Lambda$

\begin{eqnarray}\label{11} \Lambda^{\widetilde\pi,\theta}\psi&=&\psi_t+\psi_x[rx+(\mu-r)\pi_1+(1-v)\delta\pi_2+c]\\&&+\frac{1}{2}\psi_{xx}(\sigma^2\pi_1^2+\beta^2)+\psi_z\theta z[\lambda+h^{{\cal P}}(1-v)]+V_{zz}z^2\theta^2 \\ &&-\psi_{xz}z\theta\sigma\pi_1-\psi_{xz}z\theta\beta+\lambda E[\psi(t,x-Y,(1-\theta)z,v)-\psi(t,x,z,v)]\\&&+[\psi(t,x-\xi\pi_2,(1-\theta)z,1)-\psi(t,x,z,0)]h^{{\cal P}}(1-v),\end{eqnarray}

(3.4)

于是,我们可以得到如下Hamilton-Jacobi-Bellman-Isaacs 方程 (HJBI)

\begin{array}{l} 0 = \mathop {\sup }\limits_{\tilde \pi \in A} \left\{ {\mathop {\inf }\limits_{\theta \in \Theta } {\Lambda ^{\tilde \pi ,\theta }}V(t,x,z,v)} \right\}\\ V(T,x,z,v) = - z\frac{1}{p}{{\rm{e}}^{ - px}}. \end{array}

(3.5)

由于$v=0$ 或 $1$,我们可以定义违约前情形及违约后情形: 对$v=0$,我们有违约前情形对应的值函数

$$V(t,x,z,0)$$ 和$v=1$时违约后情形所对用的值函数

$$V(t,x,z,1).$$ 下面我们就这两种情况分别处理.

在这一小节,我们将计算违约后情形. 在$v=1$的条件下,HJBI方程转化为

\begin{eqnarray}\label{12} 0=\sup_{\widetilde\pi\in{\cal A}}\inf_{\theta\in\Theta}&\bigg\{&V_t(t,x,z,1)+V_x(t,x,z,1)[rx+(\mu-r)\pi_1+c]\\ &&+\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,1)\sigma^2\pi_1^2+\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,1)\beta^2+V_z(t,x,z,1)\theta\lambda z\\ &&+V_{zz}(t,x,z,1)z^2\theta^2-V_{xz}(t,x,z,1)z\theta\sigma\pi_1-V_{xz}(t,x,z,1)z\theta\beta\\&&+\lambda E[V(t,x-Y,z(1-\theta),1)-V(t,x,z,1)] \bigg\},\end{eqnarray}

(3.6)

其边界条件为 $V(T,x,z,1)=-z\frac{1}{p}{\rm e}^{-px}$. 我们不妨假设方程(3.6)具有如下形式的解

\begin{eqnarray}\label{13}G(t,x,z,1)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}x}g_1(t),\end{eqnarray}

(3.7)

其中边界条件为$g_1(T)=1$. 经简单计算有

$$G_t(t,x,z,1)=\bigg[rpx{\rm e}^{t(T-t)}+\frac{g_1'(t)}{g_1(t)}\bigg] G(t,x,z,1),G_x(t,x,z,1)=-p{\rm e}^{r(T-t)}G(t,x,z,1), $$ $$G_{xx}(t,x,z,1)=p^2{\rm e}^{2r(T-t)}G(t,x,z,1),G_z(t,x,z,1)=\frac{1}{z}G(t,x,z,1), $$ $$G_{zz}(t,x,z,1)=0,G_{xz}(t,x,z,1)=-\frac{p}{z}{\rm e}^{r(T-t)}G(t,x,z,1), $$ $$E[G(t,x-Y,(1-\theta)z,1)]=(1-\theta)\hat\mu(t)G(t,x,z,1), $$ 其中$\hat\mu(t):=E[{\rm e}^{p{\rm e}^{r(T-t)}Y}]$ 为一个减函数. 将他们带入方程(3.6),得到

\begin{eqnarray}\label{14}0 =\inf_{\widetilde\pi\in{\cal A}}\sup_{\theta\in\Theta}&\bigg\{&\frac{g'_1(t)}{g_1(t)}-(\mu-r)p{\rm e}^{r(T-t)}\pi_1-pc{\rm e}^{r(T-t)}\\&&+\frac{1}{2}p^2\sigma^2{\rm e}^{2r(T-t)}\pi^{2}_1+\frac{1}{2}p^2\beta^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\theta\\&&+p\sigma {\rm e}^{r(T-t)}\theta \pi_1+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}\theta+\lambda(1-\theta)\hat \mu(t)-\lambda \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.8)

首先,对固定的$\theta$,我们关于$\pi_1$求极值

\begin{eqnarray}\label{15} 0&=&\frac{g_1'(t)}{g_1(t)}-pc{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{1}{2}p^2\beta^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\theta+p\beta\theta {\rm e}^{r(T-t)}+(1-\theta)\lambda\hat\mu(t)-\lambda\\&&+\inf_{\pi_1}\bigg\{\frac{1}{2}p^2\sigma^2{\rm e}^{2r(T-t)}\pi_1^2+p{\rm e}^{r(T-t)}[\sigma\theta-\mu+r]\pi_1\bigg\}.\end{eqnarray}

(3.9)

由一阶微分条件,可得极值点

\begin{eqnarray}\pi_1^*(t)=-\frac{\sigma\theta(t)-\mu+r}{p\sigma^2{\rm e}^{r(T-t)}}.\end{eqnarray}

(3.10)

在$\pi_1^*$下,我们寻找 $\theta^*$,使在$\theta^*$下对应模型有最坏的情景

\begin{eqnarray}\label{16} 0&=&\frac{g_1'(t)}{g_1(t)}-pc{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{1}{2}p^2\beta^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\hat\mu(t)-\lambda-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}\\&&+\sup_{\theta\in\Theta}\bigg\{-\frac{1}{2}\theta^2+\bigg[\frac{\mu-r}{\sigma}+\lambda+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}-\lambda\hat\mu(t)\bigg]\theta \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.1)

同样由一阶微分条件,可得极值点$\theta^*$

\begin{eqnarray}\theta^*(t)=\frac{\mu-r}{\sigma}+\lambda+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}-\lambda\hat\mu(t).\end{eqnarray}

(3.12)

又由假设(H1),有$\theta^*\leq1$,于是显然有$\theta^*\in\Theta$. 在$\theta^*$下,我们有方程

\begin{eqnarray}\label{17} 0&=&\frac{g_1'(t)}{g_1(t)}-pc{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{1}{2}p^2\beta^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\hat\mu(t)-\lambda-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}\\&&+\frac{1}{2}\bigg[\frac{\mu-r}{\sigma}+\lambda+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}-\lambda\hat\mu(t)\bigg]^2.\end{eqnarray}

(3.13)

结合边界条件 $g_1(T)=1$,我们给出方程(3.13)的解

\begin{eqnarray}\label{18} g_1(t)&=&\exp\bigg\{\int_t^T\frac{1}{2}\bigg[\frac{\mu-r}{\sigma}+\lambda+p\beta {\rm e}^{r(T-s)}-\lambda\hat\mu(s)\bigg]^2 \\ &&-pc{\rm e}^{r(T-s)}+\frac{1}{2}p^2\beta^2{\rm e}^{2r(T-s)}+\lambda\hat\mu(s)-\lambda-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}{\rm d}s \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.14)

在这一小节中我们将处理违约前的情形(即$v=0$),此时HJBI方程为

\begin{eqnarray}\label{19} 0=\sup_{\widetilde\pi\in{\cal A}}\inf_{\theta\in\Theta}&\bigg\{&V_t(t,x,z,0)+V_x(t,x,z,0)[rx+(\mu-r)\pi_1+\delta\pi_2+c]\\ &&+\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,0)\sigma^2\pi_1^2+\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,0)\beta^2\\ &&+V_{z}(t,x,z,0)z(\lambda+h^{{\cal P}})\theta+V_{zz}(t,x,z,0)z^2\theta^2-V_{xz}(t,x,z,0)z\sigma\theta\pi_1\\ &&-V_{xz}(t,x,z,0)z\beta\theta+\lambda E[V(t,x-Y,(1-\theta)z,0)-V(t,x,z,0)]\\&&+h^{{\cal P}}[V(t,x-\xi\pi_2,(1-\theta)z,1)-V(t,x,z,0)] \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.15)

考虑具有边界条件$g_0(T)=1$的解

$$G(t,x,z,0)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}}g_0(t).$$ 经简单计算有

$$G_t(t,x,z,0)=\bigg[rpx{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{g_0'(t)}{g_0(t)}\bigg]G(t,x,z,0),G_x(t,x,z,0)=-p{\rm e}^{r(T-t)}G(t,x,z,0), $$ $$G_{xx}(t,x,z,0)=p^2{\rm e}^{2r(T-t)}G(t,x,z,0),G_z(t,x,z,0)=\frac{1}{z}G(t,x,z,0), $$ $$G_{zz}(t,x,z,0)=0,G_{xz}(t,x,z,0)=-\frac{p}{z}{\rm e}^{r(T-t)}G(t,x,z,0), $$ $$E[G(t,x-Y,(1-\theta)z,0)]=(1-\theta)\hat\mu(t)G(t,x,z,0), $$ $$G(t,x-\xi\pi_2,(1-\theta)z,1)=(1-\theta)G(t,x,z,1){\rm e}^{p{\rm e}^{r(T-t)}\xi\pi_2}. $$ 将他们带入(3.15)式得

\begin{eqnarray}\label{20} 0=\inf_{\widetilde\pi\in{\cal A}}\sup_{\theta\in\Theta}&\bigg\{& \frac{g'_0(t)}{g'_0(t)}-p{\rm e}^{r(T-t)}[(\mu-r)\pi_1+\delta\pi_2+c]+\frac{1}{2}p^2\sigma^2{\rm e}^{2r(T-t)}\pi_1^2\\ &&+\frac{1}{2}\beta^2p^2{\rm e}^{2r(T-t)}+(\lambda+h^{{\cal P}})\theta+p\sigma {\rm e}^{r(T-t)}\theta\pi_1+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}\theta\\&&+\lambda(1-\theta)\hat\mu(t)+(1-\theta)h^{{\cal P}}{\rm e}^{p{\rm e}^{r(T-t)}\xi\pi_2\frac{g_1(t)}{g_0(t)}}-\lambda-h^{{\cal P}} \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.16)

固定$\theta$,我们有

\begin{eqnarray}\label{21} 0&=&\frac{g'_0(t)}{g'_0(t)}-p{\rm e}^{r(T-t)}c+\frac{1}{2}\beta^2p^2{\rm e}^{2r(T-t)}+(\lambda+h^{{\cal P}})\theta\\ && +p\beta {\rm e}^{r(T-t)}\theta+\lambda(1-\theta)\hat\mu(t)-\lambda-h^{{\cal P}} \\ &&+\inf_{\pi_1}\bigg\{\frac{1}{2}p^2\sigma^2{\rm e}^{2r(T-t)}\pi_1^2+p{\rm e}^{r(T-t)}[\sigma\theta-\mu+r]\pi_1\bigg\}\\&&+\inf_{\pi_2}\bigg\{(1-\theta)h^{{\cal P}}{\rm e}^{p{\rm e}^{r(T-t)\xi\pi_2}}\frac{g_1(t)}{g_0(t)}-p{\rm e}^{r(T-t)}\delta \pi_2 \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.17)

由一阶微分条件,有极值点

\begin{eqnarray}\label{22}\pi_1^*(t)=-\frac{\sigma\theta(t)-\mu+r}{p\sigma^2{\rm e}^{r(T-t)}}\end{eqnarray}

(3.18)

及

\begin{eqnarray}\label{23}\pi_2^*(t)=\frac{1}{\xi}{\rm e}^{-r(T-t)}\ln\bigg[\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{1}{1-\theta(t)}\frac{g_0(t)}{g_1(t)}\bigg]^{\frac{1}{p}}.\end{eqnarray}

(3.19)

将他们带入 (3.17)式,我们得到如下方程

\begin{eqnarray}\label{24}0&=&\frac{g'_0(t)}{g_0(t)}-pc{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{1}{2}\beta^2p^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\hat\mu(t)-\lambda-h^{{\cal P}}\\ &&-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}+\frac{\delta}{\xi}-\frac{\delta}{\xi}\ln\bigg[\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{g_0(t)}{g_1(t)}\bigg]\\&&+\sup_{\theta}\bigg\{-\frac{1}{2}\theta^2+\bigg[\lambda+h^{{\cal P}}+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}-\lambda \hat\mu(t)+\frac{\mu-r}{\sigma}\bigg]\theta+\frac{\delta}{\xi}\ln(1-\theta) \bigg\}.\end{eqnarray}

(3.20)

定义函数$T(\theta)$

$$T(\theta)=-\frac{1}{2}\theta^2+\phi(t)\theta+\frac{\delta}{\xi}\ln(1-\theta),$$ 其中 $\phi(t):=\lambda+h^{{\cal P}}+p\beta {\rm e}^{r(T-t)}-\lambda \hat\mu(t)+\frac{\mu-r}{\sigma}$. 为了得到极大值点$\theta^*$,我们应用一阶微分条件,得到如下方程

\begin{eqnarray}\label{25}\theta^2(t)-[1+\phi(t)]\theta(t)+\phi(t)-\frac{\delta}{\xi}=0.\end{eqnarray}

(3.21)

由于其判别式为正,所以有两个不同的根

$$\theta_1(t)=\frac{\phi(t)+1-\sqrt{[\phi(t)-1]^2+4\frac{\delta}{\xi}}}{2},\theta_2(t)=\frac{\phi(t)+1+\sqrt{[\phi(t)-1]^2+4\frac{\delta}{\xi}}}{2} .$$ 经过简单分析我们得到 $\theta_1(t)<1$ 及 $\theta_2(t)>1$. 从而我们有$\theta^*=\theta_1$,并且将它带入(3.20)式,有

\begin{eqnarray}\label{26} 0&=&\frac{g'_0(t)}{g_0(t)}-pc{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{1}{2}\beta^2p^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\hat\mu(t)-\lambda-h^{{\cal P}}\\&&-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}+\frac{\delta}{\xi}-\frac{\delta}{\xi}\ln\bigg[\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{g_0(t)}{g_1(t)}\bigg]+T(\theta^*(t)).\end{eqnarray}

(3.20)

对于上述方程,由于$g_0(t)>0$,我们假设解具有形式: $g_0(t)={\rm e}^{\hat g_0(t)}$,其中边界条件为$\hat g_0(T)=0$. 带入后得到

\begin{eqnarray}\label{27} 0&=&\hat g'_0(t)-\frac{\delta}{\xi}\hat g_0(t)-pc{\rm e}^{r(T-t)}+\frac{1}{2}\beta^2p^2{\rm e}^{2r(T-t)}+\lambda\hat\mu(t)\\&&-\lambda-h^{{\cal P}}-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}+\frac{\delta}{\xi}-\frac{\delta}{\xi}\ln\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{1}{g_1(t)}+T(\theta^*(t)).\end{eqnarray}

(3.23)

于是我们解得

\begin{eqnarray}\label{28} \hat g_0(t)&=&{\rm e}^{-\frac{\delta}{\xi}(T-t)}\int_t^T {\rm e}^{\frac{\delta}{\xi}(T-s)}\bigg\{-pc{\rm e}^{r(T-s)}+\frac{1}{2}\beta^2p^2{\rm e}^{2r(T-s)}+\lambda\hat\mu(s)\\&&-\lambda-h^{{\cal P}}-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}+\frac{\delta}{\xi}-\frac{\delta}{\xi}\ln\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{1}{g_1(s)}+T(\theta^*(s))\bigg\}{\rm d}s\end{eqnarray}

(3.24)

其中$g_1(t)$由(3.14)式定义.

将违约后及违约前情形结合起来,我们有HJBI方程 (3.5)的解

\begin{eqnarray}\label{29}G(t,x,z,v)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}}[(1-v){\rm e}^{\hat g_0(t)}+vg_1(t)],\end{eqnarray}

(3.25)

并且有备选最优策略

\begin{eqnarray}\label{30}\pi_1^*(t)=-\frac{\sigma\theta^*(t)-\mu+r}{p\sigma^2{\rm e}^{r(T-t)}},\qquad 0\leq t\leq T,\end{eqnarray}

(3.26)

\begin{eqnarray}\label{31}\pi^*_2(t)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\xi}{\rm e}^{-r(T-t)}\ln\bigg[\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{1}{1-\theta^*(t)}\frac{g_0(t)}{g_1(t)}\bigg]^{\frac{1}{p}},& 0\leq t\leq\tau\wedge T,\\0,& t\geq \tau\wedge T,\end{array}\right.\end{eqnarray}

(3.27)

其中

\begin{array}{l} \frac{{\phi (t) + 1 - \sqrt {{{[\phi (t) - 1]}^2} + 4\frac{\delta }{\xi }} }}{2},0 \le t \le \tau \wedge T,\\ \frac{{\mu - r}}{\sigma } + \lambda + p\beta {{\rm{e}}^{r(T - t)}} - \lambda \hat \mu (t),t \ge \tau \wedge T. \end{array}

(3.28)

为了验证HJBI方程的解(3.25)为值函数,我们给出如下验证定理(引自文献[16]).

命题4.1 令 ${\cal O}:=(0,T)\times(0,\infty)\times(0,\infty)\times\{0,1\}$,$\bar{{\cal O}}$ 表示 ${\cal O}$ 的闭包. 假设存在函数 $G\in{\cal C}^2({{\cal O}})\cap{\cal C}(\bar{{\cal O}})$ 及马尔科夫控制 $(\widetilde\pi^*,\theta^*)\in{\cal A}\times\Theta$,使得

1. 对所有 $\theta\in{\cal R}$ 及 $(t,x,z,v),v\in{\cal O}$,$\Lambda^{\widetilde\pi^*,\theta}[G(t,x,z,v)]\geq0$;

2. 对所有 $\widetilde\pi\in{\cal R}$ 及 $(t,x,z,v)\in{\cal O}$,$\Lambda^{\widetilde\pi,\theta^*}[G(t,x,z,v)]\leq0$;

3. 对所有 $(t,x,z,v)\in{\cal O}$,$\Lambda^{\widetilde\pi^*,\theta^*}[G(t,x,z,v)]=0$;

4. 对所有 $(\widetilde\pi,\theta)\in{\cal A}\times\Theta$: $\lim\limits_{t\longrightarrow T^-}G(t,X(t),Z(t),H(t))=-\frac{1}{p}Z(T){\rm e}^{-pX(T)}$;

5. 令 $\Psi$为 所有小于等于 $T$ 的停时的集合. 集族 $\{G(\hat\tau,X(\hat\tau),Z(\hat\tau),H(\hat\tau)\}_{\hat\tau\in\Psi}$ 一致可积.则 $V(t,x,z,v)=G(t,x,z,v)$ 且 $(\widetilde\pi^*,\theta^*)$ 为最优策略.

下面为使符号简单我们记 $X^{\widetilde\pi^*}(t)$为 $X^*(t)$. 在上面的背景下,有

\begin{eqnarray}\label{33}G(t,X^*(t),Z(t),H(t))=(1-H(t))G(t,X^*(t),Z(t),0)+H(t)G(t,X^*(t),Z(t),1).\end{eqnarray}

(4.1)

显然要证上式满足命题4.1,我们仅需证明条件5成立. 注意$H(t)\in\{0,1\}$,则结合不等式

$$|G(t,X^*(t),Z(t),H(t))|\leq|G(t,X^*(t),Z(t),0)|+|G(t,X^*(t),Z(t),1)|,$$ 我们只需证明$G(t,X^*(t),Z(t),i)$,$i=1,2$ 是一致可积的. 这里我们仅考虑$H(t)=0$的情况,另一个情况类似可证.由(2.7)式,我们可得到在策略$\widetilde\pi^*(t)$ 和 $\theta^*(t)$ 下的财富过程

\begin{eqnarray}\label{34} X^*(t)&=&{\rm e}^{rt}\bigg\{X(0)+\int_0^t{\rm e}^{-rs}[(\mu-r)\pi^*_1+(1-H(s))\delta\pi^*_2+c]{\rm d}s\\&&+\int_0^t{\rm e}^{-rs}\sigma\pi^*_1{\rm d}W(s)+\int_0^t{\rm e}^{-rs}\beta {\rm d}\widetilde W(s)\\&&-\int_0^t{\rm e}^{-rs}(1-H(s-))\xi\pi^*_2{\rm d}H(s)-\int_0^t\int_{R^+}{\rm e}^{-rs}yN({\rm d}s,{\rm d}y) \bigg\}.\end{eqnarray}

(4.2)

由Itô公式,对任意的$q>1$,我们有

\begin{eqnarray}\label{35} &&\big[Z^{\theta^*}(t){\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}X^*(t)}\big]^q\\ &=&\exp\bigg\{-qp{\rm e}^{rT}X(0)-qp\int_0^t{\rm e}^{r(T-s)}[(\mu-r)\pi^*_1+(1-H(s))\delta\pi^*_2+c]{\rm d}s\\ &&-q\int_0^t(\theta^*(s))^2{\rm d}s+q\int_0^t\int_{R^+}\theta^*(s)\upsilon({\rm d}s,{\rm d}y)+qh^{{\cal P}}\int_0^t\theta^*(s)(1-H(s)){\rm d}s \bigg\}\\ &&\times \exp\bigg\{q\int_0^t\int_{R^+}[\ln(1-\theta^*(s))+p{\rm e}^{r(T-s)}y]N({\rm d}s,{\rm d}y) \bigg\}\\ &&\times\exp\bigg\{q\int_0^t[\ln(1-\theta^*(s))+p{\rm e}^{r(T-s)}(1-H(s-))\xi\pi^*_2]{\rm d}H(s) \bigg\}\\&&\times\exp\bigg\{-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\sigma\pi^*_1]{\rm d}W(s)-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\beta]{\rm d}\widetilde W(s) \bigg\}.\end{eqnarray}

(4.3)

显然

$$D_1(t):=\exp\bigg\{-qp{\rm e}^{rT}x-qp\int_0^t{\rm e}^{r(T-s)}[(\mu-r)\pi^*_1+(1-H(s))\delta\pi^*_2+c]{\rm d}s\\-q\int_0^t(\theta^*(s))^2{\rm d}s+q\int_0^t\int_{R^+}\theta^*(s)\upsilon({\rm d}s,{\rm d}y)+h^{{\cal P}}\int_0^t\theta^*(s)(1-H(s)){\rm d}s \bigg\}$$ 在$[0,T]$上有界. 另一方面

$$D_2(t):=\exp\bigg\{q\int_0^t\int_{R^+}[\ln(1-\theta^*(s))+p{\rm e}^{r(T-s)}y]N({\rm d}s,{\rm d}y) \bigg\}$$ 和

$$D_3(t):=\exp\bigg\{q\int_0^t[\ln(1-\theta^*(s))+p{\rm e}^{r(T-s)}(1-H(s-))\xi\pi^*_2]{\rm d}H(s) \bigg\}$$ 都是有界变差过程. 则我们可知在$[0,T]$上,$|D_2(t)|$ 和 $|D_3(t)|$ 都是有界的. 对(4.3)式最后一项,我们有

$$\exp\bigg\{-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\sigma\pi^*_1]{\rm d}W(s)-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\beta]{\rm d}\widetilde W(s) \bigg\}\\=\exp\bigg\{-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\sigma\pi^*_1]{\rm d}W(s)-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\beta]{\rm d}\widetilde W(s) \\ -\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\sigma\pi^*_1]^2{\rm d}s-\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\beta]^2{\rm d}s\bigg\}\\\times\exp\bigg\{\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\beta]^2{\rm d}s +\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\sigma\pi^*_1]^2{\rm d}s \bigg\}\\=:M(t)\cdot D_4(t),$$ 其中

$$M(t):=\exp\bigg\{-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\sigma\pi^*_1]{\rm d}W(s)-q\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\beta]{\rm d}\widetilde W(s) \\ -\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\sigma\pi^*_1]^2{\rm d}s-\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\beta]^2{\rm d}s\bigg\}$$ 为一个指数鞅.

$$D_4(t):=\exp\bigg\{\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-t)}\beta]^2{\rm d}s +\frac{q^2}{2}\int_0^t[\theta^*(s)+p{\rm e}^{r(T-s)}\sigma\pi^*_1]^2{\rm d}s \bigg\} $$ 是一个确定的连续函数. 从而存在常数$K$使得

$$|G(t,X^*(t),Z(t),0)|^q=\bigg|\frac{g_0(t)}{p}\bigg|^q\cdot|D_1(t)D_2(t)D_3(t)D_4(t)|\cdot|M(t)|\leq K\cdot M(t). $$ 于是,由可选停时定理知对所有满足 $0\leq\hat\tau_n\leq T$的停时序列{$\hat\tau_n$},有

$$ E(|G(\hat\tau_n,X^*(\hat\tau_n),Z^{\theta^*}(\hat\tau_n),0)|^q)\leq K E\big[M(\hat\tau_n)\big]< \infty. $$ 这意味着函数$G(t,x,z,v)$的一致可积性成立. 于是结合命题4.1,我们有如下定理:

定理4.1 设$\widetilde \pi$,$\theta$ 由 式(3.26),(3.27) 及 (3.28)确定,而函数$g_1(t)$,$\hat g_0(t)$由式(3.14),(3.24)给出. 则我们有最优策略$(\theta^*,\widetilde \pi^*):=(\theta,\widetilde \pi)$及值函数

$$V(t,x,z,v)=G(t,x,z,v)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}}[(1-v){\rm e}^{\hat g_0(t)}+vg_1(t)].$$

在这一节中我们将考虑扩散逼近风险模型的情况. 由文献[],累积索赔过程 $ \Sigma_{n=1}^{N(t)}Y_n$可以由如下漂移布朗运动来逼近

$$\Sigma_{n=1}^{N(t)}Y_n\approx\lambda\mu_1t+\sqrt{\lambda\mu_2}\bar W(t),$$ 其中$\bar W(t)$为一标准布朗运动. 从而,我们可以得到扩散逼近风险模型

\begin{eqnarray}\label{36} {\rm d}\widetilde R(t)&=&\lambda\eta\mu_1{\rm d}t+\beta {\rm d}\widetilde W(t)-\sqrt{\lambda\mu_2}{\rm d}\bar W(t)\\&=&\hat c{\rm d}t+\beta {\rm d}\widetilde W(t)+\hat \sigma {\rm d}\bar W(t),\end{eqnarray}

(5.1)

其中 $\hat c=\lambda\eta\mu_1$,$\hat \sigma=-\sqrt{\lambda\mu_2}$. 进一步,假设有$\mbox{Cov}(\bar W(t),\widetilde W(t) )=\rho t$,$\rho\in[-1,1]$. 由标准高斯线性回归,可以得到如下方程

$${\rm d}\bar W(t)=\rho {\rm d}\widetilde W(t)+\hat \rho {\rm d}\hat W(t),$$ 其中$\hat\rho=\sqrt{1-\rho^2}$并且 $\hat W(t)$是一个与$W(t)$和 $\widetilde W(t)$独立的标准布朗运动. 从而,我们有在扩散逼近风险模型下的财富过程

\begin{eqnarray}\label{37} {\rm d}X(t)&=&\Big\{ rX(t)+(\mu-r)\pi_1(t)+(1-H(t))\delta\pi_2(t)+\hat c\Big\}{\rm d}t+\sigma\pi_1(t){\rm d}W(t)\\&&+(\beta+\hat \sigma \rho){\rm d}\widetilde W(t)+\hat \sigma \hat \rho {\rm d}\hat W(t)-(1-H(t-))\xi\pi_2(t){\rm d}H(t).\end{eqnarray}

(5.2)

注意,在这一节中,我们的假设(H1)变为

$${\rm (H2)}: Y>\tilde{L}, {\rm a.s.} ,$$ 其中 $\tilde{L}:=\frac{1}{\sqrt{\lambda}}[\frac{\mu-r}{(\rho+\hat{\rho})\sigma p}\mbox{e}^{-r(T-t)}+\frac{\beta}{\rho+\hat{\rho}}].$

令 $\hat{\cal F}=\{\hat{\cal F}_t\}_{t\geq0}$为由$(W(t),\widetilde W(t),\hat W(t))$生成的完备自然过滤. 此外对每个$t\in[0,T]$,我们定义扩展的 $\sigma$ -代数 $ \hat{\cal G}_t:=\hat{\cal F}_t\vee{\cal H}_t$. 记 $\hat{\cal G}:=\{\hat{\cal G}_t|t\in[0,T]\}$. 于是,我们称策略$\widetilde \pi=(\pi_1,\pi_2)$是可行的若他是 $\hat{\cal G}$ -循序可测的并且对所有的 $t>0$,满足

$$E\bigg[\int_0^t\pi^2_i(s){\rm d}s\bigg]<\infty,~~ i=1,2 . $$

最后我们令$\hat{\cal A}$为可行策略集.现在我们定义过程$\{\theta(t)| t\in[0,T]\}$满足

1. 对所有$t\in[0,T]$,$\theta(t)$ 是 $\hat{\cal G}_t$ -可测的;

2. 对a.s. $(t,\omega)\in[0,T]\times\Omega$,$\theta(t)=\theta(t,\omega)\leq1$;

3. $\int_0^T\theta^2(t){\rm d}t<\infty$,${\cal P}$-a.s.并且令$\hat \Theta$为所有满足上述条件的过程$\theta(t)$所生成集合. 从而对每个$\theta(t)\in\hat\Theta$,我们定义$\hat{\cal G}$ -可测过程$\{Z^\theta(t)|t\in[0,T]\}$

\begin{eqnarray}\label{38} Z^\theta(t)&=&\exp\bigg\{-\int_0^t\theta(s){\rm d}W(s)-\int_0^t\theta(s){\rm d}\widetilde W(t)-\int_0^t\theta(s){\rm d}\hat W(t)-\frac{3}{2}\int_0^t\theta^2(s){\rm d}s\bigg\}\\&& \times \exp\bigg\{\int_0^t\ln(1-\theta(s)){\rm d}H(s)+h^{\cal P}\int_0^{t\wedge\tau}\theta(s){\rm d}s\bigg\}.\end{eqnarray}

(5.3)

我们假设$Z^\theta(t)$ 为一个$(\hat{\cal G},{\cal P})$ -鞅,于是有

$$E[Z^\theta(T)]=1.$$ 此外我们定义一族新的在 $\hat{\cal G}_T$上与${\cal P}$绝对连续的概率测度$\big\{{\cal P}^\theta\big\}_{\theta\in\hat \Theta}$

$$\frac{{\rm d}{\cal P}^\theta}{{\rm d}{\cal P}}\bigg|_{\hat{\cal G}_T}:=Z^\theta(T).$$ 这里我们同样考虑在最坏情景下最大化指数效应函数问题

\begin{eqnarray}\label{39} V(t,x,z,v)&=&\sup_{\widetilde\pi\in\hat{\cal A}} \inf_{\theta\in\hat \Theta} E_{ {\cal P}^\theta} \big[U(X^{\widetilde\pi}(T))|X(t)=x,Z(t)=z,H(t)=v \big]\\&=&\sup_{\widetilde\pi\in\hat{\cal A}} \inf_{\theta\in\hat \Theta} E\big [Z^\theta(T) U(X^{\widetilde\pi}(T))|X(t)=x,Z(t)=z,H(t)=v \big].\end{eqnarray}

(5.4)

由Itô公式,我们有如下HJBI方程

\begin{array}{l} 0 = \mathop {\sup }\limits_{\tilde \pi \in \widehat A} \{ \mathop {\inf }\limits_{\theta \in \hat \Theta } {{\hat \Lambda }^{\tilde \pi ,\theta }}V(t,x,z,v)\} ,\\ V(T,x,z,v) = - z\frac{1}{p}{{\rm{e}}^{ - px}}, \end{array}

(5.5)

其中偏微分算子$\hat\Lambda$定义如下

\begin{eqnarray}\label{41} \hat\Lambda^{\widetilde\pi,\theta}\psi&=&\psi_t+\psi_x[rx+(\mu-r)\pi_1+(1-v)\delta\pi_2+\hat c]+\frac{1}{2}\psi_{xx}\sigma^2\pi^2_1 \\ &&+\frac{1}{2}\psi_{xx}\widetilde \beta+\psi_zzh^{{\cal P}}(1-v)\theta+\frac{3}{2}\psi_{zz}z^2\theta^2-\psi_{xz}z\theta\sigma\pi_1-\psi_{xz}z\theta\hat\beta\\&&+h^{{\cal P}}(1-v)[\psi(t,x-\xi\pi_2,(1-\theta)z,1)-\psi(t,x,z,0)],\end{eqnarray}

(5.6)

其中 $\widetilde \beta=(\beta+\hat\sigma\rho)^2+\hat\sigma^2\hat\rho^2$ 且 $\hat\beta=\beta+\hat\sigma(\rho+\hat\rho)$. 与第三节类似,我们将分别对违约前和违约后的情形分别讨论.

此时,HJBI方程具有如下形式

$$0=\sup_{\widetilde\pi\in\hat{\cal A}} \inf_{\theta\in\hat \Theta} \bigg\{ V_t(t,x,z,1)+V_x(t,x,z,1)[rx+(\mu-r)\pi_1+\hat c]\\ +\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,1)\sigma^2\pi^2_1 +\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,1)\widetilde \beta +\frac{3}{2}V_{zz}(t,x,z,1)z^2\theta^2\\ -V_{xz}(t,x,z,1)z\theta\sigma\pi_1-V_{xz}(t,x,z,1)z\theta\hat\beta \bigg\}.$$ 我们考虑解

$$G(t,x,z,1)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}x}g_1(t).$$ 由一阶微分条件,可以得到候选最优控制

\begin{eqnarray}\label{42}\pi_1^*(t)=-\frac{\sigma\theta^*(t)-\mu+r}{p\sigma^2{\rm e}^{r(T-t)}}, \theta^*(t)=\frac{\mu-r}{\sigma}+p\hat \beta {\rm e}^{r(T-t)},\end{eqnarray}

(5.7)

其中$g_1(t)$ 满足

$$ \begin{equation}\label{43}g_1(t)=\exp\bigg\{ \int_t^T \bigg\{\frac{1}{2}\bigg[(\frac{\mu-r}{\sigma})+p\hat\beta {\rm e}^{r(T-s)}\bigg]^2-p\hat c{\rm e}^{r(T-s)}+\frac{1}{2}p^2 {\rm e}^{2r(T-s)}\widetilde \beta- \frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2} \bigg\}{\rm d}s \bigg\} .\end{equation}$$ 注意在假设(H2)下,易证有$\theta^*(t)\leq1$.

此时,HJBI方程具有如下形式

$$0=\sup_{\widetilde\pi\in\hat{\cal A}} \inf_{\theta\in\hat \Theta}\bigg\{ V_t(t,x,z,0)+V_x(t,x,z,0)[rx+(\mu-r)\pi_1+\delta\pi_2+\hat c]\\+\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,0)\sigma^2\pi^2_1 +\frac{1}{2}V_{xx}(t,x,z,0)\widetilde \beta+V_z(t,x,z,0)zh^{{\cal P}}\theta \\ +\frac{3}{2}V_{zz}(t,x,z,0)z^2\theta^2-V_{xz}(t,x,z,0)z\theta\sigma\pi_1-V_{xz}(t,x,z,0)z\theta\hat\beta\\+h^{{\cal P}}[V(t,x-\xi\pi_2,(1-\theta)z,1)-V(t,x,z,0)] \bigg\}.$$ 我们考虑解

$$G(t,x,z,0)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}x}{\rm e}^{g_0(t)}.$$ 与第三节方法类似,我们有如下候选最优策略

\begin{eqnarray}\label{44}\pi_1^*(t)=-\frac{\sigma\theta^*(t)-\mu+r}{p\sigma^2{\rm e}^{r(T-t)}},\pi_2^*(t)=\frac{1}{\xi}{\rm e}^{-r(T-t)}\ln \bigg[\frac{{\rm e}^{g_0(t)}}{g_1(t)}\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{1}{1-\theta^*(t)}\bigg]^{\frac{1}{p}},\end{eqnarray}

(5.9)

\begin{eqnarray} \theta^*(t)=\frac{\hat\phi(t)+1-\sqrt{[\hat\phi(t)-1]^2+4\frac{\delta}{\xi}}}{2}\end{eqnarray}

(5.10)

且$g_0(t)$满足

\begin{eqnarray}\label{45} g_0(t)&=&{\rm e}^{-\frac{\delta}{\xi}(T-t)} \int_t^T{\rm e}^{\frac{\delta}{\xi}(T-s)} \bigg[-p\hat c {\rm e}^{r(T-s)}+\frac{1}{2}p^2 \widetilde \beta {\rm e}^{2r(T-s)}\\&&-h^{{\cal P}}-\frac{(\mu-r)^2}{2\sigma^2}+\frac{\delta}{\xi}-\frac{\delta}{\xi}\ln g_1(s)+\hat T(\theta^*(s))\bigg]{\rm d}s,\end{eqnarray}

(5.11)

其中$\hat T(x):=-\frac{1}{2}x^2+[\frac{\mu-r}{\sigma}+h^{{\cal P}}+p\hat \beta {\rm e}^{r(T-t)}]x+\frac{\delta}{\xi}\ln (1-x)$ 并且 $\hat\phi(t):=\frac{\mu-r}{\sigma}+h^{{\cal P}}+p\hat\beta {\rm e}^{r(T-t)}$.

于是我们可以证明如下定理.

定理5.1 设 $\theta^*$,$\pi^*_1$ 与 $\pi^*_2$ 由下式给出

$$\label{46}\pi_1^*(t)=-\frac{\sigma\theta^*(t)-\mu+r}{p\sigma^2{\rm e}^{r(T-t)}},\qquad 0\leq t\leq T; $$ $$\pi^*_2(t)= \left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{\xi}{\rm e}^{-r(T-t)}\ln\bigg[\frac{\delta}{\xi}\frac{1}{h^{{\cal P}}}\frac{1}{1-\theta^*(t)}\frac{g_0(t)}{g_1(t)}\bigg]^{\frac{1}{p}},& 0\leq t\leq\tau\wedge T,\\0,& t\geq \tau\wedge T;\end{array}\right. $$ $${\theta ^*}(t) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{\hat \phi (t) + 1 - \sqrt {{{[\hat \phi (t) - 1]}^2} + 4\frac{\delta }{\xi }} }}{2},0 \le t \le \tau \wedge T,\\ \frac{{\mu - r}}{\sigma } + p{{\rm{e}}^{r(T - t)}}[\beta - \sqrt {\lambda {\mu _2}} (\rho + \hat \rho )],t \ge \tau \wedge T, \end{array} \right. $$ 其中函数 $g_1(t)$,$g_0(t)$ 分别由 (5.8),(5.11)式定义. 于是 $(\theta^*,\pi_1^*,\pi_2^*)$ 为最优控制并且最优值函数由下式给出

$$V(t,x,z,v)=G(t,x,z,v)=-\frac{1}{p}z{\rm e}^{-p{\rm e}^{r(T-t)}}[(1-v){\rm e}^{ g_0(t)}+vg_1(t)].$$

证 此证明与定理4.1类似,故证明省略.

在文献[19]中,对于无限投资期限下违约债券价格过程,作者给出了简洁的表达式. 文献[15]通过考虑红利及违约时的补偿要求给出了一个一般性的情况. 这里,我们将较详细的给出有限期限的违约债券价格过程的推导.首先我们给出一些符号与定义: 令 $r(t)$表示短期利率. $K$ 表示在债券不违约情况下所承诺的到期未定权益. $Y(t)$为违约补偿过程,它表示若在到期时刻$T_1$前发生违约,则在违约时刻$\tau$债券持有人应该得到的补偿支付.

首先,我们有如下违约债券的红利过程$D(t)$

\begin{eqnarray}\label{49}D(t)=K{\Bbb I}_{\{\tau>T_1\}}{\Bbb I}_{\{t\geq T_1\}}+Y(\tau) {\Bbb I}_{\{\tau\leq t\}}, t\in(0,T_1].\end{eqnarray}

(6.1)

由风险中性定价理论,在鞅测度$Q$下,我们有违约债券未来现金流的现值

\begin{eqnarray}\label{50}W(t,T_1)=B(t)E_{Q}\bigg[\int_{(t,T_1]}B^{-1}(u){\rm d}D(u)| {\cal G}_t\bigg], \forall t\in[0,T_1),\end{eqnarray}

(6.2)

其中 $B(t)$ 表示具有利率$r(t)$的无风险资产价格. 这里我们假设 $r(t)$ 为常数. 从而我们有

\begin{eqnarray}\label{51}W(t,T_1)=B(t)E_Q\big[B^{-1}(T_1)K{\Bbb I}_{\{\tau>T_1\}}+B^{-1}(\tau) Y(\tau) {\Bbb I}_{\{t<\tau\leq T_1\}} | {\cal G}_t\big], \forall t\in[0,T_1).\end{eqnarray}

(6.3)

显然在集合$\{\tau\leq t\}$上,$W(t,T_1)=0$. 从而有

$$W(t,T_1)={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}B(t)E_Q\big[B^{-1}(T_1)K{\Bbb I}_{\{\tau>T_1\}}+B^{-1}(\tau) Y(\tau) {\Bbb I}_{\{t<\tau\geq T_1\}} | {\cal G}_t\big] \\={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}B(t)E_Q\big[B^{-1}(T_1)K{\Bbb I}_{\{\tau>T_1\}} | {\cal G}_t\big] +{\Bbb I}_{\{\tau>t\}}B(t)E_Q\big[B^{-1}(\tau) Y(\tau) {\Bbb I}_{\{t<\tau\leq T_1\}} | {\cal G}_t\big].$$ 注意到在鞅测度$Q$下,$B(t)={\rm e}^{\int_0^tr(s){\rm d}s}$,$\Gamma(t)=\int_0^t h^Q(s){\rm d}s$,并且结合文献[15]中的推论5.1.1,我们得到

$${\Bbb I}_{\{\tau>t\}}B(t)E_Q\big[B^{-1}(T_1)K{\Bbb I}_{\{\tau>T_1\}} | {\cal G}_t\big]={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}E_Q\bigg[\frac{B(t)}{B(T_1)}K {\rm e}^{\Gamma(t)-\Gamma(T_1)} | {\cal F}_t\bigg] \\={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}E_Q\big[K {\rm e}^{-\int_t^{T_1}(h^Q(s)+r(s)){\rm d}s} | {\cal F}_t\big] .$$

另一方面,同样由文献[15,命题5.1.1],我们有

$${\Bbb I}_{\{\tau>t\}}B(t)E_Q\big[B^{-1}(\tau) Y(\tau) {\Bbb I}_{\{tlt;\tau\leq T_1\}} | {\cal G}_t\big]\\={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}{\rm e}^{\Gamma(t)}E_Q\bigg[\int_t^{T_1}\frac{B(t)}{B(s)}Y(s){\rm d}F(s) | {\cal F}_t\bigg] \\={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}{\rm e}^{\int_0^t h^Q(s){\rm d}s}E_Q\bigg[\int_t^{T_1}{\rm e}^{-\int_t^s r(u){\rm d}u}Y(s){\rm d}F(s) | {\cal F}_t\bigg] \\={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}E_Q\bigg[\int_t^{T_1}{\rm e}^{-\int_t^s (r(u)+h^Q(u)){\rm d}u}Y(s)h^Q(s){\rm d}s | {\cal F}_t\bigg],$$ 其中$F(s)$ 为违约时刻的条件概率分布函数,即: $F(s)=Q( \tau\leq s| {\cal F}_s )$,$t\leq s\leq T_1$. 经过上述分析,我们可以得到下式

$$W(t,T_1)={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}E_Q\big[K {\rm e}^{-\int_t^{T_1}(h^Q(s)+r(s)){\rm d}s} | {\cal F}_t\big] \\+ {\Bbb I}_{\{\tau>t\}}E_Q\bigg[\int_t^{T_1}{\rm e}^{-\int_t^s (r(u)+h^Q(u)){\rm d}u}Y(s)h^Q(s){\rm d}s | {\cal F}_t\bigg].$$

现在我们不妨假设$h^Q(t)$为常数且$K=1$,则在集合$\{\tau>t\}$上,

$$W(t,T_1)= {\rm e}^{-(r+h^Q)(T_1-t)} + E_Q\bigg[\int_t^{T_1}{\rm e}^{ -(r+h^Q)(s-t){\rm d}s}Y(s)h^Q{\rm d}s | {\cal F}_t\bigg]. $$ 与文献[20]类似,我们假设在违约时刻$\tau$,债券持有者将得到一定补偿,补偿金额与违约前一刻债券价值$W(\tau-,T_1)$成比例,也就是说

$$Y(t)=(1-\xi)W(t-,T_1), $$ 其中$0<\xi<1$为违约债券的损失率并且我们假设其为常数. 将其带入上式,我们有

$$W(t,T_1)= {\rm e}^{-(r+h^Q)(T_1-t)} + E_Q\bigg[\int_t^{T_1}{\rm e}^{ -(r+h^Q)(s-t){\rm d}s}(1-\xi)h^QW(s,T_1){\rm d}s | {\cal F}_t\bigg],\{ \tau>t \}. $$ 上式两边关于$t$取微分得

$${\rm d}W(t,T_1)=(r+h^Q)W(t,T_1){\rm d}t-(1-\xi)h^QW(t,T_1){\rm d}t. $$ 从而有

$$W(t,T_1)={\rm e}^{-(r+\xi h^Q)(T_1-t)}. $$

现在我们得到了违约债券在违约前的价值. 所以我们可以在鞅测度$Q$下定义违约债券的价格如下

$$P(t,T_1)={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}W(t,T_1)+{\Bbb I}_{\{\tau\leq t\}}(1-\xi)W(\tau,T_1){\rm e}^{r(t-\tau)}\\={\Bbb I}_{\{\tau>t\}}{\rm e}^{-(r+\xi h^Q)(T_1-t)}+{\Bbb I}_{\{\tau\leq t\}}(1-\xi){\rm e}^{-(r+\xi h^Q)(T_1-\tau)}{\rm e}^{r(t-\tau)}\\=(1-H(t)){\rm e}^{-(r+\xi h^Q)(T_1-t)}+(1-\xi){\rm e}^{rt}\int_0^t {\rm e}^{-(r+\xi h^Q)(T_1-s)}{\rm e}^{-rs}{\rm d}H(s).$$ 由Itô公式可得

\begin{eqnarray}\label{52}{\rm d}P(t,T_1)=rp(t,T_1){\rm d}t-\xi {\rm e}^{-(r+\delta)(T_1-t)}{\rm d}M^Q(t),\end{eqnarray}

(6.4)

其中$\delta:=\xi h^Q$. $M^Q(t)=H(t)-\int_0^t (1-H(u-))h^Q{\rm d}u$ 并且可以证明$M^Q(t)$在测度$Q$下为鞅(见文献[15]). 现在我们可知在测度$Q$下,违约债券的价格过程服从随机微分方程(6.4).

由于我们将在现实测度${\cal P}$ 下考虑最优投资组合问题,我们将运用Girsanov定理进行测度变换,从而得到测度${\cal P}$下的 价格过程(严格推导可参见文献[12]). 因为${\cal P}$ 与 $Q$ 为等价概率测度,于是存在可料过程$\Delta(u)$使得

$$\frac{{\rm d}{\cal P}}{{\rm d}Q}=\exp\bigg\{ \int_0^t\ln\Delta(u)-h^Q\int_0^{t\wedge\tau}[\Delta(u)-1]{\rm d}u \bigg\},$$ 其中$M^{{\cal P}}(t)=H(t)-h^Q\int_0^t\Delta(u)(1-H(u)){\rm d}u $ 在测度 ${\cal P}$ 下为鞅. 于是违约债券价格过程为

$${\rm d}P(t,T_1)= P(t-,T_1)\big\{ r{\rm d}t+(1-H(t))\delta(1-\Delta){\rm d}t-(1-H(t-))\xi {\rm d}M^{{\cal P}}(t) \big\}\\= P(t,T_1)\big\{[r+(1-H(t))\delta]{\rm d}t-(1-H(t-))\xi {\rm d}H(t)\big\},$$ 其中

$$ p(t,T_1)= \left\{\begin{array}{ll} {\rm e}^{-(r+\delta)(T_1-t)},&\tau>t,\\ (1-\xi){\rm e}^{-(r+\delta)(T_1-\tau){\rm e}^{r(t-\tau)}},& \tau\leq t. \end{array}\right. $$

这里我们假设$\Delta(u)$为常数且记为$\Delta$. 正如文献[12]中那样,我们假设$\Delta\leq1$,并且在${\cal P}$下违约强度为$h^{{\cal P}}=\Delta h^Q$.