令${\Bbb N}=\{0,1,2,\cdots\}$,${\Bbb Z}_+=\{1,2,\cdots\}$,$(\Omega,{\cal F},P)$ 为一概率空间,$(\Theta,{\cal B})$为环境空间,$({\cal X},{\cal A})$ 为状态空间,其中${\cal X}={\Bbb N}$,${\cal A}$ 为${\cal X}$离散$\sigma$域. 对于$\forall \theta\in\Theta$,$\{p_n(\theta);n\in{\Bbb N}\}$ 为概率分布列,且满足

$$\sum_{j=0}^{+\infty}jp_j(\theta)<+\infty,0\le p_0(\theta)+p_1(\theta)<1. $$ 对于任意$\theta\in\Theta$,对应有概率母函数

$$f_\theta(s)=p_0+p_1s+p_2s^2+\cdots+p_ns^n+\cdots. $$

定义1.1 令$\vec{\xi}=\{\xi_n,n\in{\Bbb N}\}$是$(\Omega,{\cal F},P)$上取值于$(\Theta,{\cal B})$的随机变量序列,$\vec{Z}=\{Z_n,n\in{\Bbb N}\}$和$\{X_{n_i},n\in{\Bbb N},i\in{\Bbb Z}_+\}$是$(\Omega,{\cal F},P)$上取值于$({\cal X},{\cal A})$的随机变量序列,且满足

$$Z_{n+1}=\sum_{i=1}^{Z_n}X_{n_i},P(X_{n_i}=j|\vec{\xi})=p_j(\xi_n),j\in{\cal X}, $$ $$P(X_{n_i}=j_{n_i},1\le i\le m,0\le n<k|\vec{\xi})=\prod_{n=0}^k\prod_{i=1}^mP(X_{n_i}=j_{n_i}|\vec{\xi}),j_{n_i}\in {\cal X}. $$ 则称$\vec{Z}$是随机环境$\vec{\xi}$中的分枝过程(BPRE) (参见文献[1]).

本文恒设 $\vec{Z}$是随机环境 $\vec{\xi}$中的分枝过程,并且$Z_0=1$.令$\vec{\Theta}=\Theta^{{\Bbb N}}$,$T$为$\vec{\Theta}$的转移算子,即$T^k(\vec{\theta})=(\theta_k,\theta_{k+1},\cdots)$.对任意$\vec{\theta}\in\vec{\Theta}$,简记$P_{\vec{\theta}}(\cdot )=P(\cdot|\vec{\xi}=\vec{\theta})$,$P,P_{\vec{\theta}}$相对应的期望分别为$E,E_{\vec{\theta}}$.令$Q=P\circ\vec{\xi}^{-1}$为$(\vec{\Theta},\vec{{\cal B}})$上的概率测度,满足

$$Q(\vec{B})=P(\vec{\xi}\in\vec{{\cal B}}),\forall \vec{B}\in\vec{{\cal B}}. $$

给出如下矩条件(A)(B)(C)(D),及条件(E):

(A) 任意$n\in{\Bbb N}$,存在$d_n>1$,使得对于$Q,$ a.s. $\vec{\theta},\forall k\in {\Bbb N},E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^n<d_n.$

(B) 存在$d_2$,使得对于$Q,$ a.s. $\vec{\theta},\forall k\in {\Bbb N},E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^2\le d_2.$

(C) 存在$t>2$,$d_t>1$,使得对于$Q,$ a.s. $\vec{\theta},\forall k\in {\Bbb N},E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^t\le d_t.$

(D) 存在$u>1$,使得$E_{T^k\vec{\theta}}Z_1\ge u,$ $Q$,a.s. $\vec{\theta}$.

(E) 对于任意$\theta\in\Theta$,恒有$p_{0}(\theta)=0$.

注 由于$Z_1$为非负整数值随机变量,故对任意$0<s\le t$有$Z_1^s\le Z_1^t,$ a.s.,所以若存在$t>0$,使得$ E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^d<d_t<\infty,$$Q,$ a.s. $\vec{\theta}$,则$\forall 0< s\le t$有,$ E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^s\le E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^t<d_t<\infty,$$Q,$ a.s. $\vec{\theta}.$ 故条件(A)等价于任意$t>0$,存在$d_t>1$,使得$ E_{T^k\vec{\theta}}Z_1^t<d_t<+\infty,$$Q,$ a.s. $\vec{\theta}.$

文献[3]中,当环境独立同分布时,在某给定条件下(例如$EZ_1^a<\infty,\forall a\ge 1$),得到结论:存在$C(t)\in(0,\infty)$使得

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{EZ_n^t}{(Em_0^t)^n}=C(t), $$ 其中$m_0=E(Z_1|\xi_0)$. 这给求 $\log Z_n$的Laplace变换$\Lambda(t)=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log EZ_n^t$,并进一步利用Cärtner-Ellis定理求$\log Z_n$的大偏差带来很大便利. 在环境不平稳的条件下,随机环境中分枝过程的大偏差理论就要复杂很多. 文章^[8] 讨论了其偏差性质. 另外,很多文献,例如文献[6],在环境平稳遍历的条件下得到了

$$P(W>0)=P(\lim_{n\rightarrow\infty}Z_n=\infty). $$ 因此,在$p_0(\xi)=0$,a.s 的条件下，$W_n=\frac{Z_n}{m_n}\rightarrow W>0$,a.s. 本文在给定条件下,利用引理3.5 同样证明了$W>0$,a.s.

本文的主要结果是在环境的各阶矩有限的条件下,给出过程的中心极限定理^{[4, 6]}和大偏差定理^{[2, 3, 5]}.简记$u_n=E_{T^k\vec{\theta}}(Z_1)$,令$m_n=\prod\limits_{k=0}^{n-1}u_k$,$W_n=\frac{Z_n}{m_n}$,易知$W_n$为非负上鞅,所以存在非负随机变量$W$,使得$W_n\mathop{\longrightarrow}\limits^{\rm a.s.}W$,若$W>0,$ a.s.,由于$\frac{1}{n}\log Z_n=\frac{1}{n}\log W_n+\frac{1}{n}\log m_n$,因此$\frac{1}{n}\log Z_n$和$\frac{1}{n}\log m_n$有相似的偏差性质.因而$W>0$是否几乎处处成立以及$W$的矩是很多学者关心的问题(参见文献[3]).本文主要是在给定子孙分布一阶矩和二阶矩有界的条件下给出了$W_n$的$L^2$收敛性和$W>0,$ a.s.,并给出了过程的其它一些渐近性质. 具体有如下主要结论. 在不致引起混淆的情况下简记$P$,a.s.为a.s..

定理2.1 在条件(B)、(D)、(E)下,存在$f_2>0$,使得$EW_n^2\le f_2$,从而存在随机变量$W$,使得$W_n \mathop{\longrightarrow}\limits^{L^2} W$,并且$W>0$,a.s..

定理2.2 在条件(C)、(D)、(E)下,

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P\bigg(\frac{Z_n-m_nW}{\sigma(T^n\vec{\xi})\sqrt{Z_n}}\le x\bigg)=\Phi(x),\forall x\in {\Bbb R}, $$ 其中$\Phi(x)$为$N(0,1)$的分布函数,$\sigma^2(\vec{\xi})=Var(W|\vec{\xi})$.

定理2.3 在条件(B)、(D)、(E)下,并且$\{\xi_i,i\ge0\}$为独立随机变量,存在$a>0$,使得 $Var \log u_1(\xi_k)\ge a$,则

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}(\liminf)\frac{\log Z_n-a_n}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}=1(-1),{\rm a.s.},$$ 其中$a_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}E\log m_k$,$s_n^2=\sum\limits_{k=0}^{n-1}Var(\log m_k)$.

注 条件(E)是为了防止$0$做分母和对$0$取对数,在此条件下过程$Z_n$是单调非减的.

例2.4 令$p_1(\theta_1)=\frac{1}{2},p_3(\theta_1)=\frac{1}{2}$; $p_1(\theta_2)=\frac{1}{4},p_5(\theta_2)=\frac{3}{4}$;$p_1(\theta_3)=\frac{1}{8},p_9(\theta_3)=\frac{7}{8}$. 环境过程$\xi_0,\xi_1,\cdots$独立,并且$P(\xi_{2n}=\theta_1)=P(\xi_{2n}=\theta_2)=\frac{1}{2}$,$P(\xi_{2n+1}=\theta_1)=P(\xi_{2n+1}=\theta_3)=\frac{1}{2}$. 容易验证条件(A)--(E)成立,从而定理2.1--2.3成立. 并且

$$E\log u_{2n}=\frac{3}{2}\log2,E\log u_{2n+1}=2\log2. $$ $$Var\log u_{2n}=\frac{1}{4}\log^22,Var\log u_{2n+1}=\log^22. $$ $$E\log m_n=\sum_{k=0}^{n-1}E\log u_k\thicksim\left(\frac{7}{4}\log2\right)n,a_n=\sum_{k=0}^{n-1}E\log m_k\thicksim\left(\frac{7}{8}\log2\right)n^2. $$ $$Var\log m_n=\sum_{k=0}^{n-1}Var \log u_k\thicksim\left(\frac{5}{8}\log^22\right)n,s_n^2=\sum_{k=0}^{n-1}Var\log m_k\thicksim\left(\frac{5}{16}\log^22\right)n^2. $$ $$\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}\thicksim\log2\sqrt{\frac{5}{8}\log\log n}\cdot n. $$ 因此由定理2.3

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}(\liminf)\frac{\log Z_n-\frac{7}{8}\log2\cdot n^2}{\log2\sqrt{\frac{5}{8}\log\log n}\cdot n}=1(-1),{\rm a.s.}. $$

引理3.1 在条件(A)和(D)下,任意$t>0$,存在$f(t)$使得$EW_n^t\le f(t)$,即$EW_n^t$对$n\ge0$有界.

证 对于$t\ge 1$,只须证明对任意$m\in{\Bbb N}$,有$EW_n^m\le f(m)$. 用归纳法证明.

对于$m=0$,显然$EW_n^0$有界. 假设对$k\le m-1$有$EW_n^k\le f(k)$.当$k=m$时,

$$Z_{n+1}^m=\bigg(\sum_{k=1}^{Z_n}X_{n,k}\bigg)^m\\=\sum_{k=1}^{Z_n}X_{n,k}^m+\sum_{1\le i<j\le Z_n,k_i+k_j=m}X_{n,i}^{k_i}X_{n,j}^{k_j}+\sum_{1\le i<j<l\le Z_n,k_i+k_j+k_l=m}X_{n,i}^{k_i}X_{n,j}^{k_j}X_{n,l}^{k_l}\\+\cdots + \sum_{1<i_1<i_2<\cdots<i_m}X_{n,i_1}X_{n,i_2}\cdots X_{n,i_m},$$ 所以对$Q$ a.s. $\vec{\theta}$

$$E_{\vec{\theta}}Z_{n+1}^m\le E_{\vec{\theta}}Z_nd_m+E_{\vec{\theta}}Z_n^2m^2d_m^2+\cdots+E_{\vec{\theta}}Z_n^{m-1}m^{m-1}d_m^{m-1}+E_{\vec{\theta}}Z_n^mu_n^m,$$ 又$u_1(\theta_k)\ge u>1$,可得$m_n\ge u^n$,a.s.,所以

$$E_{\vec{\theta}}W_{n+1}^m=E_{\vec{\theta}}\frac{Z_{n+1}^m}{m_{n+1}^m}\\\le\frac{1}{m_{n+1}^{m-1}}d_m+E_{\vec{\theta}}W_n^2\frac{1}{m_{n+1}^{m-2}}m^2d_m^2+\cdots+E_{\vec{\theta}}W_n^{m-1}\frac{1}{m_{n+1}}m^{m-1}d_m^{m-1}+E_{\vec{\theta}}W_n^m\\\le\frac{1}{m_{n+1}^{m-1}}d_m+\frac{1}{m_{n+1}^{m-2}}f(2)m^2d_m^2+\cdots+\frac{1}{m_{n+1}}f(m-1)m^{m-1}d_m^{m-1}+E_{\vec{\theta}}W_n^m\\\le\bigg(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{m_k^{m-1}}\bigg)d_m+\bigg(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{m_k^{m-2}}\bigg)f(2)m^2d_m^2\\+\cdots+\bigg(\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{m_k}\bigg)f(m-1)m^{m-1}d_m^{m-1}\\\le\bigg(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{u^{k(m-1)}}\bigg)d_m+\bigg(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{u^{k(m-2)}}\bigg)f(2)m^2d_m^2\\+\cdots+\bigg(\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{1}{u^k}\bigg)f(m-1)m^{m-1}d_m^{m-1}\\\triangleq f(m).$$ 因此有,$EW_n^m\le f(m)$.

对于$0<t<1$,由$x^t$的凹性,$EW_n^t\le (EW_n)^t=1$,引理得证.

引理3.2 在条件(B)和(D)下,对a.s. $\omega$,存在$N$,任意$n>N$有

$$Z_n<Z_{n+1}. $$

证 参见文献[8,引理3.3].

引理3.3 对于$0<p<1$,存在$l\in{\Bbb N}$,使得$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}C_n^{[\frac{n}{l}]}p^{[n-\frac{n}{l}]}<+\infty.$

证 因为$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}nep^n=0$,可取$l\in{\Bbb N}$,使得$lep^l<1$.要证$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}C_n^{[\frac{n}{l}]}p^{[n-\frac{n}{l}]}<+\infty,$只须证明

$$\sum_{n=1}^{+\infty}C_{ln}^np^{l(n-1)}<+\infty,\cdots,\sum_{n=1}^{+\infty}C_{ln+l-1}^np^{ln-1}<+\infty. $$ 因为

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{C_{l(n+1)}^{n+1}}{C_{ln}^n}p^l=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{[l(n+1)]!}{(n+1)![(l-1)(n+1)]!}\cdot\frac{n![(l-1)n]!}{(ln)!}p^l\\=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{l(n+1)[l(n+1)-1]\cdots(ln+1)}{(n+1)[(l-1)(n+1)]\cdots[(l-1)n+1]}p^l\\=l(1+\frac{1}{l-1})^{l-1}p^l\\\le lep^l<1,$$ 由正项级数收敛判别法,$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}C_{ln}^np^{ln}<+\infty$收敛,其它项类似可证. 引理3.4 在条件(B)和(D)下,存在$a>0$,对a.s. $\omega$,存在$N$,任意$n>N$有 $$Z_{n+1}\ge Z_n(1+a). $$

证 由文献[8,引理3.2],在条件(B)和(D)下,存在$0<p<1$,使得$p_0(\theta_k)<p<1$,$Q,$ a.s. $\vec{\theta}$.由引理3.3存在$l\in{\Bbb N}$,使得$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}C_n^{[\frac{n}{l}]}p^{[n-\frac{n}{l}]}<+\infty.$令$a=\frac{1}{l}$. 由引理3.2对于足够大的$n$,有$Z_n<Z_{n+1},$ a.s.,不妨设任意$n\ge0$,有$Z_n<Z_{n+1}$,a.s.,对于足够大的$n$,

$$P(\{Z_{n+1}<Z_n(1+a)\})=E[P(Z_{n+1}<Z_n(1+a)|Z_n)]\\\le EC_{Z_n}^{[Z_n-Z_na]}p^{[Z_n(1-a)]}\\\le C_n^{[n-na]}p^{[n(1-a)]}\\\le C_n^{[\frac{n}{l}]+1}p^{[n-\frac{n}{l}]}.$$ 所以

$$P\bigg(\bigcup_{n=1}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(1+a)\}\bigg)\le\sum_{n=1}^{+\infty}P(\{Z_{n+1}<Z_n(1+a)\})\\\le C_n^{[\frac{n}{l}]+1}p^{[n-\frac{n}{l}]}<+\infty.$$ 由Borel-Cantelli引理,此即

$$P(\{Z_{n+1}<Z_n(1+a),{\rm i.o.}\})=0. $$ 本引理得证.

引理3.5 在条件(B)和(D)下,对a.s. $\omega$,存在$N$,任意$n>N$有

$$Z_{n+1}\ge Z_n(u_n-\frac{1}{n^2}). $$

证 由引理条件,存在$b>0$,使得$Var(Z_1|\vec{\xi})<b$,a.s.,令

$$\tau=\inf\{N;\forall n\ge N,Z_{n+1}\ge Z_n(1+a)\}, $$ 由引理3.4,$P(\tau<+\infty)=1$.

$$P\bigg(\bigcup_{n=N+k}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}|\tau=N\bigg)\\ \le\sum_{n=N+k}^{+\infty}P(\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}|\tau=N)\\\le\sum_{n=N+k}^{+\infty}P(\{|Z_{n+1}-Z_nu_n|>\frac{Z_n}{n^2}\}|\tau=N)\\\le\sum_{n=N+k}^{+\infty}E\bigg(\frac{Z_n\delta_{\xi_n}^2n^4}{Z_n^2}|\tau=N\bigg)\\\le \sum_{n=k}^{+\infty}\frac{b(N+n)^4}{(1+a)^n}.$$ 从而

$$P\bigg(\bigcap_{k=1}^{+\infty}\bigcup_{n=N+k}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}|\tau=N\bigg)\\=\lim_{k\rightarrow\infty}P\bigg(\bigcup_{n=N+k}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}|\tau=N\bigg)\\=\lim_{k\rightarrow\infty}\sum_{n=k}^{+\infty}\frac{b(N+n)^4}{(1+a)^n}=0.$$ 所以可得

$$P\bigg(\bigcap_{m=1}^{+\infty}\bigcup_{n=m}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}\bigg)\\=P\bigg(\bigcap_{m=1}^{+\infty}\bigcup_{n=m}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\},\tau<\infty\bigg)\\=\sum_{k=1}^{+\infty}P(\tau=k)P\bigg(\bigcap_{m=1}^{+\infty}\bigcup_{n=m}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}|\tau=k\bigg)\\=\sum_{k=1}^{+\infty}P(\tau=k)P\bigg(\bigcap_{m=N}^{+\infty}\bigcup_{n=m}^{+\infty}\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2})\}|\tau=k\bigg)=0.$$ 亦即

$$P(\{Z_{n+1}<Z_n(u_n-\frac{1}{n^2}),{\rm i.o.}\})=0, $$ 本引理得证.

证明定理2.1$W_n$关于$\sigma$代数${\cal F}_n=\sigma\{Z_0,Z_1,\cdots,Z_{n-1},\xi_0,\cdots\xi_{n-1}\}$为非负鞅,从而存在$W$,使得$W_n\rightarrow W$,a.s.,由引理3.1的证明,$\sup\limits_{n\ge0}EW_n^2\le f(2)$,所以由鞅的收敛定理,$W_n \mathop{\longrightarrow}\limits^{L^2}W$. 令

$$\tau=\inf\{N;\forall n\ge N,Z_{n+1}>Z_n(1+a)\}, $$ 由引理3.5,$P(\tau<+\infty)=1$. 所以

$$ \lim_{n\rightarrow\infty}W_n=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{Z_n}{m_n}\ge \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\prod\limits_{k=\tau}^n(u_k-\frac{1}{k^2})\cdot Z_{\tau}} {\prod\limits_{k=\tau}^nu_k\cdot\prod\limits_{k=0}^{\tau-1}u_k}\\ = \lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=\tau}^n(1-\frac{1}{k^2u_k})\cdot\frac{Z_{\tau}}{\prod\limits_{k=0}^\tau u_k}\\ \ge\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=\tau}^n(1-\frac{1}{k^2u})\cdot\frac{Z_{\tau}}{\prod\limits_{k=0}^\tau u_k}\\ ={\rm e}^{\sum\limits_{k=\tau}^{\infty}\log(1-\frac{1}{k^2u})}\cdot\frac{Z_{\tau}}{\prod\limits_{k=0}^\tau u_k}>0. $$ 故有,$W>0$,a.s.,本定理得证.

由定理2.1的证明以及引理3.1,我们有如下推论.

推论3.6 在条件(A)、(D)、(E)下,存在$f_t>0$,使得$EW_n^t\le f_t$,从而存在随机变量$W$,使得$W_n \mathop{\longrightarrow}\limits^{L^t} W$,并且$W>0,$ a.s..

推论3.7 在条件(A)、(D)、(E)下,若环境过程$\vec{\xi}$独立同分布,则 $$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log P(\frac{\log Z_n}{n}\ge x)=-\Lambda^{*}(x),(\forall x\ge E\log \mu_0), $$ 其中$\Lambda(t)=\log E\mu_0^t,\Lambda^{*}=\sup\{tx-\Lambda(t),t\ge0\}$.

证 令

$$\tilde{Q}_0(d\theta)=\frac{\mu(\theta)^tQ_0(d\theta)}{E\mu_0^t},\tilde{Q}=\tilde{Q}_0^{\otimes{\Bbb N}},\tilde{{\Bbb P}}={\Bbb P}_{\vec{\xi}}\otimes \vec{Q}. $$ 易知,在测度$\tilde{Q}$下$\vec{\xi}$仍然满足条件(A)、(D)、(E),故由推论3.6,在测度$\tilde{{\Bbb P}}$下$W_n\mathop{\longrightarrow}\limits^{L^t}W$,并且$\tilde{E}W^t\le f(t)$,$W>0,$ a.s.,所以$0<\tilde{E}W^t<\infty$. 又$\frac{EZ_n^t}{(E\mu_0^t)^n}=\tilde{E}W_n^t$,可得

$$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log EZ_n^t=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\tilde{E}W_n^t+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\log (E\mu_0^t)^n= \log E\mu_0^t,(\forall t\ge 0). $$ 证毕.

由文献[4,定理6.1],可证本推论.

引理3.8 对任意$n>0$,$\{\xi_{n,j},j\ge1\}$为一列期望为$0$方差为$1$的独立同分布随机变量,$N_n$为一列正整数值随机变量,令$L_n=\sum\limits_{j=1}^{N_n}\xi_{n,j}$,$G_n(x)=P(\frac{L_n}{\sqrt{N_n}}\le x)$,如果存在$\delta,$ $M>0$,使得$E|\xi_{n,j}|^{2+\delta}\le M$,则

$$\sup_{x}|G_n(x)-\Phi(x)|\le CE(N_n^{-\frac{\delta}{2}}), $$ 其中$\Phi(x)$为标准正态分布的分布函数.

证 证明参加文献[5,引理3.1].

证明定理2.2 $Z_n-m_nW$可以写成

$$Z_n-m_nW=\sum_{j=1}^{Z_n}(1-W_n^j)~~~ {\rm a.s.}, $$ 其中$W_n^j$关于$j\ge0$独立同分布,并且

$$P(W_n^j\in\cdot|T^n\vec{\xi})=P(W\in\cdot|\vec{\xi}). $$ 所以在条件$\vec{\xi}$下,$\frac{1-W_n^j}{\sigma(T^n\vec{\xi})}$,关于$j\ge0$为期望为$0$,方差为$1$的独立同分布随机变量序列.又由引理3.1及定理条件,

$$E_{\vec{\xi}}\bigg|\frac{1-W_n^{j}}{\sigma(T^n\vec{\xi})}\bigg|^t=E_{T^n\vec{\xi}}\bigg|\frac{1-W}{\sigma(\vec{\xi})}\bigg|^t<+\infty,\exists t>2. $$ 所以由引理3.6可得

$$\bigg|P_{\vec{\xi}}\bigg(\frac{Z_n-m_nW}{\sigma(T^n\vec{\xi})\sqrt{Z_n}}\le x\bigg)-\Phi(x)\bigg|=\bigg|P_{\vec{\xi}}\bigg(\frac{\sum\limits_{j=1}^{Z_n}(1-W_n^j)}{\sigma(T^n\vec{\xi})\sqrt{Z_n}}\le x\bigg)-\Phi(x)\bigg|\le CE_{\vec{\xi}}(Z_n^{-\frac{t-2}{2}}), $$ 故有

$$\bigg|P\bigg(\frac{Z_n-m_nW}{\sigma(T^n\vec{\xi})\sqrt{Z_n}}\le x\bigg)-\Phi(x)\bigg|\le E\bigg|P_{\vec{\xi}}\bigg(\frac{Z_n-m_nW}{\sigma(T^n\vec{\xi})\sqrt{Z_n}}\le x\bigg)-\Phi(x)\bigg| \le CE(Z_n^{-\frac{t-2}{2}}). $$ 因此

$$\lim_{n\rightarrow\infty}P\bigg(\frac{Z_n-m_nW}{\sigma(T^n\vec{\xi})\sqrt{Z_n}}\le x\bigg)=\Phi(x),\forall x\in {\Bbb R}. $$ 定理得证.

引理3.9 $\{X_i,i\ge1\}$为独立随机变量序列,其中每个随机变量的期望为$0$,$S_n=\sum\limits_{k=1}^nX_k$,$s_n^2=\sum\limits_{k=1}^nEX_i^2$,若存在$\delta>0$,$K<\infty$,使得

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{s_n^2}{n}>0,E|X_i|^{2+\delta}\le K<\infty, $$ 则有重对数律成立,即

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}(\liminf)\frac{S_n}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}=1(-1). $$

证 参见文献[9,推论5.2.3].

证明定理2.3 由定理条件知$\log u_1(\xi_k)$,$k\ge0$为独立随机变量,可得

$$0<\log u\le\log u_1(\xi_k)\le\log d_1,{\rm a.s.}. $$ 令$s_n^2=\sum\limits_{k=0}^{n-1}Var\log u_1(\xi_k)$,有

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{s_n^2}{n}\ge \liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{na}{n}=a. $$ 对于$\delta>0$,有

$$E|\log u_1(\xi_k)-E\log u_1(\xi_k)|^{2+\delta}\le E|\log d_1-\log u|^{2+\delta}\\= |\log d_1-\log u|^{2+\delta}<+\infty.$$ 由引理3.7,$\log u_1(\xi_k)$满足重对数律,即

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}(\liminf)\frac{\sum\limits_{k=0}^{n-1}(\log u_1(\xi_k)-E\log u_1(\xi_k))}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}=1(-1). $$ 由定理2.1,$W>0$,a.s.,所以

$$\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\log Z_n-a_n}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}=\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\log W_n+\log m_n-a_n}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}\\=\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{\log m_n-a_n}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}=1,$$ 同理

$$\liminf_{n\rightarrow\infty}\frac{\log Z_n-a_n}{\sqrt{2s_n^2\log\log s_n^2}}=-1. $$ 定理得证.