本文主要研究如下带有分数扩散的多维Burgers方程解的衰减行为

\begin{equation}\label{FB}\left\{\begin{array}{ll}u_t+{\rm div} f(u)+(-\Delta)^{\alpha}u=0,\qquad & x\in{\Bbb R}^n,t\in(0,+\infty),\\u(0,x)=u_0(x) , & x\in{\Bbb R}^n,\end{array}\right.\end{equation}

(1.1)

其中 $u=u(t,x)\in {\Bbb R}$,$t\geq 0$,$x\in {\Bbb R}^n$,$n\ge2$,$f(u)=(f_1(u),f_2(u),\cdots,f_n(u))$,$f_i(u)=\frac{1}{2}u^2$ ($1\leq i\leq n$),$0<\alpha<1$ 代表扩散效应的强度.

Burgers 方程不仅是许多复杂的连续介质力学问题的原型,还是会出现激波的最简单的发展方程之一. 当 $\alpha =0,1$时,方程(1.1) 为经典 Burgers 方程. 其中,当 $\alpha=0$ 时,方程 (1.1) 称为带阻尼效应的 Burgers 方程; 当$\alpha=1$时,方程(1.1) 称为带扩散效应的 Burgers 方程. 自1940年 Burgers 方程提出以来,对经典 Burgers 方程的研究已经有了全面而深刻的结果.

当 $0<\alpha<1$ 时,$(-\Delta)^{\alpha}$ 称为分数阶 Laplace 算子. 分数阶 Laplace 算子是平稳 Lévy 过程的无穷小生成元. $(-\Delta)^{\alpha}$ 由 Fourier 变换定义,即 $\left((-\Delta)^{\alpha}f\right)^{\wedge}(\xi)=|\xi|^{2\alpha}\hat{f}(\xi)$. 一般称 $\alpha=\frac12$ 为 $(-\Delta)^{\alpha}$ 的临界情况,$\alpha>\frac12$ 为超临界情况,$\alpha<\frac12$ 为次临界情况.

有许多物理现象可以用带有分数扩散的 Burgers 方程来描述,如气体和非正常扩散作用下的半导体的超压爆轰效应. 近年来,很多研究者对带有分数扩散的 Burgers 方程的全局存在解与有限时间爆破解进行了深刻的研究. Biler、 Karch和Woyczynski^[6] 对一类条件下带有分数扩散的 Burgers 方程弱解存在性、唯一性、正则性和渐进行为进行了研究. Kiselev和Ryzhik^[16],Chan和Czubak^[9] 证明了临界情况与次临界情况下,具有周期或非周期 $L^2$ 初值时弱解的全局存在性与局部 Hölder 连续性 (对在初值属于 Besov 空间的情形,可参考 文献[21]). 对于超临界情况,Dong、 Du和 Li^[11]给出了一般初值条件下弱解的局部存在性和爆破准则 (也可参考文献[3]),Droniou、 Gallouet和 Vovelle^[12]对方程解的唯一性,Alibaud和 Andreainov^[2]对方程解的不唯一性进行了刻画.

在 Burgers 方程 (1.1) 的适定性的基础之上,研究者们对解的长时间行为有很多深入的研究. Schonbek^{[25, 26]}得到了经典 Burgers 方程 ($\alpha=1$) 古典解的 $L^p$ ($1\leq p\leq +\infty$) 和 $H^m$ 的最优衰减率 (也可参考文献 ^[20] 的点态估计). 对一维情形,Karch,Miao和 Xu^[14] 在超临界情况下,研究了解的大时间稀疏波现象; Alibaud、 Imbert和 Karch^[4] 对临界情况和次临界情况下解的渐近行为进行了刻画. 对多维情况,Biler、 Funaki和 Woyczynski^[5] 建立了对 $L^1$ 初值经典解的时间衰减估计. 最近,Wang和Wang^[28],Li和Rong^[19] 对超临界情况进行了深入的研究. Li和Rong^[19]得到了光滑非周期初值的方程解的齐次 Sobolev 范数的最优衰减估计. 在 文献[28] 中,Woyczynski 建立了周期解的指数衰减估计. 关于分数扩散 Burgers 方程的更多物理背景和研究进展,可参考文献 ^{[1, 6]}.

本文主要考虑分数阶 Burgers 方程 (1.1) 在初值 $u_0\in L^p$ 情况下弱解的 $L^p$ 模衰减估计. 主要定理陈述如下.

定理1.1 设 $0<\alpha\le 1$,$u_0\in L^2({\Bbb R}^n)\cap L^p({\Bbb R}^n) (p\not=2)$,则方程 (1.1) 的弱解 $u$ 有下列估计

\begin{equation}\label{UD1} \|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\le C(1+t)^{-\frac{n}{4\alpha}\left(\frac2p-1\right)},\qquad 1\le p<2,\end{equation}

(1.2)

\begin{equation}\label{UD2} \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le C(1+t)^{-\frac{n}{4\alpha}\left(1-\frac2p\right)},\qquad p>2,\end{equation}

(1.3)

其中 $C$ 是仅与 $n$,$p$,$\alpha$,$\|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)}$,$\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}$ 有关的常数.

注1.1 定理 1.1 的证明方法可用于建立二维 quasi-geostrophic 方程在 $0< \alpha\le 1$ 情况下的衰减估计 (文献[23] 证明了其在 $\frac12<\alpha\le 1$ 的情形).

在定理 1.1 中,假设了初值 $u_0\in L^2({\Bbb R}^n)\cap L^p({\Bbb R}^n) (p\not=2)$,下一个定理则说明当初值 $u_0$ 仅仅属于 $L^2({\Bbb R}^n)$ 时,超临界的分数阶 Burgers 方程的解不可能有一致的衰减估计.

定理1.2设 $\frac12<\alpha\le 1$,则对任意 $M>0$,$0<\epsilon<1$,$T>0$,都存在 $u_0\in L^2({\Bbb R}^n)$,并且 $\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}=M$,使得方程 (1.1) 的弱解 $u$ 满足

$$\frac{\left\|u(T,\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}}{\left\|u_0(\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}}>1-\epsilon. $$

下一个定理是在 $p$ 充分大情况下,对方程 (1.1) 弱解的 $L^p$ 衰减的刻画. 对$\alpha=1$,需要限制 $n\geq3$.

定理1.3 设 $\frac12<\alpha\le 1$,$u_0\in L^2({\Bbb R}^n)\cap L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)$,则存在仅与 $u_0$ 有关的常数 $T$ 和仅与 $n$,$\alpha$,$T$,$\|u_0\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}} ({\Bbb R}^n)}$,$\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}$ 有关的常数 $C>0$,使得方程 (1.1) 的弱解 $u$ 对任意的 $p\ge\frac{n}{2\alpha-1}$,$t\ge T$ 有

\begin{equation}\label{LP1} \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le Ct^{-\frac{n(n-4(2\alpha-1))}{4\alpha p(2\alpha-1)}-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}}. \end{equation}

注1.2 与定理 1.1 不同,定理 1.3 的常数 $C$ 与 $p$ 无关.

本文的结构如下: 第二节将建立初值 $u_0\in L^2\cap L^p$ ($p\not=2$) 情况下方程 (1.1) 弱解 $u$ 的最优 $L^2$ 衰减估计和最优 $L^p$ 衰减估计. 第三节将讨论初值 $u_0\in L^2$ 情况下解的一致衰减的不可能性. 第四节将建立在 $p$ 充分大情况下解的一致 $L^p$ 衰减估计.

这一节将考察分数阶 Burgers 方程 (1.1) Cauchy 问题的一致 $L^2$ 衰减估计. 本节将采用 Fourier 分解法进行证明,Fourier 分解法由 Schonbek^{[24, 26]} 提出,Cordba、 Cordba和 Ju^{[9, 10, 13]}完善. 在证明定理 1.1 之前,先给出分数阶 Burgers 方程的极值原理

\begin{equation}\label{Max} \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le \|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\qquad 1\le p\le+\infty \end{equation}

(2.1)

对任意的 $u_0\in L^p({\Bbb R}^n)$ 成立. 分数阶 Burgers 方程的极值原理是非负性引理^{[9, 10]}

$$ \int_{{\Bbb R}^n}|u|^{p-2}u(-\Delta)^{\alpha}u{\rm d}x\ge 0 $$ 的直接推论. 实际上,对任意的 $1<p<+\infty$,在方程 (1.1) 的左右两端同乘 $|u|^{p-2}u$,并进行分部积分,有 $\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p\le0$. 由非负性引理,可以得到

$$\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le \|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)}. $$ 对 $p=1$ 和 $p=\infty$,可以令 $p\rightarrow1+$ 和 $p\rightarrow\infty$ 获得相同的估计.

本文的证明同样需要一个由 Kiselev和Ryzhik^[18]严格证明的 Galiardo-Nirbenberg-Sobolev 插值不等式的推广. 这个推广对考虑 $p>4$ 的情况是至关重要的.

引理2.1 设 $n\ge 2$,则对任意的 $v\in C_0^{\infty}({\Bbb R}^n)$,对 $q,r>0$,$q>r$,$\frac1n-\frac12+\frac1q>0$,有

$$\|v\|_q\le C(q,n)\|v\|_r^{1-\theta}\|\nabla v\|_2^{\theta},\qquad \theta=\frac{\frac1r-\frac1q}{\frac1n-\frac12+\frac1r}. $$

定理 1.1 的证明 先考虑 $1\le p<2$ 的情况. 令 $p,q$ 的共轭,即: $q=\frac{p}{p-1}$,取 $\chi$ 为 $B(0,2)$ 上关于 $B(0,1)$ 的截断函数,即: $\chi\in C_0^{\infty}(B(0,2))$,且于 $B(0,1)$ 上$\chi=1$. 记 $u$ 的低频部分为 $u_L$,即

$$u_L(t,x)=\left(\chi\Big(\frac{(1+t)|\xi|^{2\alpha}}{\mu}\Big)\hat{u}(t,\xi)\right)^{\vee}(t,x),$$ 其中 $\mu>0$ 将会在后文中确定. 根据 Plancherel 定理可得

$$\|u_L(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2=\|\widehat{u_L}(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2=\int_{{\Bbb R}^n}|\hat{u}|^2(t,\xi)\chi^2 \Big(\frac{(1+t)|\xi|^{2\alpha}}{\mu}\Big){\rm d}\xi.$$ 注意到 $1=\frac{2}{q}+\frac{2-p}{p}$,利用 Hölder 不等式,得到

$$\|u_L(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2 \le \left(\int_{{\Bbb R}^n}|\hat{u}|^q(t,\xi){\rm d}\xi\right)^{\frac2q} \left(\int_{{\Bbb R}^n}\chi^{\frac{2p}{2-p}}\Big(\frac{(1+t)|\xi|^{2\alpha}}{\mu}\Big){\rm d}\xi\right)^{\frac{2-p}p}\\\le C (1+t)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac2p-1\right)} \|\hat{u}(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}^2 \|\chi(\cdot)\|_{L^{\frac{2p}{2-p}}({\Bbb R}^n)}^2.$$ 利用 Riesz-Thorin 插值定理,有

$$\|\hat{u}(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le C \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}.$$ 于是有

$$\|u_L(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2\le C (1+t)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac2p-1\right)} \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^2.$$

由极值原理 (2.1),可以得到

\begin{equation}\label{UD2.l} \|u_L(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\le C (1+t)^{-\frac{n}{4\alpha}\left(\frac2p-1\right)},\end{equation}

(2.2)

其中 $C$ 是仅与 $\mu,n,p,\alpha$,$\|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)}$ 有关的常数.

低频部分的衰减估计已经表明解是具有衰减的. 计算 $u$ 与方程 (1.1)$_1$ 左右两端的内积,注意到$\int_{{\Bbb R}^n}u {\rm div}f(u){\rm d}x=0$,有

$$ \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2+ \|(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2=0,$$ 其中

$$ \|(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2=\int_{{\Bbb R}^n}|\xi|^{2\alpha}|\hat{u}|^2(t,\xi){\rm d}\xi\\\ge \frac{\mu}{1+t}\int_{\left\{|\xi|^{2\alpha}>\frac{\mu}{1+t}\right\}}|\hat{u}|^2(t,\xi){\rm d}\xi\\= \frac{\mu}{1+t}\left(\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2-\int_{\left\{|\xi|^{2\alpha}\le\frac{\mu}{1+t}\right\}}|\hat{u}|^2(t,\xi){\rm d}\xi \right),$$ 这说明了

$$ \frac12\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2+\frac{\mu}{1+t}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2 \le \frac{\mu}{1+t}\int_{\left\{|\xi|^{2\alpha}\le\frac{\mu}{1+t}\right\}}|\hat{u}|^2(t,\xi){\rm d}\xi\\\le \frac{\mu}{1+t}\|u_L(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2.$$ 利用 $u_L$ 的估计 (2.2)式,可得

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2+\frac{2\mu}{1+t}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2 \le C (1+t)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac2p-1\right)-1}. $$ 在两端乘上积分因子 ${\rm e}^{\int_0^t\frac{2\mu}{1+\tau}{\rm d}\tau}=(1+t)^{2\mu}$,经过简单的计算,有

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\left((1+t)^{2\mu}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2\right)\le C (1+t)^{2\mu-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac2p-1\right)-1}. $$ 取 $\mu>0$,$2\mu>\frac{n}{2\alpha}\big(\frac2p-1\big)$,在 $[0,t]$ 上积分,得到

$$ (1+t)^{2\mu}\|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2\le \|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2+C (1+t)^{2\mu-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac2p-1\right)}. $$ 所以有

$$ \|u(t,\cdot)\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2\le C(1+t)^{-2\mu}+C (1+t)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac2p-1\right)}, $$ 其中 $C$ 是仅与 $n$,$p$,$\alpha$,$\|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)}$,$\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}$ 有关的常数. 由于 $2\mu>\frac{n}{2\alpha}\big(\frac2p-1\big)$,以上估计说明 (1.2) 式成立.

当 $p>2$ 时,在方程 (1.1)$_1$ 两端同乘 $|u|^{p-2}u$,注意到 $\int_{{\Bbb R}^n}|u|^{p-2}u {\rm div}f(u){\rm d}x=0$,可以得到

\begin{equation}\label{DE1} \frac1p\frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p +\int_{{\Bbb R}^n}|u|^{p-2}u(-\Delta)^{\alpha}u(t,\cdot){\rm d}x=0.\end{equation}

(2.3)

利用非负性引理的推广处理积分项,有

\begin{equation}\label{DE2} \int_{{\Bbb R}^n}|u|^{p-2}u(-\Delta)^{\alpha}u{\rm d}x\ge \frac2p\int_{{\Bbb R}^n}\left((-\Delta)^{\frac{\alpha}2}|u|^{\frac{p}2}\right)^2{\rm d}x =\frac2p\left\|(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}|u|^{\frac{p}2}\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2. \end{equation}

(2.4)

这个结果是文献 ^[13]中证明的非负性引理的推广,由分数阶算子 $(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$ 的 Riesz 位势定义^{[9, 10]}

$$(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}u(x)=C_{\alpha,n}P. V. \int_{{\Bbb R}^n}\frac{u(x)-u(y)}{|x-y|^{n+\alpha}}{\rm d}y,\qquad x\in{\Bbb R}^n,$$ 可得点态估计

$$|u|^{\frac{p}2-2}u(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}u(x)\ge \frac2p(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}|u|^{\frac{p}2}(x),\qquad x\in{\Bbb R}^n,$$ 通过积分可以得到 (2.4)式.

至此,(2.3) 和 (2.4) 式说明

\begin{equation}\label{DE4} \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p +\left\|(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}|u|^{\frac{p}2}(t,\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2\le0. \end{equation}

(2.5)

另一方面,利用 Galiardo-Nirbenberg-Sobolev 插值不等式和极值原理,有

\begin{eqnarray}\label{DE3} \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p&=&\left\||u|^{\frac{p}2}(t,\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2 \\ &\le &C\left(\left\||u|^{\frac{p}2}(t,\cdot)\right\|_{L^{\frac4p}({\Bbb R}^n)}^{\frac{4\alpha}{np-2(n-2\alpha)}} \left\|(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}|u|^{\frac{p}2}(t,\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^{\frac{n(p-2)}{np-2(n-2\alpha)}}\right)^2 \\ &\le &C\left\|u_0\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^{\frac{4p\alpha}{np-2(n-2\alpha)}} \left\|(-\Delta)^{\frac{\alpha}2}|u|^{\frac{p}2}(t,\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^{\frac{2n(p-2)}{np-2(n-2\alpha)}}.\end{eqnarray}

(2.6)

在$p>4$ 的时候需要采用 Galiardo-Nirbenberg-Sobolev 插值不等式在其中一个指标小于1 时的推广 (引理 2.1).

结合 (2.5) 和 (2.6)式,可以得到

$$ \frac{\rm d}{{\rm d}t}\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p +c_{n,p,\alpha}\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^{-\frac{4p\alpha}{n(p-2)}} \left(\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^{p}\right)^{\frac{np-2(n-2\alpha)}{n(p-2)}} \le0.$$ 经过计算,可以获得估计

$$ \|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le \|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)} \left(1+\tilde{c}_{n,p,\alpha}\|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^{\frac{4p\alpha}{n(p-2)}}\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^{-\frac{4p\alpha}{n(p-2)}} t\right)^{-\frac{n}{4\alpha}\left(1-\frac2p\right)},$$ 这说明了定理 1.1 成立. 注意到 $p=2$ 时,有

$$ \lim\limits_{p\to2+}\tilde{c}_{n,p,\alpha}=0, $$ 故以上的证明过程不能保证方程 (1.1) 在 $p=2$ 时存在精确的衰减估计.

本节将会考察方程 (1.1) 弱解在初值 $u_0\in L^2({\Bbb R}^n)$ 时一致衰减的不存在性. 为了简便,对任意 $h(x)$,记

$$G_{\alpha}(t)h(x)={\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}h(x)=g_{\alpha}(t,\cdot)*h(x),$$ 其中

$$g_{\alpha}(t,x)=\left({\rm e}^{-t|\xi|^{2\alpha}}\right)^{\vee}(t,x). $$

定理 1.2 的证明思想源于Schonbek^[27] 对 Navier-Stokes 方程的研究. 将分数阶 Burgers 方程 (1.1) 改写为积分形式

\begin{equation}\label{IFB} u(t,x)={\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}u_0(x)+\int_0^t{\rm e}^{-(t-s)(-\Delta)^{\alpha}}(-{\rm div})f(u(s,x)){\rm d}s.\end{equation}

(3.1)

构造一族 $L^2$ 模 $\lambda$ 不变的初值 $\{u_0^{\lambda}(x)\}_{\lambda\in{{\Bbb R}_+}}$,显然地,(3.1)式 的线性部分也是 $L^2$ 模是 $\lambda$ 不变的,如果 (3.1) 式的非线性部分可以随 $\lambda$ 的变化任意地小,那就得到了方程 (1.1) 的非一致衰减性.

定理 1.2 的证明 设 $p\ge q>2$,$\frac1p+\frac1q=\frac12$. 设初值 $u_0\in L^2({\Bbb R}^n)\cap L^p({\Bbb R}^n)$,记 $M=\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}$. 定义

$$u_0^{\lambda}(x)=\lambda^{\frac{n}{2}}u_0(\lambda x) ,\qquad \lambda>0.$$ 显然地,$u_0^{\lambda}$ 的 $L^2$ 模与 $\lambda$ 无关,即

$$\left\|u_0^{\lambda}\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}= \left\|u_0\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}=M ,\qquad\ \lambda>0. $$ 取 $u_0^{\lambda}$ 为初值,方程 (1.1) 的积分形式为

\begin{equation}\label{MS} u^{\lambda}(t,x)=g_{\alpha}(t,\cdot)*u_0^{\lambda}(x)+\int_0^tg_{\alpha}(t-s,\cdot)*(-{\rm div})f(u^{\lambda}(s,x)){\rm d}s.\end{equation}

(3.2)

由 Plancherel 定理和 Fourier 变换性质,(3.2)式 的右端第一项有以下估计

$$\begin{array}{rl} \left\|g_{\alpha}(t,\cdot)*u_0^{\lambda}(\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2 =\left\|\widehat{g_{\alpha}(t,\cdot)*u_0^{\lambda}(\cdot)}\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2 =\int_{{\Bbb R}^n}{\rm e}^{-2t\lambda^{2\alpha}|\xi|^{2\alpha}}|\hat{u_0}(\xi)|^2{\rm d}\xi,\end{array}$$ 对任意给定的 $T>0$,由 Lebesgue 控制收敛定理,可以得到

\begin{equation}\label{SD1}\lim\limits_{\lambda\to0+}\frac{ \left\|g_{\alpha}(T,\cdot)*u_0^{\lambda}(\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2}{ \|u_0^{\lambda}\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2}=\lim\limits_{\lambda\to0+}\frac{\int_{{\Bbb R}^n}{\rm e}^{-2T\lambda^{2\alpha}|\xi|^{2\alpha}}|\hat{u}_0(\xi)|^2{\rm d}\xi}{\|\hat{u}_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}^2}=1.\end{equation}

(3.3)

对 (3.2) 式右端第二项的被积函数进行分析,利用卷积性质,有

$$\left\|g_{\alpha}(t-s,\cdot)*{\rm div}f(u^{\lambda}(s,\cdot))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)} =\left\|\nabla g_{\alpha}(t-s,\cdot)*f(u^{\lambda}(s))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}.$$ 由 (4.2)式,有

$$\left\|\nabla g_{\alpha}(t-s,\cdot)*f(u^{\lambda}(s))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\le C(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}}\|f(u^{\lambda}(s))\|_{L^2({\Bbb R}^n)}.$$ 利用 Hölder 不等式,可以得到

$$\left\|g_{\alpha}(t-s,\cdot)*{\rm div}f(u^{\lambda}(s,\cdot))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\le C(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}}\|u^{\lambda}(s)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\|u^{\lambda}(s)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}.$$ 由极值原理,得到

$$\left\|g_{\alpha}(t-s,\cdot)*{\rm div}f(u^{\lambda}(s,\cdot))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}\le C(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}}\|u_0^{\lambda}\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\|u_0^{\lambda}\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\\= C(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}}\lambda^{\frac{n}{2}}\|u_0\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\|u_0\|_{L^q({\Bbb R}^n)}.$$ 利用以上的估计,对任意的 $T>0$,有

\begin{equation}\label{SD2} \int_0^T\left\|g_{\alpha}(T-s,\cdot)*{\rm div}f(u^{\lambda}(s,\cdot))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\le CT^{1-\frac{1}{2\alpha}}\lambda^{\frac{n}{2}}\left\|u_0\right\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\left\|u_0\right\|_{L^q({\Bbb R}^n)}.\end{equation}

(3.4)

整理 (3.2)-(3.4)式,得到对任意 $0<\epsilon<1$,$T>0$,取 $\lambda>0$ 足够小,得到

$$ \frac{\left\|u^{\lambda}(T,\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}}{\left\|u_0^{\lambda}\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}}\ge \frac{\left\|g_{\alpha}(T,\cdot)*u_0^{\lambda}(\cdot)\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}}{\|u_0^{\lambda}\|_{L^2({\Bbb R}^n)}} -\frac{\int_0^T\left\|g_{\alpha}(T-s,\cdot)*{\rm div}f(u^{\lambda}(s,\cdot))\right\|_{L^2({\Bbb R}^n)}{\rm d}s}{\|u_0\|_{L^2({\Bbb R}^n)}}\\>1-\epsilon.$$ 所以有定理 1.2 成立.

本节主要考虑方程 $L^p$ 模的一致衰减估计 ($p\ge\frac{n}{2\alpha-1}$). 在此之前,先给出分数阶热核算子 $G_{\alpha}(t)$ 的一些性质. 以下结果是 文献[30] 的推广.

引理4.1 设 $1\le p\le q\le +\infty$. 对任意 $t>0$,$G_{\alpha}(t)$ 和 $\nabla G_{\alpha}(t)$ 是 $(p,q)$ 算子. 而且对 $h\in L^p({\Bbb R}^n)$,有估计

\begin{equation}\label{KE1} \|G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le Ct^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac1p-\frac1q\right)}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\end{equation}

(4.1)

\begin{equation}\label{KE2} \|\nabla G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le Ct^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac1p-\frac1q\right)}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)},\end{equation}

(4.2)

其中 $C$ 是仅与 $\alpha,n$,$p$ 有关,且与 $q$ 无关的常数.

证 先证明 (4.1)式. 注意到

$$G_{\alpha}(t)h(x)={\rm e}^{-t(-\Delta)^{\alpha}}h(x)=\left(g_{\alpha}(t,\cdot)*h\right)(x),$$ 其中 $g_{\alpha}(t,x)$ 满足 $\|g_{\alpha}(t,\cdot)\|_{L^1({\Bbb R}^n)}=\widehat{g_{\alpha}}(t,0)=1$,而且有

\begin{equation}\label{KE3} g_{\alpha}(t,x)=\int_{{\Bbb R}^n}{\rm e}^{{\rm i}x\cdot\xi-t|\xi|^{2\alpha}}{\rm d}\xi =t^{-\frac{n}{2\alpha}}\int_{{\Bbb R}^n}{\rm e}^{{\rm i}t^{-\frac1{2\alpha}}x\cdot\xi-|\xi|^{2\alpha}}{\rm d}\xi =t^{-\frac{n}{2\alpha}}g_{\alpha}(1,t^{-\frac1{2\alpha}}x).\end{equation}

(4.3)

对 $p=q\in[1,+\infty]$,由 Young 不等式,有

\begin{equation}\label{KE4}\|G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}=\|g_{\alpha}(t)*h(\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le \|g_{\alpha}(t,\cdot)\|_{L^1({\Bbb R}^n)}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)}=\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)}.\end{equation}

(4.4)

为利用插值不等式,首先导出 $G_{\alpha}h$ 的 $L^p-L^{\infty}$估计. 不失一般性,设 $G_{\alpha}h$ 在 $x=0$ 处达到最大值. 利用 Hölder 不等式,有

\begin{eqnarray}\label{KE8} \|G_{\alpha}(t)h\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^n)}^p&=&\left|G_{\alpha}(t)h(0)\right|^p=\left|g_{\alpha}(t,\cdot)*h(0)\right|^p \\ &\le &\|g_{\alpha}(t,\cdot)\|_{L^1({\Bbb R}^n)}^{p-1}\int_{{\Bbb R}^n}\left|g_{\alpha}(t,x)\right||h(x)|^p{\rm d}x\\ &\le &\int_0^{\infty}g_{\alpha}(t,\rho){\rm d}H(\rho) \\ &\le &\int_0^{\infty}\left|\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \rho}(t,\rho)\right|H(\rho){\rm d}\rho \\ &\le &\int_0^{\infty}\left|\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \rho}(t,\rho)\right|{\rm d}\rho\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p,\end{eqnarray}

(4.5)

其中应用了不等式

$$H(\rho):=\int_{|x|\le\rho}|h(x)|^p{\rm d}x\le \|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^p. $$ 由 (4.3)式 可以得到

$$\int_0^{\infty}\left|\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \rho}(t,\rho)\right|{\rm d}\rho =t^{-\frac{n}{2\alpha}-1}\int_0^{\infty}\left|\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \rho}(1,t^{-\frac1{2\alpha}}\rho)\right|{\rm d}\rho\\ =t^{-\frac{n}{2\alpha}}\int_0^{\infty}\left|\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \rho}(1,\rho)\right|{\rm d}\rho. $$ 将上式代入 (4.5)式,有

$$ \|G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^n)}\le t^{-\frac{n}{2\alpha p}}\left(\int_0^{\infty}\Big|\frac{\partial g_{\alpha}}{\partial \rho}(1,\rho)\Big|{\rm d}\rho\right)^{\frac1p}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)} \\\le C t^{-\frac{n}{2\alpha p}}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)}. $$ 结合 Riesz 插值不等式和 (4.4)式,得到

$$ \|G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le \|G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^{\infty}({\Bbb R}^n)}^{1-\frac{p}q}\|G_{\alpha}(t)h(\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}^{\frac{p}q}\\\le C^{1-\frac{p}{q}} t^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac1p-\frac1q\right)}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\\\le Ct^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac1p-\frac1q\right)}\|h\|_{L^p({\Bbb R}^n)},$$ 其中 $C$ 是仅与 $n,p$,$\alpha$ 有关的常数.

为证明 (4.2)式,利用

$$\nabla G_{\alpha}(t)h(x)=t^{-\frac1{2\alpha}}\left(\tilde{g}_{\alpha}(t,\cdot)*h\right)(x),$$ 其中 $\tilde{g}_{\alpha}(t,x)$ 性质与 $g_{\alpha}(t,x)$ 类似. 采用同样的步骤,可以得到 (4.2)式.

证明定理 1.3 的思路来自 Kato和Fujita^{[15, 16]} 对 Navier-Stokes 方程的研究和 Niche、 Orive-Illera及 Schonbek^{[22, 23]} 对 quasi-geostrophic 方程、多孔介质方程的研究.

定理 1.3 的证明 若对任意 $q\in[\frac{n}{2\alpha-1},+\infty)$,若 对足够小的 $\kappa>0$,和 $\|u_0\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}\le\kappa$,都存在一个正常数 $K'$,有估计

\begin{equation}\label{CL} \|u(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)} \le K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)},\|\nabla u(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)},\end{equation}

(4.6)

那么有估计 (1.4) 成立. 实际上,由定理 1.1 有,存在 $T>0$ 充分大,使得

$$\|u(T,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}<\kappa. $$ 同时,对 $p\in[\frac{n}{2\alpha-1},r]$,由 Riesz 插值不等式,可以得到

$$\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le\|u(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}^{\frac{n(r-p)}{p(r(2\alpha-1)-n)}} \|u(t,\cdot)\|_{L^r({\Bbb R}^n)}^{\frac{r(p(2\alpha-1)-n)}{p(r(2\alpha-1)-n)}}.$$ 因此,对 $t\ge T$,利用定理 1.1 和 (4.6)式,有

$$\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le C\left(t^{-\frac{n}{4\alpha}\left(1-\frac{2(2\alpha-1)}{n}\right)}\right)^{\frac{n(r-p)}{p(r(2\alpha-1)-n)}} \left(t^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1r\right)}\right)^{\frac{r(p(2\alpha-1)-n)}{p(r(2\alpha-1)-n)}}\\=Ct^{-\frac{n(n-2(2\alpha-1))(r-p)}{4\alpha p(r(2\alpha-1)-n)}-\frac{p(2\alpha-1)-n}{2p\alpha}},$$ 其中 $r>\frac{n}{2\alpha-1}$. 注意到 $C$ 是与 $r$ 无关的常数,且 $r\mapsto\frac{n(n-2(2\alpha-1))(r-p)}{4\alpha p(r(2\alpha-1)-n)}$ 关于 $r$ 的单调上升,极限为 $\frac{n(n-2(2\alpha-1))}{4\alpha p(2\alpha-1)}$. 所以对任意 $p\in[\frac{n}{2\alpha-1},+\infty)$ 有解的最优衰减估计,即

$$\|u(t,\cdot)\|_{L^p({\Bbb R}^n)}\le Ct^{-\frac{n(n-2(2\alpha-1))}{4\alpha p(2\alpha-1)}-\frac{p(2\alpha-1)-n}{2p\alpha}}= Ct^{-\frac{n(n-4(2\alpha-1))}{4\alpha p(2\alpha-1)}-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}},\qquad t\ge T. $$ 所以有估计 (1.4).

定义

$$ u_1(t,x)=g_{\alpha}(t,\cdot)*u_0(x), $$ 构造逼近序列为

\begin{equation}\label{IFBA} u_{m+1}(t,x)= u_1(t,x)+\int_0^tg_{\alpha}(t-s,\cdot)*(-{\rm div})f(u_m(s,x)){\rm d}s,\end{equation}

(4.7)

其中 $m=1,2,3,\cdots$. 显然 $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ 是恰当的,而且有估计

\begin{equation}\label{KE5} \left\{\begin{array}{rl} \|u_m(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}&\le K_mt^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)},\\\|\nabla u_m(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)} &\le K_m't^{-\frac1{2\alpha}},\end{array}\right. \end{equation}

(4.8)

其中 $\delta\in(0,1)$ 待定. 在 $m=1$,$p=\frac{n}{2\alpha-1}$,$q=\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}$ 或 $q=\frac{n}{2\alpha-1}$ 情况下,利用 (4.1) 和 (4.2) 式有 (4.8)式 成立. 取

$$ K_1=K_1'=C\|u_0\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}, $$ 其中 $C$ 是仅与 $n$,$\alpha$ 有关的常数.

采用数学归纳法进行证明: 若对任意 $m\geq 1$ 有 (4.8) 式成立,有 $u_{m+1}(t,\cdot)$,$\nabla u_{m+1}(t,\cdot)$ 满足 (4.8)式. 那么对所有的 $m\geq 1$,有 (4.8) 式成立.

由 (4.8),(4.2) 式和 Hölder 不等式可以得到

$$ \|u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}\\\le \|u_1(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} +\int_0^t\left\|g_{\alpha}(t-s,\dot)*{\rm div}f(u_m(s,\cdot))\right\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)} +C\int_0^t(t-s)^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}}\left\|u_m(s,\cdot)\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{(\delta+1)(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)} +C\int_0^t(t-s)^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}}\left\|u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} \left\|\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)} +CK_mK_m'\int_0^t(t-s)^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}}s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)} +CK_mK_m't^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}\int_0^1(1-s)^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}}s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s.$$ 由于 $2\alpha>1$,上式积分项是收敛的,有

$$ \|u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}\le \left(K_1+CK_mK_m'\right)t^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}. $$ 这是 $m+1$ 情况下的式 (4.8)$_1$,且

\begin{equation}\label{KE6} K_{m+1}\le K_1+CK_mK_m',\end{equation}

(4.9)

其中 $C$ 是仅与 $\delta,n$,$\alpha$ 有关的常数. 同样地,在 (4.7) 式两端做微分,并利用 (4.8),(4.2) 式和 Hölder 不等式,有

$$ \|\nabla u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}\\ \le \|\nabla u_1(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)} +\int_0^t\left\|\nabla g_{\alpha}(t-s,\cdot)*{\rm div}f(u_m(s,\cdot))\right\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{1}{2\alpha}} +C\int_0^t(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\delta}\left\|u_m(s,\cdot)\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{(\delta+1)(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{1}{2\alpha}} +C\int_0^t(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\delta}\left\|u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} \left\|\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{1}{2\alpha}} +CK_mK_m'\int_0^t(t-s)^{-\frac{1}{2\alpha}-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\delta}s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s\\\le K_1t^{-\frac{1}{2\alpha}} +CK_mK_m't^{-\frac{1}{2\alpha}}\int_0^1(1-s)^{-\frac{1}{2\alpha}-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\delta} s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s.$$ 由于 $2\alpha>1$,上式得积分是收敛的.

$$ \|\nabla u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}\le \left(K_1+CK_mK_m'\right)t^{-\frac{1}{2\alpha}}, $$ 这是 $m+1$ 情况下的式 (4.8)$_2$,且

\begin{equation}\label{KE7} K_{m+1}'\le K_1+CK_mK_m'.\end{equation}

(4.10)

注意到 (4.9),(4.10) 式及 $K=\frac1{2C}$,在 $K_1=K_1'<\frac1{4C}$ 时可以用归纳法得到

$$K_m\le K,\qquad K_m'\le K ,\qquad \mbox{对} m=1,2,3,\cdots,$$ 即对任意 $m$,有

\begin{equation}\label{A1} \|u_m(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} \le Kt^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)},\|\nabla u_m(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}\le Kt^{-\frac1{2\alpha}}.\end{equation}

(4.11)

若 $\|u_0\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}<\frac1{4C^2}$,可以得到 $K_1=K_1'<\frac1{4C}$. 以上的结论可以由 $\kappa<\frac1{4C^2}$ 得到.

由 Kato 方法^[16],取 $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛于解 $u$ 的子列,若这个子列有一致衰减估计,那么 $u$ 和 $\nabla u$ 有相应的衰减估计

$$ \|u(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} \le Kt^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)},\qquad\|\nabla u(t,\cdot)\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}\le Kt^{-\frac1{2\alpha}}. $$

首先估计 $\{u_m\}_{m=1}^\infty$ 与 $\{\nabla u_m\}_{m=1}^\infty$ 的 $L^q$ 模($\frac{n}{2\alpha-1}\le q<+\infty$). 我们将证明: 存在一个正常数 $K'$,对$m=1,2,3,\cdots$,都有

\begin{equation}\label{A2} \|u_m(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)} \le K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)},\|\nabla u_m(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}. \end{equation}

(4.12)

$m=1$ 时,若 $K'\ge 2C\|u_0\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}$,估计直接成立. $m\ge 1$ 时,由引理 2.1,(4.11)式 和 Hölder不等式,可以得到

$$ \|u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\\\le \|u_1(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)} +\int_0^t\left\|g_{\alpha}(t-s,\cdot)*{\rm div}f(u_m(s,\cdot))\right\|_{L^q({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}\\+C\int_0^t(t-s)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)}\left\|u_m(s,\cdot)\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{(\delta+1)(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}\\ +C\int_0^t(t-s)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)} \left\|u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} \left\|\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)} +CK^2\int_0^t(t-s)^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)} s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)} +CK^2t^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)} \int_0^1(1-s)^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}}s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s.$$ 由于 $2\alpha>1$,最后一个积分在 $\delta<\frac{n}{q(2\alpha-1)}$ 时收敛,因此,可以得到

$$ \|u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le \left(\frac12K'+CK^2\right)t^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}. $$

同样地,有

$$\|\nabla u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\\\le \|\nabla u_1(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)} +\int_0^t\left\|\nabla g_{\alpha}(t-s,\cdot)*{\rm div}f(u_m(s,\cdot))\right\|_{L^q({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}\\ +C\int_0^t(t-s)^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)}\left\|u_m(s,\cdot)\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{(\delta+1)(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}+C\int_0^t(t-s)^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)}\\ \times \left\|u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{\delta(2\alpha-1)}}({\Bbb R}^n)} \left\|\nabla u_m(s,\cdot)\right\|_{L^{\frac{n}{2\alpha-1}}({\Bbb R}^n)}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}\\+CK^2\int_0^t(t-s)^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)} s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s\\\le \frac12K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}\\ +CK^2t^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)} \int_0^1(1-s)^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{(\delta+1)(2\alpha-1)}{n}-\frac1q\right)} s^{-\frac{2\alpha-1}{2\alpha}\left(1-\delta\right)}s^{-\frac{1}{2\alpha}}{\rm d}s.$$ 由 $2\alpha>1$ 和 $\delta<\frac{n}{q(2\alpha-1)}$,可知积分是收敛的,因此有

$$ \|\nabla u_{m+1}(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le \left(\frac12K'+CK^2\right)t^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}. $$ 取 $K'\ge 2CK^2$,于是有 (4.12)式.

现在采用 Kato-Fujita 方法^[16],抽取在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛于 Cauchy 问题 (1.1) 在初值为 $u_0$ 时的解 $v$,根据之前的讨论,$v$ 满足以下衰减估计

$$ \|v(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)} \le K't^{-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)},\qquad\|\nabla v(t,\cdot)\|_{L^q({\Bbb R}^n)}\le K't^{-\frac1{2\alpha}-\frac{n}{2\alpha}\left(\frac{2\alpha-1}{n}-\frac1q\right)}. $$ 由于方程 (1.1) 的弱解唯一性 (参考文献 [5,定理 6.2]),有 $v=u$. 故而,定理 1.3 得证.