在${\mathbb{R}}^3$中,带自重力的可压缩非等熵粘性流体的运动可以用Navier-Stokes-Poisson 方程描述为

\begin{equation} \left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \begin{array}{l} \rho_t + ▽(\rho \upsilon)=0,\\(\rho \upsilon)_t + ▽(\rho \upsilon \otimes \upsilon)+ \nabla P=\mu \Delta \upsilon + (\lambda+\mu)\nabla (▽\upsilon)- \rho \nabla \Phi ,\\ (\rho S)_t + ▽(\rho S \upsilon)=0,\\ \Delta \Phi = 4\pi g \rho,\ \lim\limits_{|x|\rightarrow +\infty} \Phi(x,t)=0, \end{array} \right.\label{bl-E1.1} \end{equation}

(1.1)

其中 $\rho=\rho(x,t)\geq 0,\upsilon=\upsilon (x,t),g$ 和 $\Phi$分别表示流体的密度,速度和重力常数. $S(x,t)$ 是有界的熵函数,且$S\in {\mathcal {C}}^3$. $\lambda$ 和 $\mu$ 是两个粘性系数,满足

\begin{equation}\label{bl-E1.mu}\mu>0,\ \ \lambda +\frac{2}{3}\mu\geq 0 .\end{equation}

(1.2)

压力函数 $P=A e^S \rho^\gamma$,这里 $\gamma>1$ 是绝热指数,$A$ 是正常数,为方便计算,我们把它正规化为 $1$.

由方程 (1.1)$_4$ 可得

\begin{equation} \Phi_{\rho}(x,t)= -g \int \frac{\rho(y,t)}{|x-y|}{\rm d}y.\label{bl-E1.2} \end{equation}

(1.3)

对于方程 (1.1),许多学者研究其不依赖时间的解(平衡解)的稳定性.只要解是方程(1.1)对应能量泛函的最小化子,物理学家就称这种解是稳定的. 而数学学者是通过研究方程的初值问题,来讨论解的非线性稳定性的. 考虑到这两种情况,本文证明当绝热指数$\frac{4}{3}<\gamma<2$ 时,能量泛函的最小化子是非线性稳定的. 接着,我们利用扰动性分析得出$\gamma=\frac{4}{3}$ 时,方程(1.1)的平衡解是不稳定的.

方程(1.1)还可以描述星体的运动.许多数学学者研究了非粘性等熵流体 (i.e. $\lambda=\mu=S=0$),得到一些稳定性的结果. 对于白矮星来说,压力函数满足下面的渐进性质 (参见文献[1])

\begin{equation} \left\{ \renewcommand{\arraystretch}{1.25} \begin{array}{ll} P(\rho)=a_1 \rho^{\frac{4}{3}}-a_2 \rho^{\frac{2}{3}}+\cdots,& \rho\rightarrow \infty,\\ P(\rho)= b_1 \rho^{\frac{5}{3}}- b_2 \rho^{\frac{7}{3}}+o(\rho^3),& \rho\rightarrow 0, \end{array} \right.\label{bl-E1.jj} \end{equation}

(1.4)

其中 $a_{i}$ 和 $b_{i} \ (i=1,2)$ 是正常数. 文献[2]证明了这种星体的非线性动力稳定性. 如果 $P(\rho)=A \rho^{\gamma}(4/3<\gamma<2)$,文献[3] 证明了方程平衡态的非线性稳定性. 文献[4]研究了绕轴旋转的星体平衡解的非线性稳定性. 文献[5]中构造了方程的爆破解.

如果流体运动速度不是常数,则需要考虑流体表面粘性的影响. 对于粘性流体(i.e. $\lambda,\mu\neq 0$)的研究也有很多. 球对称运动时,Ducomet 和Zlotnik^[6] 研究了围绕固体核运动的可压缩流体的全局性质,同时得到一些稳定性的结论; Jang 在文献[7]中证明了$\frac{6}{5}<\gamma<\frac{4}{3}$时平衡态的不稳定性; Zhang 和Fang^[8] 研究了中心没有固体核且依赖于密度的粘性流体,得到平衡态的动力稳定性. 在更一般的运动条件下,文献[9]中证明了平衡解的非线性稳定性. 上面这些文献考虑的都是等熵情形.关于非等熵的流体,文献[10] 中讨论了非等熵Euler-Poisson方程平衡解的存在性. 本文在非等熵条件下,从 N-S-P方程对应的能量泛函入手,研究方程平衡态的稳定性和不稳定性.

方程 (1.1)对应的能量泛函为

\begin{equation}E\big( \rho(x,t),\upsilon(x,t) \big) :=E_{kin}+\int\frac{P}{\gamma-1} {\rm d}x+E_{pot}+E_{dif},\label{bl-E1.3}\end{equation}

(1.5)

其中

$$E_{kin}=\frac{1}{2}\int \rho |\upsilon|^2 (x,t) {\rm d}x,E_{dif}=\int_0^T \int \Big( \mu |\nabla \upsilon|^2 +(\lambda+\mu)(\mbox{div} \upsilon)^2 \Big)(x,t) {\rm d}x{\rm d}t, $$ $$E_{pot}:=\frac{1}{2}\int \rho\Phi {\rm d}x= -\frac{g}{2}\int\!\!\!\int\frac{\rho(x,t)\rho(y,t)}{|x-y|}{\rm d}y{\rm d}x =-\frac{1}{8\pi g}\int |\nabla \Phi_{\rho}|^2 {\rm d}x <0 . $$ 我们将在流体质量一定的条件下,即

$$\int \rho(x,t) {\rm d}x=M(t) $$ 下研究泛函(1.5)的性质.由质量守恒方程(1.1)$_1$ 和能量守恒方程(1.1)$_2$易得

\begin{equation}\frac{\rm d}{{\rm d}t}M(t)=0, \frac{\rm d}{{\rm d}t}E(t)= 0. \label{bl-E1.s}\end{equation}

(1.6)

因此,如果 $(\rho,\upsilon)$ 是 (1.1) 的全局解,则对于任意的 $t>0$,有

$$ M(t)=M(0),E(t) = E(0). $$

本文中,用 $C$ 表示任意的正常数,$\int$ 表示$\int_{{\mathbb{R}}^3}$,$\| \cdot \|_p$ 表示 $\| \cdot \|_{L^p({\mathbb{R}}^3)}$.定义

$$ B_R (x):=\big{\{}y \in{{\mathbb{R}}^3} \\big{|} \ |y-x|\leq R \ \big{\}},B_{R,K}(x) :=\big{\{}y\in{{\mathbb{R}}^3} \ \big{|} \ R\leq |y-x|\leq K \ \big{\}}. $$ 当$|x|\leq R$ 时,示性函数 $\chi_{B_R}(x)=1$; 当$|x|>R$ 时,$\chi_{B_R}(x)=0$. 约束集

$${\mathcal {A}}_M:=\Big{\{} \ \rho \in L^1 ({\mathbb{R}}^3) \\big{|}\ \rho\geq 0,\ \int \rho {\rm d}x =M>0,\ E_{kin}+E_{dif}<+\infty\ \Big{\}}. $$ 记

\begin{equation}Q (S,\rho)= \frac{1}{\gamma-1}e^{S}\rho^{\gamma},E_r (\rho):=\int Q(S,\rho) {\rm d}x+E_{pot}. \label{bl-E1.er} \end{equation}

(1.7)

对任意的 $(\rho,\upsilon)$,由 (1.5) 式定义的能量泛函 $E$ 满足 $E(\rho,\upsilon)\geq E(\rho,0)=E_r(\rho).$因此,$E$ 的任意极小化子中 $\upsilon=0$. 下面给出泛函 $E_r$极小化子的存在性定理.

定理1.1 当绝热指数 $\frac{4}{3}<\gamma<2$ 时,有

(1) 对任意的$M>0$,泛函 $E_r$ 在${\mathcal {A}}_M$上有下界,并且$\inf\limits_{{\mathcal {A}}_M}E_r (\rho)<0$.

(2) 如果 $(\rho_n)\in{\mathcal {A}}_M$ 是 $E_r$的极小化序列,则存在子序列,仍记为 $(\rho_n)$,有 $\rho_0 \in {\mathcal {A}}_M $ 满足

$$E_r (\rho_0)=\inf_{{\mathcal {A}}_M}E_r (\rho), $$ 且在 $L^\gamma ({\mathbb{R}}^3)$ 中,$ \rho_{n} \rightharpoonup\rho_0 $ 弱收敛. 在 $ L^2 ({\mathbb{R}}^3)$ 中,当$ n\rightarrow\infty$ 时,$\nabla \Phi_{ \rho_n}\rightarrow \nabla \Phi_0 $强收敛,其中 $\Phi_0 =\Phi_{\rho_0}$.

考虑 (1.1) 的 Cauchy 问题,初值记为

\begin{equation}\rho(x,0)=\varrho(x),\ \ \upsilon(x,0)=v_0 (x). \label{bl-E3.1}\end{equation}

(1.8)

则有下面的稳定性结论.

定理1.2 当 $\frac{4}{3}<\gamma<2$ 时,假设$\rho_0 \in {\mathcal {A}}_M $ 是$E_r$ 唯一的极小化子. 记 $(\rho,\upsilon)\in{\mathcal {A}}_M$ 是 Cauchy 问题 (1.1)和(1.8)的全局解,对任意的 $\varepsilon> 0$,若存在正常数 $\delta$,当初值估计满足

$$d\big{(}\varrho,\rho_0\big{)}+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla\Phi_{\varrho}- \nabla \Phi_0 \big{\|}_2^{2}+E_{kin}(\varrho,v_0)+E_{dif}(v_0) < \delta, $$ 那么对任意的 $t> 0$,恒有

$$ d\big{(}\rho(t),\rho_0 \big{)}+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla \Phi_{\rho}(t) - \nabla \Phi_{0} \big{\|}_2^{2}+ E_{kin}(\rho(t),\upsilon(t))+E_{dif}(\upsilon(t)) < \varepsilon, $$ 其中

$$ d(\rho,\rho_0):=\frac{1}{\gamma-1}\int e^S ( \rho^\gamma -\rho_0^\gamma ){\rm d}x+\int(\Phi_0 -K_0)(\rho-\rho_0) {\rm d}x \geq 0, $$ 这里 $K_0$ 是个常数.

本文的不稳定性结果为

定理1.3 假设方程(1.1) 的解$\rho(x,t)$的紧支集为 $\Omega(t)$,对任意的 $x\in \Omega(t),$ 记$R(t)=\max\limits_{x\in \Omega} {|x|}$. 当 $ \gamma= \frac{4}{3}$ 时,对方程(1.1) 的平衡解做微小的扰动,只要扰动后方程的能量$E>0$,则 $t\rightarrow+\infty$ 时,有$R(t)\rightarrow +\infty$,即流体随时间会发生爆破.

本文安排如下: 当绝热指数 $\frac{4}{3}<\gamma<2$ 时,在第 2节证明方程(1.1)存在与时间无关的平衡解. 在${\mathcal{A}}_M$ 上,首先用变分方法证明能量泛函$E$ 有极小化子.接着说明极小化子就是 N-S-P 方程的平衡解,且有有限的质量和紧支集.在第 3 节,证明定理 1.2.主要困难在于无界区域${\mathbb{R}}^3$ 造成的失紧性,我们用集中紧原理^[11]处理失紧性. 第4节,利用扰动性分析,证明 $\gamma= \frac{4}{3}$ 时平衡解的不稳定性.

本节讨论方程(1.1) 与时间无关的平衡解的存在性. 对任意的$(\rho,\upsilon)$,由 (1.5)式 定义的能量泛函 $E$ 满足 $E(\rho,\upsilon)\geq E(\rho,0)=E_r(\rho)$. 因此,$E$ 的任意极小化子中 $\upsilon=0$,方程(1.1) 化为

\begin{equation}\nabla P + \rho \nabla \Phi =0,P=e^{S(x)}\rho^\gamma,\Delta \Phi =4\pi g \rho. \label{bl-E2.01}\end{equation}

(2.1)

现在在约束集 ${\mathcal {A}}_M$ 上,找泛函 $E_r (\rho)$ 的极小化子.利用插值不等式和Sobolev's 定理知,如果 $\rho \in L^1 \cap L^\gamma ({\mathbb{R}}^3)$ ($\frac{6}{5}\leq \gamma <2$),那么 $\Phi\in L^6 ({\mathbb{R}}^3)$ 且 $\nabla \Phi \in L^2 ({\mathbb{R}}^3)$.有界函数 $S(x)\in {\mathcal {C}}^3$,则存在常数 $S_0 < S_1,$使得对任意的$ x\in{\mathbb{R}}^3$,$S_0\leq S(x) \leq S_1 $.

引理2.1 如果 $(\rho,S)$ 是方程 (2.1)的解,那么

$$3\int \rho^\gamma e^S {\rm d}x =-\frac{1}{2}\int \rho\Phi {\rm d}x $$

证 由方程 (2.1)知

$$\rho \nabla\Phi = -\rho \int g \nabla_{x}\Big{(}\frac{\rho(y)}{|x-y|}\Big{)}{\rm d}y = \rho g \int (x-y)\frac{\rho(y)}{|x-y|^3}{\rm d}y. $$ 上式两边同乘 $x$ 并在 ${\mathbb{R}}^3$ 上积分得

\begin{equation}\label{e2.1}\int x\cdot \rho \nabla\Phi {\rm d}x = g \int \rho(x) \int \frac{x(x-y)\rho(y)}{|x-y|^3}{\rm d}y {\rm d}x= g\cdot I_0 ,\end{equation}

(2.2)

这里

$$I_0 = \int \rho(x) \int \frac{x(x-y)\rho(y)}{|x-y|^3}{\rm d}y{\rm d}x\\ = \int \rho(x) \int \frac{(x-y)(x-y)\rho(y)}{|x-y|^3}{\rm d}y{\rm d}x + \int \rho(x) \int \frac{y(x-y)\rho(y)}{|x-y|^3}{\rm d}y{\rm d}x\\ = \int \rho(x) \int \frac{\rho(y)}{|x-y|}{\rm d}y{\rm d}x -I_0 ,$$ 因此

$$I_0 =\frac{1}{2}\int \rho(x) \int\frac{\rho(y)}{|x-y|}{\rm d}y{\rm d}x=-\frac{1}{2g}\int \rho(x) \Phi(x){\rm d}x. $$ 结合 (2.1) 和 (2.2)式 知

$$3\int \rho^\gamma e^S {\rm d}x = - \int x \cdot\nabla(\rho^\gamma e^S){\rm d}x = \int x \cdot \rho \nabla\Phi {\rm d}x = g\cdot I_0 = -\frac{1}{2}\int \rho\Phi {\rm d}x. $$ 证毕

由上面的引理知,方程 (2.1) 平衡解的能量为

\begin{equation}\label{e2.2}E_{r}(\rho) := \int \frac{1}{\gamma -1}P {\rm d}x -\frac{g}{2}\int\!\!\!\int \frac{\rho(x) \rho(y)}{|x-y|}{\rm d}y{\rm d}x = \frac{4-3\gamma}{\gamma-1}\int \rho^\gamma e^S {\rm d}x.\end{equation}

(2.3)

引理2.2 当 $\frac{4}{3}<\gamma<2$ 时,对任意的$M>0$,泛函 $E_r\geq -C$,并且$\inf\limits_{{\mathcal {A}}_M}E_r (\rho)<0$. 记 $h_{\overline{M}}=\inf\limits_{{\mathcal {A}}_M}E_r (\rho)$,则对任意的 $0<\overline{M}\leq M$,有 $h_{\overline{M}}\geq e^{S_0-S_1}(\overline{M}/M)^{5/3}h_M.$

证 对于 $\rho \in {\mathcal {A}}_M$,由Hölder不等式和Sobolev定理得

$$ E_{r}(\rho) = \int Q(S,\rho){\rm d}x +\frac{1}{2}\int \rho \Phi {\rm d}x\geq \int Q(S,\rho){\rm d}x -\frac{C_1}{2}\Big(\int \rho {\rm d}x\Big)^{\frac{2}{3}} \int \rho^{\frac{4}{3}} {\rm d}x .$$ 由于 $\gamma>\frac{4}{3}$,则有 $\lim\limits_{\rho\rightarrow +\infty} Q(S,\rho) \rho^{-4/3}=+\infty$. 存在正常数 $K_1$,当 $\rho\geq K_1$时,有 $Q (S,\rho) \rho^{-4/3}>4C_1 M^{2/3}$. 因此

$$ E_r (\rho)\geq \int_{\rho<K_1} Q (S,\rho){\rm d}x + \int_{\rho\geq K_1} Q (S,\rho){\rm d}x -C_1 M^{2/3}\int \rho^{4/3}\\ \geq \int_{\rho<K_1} Q (S,\rho){\rm d}x+ \frac{1}{2}\int_{\rho\geq K_1} Q (S,\rho){\rm d}x - C_1 M^{\frac{5}{3}}K_1^{\frac{1}{3}}\\ \geq - C_1 M^{\frac{5}{3}}K_1^{\frac{1}{3}}.$$ 故泛函 $E_r$有下界,由 (2.3) 式知 $\inf\limits_{{\mathcal{A}}_M}E_r (\rho) <0$.

对任意的 $\rho\in {\mathcal {A}}_M $,常数 $b>0$,记 $\overline{\rho}(x):= \rho (bx)$,则

$$\overline{M}=\int \overline{\rho}{\rm d}x=\int \rho(bx){\rm d}x=b^{-3}\int \rho(x) {\rm d}x=\frac{M}{b^3}, $$ $$E_{pot}(\overline{\rho})=-\frac{g}{2}\int\!\!\!\int \frac{\rho(bx)\rho(by)}{|x-y|}{\rm d}x{\rm d}y=\frac{1}{b^5} E_{pot}(\rho), $$ $$\int Q (S,\overline{\rho})= \int \frac{1}{\gamma-1} e^S\overline{\rho}^\gamma {\rm d}x=\frac{ e^{S_0 -S_1}}{\gamma-1}b^{-3}\int e^{S_1}\rho^\gamma {\rm d}x\geq e^{S_0 -S_1}b^{-3}\int Q (S,\rho). $$ 取 $b=(M/\overline{M})^{1/3}\geq 1.$ 任意的 $\rho \in {\mathcal{A}}_M,\ \overline{\rho} \in {\mathcal {A}}_{\overline{M}}$,有

$$E_r (\overline{\rho}) \geq e^{S_0 -S_1}b^{-3}\int Q (S, \rho){\rm d}x +b^{-5}E_{pot}(\rho) \geq e^{S_0 -S_1}\Big{(} \frac{\overline{M}}{M} \Big{)}^{\frac{5}{3}}E_r (\rho). $$ 证毕.

为了得到极小化子的存在性,关键在于证明沿着极小化序列质量不会消失.下面的引理将说明这一点.

引理2.3 记 $(\rho_n)\in {\mathcal {A}}_M$ 是$E_r(\rho)$ 的极小化序列,则存在 $ \delta_0>0,\ R_0> 0$ 使得对于充分大的 $n\in \mathbb{N}$,存在 $R\geq R_0 $,有

$$\int_{ B_R} \rho_n (x){\rm d}x\geq \delta_0. $$

证 由 ${\mathcal {A}}_M$ 的定义知,泛函 $E_{r}$任意的极小化序列在 $ {\mathcal {A}}_M$ 中是有界的.我们把能量位势分成三部分

$$\begin{array}{l} - \frac{2}{g}{E_{pot}}: = \int \int_{|x - y| \le 1/R} {\frac{{{\rho _n}(x){\rho _n}(y)}}{{|x - y|}}} {\rm{d}}y{\rm{d}}x + \int \int_{1/R < |x - y| < R} \cdots + \int \int_{|x - y| \ge R} \cdots \\ : = {I_1} + {I_2} + {I_3}. \end{array}$$ 利用 Hölder 不等式和Hausdorff-Young不等式知

$$I_1 \leq \big{\|}\rho_n \big{\|}_{\gamma}\bigg{\|}\rho_n \ast \Big{(}\chi_{B_{1/R}}\frac{1}{|\cdot| }\Big{)} \bigg{\|}_{\frac{\gamma}{\gamma-1}} \leq \big{\|}\rho_n \big{\|}^2_{\gamma} \bigg{\|}\chi_{B_{1/R}}\frac{1}{|\cdot| }\bigg{\|}_{\frac{\gamma}{2(\gamma-1)}} \leq C R^{\frac{6-5\gamma}{\gamma}}. $$ 直接计算可得 $I_2$ 和 $ I_3$,

$$ I_2 \leq R \int\!\!\!\int_{|x-y|<R}\rho_n (x) \rho_n (y){\rm d}x{\rm d}y \leq MR\sup_{y\in {\mathbb{R}}^3} \int_{y+ B_R}\rho_n (x){\rm d}x ; $$ $$I_3 =\int\!\!\!\int_{|x-y|\geq R} \frac{\rho(x) \rho(y)}{|x-y| }{\rm d}y{\rm d}x \leq\frac{M^2}{R }. $$ 因此

\begin{equation}\sup_{y\in {\mathbb{R}}^3} \int_{y+ B_R}\rho_n (x){\rm d}x \geq\frac{1}{M R }\Big{(}-\frac{2}{g}E_{pot}-\frac{M^2}{R }-\frac{C}{ R^{(5\gamma-6)/\gamma }}\Big{)}.\label{bl-E2.z} \end{equation}

(2.4)

由于 $ E_{pot}(\rho_n) <0 $,因此当 $R$ 充分大时,$-E_{pot}>0 $ 决定(2.4)式的符号,因此存在 $\delta_0>0,\ R_0> 0$ 满足要求. 证毕.

利用Sobolev 定理和前面的估计易得

引理2.4 有界序列 $\rho_n \in L^\gamma({\mathbb{R}}^3)$,$\frac{4}{3}\leq \gamma <2$,在 $ L^{\gamma}({\mathbb{R}}^3)$ 中,$\rho_n\rightharpoonup \rho_0$ 弱收敛,则

(a) 对任意的 $R>0$,在$L^2 (B_R)$ 中,$ \nabla \Phi_{\rho_n} \rightarrow \nabla \Phi_{\rho_0} $ 强收敛.

(b) 如果有界序列 $(\rho_n)\in L^1 ( {\mathbb{R}}^3)$,$\rho_0\in L^1 ( {\mathbb{R}}^3)$ 且对任意的 $\varepsilon>0$,存在 $R>0$,当$n\geq n_0$ 时,满足 $\int_{|x|\geq R} |\rho_n (x)|{\rm d}x <\varepsilon$,那么在$L^2 ({\mathbb{R}}^3)$ 中,$ \nabla\Phi_{\rho_n} \rightarrow \nabla \Phi_{\rho_0} $ 强收敛.

定理1.1的证明 由上面的引理知,仅需证明 $\rho_0$ 是$E_r$的极小化子. 按如下方式分解 ${\mathcal {A}}_M$ 中的 $\rho$:

$$ \rho=\chi_{B_{R_1}}\rho+ \chi_{B_{R_1,R_2}}\rho+\chi_{B_{R_2,\infty}}\rho :=\rho_1 + \rho_2 + \rho_3. $$ 记

$$I_{lm}:= \int\!\!\!\int \frac{\rho_l(x) \rho_m (y)}{|x-y| }{\rm d}y{\rm d}x,\ \ \ l,m=1,2,3, $$ 因此

$$ E_{r} (\rho):= E_{r} (\rho_1)+ E_{r} (\rho_2)+E_{r}(\rho_3)-I_{12}- I_{13}-I_{23}. $$

取 $R_2 >2R_1$,则 $ I_{13}\leq\frac{C_2}{R_2 }$,$I_{12}+ I_{23} \leq C_3 \big{\|}\rho_1+\rho_3\big{\|}_{\gamma}\big{\|}\nabla\Phi_2\big{\|}_2\leq C_4 \big{\|}\nabla\Phi_2\big{\|}_2,$ 其中 $\Phi_{l}=\Phi_{\rho_l}$. 记 $M_l =\int \rho_l ,\ l=1,2,3$,则 $M=M_1+ M_2 +M_3$. 结合引理2.2得

\begin{eqnarray}h_{M}-E_{r}(\rho) &\leq& \Big( 1-e^{S_0 -S_1 }\Big[\big( \frac{M_1}{M}\big)^{\frac{5}{3}} +\big( \frac{M_2}{M} \big)^{\frac{5}{3}} +\big( \frac{M_3}{M} \big)^{\frac{5}{3}}\Big] \Big) h_M + \frac{C_2}{R_2} +C_4 \big{\|}\nabla\Phi_2\big{\|}_2 \\&\leq & C_5 h_M M_1 M_3 + C_6\Big{(}\frac{1}{R_2}+\big{\|}\nabla\Phi_2\big{\|}_2\Big{)},\label{bl-E2.6}\end{eqnarray}

(2.5)

其中 $C_5,C_6$ 是正的且依赖 $M$ 和熵函数$S(x)$,不依赖 $R_1$ 或$R_2$.

记 $(\rho_n)\in{\mathcal {A}}_M$ 是极小化序列,且 $\rho_n$ 在$L^\gamma ({\mathbb{R}}^3)$ 中有界. 因此存在子序列,不妨仍记为 $(\rho_n )$,使得在 $L^{\gamma} ({\mathbb{R}}^3)$ 中,$\rho_n \rightharpoonup \rho_0$ 弱收敛.取$R_0 <R_1$,由引理2.3知,$n$ 充分大时,$ M_{n,1} \geq \delta_0$. 因此,

\begin{eqnarray} -C_5 h_M \delta_0 M_{n,3}&\leq & -C_5 h_M M_{n,1} M_{n,3}\\ &\leq& \frac{C_6 }{R_2} + C\big{\|}\nabla\Phi_{0,2}\big{\|}_2 +C \big{\|}\nabla\Phi_{n,2}-\nabla\Phi_{0,2}\big{\|}_2 + \big{|} E_{r}( \rho_n)- h_{M}\big{|},\label{bl-E2.11}\end{eqnarray}

(2.6)

其中与 $\rho_{n,l}$ 相关的位势为 $\Phi_{n,l}$,对应的质量为$M_{n,l},\ n \in {\mathbb{N}} \cup \{ 0 \}$,$l = 1,2,3$是分解指标.

对任意的 $\varepsilon > 0$,由引理2.3知,可取 $R_1> R_0$ 满足$C\big{\|}\nabla\Phi_{0,2}\big{\|}_2<\varepsilon /4$. 选取 $R_2>2R_1$,使得 (2.6) 式中的第一个式子小于 $\varepsilon /4$. 现在 $R_1$ 和 $R_2$ 已经固定,由引理2.4知,第三项收敛到零. 由于 $( \rho_n)$ 是极小化序列,因此$\big{|}E_{r}( \rho_n)- h_{M}\big{|}< \varepsilon /4$. 所以当 $n\rightarrow+\infty$ 时,$ -C_5 h_M \delta_0 M_{n,3} \leq \varepsilon,$ 即 $M_{n,3} \leq \varepsilon. $ 因此,

$$M \geq \int_{ B_{R_2}} \rho_n =M-M_{n,3}\geq M- \varepsilon. $$

在$L^{1} ({\mathbb{R}}^3)$ 中,$ \rho_n \rightharpoonup \rho_0$弱收敛,因此对任意的 $\varepsilon>0$,存在 $R>0$,满足 $ M \geq\int_{B_R}\rho_0 \geq M-\varepsilon. $ 所以

$$\rho_0 \in L^1 ({\mathbb{R}}^3),\ \ \int \rho_0 {\rm d}x =M, $$

即 $\rho_0 \in {\mathcal {A}}_M$. 由Mazur's 引理和 Fatou 引理得

\begin{equation}\label{e2.3}\int Q (S,\rho_0){\rm d}x \leq \liminf_{n\rightarrow \infty}\int Q(S,\rho_n){\rm d}x.\end{equation}

(2.7)

由上式和引理2.4得

$$E_{r}(\rho_0)=\inf_{{\mathcal {A}}_M}E_{r}(\rho) =h_M. $$ 证毕.

事实上,上面得到的泛函的极小化子是 N-S-P 方程的平衡解.

引理2.5 如果 $\rho_0\in {\mathcal {A}}_M$ 是$E_{r}(\rho)$ 的极小化子,相应的位势为 $\Phi_0$. 那么在$\rho_0$ 的紧支集上,有

$$ \Phi_0 + Q'(S,\rho_0)=K_0, $$ 其中 $ '=\frac{\partial }{\partial \rho},\ \ K_0 $ 是常数.更进一步,$ \rho_0 $ 是 N-S-P 方程的平衡解.

证 我们将推导出该变分问题的 Euler-Lagrange 方程. 记 $\rho_0\in {\mathcal {A}}_M$ 是$E_r$ 的极小化子,相应的位势为 $\Phi_0$.对于任意的 $\epsilon>0$,记

$$V_\epsilon := \Big{\{}\ x\in {\mathbb{R}}^3 \ \big{|} \ \epsilon\leq \rho_0 \leq \frac{1}{\epsilon}\ \Big{\}}. $$ 在$L^{\infty}({\mathbb{R}}^3)$中,取有紧支集的检验函数 $\omega $,满足在 $V_\epsilon^c$ 上$\omega\geq 0$. 定义

$$\rho_{\tau}:= \rho_0+ \tau \omega - \tau \frac{\int \omega{\rm d}y}{{\rm meas}(V_\epsilon)}\chi_{V_\epsilon}, $$ 其中 $\tau \geq 0$ 充分小,满足 $ \rho_{\tau}\geq 0$,$ \int\rho_{\tau}=\int \rho_0 =M. $ 因此 $\rho_{\tau} \in {\mathcal{A}}_M.$ 由于 $\rho_0$ 是 $E_r(\rho)$ 的极小化子,

$$0 \leq E_r(\rho_{\tau})- E_r(\rho_0) = \int Q (S,\rho_{\tau})- Q (S,\rho_0) {\rm d}x +\frac{1}{2}\int (\rho_{\tau}\Phi_{\tau}-\rho_0 \Phi_0){\rm d}x\\ \leq \int Q' (S,\rho_0)(\rho_{\tau} - \rho_0) {\rm d}x +\int (\rho_{\tau}\Phi_{0}-\rho_0 \Phi_0){\rm d}x+o(\tau)\\ = \tau \int (Q' (S,\rho_0)+\Phi_0)\Big{(}\omega - \frac{\int \omega{\rm d}y}{{\rm meas}(V_\epsilon)}\chi_{V_\epsilon } \Big{)}{\rm d}x+ o(\tau).\\$$ 所以

$$\int \bigg{[}Q' (S,\rho_0)+\Phi_0-\frac{1}{{\rm meas}(V_\epsilon)}\Big{(}\int_{V_\epsilon}\big( Q'(S,\rho_0)+\Phi_0 \big){\rm d}y\Big{)} \bigg{]}\omega {\rm d}x \geq 0. $$ 故对任意的 $\epsilon>0$,有

\begin{equation}Q' (S,\rho_0)+\Phi_0= K_\epsilon ,\ \ x\in V_\epsilon; \ Q' (S,\rho_0)+\Phi_0\geq K_\epsilon,\ \ x\in V_\epsilon^c,\end{equation}

(2.8)

其中 $K_{\epsilon}$ 是常数. 取 $\epsilon \rightarrow 0$,在$\rho_0$的紧支集上,得

\begin{equation}\label{bl-E2.15}Q' (S,\rho_0)+\Phi_0= K_0.\end{equation}

(2.9)

在 (2.9) 式两侧同时取梯度,易得 $\rho_{0}$满足平衡态方程(2.1).

假设 $\rho$ 的紧支集为 $B_R (0)$. 状态方程 $P(\rho)=A\rho^{\gamma}$,我们可得下面的唯一性定理.

注2.1 如果 $P(\rho)=A\rho^{\gamma},\\frac{4}{3}\leq \gamma<2$,速度 $\upsilon \equiv 0$,$\rho_0\in{\mathcal {A}}_M$ 是 $E_r(\rho)$ 的极小化子,那么 $\rho_0$ 是唯一的且是球对称的.

证 做变换

$$ \rho=C_{\gamma} u^q, C_\gamma =\bigg{\{}\frac{A \gamma}{4π(\gamma-1)} \bigg{\}}^{\frac{1}{2-\gamma}},q=\frac{1}{\gamma-1}, $$ 则方程 (1.1)的平衡解问题可转化成如下方程

\begin{equation}\label{bl-E4.2}\Delta u + u^q =0;\ \ u>0,x\in B_R;\ u|_{\partial B_R}=0.\end{equation}

(2.10)

Gidas,Ni 和 Nirenberg 在文献[12] 中证明了方程 (2.10)的正解是唯一的且径向对称的. 因此 $\rho_0$ 是唯一的且径向对称的.

本节证明$\frac{4}{3}<\gamma<2$时方程平衡解的非线性稳定性. 方程(1.1) 在时刻 $t$ 处的总能量为

$$E(t):=E_{kin}(t)+E_{dif}(t) +\int Q(S,\rho)(x,t) {\rm d}x -\frac{1}{8π}\int |\nabla \Phi|^2 (x,t) {\rm d}x. $$ 考虑 (1.1) 的 Cauchy 问题,初值为

$$\rho(x,0)=\varrho(x),\ \ \upsilon(x,0)=v_0 (x), $$ 且满足

$$\int \varrho {\rm d}x = \int \rho_0 {\rm d}x =M, $$ 其中 $\rho_0$ 是 $E_r$ 在 ${\mathcal {A}}_M$ 中的极小化子.

引理3.1 如果 $(\rho,\upsilon)\in{\mathcal{A}}_M$ 是 Cauchy 问题 (1.1) 和 (1.8) 的解,那么

$$ E(\rho,\upsilon)(t)-E(\rho_0,0)=E_{kin}+E_{dif}+d(\rho(t),\rho_0) - \frac{1}{8\pi g}\int |\nabla\Phi_{\rho}-\nabla\Phi_0|^2, $$ 其中

\begin{equation}\label{bl-E3.8} d(\rho,\rho_0):=\int \Big( Q(S,\rho) - Q(S,\rho_0)+(\Phi_0 -K_0)(\rho-\rho_0) \Big) {\rm d}x \geq 0. \end{equation}

(3.1)

更进一步,当且仅当 $\rho =\rho_0$ 时,$ d(\rho,\rho_0)=0$.

证 对于任意的 $\rho \in{\mathcal {A}}_M$,有 $ \int \rho {\rm d}x=M = \int \rho_0 {\rm d}x. $ 因此

\begin{equation}\label{bl-E3.9X}\int K_0 ( \rho - \rho_0 ){\rm d}x=0.\end{equation}

(3.2)

利用 (3.2) 式可得

$$ E(\rho,\upsilon)-E(\rho_0,0) = E_{kin} +E_{dif}+\int \Big[Q(S,\rho)-Q(S,\rho_0) \Big] {\rm d}x-\frac{1}{8\pi g}\int |\nabla\Phi_{\rho}|^2-|\nabla\Phi_0|^2\\ = E_{kin} +E_{dif}+\int \Big[Q(S,\rho)-Q(S,\rho_0)\Big] {\rm d}x\\ - \frac{1}{8\pi g}\int \Big[|\nabla\Phi_{\rho}- \nabla\Phi_0|^2 - 2 \Phi_{0}(\Delta \Phi_{\rho}-\Delta \Phi_0) \Big] {\rm d}x \\= E_{kin} +E_{dif}+d(\rho,\rho_0) - \frac{1}{8\pi g}\int |\nabla\Phi_{\rho}-\nabla\Phi_0|^2.$$ 由$Q(S,\rho) $ 的定义知 $\frac{\partial^2 Q}{\partial \rho^2} \geq0$,结合引理2.5,得

$$ d(\rho,\rho_0):= \int (Q(S,\rho) -Q(S,\rho_0) ){\rm d}x+\int (\Phi_0 -K_0) (\rho-\rho_0 ){\rm d}x\\= \int \Big( \frac{\partial Q}{\partial\rho}(S,\rho^*)-\frac{\partial Q}{\partial\rho}(S,\rho_0)\Big)(\rho-\rho_0){\rm d}x\geq 0,$$ 其中 $ \rho^*$ 在 $\rho_0$ 和 $\rho$ 之间. 证毕.

定理1.2的证明 用反证法. 假设结论不成立,则存在 $\varepsilon>0,t_n>0$,对于任意的 $n\in \mathbb{N}$,有

\begin{equation}\label{bl-E3.12}d(\varrho,\rho_0)+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla \Phi_{\varrho}-\nabla \Phi_0 \big{\|}_2^{2} +E_{kin}(\varrho,v_0)+E_{dif}(v_0) <\frac{1}{n},\end{equation}

(3.3)

然而,

\begin{eqnarray}d(\rho_n (t_n),\rho_0)+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla \Phi_{\rho_n }(t_n)- \nabla \Phi_0 \big{\|}_2^{2}+ E_{kin}(\rho_n(t_n),\upsilon_n(t_n))+E_{dif}(\upsilon_n(t_n)) \geq\varepsilon. \label{bl-E3.13}\end{eqnarray}

(3.4)

利用引理3.1 和 (3.3) 式,我们得

\begin{equation}\label{bl-E3.14}\lim_{n\rightarrow \infty} E \big{(}\rho_n (0),\upsilon_n(0) \big{)}=E_r(\rho_0).\end{equation}

(3.5)

由于

$$E \big{(}\rho_n (t),\upsilon_n(t) \big{)}-E_r (\rho_n (t))=E_{kin}\big{(}\rho_n (t),\upsilon_n(t) \big{)}+E_{dif} \big{(}\upsilon_n(t)\big{)} \geq 0, $$ 并且能量 $E(\rho_n(t ),\upsilon_n(t)) $ 守恒,因此

\begin{equation}\label{bl-E3.15}\limsup_{n\rightarrow \infty} E_r (\rho_n (t_n)) \leq \lim_{n\rightarrow \infty }E(\rho_n (t_n),\upsilon_n (t_n)) = \lim_{n\rightarrow \infty }E(\rho_n (0),\upsilon_n (0))=E_r (\rho_0).\end{equation}

(3.6)

所以 $(\rho_n)\in{\mathcal {A}}_M$ 是泛函 $E_r$ 的极小化序列.由定理1.1 知,存在子序列$(\rho_n)$,当 $ n\rightarrow +\infty$ 时,满足

\begin{equation}\label{bl-E3.16}\big{\|} \nabla \Phi_{\rho_n }-\nabla \Phi_{ 0}\big{\|}_2\rightarrow 0.\end{equation}

(3.7)

当 $n\rightarrow +\infty$ 时,

\begin{eqnarray}&&d\big{(}\rho_n(t_n),\rho_0\big{)}-\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla \Phi_{\rho_n}(t_n) - \nabla \Phi_0 \big{\|}_2^{2} + E_{kin}\Big( \rho_n(t_n),\upsilon_n(t_n)\Big) +E_{dif}\big( \upsilon_n (t_n) \big)\\&=&E(\rho_n (0),\upsilon_n (0))-E_r(\rho_0) \rightarrow 0. \label{bl-E3.17}\end{eqnarray}

(3.8)

由 (3.7) 和 (3.8) 式知

$$d\big{(}\rho_n(t_n),\rho_0 \big{)} + E_{kin}\Big( \rho_n(t_n),\upsilon_n(t_n)\Big) +E_{dif}\big( \upsilon_n (t_n) \big) \rightarrow 0. $$

因此,当 $ n\rightarrow +\infty$ 时,

$$d\big{(}\rho_n(t_n),\rho_0 \big{)}+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla \Phi_{\rho_n}(t_n) - \nabla \Phi_{0} \big{\|}_2^{2} + E_{kin}\Big( \rho_n(t_n),\upsilon_n(t_n)\Big) +E_{dif}\big( \upsilon_n (t_n) \big) \rightarrow 0,$$ 这与 (3.4) 式矛盾. 证毕.

在 ${\mathcal {A}}_M$ 中,如果 $E_r$ 的极小化子不是唯一的,则有下面的稳定性结论.

注3.1 在定理1.2 相同的条件下,泛函 $E_r (\rho)$ 在 ${\mathcal{A}}_M$ 中的极小化子集合记为 ${\mathcal {M}}_M $. 则对于任意的 $\varepsilon> 0$,存在正常数 $ \delta $,如果方程 (1.1) 和(1.8) 解的初值估计满足

$$\inf_{\rho_0 \in {\mathcal {M}}_M} \Big\{ d\big{(}\varrho,\rho_0\big{)}+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla\Phi_{\varrho}- \nabla \Phi_0 \big{\|}_2^{2}+E_{kin}(\varrho,v_0)+E_{dif}(v_0) \Big\} < \delta, $$ 那么对任意的 $t \geq 0$,有

$$\inf_{\rho_0 \in {\mathcal {M}}_M} \Big\{ d\big{(}\rho(t),\rho_0\big{)}+\frac{1}{8\pi g}\big{\|} \nabla \Phi_{\rho}(t) - \nabla \Phi_0 \big{\|}_2^{2}+ E_{kin}(\rho(t),\upsilon(t))+E_{dif}(\upsilon(t)) \Big\} < \varepsilon. $$

本节证明$\gamma=\frac{4}{3}$时,方程(1.1)平衡态的非线性不稳定性. 假设$E_{kin}-E_{dif} \geq0$ (只要流体运动速度为常数,或参数 $\mu,\lambda$充分小时,$E_{kin}-E_{dif} \geq 0$ 成立),$\rho(x,t)$ 的紧支集为 $\Omega(t)$,对任意的 $x\in \Omega(t),$ 记

$$\ R(t)=\max_{x\in \Omega} |x|,\ \int_\Omega \rho {\rm d}x = M. $$

引理4.1 假设 $(\rho,S,\upsilon)$ 是方程(1.1) 的全局解.

(1) 如果$ \gamma\geq \frac{4}{3}$,方程 (1.1)的能量 $E>0$,那么

$$\liminf_{t\rightarrow \infty} \Big( \frac{R(t)}{t}\Big)\geq \Big(\frac{E}{M}\Big)^{\frac{1}{2}}. $$

(2) 如果$ \gamma>\frac{4}{3}$,方程 (1.1)的能量 $E=0$,那么

$$\liminf_{t\rightarrow \infty}\Big(\frac{R(t)|\Omega|^{\frac{\gamma-1}{ 2}}}{t}\Big)\geq \Big(\frac{3\gamma-4}{\gamma-1}e^{S_0} M^{\gamma-1}\Big)^{\frac{1}{2}}, $$ 这里$|\Omega|$ 指区域 $\Omega$ 的体积.

证 记 $H(t)=\int_\Omega \rho(x,t)x^2 {\rm d}x$,则结合方程(1.1)得

$$H"(t)= 2\Big( \int_\Omega \big[-{\rm div}(\rho\upsilon\otimes\upsilon)-\nabla P -\rho \nabla \Phi+\mu \Delta \upsilon + (\lambda+\mu)\nabla ({\rm div} \upsilon) \big] x\Big){\rm d}x\\= 2\bigg[\int_\Omega (\rho\upsilon^2 +3P){\rm d}x +E-E_{dif}-\int_\Omega \Big( \frac{1}{2}\rho\upsilon^2 + \frac{1}{\gamma-1}P \Big){\rm d}x\bigg]\\= 2\bigg[E+E_{kin}-E_{dif}+ \frac{3\gamma-4}{\gamma-1}\int_\Omega P {\rm d}x\bigg].$$ 第一种情形下,即 $ \gamma\geq\frac{4}{3}$,$E>0$ 时,有 $H"(t)\geq2 E$,因此

$$H(0)+H'(0)t+Et^2 \leq H(t)=\int_\Omega \rho x^2 {\rm d}x \leq R(t)^2 M. $$ 所以

$$\liminf_{t\rightarrow \infty}\Big( \frac{R(t)}{t}\Big)\geq \Big(\frac{E}{M}\Big)^{1 / 2}. $$ 第二种情形下,即 $ \gamma>\frac{4}{3}$,$E=0$ 时,有

$$H"(t)\geq \frac{2 (3\gamma-4)}{\gamma-1}\int_\Omega P {\rm d}x\geq \frac{2 (3\gamma-4)}{\gamma-1}e^{S_0}\int_\Omega \rho^\gamma {\rm d}x. $$ 由于

$$ M=\int_\Omega \rho {\rm d}x \leq |\Omega|^\frac{ \gamma-1}{\gamma }\Big(\int_\Omega \rho^\gamma {\rm d}x\Big)^{1 / \gamma}. $$ 因此

$$ H"(t)\geq \frac{2 (3\gamma-4)}{\gamma-1}e^{S_0}M^\gamma |\Omega|^{1-\gamma}. $$ 当 $ \gamma>\frac{4}{3}$ 时,有

$$R(t)^2 M \geq H(t)\geq H(0)+H'(0)t+\frac{1}{2}H"(\xi) t^2\\\geq H(0)+H'(0)t+ \frac{ 3\gamma-4 }{\gamma-1}e^{S_0}M^\gamma|\Omega|^{1-\gamma} t^2,$$ 这里$\xi\in (0,t)$. 因此

$$O\Big(\frac{1}{t}\Big)+\frac{ 3\gamma-4 }{\gamma-1}e^{S_0}M^\gamma|\Omega|^{1-\gamma}\leq \frac{R(t)^2 M}{t^2}. $$ 即

$$\liminf_{t\rightarrow \infty}\Big(\frac{R(t)|\Omega|^{\frac{\gamma-1}{2}}}{t}\Big)\geq \Big(\frac{3\gamma-4}{\gamma-1}e^{S_0}M^{\gamma-1}\Big)^{1 / 2}. $$ 证毕.

定理1.3的证明 由(2.3)式知,当$ \gamma=\frac{4}{3}$ 时,方程(1.1)平衡解($\rho,0$)的能量为 0. 对该平衡解做扰动,只要扰动后方程的能量$E\geq 0$,则由引理4.1知,$t\rightarrow+\infty$ 时 $R(t)\rightarrow +\infty$,即流体随时间的发展会发生爆破. 证毕.