设$M$是一个$n$维紧致黎曼流形,且其Ricci曲率满足

$\begin{equation}\label{Ricci-curvature}{\rm Ric}(M)\geqslant (n-1)K,\end{equation}$

(1.1)

常数$K\geqslant0$,$M$没有边界(即闭的)或边界$\partial M(\neq\emptyset)$属于如下两种类型之一:

(I) $\partial M$具有非负平均曲率$H={\rm tr} S\geqslant 0$,即$\partial M$是平均曲率凸的;

(II) $\partial M$具有非负定第二基本形式$S\geqslant 0$,即$\partial M$是弱凸的.

根据$\partial M$的不同情形,作如下的约定:

(1) $\partial M=\emptyset$,考虑闭的特征值问题\[\Delta u=-\lambda_1u,\hbox{在$ M$ 中}.\]

(2) $\partial M(\neq\emptyset)$属于(I)型,考虑Dirichlet特征值问题

$\begin{equation}\label{Dirichlet-eigenvalue-problem}\left\{\begin{array}{ll}\Delta u=-\lambda_1u,~~&\hbox{在$M$中,}\\u=0,&\hbox{在$\partial M$上;}\end{array}\right.\end{equation}$

(1.2)

(3) $\partial M(\neq\emptyset)$属于(II)型,考虑Neumann特征值问题

$\begin{equation}\label{Neumann-eigenvalue-problem}\left\{\begin{array}{ll}\Delta u=-\lambda_1 u,~~&\hbox{在$ M$ 中,}\\D_\nu u=0,&\hbox{在$ \partial M$ 上,}\end{array}\right.\end{equation}$

(1.3)

其中$\nu$是$\partial M$相应于$M$的单位外法向量.

对Laplace算子而言,其特征值上界估计很简单,而下界估计很难得到.关于紧黎曼流形的Laplace算子的特征值下界估计的研究可以追溯到很久以前.与此同时,这个领域产生了许多工作.这些工作中,Li^{[3, 5]},Li-Yau^{[4, 6]},Zhong-Yang^[8],Yang^[14],Ling^{[16, 17]},Ling-Lu^[18],Shi-Zhang^[19],Qian-Zhang-Zhu^[20],Andrews-Ni^[22],Andrews-Clutterbuck^[23],以及Ni^[24]等人的结果都是很出名的.要描述整个领域的所有文献是非常困难的,所以这里仅列出部分重要的工作.

首先我们叙述一个关于第一特征值下界的Lichnerowic型结果.该结果当$M$是无边紧流形时属于文献[1](也可参见文献[2]);当$M$是具有弱凸边界的紧流形时属于文献[9].

定理1.1^{[14, 16]}\label{thm-Lichnerowicz} 设$M$是$n$维紧致黎曼流形,且${\rm Ric}(M)\geqslant(n-1)K$,其中常数$K\geqslant0$;当其边界$\partial M\neq\emptyset$时,$\partial M$必属于(I)或(II)型.则$M$上的Laplace算子$\Delta$的第一(闭的,或Dirichlet,或Neumann)特征值$\lambda_1$满足

$\begin{equation}\label{Lichnerowicz-estimate}\lambda_1\geqslant nK.\end{equation}$

(1.4)

当常数$K$化为零时,这个估计并没有提供任何信息.但在这种情形,Li-Yau^[4],以及Zhong-Yang^[8]却提供了另一种下界.一个有趣的问题是人们能否统一$\lambda_1$的上述两种下界为一种新下界.该新的下界仅涉及Ricci曲率的下界$(n-1)K$和$M$的直径$d$或内切半径$r$,以及其它的几何量.使得当$K$化为零时新的下界不会突然消失为零.

后来,Li^[3]在推导特征值估计时首先使用了最大值原理方法(一种与以往不同的方法).从那时起,该方法被许多人,如Li-Yau^[4],Zhong-Yang^[8],Yang^[14]等,用来尝试推导最佳特征值估计.

在 $K=0$的特殊情形:使用一种改进的最大值原理方法,Li-Yau^[4]得到如下结果:

定理1.2^[4] 设$M$是紧致黎曼流形,且$\partial M=\phi$,${\rm Ric}(M)\geqslant0$,则$\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{4d^2}$,其中$d$是$M$的直径.

不久,Li^[5]就把上述结果改进到$\lambda_1\geqslant \frac{\pi^2}{2d^2}$.此后Zhong-Yang^[8]又把Li-Yau^[4]的方法发挥到了极致,给出了更精细的梯度估计,由此把上述结果进一步改进到$\lambda_1\geqslant \frac{\pi^2}{d^2}$.几年以后,基于强最大值原理,Hang-Wang^[11]证明了对$n>2$情形实际上有严格不等式成立.这是非常有趣的结果.为了使用最大值原理改进上述有名的结果,人们需要构造某些恰当的试验函数,而当中细致的技巧性工作是不可缺少的.

值得一提的是Li^[14]同时还进一步猜测:当Ricci曲率为正时,Zhong-Yang的估计还可进一步改进.事实上,$n$维球${\Bbb S}^n$的第一特征值为$\frac{n\pi^2}{d^2}$,恰好是Zhong-Yang估计的$n$倍.鉴于球的情形,Li猜想的一个版本可叙述如下:

Li 猜想(Peter Li) 设$M$是$n$维紧致黎曼流形,且${\rm Ric}(M)\geqslant(n-1)K>0$,则第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$满足

$\begin{equation}\label{Li-conjectured-estimate}\lambda_1\geqslant \frac{\pi^2}{d^2}+(n-1)K.\end{equation}$

(1.5)

这个猜想极大地刺激了该领域内的许多相关的研究.下面我们有必要提及这些主要的结果.

首先著名的Bonnet-Myers定理意味着

$\begin{equation}\label{Bonnet-Myers-diameter-estimate}d\leqslant \frac{\pi}{\sqrt{K}},\qquad\hbox{当$K>0$时}.\end{equation}$

(1.6)

由(1.5)和(1.6)式,可重新推出(1.4)式.于是(1.5)式通常被认为是关于$\lambda_1$的最佳下界,该下界涉及流形的直径$d$以及Ricci曲率的下界$(n-1)K$.

所有想要证明所谓的Li猜想的尝试或许都应当统一Yang-Zhong的估计与Lichnerowicz的估计.许多试图解决问题的想法几乎都努力改进如下不等式

$\begin{equation}\label{esti-12-10-11-9-1}\lambda_1\geqslant \frac{\pi^2}{d^2}+\mu(n-1)K,\end{equation}$

(1.7)

其中$\mu$是某个常数.这些工作包括文献[15, 16, 17, 18, 19, 20, 22, 23, 24].下面简要地叙述这些工作.

近来使用上述的方法但构造了更复杂的试验函数,Yang^[14]在Li猜想方面的取得了一定的进展,可叙述为$K\geqslant0$情形的如下结果:

(1) 第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$满足$$\lambda_1\geqslant \frac{\pi^2}{d^2}+\frac{(n-1)K}{4};$$

(2) 第一Dirichlet特征值$\lambda_1$满足$$\lambda_1\geqslant \frac{1}{4}\bigg[\frac{\pi^2}{r^2}+(n-1)K\bigg],$$其中$r$是$M$的内切半径.

近期Ling^{[16, 17]}给出了一些新的估计,并部分改进上述的下界,可叙述为$K>0$情形的如下结果:

(1) 文献[16]表明:第一Dirichlet特征值$\lambda_1$满足

$\begin{equation}\label{Ling-s-estimate-Dirichlet}\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{\tilde{d}^2}+\frac{1}{2}(n-1)K,\end{equation}$

(1.8)

其中$\tilde{d}$是$M$的最大内接球直径,即$\tilde{d}=2\sup\limits_{x\in M} {\rm dist}(x,\partial M)$.

(2) 文献[17]表明:第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$满足$$\lambda_1\geqslant\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\pi^2}{d^2}+\frac{3}{8}(n-1)K,&\hbox{当$n=2$时;}\\[3mm] \frac{\pi^2}{d^2}+\frac{31}{100}(n-1)K,~~&\hbox{当$n\geqslant3$时.} \end{array}\right.$$

最近Ling-Lu^[18]表明:第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$满足$$\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{d^2}+\frac{34}{100}(n-1)K,\hbox{当$n\geqslant3$ 时.}$$

然而,这些关于第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$的结果,整个被Shi-Zhang^[19],Qian-Zhang-Zhu^[20],以及Andrews-Clutterbuck^[23]等更新了.确切地说,不久Shi-Zhang^[19]就用不同的方法给出了下列结果.

定理1.3^[19] 设$M$是$n$维紧致无边 (或具有凸边界) 的黎曼流形,且${\rm Ric}(M)\geqslant (n-1)K$.则其第一 (闭的,或Neumann) 特征值$\lambda_1$满足

$\begin{equation}\label{est-ye-zhang-zhu}\lambda_1(M)\geqslant 4s(1-s)\frac{\pi^2}{d^2}+s(n-1)K,\forall s\in(0,1),\end{equation}$

(1.9)

其中$d$是$M$的直径.

这里简述Shi-Zhang的证明,但建议读者参阅文献[19, 20]以了解更多的细节.首先回忆下列的比较定理.

定理1.4^{[12, 13, 15]} 假设同定理1.3一样.则第一 (闭的,或Neumann) 特征值$\lambda_1$满足$$\lambda_1(M)\geqslant\lambda_1(K,n,d),$$其中$d$是$M$的直径,而$\lambda_1(K,n,d)$是下面一维模型的第一Neumann特征值

$\begin{equation}\label{one-dim-model-eqn}v"(x)-(n-1)T(x)v'(x)=-\lambda v(x),\forall x\in\Big(-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\Big),\end{equation}$

(1.10)

$\begin{equation}\label{one-dim-BVC}v'\Big(-\frac{d}{2}\Big)=v'\Big(\frac{d}{2}\Big)=0,\end{equation}$

(1.11)

$$T(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sqrt{K}\tan(\sqrt{K}x),&\hbox{如果}\ K\geqslant0,\\[5pt]-\sqrt{-K}\tan(\sqrt{-K}x),~~&\hbox{如果}\ K< 0.\end{array}\right.$$

接下来,对(1.10)式两边求导可得

$\begin{equation}\label{diff-one-dim-model-eqn}v"'(x)-(n-1)\big[T'(x)v'(x)+T(x)v"(x)\big]=-\lambda_1(K,n,d)v'(x),\forall x\in\Big(-\frac{d}{2},\frac{d}{2}\Big).\end{equation}$

(1.12)

对任意常数$a>1$,设$s=1-\frac{1}{a}$. (1.12)式两边同乘以$(v')^{a-1}$,并在$(-\frac{d}{2},\frac{d}{2})$上积分,然后使用分部积分及(1.11)式易得到 $$\begin{align} & 4s(1-s)\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{\{}[{{({v}')}^{a/2}}{]}'{{\}}^{2}}\text{d}x= \\ & \int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{[}{{\lambda }_{1}}(K,n,d)-s(n-1){T}']{{({v}')}^{a}}\text{d}x\le \\ & [{{\lambda }_{1}}(K,n,d)-s(n-1){{\min }_{x\in (-\frac{d}{2},\frac{d}{2})}}{T}']\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{{{({v}')}^{a}}}\text{d}x= \\ & [{{\lambda }_{1}}(K,n,d)-s(n-1)K]\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{[}{{({v}')}^{a/2}}{{]}^{2}}\text{d}x. \\ \end{align}$$ 最后,由于$(v')^{a/2}(\pm\frac{d}{2})=0$,所以利用Wirtinger不等式可得$$4s(1-s)\Big(\frac{\pi}{d}\Big)^2\leqslant\lambda_1(K,n,d)-s(n-1)K.$$于是由这个结果和定理1.4可得(1.9)式.

沿用文献[19]的论证,文献[20]还把定理1.3的结果推广到$M$是Alexandrov空间的情形.

定理1.5^[20] 设$M$是$n(\geqslant2)$维紧致无边的Alexandrov空间,且${\rm Ric}(M)\geqslant (n-1)K$.则其第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$满足(1.9)式.

注1.1\label{zhang-zhu-remark} 文献[20]还给出如下的注记:

(1) 如果让$s=1/2$,估计式(1.9)将变为

$\begin{align} & 4s(1-s)\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{\{}[{{({v}')}^{a/2}}{]}'{{\}}^{2}}\text{d}x= \\ & \int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{[}{{\lambda }_{1}}(K,n,d)-s(n-1){T}']{{({v}')}^{a}}\text{d}x\le \\ & [{{\lambda }_{1}}(K,n,d)-s(n-1){{\min }_{x\in (-\frac{d}{2},\frac{d}{2})}}{T}']\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{{{({v}')}^{a}}}\text{d}x= \\ & [{{\lambda }_{1}}(K,n,d)-s(n-1)K]\int_{-\frac{d}{2}}^{\frac{d}{2}}{[}{{({v}')}^{a/2}}{{]}^{2}}\text{d}x. \\ \end{align}$

(1.13)

x在$K>0$和$K <0$情形,这改进了Chen-Wang的结果^{[12, 13]},同时也改进了Ling近期的结果^[17].

(2) 如果$K>0$,定理1.5意味着$$\lambda_1(M)\geqslant \frac{3}{4}\bigg[\frac{\pi^2}{d^2}+(n-1)K\bigg].$$

(3) 如果$n\leqslant 5$和$K>0$,可选择某个恰当的常数$s$,文献[20]还得到如下的估计$$\lambda_1(M)\geqslant\frac{\pi^2}{d^2}+\frac{1}{2}(n-1)K+\frac{(n-1)^2K^2d^2}{16\pi^2}.$$

最近,文献[23]用新方法证明了如下的结果:

定理1.6 设$M$是$n$维紧致黎曼流形(可能具有光滑的、一致局部凸的边界),且其直径为$d$和Ricci曲率Ric$(M)\geqslant(n-1)K$,而$K\in{\Bbb R}$是某个常数.则其第一(闭的,或Neumann) 特征值$\lambda_1(M)$满足(1.13)式.

他们的证明利用了热方程解的长时间行为,其论证相当简单,较之以前的研究可以说是最容易的.特别他们的论证可避免第一特征函数呈不对称分布的可能性带来的麻烦.类似的论证早就被Andrews-Ni^[22]用于推导Bakry-Emery流形情形的第一特征值最佳下界估计.Andrews-Clutterbuck^[23]同时还说明了在这类估计中$\mu=\frac{1}{2}$是最佳常数.换句话说,Li猜想是错误的.确切地说,$$\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{d^2}+\frac{(n-1)}{2}K+O(Kd^2)$$是最佳的估计.也就是说,对于任何常数$a>1/2$,$\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{d^2}+a(n-1)K$都是错误的,$a=1$也不例外.读者可参阅文献[23]以获取更多的细节.

最后,应当指出的是,对具有"小直径"的流形而言,以上的大多数结果都推广了估计式(1.4).对于这个方向更多的信息和进一步的结果,可参阅很好的文献例如:文献[18, 20, 23]以及文献[24]等,以及其中的参考文献.总之,随着谱几何的迅速发展,特征值估计在这个研究的舞台上逐渐变得越来越重要.

本文的主要兴趣是研究Ricci曲率以非负常数为下界的紧致黎曼流形上第一(闭的,或Dirichlet,或Neumann)特征值下界,并得到了一个新的下界.现在叙述本文的主要结果如下:

定理1.7设$M$是$n$维紧致黎曼流形,且${\rm Ric}(M)\geqslant (n-1)K$,其中$K\geqslant0$为常数;如果$\partial M\neq\emptyset$,则假设$\partial M$属于(II)型.则其第一 (闭的,或Neumann) 特征值$\lambda_1$满足

$\begin{equation}\label{new-type-estimate}\lambda_1\geqslant\frac{1}{d^2}\Big(\frac{\pi}{2}+\alpha\Big)^2+\frac{(n-1)K}{2}\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\cdot\Big[1+\Big(\frac{\pi}{2}+\alpha\Big)\tan\alpha\Big],\forall 0<<\alpha<\frac{\pi}{2},\end{equation}$

(1.14)

其中$\alpha:=-\arcsin(\min_M u)$为常数且满足$0<\alpha\leqslant\frac{\pi}{2}$,而$u$是相应于$\lambda_1$的规范化特征函数,再者,如果$M$具对称性$\min_M u=-\max_M u$,即$\alpha=\frac{\pi}{2}$,则$\lambda_1$满足(1.13)式.

注1.2 (1) 在$\alpha=\frac{\pi}{2}$的情形,Ling^{[16, 17]}已证明了第一 (闭的,或Neumann) 特征值$\lambda_1$满足(1.13)式.

(2) 估计式(1.14)不同于以往的估计.例如:如果$\alpha=\frac{\pi}{4}$,则由(1.14)式可得$$\lambda_1\geqslant\frac{9}{16}\cdot\frac{\pi^2}{d^2}+\Big(\frac{1}{3}+\frac{\pi}{4}\Big)\cdot\frac{(n-1)K}{2}\approx0.56\times\frac{\pi^2}{d^2}+1.12\times\frac{(n-1)K}{2}.$$显然,(1.14)式不能完全被(1.13)式所取代.所以有理由相信它是新的估计式.

(3) 估计式(1.9)蕴含着(1.13)式.到目前为止,(1.9)式或许是最好估计式.

(4) 通过比较可知:当$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$时,(1.13)式或许强于(1.14)式.但前者比后者需要更强的条件.确切地说,(1.13)式 (以及(1.9)式)要求$\partial M$至少是凸的,但(1.14)式仅要求$\partial M$是弱凸的.

(5) 估计式(1.14)的推导比(1.13)式简单,前者仅用基于最大值原理方法的论证就可直接得到.

利用Zhong-Yang原来的方法^[8],但构造一个恰当的试验函数(这是本文的主要贡献之一),本文将证明定理1.7,并给出(1.8)式一个容易的证明.我们的论证基于早期的一些研究(参见文献[4, 5, 8, 16, 17]).一个有趣的特点是我们的论证避免了以前所遇到的$|\nabla u|^2/(1-u^2)$的奇性带来的麻烦.虽然有许多方面类似于Ling^{[16, 17]}所用的策略,但是我们的方法能够处理奇性,并且在一定程度上简化了计算,这或许提供了估计特征值的一种新方式.

本文剩下部分安排如下.第2节简单介绍一些文献[10]中出现的术语和记号;而文献[10]中相应的术语则在更一般的框架下定义.第3节中,在$\partial M\neq\emptyset$的情形,首先建立一个技术性引理,它可视为文献[14]中引理2.2的另外一个版本.然后利用该引理和最大值原理,可建立$F(\theta)$ (其定义见下面(2.5)式)的一个粗糙的估计.$F(\theta)$的一个更精细的估计将在第4节末由闸函数方法提供,而这个改进的估计在定理1.7和(1.8)式的证明中是关键的.最后,作为$F(\theta)$的精细估计的一个应用,定理1.7和(1.8)式的证明将在第5节进行.

设$\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$是$M$上的一个局部标架场.用下标$i,j$及$k$分别表示沿$e_i,e_j$及$e_k$方向的共变导数.而$M$上的Laplace算子,可用上述局部标架场下的局部坐标定义为:沿$e_i$方向求两次共变导数,然后关于$i=1,2,\cdots,n$求和,即$$\Delta u=\sum_i u_{ii}.$$用$u$记相应于$\Delta$的第一(闭的,或Neumann)特征值$\lambda_1$的规范化特征函数.具体说,$u$满足

$\begin{equation}\label{11-5-16-18-30}\Delta u=-\lambda_1 u,\max_M u=1,\min_M u=-\sin\alpha,\qquad0 < \alpha\leqslant\frac{\pi}{2}.\end{equation}$

(2.1)

定义一个函数 $$\theta(x):=\arcsin[u(x)],\forall x\in M$$以及$M$的一个子集如下$$\Sigma_*=\Big\{x\in M : \theta(x)=\frac{\pi}{2},\hbox{如果} 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\Big\}$$或 $$\Sigma_*=\Big\{x\in M : \theta(x)=\pm\frac{\pi}{2},\hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}\Big\}.$$于是$$u(x)=\sin[\theta(x)] \hbox{及} -\alpha\leqslant\theta(x)\leqslant\frac{\pi}{2},\qquad\forall x\in M.$$除另有规定,上述术语和记号均适用.

利用(2.1)式,直接的计算表明$\theta(x)$满足

$\begin{equation}\label{11-5-18-10-58}\cos \theta \cdot \Delta \theta-\sin \theta\cdot |\nabla\theta|^2=-\lambda_1\sin\theta.\end{equation}$

(2.2)

特别地,当$x\in M\setminus \Sigma_*$时,有

$\begin{equation}\label{11-5-18-17-10}\Delta \theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\cdot(|\nabla\theta|^2-\lambda_1).\end{equation}$

(2.3)

由(2.2)式易知

$\begin{equation}\label{11-5-21-21-26}|\nabla\theta|^2=\lambda_1,\qquad\hbox{当} \theta=\frac{\pi}{2} \Big(\hbox{或} \theta=\pm\frac{\pi}{2},\hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}\Big) \hbox{时}.\end{equation}$

(2.4)

另外还定义函数$F$如下

$\begin{equation}\label{eqn-11-5-16-22-08}F(\theta_0):=\max\big\{|\nabla\theta(x)|^2 : x\in M,\theta(x)=\theta_0\big\},\forall \theta_0\in[-\alpha,\frac{\pi}{2})\setminus\{-\frac{\pi}{2}\}.\end{equation}$

(2.5)

显然,$F$是定义完善的.实际上,$F(\theta_0)$是$|\nabla\theta(x)|^2$具有约束条件$\theta(x)=\theta_0$的极值.容易验证$F(\theta)$在$[-\alpha,\frac{\pi}{2})\setminus\{-\frac{\pi}{2}\}$中是连续的.此外,利用(2.4)式可定义$$F(\frac{\pi}{2}):=\lambda_1 \Big(\hbox{或} F(\pm\frac{\pi}{2}):=\lambda_1,\hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}\Big),$$于是$F(\theta)$能够扩张为$[-\alpha,\frac{\pi}{2}]$上的连续函数.

注2.1 设$u$为相应于$\Delta$的第一Dirichlet特征值$\lambda_1$的规范化特征函数.具体说,$u$满足$$\Delta u=-\lambda_1 u,\max_M u=1,\min_M u=0.$$同样地,可以如同上面一样定义函数$\theta(x)$及$F(\theta)$.显然,$$u(x)=\sin[\theta(x)] \hbox{且} 0\leqslant\theta(x)\leqslant\frac{\pi}{2},\forall x\in M;$$以及$F(\theta)$是$[0,\frac{\pi}{2}]$上的连续函数,且$F(\frac{\pi}{2})=\lambda_1$.

事实上,这种情况恰好相应于上述$\alpha=0$的情形.

注2.2 (i) Dirichlet边界条件:$u|_{\partial M}=0$,等价于

$\begin{equation}\label{Dirichlet-condition}\theta=\arcsin u=0,\hbox{在$\partial M$上;}\end{equation}$

(2.6)

(ii) Neumann边界条件:$(D_\nu u)|_{\partial M}=0$,等价于

$\begin{equation}\label{Neumann-condition}D_\nu\theta=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot D_\nu u=0,\hbox{在$\partial M$ 上.}\end{equation}$

(2.7)

引理3.1 \label{lem-14-3-7-19-15}设$\partial M(\neq\emptyset)$属于(I)或(II)型.则$\Sigma_*\cap\partial M=\emptyset$.

证 情形(I),可直接从(2.6)式推导出$\Sigma_*\cap\partial M=\emptyset$.

情形(II),假设结论不正确.那么至少存在一点$x_0\in\Sigma_*\cap\partial M\neq\emptyset$,使得$$\theta(x_0)=\frac{\pi}{2} \Big(\hbox{或} \theta(x_0)=\pm\frac{\pi}{2},\hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}\Big).$$于是$$u(x_0)=1 \Big(\hbox{或} u(x_0)=\pm1,\hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}\Big).$$由Hopf极大值原理可知$$D_\nu u(x_0)>0,\Big(\hbox{或} D_\nu u(x_0)\gtrless0,\hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}\Big).$$但这与Neumann边界条件:$(D_\nu u)|_{\partial M}=0$相矛盾.于是,结论成立.

通过与以前研究(参见文献[10, 14, 16, 17])类似的方式,可得到下列引理,它可视为文献[14]中引理2.2的另外一个版本.

引理3.2 \label{lem-12-9-25-20-26}设$\partial M\neq\emptyset$,函数$G(x)$为定义如下$$G(x)=\frac{1}{2}|\nabla\theta(x)|^2+g[\theta(x)],\forall x\in M,$$其中$g(\theta)$是定义在$[-\alpha,\frac{\pi}{2}]$上的光滑函数.则有下列结论:

(1) 设$\partial M$属于(I)型,$\theta|_{\partial M}=0$,且$g'(0)=0$.若$G(x)$在$x_0\in \partial M$取其最大值,则$\nabla G(x_0)=0$.

(2) 设$\partial M$属于(II)型,$(D_\nu\theta)|_{\partial M}=0$.若$G(x)$在$x_0\in \partial M$取其最大值,则$\nabla G(x_0)=0$.

证 选择$x_0$附近的一个局部正交标架$\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$,使得$e_1$是$M$在$\partial M$上的单位外法向.下面用记号$\frac{\partial}{\partial x_1}$表示限制在$\partial M$上的沿$e_1$的方向导数.

显然,由$G(x_0)$的最大性可得

$\begin{equation}\label{equ-12-9-27-21-56}G_i(x_0)=0,\hbox{当} 2\leqslant i\leqslant n \hbox{时},\end{equation}$

(3.1)

且

$\begin{equation}\label{11-6-12-1-29}\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_0)\geqslant0.\end{equation}$

(3.2)

(1) 之证 因为$\theta|_{\partial M}=0$,于是,当$2\leqslant i\leqslant n$时,$\theta_i(x_0)=0$.另外由(2.3)式可推出$(\Delta\theta)|_{\partial M}=0$.将这些结果用于下面的论证可得,在$x_0$处,

$\begin{eqnarray}\label{eqn-14-3-8-13a-16}\frac{1}{2}\frac{\partial(|\nabla\theta|^2)}{\partial x_1}&=&\sum_{i=1}^n\theta_i\theta_{i1}=\theta_1\theta_{11}=\theta_1(\Delta\theta-\sum_{i=2}^n\theta_{ii})\\&=&-\theta_1\sum_{i=2}^n\theta_{ii}=-\theta_1\sum_{i=2}^n(e_ie_i\theta-\nabla_{e_i}e_i\theta)\\&=&\theta_1\sum_{i=2}^n\nabla_{e_i}e_i\theta=\theta_1\sum_{i=2}^n\sum_{j=1}^n(\nabla_{e_i}e_i,e_j)\theta_j\\&=&\theta_1^2\sum_{i=2}^n(\nabla_{e_i}e_i,e_1)=-\theta_1^2\sum_{i=2}^n(\nabla_{e_i}e_1,e_i)\\&=&-\theta_1^2\sum_{i=2}^nh_{ii}=-\theta_1^2H\leqslant0,\end{eqnarray}$

(3.3)

这里$h_{ij}$和$H=\sum\limits_{i=2}^nh_{ii}$分别是第二基本形式和相对于$e_1$的平均曲率.因此,由(3.2)和(3.3)式可推出$$\begin{eqnarray*}0&\leqslant&\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_0)=\frac{1}{2}\cdot\frac{\partial(|\nabla\theta|^2)}{\partial x_1}(x_0)+g'[\theta(x_0)]\cdot\theta_1(x_0)\\&\leqslant&g'[\theta(x_0)]\cdot\theta_1(x_0)=g'(0)\cdot\theta_1(x_0)=0.\end{eqnarray*}$$从而

$\begin{equation}\label{equ-12-9-25-22-29}\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_0)=0.\end{equation}$

(3.4)

联合(3.1)与(3.4)式可得 $$\nabla G(x_0)=0. $$

(2) 之证 因为$\theta_1|_{\partial M}=(D_\nu\theta)|_{\partial M}=0$,所以

$\begin{equation}\label{11-6-12-1-35}\theta_1(x_0)=0,\end{equation}$

(3.5)

且当$2\leqslant i\leqslant n$时,

$\begin{equation}\label{14-3-7-1-39}e_i(\theta_1)=0,\hbox{在$\partial M$上.}\end{equation}$

(3.6)

利用(3.5)式可得

$\begin{equation}\label{11-6-12-2-3}0\leqslant\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_0)=\sum_{i=1}^n\theta_i(x_0)\cdot\theta_{i1}(x_0)+g'[\theta(x_0)]\cdot \theta_1(x_0)=\sum_{i=2}^n\theta_i(x_0)\cdot\theta_{i1}(x_0).\end{equation}$

(3.7)

由(3.6)式和关于外法向的第二基本形式的定义,可推出:当$2\leqslant i\leqslant n$时,在$x_0$处,

$ \begin{eqnarray}\label{eqn-11-6-12-8-38}\theta_{i1}&=&e_ie_1\theta-(\nabla_{e_i}e_1)\theta=e_i(\theta_1)-(\nabla_{e_i}e_1,e_j)\theta_j\\&=&-(\nabla_{e_i}e_1,e_j)\theta_j=-\sum_{j=2}^nh_{ij}\theta_j,\end{eqnarray}$

(3.8)

其中$(h_{ij})_{2\leqslant i,j\leqslant n}$是$\partial M$相对于$e_1$的第二基本形式.因为$(h_{ij})_{2\leqslant i,j\leqslant n}$是非负的,将(3.8)式代入(3.7)式可得

$\begin{equation}\label{equ-12-9-27-22-1}0\leqslant\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_0)=-\sum_{i,j=2}^n\theta_i(x_0)h_{ij}(x_0)\theta_j(x_0)\leqslant 0,\end{equation}$

(3.9)

因此,$\frac{\partial G}{\partial x_1}(x_0)=0$.再次利用(3.1)式可得$\nabla G(x_0)=0$.

至此,引理的证明已完成.

注3.1 \label{13-4-10-20-15}这里需要强调的是:引理3.2是为推导最终的第一(闭的,Dirichlet,或Neumann)特征值下界估计而准备的.这三类特征值估计的推导总体上是类似的,且三者的区别仅出现于引理3.2.

正像文献[8]所指出的那样,$|\nabla\theta|^2$的上界估计在$\lambda_1$的下界估计中起着重要的作用.下面将建立对$|\nabla\theta|^2$和$F(\theta)$的粗糙估计.

引理3.3 \label{lem-11-5-21-21-16}假设${\rm Ric}(M)\geqslant0$.其它条件同定理1.1.下列估计在任何情形下成立

$\begin{equation}\label{inq-11-5-16-13-30}|\nabla\theta(x)|^2\leqslant\lambda_1,\forall x\in M.\end{equation}$

(3.10)

进一步,有

$\begin{equation}\label{ineq-11-5-25-20-26}F(\theta)\leqslant\lambda_1,\forall \theta\in\Big[-\alpha,\frac{\pi}{2}\Big].\end{equation}$

(3.11)

证 假设$|\nabla\theta|^2$在$x_0$处达到其最大值.显然,(2.4)式蕴含着(3.10)式在$x_0\in\Sigma_*$情形成立.不失一般性,可以在余下的证明中进一步假设$x_0\in M\setminus\Sigma_*$,这样$\theta_0=\theta(x_0)\in[-\alpha,\frac{\pi}{2})\setminus\{-\frac{\pi}{2}\}$.在$\partial M\neq\emptyset$情形,利用引理3.2,无论$x_0\in\partial M$,还是$x_0\in M$,总可断言:如果$|\nabla\theta|^2$在$x_0$处达到其最大值,则

$\begin{equation}\label{eqn-12-9-26-20-3}\nabla(|\nabla\theta|^2)=0,\hbox{在} x_0 \hbox{处}.\end{equation}$

(3.12)

再次由最大值原理可知

$\begin{equation}\label{11-5-18-16-38} \Delta (|\nabla\theta|^2)\leqslant 0,\hbox{在} x_0 \hbox{处}.\end{equation}$

(3.13)

对$\theta$运用Bochner公式可得

$\begin{equation}\label{11-5-18-12-00} \frac{1}{2} \Delta (|\nabla\theta|^2)= |\nabla^2\theta|^2+\nabla\theta\cdot \nabla (\Delta \theta)+\textrm{Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta),\end{equation}$

(3.14)

其中$\textrm{Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta)$是沿$\nabla\theta$的Ricci曲率.把(2.3)式代入(3.14)式,并由直接计算可得

$ \begin{eqnarray}\label{11-5-18-16-30}\frac{1}{2} \Delta (|\nabla\theta|^2)&=& |\nabla^2\theta|^2+\nabla\theta\cdot\nabla \Big(\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\Big)\cdot(|\nabla\theta|^2-\lambda_1)\\&&+\nabla\theta\cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot\nabla(|\nabla\theta|^2)+{\rm Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta)\\&=& |\nabla^2\theta|^2+\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot|\nabla\theta|^2(|\nabla\theta|^2-\lambda_1)\\&&+\nabla\theta\cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot \nabla (|\nabla\theta|^2)+{\rm Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta).\end{eqnarray}$

(3.15)

利用(3.12)-(3.13)式,从(3.15)式可导出,在$x_0$处有 $$0\geqslant|\nabla^2\theta|^2+\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot|\nabla\theta|^2(|\nabla\theta|^2-\lambda_1)+{\rm Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta).$$既然${\rm Ric}(M)\geqslant0$,上式右端第一项和第三项由于是非负的,所以可去掉.这样在$x_0$处有$$0\geqslant \frac{1}{\cos^2\theta}\cdot|\nabla\theta|^2(|\nabla\theta|^2-\lambda_1).$$上式两端依次同除以$|\nabla\theta|^2$和同乘以$\cos^2\theta$,可得到在$x_0$处有$$0\geqslant|\nabla\theta|^2-\lambda_1,$$这意味着结论成立.

从现在起,记

$ \begin{equation}\label{delta-definition}\delta:=\frac{(n-1)K}{2\lambda_1}.\end{equation}$

(4.1)

由(1.4)式可得

$ \begin{equation}\label{ineq-delta}0<\delta\leqslant\frac{n-1}{2n}<\frac{1}{2}.\end{equation}$

(4.2)

为了推导本文的主要结果,需要提供比(3.11)式更精细的$F(\theta)$的估计.为了实现这个目标,将建立下列关键引理来精确估计$F(\theta)$.

引理4.1 假设${\rm Ric}(M)\geqslant(n-1)K\geqslant0$. 其它条件同定理1.1.如果函数$z: [-\alpha,\frac{\pi}{2}]\mapsto {\Bbb R}$满足下列性质:

(1) 对所有$\theta\in[-\alpha,\frac{\pi}{2}]$,$z(\theta)\geqslant F(\theta)/\lambda_1$;

(2) 存在某个$\theta_0\in[-\alpha,\frac{\pi}{2})\setminus\{-\frac{\pi}{2}\}$使得$z(\theta_0)=F(\theta_0)/\lambda_1$;

(3) $z'(0)=0$;

(4) $z'(\theta_0)\sin\theta_0\geqslant0$.那么下列估计成立.\begin{equation}\label{11-5-21-22-10}\frac{F(\theta_0)}{\lambda_1}\leqslant1-\cos\theta_0\sin \theta_0\cdot z'(\theta_0)+\frac{\cos^2\theta_0}{2}"(\theta_0)-2\delta\cos^2\theta_0.\end{equation}

证 设 $$f(x)=\frac{1}{2} \Big\{|\nabla\theta(x)|^2-\lambda_1z\big[\theta(x)\big]\Big\}.$$显然,对所有$x\in M$,$f(x)\leqslant 0$.利用(2.5)式,易知存在某点$x_0\in M\setminus\Sigma_*$使得$\theta(x_0)=\theta_0$,且$F(\theta_0)=|\nabla\theta(x_0)|^2$.这样$f$在$x_0$处达到它的最大值0,即

$\begin{equation}\label{11-5-22-9-33}|\nabla\theta(x_0)|^2=F(\theta_0)=\lambda_1z(\theta_0).\end{equation}$

(4.4)

由引理3.3证明中同样论证可知:无论$x_0\in\partial M$,还是$x_0\in M\setminus(\partial M\cup\Sigma_*)$,都有

$\begin{equation}\label{eqn-12-9-26-20-18}\nabla f(x_0)=0.\end{equation}$

(4.5)

显然,又由最大值原理可知

$\begin{equation}\label{11-5-21-22-35}\Delta f(x_0)\leqslant0.\end{equation}$

(4.6)

直接计算表明 $$\nabla f=\frac{1}{2} \big[\nabla (|\nabla\theta|^2)-\lambda_1z'(\theta)\cdot \nabla\theta\big]. $$

既然在$x_0$处有$\nabla f=0$,于是

$\begin{equation}\label{11-5-22-8-35}\nabla (|\nabla\theta|^2)=\lambda_1z'(\theta_0)\cdot \nabla\theta,\qquad\hbox{在$ x_0$处}.\end{equation}$

(4.7)

经直接计算并利用(2.3)式,还可得

$\begin{eqnarray}\label{11-5-21-23-58} \frac{\lambda_1}{2} \Delta z&=&\frac{\lambda_1}{2}(z"\cdot |\nabla\theta|^2+z'\cdot \Delta \theta) \\ &=& \frac{\lambda_1}{2}\Big[z"\cdot |\nabla\theta|^2+z'\cdot\frac{\sin\theta}{\cos \theta}\cdot(|\nabla\theta|^2-\lambda_1)\Big]. \end{eqnarray}$

(4.8)

因此,由(3.15)与(4.8)式可得

$\begin{eqnarray}\label{12-12-15-3-53}\Delta f&=&|\nabla^2\theta|^2+\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot|\nabla\theta|^2(|\nabla\theta|^2-\lambda_1) \\&&+\nabla\theta\cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot \nabla (|\nabla\theta|^2)+{\rm Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta)\\&&-\frac{\lambda_1}{2}\Big[z"\cdot |\nabla\theta|^2+z'\cdot\frac{\sin\theta}{\cos \theta}\cdot(|\nabla\theta|^2-\lambda_1)\Big]. \end{eqnarray}$

(4.9)

把(4.7)式代入(4.9)式,并利用(4.6)式和${\rm Ric}(\nabla\theta,\nabla\theta)\geqslant(n-1)K|\nabla\theta|^2$,容易推出在$x_0$处有

$\begin{eqnarray}\label{11-5-21-10-25} 0 &\geqslant& |\nabla^2\theta|^2 +\frac{1}{\cos^2\theta}\cdot|\nabla\theta|^2(|\nabla\theta|^2-\lambda_1)\\ &&+\lambda_1z'\cdot \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\cdot |\nabla\theta|^2+(n-1)K|\nabla\theta|^2\\ &&-\frac{\lambda_1z"}{2}\cdot |\nabla\theta|^2 +\frac{\lambda_1z'}{2}\cdot\frac{\sin\theta}{\cos\theta} \cdot(\lambda_1-|\nabla\theta|^2).\end{eqnarray}$

(4.10)

显然,条件(4)和(3.10)式蕴含着(4.10)式中的最后一项是非负的.这样上式中第一项和最后一项由于是非负的,所以可去掉.于是,在$x_0$处有 $$\begin{align} & 0\ge \frac{1}{{{\cos }^{2}}\theta }\cdot |\nabla \theta {{|}^{2}}(|\nabla \theta {{|}^{2}}-{{\lambda }_{1}})+ \\ & {{\lambda }_{1}}{z}'\cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }\cdot |\nabla \theta {{|}^{2}}+(n-1)K|\nabla \theta {{|}^{2}} \\ & -\frac{{{\lambda }_{1}}z\text{''}}{2}\cdot |\nabla \theta {{|}^{2}}+\frac{{{\lambda }_{1}}z'}{2}\cdot \frac{\sin \theta }{\cos \theta }.\left( {{\lambda }_{1}}-|\nabla \theta {{|}^{2}} \right) \\ \end{align}$$,并利用(4.4)式,以及重排上式各项可得,在$x_0$处有 $$0\geqslant z-1+z'\cdot\cos\theta\sin\theta-\frac{z"}{2}\cdot\cos^2\theta+2\delta\cos^2\theta, $$由此容易推出(4.3)式. 证毕.

本文余下部分基本上遵循文献[8, 10, 16, 17]的方法.为了完备起见,下面使用上述文献中的方法给出定理1.7的一个简要证明.建议读者阅读这些文献以获取更多的细节.

引理4.2^{[16, 17]} 设

$\begin{equation}\label{eqn-12-6-19-8-0}\xi(\theta):=\frac{\cos^2\theta+2\theta\sin\theta\cos\theta+\theta^2-\frac{\pi^2}{4}}{\cos^2\theta},\hbox{在} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \hbox{中},\end{equation}$

(4.11)

且$\xi(\pm\frac{\pi}{2})=0$.则函数$\xi$满足

$\begin{equation}\label{12-6-19-8-8}\frac{\cos^2\theta}{2}\cdot\xi"-\cos\theta\sin\theta\cdot\xi'-\xi=2\cos^2\theta,\hbox{在} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \hbox{中}.\end{equation}$

(4.12)

进一步,函数$\xi$还有下列性质:$$\xi(-\theta)=\xi(\theta) \hbox{在} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \hbox{中},\hbox{于是} \xi'(0)=0;$$$$\xi'(\theta)<0 \hbox{在} (-\frac{\pi}{2},0) \hbox{中},\qquad\hbox{且} \xi'(\theta)>0 \hbox{在} (0,\frac{\pi}{2}) \hbox{中};$$

$\begin{equation}\label{inequ-12-9-27-11-12}1-\frac{\pi^2}{4}=\xi(0)\leqslant\xi(\theta)\leqslant\xi(\pm\frac{\pi}{2})=0,\hbox{在} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \hbox{上}.\end{equation}$

(4.13)

推论4.1 \label{cor-12-6-19-11-20}设

$\begin{equation}\label{eqn-12-6-19-11-30}z(\theta):=1+\delta \xi(\theta),\hbox{在} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \hbox{中}.\end{equation}$

(4.14)

则$z$满足下列性质

$\begin{equation}\label{eqn-12-7-8-11-18-22}\frac{\cos^2\theta}{2}\cdot z"(\theta)-\cos\theta\sin\theta\cdot z'(\theta)-z(\theta)+1=2\delta\cos^2\theta,\hbox{在} (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) \hbox{中};\end{equation}$

(4.15)

$$z(\theta)>0,\hbox{在} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \hbox{上};$$$$z'(0)=\delta\xi'(0)=0;$$$$z'(\theta)\sin\theta=\delta \xi'(\theta)\sin\theta\geqslant0,\hbox{在} [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] \hbox{上};$$且

$ \begin{equation}\label{eq-14-3-8-9-2}\int_{-\alpha}^{\frac{\pi}{2}}z(\theta){\rm d}\theta=\left\{ \begin{array}{ll} \Big(\frac{\pi}{2}+\alpha\Big)-\delta\Big(\frac{\pi}{2}-\alpha\Big)\Big[1+\Big(\frac{\pi}{2}+\alpha\Big)\tan\alpha\Big],& \hbox{如果} 0<\alpha<\frac{\pi}{2};\\ [3mm]\pi(1-\delta),& \hbox{如果} \alpha=\frac{\pi}{2}. \end{array}\right.\end{equation}$

(4.16)

证 由(4.13)式和(4.2)式易得$$\begin{align} & z(\theta )=1+\delta \xi (\theta )\ge 1+\delta \xi (0)\ge 1+\delta (1-\frac{{{\pi }^{2}}}{4}) \\ & >1+\frac{1}{2}(1-\frac{{{\pi }^{2}}}{4})=\frac{3}{2}-\frac{{{\pi }^{2}}}{8}\approx 0.26>0. \\ \end{align}$$

在$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$的情形,利用(4.11)式有$$\begin{eqnarray*}\label{eqn-1-delta-xi}\int_{-\alpha}^\frac{\pi}{2}z(\theta){\rm d}\theta&=&\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)+\delta\int_{-\alpha}^\frac{\pi}{2}\xi(\theta){\rm d}\theta\\&=&\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)+\delta\Big[\theta+\big(\theta^2-\frac{\pi^2}{4}\big)\tan\theta\Big]\Big|_{-\alpha}^{\frac{\pi}{2}}\\&=&\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)-\delta\big(\frac{\pi}{2}-\alpha\big)\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big].\end{eqnarray*}$$在$\alpha=\frac{\pi}{2}$的情形,在上式最后一个等式中令$\alpha\rightarrow(\frac{\pi}{2})^-$可得$$\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}z(\theta){\rm d}\theta=\pi(1-\delta).$$

另外,利用引理4.2容易验证其余的性质.证毕.

使用引理4.1和推论4.1以及反证法,容易证明下列结论.为了方便读者,下面给出一个来源于文献[8, 16, 17]的证明.

推论4.2 \label{11-5-25-22-05}条件同定理1.1.而$F(\theta)$及$z(\theta)$分别由(2.5)和(4.14)式定义.则

$\begin{equation}\label{ineq-11-5-25-22-26}\frac{F(\theta)}{\lambda_1}\leqslant z(\theta),\forall \theta\in[-\alpha,\frac{\pi}{2}].\end{equation}$

(4.17)

证 假设结论不成立.由于$F(\frac{\pi}{2})/\lambda_1=1=z(\frac{\pi}{2})$ (或$F(\pm\frac{\pi}{2})/\lambda_1=1=z(\pm\frac{\pi}{2})$,如果$\alpha=\frac{\pi}{2}$),那么,存在某个$\theta_0\in[-\alpha,\frac{\pi}{2})\setminus\{-\frac{\pi}{2}\}$使得

$ \begin{equation}\label{12-5-1-6-10}\sigma=\frac{F(\theta_0)}{\lambda_1}-z(\theta_0)=\max_{0\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2}}\Big\{\frac{F(\theta)}{\lambda_1}-z(\theta)\Big\}>0.\end{equation}$

(4.18)

定义函数$Z(\theta):=z(\theta)+\sigma,\forall \theta\in[-\alpha,\frac{\pi}{2}]$.显然,$$Z(\theta)=z(\theta)+\sigma(\theta)+\Big[\frac{F(\theta)}{\lambda_1}-z(\theta)\Big]=\frac{F(\theta)}{\lambda_1},\forall \theta\in[-\alpha,\frac{\pi}{2}];$$$$Z(\theta_0)=z(\theta_0)+\sigma=\frac{F(\theta_0)}{\lambda_1};$$且 $$Z'(\theta)=z'(\theta),\forall \theta\in[-\alpha,\frac{\pi}{2})\setminus\{-\frac{\pi}{2}\},$$这样,$$Z'(0)=z'(0)=0,$$$$Z'(\theta_0)\sin\theta_0=z'(\theta_0)\sin\theta_0\geqslant 0.$$

于是,用$Z(\theta)$替代引理4.1中的$z(\theta)$,由引理4.1及(4.15)式可得$$\begin{eqnarray*}\frac{F(\theta_0)}{\lambda_1}&\leqslant&1-\cos\theta_0\sin\theta_0\cdot Z'(\theta_0)+\frac{\cos^2\theta_0}{2}\cdot Z"(\theta_0)-2\delta\cos^2\theta_0\\&=&1-\cos\theta_0\sin\theta_0\cdot z'(\theta_0)+\frac{\cos^2\theta_0}{2}"(\theta_0)-2\delta\cos^2\theta_0\\&=& z(\theta_0).\end{eqnarray*}$$但这与(4.18)式相矛盾.证毕.

上述论证建立了不等式(4.17).它改进了$F(\theta)$的上界估计达到所要求的地步.

使用文献[16, 17]中的论证,现在利用$F(\theta)$的估计式证明定理1.7如下.

定理1.7之证

证 由(4.17)及(2.5)式可得

$\begin{equation}\label{11-5-25-22-31}\sqrt{\lambda_1}\geqslant\sqrt{\frac{F(\theta)}{z(\theta)}}\geqslant\frac{|\nabla\theta|}{\sqrt{z(\theta)}}.\end{equation}$

(5.1)

在$0<\alpha<\frac{\pi}{2}$的情形.取$q_1,q_2\in M$使得$\theta(q_1)=\frac{\pi}{2},\theta(q_2)=-\alpha$.用$d'$记$M$上连接$q_1$与$q_2$的最短曲线$\gamma$的长度.用$d$记$M$的直径.显然,$d'\leqslant d$.沿曲线$\gamma$积分(5.1)式的两端,并利用(4.16)式,可得$$\begin{eqnarray*}\sqrt{\lambda_1} d&\geqslant&\sqrt{\lambda_1} d'=\int_\gamma\sqrt{\lambda_1}{\rm d}s\geqslant\int_\gamma\frac{|\nabla\theta|}{\sqrt{z(\theta)}}{\rm d}s\\&\geqslant&\int_{-\alpha}^\frac{\pi}{2}\frac{1}{\sqrt{z(\theta)}}{\rm d}\theta\geqslant\Big(\int_{-\alpha}^\frac{\pi}{2}{\rm d}\theta\Big)^\frac{3}{2}\Big/\Big\{\int_{-\alpha}^\frac{\pi}{2}z(\theta){\rm d}\theta\Big\}^\frac{1}{2}\\ [10pt]&=&\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)^\frac{3}{2}\Big/\left\{\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)-\delta\big(\frac{\pi}{2}-\alpha\big)\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big]\right\}^\frac{1}{2}.\end{eqnarray*}$$上式两端同除以$d$之后,两端再取平方可得$$\begin{eqnarray*}\lambda_1&\geqslant&\frac{1}{d^2}\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)^3\Big/\left\{\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)-\delta\big(\frac{\pi}{2}-\alpha\big)\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big]\right\}\\ [10pt]&=&\frac{1}{d^2}\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)^2\Big/\left\{1-\delta\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\cdot\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big]\right\}\end{eqnarray*}$$或有等价式$$\lambda_1\left\{1-\delta\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\cdot\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big]\right\}\geqslant\frac{1}{d^2}\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)^2.$$因此,利用(4.1)式易得

$\begin{eqnarray}\label{eqn-14-3-6-10-33}\lambda_1&\geqslant&\frac{1}{d^2}\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)^2+\lambda_1\delta\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\cdot\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big]\\ [10pt]&=&\frac{1}{d^2}\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)^2+\frac{(n-1)K}{2}\cdot\frac{\frac{\pi}{2}-\alpha}{\frac{\pi}{2}+\alpha}\cdot\Big[1+\big(\frac{\pi}{2}+\alpha\big)\tan\alpha\Big].\end{eqnarray}$

(5.2)

在$\alpha=\frac{\pi}{2}$的情形.在(5.2)式中令$\alpha\rightarrow(\frac{\pi}{2})^-$可得$$\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{d^2}+\frac{(n-1)K}{2}.$$证毕.

重复定理1.7的上述证明中的论证,可证明Ling^[16]的一个关于第一Dirichlet特征值$\lambda_1$的下界估计如下.

定理1.8之证.

证 取$q_1\in M$使得$\theta(q_1)=\frac{\pi}{2}$.选取$q_2\in\partial M$使得${\rm dist}(q_1,q_2)={\rm dist}(q_1,\partial M)$.显然,$\theta(q_2)=0$.用$d'$记$M$上连接$q_1$与$q_2$的最短曲线$\gamma$的长度.用$\tilde{d}$记$M$中的最大内球直径.(即$\tilde{d}/2$是$\tilde{d}$的内切半径).显然,$d'\leqslant\tilde{d}/2$.

剩下的推导如同定理1.7的上述证明一样进行.最终,把$d=\tilde{d}/2$代入(5.2)式,并令$\alpha\rightarrow0^+$可得$$\lambda_1\geqslant\frac{\pi^2}{\tilde{d}^2}+\frac{(n-1)K}{2}.$$这就是所要求的估计式.证毕.