Differential Subordination and Differential Superordination for Analytic Functions in the Upper Half-Plane
设 $\Delta$ 表示上半平面,即有
$$\Delta=\{z\in{\Bbb C}: {\rm Im}(z)>0\}.
$$又设 ${\cal H}[\Delta]$ 表示在 $\Delta$ 内解析且满足所谓的流体标准式 (参见文献[1, 15, 19])
$$\lim_{\Delta\ni z\rightarrow\infty}[f(z)-z]=0
$$的函数 $f: \Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 的全体.
另外,设 ${\cal S}[\Delta]$ 表示在 $\Delta$ 内单叶的函数类的全体. 关于函数类 ${\cal S}[\Delta]$ 的各种基本性质的研究,可参见文献[11, 20, 21].
设函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 且 $f(z)\neq0$,我们称函数 $f$ 是 $\Delta$ 内星象函数当且仅当
$${\rm Im}\left\{\frac{f'(z)}{f(z)}\right\}<0~~ (z\in\Delta).
$$此时,我们记 $\Delta$ 内所有星象函数的集合为 ${\cal S}^*[\Delta]$.
设函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$f(z)\neq z$ 且 $f'(z)\neq0$,我们称函数 $f$ 是 $\Delta$ 内凸象函数当且仅当
$${\rm Im}\left\{\frac{f"(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta).
$$此时,我们记 $\Delta$ 内所有凸象函数的集合为 ${\cal K}[\Delta]$. 关于函数类 ${\cal S}^*[\Delta]$ 和 ${\cal K}[\Delta]$ 的研究,可参见文献 [19].
下面,我们先来回顾一下上半平面中从属的概念.
设函数 $f$ 和 $g$ 属于函数类 ${\cal H}[\Delta]$. 如果存在一个函数 $\varphi\in{\cal H}[\Delta]$ 和 $\varphi[\Delta]\subset\Delta$,使得 $f(z)=g(\varphi(z))$,则称函数 $f$ 从属于 $g$,或者函数 $g$ 超从属于 $f$,记作 $f\prec g$,或 $f(z)\prec g(z)$. 特别地,如果函数 $g$ 在 $\Delta$ 内单叶,则有下列关系成立 (参见文献[16])
$$f(z)\prec g(z)~ (z\in\Delta)\Longleftrightarrow f(\Delta)\subset g(\Delta).
$$
设 $\Omega$ 为复平面 ${\Bbb C}$ 中的任意子集,函数 $p$ 在 $\Delta$ 内解析,且设 $\psi$ 为 ${\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射. Raducanu 和Pascu[16]利用与单位圆盘内微分从属理论 (参见文献 [13]) 类似的方法研究了上半平面中微分从属理论,从而获得了满足如下微分从属
$$\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}\subset\Omega
$$的函数 $p$ 的性质.
为了下面研究的需要,我们列出一些定义和定理.
定义 1.1 (参见文献 [13]) 设 ${\cal Q}(\Delta)$ 表示在 $\overline{\Delta}\backslash E(q)$ 上解析且满足当 $\xi\in\partial\Delta\backslash E(q)$ 时 $q'(\xi)\neq0$ 的函数集合,其中
$$E(q)=\{\xi\in\partial\Delta: \lim_{z\rightarrow\xi}q(z)=\infty\}
$$为闭集.
定义 1.2 (参见文献 [16]) 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,函数 $q\in{\cal Q}(\Delta)$. 又设函数 $\psi: {\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 满足如下的允许条件:当
$$r=q(\xi),~~ s=kq'(\xi) ~~\textrm{和}~~{\rm Im}\left\{\frac{t}{q'(\xi)}\right\}\geq k^2{\rm Im}\left\{\frac{ q"(\xi)}{q'(\xi)}\right\}
$$时,有
$$\psi(r,s,t;z)\notin\Omega
$$成立,其中 $z\in\Delta$,$\xi\in\partial\Delta\backslash E(q)$ 和 $k\geq0$. 我们则称上述函数 $\psi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Psi_\Delta[\Omega,q]$.
若 $\psi$ 为 ${\Bbb C}^2\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射,则上述允许条件变为
$$\psi(q(\xi),kq'(\xi);z)\notin\Omega,
$$这里 $z\in\Delta$,$\xi\in\partial\Delta\backslash E(q)$ 和 $k\geq0$.
定理 1.1 (参见文献 [16]) 设函数 $\psi\in\Psi_\Delta[\Omega,q]$ 和函数 $p\in{\cal H}[\Delta]$. 如果对 $z\in\Delta$,有
$$\psi(p(z),p'(z),p"(z);z)\in\Omega,
$$则有
$$p(z)\prec q(z)~~ (z\in\Delta).
$$
在文献[22] 的基础上,受单位圆盘内微分超从属理论 (参见文献 [14]) 的启发,我们建立了上半平面 $\Delta$ 内满足如下的微分超从属
$$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}
$$的函数 $p$ 的基本理论. 换句话说,我们寻求找到因子 $\Omega$,$\Sigma$ 和 $\psi$,使其满足下列蕴含关系
|
$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}\Longrightarrow\Sigma\subset p(\Delta),$
|
(1.1)
|
其中 $\Sigma$ 为 ${\Bbb C}$ 的任意子集.
若 $\Omega$ 或 $\Sigma$ 为单连通区域,则利用超从属的关系,(1.1) 式可以重新被改写.
若函数 $p$ 在 $\Delta$ 内单叶,$\Sigma$ 为一个单连通区域且有 $\Sigma\neq{\Bbb C}$,则存在一个从 $\Delta$ 到 $\Sigma$ 的共形映射 $q$,使得 $q(0)=p(0)$. 在这种情况下,(1.1) 式可以重新写为
|
$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}\Longrightarrow q(z)\prec p(z)$
|
(1.2)
|
若 $\Omega$ 也是一个单连通区域且有 $\Omega\neq{\Bbb C}$,则存在一个从 $\Delta$ 到 $\Omega$ 的共形映射 $h$,使得 $h(0)=\psi(p(0),0,0;0)$. 进一步,若函数 $\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right)$ 在 $\Delta$ 内单叶,则 (1.2) 式可重新写为
$$h(z)\prec\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right)\Longrightarrow q(z)\prec p(z).
$$
注意到,蕴含关系 (1.2) 式中有三个关键的因子,即: 微分算子 $\psi$,集合 $\Omega$ 和"可控制"函数 $q$. 若这三个因子中有两个是已知的,我们寻求找到关于第三个因子的条件使得 (1.2) 式成立.
以下,我们假设集合 $\Omega$ 和函数 $q$ 是已知的,我们寻求找到"允许"算子 $\psi$ 的集合,使得 (1.2) 式成立.
首先,我们引入 $\Delta$ 内如下的微分超从属的定义.
定义 1.3 设 $\psi$ 为 ${\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射,函数 $h$ 在 $\Delta$ 内解析. 若函数 $p(z)$ 和$\psi (p(z),$ $p'(z),$ $p"(z);z )$ 在 $\Delta$ 内单叶且满足二阶微分超从属
|
$h(z)\prec\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right),$
|
(1.3)
|
则称 $p(z)$ 为上述微分超从属的一个解. 若对所有的解 $p(z)$,有 $q(z)\prec p(z)$,则称 $q(z)$ 为微分超从属解的一个从属子. 进一步,若存在一个单叶从属子 $\widetilde{q}(z)$ 对所有适合 $(1.3)$ 式的从属子 $q(z)$,均有 $q(z)\prec\widetilde{q}(z)$,则称 $\widetilde{q}(z)$ 为最佳从属子.
设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,函数 $\psi$ 和 $p$ 如定义 1.3 所述,假设 (1.3) 式可以被如下的包含关系
$$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}
$$所替代. 虽然此包含关系是一个"微分包含",但我们仍把它看作是微分超从属. 而且,上述微分超从属解的定义,从属子以及最佳从属子的定义都可以推广到更一般情形 (参见文献 [10, 12]).
下面,利用文献[11] 中的引理8.3k,我们根据 $\Delta$ 内微分从属理论来建立 $\Delta$ 内微分超从属理论.
引理 1.1 (参见文献 [13]) 设函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$ 和函数 $p\in{\cal Q}(\Delta)$. 如果函数 $q$ 不从属于 $p$,则存在点 $z_0=x_0+{\rm i}y_0\in\Delta$ 和点 $\xi_0\in\partial\Delta\backslash E(p)$ 以及数 $m>0$ 使得
(i)~ $q(z_0)=p(\xi_0)$;
(ii)~ $q(\Delta_0)\subset p(\Delta)$,其中 $\Delta_{y_0}=\{z\in{\Bbb C}: {\rm Im}(z)>y_0\}$;
(iii)~ $q'(z_0)=mp'(\xi_0)$;
(iv)~ ${\rm Im}\left\{\frac{q"(z_0)}{q'(z_0)}\right\}\geq m^2{\rm Im}\{\frac{p"(\xi_0)}{q'(z_0)}\}$.
在本节中,我们先定义如第 1 节所述的允许函数类,然后给出微分超从属的一些基本结果.
定义 2.1 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$ 且 $q'(z)\neq0$. 又设函数 $\psi: {\Bbb C}^3\times\overline{\Delta}\rightarrow{\Bbb C}$ 满足允许条件:当
|
$r=q(z),~~~s=\frac{q'(z)}{m}~~\textrm{和}~~{\rm Im}\left\{\frac{t}{q'(z)}\right\}\leq\frac{1}{m^2}{\rm Im}\left\{\frac{ q"(z)}{q'(z)}\right\}$
|
(2.1)
|
时,有
$$\psi(r,s,t;\xi)\in\Omega
$$成立,其中 $z\in\Delta$,$\xi\in\partial\Delta$ 和 $m>0$. 我们则称上述函数 $\psi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Psi'_\Delta[\Omega,q]$.
若 $\psi$ 为 ${\Bbb C}^2\times\overline{\Delta}\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射,则允许条件 (2.1) 式退化为
$$\psi\left(q(z),\frac{q'(z)}{m};\xi\right)\in\Omega~~ (z\in\Delta;\xi\in\partial\Delta;m>0).
$$
下面,我们给出并证明 $\Delta$ 内一阶和二阶微分超从属理论中的一个关键性定理.
定理 2.1 设函数 $\psi\in\Psi'_\Delta[\Omega,q]$,$q\in{\cal H}[\Delta]$. 如果函数 $p\in{\cal Q}(\Delta)$,$\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right)$ 在 $\Delta$ 内单叶,则
|
$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}$
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(2.2)
|
蕴含
$$q(z)\prec p(z)~~ (z\in\Delta).
$$
证 假设 $q\not\prec p$. 由引理 1.1 可知,存在点 $z_0=x_0+{\rm i}y_0\in\Delta$ 和点 $\xi_0\in\partial\Delta\backslash E(p)$ 以及数 $m>0$ 满足引理 1.1 中的(i)-(iv). 将 $r=p(\xi_0)$,$s=p'(\xi_0)$,$t=p"(\xi_0)$ 和 $\xi=\xi_0$ 代入定义 2.1 中,可得
$$\psi\left(p(\xi_0),p'(\xi_0),p"(\xi_0);\xi_0\right)\in\Omega,
$$显然,这与 (2.2) 式矛盾,所以我们有 $q(z)\prec p(z)~ (z\in\Delta)$. 定理 2.1 得证.
特别地,若 $\Omega\neq{\Bbb C}$ 是一个单连通区域,$h(z)$ 为 $\Delta$ 到 $\Omega$ 的一个共形映射. 在此情况下,我们记函数类 $\Psi'_\Delta[h(\Delta),q]$ 为 $\Psi'_\Delta[h,q]$. 因此,我们可得到定理 2.1 的一个直接结果,即如下的定理 2.2.
定理 2.2 设函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$,$h$ 在 $\Delta$ 内解析,又设函数 $\psi\in\Psi'_\Delta[h,q]$. 如果函数 $p\in{\cal Q}(\Delta)$ 和 $\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right)$ 在 $\Delta$ 内单叶,则
|
$h(z)\prec\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right)$
|
(2.3)
|
蕴含
$$q(z)\prec p(z)~~ (z\in\Delta).
$$
利用定理 2.1 和定理 2.2,我们可以得到 (2.2) 式或 (2.3) 式的微分超从属的从属子.
定理 2.3 设函数 $h$ 在 $\Delta$ 内解析,$\psi$ 为 ${\Bbb C}^3\times\overline{\Delta}\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射. 假设微分方程
|
$\psi\left(q(z),q'(z),q"(z);z\right)=h(z)$
|
(2.4)
|
有一个解 $q\in{\cal Q}(\Delta)$. 如果函数 $\psi\in\Psi'_\Delta[h,q]$,$p\in{\cal Q}(\Delta)$ 且函数 $\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right)$ 在 $\Delta$ 内单叶,则 $(2.3)$ 式蕴含 $q(z)\prec p(z)~ (z\in\Delta)$ 且 $q(z)$ 为最佳从属子.
证 因为 $\psi\in\Psi'_\Delta[h,q]$,故应用定理 2.2,我们可推断出 $q$ 是 (2.3) 式的一个从属子. 又 $q$ 适合 (2.4) 式,且为微分超从属 (2.3) 式的一个解,故满足 (2.3) 式的所有从属子都从属于 $q$. 因此,$q$ 为满足 (2.3) 式的最佳从属子.
在本文的后两节中,作为Raducanu 和Pascu 在文献[16] 中所得的上半平面 $\Delta$ 内微分从属理论以及我们在第 2 节中获得的 $\Delta$ 内微分超从属理论(即定理 2.1,定理 2.2 和定理 2.3) 的应用,我们通过定义某些适当的允许函数类来研究上半平面 $\Delta$ 内解析函数类,从而得到了该类中函数关于微分从属和微分超从属的一些结果. 值得注意的是,近些年来,许多作者获得了单位圆盘内关于微分从属和微分超从属的一些有趣的结果,有兴趣的读者可参见文献[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 17, 18] 和[23, 24, 25, 26, 27].
在证明第一个结论之前,我们先给出如下的允许函数类的定义.
定义 3.1 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,$q\in{\cal Q}(\Delta)$,又设函数 $\phi: {\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 满足如下的允许条件:当
$$u=q(\xi),~~~v=\frac{kq'(\xi)}{q(\xi)}~ (q(\xi)\neq0)
$$和
$${\rm Im}\left\{\frac{u(wv+v^2)}{q'(\xi)}\right\}\geq k^2{\rm Im}\left\{\frac{ q"(\xi)}{q'(\xi)}\right\}~ (z\in\Delta; \xi\in\partial\Delta\backslash E(q); k\geq0)
$$时,有
$$\phi(u,v,w;z)\notin\Omega
$$成立. 我们则称上述函数 $\phi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Phi_\Delta[\Omega,q]$.
定理 3.1 设函数 $\phi\in\Phi_\Delta[\Omega,q]$,$f(z)\neq0$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
|
$\left\{\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right): z\in\Delta\right\}\subset\Omega,$
|
(3.1)
|
则有
$$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~~ (z\in\Delta).
$$
证 首先,我们定义 $\Delta$ 内的函数 $p(z)$ 如下
|
$p(z)=\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta).$
|
(3.2)
|
经过简单计算,可得
|
$\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)}=\frac{p'(z)}{p(z)}.$
|
(3.3)
|
进一步计算,有
|
$\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{p"(z)}{p'(z)}-\frac{p'(z)}{p(z)}.$
|
(3.4)
|
接着,我们作从 ${\Bbb C}^3$ 到 ${\Bbb C}$ 的变换如下
|
$u(r,s,t)=r,~~~v(r,s,t)=\frac{s}{r} ~~~\textrm{和}~~~ w(r,s,t)=\frac{rt-s^2}{rs}.$
|
(3.5)
|
令
|
$\psi(r,s,t;z)=\phi(u,v,w;z)=\phi\left(r,\frac{s}{r},\frac{rt-s^2}{rs};z\right).$
|
(3.6)
|
利用方程 (3.2)-(3.4) 式以及 (3.6) 式,我们有
|
$\psi(p(z),p'(z),p"(z);z)=\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right).$
|
(3.7)
|
于是,(3.1) 式立即变为
$$\psi(p(z),p'(z),p"(z);z)\in\Omega.
$$
再由 (3.5) 式,我们容易得到
$$t=u(wv+v^2).
$$因此,定义 3.1 中函数 $\phi\in\Phi_\Delta[\Omega,q]$ 的允许条件就等价于定义 1.2 中函数 $\psi$ 的允许条件,故有 $\psi\in\Psi_\Delta[\Omega,q]$,再利用定理 1.1,我们可得 $p(z)\prec q(z)$,或者 $\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~ (z\in\Delta)$. 于是,我们证明了定理 3.1.
特别地,若 $\Omega\neq{\Bbb C}$ 是一个单连通区域,$h(z)$ 为 $\Delta$ 到 $\Omega$ 的一个共形映射,即有 $\Omega=h(\Delta)$,在此情况下,我们记函数类 $\Phi_\Delta[h(\Delta),q]$ 为 $\Phi_\Delta[h,q]$. 因此,我们即可得出定理 3.1 的一个直接结果,即如下的定理.
定理 3.2 设函数 $\phi\in\Phi_\Delta[h,q]$,$f(z)\neq0$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
|
$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)\prec h(z),$
|
(3.8)
|
则有
$$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~~ (z\in\Delta).
$$
假设函数 $q(z)$ 在边界 $\partial\Delta$ 上的特征是未知的,在此情况下,我们可以得到定理 3.1 的另一种形式,即如下的定理 3.3.
定理 3.3 设函数 $h$ 和 $q$ 在 $\Delta$ 内单叶,$q\in{\cal Q}(\Delta)$,$q_\rho(z)=q(\rho z)$ 和 $h_\rho(z)=h(\rho z)$. 又设函数 $\phi: {\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 满足下列条件之一:
(1) 对某个 $\rho\in(0,1)$,有 $\phi\in\Phi_\Delta[h,q_\rho]$;
(2) 对所有的 $\rho\in(\rho_0,1)$,存在 $\rho_0\in(0,1)$,使得 $\phi\in\Phi_\Delta[h_\rho,q_\rho]$.
如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 适合 $(3.8)$ 式,则有
$$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~~ (z\in\Delta).
$$
证 定理 3.3 的证明方法与文献[11] 中定理 2.3d 类似,这里,我们省略其证明过程.
下面,我们来讨论微分从属 (3.8) 式的最佳控制.
定理 3.4 设函数 $h$ 在 $\Delta$ 内单叶,$\phi$ 为 ${\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射. 假设微分方程
|
$\phi\left(q(z),\frac{q'(z)}{q(z)},\frac{q"(z)}{q'(z)}-\frac{q'(z)}{q(z)};z\right)=h(z)$
|
(3.9)
|
有一个解 $q(z)$,且其解 $q(z)$ 满足下列条件之一:
(1) $q\in{\cal Q}(\Delta)$ 和 $\phi\in\Phi_\Delta[h,q]$;
(2) $q$ 在 $\Delta$ 内单叶,且对某个 $\rho\in(0,1)$,有 $\phi\in\Phi_\Delta[h,q_\rho]$;
(3) $q$ 在 $\Delta$ 内单叶,且对所有的 $\rho\in(\rho_0,1)$,存在 $\rho_0\in(0,1)$,使得 $\phi\in\Phi_\Delta[h_\rho,q_\rho]$.
如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 适合 $(3.8)$ 式,则有
$$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~~ (z\in\Delta),
$$且 $q(z)$ 为最佳控制.
证 利用与文献[11] 中定理 2.3e 的证明类似方法,并借助定理 3.2 和定理 3.3,我们容易推断出 $q$ 是一个控制. 又因为 $q$ 满足 (3.9) 式且是 (3.8) 式的一个解,故在所有的控制中,$q$ 为最佳控制.
特别地,当 $q(z)=z$ 时,定义 3.1 中的允许函数类 $\Phi_\Delta[\Omega,q]$ 可记为 $\Phi_\Delta[\Omega,z]$,且其定义如下:
定义 3.2 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,又设函数 $\phi: {\Bbb C}^3\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 满足如下的允许条件: 当 $z\in\Delta$,Im$(L)\geq0$,$\eta\in{\Bbb R}\backslash\{0\}$ 和 $k>0$ 时,有
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$\phi\left(\eta,\frac{k}{\eta},\frac{L\eta-k^2}{k\eta};z\right)\notin\Omega$
|
(3.10)
|
成立,我们则称上述函数 $\phi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Phi_\Delta[\Omega,z]$.
推论 3.1 设函数 $\phi\in\Phi_\Delta[\Omega,z]$,$f(z)\neq0$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)\in\Omega,
$$则有
$$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec z~~ (z\in\Delta).
$$
若取 $\Omega=q(\Delta)=\{\omega: {\rm Im}(\omega)>0\}$,此时,我们将函数类 $\Phi_\Delta[\Omega,z]$ 简单记为 $\Phi_\Delta[\Delta,z]$,则推论 3.1 可写成如下形式:
推论 3.2 设函数 $\phi\in\Phi_\Delta[\Delta,z]$,$f(z)\neq0$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
$${\rm Im}\left\{\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)\right\}>0,
$$则有
$${\rm Im}\left\{\frac{f(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta).
$$
例 3.1 设函数 $A,~B: \Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 在 $\Delta$ 内解析,又设 Im$A(z)\leq0$ 和 Im$B(z)\leq0$. 则函数
$$\phi_1(u,v,w;z)=\frac{1}{u}-v+A(z) ~~\textrm{和}~~\phi_2(u,v,w;z)=vw+B(z)
$$都满足允许条件 $(3.10)$ 式,故由推论 3.1,我们易得
$${\rm Im}\left\{\frac{f"(z)}{f'(z)}+A(z)\right\}>0\Rightarrow {\rm Im}\left\{\frac{f(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta)
$$和
$${\rm Im}\left\{\left(\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)}\right)'+B(z)\right\}>0\Rightarrow {\rm Im}\left\{\frac{f(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta).
$$
接下来,我们引入如下的允许函数类.
定义 3.3 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,又设函数 $\phi: {\Bbb C}^2\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$满足如下的允许条件: 当 $z\in\Delta$,$\xi\in\partial\Delta\backslash E(q)$ 和 $k\geq0$ 时,有
$$\phi\left(q(\xi),kq'(\xi);z\right)\notin\Omega
$$成立,我们则称上述函数 $\phi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Phi_{\Delta,1}[\Omega,q]$.
定理 3.5 设函数 $\phi\in\Phi_{\Delta,1}[\Omega,q]$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
|
$\left\{\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right): z\in\Delta\right\}\subset\Omega,$
|
(3.11)
|
则有
$$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~~ (z\in\Delta).
$$
证 首先,我们定义 $\Delta$ 内的函数 $p(z)$ 如下
|
$p(z)=\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta).$
|
(3.12)
|
经过简单计算,可得
|
$1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2}=p'(z).$
|
(3.13)
|
作从 ${\Bbb C}^2$ 到 ${\Bbb C}$ 的变换如下
|
$u(r,s)=r~~~\textrm{和}~~~v(r,s)=s.$
|
(3.14)
|
令
|
$\psi(r,s;z)=\phi(u,v;z)=\phi\left(r,s;z\right).$
|
(3.15)
|
由 (3.12) 式,(3.13) 式和 (3.15) 式,我们有
|
$\psi(p(z),p'(z);z)=\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right).$
|
(3.16)
|
于是,(3.11) 式变为
$$\psi(p(z),p'(z);z)\in\Omega.
$$
而由 (3.15) 式,我们容易看出定义 3.3 中函数 $\phi\in\Phi_{\Delta,1}[\Omega,q]$ 的允许条件等价于定义 1.2 中函数 $\psi$ 的允许条件,故有函数 $\psi\in\Psi_\Delta[\Omega,q]$,再利用定理 1.1,则有 $p(z)\prec q(z)$,或者 $\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)$.
如果 $h$ 是一个从 $\Delta$ 到 $\Omega\neq{\Bbb C}$ 的共形映射,那么我们记函数类 $\Phi_{\Delta,1}[h(\Delta),q]$ 为 $\Phi_{\Delta,1}[h,q]$.
定理 3.6 设函数 $\phi\in\Phi_{\Delta,1}[h,q]$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)\prec h(z),
$$则有
|
$\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q(z)~~ (z\in\Delta).$
|
(3.17)
|
假设函数 $q(z)$ 在边界 $\partial\Delta$ 上的特征是未知的,在此情况下,我们可以得到定理 3.6 的另一种形式,即如下的定理 3.7.
定理 3.7 设 $\Omega\subset{\Bbb C}$,函数 $q$ 在 $\Delta$ 内单叶且有 $q\in{\cal Q}(\Delta)$. 又设对于某个 $\rho\in(0,1)$,有函数 $\phi\in\Phi_{\Delta,1}[h,q_\rho]$,其中 $q_\rho(z)=q(\rho z)$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足 $(3.11)$ 式,则有 $(3.17)$ 式成立.
特别地,当 $q(z)=z$ 时,我们可得下面的推论 3.3.
推论 3.3 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,函数 $\phi: {\Bbb C}^2\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 满足如下条件:当 $z\in\Delta$,$\eta\in{\Bbb R}$ 和 $k\geq0$ 时,有
|
$\phi\left(\eta,k;z\right)\notin\Omega$
|
(3.18)
|
成立. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)\in\Omega~~ (f'(z)\neq0),
$$则有
$${\rm Im}\left\{\frac{f(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta).
$$
若取 $\Omega=q(\Delta)=\{\omega: {\rm Im}(\omega)>0\}$,则推论 3.3 变为
推论 3.4 设 $\phi$ 为 ${\Bbb C}^2\times\Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 的映射,且满足
$${\rm Im}\left\{\phi\left(\eta,k;z\right)\right\}\leq0,
$$这里 $z\in\Delta$,$\eta\in{\Bbb R}$ 和 $k\geq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$ 满足条件
$${\rm Im}\left\{\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)\right\}>0~~ (f'(z)\neq0),
$$则有
$${\rm Im}\left\{\frac{f(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta).
$$
例 3.2 设函数 $C: \Delta\rightarrow{\Bbb C}$ 在 $\Delta$ 内解析且满足Im$C(z)\leq0$,则函数
$$\phi(u,v;z)=u+v+C(z)
$$满足允许条件 $(3.18)$ 式,故由推论 3.4,我们易得
$${\rm Im}\left\{1+\frac{f(z)}{f'(z)}-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2}+C(z)\right\}>0\Rightarrow {\rm Im}\left\{\frac{f(z)}{f'(z)}\right\}>0~~ (z\in\Delta).
$$
在本节中,我们研究了上半平面中微分从属的对偶问题 (即微分超从属问题),并给出了相应的~Sandwich 型结果. 为此,在证明主要结果之前,我们需要定义如下的允许函数类.
定义 4.1 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$ 且 $q'(z)\neq0$. 又设函数 $\phi: {\Bbb C}^3\times\overline{\Delta}\rightarrow{\Bbb C}$ 满足下列允许条件: 当
$$u=q(z),~~~v=\frac{q'(z)}{mq(z)}~ (q(z)\neq0)
$$和
$${\rm Im}\left\{\frac{u(wv+v^2)}{q'(z)}\right\}\leq\frac{1}{m^2}{\rm Im}\left\{\frac{ q"(z)}{q'(z)}\right\}~ (z\in\Delta; \xi\in\partial\Delta; m>0)
$$时,有
$$\phi(u,v,w;\xi)\in\Omega
$$成立. 我们则称上述函数 $\phi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Phi'_\Delta[\Omega,q]$.
定理 4.1 设函数 $\phi\in\Phi'_\Delta[\Omega,q]$,$f(z)\neq0$ 和 $f'(z)\neq0$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
|
$\Omega\subset\left\{\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right): z\in\Delta\right\}$
|
(4.1)
|
蕴含
$$q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta).
$$
证 设函数 $p(z)$,$\psi$ 分别定义如 (3.2) 式和 (3.6) 式. 由于函数 $\phi\in\Phi'_\Delta[\Omega,q]$,故由 (3.7) 式和 (4.1) 式,可得
$$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z),p"(z);z\right): z\in\Delta\right\}.
$$再由 (3.5) 式,我们不难看出定义 4.1 中函数 $\phi\in\Phi'_\Delta[\Omega,q]$ 的允许条件等价于定义 2.1 中函数 $\psi$ 的允许条件,故有函数 $\psi\in\Psi'_\Delta[\Omega,q]$,再利用定理 2.1,则有 $q(z)\prec p(z)$,或者 $q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~ (z\in\Delta)$. 于是,我们证明了定理 4.1.
特别地,若 $\Omega\neq{\Bbb C}$ 是一个单连通区域,则 $h(z)$ 为 $\Delta$ 到 $\Omega$ 的一个共形映射,即有 $\Omega=h(\Delta)$,在此情况下,我们记函数类 $\Phi'_\Delta[h(\Delta),q]$ 为 $\Phi'_\Delta[h,q]$,如第 3 节所述,我们容易得到定理 4.1 的一个直接结果,即如下的定理.
定理 4.2 设函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$,函数 $h$ 在 $\Delta$ 内解析且有 $\phi\in\Phi'_\Delta[h,q]$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$f(z)\neq0$,$f'(z)\neq0$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
|
$h(z)\prec\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)$
|
(4.2)
|
蕴含
$$q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta).
$$
接下来,利用定理 4.1 和定理 4.2,我们来讨论微分超从属 (4.1) 式或 (4.2) 式的从属子.若合适选取函数 $\phi$ 的值,我们即可证明 (4.2) 式的最佳从属子的存在性.
定理 4.3 设函数 $h$ 在 $\Delta$ 内解析,且设函数 $\phi: {\Bbb C}^3\times\overline{\Delta}\rightarrow{\Bbb C}$. 假设微分方程
$$\phi\left(q(z),\frac{q'(z)}{q(z)},\frac{q"(z)}{q'(z)}-\frac{q'(z)}{q(z)};z\right)=h(z)
$$有一个解 $q\in{\cal Q}(\Delta)$. 如果函数 $\phi\in\Phi'_\Delta[h,q]$,$f\in{\cal H}[\Delta]$,$f(z)\neq0$,$f'(z)\neq0$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
$$h(z)\prec\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)
$$蕴含
$$q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta),
$$且 $q(z)$ 为最佳从属子.
证 定理 4.3 的证明与定理 3.4 的证明类似,这里,我们省略其证明过程.
结合定理 3.2 和定理 4.2,我们可得如下的~Sandwich 型结果.
推论 4.1 设函数 $h_1$ 和 $q_1$ 在 $\Delta$ 内解析,函数 $h_2$ 在 $\Delta$ 内单叶,又设函数 $q_2\in{\cal Q}(\Delta)$ 和函数 $\phi\in\Phi_\Delta[h_2,q_2]\cap\Phi'_\Delta[h_1,q_1]$.如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$f(z)\neq0$,$f'(z)\neq0$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
$$h_1(z)\prec\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},\frac{f'(z)}{f(z)}-\frac{f"(z)}{f'(z)},\frac{f(z)[\left(f"(z)\right)^2-f'(z)f"'(z)]}{f'(z)[\left(f'(z)\right)^2-f(z)f"(z)]}-\frac{f'(z)}{f(z)};z\right)\prec h_2(z)
$$蕴含
$$q_1(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q_2(z)~~ (z\in\Delta).
$$
定义 4.2 设 $\Omega$ 为 ${\Bbb C}$ 的子集,函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$. 若函数 $\phi: {\Bbb C}^2\times\overline{\Delta}\rightarrow{\Bbb C}$ 满足允许条件
$$\phi\left(q(z),\frac{q'(z)}{m};\xi\right)\in\Omega~~ (z\in\Delta; \xi\in\partial\Delta; m>0),
$$则称上述函数 $\phi$ 的集合为允许函数类,记作 $\Phi'_{\Delta,1}[\Omega,q]$.
定理 4.4 设函数 $\phi\in\Phi'_{\Delta,1}[\Omega,q]$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$f'(z)\neq0$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
|
$\Omega\subset\left\{\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right): z\in\Delta\right\}$
|
(4.3)
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蕴含
$$q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta).
$$
证 设函数 $p(z)$,$\psi$ 分别定义如 (3.12) 式和 (3.15) 式. 由于函数 $\phi\in\Phi'_{\Delta,1}[\Omega,q]$,故由 (3.16) 式和 (4.3) 式,可得
$$\Omega\subset\left\{\psi\left(p(z),p'(z);z\right): z\in\Delta\right\}.
$$
再由 (3.14) 式,我们不难看出定义 3.3 中函数 $\phi\in\Phi'_{\Delta,1}[\Omega,q]$ 的允许条件等价于定义 2.1 中函数 $\psi$ 的允许条件,故有函数 $\psi\in\Psi'_\Delta[\Omega,q]$,再利用定理 1.2,则有 $q(z)\prec p(z)$,或 者 $q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~ (z\in\Delta)$. 于是,我们证明了定理4.4.
特别地,若 $\Omega\neq{\Bbb C}$ 是一个单连通区域,$h(z)$ 为 $\Delta$ 到 $\Omega$ 的一个共形映射,即有 $\Omega=h(\Delta)$,在此情况下,我们记函数类 $\Phi'_{\Delta,1}[h(\Delta),q]$ 为 $\Phi'_{\Delta,1}[h,q]$,如第3 节所述,我们容易得到定理 4.4 的一个直接结果,即如下的定理 4.5.
定理 4.5 设函数 $q\in{\cal H}[\Delta]$,函数 $h$ 在 $\Delta$ 内解析且 $\phi\in\Phi'_{\Delta,1}[h,q]$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$f'(z)\neq0$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
$$h(z)\prec\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)
$$蕴含
$$q(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}~~ (z\in\Delta).
$$
结合定理 3.6 和定理 4.5,我们可得如下的Sandwich 型结果.
推论 4.2 设函数 $h_1$ 和 $q_1$ 在 $\Delta$ 内解析,函数 $h_2$ 在 $\Delta$ 内单叶,又设函数 $q_2\in{\cal Q}(\Delta)$ 和函数 $\phi\in\Phi_{\Delta,1}[h_2,q_2]\cap\Phi'_{\Delta,1}[h_1,q_1]$. 如果函数 $f\in{\cal H}[\Delta]$,$f'(z)\neq0$,$\frac{f(z)}{f'(z)}\in{\cal Q}(\Delta)$ 且
$$\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)
$$在 $\Delta$ 内单叶,则
$$h_1(z)\prec\phi\left(\frac{f(z)}{f'(z)},1-\frac{f(z)\cdot f"(z)}{(f'(z))^2};z\right)\prec h_2(z)
$$蕴含
$$q_1(z)\prec\frac{f(z)}{f'(z)}\prec q_2(z)~~ (z\in\Delta).
$$
2016, Vol. 36 
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