Donsker 建立了随机游动的不变原理,即其标准化后的极限为布朗运动. 具体地, 设$\{ \xi_n: n\geq 0\}$ 是直线上一列独立同分布的随机变量, 满足对于任意的$n$,$\xi_n$的期望 $E\xi_n =0$及方差 $\xi_n=\sigma^2$,其中 $\sigma>0$. 定义随机游动$\{ S_n: n\geq 0\}$为 $${S_n}: = \sum\limits_{i = 1}^n {{\xi _i}} ,n \ge 1,\;{S_0} = 0,$$ 及其线性内插$S(t)$: $t\geq$ 0为 $$S(t): = {S_{[t]}} + (t - [t])({S_{[t] + 1}} - {S_{[t]}}),\;\forall t \ge 0.$$ 记相应的尺度过程为 $$S_n(t) = \frac{S(nt)}{\sqrt{n}},\ \forall t \geq0,$$ Donsker 证明了过程 $\{S_n(t):t\ge0\}$ 弱收敛到布朗运动 $\{W(t):t\ge0\}$, 且方差 $$W(t)=\sigma^2t.$$

受Donsker 不变原理启发,关于随机游动局部时的不变原理引起了人们的广泛关注. 记随机游动的局部时过程为 $phi(x,n)$,即 $phi(x,n)$ 为 $\{S_n\}$ 前 $n$ 步中到过 $x$ 处的次数. 对于紧邻随机游动,即 $\xi_n$ 分别以 $1/2$的概率取 $\pm1$, Borodin^[2] 借助于不变嵌入方法建立了局部时的不变原理,即: 两指标的过程 $n^{-1/2}phi([x\sqrt{n}],[nt])$ 收敛到布朗运动 $\{W(t):t\ge0\}$ 在时刻 $t$ 之前于 $x$ 处的局部时. 本文中,$[x]$ 表示 $x$ 向下取整. Perkins^[15] 利用组合方法也证明了这一不变原理. 对于一般随机游动,其局部时的不变原理由 Borodin 和 Ibragimov^[3] 所建立. Csörgö 和Revész^[5] 则基于文献[4] 中随机游动局部时的表示证明了局部时强收敛意义下的不变原理. 进一步, Perkins^[16]借助于Tanaka 关于布朗运动局部时的刻画(参见文献 [14]) 获得了一般随机游动与其局部时构成的联合过程的不变原理.

另一方面,Rogers^[18]考察了与停时相关的局部时过程的极限行为,即过程 $phi([xN],\tau_N)/N$的极限行为,其中 $\tau_N$ 为游动第 $N$ 次到达 $0$ 的时间. 事实上,对于紧邻随机游动,Rogers^[18] 借助于随机游动的内蕴分支机制证明 了与停时相关的局部时过程弱收敛于布朗运动的与停时相关的局部时. 关于紧邻随机游动的内蕴分支机制参见文献Dwass^[6]及Kesten 等人^[8]. 但是对于一般随机游动,目前还没有关于与停时相关的局部时过程的极限行为的结论.

本文的主要目的是: 对于带停留的紧邻随机游动,考察与停时相关的局部时过程的极限行为. 称 $\{S_n\}$ 为带停留的紧邻随机游动是指

$$\begin{eqnarray} P(\xi_n=1)=p=P(\xi_n=-1),P(\xi_n=0)=r=1-2p,0<p<1/2. \end{eqnarray}$$

(1.1)

注意到,当 $r=0$ 时,$\{S_n\}$ 为紧邻随机游动,不允许粒子在原地停留; 此时与停时相关的局部时过程的极限行为已被 Rogers^[18] 所建立. 因此我们感兴趣的是 $0<r<1$.

定义反射过程 $|S|$ 的局部时为 $$L(j,n): = \sharp \{ r:1 \le r \le n,|{S_r}| = j\} ,j \ge 0,\;n \ge 1.$$ 令 $\tau_0\equiv 0$,对于任意 $m \geq 1,$ 设 $${\tau _m}: = \inf \{ n > {\tau _{m - 1}}:{S_n} = 0,{S_{n - 1}} \ne 0\} .$$ 用 $D(E)$ 表示空间$E$上左极右连函数全体并赋予Skorohod 拓扑. 对任意自然数 $N \ge 1$,通过局部时做尺度变换,我们定义空间 $D[0,\infty)$ 上的过程

$$\begin{equation} l_N(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{L([Nx],\tau_N)}{N},& Nx \geq 1,\\[3mm] 2(1+\frac{r}{1-r}),& Nx < 1. \end{array}\right. \end{equation}$$

(1.2)

另外,记号 $l_W(x; t)$ 表示布朗运动 $\{W(t):t\ge0\}$ 在时刻 $t$ 之前 $x$ 点处的局部时,即: 对于任意Borel可测函数 $f$, $$\int_0^t f(W(s)){\rm d}s=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)l_W(x,t){\rm d}x.$$

本文目标是证明当 $N\rightarrow\infty$ 时,$l_N(\cdot)$ 在空间 $D[0,\infty)$ 上收敛. 即

定理1.1 作为空间 $D[0,\infty)$ 上的一个元素,当 $N\rightarrow\infty$ 时, $${l_N}( \cdot ) \Rightarrow l_W^ * ( \cdot ,\tau ),$$ 其中 $l_W^{\ast}(x,t)=l_W(x,t)+l_W(-x,t)$,$\tau= \inf\{t>0: l_W(0,t)>\sigma^{-2} \}$. ``$\Rightarrow$" 表``弱收敛".

注 1.1 当 $r=0$ 时,$\sigma^2=1$,对应的正是Rogers^[1]的结果.

Kesten 等人^[8]和Wang^[19]揭示了带停留的紧邻随机游动的内蕴分支机制; 该机制对应了一个两物种分支过程,其均值矩阵是非正则的. 注意到, 与停时相关的局部时可表示成这一两物种分支过程的泛函. 本文将借助于这一表达来证明停时相关的局部时的收敛性. 关于多物种分支过程的收敛性,可参见文献[7, 10], 但文献中都是假定均值矩阵是正则的. 本文要处理的是非正则的情形.

定理 1.1 的证明将在下一节展开.

首先,我们来回顾带停留随机游动的内蕴分支机制,具体可参见文献[]. 设 $(U^N(0),Z^N(0))=(N,0)$. 对于任意 $i\ge1,$ 定义

$$\begin{eqnarray}\label{ebranch} U^N(i):=\sharp \{0 \leq n\leq\tau_N : |S_n|=i,|S_{n+1}|=i+1\},\cr Z^N(i):=\sharp \{0 \leq n\leq\tau_N : |S_n|=i,|S_{n+1}|=i\} \end{eqnarray}$$

(2.1)

分别来表示反射过程 $|S|$ 在时刻 $\tau_N$ 之前,从 $i$ 处到 $i+1$ 以及从 $i$ 到 $i$ 的步数.

Zeitouni^[20] 指出过程 $|S|$ 的每个从 $i$ 到 $i+1$ 或者到 $i$ 的步子必然出现在某个连续的从 $i-1$ 到 $i$ 的步子之间. 并且在每个连续的从 $i-1$ 到 $i$ 的步子之间的这两种步子服从多项分布. 因此,在$(U^N(i-1),Z^N(i-1)),(U^N(i-2),Z^N(i-2)),\cdots,(U^N(0),Z^N(0))$ 生成的$\sigma$-代数条件下,随机向量 $(U^N(i),Z^N(i))$ 同分布于 $U^N(i-1)$ 个独立同分布的随机变量之和, 这些随机变量服从如下分布 $$P(V_1=(a,b))= \bigg(\begin{array}{c} {a+b}\\ {a} \end{array}\bigg) p^{a}r^{b}p,\ a,b \geq 0.$$ 也就是说,$(U^N(n),Z^N(n))_{n \geq 0}$ 是一个两物种分支过程,初始分布为 $(U^N(0),Z^N(0))=(N,0)$. 下面我们精确刻画这一结论.

引理2.1 (i) (2.1) 式定义的过程 $(U^N(n),Z^N(n))_{n \ge 0}$ 是一个两物种分支过程. 其后代分布为

$$\begin{eqnarray}\label{ebm} P((U^N(i),Z^N(i))=(a,b)|(U^N(i-1),Z^N(i-1))=(1,0))= \bigg(\begin{array}{c} {a+b}\\ {a} \end{array}\bigg) p^{a}r^{b}p,\ a,b \geq 0,\cr P((U^N(i),Z^N(i))=(0,0)|(U^N(i-1),Z^N(i-1))=(0,1))=1. \end{eqnarray}$$

(2.2)

(ii) 过程 $(U^N(n))_{n \ge 0}$ 是一个单物种分支过程,初始分布为 $U^N(0)=N$,分支机制为 $$\begin{eqnarray*} P(U^N(i)=a|U^N(i-1)=1)=(\frac{1}{2})^{a+1},\ a\ge0. \end{eqnarray*}$$

证 关于第一个结论,读者可以通过该引理前的一段话加以理解,严格证明请参见文献[]. 由(2.2)式,我们可以得到边际分布 $$P(U^N(i)=a|U^N(i-1)=1)=\sum\limits_{b\ge0} \bigg(\begin{array}{c} {a+b}\\ {a} \end{array}\bigg) p^{a}r^{b}p=(\frac{1}{2})^{a+1},\ a\ge0.$$ 因此 $U^N$ 是一个单物种分支过程.

从0 到 $\tau_N$ 这段时间内,反射随机游动 $|S|$ 的第一步是从 0 到 1, 最后一步是从 1 到 0. 所以在这段时间内,如果游动 $|S|$ 在某个时间从 $j$ 处到了 $j+1$ 处,那么它必然要在将来某个时间回到 $j$. 因此, 可用过程 $(U^N,Z^N)$ 来表示局部时过程 $L(j;\tau_N)$,$j\ge1$. 我们有

$$\begin{eqnarray}\label{elocalt} \{L(j,\tau_N):j \geq 1 \}=\{ U^N(j-1)+U^N(j)+Z^N(j):j \geq 1\}. \end{eqnarray}$$

(2.3)

令 $$U_N(x):=U^N([Nx])/N,\ t\ge 0,Z_N(x):=Z^N([Nx])/N,\ x\ge 0.$$ Lamperti^[11] 证明 $(U_N)_{N\ge1}$ 的有限维分布收敛到连续状态分支过程,而Lindvall^[12] 证明了过程$(U_N)_{N\ge1}$ 的胎紧性. 所以综合两者得到如下结论.

定理2.1 (Lamperti^[11],Lindvall^[12]) 作为空间 $D([0,\infty))$ 上的一个过程, $${\rm{当}}\;n \to \infty ,{U_N} \Rightarrow U,$$ 其中 $U$ 是随机微分方程

$$\begin{eqnarray}\label{eltime} dz_t=2\sqrt{z_t^+}dB_t,z_0=1 \end{eqnarray}$$

(2.4)

的唯一解.

由(2.3)式有,对于任意 $[Nx]\ge 1$, $${l_N}(x) = \frac{{{U^N}([Nx]) + {U^N}([Nx] - 1) + {Z^N}([Nx])}}{N} = {U_N}(x) + {U_N}(x - \frac{1}{N}) + {Z_N}(x).$$ 因此,欲证定理 1.1,只需证 $$\{ 2{U_N}(x) + {Z_N}(x):x \ge 0\} \Rightarrow \{ l_W^ * (x,\tau ):x \ge 0\} .$$

定义 $X^N(k):=2U^{N}(k)+Z^{N}(k)$,以及 $X_N(x):=2U_{N}(x)+Z_{N}(x)$.

本文将根据文献[1,定理15.6]证明结论. 为此, 我们给出如下三个命题. 前两个是关于有限维分布收敛的,最后一个是关于胎紧性的.

命题2.1 对于任意 $\alpha,\,\beta>0$ 和 $x \geq 0$,当 $N\rightarrow\infty$ 时, $$\alpha {U_N}(x) + \beta {Z_N}(x) \Rightarrow (\alpha + \beta \frac{r}{p})U(x).$$

证 由引理 2.1,$(U^N(n),Z^N(n))_{n \geq 0}$ 是一个两物种分支过程. 根据其分支性和马氏性, $$\begin{eqnarray*} &&E({\rm e}^{- \lambda (\alpha U^N(n)+\beta Z^N(n)) }|U^N(n-1)=1)\\ & =&\sum^{\infty}_{m=0} \sum^{\infty}_{j=0}{\rm e}^{-\lambda(\alpha m+\beta j)}P(U^N(n)=m,Z^N(n)=j|U^N(n-1)=1) \\ &=&\sum^{\infty}_{m=0} \sum^{\infty}_{j=0}{\rm e}^{-\lambda(\alpha m+\beta j)}C^{m}_{m+j}p^{m}r^{j}p \\ &=&\sum^{\infty}_{m=0} \sum^{\infty}_{j=0}C^{m}_{m+j}({\rm e}^{-\lambda\alpha}p)^{m}({\rm e}^{-\lambda\beta}r)^{j}p \\ &=&\frac{p}{1-{\rm e}^{-\lambda\alpha}p-{\rm e}^{-\lambda\beta }r}. \end{eqnarray*}$$ 因此,对于固定的 $x \geq 0$, $$\begin{eqnarray*} F_N(x,\lambda;\alpha,\beta)&:=& E{\rm e}^{- \lambda (\alpha U^N([Nx])/N+\beta Z^N([Nx])/N) }\\ &=&E(E({\rm e}^{- \lambda (\alpha U^N([Nx])/N+\beta Z^N([Nx])/N) }|U^N([Nx]-1)))\\ &=&E\Big(\frac{p}{1-{\rm e}^{-\lambda\alpha/N }p-{\rm e}^{-\lambda\beta/N }r}\Big)^{U^N([Nx]-1)}. \end{eqnarray*}$$ 由定理2.1, $U_N(x)\rightarrow U(x)$; 所以 $$Es^{U_N(x)}\rightarrow Es^{U(x)}.$$ 再结合过程 $(U^N([Nx]))$ 的马氏性,有 $$Es^{U^N([Nx])/N}=E\Big[\Big(\frac{1}{2-s^{1/N}}\Big)^{U^N([Nx]-1)}\Big]\rightarrow Es^{U(x)}.$$ 注意到 $$s_N:=\Big(2-\frac{1-{\rm e}^{-\lambda\alpha/N }q-{\rm e}^{-\lambda\beta/N }r}{p}\Big)^N\rightarrow {\rm e}^{-\lambda( \alpha+\frac{r}{p}\beta)},$$ 于是,当 $N\rightarrow \infty$ 时, $$F_N(x,\lambda;\alpha,\beta)=E\Big(\frac{1}{2-s_n^{1/N}}\Big)^{U^N([Nx]-1)} \rightarrow E{\rm e}^{-\lambda( \alpha+\frac{r}{p}\beta)U(x)}.$$ 因此,当 $N\rightarrow \infty$ 时, $$\alpha U_N(x)+\beta Z_N(x)\rightarrow (\alpha+\frac{r}{p}\beta)U(x).$$ 证毕.

命题2.2 对于任意 $k \ge 1$,设 $\lambda_i,\alpha_i,\beta_i,i=1,\cdots,k$ 均为正实数. 那么对任意 $0 \leq x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_k$,当 $N \rightarrow \infty$ 时,

$$\begin{eqnarray}\label{e4.1} E\Big(\exp \Big\{-\sum^{k}_{i=1} \lambda_i(\alpha_i U_N(x)+\beta_i Z_N(x))\Big\}\Big) %\nonumber \\ \rightarrow E\Big(\exp \Big\{-\sum^{k}_{i=1} \lambda_i (\alpha_i+\beta_i\frac{r}{p})U(x_i)\Big\}\Big). \end{eqnarray}$$

(2.5)

特别地,当 $N \rightarrow \infty$ 时,

$$\begin{eqnarray}\label{e4.x} E\Big(\exp \Big\{-\sum^{k}_{i=1} \lambda_i X_N(x) \Big\}\Big) \rightarrow E\Big(\exp \Big\{-\sum^{k}_{i=1} \lambda_i (2+ \frac{r}{p})U(x_i)\Big\}\Big). \end{eqnarray}$$

(2.6)

为了证明这一命题,我们需要用到连续状态分支过程的分支性,为了方便读者参考,我们将之陈述如下

引理2.2 设 $\{Y(t)\}_{t \geq 0}$ 是一个连续状态分支过程,$\Phi(t,\lambda)$ 是 $Y(t)$ 的拉普拉斯变换. 那么 $$E(\exp \{-\lambda Y(t)\}| Y(t_1))=\Phi^{Y(t_1)}(t-t_1,\lambda),t_1 \leq t.$$ 一般地,对任意 ${\lambda _i} \ge 0,\;i = 1, \cdots ,k,\;0 \le {t_1} \le {t_2} \le \cdots \le {t_k},$ $$E\Big(\exp \Big\{-\sum^{k}_{i=1} \lambda_i Y(t_i)\Big\}\Big)=E\Big(\exp \Big\{-\sum^{k-1}_{i=1} \lambda_i Y(t_i)\Big\}\Phi^{Y(t_{k-1})}(t_k-t_{k-1},\lambda_k)\Big).$$

命题 2.2的证明 对于任意 $\lambda,x \geq 0,\alpha,\beta\ge0$, 令 $$F_N(x,\lambda;\alpha,\beta):=E(\exp \{-\lambda (\alpha U_N(x)+\beta Z_N(x)) \})$$ 以及 $$F(x,\lambda;\alpha,\beta):=E(\exp \{-\lambda (\alpha+\beta\frac{r}{p})U(x) \}).$$

我们采用数学归纳法证明. 事实上,当 $k=1$ 时对应的结论已在命题2.1中被证明.

假设当 $k=m$ 时,(2.5) 式成立. 下证 $k=m+1$ 时结论成立. 注意到 $(U^N(0),Z^N(0))=(N,0)$. 由过程 $(U^N(k),Z^N(k))_{k\ge1}$ 的分支性,有 $$\begin{eqnarray*} && E(\exp \{-\lambda_{m+1} (\alpha_{m+1} U_N(x_{m+1})+\beta_{m+1}Z_N(x_{m+1}))\}| {\cal F}_{[Nx_m]})\\ &=&F^{U_N(x_m)}_{N}\Big(\frac{[Nx_{m+1}]-[Nx_m]}{N},\lambda_{m+1}; \alpha_{m+1},\beta_{m+1}\Big). \end{eqnarray*}$$ 因此,

$$\begin{eqnarray}\label{e2.8} && E\Big[\exp \Big\{-\sum^{m+1}_{i=1} \lambda_i (\alpha_iU_N(x_i)+\beta_i Z_N(x_i))\Big\}\Big]\nonumber \\ &=&E\Big[E\Big(\exp \Big\{-\sum^{m+1}_{i=1} \lambda_i (\alpha_iU_N(x_i)+\beta_iZ_N(x_i))\Big\}\Big|{\cal F}_{[Nx_m]}\Big)\Big] \nonumber\\ &=&E\Big[\exp \Big\{-\sum^{m}_{i=1} \lambda_i (\alpha_iU_N(x_i)+\beta_i Z_N(x_i))\Big\}\nonumber \\ &&\cdot F^{U_N(x_m)}_{N}\Big(\frac{[Nx_{m+1}]-[Nx_m]}{N},\lambda_{m+1}; \alpha_{m+1},\beta_{m+1}\Big)\Big] \nonumber \\ &=& E\Big[\exp \Big\{-\sum^{m}_{i=1} \lambda_i (\alpha_iU_N(x_i)+\beta_iZ_N(x_i))\Big\} \nonumber\\ && \cdot\Big\{F^{U_N(x_m)}_N(x_{m+1}-x_m,\lambda_{m+1};\alpha_{m+1},\beta_{m+1}) \nonumber\\ && -F^{U_N(x_m)}(x_{m+1}-x_m,\lambda_{m+1};\alpha_{m+1},\beta_{m+1})\Big\}\Big] \nonumber\\ && +E\Big[\exp \Big\{-\sum^{m}_{i=1} \lambda_i (\alpha_iU_N(x_i)+\beta_iZ_N(x_i))\Big\}\nonumber\\ && \cdot F^{U_N(x_m)}(x_{m+1}-x_m,\lambda_{m+1};\alpha_{m+1},\beta_{m+1})\Big]. \end{eqnarray}$$

(2.7)

由命题 2.1,可见当 $N\rightarrow\infty$ 时, $$F_{N}\Big(\frac{[Nx_{m+1}]-[Nx_m]}{N},\lambda_{m+1}; \alpha_{m+1},\beta_{m+1}\Big)\rightarrow F(x_{m+1}-x_m,\lambda_{m+1};\alpha_{m+1},\beta_{m+1}).$$ 易见对于 $y\ge 0$ 一致地有

$$\begin{eqnarray}\label{e4.3} F^y_{N}\Big(\frac{[Nx_{m+1}]-[Nx_m]}{N},\lambda_{m+1}; \alpha_{m+1},\beta_{m+1}\Big) %\nonumber\\ \rightarrow F^y(x_{m+1}-x_m,\lambda_{m+1};\alpha_{m+1},\beta_{m+1}). \end{eqnarray}$$

(2.8)

所以当 $N\rightarrow\infty$ 时,(2.7) 式的右端趋于 0,由归纳假设,第二项收敛到 $$E\Big(\exp \Big\{-\sum^{m}_{i=1} \lambda_i(\alpha_i+\beta_i\frac{r}{p})U(x_i)+\ln F(x_{m+1}-x_m,\lambda_{m+1};\alpha_{m+1},\beta_{m+1})U(x_m)\Big\}\Big),$$ 由引理 2.2,它等于 $E(\exp \{-\sum\limits^{m+1}_{i=1} \lambda_i(\alpha_i+\beta_i\frac{r}{p})U(x_i)\})$. 所以 $k=m+1$ 时结论成立. 因此 (2.5) 式成立.

在(2.5)式中,对于所有 $i$,令 $\alpha_i=2,\beta_i=1$,可得 (2.6)式. 证毕.

命题2.3 对于固定的 $T>0$,存在 $\alpha >1,\beta\geq 0,$ 以及 $C>0$ 使得对于任意 $0\leq x_1 \leq x \leq x_2 \leq T$, $$E(|X_N(x)-X_N(x_1)|^{\beta}|X_N(x_{2})-X_N(x)|^{\beta}) \leq C|x_2-x_1|^{\alpha}.$$

为证该命题,我们首先证明如下引理.

引理2.3 假设 $i,j,k$ 均为非负整数满足 $i\leq j \leq k$. 设 $\beta=\frac{4}{3}$,则存在一个常数 $L<\infty$ 使得 $$E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^{\beta}|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta}) \leq LN^{3/4\beta}(k+2-i)^{\beta}j^{\beta/4}.$$

证 证明中,我们用 $K$ 来表示某一常数,它独立于其他参数,且其具体取值在不同的地方可能会不同. 设 ${\cal F}^N_k$ 为由 $\{(U^N(i),U^N(i)):i\le k\}$ 所生成的 $\sigma$ -代数. 因为当 $k\ge1$ 时,$X^N(k)=2U^N(k)+Z^N(k)$,所以 $$\begin{eqnarray*} && E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^2|{\cal F}^N_j)\\ & =&E(|2U^{N}(k)-2U^{N}(j)+Z^{N}(k)-Z^{N}(j)|^2|{\cal F}^N_j)\\ &\le& 8E[(U^{N}(k)-U^{N}(j))^2|{\cal F}_j]+2E[(Z^{N}(k)-Z^{N}(j))^2|{\cal F}^N_j]. \end{eqnarray*}$$

令 $\sigma^2:= U^1(1)$,以及 $\sigma_1^2:= Z^1(1)$. 由过程 $(U^N(k))_{k\ge1}$ 的马氏性和分支性,有 $$E[(U^{N}(k)-U^{N}(j))^2|{\cal F}^N_j] =U^N(j) (U^1(k-j))=(k-j)\sigma^2U^N(j).$$ 注意到分支过程 $(U^N(k))_{k\ge1}$ 只有其第一个物种产生后代,所以 $$\begin{eqnarray*} &&E[(Z^{N}(k)-Z^{N}(j))^2|{\cal F}^N_j]\\ & =&E\Big[\Big(\sum_{i=1}^{U^N(j)}(Z_i^1(k-j)-\frac{r}{p}) +(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j))\Big)^2|{\cal F}^N_j\Big]\\ &=&\Big[\sigma_1^2+(\frac{r}{p})^2(k-j-1)\sigma^2\Big]U^N(j) +\Big[\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big]^2, \end{eqnarray*}$$ 其中 $Z_i^1(k-j),i\ge1$ 是 $Z^1(k-j)$ 的独立同分布的复制品,并且它们均与 $U^N(j)$ 相互独立. 所以存在常数 $K>0$ 使得

$$\begin{eqnarray}\label{e2.9} E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^2|{\cal F}^N_j) \le K(k-j)U^N(j)+\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^2. \end{eqnarray}$$

(2.9)

由 Hölder 不等式, $$E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^{\beta} |{\cal F}^N_j)\le E^{\beta/2}(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^2 |{\cal F}^N_j).$$ 所以结合(2.9)式,有 $$\begin{eqnarray*} && E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^{\beta}|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta})\\ & =& E[|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta}E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^{\beta} |{\cal F}^N_j)] \\ & \le& E[|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta}E^{\beta/2}(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^2 |{\cal F}^N_j)]\\ & \le& E\Big\{|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta}\Big[K(k-j)U^N(j)+\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^2\Big]^{\beta/2}\Big\}. \end{eqnarray*}$$ 现在,令 $q_1=\frac{3}{2},q_2=3,$ 那么$\frac{1}{q_1}+\frac{1}{q_2}=1, \frac{1}{q_1}=\frac{\beta}{2}, \frac{1}{q_2}=\frac{\beta}{4}.$ 由 Hölder 不等式,有

$$\begin{eqnarray}\label{e4.4} && E\Big\{|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta}\Big[K(k-j)U^N(j)+\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^2\Big]^{\beta/2}\Big\}\nonumber\\ &\leq& E^{\frac{\beta}{2}}(|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{2}) \cdot E^{\frac{\beta}{4}}\Big[K(k-j)U^N(j)+\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^2\Big]^2. \end{eqnarray}$$

(2.10)

由(2.9)式有, $$E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^2) \le E\Big[K(k-j)U^N(j)+\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^2\Big].$$ 因为

$$\begin{eqnarray}\label{e2.11} && E\Big[\Big(\frac{r}{p}U^N(i)-Z^{N}(i)\Big)^2\Big]\nonumber\\ &=&E\Big[\Big(\frac{r}{p}\sum_{m=1}^{U^N(i-1)}(U^1_m(1)-1)\Big) +E\Big(\sum_{l=1}^{U^N(i-1)}(Z^1_l(1)-\frac{r}{p})\Big)\Big]^2\nonumber\\ &\le& 2E\Big(\frac{r}{p}\sum_{m=1}^{U^N(i-1)}(U^1_m(1)-1)\Big)^2 +2E\Big(\sum_{l=1}^{U^N(i-1)}(Z^1_l(1)-\frac{r}{p})\Big)^2, \end{eqnarray}$$

(2.11)

其中 $U_m^1(1),m\ge1$ 是 $U^1(1)$ 的独立同分布的复制品,且均与 $U^N(i-1)$ 相互独立; $Z_l^1(1),l\ge1$ 是 $Z^1(1)$ 的独立同分布的复制品, 且均与 $U^N(j-1)$ 相互独立. 于是 $$E\Big[\Big(\frac{r}{p}U^N(i)-Z^{N}(i)\Big)^2\Big] \le 2\sigma^2(\frac{r}{p})^2E(U^N(i-1))+2\sigma_1^2E(U^N(i-1))\le K N.$$ 所以,

$$\begin{eqnarray}\label{e2.12} E\Big[K(j-i)U^N(i)+\Big(\frac{r}{p}U^N(i)-Z^{N}(i)\Big)^2\Big]\le K(j-i+1)N. \end{eqnarray}$$

(2.12)

类似于 (2.11)式的推导,可得 $$\begin{eqnarray*} &&E\Big[K(k-j)U^N(j)+\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^2\Big]^2\\ & \le& 2K^2(k-j)^2E(U^N(j))^2+2E\Big(\frac{r}{p}U^N(j)-Z^{N}(j)\Big)^4\\ &\le& 2NK^2(k-j)^2 j\sigma^2+KNj\\ &\le& KN(k-j+1)^2j, \end{eqnarray*}$$ 最后两个式子中 $K$ 的值需要做适当调整. 结合 (2.10) 和 (2.12)式,可得存在常数 $L>0$ 使得 $$E(|X^{N}(k)-X^{N}(j)|^{\beta}|X^{N}(j)-X^{N}(i)|^{\beta})\leq LN^{3/4\beta}(k+2-i)^{\beta}j^{\beta/4}.$$ 证毕.

命题 2.3 的证明 令 $\alpha=\beta=\frac{4}{3}$, 设 $0\leq x_1 \leq x \leq x_2 \leq T$,$N \ge 1$.

当 $x_2-x_1\le 1/N$ 时,$[Nx_2]-[Nx_1]\le1$,所以 $[Nx]=[Nx_1]$ 或者 $[Nx]=[Nx_2]$,所以此时 $$\begin{eqnarray*} &&E(|X_N(x)-X_N(x_1)|^{\beta}|X_N(x_2)-X_N(x)|^{\beta})\\ &=& E\Big(\frac{(|X^{N}([Nx])-X^{N}([Nx_1])|^{\beta} |X^{N}([Nx_{2}])-X^{N}([Nx])|^{\beta})}{N^{2\beta}}\Big)\\ &=& 0 \le C|x_2-x_1|^{\beta}, \end{eqnarray*}$$ 当 $x_2-x_1\ge 1/N$ 时,由引理 2.3,有 $$\begin{eqnarray*} &&E(|X_N(x)-X_N(x_1)|^{\beta}|X_N(x_2)-X_N(x)|^{\beta})\\ &=& E\Big(\frac{(|X^{N}([Nx])-X^{N}([Nx_1])|^{\beta} |X^{N}([Nx_{2}])-X^{N}([Nx])|^{\beta})}{N^{2\beta}}\Big)\\ &\le& \frac{LN^{3/4r}([Nx_2]-[Nx_1])^{\beta}([Nx])^{\frac{\beta}{4}}}{N^{2\beta}} \\ &\le& C|x_2-x_1|^{\beta}, \end{eqnarray*}$$ 这里 $C$ 依赖于常数 $T$. 所以命题 2.3 得证.

定理 1.1 的证明 注意到过程 $U$ 轨道连续, 又有命题2.2和命题2.3,于是根据文献[1,定理15.6] 可知在空间 $D([0,T])$ 上 $$2U_{N}(x)+Z_{N}(x) \Rightarrow (2+\frac{r}{p})U(x).$$ 再由 文献[13,定理3'],这一收敛亦在空间 $D([0,\infty))$ 上成立. 由 Ray-Knight 定理,文献[18] 得到 $$2U(x)=l^*(x,\rho)=l(x,\rho)+l(-x,\rho),$$ 其中 $l(x,t)$ 是标准布朗运动的局部时,$\rho=\inf\{t\ge0:l(0,t)>1\}$. 注意到 $(2+\frac{r}{p})=2\sigma^{-2}$. 于是 $(2+\frac{r}{p})U(x)=\sigma^{-2}l^*(x,\rho)$. 由局部时的定义,易知 $l_W(x,t)\mathop{=}\limits^{d} \sigma^{-2}l(x,\sigma^2t)$. 再注意到上面 $\rho$ 的定义, 以及定理 1.1 中 $\tau$ 的定义,有 $(l_W(x,t),\tau) \mathop{=}\limits^{d}(\sigma^{-2}l(x,\sigma^2t),\sigma^{-2}\rho)$. 所以,$(2+\frac{r}{p})U(x) \mathop{=}\limits^{d} l_W^*(x,\tau)$. 定理得证.